周末小金卷5-【周末小金卷】2025-2026学年新教材七年级上册数学(鲁教版 五四学制2024)

周末小金卷五 (考试范围：3.1~3.2) （时间：45分钟 满分：100分) 题序 二 三 总分 得分 孤 一、选择题（每小题4分，共32分） 1.下列各组数中，是勾股数的是 ( A.1,2,3 B.5,12,13 C.0.3,0.4,0.5 D.4,6,8 2.一个直角三角形，若三边的平方和为200，则斜边长为 ( A.8 B.9 C.10 D.11 3.新素养〔运算能力〕四根小木棒的长度分别为3,4,5,6，小星从中拿出三根为边摆 三角形，摆出的三角形是直角三角形的是 () A.3,4,5 B.3,4,6 C.3,5,6 D.4,5,6 毁 4.散改题如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AC,BC为边作正方形。若AB= 5,则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为 ( ) A.25 B.36 C.49 D.64 图1 图2 第4题图 第5题图 第7题图 5.新考法〔数学文化〕如图1是我国古代的“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角 带 形拼成。若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角 三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为 ( A.24 B.36 C.40 D.44 6.如果正整数a,b,c满足等式a2+b2=c2,那么正整数a,b,c叫作勾股数。某同学 将探究勾股数的过程列成表格，观察表中每列数的规律可知，x+y的值为 ) e 3 8 15 24 … b 4 6 8 10 16 5 10 17 26 y A.67 B.98 C.128 D.73 7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,连 接CD。若△ABC的周长为12，BC=3,则△BCD的周长为 () A.12 B.10 C.8 D.6 8.到目前为止勾股定理的证明方法已约有500种，这些证法融几何知识与代数知 识于一体，完美地体现了数形结合的魅力。如图所示可以用来验证勾股定理 的有 ( a B b b Ea B 图1 图2 图3 图4 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题（每小题4分，共24分） 9.如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4m,高3m,长20m,棚的斜面用长方形塑 料布遮盖，不计墙的厚度，则阳光透过的最大面积为 m2。 A C4 mB 20 m ■ D B 第9题图 第10题图 10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D,AC=4,AD=5,则 点D到AB的距离为 11.已知等腰三角形ABC的底边BC=5,D是腰AB上一点，且CD=4,BD=3,则AD 的长为 主题情境勾股定理的妙用请完成第12~13题 勾股定理在四边形和直角三角形的面积中有着不可替代的作用，在问题解决 中有许多妙用。请在下面的问题中体会吧！ 12.小明发现，在四边形中，如果有两个不相邻的角都是直角，那么直角的两边存在 一定的数量关系。如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠CDA=90°，分别以四边 形ABCD的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为S1,S2,S3,S4,若S1= 8,S2=11,S3=15,则S4的值是 S2\B D S4 ★周末小金卷·数学·七年级上册 。7 13.新考法〔数学文化〕如图1，直角三角形的两个锐角分别是40°和50°，其三边上分 别有一个正方形。执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为40°和 50°的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形。 图2是1次操作后的图形。图3是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把 它称为“毕达哥拉斯树”。若图1中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图 形中所有正方形的面积和为 图1 图2 图3 第13题图 第14题图 14.如图，C为直线1上的一个动点，AD⊥1于点D,BE⊥1于点E,点E在点D右侧， 并且点A,B在直线l同侧，AD=DE=8,BE=2,当CD长为 时，△ABC 为直角三角形。 三、解答题（共44分） 15.(10分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°。在边BC上有一点P,连接PA,且PA= PB,若AC=2,BC=5,求PA的长。 16.（10分)如图，在△ABC中，AB=26,BC=20,边BC上的中线AD=24,求： (1)AC的长度； (2)△ABC的面积。 8 ★周未小金卷·数学·七年级上册 17.（(12分)新素养〔推理能力〕如图，E为AC上一点，AC⊥BC,AC⊥AD,AB=DE, AB,DE交于点F,且AB⊥DE。 (1)试说明：BC+CE=AD; (2)连接BD,BE,若设BC=a,AC=b,AB=c,请利用此图验证勾股定理。 D 数 18.(12分)新素养〔时事热点〕为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意 见》的方针政策，帮助学生更好地理解劳动的价值与意义，培养学生的劳动情 感、劳动能力和劳动品质，某学校给八(1)班、八(2)班各分一块三角形形状的 劳动试验基地。 (1)当班主任测量出八(1)班的劳动试验基地的三边长分别为5m,12m,13m 时，小明很快就给出这块劳动试验基地的面积。请你写出完整的求解过程； (2)如图所示，八(2)班的劳动实验基地的三边长分别为AB=15m,BC=14m, AC=13m,请帮助他们求出该劳动实验基地的面积。 ǒ此时△BAC的周长最小，OD=OA=OE, 所以∠BOD=∠BOA,∠AOC=∠EOC。 所以∠D0E=2∠B0C=60°。 所以△DOE是等边三角形。 所以DE=OD=0A=4。 因为AB=BD,AC=CE, 所以△BAC的周长=AB+BC+AC =BD+BC+CE=DE=4, 即将军所走的总路程最短为4。 9.100°10.311.24°12.11 13.6小斗提示：阴影部分的周长等于等边三角形的周长。 【解析】设CE与AB交于点F,CD与AB交 于点H,如图所示。 B 因为△ABC是等边三角形，且边长为2cm, 所以AB=BC=AC=2cm。 由折叠的性质，得CE=CE,C'D=CD, 所以AE+EF+C'F=AE+C'E=AC=2cm, BD+DH+C'H=BD+C'D=BC=2 cmo 又因为AF+FH+BH=AB=2cm, 所以图中三个阴影部分的周长之和为6cm。 14.40或70或100°小斗提示：因为点D是不确定 的，所以要考虑各种情况。 【解析】因为∠A=20°，AB=AC, 所以∠ABC=80°。 因为BP平分∠ABC,所以∠CBD=40°。 当BC=CD时，如图1，∠CBD=∠BDC=40°； 当BD=BC时，如图2，∠BDC=70°； 当BD=CD时，如图3，∠BDC=100°。 综上，∠BDC的度数为40°或70°或100°。 图1 图2 图3 ·24· ★周未小金卷·数学·七年级上册 15.解：因为∠ACB=90°，CD⊥AB, 所以∠CBF+∠CFB=∠DBE+∠DEB=9O°。 因为BF平分∠ABC, 所以∠CBF=∠DBE。所以∠CFB=∠DEB。 又因为∠CEF=∠DEB, 所以∠CFB=∠CEF。所以CE=CF。 16.解：(1)8cm【解析】因为l1是边AB的垂直 平分线， 所以AD=BD。 因为12是边AC的垂直平分线， 所以AE=CE。 因为△ADE的周长为8cm, 所以BC=BD+DE+CE=AD+DE+AE= 8cm。 (2)点O在BC的垂直平分线上。 理由：因为U1是边AB的垂直平分线， 所以OA=OB。 因为2是边AC的垂直平分线， 所以OA=OC。所以OB=OC。 所以点O在BC的垂直平分线上。 (3)因为∠BAC=120°， 所以∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=180°- 120°=60°。 因为AD=BD,AE=CE, 所以∠BAD=∠ABC,∠CAE=∠ACB。 所以∠DAE=∠BAC-∠BAD-∠CAE=120° 60°=60°。 17.小斗分析：(1)过点P作PF⊥BD于点F,PG⊥AC于 点G,PH⊥BE于点H,根据角平分线的性质得到PF =PG=PH,再根据角平分线的判定说明。(2)根据 三角形面积公式求出PG,再根据三角形面积公式计 算得到答案。 解：(1)如图，过点P作PF⊥BD于点F, PG⊥AC于点G,PH⊥BE于点H。 因为AP平分∠DAC,PF⊥BD,PG⊥AC, 所以PF=PG。 因为CP平分∠ACE,PH⊥BE,PG⊥AC, 所以PH=PG。所以PF=PH。 因为PF⊥BD,PH⊥BE, 所以BP平分∠ABC。 周末小金卷五 1.B2.C3.A4.A5.D6.C7.C 8.C【解析】如图1，延长AG,ED交于点F。 因为AND=2C,， 12 B CH E S△ABD=Sg边形ACE-S△ABC-S△BDE-S△ADF (2)因为AC=5,△APC的面积是10， 1 1 =6(a+b)-2b- >ab-(b-a)(b+a)》 所以号×5PG=10。所以PG=4。 所以PF=PH=PG=4。 1 又因为△ABC的面积是15， =a+-46-2b-+ 所以2AB·PF+2BC·PH=25。 +, 12 所以AB+BC=12.5。 所以△ABC的周长=AB+BC+AC=12.5+ 所以2=702+26，即2=8+。 5=17.5。 故题图1符合题意； 18.解：(1)AD是Rt△ABC的“直角等腰线”。 理由如下： 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°， c- 所以∠CAB=67.5°。 C a Bb 因为∠CAD=2∠BAD,所以∠BAD=22.5°。 图1 图2 所以∠BAD=∠B。 如图2，补成一个边长为(a+b)的大正方形， 所以△ADB是等腰三角形，△ACD是直角三 则大正方形的面积为(a+b)2。 角形。 将大正方形看作边长为c的小正方形和四个 所以AD是Rt△ABC的“直角等腰线”。 全等的直角三角形的面积之和，则大正方形的 (2)因为在Rt△ABC中，∠C=90°， 面积为c2+4×2b=2+2ab, ∠BAC=60°，BC=6,所以∠B=30°。 因为AD为Rt△ABC的“直角等腰线”， 所以(a+b)2=c2+2ab。 所以a2+b2+2ab=c2+2ab。 所以∠BAD=30°，∠CAD=60°-30°=30°。 所以a2+b2=c2。故题图2符合题意； 如图，过点D作DE⊥AB,垂足为E。 题困3梯形的面积=2（a+bP=2(2ab+), 整理，得a2+b2=c2。 故题图3符合题意； 题图4无法证明直角三角形三边关系。 故题图4不符合题意。 因为AD是∠CAB的平分线，所以CD=DE。 因为BC=CD+BD=DE+BD=6,∠B=30°， 9.10010.311.6 12.1813.48 所以DB=28D=号BC=3x6=2。 14.6或4或3 【解析】如图1，当BAC=90°时， 所以点D到AB的距离为2。 作BF⊥AD于点F, (2)因为在△ABC中，BC=20,AD=24, 所以5m=7BC·AD=7×20×24=240。 17.解：(1)因为∠DAE=∠ACB=90°，AB⊥DE, 图1 图2 所以∠BAC+∠BAD=90°， 则四边形DEBF为长方形，所以BF=DE=8, ∠ADE+∠BAD=90°。 DF=BE=2。所以AF=AD-DF=6。 所以∠BAC=∠ADE。 由勾股定理，得AB2=AF2+BF2=100, ∠ACB=∠DAE, AC2=64+CD2, 在△ABC和△DEA中 ∠BAC=∠EDA, BC2=(CD+8)2+4=CD2+16CD+64+4。 LAB=DE, 因为AB2+AC2=BC2, 所以△ABC≌△DEA(AAS). 即100+64+CD2=CD2+16CD+64+4, 所以AC=AD,BC=AE。 所以16CD=96,解得CD=6; 又因为AC=AE+CE, 如图2，作BH⊥AD于点H。 所以AD=AE+CE=BC+CE。 同理可得，得AB2=A+B2=100, (2)因为BC=a,AC=b,AB=C,S四边形ADBE= AC2=64+CD2, Sae+Saae=zDE·AF+2DE·BF BC2=(8-CD)2+4=CD2-16CD+64+4, 当∠ABC=90°时，AC2=AB2+BC2, DE·AB=, 即64+CD2=100+CD2-16CD+64+4。 所以16CD=104,解得CD-号 S四边形ADBE=S△ABE+S△ABD 22+28, 12 所以a2+b2=c2。 当∠ACB=90°时，AB2=AC2+BC2, 即100=64+CD2+CD2-16CD+64+4, 18.小斗提示：把非直角三角形通过作辅助线转化为直 所以(CD-4)2=0,解得CD=4。 角三角形是利用勾股定理的关键。 餘上，CD的长为6成4威。 解：(1)因为52+122=25+144=169， 132=169,所以52+122=132。 15.解：设PA=PB=x,则PC=5-x。 所以这个三角形是直角三角形。 根据勾股定理，得AC2+PC2=PA, 所以2+(5-)=，解得x-碧。 所以三角形的面积为2×5×12=30(m)。 (2)如图，过点A作AD⊥BC于点D。 所以PA的长为器。 16.解：(1)因为在△ABC中，BC=20,AD是边 BC上的中线， 所以BD=28C=7×20=10。 因为在△ABD中，AB=26,BD=10,AD=24, 设BD=xm,则CD=(14-x)m。 所以102+242=262，即BD2+AD2=AB2。 在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2」 所以△ABD是直角三角形。所以AD⊥BC。 在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2, 因为AD是边BC上的中线， 所以AB2-BD2=AC2-CD2, 所以△ABC是等腰三角形。 即152-x2=132-(14-x)2,解得x=9。 所以AC=AB=26。 由勾股定理，得AD2=AB2-BD2=152-92 122,所以AD=12m。 17.解：由题意知，∠AEB=90°， 1 所以Saac=2×14×12=84(m2)。 在Rt△ABE中，由勾股定理， 得AE2=AB2-BE2=1.32-1.22=0.52, 所以该劳动实验基地的面积为84m。 所以AE=0.5m。 周末小金卷六 因为DE=BC=2m, 1.A2.C3.C4.B5.D6.D7.B 所以AD=DE+AE=2+0.5=2.5(m)。 8.C【解析】如图，把这个台阶示意 B 所以点A到地面CD的距离AD为2.5m。 40 图展开为平面图形。 18.解：如图，作点A关于CD的 在Rt△ACB中， 20 对称点A',连接A'B与CD 因为AC=50cm,BC=120cm, 40 交于点M,过点A'作A'K⊥ 根据勾股定理，得AB=130cm, 20 50 BD交BD的延长线于点K, 所以一只蚂蚁沿台阶从点A出发 则A'C=AC=6千米， 到，点B,其爬行的最短线路AB的长度是 AM=A'M。 130cm。 所以AM+BM=A'M+BM≥A'B, 9.不能10.511.14.512.5013.1.5 即AM+BM的最小值为A'B的长，此时铺设 14.8.1【解析】如图，过点P作PEL 水管的费用最节省。 旗杆于点E,则PE=1.6米。 因为BD⊥CD,AA'⊥CD,BD⊥A'K, 设绳子的长为x米， 绳 所以∠A'CD=∠CDK=∠A'KB=90°。 则AE=（x+1.6-1.8)米， 由平行线间距离处处相等， 在Rt△APE中，由勾股定理，得 1.6 得DK=A'C=6千米，A'K=CD=10千米， 1.62+(x-0.2)2=x2, 所以BK=BD+DK=24千米。 解得x=6.5, 在直角三角形A'BK中， 所以x+1.6=6.5+1.6=8.1, 由勾股定理，得A'B2=102+242=262, 即该旗杆的高度为8.1米。 所以A'B=26千米。 15.解：因为AB=DC=8m,AD=BC=6m, 所以此时总费用为26×3=78（万元）。 所以AB2+BC2=82+62=64+36=100。 周未小金卷七 因为AC2=92=81,所以AB2+BC2≠AC2。 1.C2.D3.C4.B5.D6.C7.A8.B 所以∠ABC≠90°。 9.>10.π（答案不唯一）11.312.2 所以该农民挖的不合格。 13.2(答案不唯一)14.±2 小斗总结 15.解：根据勾股定理，得AB=√5，AC=√8， 本题是数学问题在生活中的实际应用，所以同学 AD=√13，AE=√20，AF=√17。 们要把实际问题转化成数学问题来解决，运用直 所以长度是无理数的线段有AB,AC,AD! 角三角形的判定条件，验证它是否为直角三角形。 AE,AF。 16.解：由题意知，BC=5米，AC=10米， 16.小斗分析：由算术平方根和立方根的定义可得a-1=2 BC+AC=BD+AD=15米。 且2a-b-1=3,求解即可得到a,b的值。将a,b的 设这棵树高为x米，则BD=(x-5)米， AD=[15-(x-5)]米。 值代入A,B,由算术平方根和立方根的定义可得A, 在Rt△ACD中，由勾股定理， B的值。 得x2+102=[15-(x-5)]2, 解：由算术平方根和立方根的定义可得 解得x=7.5。 a-1=2且2a-b-1=3,解得a=3,b=2。 答：这棵树高7.5米。 所以A=√3+6=√9=3， ★周末小金卷·数学·七年级上册 ·25·