周末小金卷4-【周末小金卷】2025-2026学年新教材七年级上册数学(鲁教版 五四学制2024)

周末小金卷四 (考试范围：2.2~2.3) （时间：45分钟 满分：100分) 题序 二 三 总分 得分 一、选择题（每小题4分，共32分） 1.等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是 ( A.过顶点的直线 B.底边上的高 C.腰上的高所在的直线 D.底边上的垂直平分线 2.新素养〔几何直观〕如图，OC平分∠AOB,点P在OC上，PD⊥OB,PD=2,则点P 到OA的距离是 A.4 B.3 C.2 D.1 毁 D B 第2题图 第3题图 第4题图 3.三条公路将A,B,C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修 建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建 的位置是 ( A.三条高线的交点 B.三条中线的交点 C.三条角平分线的交点 D.三边垂直平分线的交点 蜜 4.新素养〔推理能力〕如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,AD是边BC上的高，则 下列结论不正确的是 A.BD=CD B.∠BAC=∠ABCC.AD平分∠BACD.SAABD=S△ACD 主题情境数学在手工制作中显身手请完成第5~6题 小明在学校社团小组学习手工课，发现手工制作中处处有数学，学好数学在手 工制作如有神助。你能帮助小明完成下面的手工制作题目吗？ 5.教改题将一张正方形纸片按如图所示方式连续对折两次，并在中心点处打孔，则 展开后的图形是 →回 第5题图 第6题图 6.如图，在△ABC中，分别以点A,C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交 于点D,E,作直线DE与BC交于点F,连接AF。若AB=6,BC=7,则△ABF的周 长为 A.13 B.14 C.15 D.16 7.如图，点A,B在方格图的格点上，在图中再确定一格点C,使得△ABC是等腰三 角形，则满足条件的格点C共有 () A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 第7题图 第8题图 8.新考法〔跨学科〕唐诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐含了 一个有趣的数学问题一“将军怎样走才能使总路程最短？”如图，OA=4,将军 从点A出发，先到山脉m的任意位置“望烽火”，再到河岸n的任意位置“饮马” 后返回到点A,且m与n的夹角为30°，则将军所走的总路程最短为 () A.4 B.6 C.8 D.12 二、填空题（每小题4分，共24分） 9.若等腰三角形的一个底角的度数为40°，则它的顶角的度数为 10.如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D,连接BD。若AC=8,CD=5, 则BD= B 第10题图 第11题图 11.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=36°，过点A作AD∥BC,连接BD,作线段 AD的垂直平分线EF交AD于点E,交BD于点F,连接AF,若AF=AB,则∠D 的度数为 ★周末小金卷·数学·七年级上册 ·5… 12.如图，在△ABC中，AB=6,AC=5,B0,C0分别是∠ABC,∠ACB的平分线，MN 经过点O,分别交AB,AC于点M,N,且MN∥BC,则△AMN的周长是 M 第12题图 第13题图 第14题图 13.如图，等边三角形纸片ABC的边长为2cm,点D,E分别在BC,AC上，将△CDE 沿直线DE折叠，点C落在点C'处，且点C在△ABC的外部，则图中三个阴影部 分的周长之和为 cm。 14.如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC,∠A=20°，BP平分∠ABC,D是射线BP上 一点，如果点D满足△BCD是等腰三角形，那么∠BDC的度数是 三、解答题（共44分） 15.(10分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,BF平分∠ABC交CD 于点E,交AC于点F。试说明：CE=CF。 16.（10分)新素养〔推理能力〕如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线11交BC于点 D,边AC的垂直平分线l2交BC于点E,L1与L2相交于点O,连接AD,AE,OA, 0B,0C。 (1)若△ADE的周长为8cm,则线段BC的长为 (2)判断点O是否在BC的垂直平分线上； (3)若∠BAC=120°，求∠DAE的度数。 。6 ★周未小金卷·数学·七年级上册 17.(12分)如图，△ABC的外角∠DAC和∠ACE的平分线相交于点P,连接BP。 (1)BP平分∠ABC吗？请说明理由； (2)若AC=5,△APC的面积是10，△ABC的面积是15，求△ABC的周长。 D 18.（12分)在直角三角形中，过一个锐角顶点的一条直线将直角三角形分成一个直 角三角形和一个等腰三角形，则称这条直线是该直角三角形的“直角等腰线”。 (1)如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°，若∠CAD=2∠BAD,判断AD是 否为Rt△ABC的“直角等腰线”，并说明理由； (2)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，BC=6。若AD为Rt△ABC的“直角 等腰线”，求点D到AB的距离。 B ǒ参考答案及解析 (部分答案不唯一) 周末小金卷一 14.120°【解析】因为∠C=135°，∠A=15°，所以 (2)如图，过点A作AD∥BC 16.解：(1)10 1.A2.B3.B4.D5.D6.D7.C ∠B=180°-∠A-∠C=180°-15°-135°= (2)如图，△DEF即为所求作。 8.D【解析】A.图为∠ABC=9O°，所以∠ABE+ 30°。因为△ABC沿希平行于BC的直线DE ∠EBC=90°。因为∠BEC=90°，所以∠ACB+ 折叠，点A落到点A'处，所以∠ADE=∠B= ∠EBC=9O°。所以∠ABE=∠ACB>∠BCF 30°，∠A'DE=∠ADE=30°。所以∠A'DB= 故本选项结论错误：B.当△ABC为等腰直角三 180°-30°-30°=120°。 角形时，LCAB=LACB。因为AD是中线，所以 15.解：因为△ABC≌△DEF, 因为AD∥BC. AD不是角平分线。所以LCMG≠ 2∠CAB。因 所以BC=EF。所以BF=CE。 所以∠DAC=∠C,∠BAD+∠B=180°。 因为BE=14,FC=2, 所以∠BAC+∠DAC+∠B=180° 17.解：因为风筝的骨架是以直线1为对称轴的 为CF为角平分线，所以∠ACG=∠ACB。所 所以BF=2×(14-2)=6。 所以∠BAC+∠B+∠C=180°。 轴对称图形，∠1=∠4=45°」 周末小金卷三 所以∠2=∠4=45°，∠5=∠4=45°。 以∠CMG≠∠ACG。故本选项结论错误：C.因 16.解：(1)因为a,b.c是△4BC的三边长， 18.解：(1)如图1，运动路径为P→M一→Q。 为CF是∠ACB的平分线，所以∠ACF= 所以a-b-e<0,b-c-a<0,a+b-c>0。 1.B2.A3.C4.D5.B6.B7.D P.M B LBCF,但是无法得出S△4C=SAre故本选 原式=-a+b+c+b-c-a+a+b-c 8.B小斗提示：找图形的对称图形要考虑全面，防止 P.E 项结论错误：D.因为∠ACF=∠BCF,∠BFH= =-a+3b-ce 漏解出错。 90°-∠BCF,∠BHF=∠EHC=90°-∠ACF,所 (2)①因为a=5,b=2, 【解析】如图，共3个。 以∠BFH=∠BHF。故本选项结论正确 所以5-2<c<5+2,即3<c<7 图1 图2 9.110°10.25°11.4米<a<8米 因为三角形的周长为偶数，所以c=5。 (2)如图2，运动路径为P+E→F→Q。 12.1小斗提示：三角形的中线把三角形分成两个面积 ②因为a=c=5,所以△ABC是等腰三角形 周末小金卷四 相等的三角形。 17.解：(1)如图，线段EF,DG即为所求作。 1.D2.C3.C4.B5.D6.A 【解析】因为D为BC的中点，所以S△m= 9.书10.110°11.212.909 7.D【解析】如图，满足AC=BC的点C的位置 Sm=5m=号x4=2(m)。同理 13.8【解析】因为小蓓和地在第一面镜子中的 有5个，满足AC=AB的点C的位置有1个 像关于镜子对称，所以小蓓和地在第一面镜 满足CB=AB的点C的位置有1个，共7个。 1 SAmE=SAcm=2S=x2=1(m), 子中的像之间的距离为2倍的她与镜子间的 2 (2)因为AD为△ABC的中线，BE为△ABD 距离，同理可得小蓓和她在第二面镜子中的 SAncE =SAMOE+SACDE=1+1=2(m)o 9g- 因为F为CE的中点， 的中线， 像之间的距离为2倍的她与镜子间的距离。 所以Sar=2Saas=2×2=1(m)。 所以SAAm= 所以她的两个像之间的距离=2×两面镜子 间的距离=8米。 8.A小斗提示：最短距离问题往往转化为两点之间线 13.3小斗提示：重心是三角形三条中线的交点。 所以Sam=Se 14.4 段最短的问题。 【解析】因为点D是△ABC的重心， 因为△ABC的面积为40，BD=5, 15。小斗提示：成轴对称的图形，对应角相等，对应边相等。 【解析】如图，作点A关于直线m,n的对称，点 所以AE是△ABC的中线。所以BE=CE。 1 解：因为两个四边形关于直线1对称， D,E,连接DE,交直线m,n于点B,C,连接 图为△ABE的周长比△ACE的周长大2， AB,AC,OD,OE 所以AB+BE+AE-(AE+CE+AC)=2。 40=10。 所以四边形ABCD≌四边形FEHC。 所以AB+BE+AE-AE-CE-AC=2。 所以EF=4。 所以a=5cm,b=4cm,∠H=∠C=90° 所以AB-AC=2。 18.解：(1)△ABC两直线平行，同位角相等 ∠A=∠F=80°，∠E=∠B=135°。 因为AB=5,所以AC=3。 等量代换 所以∠G=360°-∠E-∠F-∠H=55°。 ★周末小金卷·数学·七年级上册 ·23· 此时△BAC的周长最小，OD=OA=OE, 15.解：因为∠ACB=90°，CD⊥AB, 所以BP平分∠ABC 周末小金卷五 所以∠BOD=∠BOA,∠AOC=∠EOC 所以∠CBF+∠CFB=∠DBE+∠DEB=9O 1.B2.C3.A4.A5.D6.C7.C 所以∠D0E=2∠BOC=60°。 因为BF平分∠ABC 8.C【解析】如图1，廷长AG,ED交于点F。 所以△DOE是等边三角形 所以∠CBF=∠DBE。所以∠CFB=∠DEB 所以DE=OD=OA=4 又因为∠CEF=∠DEB, 因为Sm=式， 因为AB=BD,AC=CE 所以∠CFB=∠CEF。所以CE=CF CH E SAAND=SACESAANC-SAMDE-SAADF 所以△BAC的周长=AB+BC+AC 16.解：(1)8cm【解析】图为4是边AB的垂直 (2)因为AC=5,△APC的面积是10， =BD+BC+CE=DE=4, =ba+b)-7b-2b-2w-a)6+a） 平分线， 即将军所走的总路程最短为4。 所以AD=BD。 所以×5PG=10。所以PG=4。 1 9.100°10.311.24°12.11 因为2是边AC的垂直平分线， 所以PF=PH=PG=4。 13.6小斗提示：阴影部分的周长等于等边三角形的周长。 所以AE=CE。 又因为△ABC的面积是15， =ab+-0b-2b-+ 【解析】设CE与AB交于点F,CD与AB交 因为△ADE的周长为8cm, 于点H,如图所示 所以BC=BD+DE+CE=AD+DE+AE= 所以AB,PF+2BC·PH=25。 8cm。 所以AB+BC=12.5。 所以=02+8，即2=d+8。 (2)点O在BC的垂直平分线上。 所以△ABC的周长=AB+BC+AC=12.5+ 理由：因为（是边AB的垂直平分线 5=17.5。 故题图1符合题意： 所以OA=OB。 18.解：(1)AD是R△ABC的“直角等腰线”。 因为2是边AC的垂直平分线 理由如下： 周为△ABC是等边三角形，且边长为2cm 所以OA=OC。所以OB=OC。 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°， 所以AB=BC=AC=2Cma 所以点O在BC的垂直平分线上。 由折叠的性质，得CE=CE,CD=CD 所以∠CAB=67.5°。 (3)因为∠BAC=120°， 所以AE+EF+C'F=AE+CE=AC=2cm, 因为∠CAD=2LBAD,所以∠BAD=22.5°。 图1 图2 所以∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=180°- BD+DH+C'H=BD+C'D=BC=2 cm 所以∠BAD=∠B。 如图2，补成一个边长为(a+b)的大正方形. 文因为AF+FH+BH=AB=2cm, 120°=60°。 所以△ADB是等腰三角形，△ACD是直角三 则大正方形的面积为(a+b)2。 所以图中三个阴影部分的周长之和为6cm。 因为AD=BD,AE=CE, 角形。 将大正方形看作边长为c的小正方形和四个 所以∠BAD=∠ABC,∠CAE=∠ACB 14.40°或70°或100°小斗提示：因为点D是不确定 所以AD是Rt△ABC的“直角等腰线”。 全等的直角三角形的面积之和，则大正方形的 所以∠DAE=∠BAC-∠BMD-∠CAE=120°- 的，所以要考虑各种情况。 (2)因为在Rt△ABC中，∠C=90°， 60°=60°。 ∠BAC=60°，BC=6,所以∠B=30°。 面积为e+4x2b=C+2ab, 【解析】阁为∠A=20°，AB=AC, 17.小斗分析：(1)过点P作PF⊥BD于点F,PG⊥AC于 所以(a+b)2=c2+2ab。 所以∠ABC=80°。 因为AD为R1△ABC的“直角等腰线”， 图为BP平分∠ABC,所以∠CBD=40°。 点G,PH⊥BE于点H,根据角平分线的性质得到PF 所以a2+b2+2ab=c2+2ab。 所以∠BAD=30°，∠CAD=60°-30°=30°。 所以a2+b=c。故题图2符合题意： 当BC=CD时，如图1，∠CBD=∠BDC=40°； =PG=PH,再根据角平分线的判定说明。(2)根据 如图，过点D作DE⊥AB,垂足为E。 当BD=BC时，如图2，∠BDC=70°： 三角形面积公式求出PG,再根据三角形面积公式计 题图3梯形的面软=(a+b=2a+d)。 当BD=CD时，如图3，∠BDC=100°。 算得到答案。 整理，得a2+62=c2。 综上，∠BDC的度数为40°或70°或100° 解：(1)如图，过点P作PF⊥BD于点F, 故题图3符合题意： PG⊥AC于点G,PH⊥BE于点H。 题图4无法证明直角三角形三边关系。 故题图4不符合题意。 因为AP平分∠DAC,PF⊥BD,PG⊥AC, 因为AD是∠CAB的平分线，所以CD=DE。 所以PF=PG。 因为BC=CD+BD=DE+BD=6,∠B=30°， 91010.312181.48 因为CP平分∠ACE,PI⊥BE,PG⊥AC, 所以PH=PG。所以PF=PH。 所以DB=BD=号BC=x6=2。 14.6或4或 2【解析】如图1，当BAC=90°时， 因为PF⊥BD,PH⊥BE, 所以点D到AB的距离为2。 作BF⊥AD于，点F, ★周末小金卷·数学·七年级上册