1.4充分条件与必要条件 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.4充分条件与必要条件 讲解目录 【知识点1】充要条件的判断 1 【知识点2】必要不充分条件的应用 2 【知识点3】充分不必要条件的判断 3 【知识点4】充分条件的判断 3 【知识点5】必要条件的应用与性质定理 4 【知识点6】充要条件的应用 5 【知识点7】既不充分也不必要条件的判断 5 【知识点8】既不充分也不必要条件的应用 6 【知识点9】充分条件的应用与判定定理 7 【知识点10】必要条件的判断 7 【知识点11】充分不必要条件的应用 8 【知识点12】必要不充分条件的判断 9 【题型1】充分条件和必要条件的探求 9 【题型2】探求必要条件 10 【题型3】判断充分条件与必要条件 10 【题型4】既不充分也不必要条件 11 【题型5】必要条件的判断 12 【题型6】充分条件与必要条件关系的判断 12 【题型7】利用充分、必要条件求参数范围 13 【题型8】充分条件的判断 14 【题型9】探求充分条件 14 【题型10】利用充分条件和必要条件求参数(或取值范围) 15 知识讲解 【知识点1】充要条件的判断 充要条件是指条件P和条件Q之间互为充分必要条件．即若P成立，则Q成立，若Q成立，则P也成立．用符号表示为P⇔Q．充要条件在数学中非常重要，因为它们表示两个条件是等价的． 要判断一个条件是否为充要条件，需要分别验证P⇒Q和Q⇒P．如果两者都成立，则P和Q互为充要条件．通常可以通过逻辑推理和实例验证来进行判断．对于复杂问题，可以分步骤进行验证，确保每一步推理的正确性． 充要条件的命题方向包括几何图形的判定条件、函数的性质等．例如，矩形的对角线相等且互相平分是矩形的充要条件． “方程x2-2x+m=0至多有一个实数解”的一个充要条件是（　　） A．m≥1 B．m≤1 C．m≥2 D．m≥0 解：“方程 x2-2x+m=0至多有一个实数解”的充要条件为“（-2）2-4m≤0”即“m≥1”． 故选：A． 【知识点2】必要不充分条件的应用 必要不充分条件是指如果条件Q成立，则条件P必然成立，但条件P成立时，条件Q不一定成立．用符号表示为Q⇒P，但 P⇏Q．这种条件在数学中表明某个条件必须满足才能保证结果成立，但单靠这个条件不能完全保证结果成立． 充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可． 若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件； 充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广． 设；q：a≤x≤a+1，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（　　） B. C. D. 解：p：≤x≤1，q：a≤x≤a+1， 又∵p的必要不充分条件是q， ∴p⇒q，反之则不能， ∴1≤a+1，a≤， ∴0≤a≤， 当a=0时，q：0≤x≤1，满足p的必要不充分条件是q， 当a=时，q：≤x≤，满足p的必要不充分条件是q， ∴0≤a≤． 故选：D． 【知识点3】充分不必要条件的判断 充分不必要条件是指如果条件P成立，则条件Q必然成立，但条件Q成立时，条件P不一定成立．用符号表示为P⇒Q，但 Q⇏P．这种条件在数学中表明某个条件足以保证结果成立，但不是唯一条件． 要判断一个条件是否为充分不必要条件，可以先验证P⇒Q，然后找反例验证Q成立但P不成立．举反例是关键步骤，找到一个Q成立但P不成立的例子即可证明P不是Q的必要条件．例如，可以通过几何图形性质验证某些充分不必要条件． 充分不必要条件的命题方向包括几何图形的特殊性质、函数的特定性质等． 已知命题p：x2-4x+3＜0，那么命题p成立的一个充分不必要条件是（　　） A．x≤1 B．1＜x＜2 C．x≥3 D．2＜x＜3 解：由x2-4x+3＜0，解得1＜x＜3， 则1＜x＜2和2＜x＜3都是1＜x＜3的充分不必要条件． 故选：BD． 【知识点4】充分条件的判断 充分条件是指如果条件P成立，则条件Q必然成立．在数学上，通常记作P⇒Q．充分条件的概念在逻辑推理和数学证明中非常重要，常用于判断某些结论是否成立．例如，在三角形中，如果一个三角形是等边三角形，那么它必然是等腰三角形，这就是等边三角形是等腰三角形的充分条件． 要判断一个条件是否为充分条件，可以通过验证当条件P成立时，条件Q是否也必然成立．通常可以通过具体实例或逻辑推理来验证．例如，假设P成立，通过推理或计算验证Q是否成立．如果可以找到反例，即P成立但Q不成立，则P不是Q的充分条件． 在高考和其他数学考试中，常见的充分条件的命题方向包括几何图形的性质、函数的性质、数列的性质等．例如，三角形全等判定条件中的SAS、SSS等都是充分条件．函数的单调性和极值之间的关系也是常见的命题方向． 下列选项中，满足p是q的充分条件的是（　　） A．p：x＞，q：x＞1 B．p：m=0，q：mn=0 C．p：x2≠0，q：x≠0 D．p：x＞y，q：x2＞y2 解：对于A，由可推出x＞1，所以是x＞1的充分条件，A正确， 对于B，由m=0可推出mn=0，所以m=0是mn=0的充分条件，B正确， 对于C，由x2≠0可推出x≠0，所以x2≠0是x≠0的充分条件，C正确， 对于D，当x=2，y=-2时，x＞y，但是x2=y2，所以x＞y不是x2＞y2的充分条件，D错误． 故选：ABC． 【知识点5】必要条件的应用与性质定理 必要条件的应用在数学中也非常广泛．通过必要条件，可以确定某些结论的必然性．性质定理是基于必要条件的理论工具，用于判断某些条件是否必然满足． 应用必要条件时，可以先寻找问题中的必要条件，然后利用这些条件判断问题的必然性．性质定理可以直接套用，简化解题过程． 必要条件的应用与性质定理的命题方向包括几何证明题、代数证明题等．例如，四边形性质判定、平行四边形判定等几何题中常见． 已知p：-4＜x-a＜4，q：2＜x＜3，若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是（　　） A．[-1，6] B．（-∞，-1] C．[6，+∞） D．（-∞，-1]∪[6，+∞） 解：由-4＜x-a＜4，得-4+a＜x＜4+a， 即p：-4+a＜x＜4+a，对应的集合A=（-4+a，4+a）， 结合q：2＜x＜3，得q对应的集合B=（2，3）， 若p是q的必要条件，可知（2，3）⊆（-4+a，4+a）， ∴，解得-1≤a≤6． 故选：A． 【知识点6】充要条件的应用 充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件． 充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可． ①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件； ②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件； ③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件； 充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广． 已知集合P={x|-2≤x≤10}，S={x|1-m≤x≤1+m}，是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：若x∈P是x∈S的充要条件， 则P=S，即，得，此时方程组无解． 即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件． 【知识点7】既不充分也不必要条件的判断 既不充分也不必要条件是指条件P和条件Q之间没有任何充分或必要的关系．即P成立与否对Q成立与否没有影响． 用符号表示为P⇏Q且Q⇏P．这种条件在数学中表示两个条件之间是独立的，没有任何相互关系． 例如，直线平行和直线垂直的关系． 要判断两个条件是否既不充分也不必要，可以分别验证P⇏Q和Q⇏P．找到P成立但Q不成立，以及Q成立但P不成立的反例． 通过举反例，可以证明两个条件之间的独立性．逻辑推理和具体实例是验证这种条件的有效方法． 既不充分也不必要条件的命题方向包括几何图形的独立性质、代数条件等． 例如，两个不相交的直线的平行和垂直关系在几何题中常见． 【知识点8】既不充分也不必要条件的应用 既不充分也不必要条件是指条件P和条件Q之间没有任何充分或必要的关系．即P成立与否对Q成立与否没有影响． 用符号表示为P⇏Q且Q⇏P．这种条件在数学中表示两个条件之间是独立的，没有任何相互关系． 充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可． 若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件． 充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广． 已知非空集合A={x|a-3＜x＜2a}，B={x|x2-2x-8＞0}． 若“x∈A”是“x∈B”的既不充分也不必要条件，求a的取值范围．解：由题意得A≠∅，∴a-3＜2a，即a＞-3， 由x∈A是x∈B的既不充分也不必要条件， 则，∴-1＜a＜7， ∴a的取值范围为（-1，7）． 【知识点9】充分条件的应用与判定定理 充分条件的应用在数学中非常广泛．通过充分条件，可以简化问题的解决过程．判定定理是基于充分条件的理论工具，用于证明某些结论的成立．例如，三角形全等的判定定理（如SAS、SSS等）就是典型的充分条件应用． 应用充分条件时，可以先寻找问题中的充分条件，然后利用这些条件简化解题过程．充分条件的判定定理可以直接套用，省去复杂的推理过程．例如，在三角形全等问题中，直接应用SAS判定定理，可以迅速得到结论．对于复杂问题，可以将其分解为多个充分条件，逐一验证． 充分条件的应用与判定定理的命题方向包括几何证明题、代数证明题等． 已知x≥2a-1是x≥3的充分条件，则实数a的取值范围是 _____． 解：由题意得：x≥2a-1⇒x≥3，故2a-1≥3，解得：a≥2， 故实数a的取值范围是{a|a≥2}． 故答案为：{a|a≥2}． 【知识点10】必要条件的判断 必要条件是指如果条件Q成立，那么条件P必然成立．用符号表示为Q⇒P．必要条件是判断一个结论是否必须具备的条件．例如，如果一个数是偶数，那么它必然能被2整除，能被2整除是偶数的必要条件．在解决数学问题时，确定必要条件可以帮助我们缩小可能的解答范围． 要判断一个条件是否为必要条件，可以通过假设条件Q成立，然后验证条件P是否也必然成立．可以使用反证法，即假设P不成立，看看Q是否也不成立．如果Q不成立，那么P是Q的必要条件．此外，可以通过逻辑推理和实例验证来进行判断． 必要条件的命题方向通常包括数列的收敛性判定、几何图形的判定等．例如，判断一个四边形是否是平行四边形，可以利用对角线互相平分这个必要条件． 若关于x的方程x2+（m-1）x+1=0至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是（　　） A．-1＜m＜3 B．-2＜m＜4 C．m＜4 D．-1≤m＜2 解：因为方程x2+（m-1）x+1=0至多有一个实数根， 所以方程x2+（m-1）x+1=0的判别式Δ≤0， 即：（m-1）2-4≤0，解得-1≤m≤3， 利用必要条件的定义，结合选项可知，-1≤m≤3成立的必要条件可以是选项B和选项C． 故选：BC． 【知识点11】充分不必要条件的应用 充分不必要条件是指如果条件P成立，则条件Q必然成立，但条件Q成立时，条件P不一定成立．用符号表示为P⇒Q，但 Q⇏P．这种条件在数学中表明某个条件足以保证结果成立，但不是唯一条件． 充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可． 若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件； 充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广． 集合A={x|x2+（a+2）x+2a＜0}，B={x|x2+2x-3＜0}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（　　） A．{a|-1≤a≤3} B．{a|-1≤a＜2或2＜a≤3} C．{a|2＜a≤3} D．{a|a≥2} 解：因为A={x|x2+（a+2）x+2a＜0}={x|（x+2）（x+a）＜0}，B={x|x2+2x-3＜0}={x|-3＜x＜1}， 若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则A⫋B且A≠∅， 当-a＜-2时，A={x|-a＜x＜-2}，B={x|-3＜x＜1}，则-a≥-3，解得2＜a≤3， 当-a＞-2时，A={x|-2＜x＜-a}，B={x|-3＜x＜1}，则-a≤1，解得-1≤a＜2， 所以-1≤a＜2或2＜a≤3． 故选：B． 【知识点12】必要不充分条件的判断 必要不充分条件是指如果条件Q成立，则条件P必然成立，但条件P成立时，条件Q不一定成立．用符号表示为Q⇒P，但 P⇏Q．这种条件在数学中表明某个条件必须满足才能保证结果成立，但单靠这个条件不能完全保证结果成立． 要判断一个条件是否为必要不充分条件，可以先验证Q⇒P，然后找反例验证P成立但Q不成立．举反例是关键步骤，找到一个P成立但Q不成立的例子即可证明P不是Q的充分条件．例如，通过几何图形性质验证某些必要不充分条件． 必要不充分条件的命题方向包括几何图形的判定条件、代数性质等． 已知x∈R，设p：x2-x＜0，则p的一个必要不充分条件是（　　） A．-1＜x＜0 B. C. D.0＜x＜1 解：因为x2-x＜0， 所以0＜x＜1， 所以p的一个必要不充分条件是． 故选：B． 题型专练 【题型1】充分条件和必要条件的探求 【典型例题】下面四个条件中，使“a>b”成立的充分不必要条件是(　　) A.a≥b＋1 B.a>b－1 C.a2>b2 D.|a|>|b| 【举一反三1】不等式“a>b>0”成立的一个充分不必要条件是(　　) A.a2>b2>0 B.a3>b3>0 C.>>1   D.>>1 【举一反三2】（2023·广东省广州市广东实验中学期中）使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【举一反三3】关于x的不等式|x|>a的解集为R的充要条件是________． 【举一反三4】方程x2－2x＋a＝0有实根的充要条件是________，它的一个充分不必要条件可以是________. 【举一反三5】分别写出“两个三角形全等”和“两个三角形相似”的几个充要条件. 【举一反三6】设a,b,c分别是△ABC的三条边,且a≤b≤c.我们知道,如果△ABC为直角三角形,那么 (勾股定理).反过来，如果那么△ABC为直角三角形(勾股定理的逆定理).由此可知，△ABC为直角三角形的充要条件是 请利用边长a，b，c分别给出△ABC为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件，并证明. 【题型2】探求必要条件 【典型例题】已知集合，或，，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是______. 【举一反三1】“一元二次方程x2－ax＋1＝0有两个正实数根”的一个充分条件可以为________；一个必要条件可以为________． 【举一反三2】已知集合，或，，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是______. 【举一反三3】设集合A＝{1,2}， (1)请写出一个集合B＝________，使“x∈A”是“x∈B”的充分条件，但“x∈A”不是“x∈B”的必要条件； (2)请写出一个集合B＝________，使“x∈A”是“x∈B”的必要条件，但“x∈A”不是“x∈B”的充分条件． 【题型3】判断充分条件与必要条件 【典型例题】对任意角和，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【举一反三1】 “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【举一反三2】是的_______条件. 【举一反三3】下列各题中，p是q的什么条件？ (1)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0； (2)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝. 【题型4】既不充分也不必要条件 【典型例题】“x，y为无理数”是“xy为无理数”的（    ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【举一反三1】“函数y＝x2－2x＋a的图象在x轴的上方”是“0≤a≤1”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【举一反三2】已知，，则“”是“”的（   ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【举一反三3】已知p：2x＋3＝x2，q：x＝x2，则p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【题型5】必要条件的判断 【典型例题】“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既充分也必要条件 D.既不充分也不必要条件 【举一反三1】关于x的一元二次方程x2+x+m=0有实数解的一个必要条件是(　　) A.m< B.m< C.m<- D.m<- 【举一反三2】下列选项中，p是q的必要条件的是(　　) A.p：a＝1，q：|a|＝1　　 B.p：－1＜a＜1，q：a＜1 C.p：a＜b，q：a＜b＋1 D.p：a＞b，q：a＞b＋1 【举一反三3】下列哪些命题中q不是p的必要条件(　　) A.p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等 B.p：A⊆B，q：A∩B＝A C.p：a>b，q：ac>bc D.p：∠A和∠B是对顶角，q：∠A＝∠B 【题型6】充分条件与必要条件关系的判断 【典型例题】(2023·吉林省长春市第八中学期中)“”是“”的条件(　　) A.充分而不必要 B.必要而不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要 【举一反三1】设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【举一反三2】明—罗贯中《三国演义》第49回“欲破曹公，宜用火攻；万事倶备，只欠东风”，比喻一切都准备好了，只差最后一个重要的条件．你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【举一反三3】已知a，b，c是实数，判断下列命题的真假： (1)“”是“”的充分条件是_____命题； (2)“” 是“”的必要条件是_____命题； (3)“a>b”是“”的充分条件是_____命题； (4)“a>b”是“”的必要条件是_____命题. 【举一反三4】下列各题中，哪些p是q的充要条件? (1)p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等； (2)p：⊙O内两条弦相等，q：⊙O内两条弦所对的圆周角相等； (3)p:A∩B为空集,q:A与B之一为空集. 【举一反三5】举例说明: (1)p是q的充分不必要条件； (2) p是q的必要不充分条件； (3) p是q的充要条件. 【题型7】利用充分、必要条件求参数范围 【典型例题】“关于x的方程mx2-2x+3=0有两个同号的实根”的一个充分条件是(　　) A.m>0 B.m≤ C.-1<m≤ D.0<m< 【举一反三1】使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【举一反三2】已知集合P＝{x|－1≤x≤4}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若“x∈P”是“x∈S”的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________. 【举一反三3】已知p：A＝{x|－1≤x≤5}，q：B＝{x|－m<x<2m－1}，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是________. 【举一反三4】已知p：实数x满足3a＜x＜a，其中a＜0；q：实数x满足－2≤x≤3.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围． 【题型8】充分条件的判断 【典型例题】已知条件p:m>0,结论q:关于x的方程x2-x-m=0有实根,则(　　) A.p是q的充分条件 B.p是q的必要条件 C.p不是q的充分条件 D.无法判断 【举一反三1】下列“若p，则q形式的命题中，p是q的充分条件的是( ) A.若两直线的斜率相等，则两直线平行 B.若，则 C.若，则 D.若，则 【举一反三2】下列命题中，p是q的充分条件的是(　　) A.p：ab≠0，q：a≠0 B.p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0 C.p：x2>1，q：x>1 D.p：a>b，q：> 【举一反三3】下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的是(　　) A.若＝，则x＝y   B.若x2＝1，则x＝1 C.若x＝y，则＝   D.若x<y，则x2<y2 【题型9】探求充分条件 【典型例题】已知集合A＝{x∈R|－1<x<3}，B＝{x∈R|－1<x<m＋1}，若x∈B成立的一个充分条件是x∈A，则实数m的取值范围是(　　) A.{m|m≥2} B.{m|m≤2} C.{m|m>2} D.{m|－2<m<2} 【举一反三1】下列选项中,可以作为一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分条件的是(　　) A.a≤0 B.a>0 C.a<-1 D.a<1 【举一反三2】设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”的充分条件是(　　) A.x＋y＝2 B.x＋y>2 C.x2＋y2>2 D.xy>1 【举一反三3】用反证法证明命题“设，已知是偶数，则n是偶数”时，应假设          . 【举一反三4】下列式子：①a＜0＜b；②b＜0＜a；③0＜b＜a.其中能使＜成立的充分条件有________．(只填序号) 【举一反三5】设，．若p是q的充分条件，求m的最大值. 【题型10】利用充分条件和必要条件求参数(或取值范围) 【典型例题】若“x≤－1或x≥1”是“x<a”的必要不充分条件，则实数a的最大值为(　　) A.－2 B.－1 C.0 D.1 【举一反三1】已知，则“”是“二次函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【举一反三2】(2023·江苏省无锡市辅仁高级中学期中)设，，若是的充分条件，则实数的取值范围是_______. 【举一反三3】已知α：x≥a，β：|x－1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________． 【举一反三4】（2023·江西省上饶市第二中学期中）已知命题实数x满足，命题q：实数x满足． （1）若命题p为假命题，求实数x的取值范围； （2）若命题q是命题p的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4充分条件与必要条件 讲解目录 【知识点1】充要条件的判断 1 【知识点2】必要不充分条件的应用 2 【知识点3】充分不必要条件的判断 3 【知识点4】充分条件的判断 4 【知识点5】必要条件的应用与性质定理 4 【知识点6】充要条件的应用 5 【知识点7】既不充分也不必要条件的判断 6 【知识点8】既不充分也不必要条件的应用 6 【知识点9】充分条件的应用与判定定理 7 【知识点10】必要条件的判断 7 【知识点11】充分不必要条件的应用 8 【知识点12】必要不充分条件的判断 9 【题型1】充分条件和必要条件的探求 9 【题型2】探求必要条件 12 【题型3】判断充分条件与必要条件 14 【题型4】既不充分也不必要条件 15 【题型5】必要条件的判断 16 【题型6】充分条件与必要条件关系的判断 17 【题型7】利用充分、必要条件求参数范围 19 【题型8】充分条件的判断 20 【题型9】探求充分条件 21 【题型10】利用充分条件和必要条件求参数(或取值范围) 22 知识讲解 【知识点1】充要条件的判断 充要条件是指条件P和条件Q之间互为充分必要条件．即若P成立，则Q成立，若Q成立，则P也成立．用符号表示为P⇔Q．充要条件在数学中非常重要，因为它们表示两个条件是等价的． 要判断一个条件是否为充要条件，需要分别验证P⇒Q和Q⇒P．如果两者都成立，则P和Q互为充要条件．通常可以通过逻辑推理和实例验证来进行判断．对于复杂问题，可以分步骤进行验证，确保每一步推理的正确性． 充要条件的命题方向包括几何图形的判定条件、函数的性质等．例如，矩形的对角线相等且互相平分是矩形的充要条件． “方程x2-2x+m=0至多有一个实数解”的一个充要条件是（　　） A．m≥1 B．m≤1 C．m≥2 D．m≥0 解：“方程 x2-2x+m=0至多有一个实数解”的充要条件为“（-2）2-4m≤0”即“m≥1”． 故选：A． 【知识点2】必要不充分条件的应用 必要不充分条件是指如果条件Q成立，则条件P必然成立，但条件P成立时，条件Q不一定成立．用符号表示为Q⇒P，但 P⇏Q．这种条件在数学中表明某个条件必须满足才能保证结果成立，但单靠这个条件不能完全保证结果成立． 充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可． 若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件； 充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广． 设；q：a≤x≤a+1，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（　　） B. C. D. 解：p：≤x≤1，q：a≤x≤a+1， 又∵p的必要不充分条件是q， ∴p⇒q，反之则不能， ∴1≤a+1，a≤， ∴0≤a≤， 当a=0时，q：0≤x≤1，满足p的必要不充分条件是q， 当a=时，q：≤x≤，满足p的必要不充分条件是q， ∴0≤a≤． 故选：D． 【知识点3】充分不必要条件的判断 充分不必要条件是指如果条件P成立，则条件Q必然成立，但条件Q成立时，条件P不一定成立．用符号表示为P⇒Q，但 Q⇏P．这种条件在数学中表明某个条件足以保证结果成立，但不是唯一条件． 要判断一个条件是否为充分不必要条件，可以先验证P⇒Q，然后找反例验证Q成立但P不成立．举反例是关键步骤，找到一个Q成立但P不成立的例子即可证明P不是Q的必要条件．例如，可以通过几何图形性质验证某些充分不必要条件． 充分不必要条件的命题方向包括几何图形的特殊性质、函数的特定性质等． 已知命题p：x2-4x+3＜0，那么命题p成立的一个充分不必要条件是（　　） A．x≤1 B．1＜x＜2 C．x≥3 D．2＜x＜3 解：由x2-4x+3＜0，解得1＜x＜3， 则1＜x＜2和2＜x＜3都是1＜x＜3的充分不必要条件． 故选：BD． 【知识点4】充分条件的判断 充分条件是指如果条件P成立，则条件Q必然成立．在数学上，通常记作P⇒Q．充分条件的概念在逻辑推理和数学证明中非常重要，常用于判断某些结论是否成立．例如，在三角形中，如果一个三角形是等边三角形，那么它必然是等腰三角形，这就是等边三角形是等腰三角形的充分条件． 要判断一个条件是否为充分条件，可以通过验证当条件P成立时，条件Q是否也必然成立．通常可以通过具体实例或逻辑推理来验证．例如，假设P成立，通过推理或计算验证Q是否成立．如果可以找到反例，即P成立但Q不成立，则P不是Q的充分条件． 在高考和其他数学考试中，常见的充分条件的命题方向包括几何图形的性质、函数的性质、数列的性质等．例如，三角形全等判定条件中的SAS、SSS等都是充分条件．函数的单调性和极值之间的关系也是常见的命题方向． 下列选项中，满足p是q的充分条件的是（　　） A．p：x＞，q：x＞1 B．p：m=0，q：mn=0 C．p：x2≠0，q：x≠0 D．p：x＞y，q：x2＞y2 解：对于A，由可推出x＞1，所以是x＞1的充分条件，A正确， 对于B，由m=0可推出mn=0，所以m=0是mn=0的充分条件，B正确， 对于C，由x2≠0可推出x≠0，所以x2≠0是x≠0的充分条件，C正确， 对于D，当x=2，y=-2时，x＞y，但是x2=y2，所以x＞y不是x2＞y2的充分条件，D错误． 故选：ABC． 【知识点5】必要条件的应用与性质定理 必要条件的应用在数学中也非常广泛．通过必要条件，可以确定某些结论的必然性．性质定理是基于必要条件的理论工具，用于判断某些条件是否必然满足． 应用必要条件时，可以先寻找问题中的必要条件，然后利用这些条件判断问题的必然性．性质定理可以直接套用，简化解题过程． 必要条件的应用与性质定理的命题方向包括几何证明题、代数证明题等．例如，四边形性质判定、平行四边形判定等几何题中常见． 已知p：-4＜x-a＜4，q：2＜x＜3，若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是（　　） A．[-1，6] B．（-∞，-1] C．[6，+∞） D．（-∞，-1]∪[6，+∞） 解：由-4＜x-a＜4，得-4+a＜x＜4+a， 即p：-4+a＜x＜4+a，对应的集合A=（-4+a，4+a）， 结合q：2＜x＜3，得q对应的集合B=（2，3）， 若p是q的必要条件，可知（2，3）⊆（-4+a，4+a）， ∴，解得-1≤a≤6． 故选：A． 【知识点6】充要条件的应用 充要条件：如果既有“p⇒q”，又有“q⇒p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p⇔q”．p与q互为充要条件． 充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可． ①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件； ②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件； ③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件； 充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广． 已知集合P={x|-2≤x≤10}，S={x|1-m≤x≤1+m}，是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：若x∈P是x∈S的充要条件， 则P=S，即，得，此时方程组无解． 即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件． 【知识点7】既不充分也不必要条件的判断 既不充分也不必要条件是指条件P和条件Q之间没有任何充分或必要的关系．即P成立与否对Q成立与否没有影响． 用符号表示为P⇏Q且Q⇏P．这种条件在数学中表示两个条件之间是独立的，没有任何相互关系． 例如，直线平行和直线垂直的关系． 要判断两个条件是否既不充分也不必要，可以分别验证P⇏Q和Q⇏P．找到P成立但Q不成立，以及Q成立但P不成立的反例． 通过举反例，可以证明两个条件之间的独立性．逻辑推理和具体实例是验证这种条件的有效方法． 既不充分也不必要条件的命题方向包括几何图形的独立性质、代数条件等． 例如，两个不相交的直线的平行和垂直关系在几何题中常见． 【知识点8】既不充分也不必要条件的应用 既不充分也不必要条件是指条件P和条件Q之间没有任何充分或必要的关系．即P成立与否对Q成立与否没有影响． 用符号表示为P⇏Q且Q⇏P．这种条件在数学中表示两个条件之间是独立的，没有任何相互关系． 充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可． 若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的既不充分也不必要条件． 充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广． 已知非空集合A={x|a-3＜x＜2a}，B={x|x2-2x-8＞0}． 若“x∈A”是“x∈B”的既不充分也不必要条件，求a的取值范围．解：由题意得A≠∅，∴a-3＜2a，即a＞-3， 由x∈A是x∈B的既不充分也不必要条件， 则，∴-1＜a＜7， ∴a的取值范围为（-1，7）． 【知识点9】充分条件的应用与判定定理 充分条件的应用在数学中非常广泛．通过充分条件，可以简化问题的解决过程．判定定理是基于充分条件的理论工具，用于证明某些结论的成立．例如，三角形全等的判定定理（如SAS、SSS等）就是典型的充分条件应用． 应用充分条件时，可以先寻找问题中的充分条件，然后利用这些条件简化解题过程．充分条件的判定定理可以直接套用，省去复杂的推理过程．例如，在三角形全等问题中，直接应用SAS判定定理，可以迅速得到结论．对于复杂问题，可以将其分解为多个充分条件，逐一验证． 充分条件的应用与判定定理的命题方向包括几何证明题、代数证明题等． 已知x≥2a-1是x≥3的充分条件，则实数a的取值范围是 _____． 解：由题意得：x≥2a-1⇒x≥3，故2a-1≥3，解得：a≥2， 故实数a的取值范围是{a|a≥2}． 故答案为：{a|a≥2}． 【知识点10】必要条件的判断 必要条件是指如果条件Q成立，那么条件P必然成立．用符号表示为Q⇒P．必要条件是判断一个结论是否必须具备的条件．例如，如果一个数是偶数，那么它必然能被2整除，能被2整除是偶数的必要条件．在解决数学问题时，确定必要条件可以帮助我们缩小可能的解答范围． 要判断一个条件是否为必要条件，可以通过假设条件Q成立，然后验证条件P是否也必然成立．可以使用反证法，即假设P不成立，看看Q是否也不成立．如果Q不成立，那么P是Q的必要条件．此外，可以通过逻辑推理和实例验证来进行判断． 必要条件的命题方向通常包括数列的收敛性判定、几何图形的判定等．例如，判断一个四边形是否是平行四边形，可以利用对角线互相平分这个必要条件． 若关于x的方程x2+（m-1）x+1=0至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是（　　） A．-1＜m＜3 B．-2＜m＜4 C．m＜4 D．-1≤m＜2 解：因为方程x2+（m-1）x+1=0至多有一个实数根， 所以方程x2+（m-1）x+1=0的判别式Δ≤0， 即：（m-1）2-4≤0，解得-1≤m≤3， 利用必要条件的定义，结合选项可知，-1≤m≤3成立的必要条件可以是选项B和选项C． 故选：BC． 【知识点11】充分不必要条件的应用 充分不必要条件是指如果条件P成立，则条件Q必然成立，但条件Q成立时，条件P不一定成立．用符号表示为P⇒Q，但 Q⇏P．这种条件在数学中表明某个条件足以保证结果成立，但不是唯一条件． 充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可． 若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件； 充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广． 集合A={x|x2+（a+2）x+2a＜0}，B={x|x2+2x-3＜0}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（　　） A．{a|-1≤a≤3} B．{a|-1≤a＜2或2＜a≤3} C．{a|2＜a≤3} D．{a|a≥2} 解：因为A={x|x2+（a+2）x+2a＜0}={x|（x+2）（x+a）＜0}，B={x|x2+2x-3＜0}={x|-3＜x＜1}， 若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则A⫋B且A≠∅， 当-a＜-2时，A={x|-a＜x＜-2}，B={x|-3＜x＜1}，则-a≥-3，解得2＜a≤3， 当-a＞-2时，A={x|-2＜x＜-a}，B={x|-3＜x＜1}，则-a≤1，解得-1≤a＜2， 所以-1≤a＜2或2＜a≤3． 故选：B． 【知识点12】必要不充分条件的判断 必要不充分条件是指如果条件Q成立，则条件P必然成立，但条件P成立时，条件Q不一定成立．用符号表示为Q⇒P，但 P⇏Q．这种条件在数学中表明某个条件必须满足才能保证结果成立，但单靠这个条件不能完全保证结果成立． 要判断一个条件是否为必要不充分条件，可以先验证Q⇒P，然后找反例验证P成立但Q不成立．举反例是关键步骤，找到一个P成立但Q不成立的例子即可证明P不是Q的充分条件．例如，通过几何图形性质验证某些必要不充分条件． 必要不充分条件的命题方向包括几何图形的判定条件、代数性质等． 已知x∈R，设p：x2-x＜0，则p的一个必要不充分条件是（　　） A．-1＜x＜0 B. C. D.0＜x＜1 解：因为x2-x＜0， 所以0＜x＜1， 所以p的一个必要不充分条件是． 故选：B． 题型专练 【题型1】充分条件和必要条件的探求 【典型例题】下面四个条件中，使“a>b”成立的充分不必要条件是(　　) A.a≥b＋1 B.a>b－1 C.a2>b2 D.|a|>|b| 【答案】A 【解析】由a≥b＋1>b，从而a≥b＋1⇒a>b； 反之，如a＝4，b＝3.5， 则4>3.5⇏4≥3.5＋1， 故a>b⇏ a≥b＋1，故A正确； a>b－1⇏a>b，如a＝3，b＝3.5， ∴a>b－1不是a>b的充分条件，故B错误； a2>b2⇏a>b，如a＝－3，b＝－2， ∴a2>b2不是a>b的充分条件，故C错误； |a|>|b|⇏a>b，如a＝－4，b＝－3， ∴|a|>|b|不是a>b的充分条件，故D错误． 【举一反三1】不等式“a>b>0”成立的一个充分不必要条件是(　　) A.a2>b2>0 B.a3>b3>0 C.>>1   D.>>1 【答案】C 【解析】设p为不等式q：a>b>0成立的一个充分不必要条件， 则p⇒q，q⇏p. 对于选项A，a2>b2>0⇔|a|>|b|>0⇔a>b>0或a<b<0，不满足条件，A错误． 对于选项B，a3>b3>0⇔a>b>0，∴a3>b3>0是a>b>0成立的充要条件，B错误． 对于选项C，>>1⇒1>a>b>0.但由a>b>0⇏>>1，例如3>2>0,1>>，C正确． 对于选项D，>>1⇒1>b>a>0；>>1⇏a>b>0，不满足条件，D错误． 【举一反三2】（2023·广东省广州市广东实验中学期中）使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵不等式，，解得， 故不等式的解集为：， 则其一个充分不必要条件可以是． 故选：． 【举一反三3】关于x的不等式|x|>a的解集为R的充要条件是________． 【答案】a<0 【解析】由题意知|x|>a恒成立， ∵|x|≥0，∴a<0. 【举一反三4】方程x2－2x＋a＝0有实根的充要条件是________，它的一个充分不必要条件可以是________. 【答案】a≤1　a＝1(答案不唯一) 【解析】方程x2－2x＋a＝0有实根的充要条件是Δ＝(－2)2－4a≥0a≤1. 当a＝1时，方程有实根x＝1. 又方程x2－2x＋a＝0有实根，不一定是a＝1， 故“a＝1”是方程x2－2x＋a＝0有实根的一个充分不必要条件. 【举一反三5】分别写出“两个三角形全等”和“两个三角形相似”的几个充要条件. 【答案】解　“两个三角形全等”的充要条件： (1)两个三角形三边对应相等. (2)两个三角形的两边及夹角对应相等. “两个三角形相似”的充要条件： (1)两个三角形三边对应成比例. (2)两个三角形三角对应相等. 【举一反三6】设a,b,c分别是△ABC的三条边,且a≤b≤c.我们知道,如果△ABC为直角三角形,那么 (勾股定理).反过来，如果那么△ABC为直角三角形(勾股定理的逆定理).由此可知，△ABC为直角三角形的充要条件是 请利用边长a，b，c分别给出△ABC为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件，并证明. 【答案】解　(1)若△ABC 是锐角三角形，则>c². 证明：必要性：当△ABC是锐角三角形时，如图①，过点A作AD⊥BC，垂足为D，设CD=x，则有BD=a-x，根据勾股定理，得 整理得 充分性:在△ABC中， 不是直角. 假设∠C为钝角，如图②，过B作BD⊥AC，交AC的延长线于D. 设CD=y，则 根据勾股定理，得 与矛盾， ∴∠C 为锐角，即△ABC为锐角三角形. ∴△ABC 为锐角三角形的一个充要条件是 (2)若△ABC是钝角三角形，∠C为钝角，则有 证明：必要性：当△ABC是钝角三角形时，如图②， 根据勾股定理，得即 充分性:在△ABC 中，不是直角. 假设∠C为锐角，如图①，显然 与矛盾， ∴∠C为钝角，即△ABC为钝角三角形. ∴△ABC为钝角三角形的一个充要条件是 【题型2】探求必要条件 【典型例题】已知集合，或，，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】因为“”是“”的必要条件，所以， 当时满足题意，即，所以； 当时，或， 解得：或； 综上可得，实数a的取值范围是. 故答案为：. 【举一反三1】“一元二次方程x2－ax＋1＝0有两个正实数根”的一个充分条件可以为________；一个必要条件可以为________． 【答案】a>3(答案不唯一)　a>－1(答案不唯一) 【解析】因为一元二次方程x2－ax＋1＝0有两个正实数根， 所以解得a≥2. 故一元二次方程x2－ax＋1＝0有两个正实数根的一个充分条件可以为a>3； 一元二次方程x2－ax＋1＝0有两个正实数根的一个必要条件可以为a>－1. 【举一反三2】已知集合，或，，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】因为“”是“”的必要条件，所以， 当时满足题意，即，所以； 当时，或， 解得：或； 综上可得，实数a的取值范围是. 故答案为：. 【举一反三3】设集合A＝{1,2}， (1)请写出一个集合B＝________，使“x∈A”是“x∈B”的充分条件，但“x∈A”不是“x∈B”的必要条件； (2)请写出一个集合B＝________，使“x∈A”是“x∈B”的必要条件，但“x∈A”不是“x∈B”的充分条件． 【答案】(1){1,2,3}(答案不唯一) (2){1}(答案不唯一) 【题型3】判断充分条件与必要条件 【典型例题】对任意角和，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】充分性：当时，或，所以不具备充分性； 必要性：当时，所以具有必要性，所以为必要不充分条件. 所以选择B. 【举一反三1】 “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当，则成立；反之，当，时，显然不一定成立，故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【举一反三2】是的_______条件. 【答案】充分不必要 【解析】当 时,则 所以 是 的充分条件， 又，所以方程 有两个根，故是的充分不必要条件. 【举一反三3】下列各题中，p是q的什么条件？ (1)p：a＋b＝0，q：a2＋b2＝0； (2)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝. 【答案】解　(1)∵a＋b＝0a2＋b2＝0， a2＋b2＝0a＋b＝0， ∴p是q的必要条件但不是充分条件. (2)∵x＝1或x＝2x－1＝， x－1＝x＝1或x＝2， ∴p是q的充分条件，也是必要条件. 【题型4】既不充分也不必要条件 【典型例题】“x，y为无理数”是“xy为无理数”的（    ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】充分性：取符合“x，y为无理数”，但是不符合“xy为无理数”， 故充分性不满足； 必要性：当“xy为无理数”时，可以取，但是不符合“x，y为无理数”， 故必要性不满足. 故“x，y为无理数”是“xy为无理数”的既不充分也不必要条件. 故选：D． 【举一反三1】“函数y＝x2－2x＋a的图象在x轴的上方”是“0≤a≤1”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】函数y＝x2－2x＋a的图象在x轴的上方， 则Δ＝4－4a<0，解得a>1， 由集合的包含关系可知{a|a>1}⇏{a|0≤a≤1}，{a|0≤a≤1}⇏{a|a>1}，故选D. 【举一反三2】已知，，则“”是“”的（   ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】满足，但无意义，不成立，不充分， 反之，满足，但无意义，即不成立，因此不必要， 从而应为既不充分也不必要条件， 故选：D． 【举一反三3】已知p：2x＋3＝x2，q：x＝x2，则p是q的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】由2x＋3＝x2，得x＝－1或x＝3， 由x＝x2，得x＝3或x＝0， 故p是q的既不充分也不必要条件． 【题型5】必要条件的判断 【典型例题】“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既充分也必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】“四边形的对角线互相垂直”无法推出“四边形是菱形”，反之，“四边形是菱形”可以推出“四边形的对角线互相垂直”，所以“四边形的对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的必要不充分条件．故选B. 【举一反三1】关于x的一元二次方程x2+x+m=0有实数解的一个必要条件是(　　) A.m< B.m< C.m<- D.m<- 【答案】A 【举一反三2】下列选项中，p是q的必要条件的是(　　) A.p：a＝1，q：|a|＝1　　 B.p：－1＜a＜1，q：a＜1 C.p：a＜b，q：a＜b＋1 D.p：a＞b，q：a＞b＋1 【答案】D 【解析】要满足p是q的必要条件，即q⇒p，只有q：a＞b＋1⇒p：a＞b符合题意，故选D. 【举一反三3】下列哪些命题中q不是p的必要条件(　　) A.p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等 B.p：A⊆B，q：A∩B＝A C.p：a>b，q：ac>bc D.p：∠A和∠B是对顶角，q：∠A＝∠B 【答案】C 【解析】A．因为矩形的对角线相等，所以q是p的必要条件； B．因为p⇒q，所以q是p的必要条件； C．因为c=0时，ac=bc，所以p⇏q，所以q不是p的必要条件； D．因为对顶角相等，即p⇒q，所以q是p的必要条件． 【题型6】充分条件与必要条件关系的判断 【典型例题】(2023·吉林省长春市第八中学期中)“”是“”的条件(　　) A.充分而不必要 B.必要而不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要 【答案】B 【解析】当成立时有成立，反之不正确， 所以“”是“”的必要而不充分条件. 故选：B. 【举一反三1】设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】当时，满足,所以是的不充分条件； 当时，满足,所以是的不必要条件. 故选：D. 【举一反三2】明—罗贯中《三国演义》第49回“欲破曹公，宜用火攻；万事倶备，只欠东风”，比喻一切都准备好了，只差最后一个重要的条件．你认为“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的必要条件，但不是充分条件． 【举一反三3】已知a，b，c是实数，判断下列命题的真假： (1)“”是“”的充分条件是_____命题； (2)“” 是“”的必要条件是_____命题； (3)“a>b”是“”的充分条件是_____命题； (4)“a>b”是“”的必要条件是_____命题. 【答案】(1)假　(2)假　(3)假　(4)真 【举一反三4】下列各题中，哪些p是q的充要条件? (1)p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等； (2)p：⊙O内两条弦相等，q：⊙O内两条弦所对的圆周角相等； (3)p:A∩B为空集,q:A与B之一为空集. 【答案】解　(1)p 是q的充要条件.(2)p不是 q 的充要条件.(3)p不是q的充要条件. 【举一反三5】举例说明: (1)p是q的充分不必要条件； (2) p是q的必要不充分条件； (3) p是q的充要条件. 【答案】解　(1)p:0<x<1，q:0<x<2. (2)p:0<x<2，q:0<x<1. (3)p:x>1，q:x-1>0. 【题型7】利用充分、必要条件求参数范围 【典型例题】“关于x的方程mx2-2x+3=0有两个同号的实根”的一个充分条件是(　　) A.m>0 B.m≤ C.-1<m≤ D.0<m< 【答案】D 【举一反三1】使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】不等式成立的一个充分不必要条件是， 是的必要不充分条件，是的非充分非必要条件， 是的充分必要条件. 故选：A. 【难度】基础题 【举一反三2】已知集合P＝{x|－1≤x≤4}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若“x∈P”是“x∈S”的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________. 【答案】{m|m≥3} 【解析】由题意，知PS， 又P＝{x|－1≤x≤4}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}， 所以且两式等号不同时成立， 解之得m≥3. 【举一反三3】已知p：A＝{x|－1≤x≤5}，q：B＝{x|－m<x<2m－1}，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是________. 【答案】{m|m>3} 【解析】因为p是q的充分条件，所以A⊆B，如图， 则解得m>3. 【举一反三4】已知p：实数x满足3a＜x＜a，其中a＜0；q：实数x满足－2≤x≤3.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】解　p：3a＜x＜a，即集合A＝{x|3a＜x＜a}． q：－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}． 因为p⇒q，所以A⊆B， 所以⇒－≤a＜0， 所以a的取值范围是－≤a＜0. 【题型8】充分条件的判断 【典型例题】已知条件p:m>0,结论q:关于x的方程x2-x-m=0有实根,则(　　) A.p是q的充分条件 B.p是q的必要条件 C.p不是q的充分条件 D.无法判断 【答案】A 【举一反三1】下列“若p，则q形式的命题中，p是q的充分条件的是( ) A.若两直线的斜率相等，则两直线平行 B.若，则 C.若，则 D.若，则 【答案】A 【解析】A中p是q的充分条件，B，C，D中p是q的必要条件， 故选A. 【举一反三2】下列命题中，p是q的充分条件的是(　　) A.p：ab≠0，q：a≠0 B.p：a2＋b2≥0，q：a≥0且b≥0 C.p：x2>1，q：x>1 D.p：a>b，q：> 【答案】A 【解析】根据充分条件的概念逐一判断． A项，∵ab≠0，∴ a≠0且b≠0，∴ p是q的充分条件； B项，当a=-1，b=-2时，满足a2＋b2≥0，但不满足a≥0且b≥0, ∴ p不是q的充分条件； C项，当x=-2时，满足x2>1，但不满足x>1，∴ p不是q的充分条件； D项，当a=-1，b=-2时，满足a>b，但>无意义，∴ p不是q的充分条件. 【举一反三3】下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的是(　　) A.若＝，则x＝y   B.若x2＝1，则x＝1 C.若x＝y，则＝   D.若x<y，则x2<y2 【答案】A 【解析】B项中，若x2＝1，则x＝1或x＝－1；C项中，当x＝y<0时，，无意义；D项中，当x<y<0时，x2>y2，所以B，C，D中p不是q的充分条件． 【题型9】探求充分条件 【典型例题】已知集合A＝{x∈R|－1<x<3}，B＝{x∈R|－1<x<m＋1}，若x∈B成立的一个充分条件是x∈A，则实数m的取值范围是(　　) A.{m|m≥2} B.{m|m≤2} C.{m|m>2} D.{m|－2<m<2} 【答案】A 【解析】因为x∈B成立的一个充分条件是x∈A，所以A⊆B，所以3≤m＋1，即m≥2. 【举一反三1】下列选项中,可以作为一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分条件的是(　　) A.a≤0 B.a>0 C.a<-1 D.a<1 【答案】C 【举一反三2】设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”的充分条件是(　　) A.x＋y＝2 B.x＋y>2 C.x2＋y2>2 D.xy>1 【答案】B 【解析】对于选项A，当x＝1，y＝1时，满足x＋y＝2，但命题不成立；对于选项C，D，当x＝－2，y＝－3时，满足x2＋y2>2，xy>1，但命题不成立，也不符合题意； 对于选项B，若x≤1，y≤1时，有x＋y≤2，反之不成立， 所以x＋y>2是x，y中至少有一个数大于1成立的充分条件． 【举一反三3】用反证法证明命题“设，已知是偶数，则n是偶数”时，应假设          . 【答案】已知是偶数，则n是奇数 【解析】用反证法证明命题“设，已知是偶数，则是偶数”. 反证法的第一步是作出与原命题结论相反的假设，原命题结论是是偶数，那么假设就是已知是偶数时，是奇数. 【举一反三4】下列式子：①a＜0＜b；②b＜0＜a；③0＜b＜a.其中能使＜成立的充分条件有________．(只填序号) 【答案】①③ 【解析】根据＜，可得＜0，故b－a与ab异号．对于①，由a＜0＜b，可得b－a＞0，ab＜0，故①能使＜成立；对于②，由b＜0＜a，可得b－a＜0，ab＜0，故②不能使＜成立；对于③，由0＜b＜a，可得b－a＜0，ab＞0，故③能使＜成立．故能使＜成立的充分条件有①③. 【举一反三5】设，．若p是q的充分条件，求m的最大值. 【答案】解　由，得． 因为是的充分条件，所以， 所以，所以的最大值为1． 【题型10】利用充分条件和必要条件求参数(或取值范围) 【典型例题】若“x≤－1或x≥1”是“x<a”的必要不充分条件，则实数a的最大值为(　　) A.－2 B.－1 C.0 D.1 【答案】B 【解析】“x≤－1或x≥1”是“x<a”的必要不充分条件，则由“x<a”可以推出“x≤－1或x≥1”，但由“x≤－1或x≥1”推不出“x<a”，即{x|x<a}是{x|x≤－1或x≥1}的真子集，所以a≤－1， 所以实数a的最大值为－1. 【举一反三1】已知，则“”是“二次函数在上单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由，解得或. 二次函数对称轴为，在上单调递增，则，即 . 或不能推出，而能推出或， 所以“”是“二次函数在上单调递增”的必要不充分条件. 【举一反三2】(2023·江苏省无锡市辅仁高级中学期中)设，，若是的充分条件，则实数的取值范围是_______. 【答案】 【解析】由已知可得，所以，. 故答案为：. 【举一反三3】已知α：x≥a，β：|x－1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________． 【答案】{a|a≤0} 【解析】α：x≥a，可看作集合A＝{x|x≥a}． ∵β：|x－1|<1， ∴0<x<2， ∴β可看作集合B＝{x|0<x<2}． 又∵α是β的必要不充分条件， ∴BA，∴a≤0. 故实数a的取值范围是{a|a≤0}. 【举一反三4】（2023·江西省上饶市第二中学期中）已知命题实数x满足，命题q：实数x满足． （1）若命题p为假命题，求实数x的取值范围； （2）若命题q是命题p的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【答案】解：（1）命题为假命题，则，解得， 所以实数x的取值范围为. （2）由题意，命题或， 设其对应的集合为，则或， 命题或， 设其对应的集合为，则或， 因为命题是命题的必要不充分条件， 所以是的真子集， 所以（不同时取等号），解得， 所以实数的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $