第三章 函数的概念与性质 单元专题 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第3章 函数的概念与性质 目录 题型1：两类常用函数的图像与性质 2 题型2：抽象函数的性质 4 题型3：二次函数闭区间上的最值问题 8  定轴定区间 8  动轴定区间 9  定轴动区间 9 【强化训练】 10 题型1：两类常用函数的图像与性质 方法提炼 (1) 形如的图像与性质 （令），因此函数的图像可以看作是反比例函数图像经过平移得来的，其形状与反比例函数图像的形状（双曲线）一样，故称为“双曲”函数。 解析式 图像 定义域 渐近线 ， 值域 单调性 在上是减函数 在上是增函数 对称性 对称中心 (2) 形如的图像与性质 解析式 图像 定义域 渐近线 值域 奇偶性 奇函数 单调性 在上是增函数，在是减函数 在上是增函数，在是减函数 【例1.1.】 (1)画出函数的图象，写出函数的单调区间，并求出函数在区间上的值域. (2)若函数，在上是减函数，则的取值范围是多少？ 【例1.2.】 已知函数在区间上为增函数，则实数a的取值范围是 ． 【例1.3.】 若函数在区间上的最大值为3，则实数（   ） A． B．1 C．3 D． 【例1.4.】 （多选）已知函数的图象过点，则（    ） A． B．是奇函数 C．在上单调递减 D．当时，函数的最大值为 【例1.5.】 若函数的值域是，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【例1.6.】 （多选）形如的函数，我们称之为“对勾函数”.“对勾函数”具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数在上的最大值比最小值大，则的值可以是（    ） A．4 B．12 C． D． 【例1.7.】 已知函数是定义域上的奇函数，且. (1)判断并证明函数在定义域上的单调性； (2)令函数，若对，都有，求实数的取值范围. 题型2：抽象函数的性质 方法提炼 (1) 抽象函数的单调性问题 抽象函数一般由方程(不等式)确定,解决这类函数的单调性问题通常有两种方法： ①“凑”，凑定义或凑已知条件,从而用定义或已知条件得出结论; a. 若给出的是“和型”抽象函数 ，判断符号时要变形为： 或. b. 若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或. ②“赋值”,给变量赋值要根据条件与结论的关系,有时可能要进行多次尝试。 (2) 抽象函数的奇偶性问题 判断抽象函数的奇偶性,需利用函数奇偶性的定义,找准方向,巧妙赋值,合理、灵活地变形配凑,找出与的关系。解决抽象函数问题,也可以用赋值法。至于如何赋值,要根据解题目标来确定,一般可通过赋值或0或1来达到解题目的。 (3) 抽象函数的最值（值域）问题 求函数最值的问题实质上就是求函数值域的问题,因此求函数值域的方法也可用来求函数最值,求函数最值的常用方法有:配方法、换元法、数形结合法、利用函数的单调性等方法。但因为抽象函数没有解析式,所以它的最值求解方法主要是利用题设中给出的条件和函数的性质。 (4) 解抽象函数不等式 ①所谓函数不等式是指不等式中含有函数的符号,而且函数没有具体解析式,求解它主要是利用函数的奇偶性和单调性进行变形使之成为不含函数符号的不等式,从而达到求解的目的。 ②有关函数奇偶性与单调性的综合问题,主要有比较大小、解不等式等,关键是利用奇、偶函数的对称性,将不在同一单调区间上的两个自变量的值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性来处理,使问题得以解决。 【例2.1.】 已知定义在上的奇函数满足，则 . 【例2.2.】 定义在上的函数满足：，，则 .同时，又满足：，且时，，则 . 【例2.3.】 已知是定义在上的奇函数，且对任意，都有，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【例2.4.】 已知单调函数满足，且，定义域为． (1)求证：为奇函数； (2)若，求的取值范围． 【例2.5.】 是定义在R上的函数，对都有，且当时，，且. (1)求的值； (2)求在上的最值． 【例2.6.】 （多选）已知函数的定义域是，对任意的实数、满足，且，当时，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．函数为上的增函数 D．函数为奇函数 【例2.7.】 （多选）已知函数满足，都有，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．的充要条件为 C．为减函数 D．若，则 【例2.8.】 已知函数的定义域为，对于任意实数，满足，且，则（   ） A．1014 B．2027 C．2028 D．4054 【例2.9.】 定义域为的函数满足. (1)求证：； (2)求证：为偶函数； (3)当时，，求证：在上单调递增，在上单调递减. 【例2.10.】 （多选）已知定义域为的函数不是常值函数，当时，，而且对任意的有，则下列说法正确的有（    ） A． B．若，则 C．在上单调递减 D．若，则不等式的解集为 【例2.11.】 （多选）已知函数的定义域为，则（    ） A． B． C．是偶函数 D．若对于任意的，有，则在上单调递增 【例2.12.】 (多选)已知函数的定义域为，且，若，则（    ） A． B． C．函数是奇函数 D．函数是增函数 【例2.13.】 （多选）已知函数的定义域为，对任意，都有，且，则下列选项正确的是（    ） A． B．为减函数 C． D．为奇函数 【例2.14.】 已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．为偶函数 D．为增函数 【例2.15.】 （多选）已知函数的定义域为，且对任意的实数x，y，都有，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．为偶函数 C． D． 【例2.16.】 已知定义在上的函数在区间上单调递减，且．，． (1)证明：； (2)判断函数的奇偶性，并给予证明； (3)当时，求不等式的解集． 【例2.17.】 （多选）已知定义在上的函数满足，且当时，，则有（   ） A．是奇函数 B． C． D． 题型3：二次函数闭区间上的最值问题 · 定轴定区间 方法提炼 解决这类问题时,要画出函数的图像,根据给定的区间截取符合要求的部分,根据图像写出最大值和最小值。经常用到的结论:当二次函数图像开口向上时,自变量距离对称轴越远,对应的函数值越大;当图像开口向下时,则相反。 【例3.1.】 求函数在下列区间上的最小值. (1)； (2)； (3). 【例3.2.】 求下列函数的值域： (1)； (2)（）． · 动轴定区间 方法提炼 给定的区间不变,对称轴中含有参数,需分类讨论对称轴与区间的位置关系（①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部）,并结合像对不同的情况作出解答。注意是否需要讨论开口方向。 【例3.3.】 已知函数，求当时，的最小值． 【例3.4.】 若函数的最大值为，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【例3.5.】 当时，函数的最小值是，最大值是0，则m、n的值分别是 ． 【例3.6.】 已知函数，当时，的最大值为6，则实数 . · 定轴动区间 方法提炼 对称轴是固定不变的,而区间中含有参数,若对称轴在区间的左侧或右侧,则二次函数在区间上是单调的,可直接由单调性求出最大值和最小值；若对称轴在所给区间内,则在对称轴两侧函数单调性相反,这时可在顶点处(对称轴)求出一个最值(由开口方向确定),离对称轴较远的一个点处求得另一个最值。 【例3.7.】 已知函数，求在区间上的最大值． 【例3.8.】 已知函数，在上的最大值为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3.9.】 若函数在区间上的值域为，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【例3.10.】 （多选）若函数的定义域为，最大值、最小值分别为，，则实数的值可能为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【强化训练】 1. 已知，当时，的最小值是，则（    ） A． B． C． D． 2. 已知函数在区间上的最大值为5，则（    ） A．2 B．3 C．15 D．3或15 3. 已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．为增函数 D．为奇函数 4. 已知函数的定义域为R，对任意实数满足．且，当时，，则下列结论不正确的是（ ） A． B． C．为增函数 D．为奇函数 5. (多选)已知函数的定义域为，，则（    ） A． B． C．为减函数 D．为奇函数 6. （多选）设函数，对任意的非零实数x，y，恒有，且对任意的，有，则（   ） A． B．为偶函数 C．单调递减 D．的解集为 7. 已知定义域为的函数满足：，，且，则（    ） A． B． C．是奇函数 D．， 8. （多选）形如的函数，我们称之为“对勾函数”.“对勾函数”具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数在区间上的最大值比最小值大，则实数a的值可以是（   ） A．2 B．14 C． D． 9. （多选）已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（    ） A． B．为奇函数 C．为减函数 D．当时， 10. 函数在区间上的值域为 ． 11. 已知函数在区间上的值域为，则的取值范围是 . 12. 若对勾函数 对于任意的，都有，则实数的最大值为 ． 13. 已知函数，其中. (1)若在区间上具有单调性，求的取值范围； (2)当时，函数的最大值为，求实数的值. 14. （1）求二次函数在上的最大值和最小值，并求对应的x的值． （2）当时，设函数的最小值为，试求关于的表达式． 15. 已知定义在上的函数满足：. (1)判断的奇偶性并证明； (2)若，求； (3)若，，判断并证明的单调性. 16. 定义在上的函数满足：①对任意都有；②当，. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并说明理由； (3)若，试求的值. 17. 已知函数对任意的，都有，且当时，． (1)求证：是上的增函数； (2)若，解不等式． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 函数的概念与性质 目录 题型1：两类常用函数的图像与性质 2 题型2：抽象函数的性质 9 题型3：二次函数闭区间上的最值问题 27  定轴定区间 27  动轴定区间 28  定轴动区间 31 【强化训练】 34 题型1：两类常用函数的图像与性质 方法提炼 (1) 形如的图像与性质 （令），因此函数的图像可以看作是反比例函数图像经过平移得来的，其形状与反比例函数图像的形状（双曲线）一样，故称为“双曲”函数。 解析式 图像 定义域 渐近线 ， 值域 单调性 在上是减函数 在上是增函数 对称性 对称中心 (2) 形如的图像与性质 解析式 图像 定义域 渐近线 值域 奇偶性 奇函数 单调性 在上是增函数，在是减函数 在上是增函数，在是减函数 【例1.1.】 (1)画出函数的图象，写出函数的单调区间，并求出函数在区间上的值域. (2)若函数，在上是减函数，则的取值范围是多少？ 【答案】（1）作图见解析，递增区间是和，；（2） 【难度】0.65 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、函数图象的应用、画出具体函数图象 【分析】（1）设，整理，根据平移变换的规则可画出图象，进而由图可得其单调区间，再根据函数在区间上单调性可得值域； （2），根据在上是减函数，可得进而可得的取值范围. 【详解】(1)解　    （1）， 设，则. 根据平移变换的规则知，将函数的图象先向右平移3个单位长度， 再向下平移2个单位长度，即得函数的图象，如图所示. 由图象知，其单调递增区间是和. 由于函数在上单调递增， 当时，， 当时，， 所以其值域是. (2)因为在上是减函数， 所以即， 故的取值范围是 【例1.2.】 已知函数在区间上为增函数，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性求参数值、复合函数的单调性 【分析】先将函数进行变形，然后根据函数的单调增区间来确定实数a的取值范围. 【详解】因为， 结合复合函数的增减性，再根据在区间上为增函数， 可得在区间上为增函数， 那么，即. 故答案为：. 【例1.3.】 若函数在区间上的最大值为3，则实数（   ） A． B．1 C．3 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据函数的最值求参数 【分析】先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类研究即可. 【详解】函数， 当时，在上单调递减，最大值为； 当时，在上单调递增，最大值为，解得，不合题意， 所以实数. 故选：C 【例1.4.】 （多选）已知函数的图象过点，则（    ） A． B．是奇函数 C．在上单调递减 D．当时，函数的最大值为 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性、对勾函数求最值、求解析式中的参数值 【分析】对于选项A：将点代入函数中解出即可；对于选项B：利用函数的奇偶性验证即可; 对于选项C：结合对勾函数的单调性即可判断；对于选项D：借助基本不等式求解即可. 【详解】对于选项A：将点代入，可得，解得，故选项A错误； 对于选项B：由选项A得，其定义域为， 则关于原点对称，且，故是奇函数，故选项B正确； 对于选项C：由对勾函数的性质得在上单调递增，在上单调递减，故选项C错误； 对于选项D：当时，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 故当时，的最大值为，故选项D正确． 故选：BD. 【例1.5.】 若函数的值域是，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】抽象函数的值域、利用函数单调性求最值或值域 【分析】由给定条件求出的值域，换元借助对勾函数性质即可得解. 【详解】因为函数的值域是， 所以函数的值域是， 令，则， 由对勾函数的性质可知：函数在上单调递减，在上单调递增， 而，，， 则，即函数的值域是. 故选：B. 【例1.6.】 （多选）形如的函数，我们称之为“对勾函数”.“对勾函数”具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数在上的最大值比最小值大，则的值可以是（    ） A．4 B．12 C． D． 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】根据函数的最值求参数 【分析】依题意得到函数的单调性，再分、、三种情况讨论，分别求出函数的最值，即可得到方程，解得即可. 【详解】依题意可得在上单调递减，在上单调递增， 若，即时在上单调递增，所以， ， 所以，解得； 若，即时在上单调递减，所以， ， 所以，解得（舍去）； 当，即时在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 若且，即，， 所以，解得或（舍去）； 若且，即，， 所以，解得或（舍去）； 综上可得或. 故选：AD 【例1.7.】 已知函数是定义域上的奇函数，且. (1)判断并证明函数在定义域上的单调性； (2)令函数，若对，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案、证明见解析； (2). 【难度】0.4 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域、函数不等式恒成立问题、由奇偶性求参数 【分析】（1）由题设、列方程求参数值，并验证是否满足题设，再应用函数单调性定义及奇函数的对称性判断证明函数的单调性； （2）令，结合对勾函数、二次函数的性质求在上的最值，再将问题化为求参数范围. 【详解】（1）由函数为奇函数，且，可得， 则，解得，可得，定义域， 且，所以是奇函数，满足题意. 函数在、上单调递减，在、上单调递增， 证明如下：任取，且， 则， 因为，且，所以， 所以，所以，即， 所以函数在上单调递减； 任取， 则， 因为，所以，， 所以，即， 所以函数在上单调递增； 由对称性，在上单调递增，在上单调递减. （2）由题意，函数，令，可得， 由（1）知函数在上单调递减，在上单调递增，所以， 因为函数的对称轴方程为， 所以函数在上单调递增， 当时，取得最小值，； 当时，取得最大值，. 所以， 对任意的都有恒成立， 所以，即，解得， 又因为，所以，所以实数的取值范围是. 题型2：抽象函数的性质 方法提炼 (1) 抽象函数的单调性问题 抽象函数一般由方程(不等式)确定,解决这类函数的单调性问题通常有两种方法： ①“凑”，凑定义或凑已知条件,从而用定义或已知条件得出结论; a. 若给出的是“和型”抽象函数 ，判断符号时要变形为： 或. b. 若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或. ②“赋值”,给变量赋值要根据条件与结论的关系,有时可能要进行多次尝试。 (2) 抽象函数的奇偶性问题 判断抽象函数的奇偶性,需利用函数奇偶性的定义,找准方向,巧妙赋值,合理、灵活地变形配凑,找出与的关系。解决抽象函数问题,也可以用赋值法。至于如何赋值,要根据解题目标来确定,一般可通过赋值或0或1来达到解题目的。 (3) 抽象函数的最值（值域）问题 求函数最值的问题实质上就是求函数值域的问题,因此求函数值域的方法也可用来求函数最值,求函数最值的常用方法有:配方法、换元法、数形结合法、利用函数的单调性等方法。但因为抽象函数没有解析式,所以它的最值求解方法主要是利用题设中给出的条件和函数的性质。 (4) 解抽象函数不等式 ①所谓函数不等式是指不等式中含有函数的符号,而且函数没有具体解析式,求解它主要是利用函数的奇偶性和单调性进行变形使之成为不含函数符号的不等式,从而达到求解的目的。 ②有关函数奇偶性与单调性的综合问题,主要有比较大小、解不等式等,关键是利用奇、偶函数的对称性,将不在同一单调区间上的两个自变量的值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性来处理,使问题得以解决。 【例2.1.】 已知定义在上的奇函数满足，则 . 【答案】2026 【难度】0.65 【知识点】抽象函数的奇偶性 【分析】法一：由题意利用列举法写出函数值，整理等式可得递推公式，根据累加法，可得答案；法二：由题意利用列举法写出函数值，设出函数解析式，利用等式检验，可得答案. 【详解】法一： 由函数是上的奇函数，则， 由，令，则； 则 ， 由 . 法二： 由函数是上的奇函数，则， 由，令，则； 由，令，则； 设，则，，即，符合题意， 所以. 故答案为：. 【例2.2.】 定义在上的函数满足：，，则 .同时，又满足：，且时，，则 . 【答案】 1 / 【难度】0.65 【知识点】求函数值、函数基本性质的综合应用 【分析】令可得，利用进行迭代可求得，然后结合已知可得. 【详解】令，由得，即. 因为，所以，得， 所以，，， ，， 又，所以，，， ， 因为时，，且， 所以，故. 故答案为：1；. 【例2.3.】 已知是定义在上的奇函数，且对任意，都有，则（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、抽象函数的奇偶性 【分析】通过赋值法结合奇函数的性质即可求解. 【详解】令，则， 因为是定义在上的奇函数， 所以，则. 故选：C. 【例2.4.】 已知单调函数满足，且，定义域为． (1)求证：为奇函数； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)或． 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、函数奇偶性的定义与判断、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）先利用赋值法求得，再赋值得，利用奇函数的定义证明即可； （2）先判断为单调增函数，然后利用奇函数性质将不等式变为，最后利用单调性解不等式即可． 【详解】（1）函数的定义域为， 由，令，得，即． 令，得， 即，所以为奇函数． （2）由为单调函数，知为单调增函数． 由得． 因为为奇函数，所以． 因为为单调增函数，所以， 即，解得或． 【例2.5.】 是定义在R上的函数，对都有，且当时，，且. (1)求的值； (2)求在上的最值． 【答案】(1)， (2)，. 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、抽象函数的奇偶性、定义法判断或证明函数的单调性、求函数值 【分析】（1）令，即可求出，通过，可求出； （2）任取，即可证明函数单调递增，进而可求最大最小值. 【详解】（1）令，则，∴， ∵，∴. （2）令，则，∴， ∴，∴是奇函数， ∴，∴， 任取，， ∵，∴，∴，即， ∴在上为减函数， ∵在上为减函数，∴，. 【例2.6.】 （多选）已知函数的定义域是，对任意的实数、满足，且，当时，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．函数为上的增函数 D．函数为奇函数 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、抽象函数的奇偶性、求函数值 【分析】令，求出的值，可判断A选项；令，可求出的值，再令，可求出的值，可判断B选项；令，可知，再令，结合函数奇偶性的定义可判断D选项；推导出当时，，然后利用函数单调性的定义可判断C选项. 【详解】对于A选项，对任意的实数、满足， 令可得，解得，A对； 对于B选项，令，可得， 即，解得， 再令可得，B错； 对于D选项，令， 由可得， 即，且， 令，则，即， 所以，函数为奇函数，D对； 对于C选项，由题意可知，当时，， 当时，，即时，， 故当时，， 任取、且， 则， 即函数在上为增函数，C对. 故选：ACD. 【例2.7.】 （多选）已知函数满足，都有，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．的充要条件为 C．为减函数 D．若，则 【答案】AB 【难度】0.4 【知识点】充要条件的证明、求抽象函数的解析式、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】利用特值法构造、消元，得到函数（为常数）的形式，进而判断各选项的正确性. 【详解】令 ，方程变为， 令 ，则，∴， 结合原方程，令 得， 设，则， ∴ ，∴（其中 为常数）. 对于A：​由（因 ，故）， 若 ，则，得 ，此时，故A正确； 对于B：∵是严格增函数（斜率为1），故当且仅当，故B正确； 对于C：∵ 斜率为1，是增函数，非减函数，故C错误； ​对于D：∵，得 ，故 ，故D错误. ​故选：AB 【例2.8.】 已知函数的定义域为，对于任意实数，满足，且，则（   ） A．1014 B．2027 C．2028 D．4054 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】抽象函数的奇偶性 【分析】根据题中抽象函数的性质，对所求代数式化简即可得结果. 【详解】对于任意实数，满足，且， 当时，， 即. 故选：C 【例2.9.】 定义域为的函数满足. (1)求证：； (2)求证：为偶函数； (3)当时，，求证：在上单调递增，在上单调递减. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】抽象函数的奇偶性、定义法判断或证明函数的单调性、求函数值 【分析】（1）取计算出，再取即可； （2）取，再取计算出即可； （3）利用定义法证明函数在上的单调性，再结合函数奇偶性得出函数在上的单调性. 【详解】（1）取代入，得， 取代入， 得，故. （2）取代入，得， 取代入，所以， 所以，因为当时，，所以为偶函数. （3）设，则，由题设. 所以在上单调递增. 因为为偶函数，所以，而，所以在上单调递减. 【例2.10.】 （多选）已知定义域为的函数不是常值函数，当时，，而且对任意的有，则下列说法正确的有（    ） A． B．若，则 C．在上单调递减 D．若，则不等式的解集为 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、抽象函数的奇偶性、定义法判断或证明函数的单调性、求函数值 【分析】A令求出，再令确定具体值；B令即可；C利用单调性的定义证明；D令得出是偶函数，再将问题转化为，结合单调性即可求出. 【详解】对于A，令，则有，得或， 但当时，， 与不是常值函数矛盾，故，故A正确； 对于B，令，则， 则， 当，则，故， 故，故B正确； 对于C，任取，令，则， 则，故在上单调递增，故C错误； 对于D，令可得：， 故是偶函数， 又，于是原不等式可转化为， 又由在上单调递增可得：，解得：， 故不等式的解集为，故D正确. 故选：ABD. 【例2.11.】 （多选）已知函数的定义域为，则（    ） A． B． C．是偶函数 D．若对于任意的，有，则在上单调递增 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】比较函数值的大小关系、抽象函数的奇偶性、求函数值 【分析】令、代入关系式求值判断A、B；令得，令求得判断C；令得，结合已知有判断D. 【详解】A：令，对； B：令，则，对； C：令，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，对； D：令，则，所以， 又对于任意的，有，则所以， 所以在上不可能单调递增，错. 故选：ABC 【例2.12.】 (多选)已知函数的定义域为，且，若，则（    ） A． B． C．函数是奇函数 D．函数是增函数 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】求抽象函数的解析式、根据解析式直接判断函数的单调性、抽象函数的奇偶性 【分析】首先利用赋值法求的值，再令，，求，并代入求函数的解析式，并赋值判断BD. 【详解】令，，则，因为， 所以， 令，，得， 即，，所以，故A正确； 令，，所以，为奇函数，故C正确； 由，令，得，故B错误； 上式中令为，得，为增函数，故D正确. 故选：ACD 【例2.13.】 （多选）已知函数的定义域为，对任意，都有，且，则下列选项正确的是（    ） A． B．为减函数 C． D．为奇函数 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】抽象函数的奇偶性、定义法判断或证明函数的单调性、求函数值 【分析】利用特殊值，令，，或令，代入计算判断A；令，根据函数单调性的定义判断B；利用判断C；利用特殊值结合函数奇偶性的定义判断D. 【详解】选项A：解法一：令，，则由题意得， 将代入解得，A说法正确； 解法二：令，则由题意得，即，解得， 若，令，，则，得，与矛盾，故，A说法正确； 选项B：令，则由题意得， 将代入得，故不是减函数，B说法错误； （另解：也可以根据，直接判断不是减函数） 选项C：由B可知， 所以，C说法正确； 选项D：令，，则由题意可得， 将，代入解得， 令，则①， 由B可知，所以， 代入①式可得，即， 所以为奇函数，D说法正确； 故选：ACD 【例2.14.】 已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．为偶函数 D．为增函数 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】抽象函数的奇偶性、求函数值 【分析】通过赋值法，结合函数的奇偶性和单调性即可求解. 【详解】令，则， 则，故A错误； 令，则， 则，故B错误； 令， 则， 所以为偶函数，故C正确； 由，，可知不是增函数，D错误. 故选：C 【例2.15.】 （多选）已知函数的定义域为，且对任意的实数x，y，都有，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．为偶函数 C． D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】抽象函数的奇偶性、求函数值 【分析】利用赋值法可判断AC，利用赋值法与奇偶函数的定义可判断B，利用赋值法得到，再依次赋值可判断D，从而得解. 【详解】对于A，因为， 令，，则， 又，所以，故A错误； 对于B，因为函数的定义域为， 又令，得， 所以，所以为偶函数，故B正确； 对于C，令，则， 即，所以，故C正确； 对于D，令，得， 所以， 所以当时，得，当时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，故D正确. 故选：BCD. 【例2.16.】 已知定义在上的函数在区间上单调递减，且．，． (1)证明：； (2)判断函数的奇偶性，并给予证明； (3)当时，求不等式的解集． 【答案】(1)证明见解析； (2)函数为偶函数，证明见解析； (3). 【难度】0.4 【知识点】根据函数的单调性解不等式、函数奇偶性的定义与判断、函数不等式恒成立问题、由函数奇偶性解不等式 【分析】（1）令，得到，令，得，结合已知得，即可证； （2）取，观察等式与奇偶性的自变量互为相反数，即可证； （3）用赋值法，将转化为，从而把不等式转化为关于的一元二次不等式，利用的单调性和奇偶性可可解不等式． 【详解】（1）令，则有， 由，得，即，所以． 令，，则，即， 因为，所以，所以； （2）函数为偶函数，证明如下： 由（1）知，，令．则， 所以，所以， 所以函数为偶函数； （3）令，则， 所以，所以． 因为，所以， 所以，即，即， 又，，所以． 当时，在区间上单调递减， 由（2）知函数为偶函数，所以在上单调递增， 所以，所以，解得． 所以当时，不等式的解集为. 【例2.17.】 （多选）已知定义在上的函数满足，且当时，，则有（   ） A．是奇函数 B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、裂项相消法求和、函数奇偶性的应用、抽象函数的奇偶性 【分析】根据推导出函数的单调性和奇偶性，即可判断选项ABC；再根据，从而求得，进而判断选项D. 【详解】∵定义在上的函数满足， ∴令得，即； 令得．∴是奇函数，故选项A正确； ，故选项B错误； 同理，. 当时，，，. ∵当时，，， ∴函数在上单调递增. ∵，，即，故选项C正确； ， ， ∵，，， 故选项D正确. 故选：ACD. 题型3：二次函数闭区间上的最值问题 · 定轴定区间 方法提炼 解决这类问题时,要画出函数的图像,根据给定的区间截取符合要求的部分,根据图像写出最大值和最小值。经常用到的结论:当二次函数图像开口向上时,自变量距离对称轴越远,对应的函数值越大;当图像开口向下时,则相反。 【例3.1.】 求函数在下列区间上的最小值. (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3)无最小值 【难度】0.85 【知识点】求二次函数的值域或最值 【分析】（1）（2）（3）可通过讨论函数图象的对称轴和定义域的关系，结合函数的单调性，可求出结果； 【详解】（1）易知的图象开口向上，且关于对称， 所以在上单调递减，故. （2）因为在上单调递减，在上单调递增， 所以. （3）因为在上单调递增，且取不到，所以无最小值. 【例3.2.】 求下列函数的值域： (1)； (2)（）． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】求二次函数的值域或最值 【分析】（1）用配方法求解即可； （2）二次函数的值域问题（以及在某个区间内的值域问题），通常可以选用配方法，结合函数图象，求得对应函数的值域． 【详解】（1）因为，所以． （2），由于，画出对应函数图象， 如图，可知．    · 动轴定区间 方法提炼 给定的区间不变,对称轴中含有参数,需分类讨论对称轴与区间的位置关系（①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部）,并结合像对不同的情况作出解答。注意是否需要讨论开口方向。 【例3.3.】 已知函数，求当时，的最小值． 【答案】时，的最小值为3；时，的最小值为；时，的最小值为. 【难度】0.85 【知识点】求二次函数的值域或最值 【分析】根据二次函数的性质分别讨论抛物线的对称轴在的左侧、中间、右侧时的最小值. 【详解】因为函数，对称轴为. 当时，即时，因为抛物线在上单调递增， 此时当时，取最小值为3； 当时，即时，因为抛物线在上单调递减， 此时当时，取最小值为； 当时，即时， 因为抛物线在上单调递减，在上单调递增， 此时当时，取最小值为. 综上：时，的最小值为3；时，的最小值为；时，的最小值为. 【例3.4.】 若函数的最大值为，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】通过讨论，，确定函数单调性，确定最大值点，即可求解. 【详解】函数的对称轴为，图象开口向下. 当时，函数在区间是减函数， ，由，得. 当时，函数在区间是增函数，在上是减函数， . 由，计算出或， ， 两个值都不满足. 当时，函数在区间是增函数， ， . 综上可知或. 故选：C. 【例3.5.】 当时，函数的最小值是，最大值是0，则m、n的值分别是 ． 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】对二次函数的对称轴与所给区间进行讨论，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】，对称轴为，开口向下， 当时，即，此时函数在单调递增，故时，函数取最小值， ，当时，函数取最大值，解得， 当时，即，此时函数在单调递减，故时，函数取最大值， ，当时，函数取最小值，解得， 当时，即，此时函数在单调递增，在上单调递减， 故时，函数取最大值，故时，函数取最小值， 解得或，均不符合题意，舍去， 当时，即，此时函数在单调递增，在上单调递减， 故时，函数取最大值，当时，函数取最小值， 解得或，均不符合题意，舍去， 综上可知：或 故答案为：或 【例3.6.】 已知函数，当时，的最大值为6，则实数 . 【答案】0或1 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】根据二次函数的性质，求得其对称轴，由对称轴与区间中点的位置进行分类讨论，建立方程，可得答案. 【详解】由二次函数，则其对称轴为直线， 当时，的最大值为， 分解因式可得，解得或，故取； 当时，的最大值为， 分解因式可得，解得或，故取. 综上所述，或. 故答案为：或. · 定轴动区间 方法提炼 对称轴是固定不变的,而区间中含有参数,若对称轴在区间的左侧或右侧,则二次函数在区间上是单调的,可直接由单调性求出最大值和最小值；若对称轴在所给区间内,则在对称轴两侧函数单调性相反,这时可在顶点处(对称轴)求出一个最值(由开口方向确定),离对称轴较远的一个点处求得另一个最值。 【例3.7.】 已知函数，求在区间上的最大值． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的值域或最值 【分析】由分类讨论法解决二次函数定轴动区间最大值问题即可. 【详解】． 当，即时，； 当，即时，； 当时，． 综上所述，． 【例3.8.】 已知函数，在上的最大值为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、判断二次函数的单调性和求解单调区间、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】由区间，考虑函数的第二个分段和第三个分段，再根据单调区间分，和三种情况讨论． 【详解】由已知， 函数在上单调递减，在和上单调递增， 当时，在上单调递增，即函数的最大值为，符合； 当时，在上单调递增，在上单调递减，即函数的最大值为，不符合； 当时，在和上单调递增，在上单调递减， 此时的最大值为，则，即，解得． 综上所述，. 故选：D 【例3.9.】 若函数在区间上的值域为，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】由题意有最小值，当时，解得或，根据函数的单调性可得的最大值，的最小值，从而得解． 【详解】因为函数， 所以当时，有最小值， 当时，，解得或， 又因为当时，单调递减，当时，单调递增， 所以的最大值为5，的最小值为， 所以的最大值为． 故选：D. 【例3.10.】 （多选）若函数的定义域为，最大值、最小值分别为，，则实数的值可能为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】根据已知条件，结合二次函数的性质求参数． 【详解】由，得函数的对称轴为， 当时，函数取的最小值为， 当或时，函数值为， 函数的定义域为，值域为， 所以，实数的值可能为． 故选：ABC 【强化训练】 1. 已知，当时，的最小值是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、求二次函数的值域或最值 【分析】分、分别求解即可. 【详解】，，的最小值是， 若，即时， 则，解得，符合题意； 若，即时， ，，不合题意舍去. 故. 故选：D. 2. 已知函数在区间上的最大值为5，则（    ） A．2 B．3 C．15 D．3或15 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据函数的最值求参数 【分析】先将函数进行分离常数的变形，然后根据反比例函数的性质分析其单调性，再结合函数在给定区间上的最大值列出关于的方程，进而求解的值. 【详解】．因为，所以函数在上单调递减，所以函数在区间上的最大值为，解得． 故选：B. 3. 已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．为增函数 D．为奇函数 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求抽象函数的解析式、根据解析式直接判断函数的单调性、抽象函数的奇偶性 【分析】利用赋值法求出、及的值，从而判断AB；令，结合的值，可得，从而判断CD. 【详解】对于A，令，则， 又因为，所以， 令，则，解得，故A错误； 对于B，令，则，又， 解得，故B错误； 对于C，令，则有， 又因为，所以， 所以函数为单调递增函数，故C正确； 对于D，由C可知，为非奇非偶函数，故D错误. 故选：C. 4. 已知函数的定义域为R，对任意实数满足．且，当时，，则下列结论不正确的是（ ） A． B． C．为增函数 D．为奇函数 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】抽象函数的奇偶性、定义法判断或证明函数的单调性、求函数值 【分析】先利用赋值值法可求解A、B选项，再利用抽象函数的关系是结合函数的奇偶性和单调性的定义可求解C、D. 【详解】函数的定义域为R，对任意实数满足， 令，可得，即有，故A正确；由，可得，，即，可得，故B错误；令，则，即，则函数为奇函数，故D正确； 令，可得即，当时，，即， 设，即，即有， 则在上递增，故C正确． 故选：B． 5. (多选)已知函数的定义域为，，则（    ） A． B． C．为减函数 D．为奇函数 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、抽象函数的奇偶性、求函数值 【分析】由条件等式取，可求，取，可求，取，求，判断A，取，判断B，结合减函数定义及的大小判断C，取，结合奇函数定义判断D. 【详解】因为，， 令，可得，则， 令，可得，则. 对于A选项：令，可得，所以A正确； 对于B选项：令可得，所以B正确； 对于C选项：因为、，所以不可能为上减函数，故C错误； 对于D选项：函数的定义域为，定义域关于原点对称， 令，可得， 所以，所以为奇函数，所以D正确. 故选：ABD. 6. （多选）设函数，对任意的非零实数x，y，恒有，且对任意的，有，则（   ） A． B．为偶函数 C．单调递减 D．的解集为 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】根据函数的单调性解不等式、定义法判断或证明函数的单调性、抽象函数的奇偶性 【分析】令 可判断；令 可判断；由结合单调性的定义判断C；利用函数的单调性与奇偶性转化原不等式即可判断D. 【详解】项，令 ，则 ，所以 ，故正确； 项，令，则 ，所以 令 ，则 ，所以，所以为偶函数，故正确； C项，令 ，则，所以 ， ，即， 所以在上单调递减， 又因为为偶函数，所以在 上单调递增， 故在上单调递增，在上单调递减，故C不正确； 项， ，即， 所以 ，所以或，解得或， 所以的解集为，故正确； 故选：ABD 7. 已知定义域为的函数满足：，，且，则（    ） A． B． C．是奇函数 D．， 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】抽象函数的奇偶性、求函数值 【分析】利用赋值法结合题干信息逐项分析求解. 【详解】对A，令，则， 由，则，即，所以，故A错误； 对B，令，则，因为， 所以，解得，故B错误； 对于C，令，则， 又，所以，则， 当时，，不满足奇函数的定义， 所以不是奇函数，故C错误； 对D，由C选项知，，即， 所以，，故D正确. 故选：D 8. （多选）形如的函数，我们称之为“对勾函数”.“对勾函数”具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增.已知函数在区间上的最大值比最小值大，则实数a的值可以是（   ） A．2 B．14 C． D． 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】根据函数的最值求参数、对勾函数求最值 【分析】根据题设“对勾函数”的性质讨论参数a的范围，结合最值之差列方程求参数，即可得答案. 【详解】由题意，若时，有，可得，满足； 若时，有： ，则，可得，不满足； ，则，可得（舍）或， 所以，此时，满足； 若时，有，可得，不满足； 综上，或. 故选：AC 9. （多选）已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（    ） A． B．为奇函数 C．为减函数 D．当时， 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、比较函数值的大小关系、函数奇偶性的定义与判断、求函数值 【分析】A令；B令，再令；C利用单调性定义证明；D先求出，再根据抽象函数关系式化简，求证即可. 【详解】对于A，令，则，故A正确； 对于B，令，则，∴， 令，则， ∴，为奇函数，故B正确； 对于C，令，则 ∵， ∴，即， 故为增函数，故C不正确； 对于D，令，则，∴， ∵，∴， 又奇函数为增函数，∴， ， 即，故D正确. 故选：ABD. 10. 函数在区间上的值域为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】利用分离常数法，结合函数的单调性求得正确答案. 【详解】， 则在上单调递增，且， 所以在区间的值域为. 故答案为： 11. 已知函数在区间上的值域为，则的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】根据函数解析式作出函数图象，求方程的解，结合图象确定的范围. 【详解】因为， 又，， 所以函数的图象为开口向下，对称轴为，过点的抛物线， 作函数的图象如下： 结合对称性可得， 因为函数在区间上的值域为， 所以， 所以的取值范围是. 故答案为：. 12. 若对勾函数 对于任意的，都有，则实数的最大值为 ． 【答案】/0.75 【难度】0.65 【知识点】函数不等式恒成立问题 【分析】由可得，分和两种情况讨论即可. 【详解】因为，则， 所以，即， 当，即，恒成立， 因为，则，所以． 当，即或时，恒成立， 因为， 所以． 综上，， 所以实数的最大值为． 故答案为： 13. 已知函数，其中. (1)若在区间上具有单调性，求的取值范围； (2)当时，函数的最大值为，求实数的值. 【答案】(1) (2)或. 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】（1）利用二次函数的开口方向和对称轴得到答案； （2）根据对称轴和区间的关系，分三种情况讨论，由最大值是得到的值. 【详解】（1）因为二次函数的图象开口向下，对称轴为，且在上具有单调性， 所以，当在上单调递减时，；当在上单调递增时，. 所以，实数的取值范围是． （2）二次函数的图象开口向下，对称轴为， ①当时，在上单调递减，此时， 因为当时，函数的最大值为，即， 解得或，所以； ②当时，在上单调递增，在上单调递减， 此时，无解，所以不存在， ③当时，在上单调递增， 此时， 因为当时，函数的最大值为， 所以，解得或，所以 综上所述，或. 14. （1）求二次函数在上的最大值和最小值，并求对应的x的值． （2）当时，设函数的最小值为，试求关于的表达式． 【答案】（1），；当，； （2） 【难度】0.65 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、求二次函数的值域或最值 【分析】（1）把二次函数解析式配方成顶点式，结合二次函数的性质即可得到答案； （2）确定二次函数图象的对称轴，分类讨论对称轴和所给区间的位置关系，结合二次函数性质，即可求得答案． 【详解】（1）， 因为，所以抛物线开口方向向上，对称轴是， 所以当时，函数取得最小值为 又因，， 故当时，函数值取得最大值为． 综上，当时，；当时，． （2）因函数的图象对称轴为直线， 而， ① 当时，函数在上递增， 则当时，函数的最小值； ② 当时，即时，函数在上递减，在上递增， 则当时，函数的最小值； ③ 当时，即时，函数在上递减， 则当时，函数的最小值． 综上，可得：． 15. 已知定义在上的函数满足：. (1)判断的奇偶性并证明； (2)若，求； (3)若，，判断并证明的单调性. 【答案】(1)是奇函数，证明见解析 (2) (3)在上单调递增，证明见解析 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、抽象函数的奇偶性、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）令求得，再令，则奇偶性定义得结论； （2）令求得，然后由奇偶性求得； （3）记，在上任取，作差，其中化为，再利用已知条件变形后即可根据定义证单调性． 【详解】（1）是奇函数，证明如下： 因为， 令，得到， 令，得到，即， 所以是奇函数； （2）令，得到， 由（1）知是奇函数，所以； （3）在上单调递增，证明如下： 在上任取，令， 则 ， 又因为，，而，所以， 即，得到，所以在上单调递增. 16. 定义在上的函数满足：①对任意都有；②当，. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并说明理由； (3)若，试求的值. 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2)在上单调递减，理由见解析 (3)1 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、抽象函数的奇偶性、函数新定义 【分析】（1）令得，令得，所以是奇函数； （2）利用是奇函数，得到时，，根据单调性的定义，得到在上单调递减； （3）由奇函数结合，得，再由，即可求得答案. 【详解】（1）函数为奇函数.理由如下： 定义域，关于原点对称， 令，则，得， 令，则， 所以，则是上的奇函数 （2）在上单调递减，理由如下： 设， 因为，，，所以，， 所以，即， 因此在上单调递减. （3）， 因为， 所以. 17. 已知函数对任意的，都有，且当时，． (1)求证：是上的增函数； (2)若，解不等式． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【难度】0.4 【知识点】根据函数的单调性解不等式、定义法判断或证明函数的单调性、求函数值 【分析】（1）由已知条件，结合函数单调性的定义证明； （2）利用赋值法求得，再利用（1）所得函数单调性解不等式. 【详解】（1）设，且，则，即， ∴， ∴， ∴是上的增函数； （2）∵， 取，则， 于是等价于，即， 由（1）知是上的增函数， ∴，解得， ∴原不等式的解集为. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $