精品解析：广东省揭阳市惠来县第一中学2025-2026学年高二上学期第一阶段考试数学试题

2025-2026学年惠来一中高二第一学期第一次阶段考试 数学试题 满分150分，时间120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得集合，再根据交集的定义求解即可． 【详解】由题可知，，所以， 故选：D． 2. 复数z满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数运算求得，进而求得. 【详解】由得， 两边乘以得， 所以. 故选：C 3. 若平面的法向量为，平面的法向量为，直线l的方向向量为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量研究空间位置关系，一一判定选项即可. 【详解】对于A，若，则，所以，故A正确； 对于B，若，则，所以或，故B错误； 对于C，若，则，即， 易得，故C错误； 对于D，若，则，即，易得， 故D错误. 故选：A 4. 中，角的对边分别是，，.若这个三角形有两解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理结合已知，可推得.进而根据三角形解得个数推得，即可得出答案. 【详解】由正弦定理可得，. 要使有两解，即有两解，则应有，且， 所以， 所以. 故选：B． 5. 小刚参与一种答题游戏，需要解答A，B，C三道题.已知他答对这三道题的概率分别为，，，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为，则他三道题都答错的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，先求的有关值，再求对应事件的概率. 【详解】记小刚解答A，B，C三道题正确分别为事件D，E，F，且D，E，F相互独立， 且. 恰好能答对两道题为事件，且两两互斥， 所以 ， 整理得，他三道题都答错为事件， 故. 故选：C. 6. 在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，利用异面直线所成角的向量法求解即可. 【详解】因为直三棱柱，所以底面， 又底面，所以，， 又因为，所以两两垂直， 以为轴建立如图所示坐标系， 设，则，，，， 所以，， 设直线与直线所成角为， 则， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故选：B 7. 若过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合倾斜角与斜率的关系，分斜率不存在与斜率存在计算即可得. 【详解】当时，直线的斜率不存在，两点横坐标相等，即； 当时，直线的斜率存在， 则或，解得或； 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 8. 是定义在R上的函数，若，且对任意，满足，，则（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】C 【解析】 【分析】首先推导出，从而得到，再根据计算可得. 【详解】因为，即， 所以 ， 又，所以， 所以. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分． 9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 向量与向量共面 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量数量积的坐标表示得出向量夹角判断A；由向量相乘为0可得向量垂直B正确；根据投影向量的定义可计算出投影向量判断C；得出向量共面判断D. 【详解】对于A：设向量与向量的夹角为，则，又因为，所以，A选项正确； 对于B：因为,，所以，B选项正确； 对于C：向量在向量上的投影向量为，C选项错误； 对于D：因为向量，所以，得出向量与向量共面，D选项正确. 故选：ABD. 10. 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. 函数图像关于点中心对称 B. 在上单调递减 C. 将曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像 D. 直线是曲线的一条对称轴 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据条件求出的值，然后根据三角函数的知识逐一判断即可. 【详解】因为函数的最小正周期为， 所以，即，即， 因为，所以函数图像关于点中心对称，故A正确； 当时，，所以在上单调递减，故B正确； 将曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，故C错误； 因为，所以直线是曲线的一条对称轴，故D正确； 故选：ABD 11. 如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则（ ） A. 当在平面上运动时，四棱锥的体积不变 B. 当在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C. 若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是 D. 使直线与平面所成的角为的点P的轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，考虑锥体的底面积、高均未变，故体积不变；B选项，找出异面直线所成的角，在三角形中判断角的大小；CD选项，找到点轨迹，计算可得. 【详解】对A：如图： 当在平面上运动时，四棱锥的底面面积为定值4，高为点到平面的距离为定值2，所以为定值.故A正确； 对B：如图 当在线段上运动时，与所成角就是与所成的角，因为为等边三角形，所以当点与线段的端点重合时，与所成的角最小，为，当点为线段中点时，与所成的角最大，为.故B正确； 对C：如图： 因为是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，所在的平面为如图正六边形，正六边形的边长为，当点与中点重合时，最小，为.故C错误； 对D：如图： 使直线与平面所成的角为的点P的轨迹为对角线、以及平面内以为圆心，以2为半径的圆的，故点的轨迹长度为：.故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：与立体几何有关的轨迹问题，关键是要弄清楚动点的轨迹形状. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知向量平行于向量，则m+n＝_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】直接利用向量的坐标运算，向量共线的充要条件求出结果． 【详解】由于向量平行于向量， 故，解得，n， 故m+n＝， 故答案为：． 13. 如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件用空间向量的模的公式求出的长. 【详解】由条件知， 又二面角的平面角为，则，所以 ， 所以． 故答案为：. 14. 邢台一中高二年级研究性学习小组为了实地测量某塔的高度，选取与塔底中心O在同一个水平面内的两个测量基点A与B，在A点测得：塔顶P的仰角为45°，O在A的北偏东60°处，B在A的正东方向36米处，且在B点测得O与A的张角为45°，则此塔的高度约为___________米（四舍五入，保留整数.参考数据：，）. 【答案】26 【解析】 【分析】中,运用正弦定理，先求出，再根据等腰直角三角形知识得到即可. 【详解】中，，,.所以. 在中，运用正弦定理，可得，代入值求得， 由于为等腰直角三角形，则，则此塔的高度约为米. 故答案为：26. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的顶点，，，为的中点． （1）求直线的斜率； （2）判断的形状； （3）设分别为的中点，求直线的斜率． 【答案】（1）； （2）等腰直角三角形； （3）. 【解析】 【分析】（1）应用中点坐标公式及斜率的两点式求斜率； （2）根据已知求得，，，则有、，即可得三角形形状； （3）由题设有，结合（2）可得直线的斜率. 【小问1详解】 因为为的中点，结合已知坐标有，则； 【小问2详解】 由，，， 由，，知是直角三角形． 又，结合已知，则是的垂直平分线， 所以是等腰直角三角形． 【小问3详解】 由于分别为的中点，所以是的中位线，则， 所以，故直线的斜率为． 16. 如图所示，在平行六面体中，O为AC的中点．设，，． （1）用，，表示； （2）设E是棱上的点，且，用，，表示． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由空间向量的线性运算，即可得到结果； （2）根据题意，由空间向量的线性运算，即可得到结果； 【小问1详解】 因为， 且，，， 则. 【小问2详解】 17. 某年级数学兴趣小组组织游戏闯关活动，共设置了20道数学问题，满分100分.结束后在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段：，，……，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值，并估计该年级全体学生这次数学成绩的中位数； （2）活动中，甲、乙两位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同.任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率. 【答案】（1），75； （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为即可求出，根据频率分布直方图中中位数的求法求中位数即可； （2）根据相互独立事件的乘法公式及对立事件的概率公式求解即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图有，解得， 因为， 所以中位数在区间内，设为x， 则有，得， 所以估计该校全体学生这次数学成绩的中位数为75； 【小问2详解】 设“任选一道题，甲答对”，“任选一道题，乙答对”，“任选一道题，丙答对”， 则由古典概型概率计算公式得：，， 所以有， 记“甲、乙两位同学恰有一人答对”， 则有，且有与互斥， 因为每位同学独立作答，所以A，B互相独立，则A与，与B，与均相互独立， 所以 ， 所以任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率. 18. 如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1） 取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得，结合线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解； （3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 分别取，则有、、，， 即、， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为； 【小问3详解】 由，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为. 19. 已知向量，，定义新运算：.若函数，则称为向量，的点积函数.例如：向量，，则向量，的点积函数. （1）若向量，（，），且向量，的点积函数，求的值； （2）若向量，，求向量，的点积函数的值域； （3）若向量，的点积函数为，且存在，使得成立，求的取值范围. 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量，的点积函数定义写出函数解析式，对照可得的值，由向量的模长定义即可求得的值； （2）利用向量，的点积函数定义求得，通过换元，利用二次函数的单调性即可求得函数的值域； （3）根据点积函数的定义及三角恒等变换公式可得，求出该函数在上的值域，进而结合题意可得，求解即得. 【小问1详解】 由题意，， 则，，即， 所以； 【小问2详解】 因，， 则， 令（），则，对称轴为， 则函数在上单调递增，当， ，则的值域为. 【小问3详解】 因，， 则， 于是， ， 当时，， 因在时的取值范围为， 故， 由存在，使得成立，即与有交集， 故需满足，解得，综上所述的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年惠来一中高二第一学期第一次阶段考试 数学试题 满分150分，时间120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数z满足，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 3. 若平面的法向量为，平面的法向量为，直线l的方向向量为，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 中，角的对边分别是，，.若这个三角形有两解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 小刚参与一种答题游戏，需要解答A，B，C三道题.已知他答对这三道题的概率分别为，，，且各题答对与否互不影响，若他恰好能答对两道题的概率为，则他三道题都答错的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值（ ） A. B. C. D. 7. 若过点，的直线的倾斜角的取值范围是，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 是定义在R上的函数，若，且对任意，满足，，则（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分． 9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 向量与向量共面 10. 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. 函数图像关于点中心对称 B. 在上单调递减 C. 将曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像 D. 直线是曲线的一条对称轴 11. 如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则（ ） A. 当在平面上运动时，四棱锥的体积不变 B. 当在线段上运动时，与所成角的取值范围是 C. 若是的中点，当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是 D. 使直线与平面所成的角为的点P的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知向量平行于向量，则m+n＝_____________． 13. 如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，则___________． 14. 邢台一中高二年级研究性学习小组为了实地测量某塔的高度，选取与塔底中心O在同一个水平面内的两个测量基点A与B，在A点测得：塔顶P的仰角为45°，O在A的北偏东60°处，B在A的正东方向36米处，且在B点测得O与A的张角为45°，则此塔的高度约为___________米（四舍五入，保留整数.参考数据：，）. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的顶点，，，为的中点． （1）求直线的斜率； （2）判断的形状； （3）设分别为的中点，求直线的斜率． 16. 如图所示，在平行六面体中，O为AC的中点．设，，． （1）用，，表示； （2）设E是棱上的点，且，用，，表示． 17. 某年级数学兴趣小组组织游戏闯关活动，共设置了20道数学问题，满分100分.结束后在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段：，，……，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中a的值，并估计该年级全体学生这次数学成绩的中位数； （2）活动中，甲、乙两位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同.任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率. 18. 如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）求点到平面的距离． 19. 已知向量，，定义新运算：.若函数，则称为向量，的点积函数.例如：向量，，则向量，的点积函数. （1）若向量，（，），且向量，的点积函数，求的值； （2）若向量，，求向量，的点积函数的值域； （3）若向量，的点积函数为，且存在，使得成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $