精品解析：海南省澄迈某校2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试题

2025级高一上学期第一次月考数学试题 第I卷（选择题） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解二次不等式和分式不等式，明确集合，再根据交集的概念进行计算. 【详解】由，即，解得，所以. 由，移项得，即，等价于，解得，所以. 则. 故选：A 2. 函数（）的最大值为（ ） A. B. 3 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用配凑法，结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，当且仅当即时取等号. 所以，即（当时取等号）， 所以的最大值为 故选：D 3. 命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，转化为，利用二次函数的性质，求得，结合充分不必要条件和选项，即可得到答案. 【详解】由存在，使得，即， 当，即时，的最小值为，所以， 所以命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件为：集合的真子集， 结合选项可得，选项C符合题意. 故选：C. 4. 已知且，则的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】先将用，表示出来，根据已知的与的取值范围，再利用不等式的性质求的取值范围. 【详解】设 因为， 所以， 又因为，将与的取值范围相加， 所以， 即. 故选：B. 5. 有人参加篮球､乒乓球､羽毛球训练，参加篮球训练的有人，参加乒乓球训练的有人，参加羽毛球训练的有人，其中只参加种球类训练的有人，则种球类训练都参加的人数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据总人数、各项训练人数、只参加种训练的人数，利用集合计数关系建立方程求解. 【详解】设参加种、种、种球类训练的人数分别为、、. 由题意得总人数，且， 则. 参加各项目的人数总和为， 该总和中，参加种、种、种训练的人数分别被计算了次、次、次， 故， 将代入可得，即， 联立方程组， 解得，即种球类训练都参加的人数为人， 故选：A. 6. 定义集合运算：.若集合，，则（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，从而可得或，或，再根据新定义得，再代入验证即可得答案. 【详解】因为，所以或 所以或，或 所以或，， 代入验证得点在该直线上， 故. 故选：D. 7. 已知集合，则的非空真子集个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 14 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】先化简分式解一元二次不等式，再得出集合A，最后应用非空真子集个数公式计算求解. 【详解】由可得，即， 即解得. 于是，共4个元素，故其非空真子集个数为个. 故选：C. 8. 若集合满足 ，则称为集合的一个分拆，并规定：当且仅当时，与为同一种分拆，则集合的不同分拆种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】按照分类列举出所有的分拆，即得答案. 【详解】若，则 ； 若 则 或 ； 若，则或 ； 若，则或 ； 若，则 或 或 或 ； 若，则 或 或 或 ； 若，则 或 或 或 ； 若则 或 或 或 或 ，或或 或 ； 所以集合的不同分拆种数为27. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则有最小值2 C. 若，则 D. 若，则有最大值1 【答案】ACD 【解析】 【分析】作差比较判断A、C；运用基本不等式并验证等号成立的条件，可判断B；利用重要不等式可判断D. 【详解】对于A：若，由， 因，故，又，即，.故A正确； 对于B：当时，，则， 当且仅当，即时取等号， 因，则有，故B错误； 对于C：若，则， 故由，可得，故C正确； 对于D：因为，当且仅当时取等号， 因，故，即有最大值，故D正确. 故选：ACD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 命题“，”的否定是“，或” C. 如果，那么“”是“”的充分不必要条件 D. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】根据不等式性质，命题逻辑，充分条件判定及二次不等式恒成立的条件，逐一分析选项，验证每个命题的正误. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，原命题“存在x满足”的否定应为“所有x都不满足”，即“所有x都满足或”，原命题表述正确，故B正确； 对于C，若，，则，则，即，必要性成立； 若，，则，所以，充分性成立，所以如果，那么“”是“”的充要条件，故C错误； 对于D，当时，恒成立，当时，则，解得，综上所述，，故D正确. 故选：BD. 11. 已知全集，集合，，，若，则（ ） A. 的取值有个 B. C. D. 所有子集的个数为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用集合的包含关系结合集合元素的互异性可求出的值，可判断A选项；利用交集的定义可判断B选项；利用并集的定义可判断C选项；利用集合的运算结合子集个数公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，，且， 则或，且，，解得，故的取值只有个，故A错误； 对于B选项，，，所以，故B正确； 对于C选项，，，故C正确； 对于D选项，， 所以，，则， 其的子集的个数为，故D正确． 故选：BCD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知集合，，若是成立的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】通过集合关系即可求解. 【详解】由是成立的一个充分不必要条件， 可知：， 所以，解得， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 13. 勾股定理是初等几何中最精彩、最著名的定理之一，是几何学的明珠，它不仅揭示了直角三角形三边之间的数量关系，而且体现了“数形统一”的思想，对我们解决直角三角形类问题的帮助很大．如果一个直角三角形的周长等于，则该三角形面积的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设直角三角形的两直角边长分别为，得到，利用基本不等式，求得，进而求得面积的最大值. 【详解】设直角三角形的两直角边长分别为，则斜边长为， 因为直角三角形的周长为，所以， 由，当且仅当时，等号成立， 所以，即， 所以，即三角形面积的最大值为. 故答案为：. 14. 若“，使得成立”是真命题，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先对不等式进行参数分离，得到关于的不等式，然后利用基本不等式的性质即可求得结果. 【详解】由题意知，“，使得成立”是真命题， 所以，根据基本不等式的性质可得：，当且仅当，即时，等号成立. 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，其中． （1）若，求； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）或， （2） 【解析】 【分析】（1）利用绝对值不等式、一元二次不等式的解法和交集、补集的定义求解； （2）根据必要不充分条件的定义可得真包含于，从而根据集合的关系可求解. 【小问1详解】 由，解得，即，故， 因为，所以， 由，解得，故，则或， 或. 【小问2详解】 由可得， 因为，所以， 所以不等式的解为，即， 因为是的必要不充分条件，所以是的真子集， 所以或，解得， 又因为，所以， 故实数的取值范围为. 16. 已知，且的解集为. （1）求t，m的值； （2）若在上恒成立，求的最大值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）问题化为的两个根为，且，应用根与系数关系求参数值； （2）问题化为在上恒成立，结合对勾函数的性质求右侧最小值，即可得. 【小问1详解】 由题设方程的两个根为，且，则，可得； 【小问2详解】 由（1）及题设知在上恒成立， 根据对勾函数的性质知在上单调递减，在上单调递增， 所以在上，， 故，即的最大值为. 17. 设命题，不等式恒成立；命题，不等式成立． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）参变分离可得在上恒成立，再由基本不等式求出的最小值，即可得解； （2）若为真命题，即转化为对于，，求出的范围，再分类讨论的真假即可解出. 【小问1详解】 因为命题，不等式恒成立，为真命题， 所以在上恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，即实数的取值范围为； 【小问2详解】 若为真命题，即，不等式成立， 则对于，即可. 由于，，，解得，即命题为真命题时； 因为命题、有且只有一个是真命题，则或， 解得或， 所以实数的取值范围为. 18. 我们知道，如果集合，那么把看成全集时，的子集的补集为. 类似地，对于集合，，我们把集合叫作集合与的差集，记作.据此回答下列问题: （1）在图中用阴影表示出集合(其中是全集，，为的子集); （2）若，，求； （3）若集合，集合，且，求实数的取值范围. 【答案】（1）作图见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将集合A中B的部分去掉涂色即可； （2）根据差集的概念，求出的结果，进而再一次利用差集的概念求得； （3）因为，得到.根据集合之间的包含关系，分类讨论即可. 【小问1详解】 将集合A中B的部分去掉涂色即可；阴影部分如下所示： 【小问2详解】 ，，根据差集概念，， 令，再根据差集概念得： 【小问3详解】 因为，所以. 由可得. 当时，，不等式不成立，此时，满足. 当时，. 因为，所以. 解，因为，此不等式恒成立. 解，两边同乘得，即. 结合，则. 当时， 因为，所以. 解，两边同乘（不等号变向）得，即. 解，两边同乘（不等号变向）得，即， 结合，取. 综上，的取值范围是. 19. 仔细阅读以下材料：【已知a，，，求的最小值. 解：，当且仅当，即，时取得等号，则的最小值为. 另解：，当且仅当，即，时取得等号，则最小值为.】参考上述解法，求解下列问题. （1）已知a、b、，，求的最小值； （2）已知，求的最小值； （3）已知a、，，求的最小值. 【答案】（1）9； （2）18； （3） 【解析】 【分析】（1）（2）（3）应用“1”的代换整理目标代数式，再应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【小问1详解】 由，， 则 ， 当且仅当时等号成立，故最小值为9； 【小问2详解】 由，则 ， 当且仅当，即时等号成立，故最小值为18； 【小问3详解】 由，，则，即， 所以，显然， 所以， 当且仅当，即，则时等号成立， 所以最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高一上学期第一次月考数学试题 第I卷（选择题） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数（）的最大值为（ ） A. B. 3 C. 1 D. 3. 命题“存在，使得”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 已知且，则的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 有人参加篮球､乒乓球､羽毛球训练，参加篮球训练的有人，参加乒乓球训练的有人，参加羽毛球训练的有人，其中只参加种球类训练的有人，则种球类训练都参加的人数为（ ） A. B. C. D. 6. 定义集合运算：.若集合，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知集合，则的非空真子集个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 14 D. 15 8. 若集合满足 ，则称为集合的一个分拆，并规定：当且仅当时，与为同一种分拆，则集合的不同分拆种数为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则有最小值2 C. 若，则 D. 若，则有最大值1 10. 下列说法正确是（ ） A 若，则 B. 命题“，”的否定是“，或” C. 如果，那么“”是“”的充分不必要条件 D. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是 11. 已知全集，集合，，，若，则（ ） A. 的取值有个 B. C. D. 所有子集的个数为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知集合，，若是成立的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是________． 13. 勾股定理是初等几何中最精彩、最著名的定理之一，是几何学的明珠，它不仅揭示了直角三角形三边之间的数量关系，而且体现了“数形统一”的思想，对我们解决直角三角形类问题的帮助很大．如果一个直角三角形的周长等于，则该三角形面积的最大值为______． 14. 若“，使得成立”是真命题，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，，其中． （1）若，求； （2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 16. 已知，且的解集为. （1）求t，m的值； （2）若在上恒成立，求的最大值. 17. 设命题，不等式恒成立；命题，不等式成立． （1）若为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题、有且只有一个是真命题，求实数的取值范围． 18. 我们知道，如果集合，那么把看成全集时，的子集的补集为. 类似地，对于集合，，我们把集合叫作集合与的差集，记作.据此回答下列问题: （1）在图中用阴影表示出集合(其中是全集，，为的子集); （2）若，，求； （3）若集合，集合，且，求实数的取值范围. 19. 仔细阅读以下材料：【已知a，，，求的最小值. 解：，当且仅当，即，时取得等号，则最小值为. 另解：，当且仅当，即，时取得等号，则最小值为.】参考上述解法，求解下列问题. （1）已知a、b、，，求最小值； （2）已知，求的最小值； （3）已知a、，，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $