周末小金卷6-【周末小金卷】2025-2026学年新教材七年级上册数学(鲁教版 五四学制2024)

(2)因为在△ABC中，BC=20,AD=24, 所以5m=7BC·AD=7×20×24=240。 17.解：(1)因为∠DAE=∠ACB=90°，AB⊥DE, 图1 图2 所以∠BAC+∠BAD=90°， 则四边形DEBF为长方形，所以BF=DE=8, ∠ADE+∠BAD=90°。 DF=BE=2。所以AF=AD-DF=6。 所以∠BAC=∠ADE。 由勾股定理，得AB2=AF2+BF2=100, ∠ACB=∠DAE, AC2=64+CD2, 在△ABC和△DEA中 ∠BAC=∠EDA, BC2=(CD+8)2+4=CD2+16CD+64+4。 LAB=DE, 因为AB2+AC2=BC2, 所以△ABC≌△DEA(AAS). 即100+64+CD2=CD2+16CD+64+4, 所以AC=AD,BC=AE。 所以16CD=96,解得CD=6; 又因为AC=AE+CE, 如图2，作BH⊥AD于点H。 所以AD=AE+CE=BC+CE。 同理可得，得AB2=A+B2=100, (2)因为BC=a,AC=b,AB=C,S四边形ADBE= AC2=64+CD2, Sae+Saae=zDE·AF+2DE·BF BC2=(8-CD)2+4=CD2-16CD+64+4, 当∠ABC=90°时，AC2=AB2+BC2, DE·AB=, 即64+CD2=100+CD2-16CD+64+4。 所以16CD=104,解得CD-号 S四边形ADBE=S△ABE+S△ABD 22+28, 12 所以a2+b2=c2。 当∠ACB=90°时，AB2=AC2+BC2, 即100=64+CD2+CD2-16CD+64+4, 18.小斗提示：把非直角三角形通过作辅助线转化为直 所以(CD-4)2=0,解得CD=4。 角三角形是利用勾股定理的关键。 餘上，CD的长为6成4威。 解：(1)因为52+122=25+144=169， 132=169,所以52+122=132。 15.解：设PA=PB=x,则PC=5-x。 所以这个三角形是直角三角形。 根据勾股定理，得AC2+PC2=PA, 所以2+(5-)=，解得x-碧。 所以三角形的面积为2×5×12=30(m)。 (2)如图，过点A作AD⊥BC于点D。 所以PA的长为器。 16.解：(1)因为在△ABC中，BC=20,AD是边 BC上的中线， 所以BD=28C=7×20=10。 因为在△ABD中，AB=26,BD=10,AD=24, 设BD=xm,则CD=(14-x)m。 所以102+242=262，即BD2+AD2=AB2。 在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2」 所以△ABD是直角三角形。所以AD⊥BC。 在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2, 因为AD是边BC上的中线， 所以AB2-BD2=AC2-CD2, 所以△ABC是等腰三角形。 即152-x2=132-(14-x)2,解得x=9。 所以AC=AB=26。 由勾股定理，得AD2=AB2-BD2=152-92 122,所以AD=12m。 17.解：由题意知，∠AEB=90°， 1 所以Saac=2×14×12=84(m2)。 在Rt△ABE中，由勾股定理， 得AE2=AB2-BE2=1.32-1.22=0.52, 所以该劳动实验基地的面积为84m。 所以AE=0.5m。 周末小金卷六 因为DE=BC=2m, 1.A2.C3.C4.B5.D6.D7.B 所以AD=DE+AE=2+0.5=2.5(m)。 8.C【解析】如图，把这个台阶示意 B 所以点A到地面CD的距离AD为2.5m。 40 图展开为平面图形。 18.解：如图，作点A关于CD的 在Rt△ACB中， 20 对称点A',连接A'B与CD 因为AC=50cm,BC=120cm, 40 交于点M,过点A'作A'K⊥ 根据勾股定理，得AB=130cm, 20 50 BD交BD的延长线于点K, 所以一只蚂蚁沿台阶从点A出发 则A'C=AC=6千米， 到，点B,其爬行的最短线路AB的长度是 AM=A'M。 130cm。 所以AM+BM=A'M+BM≥A'B, 9.不能10.511.14.512.5013.1.5 即AM+BM的最小值为A'B的长，此时铺设 14.8.1【解析】如图，过点P作PEL 水管的费用最节省。 旗杆于点E,则PE=1.6米。 因为BD⊥CD,AA'⊥CD,BD⊥A'K, 设绳子的长为x米， 绳 所以∠A'CD=∠CDK=∠A'KB=90°。 则AE=（x+1.6-1.8)米， 由平行线间距离处处相等， 在Rt△APE中，由勾股定理，得 1.6 得DK=A'C=6千米，A'K=CD=10千米， 1.62+(x-0.2)2=x2, 所以BK=BD+DK=24千米。 解得x=6.5, 在直角三角形A'BK中， 所以x+1.6=6.5+1.6=8.1, 由勾股定理，得A'B2=102+242=262, 即该旗杆的高度为8.1米。 所以A'B=26千米。 15.解：因为AB=DC=8m,AD=BC=6m, 所以此时总费用为26×3=78（万元）。 所以AB2+BC2=82+62=64+36=100。 周未小金卷七 因为AC2=92=81,所以AB2+BC2≠AC2。 1.C2.D3.C4.B5.D6.C7.A8.B 所以∠ABC≠90°。 9.>10.π（答案不唯一）11.312.2 所以该农民挖的不合格。 13.2(答案不唯一)14.±2 小斗总结 15.解：根据勾股定理，得AB=√5，AC=√8， 本题是数学问题在生活中的实际应用，所以同学 AD=√13，AE=√20，AF=√17。 们要把实际问题转化成数学问题来解决，运用直 所以长度是无理数的线段有AB,AC,AD! 角三角形的判定条件，验证它是否为直角三角形。 AE,AF。 16.解：由题意知，BC=5米，AC=10米， 16.小斗分析：由算术平方根和立方根的定义可得a-1=2 BC+AC=BD+AD=15米。 且2a-b-1=3,求解即可得到a,b的值。将a,b的 设这棵树高为x米，则BD=(x-5)米， AD=[15-(x-5)]米。 值代入A,B,由算术平方根和立方根的定义可得A, 在Rt△ACD中，由勾股定理， B的值。 得x2+102=[15-(x-5)]2, 解：由算术平方根和立方根的定义可得 解得x=7.5。 a-1=2且2a-b-1=3,解得a=3,b=2。 答：这棵树高7.5米。 所以A=√3+6=√9=3， ★周末小金卷·数学·七年级上册 ·25·周末小金卷六 (考试范围：3.3) （时间：45分钟满分：100分) 题序 二 三 总分 得分 孤 一、选择题（每小题4分，共32分） 1.新考法〔数学文化〕《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”的问题：今有竹高一丈， 末折抵地，去本三尺，问折者高几何？题意是：如图，一根竹子原高1丈(1丈= 10尺)，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？则 折断处离地面的高度为 ( ) A.4.55尺 B.5.45尺 C.4.2尺 D.5.8尺 D 拟 B 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 2.新考法〔数学文化〕“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐。 问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题。如图，AC=5,DC=1, BD=BA,则BC的长度为 A.8 B.10 C.12 D.13 3.教改题如图，一只蜗牛从圆柱的点A出发，绕圆柱侧面沿最短路线爬行到了BC的 中点E处，若沿AD将圆柱侧面剪开并展开，所得侧面展开示意图是 ( D C D A. B. D 带 A B 4.如图，在一块四边形ABCD空地中植草皮，测得AB=3米，BC=4米，AD=13米 CD=12米，且∠ABC=90°。若每平方米草皮需要200元，则需要 A.16800元 B.7200元 C.5100元 D.无法确定 5.如图是一个跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直(OC⊥AC于点C),跷跷板的 一头A着地时∠OAC=30°，点A,C,B'在同一水平线上，若OC=1,则AC2为 A.1.5 B.2 拼 C.2.5 D.3 6.如图是一个可调节平板支架，已知平板宽度AB为16cm,支架脚BC的长度为 12cm,当∠ABC=90时，可测得AC=20cm,保持此时△ABC的形状不变，当CB 平分∠ACD时，点B到CD的距离是 () A.8 cm B.8.6 cm C.9 cm D.9.6 cm B 40 20 50 第6题图 第7题图 第8题图 7.如图是一个盖子圆心处插有吸管的圆柱形水杯，水杯底面直径为10cm,高度为 12cm,吸管长为25cm(底端在杯子底上)，露在水杯外面的吸管长度为acm,则 a最小为 () A.11 B.12 C.13 D.14 8.如图是一个台阶示意图，每一层台阶的高都是20cm,宽都是50cm,一只蚂蚁沿 台阶从点A出发到点B,其爬行的最短线路的长度是 ( A.100 cm B.120 cm C.130 cm D.150 cm 二、填空题（每小题4分，共24分） 9.用三根长度分别为3cm,4cm,6cm的木棍 围成一个直角三角形。（填 “能”或者“不能”) 10.新情境〔实际情境]如图，一台笔记本电脑平放在桌面上，屏幕宽BC为25cm,当 电脑张角为∠ABC时，顶部边缘C处离桌面的距离CE为20c,调整电脑的张 角，当张角为∠ABD(点C与点D为笔记本顶部边缘同一点)时，顶部边缘D处 到桌面的距离DF为15cm,则E处与F处之间的距离EF长为 cmo 77777 第10题图 第11题图 11.新考法〔数学文化〕在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏 板一尺离地。送行二步与人齐，五尺人高曾记。仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉。 良工高士素好奇，算出索长有几。”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静 止时，踏板离地距离AB长度为1尺。将它往前水平推送10尺，即A'C=10尺， 则此时秋千的踏板离地距离A'D就和身高5尺的人一样高。若运动过程中秋 千的绳索始终拉得很直，则绳索OA长为 尺。 ★周末小金卷·数学·七年级上册 。9 12.一艘船由A港沿北偏东60方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航 行40km至C港，则A,C两港之间的距离为 kmo 13.你听说过亡羊补牢的故事吗？如图，为了防止羊的再次丢失，小明爸爸要在高 0.9m,宽1.2m的栅栏门的相对角顶点间加一个加固木板，这条木板需长 m 绳 绳 0.9m 1.6 181.6 —1.2m 图1 图2 第13题图 第14题图 14.学习了勾股定理之后，一天小明看着操场上的旗杆陷入了深思，有没有办法利 用勾股定理测量旗杆的高度呢？通过观察，小明发现系在旗杆顶端的绳子垂下 来距离地面1.6米，如图1，于是他将绳子拉开一段距离至点P,测得绳端到旗 杆的水平距离为1.6米，到地面的垂直距离为1.8米，如图2，则该旗杆的高度 为 米。 三、解答题（共44分） 15.(10分)新素养〔运算能力〕如图是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长 方形，他在挖完后测量了一下，发现AB=DC=8m,AD=BC=6m,AC=9m,请 你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？ 16.(10分)在一棵树的5米高的B处有两只猴子。一只猴子爬下树跑到离树10米 的池塘的A处，另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算。若两只 猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米？ ·10· ★周末小金卷·数学·七年级上册 17.（12分)新情境〔实际情境〕如图1是一架移动式小吊机工作示意图，吊机工作时 是利用吊臂的长度和倾斜角的变化改变起升高度和工作半径。在某次起重作 业中，学习兴趣小组通过测量和咨询工人师傅了解到如下信息：如图2，起重臂 AB=1.3m,点B到地面CD的距离BC=DE=2m,点B到AD的距离BE= 1.2m,BE⊥AD于点E,BC⊥CD,AD⊥CD,求点A到地面CD的距离AD。 图1 图2 18.（12分)新情境〔实际情境〕如图，A,B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河 的距离为AC=6千米，BD=18千米，且CD=10千米，现在要在河边建一自来水 厂，向A,B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元，请你在河流CD上选择 自来水厂的位置M,使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少。 A