1.2集合间的基本关系 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.2集合间的基本关系 讲解目录 【知识点1】子集的个数 1 【知识点2】判断两个集合是否相同 2 【知识点3】空集及空集的性质 2 【知识点4】两个集合相等的应用 3 【知识点5】判断两个集合的包含关系 4 【知识点6】子集的判断与求解 4 【知识点7】集合的包含关系的应用 5 【知识点8】Venn图表集合的包含关系 6 【题型1】集合的真子集个数 7 【题型2】由集合间的关系求参数的值或范围 8 【题型3】判断两个集合的真包含关系 10 【题型4】根据两个集合相等求参数 12 【题型5】判断两个集合的包含关系(子集) 13 【题型6】集合相等 14 【题型7】判断两个集合是否相等 16 【题型8】集合的子集个数 18 【题型9】Venn图 19 【题型10】空集的判断和运用 20 知识讲解 【知识点1】子集的个数 1、子集真子集定义：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A是集合B的真子集． 也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合 B 的元素，则称 A 是 B 的子集，若 B 中有一个元素，而A 中没有，且A 是 B 的子集，则称 A 是 B 的真子集， 注：①空集是所有集合的子集； ②所有集合都是其本身的子集； ③空集是任何非空集合的真子集 2、一般来说，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以对于含有n个（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n个；真子集就有2n-1．但空集属特殊情况，它只有一个子集，没有真子集． 公式计算：若一个集合有n个元素，则它的子集个数为2^n．理解幂集：幂集是一个集合的所有子集组成的集合． 已知集合A={x|-1≤x+1≤6}，当x∈Z时，求A的非空真子集的个数． 解：当x∈Z时，A={x|-2≤x≤5}={-2，-1，0，1，2，3，4，5}，共8个元素， ∴A的非空真子集的个数为28-2=254个； 【知识点2】判断两个集合是否相同 （1）若集合A与集合B的元素相同，则称集合A等于集合B． （2）对集合A和集合B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，记作A=B．就是如果A⊆B，同时B⊆A，那么就说这两个集合相等，记作 A=B． 集合A与集合B相等，是指A 的每一个元素都在B 中，而且B中的每一个元素都在A中．元素一一对应：两个集合相同，需确保每个元素都在两个集合中出现，且没有遗漏．直接对比：对于简单集合，可以直接对比元素列举是否完全一致． 下列集合中相等的集合是（　　） ①{x|y=+1}； ②{y|y=+1}； ③{（x，y）|y=+1}； ④{s|s=t2+1}． 解：①{x|y=+1}={x|x≥0}； ②{y|y=+1}={y|y≥1}； ③{（x，y）|y=+1}={（x，y）|}； ④{s|s=t2+1}={s|s≥1}． ∴相等的集合是②④． 【知识点3】空集及空集的性质 1、空集的定义：不含任何元素的集合称为空集．记作∅．空集的性质：空集是一切集合的子集． 2、注意： 空集不是没有；它是内部没有元素的集合，而集合是存在的．这通常是初学者的一个难理解点． 将集合想象成一个装有其元素的袋子的想法或许会有帮助； 袋子可能是空的，但袋子本身确实是存在的． 例如：{x|x2+1=0，x∈R}=∅．虽然有x的表达式，但方程中根本就没有这样的实数x使得方程成立，所以方程的解集是空集． 3、空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．     解答与空集有关的问题，例如集合A∩B=B⇔B⊆A，实际上包含3种情况： ①B=∅； ②B⊂A且B≠∅； ③B=A；往往遗漏B是∅的情形，所以老师们在讲解这一部分内容或题目时，总是说“空集优先的原则”，就是首先 考虑空集．     一般情况下，多与集合的基本运算联合命题，是学生容易疏忽、出错的地方，考查分析问题解决问题的细心程度，难度不大，可以在选择题、填空题、简答题中出现． 【知识点4】两个集合相等的应用 对于两个有限数集A=B，则这两个有限数集 A、B中的元素全部相同，由此可推出如下性质： ①两个集合的元素个数相等； ②两个集合的元素之和相等； ③两个集合的元素之积相等．由此知，以上叙述实质是一致的，只是表达方式不同而已．上述概念是判断或证明两个集合相等的依据． 集合A与集合B相等，是指A 的每一个元素都在B 中，而且B中的每一个元素都在A中．解题时往往只解答一个问题，忽视另一个问题；解题后注意集合满足元素的互异性． 已知集合A={0，2，4}，．若A=B，则实数n的值为（　　） 解：由题意，得m+n=0或， 当m+n=0时，，即m=2n+4， 故2n+4+n=0，解得， 故，所以B={4，0，2}，满足题意； 当时，m+n=2，解得n=2， 所以n=2或． 【知识点5】判断两个集合的包含关系 如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A⊂B； 1．按照子集包含元素个数从少到多排列． 2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素． 3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系． 4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法． 通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系． 已知集合A={1，2，3，4}，B={1，2，3}，则（　　） A．A＞B B．B∈A C．A⊆B D．B⊆A 解：由题意可得，B⊆A． 故选：D． 【知识点6】子集的判断与求解 1、子集定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集（subset）． 记作：A⊆B（或B⊇A）． 2、真子集是对于子集来说的． 真子集定义：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A是集合B的真子集． 也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合 B 的元素，则称 A 是 B 的子集， 若 B 中有一个元素，而A 中没有，且A 是 B 的子集，则称 A 是 B 的真子集， 注：①空集是所有集合的子集； ②所有集合都是其本身的子集； ③空集是任何非空集合的真子集 例如：所有亚洲国家的集合是地球上所有国家的集合的真子集． 所有的自然数的集合是所有整数的集合的真子集． {1，3}⊂{1，2，3，4} {1，2，3，4}⊆{1，2，3，4} 定义子集：A是B的子集，当且仅当A中的每一个元素都在B中． 验证元素：逐个检查A中的元素是否在B中．符号表示：用⊆表示子集关系，若A是B的子集，记为A⊆B． 本考点要求理解，高考会考中多以选择题、填空题为主，曾经考查子集个数问题，常常与集合的运算，概率，函数的基本性质结合命题． 【知识点7】集合的包含关系的应用 如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B，读作“A包含于B”（或“B包含于A”）． 1．按照子集包含元素个数从少到多排列． 2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素． 3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系． 4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法． 设m为实数，集合A={x|-3≤x≤2}，B={x|m≤x≤2m-1}，满足B⊆A，则m的取值范围是_____． 解：∵集合A={x|-3≤x≤2}，B={x|m≤x≤2m-1}，且B⊆A， ∴当m＞2m-1时，即m＜1时，B=∅，符合题意； 当m≥1时，可得，解得． 综上所述，，即m的取值范围是． 故答案为：． 【知识点8】Venn图表集合的包含关系 如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B，读作“A包含于B”（或“B包含于A”）． Venn图表示如下： 明确集合：了解每个集合的元素和定义．绘制圆圈：使用圆圈表示集合，每个集合一个圆圈．包含关系：一个集合完全包含于另一个集合，用一个圆圈完全包含另一个圆圈表示． 下列表示集合M={x|x2-4=0}和关系的Venn图中正确的是（　　） A. B. C. D. 解：集合M={x|x2-4=0}={-2，2}，={1，-1，2，-2}， 则M⊆N． 故选：D． 题型专练 【题型1】集合的真子集个数 【典型例题】已知集合A＝{x,1}，B＝{y,1,2,4}，且A是B的真子集．若实数y在集合{0,1,2,3,4}中，则不同的集合{x，y}共有(　　) A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 【答案】A 【解析】分析知x≠y.由A是B的真子集，得x＝2或x＝4. 由y在集合{0,1,2,3,4}中及集合中元素的互异性，得y＝0或y＝3，即x＝2，y＝0或x＝2，y＝3或x＝4，y＝0或x＝4，y＝3，故集合{x，y}的所有可能情况为{2,0}，{2,3}，{4,0}，{4,3}，共4个，故选A. 【举一反三1】已知集合A＝{x|x2－mx＋＝0}有两个非空真子集，则实数m的取值范围为(　　) A.{m|m>4} B.{m|m<0或m>4} C.{m|m≥4} D.{m|m≤0或m>4} 【答案】A 【解析】由集合A＝{x|x2－mx＋＝0}有两个非空真子集，知关于x的方程x2－mx＋＝0有两个不相等的实数根， ∴m≠0，且Δ＝m2－4·>0， 即m2－4m>0，且m>0， ∴m>4，即实数m的取值范围为{m|m>4},故选A. 【举一反三2】已知集合，，则的真子集的个数为（   ） A.8 B.7 C.4 D.3 【答案】B 【解析】， ，， ∴，它是真子集有7个． 故选：B． 【举一反三3】定义集合运算：.已知集合，则集合有______个真子集. 【答案】15 【解析】由题 因为， 所以，则集合有个真子集. 【举一反三4】集合{(1,2)，(－3,4)}的所有非空真子集是________． 【答案】{(1,2)}，{(－3,4)} 【解析】{(1,2)，(－3,4)}的所有真子集有∅，{(1,2)}，{(－3,4)}，其非空真子集是{(1,2)}，{(－3,4)}． 【举一反三5】写出满足{3,4}P⊆{0,1,2,3,4}的所有集合P. 【答案】解　由题意知，集合P中一定含有元素3,4，并且是至少含有三个元素的集合，因此所有满足题意的集合P为：{0,3,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{0,1,3,4}，{0,2,3,4}，{1,2,3,4}，{0,1,2,3,4}． 【题型2】由集合间的关系求参数的值或范围 【典型例题】已知集合、集合，若，则实数的取值集合为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】， ∵， ∴，所以N分为空集和非空集合来讨论 当时，有，解得， 当时，有，解得， 当时，有，方程组无解， 当时，有，所以，方程组无解， 综上所述，实数的取值集合为. 故选：C. 【举一反三1】设集合，，满足，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】已知，，且. 那么中最大元素需满足， 可得，即. 故选：C． 【举一反三2】已知集合A＝{x|x<－1，或x>2}，B＝{x|4x＋p<0}，若B⊆A，则实数p的取值范围是________. 【答案】{p|p≥4} 【解析】集合A＝{x|x<－1，或x>2}， B＝{x|4x＋p<0}＝， 若B⊆A，则－≤－1，p≥4， 则实数p的取值范围是{p|p≥4}. 【举一反三3】（2023·湖南省长沙市长郡中学期中）设全集集合，． （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】解：（1）因为，所以，解得，所以， 又因为， 所以或，或． （2）当时，，因为，所以，解得； 当时，，此时成立； 当时，，因为，所以，解得， 综上所述，的取值范围是． 【题型3】判断两个集合的真包含关系 【典型例题】集合的真子集的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】由于，因此，所以集合的真子集有：，个数是． 故选：A. 【举一反三1】已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由， 由，， 所以或， 而， 当时，, 当时，； 其中分子都表示奇数，所以. 故选：A. 【举一反三2】用适当的符号填空： (1)a       {a,b,c}; (2)0____ (3)∅      ; (4){0,1}        N; (5){0}____{}； (6){2,1}___{} 【答案】(1)∈　(2)∈　(3)=　(4)　(5)　(6)= 【举一反三3】选用适当的符号填空： (1)若集合A={x|2x-3<3x},B={x|x≥2},则 -4      B,-3      A,{2}      B,B      A; (2)若集合{}，则 1       A,{-1}       A,∅         A,{1,-1}       A; (3){x|x是菱形}        {x|x是平行四边形}; {x|x是等腰三角形}        {x|x是等边三角形}. 【答案】(1)∉;∉;;　(2)∈;;;=　(3); 【举一反三4】在平面直角坐标系中，集合C={(x，y)|y=x}表示直线y=x，从这个角度看，集合表示什么?集合C，D之间有什么关系? 【答案】解　集合D表示直线与直线4y=5的交点(1，1)组成的集合，而(1，1)在直线y=x上，∴DC. 【举一反三5】判断下列两个集合之间的关系： (1)A={x|x<0},B={x|x<1}; (2)A={x|x=3k,k∈N},B={x|x=6z,z∈N}; (3)A={x∈N+|x是4与10的公倍数},B={x|x=20m,m∈N+}. 【答案】解　(1)AB. (2)A={x|x=3k，k∈N}是由自然数中3 的倍数构成的集合，B={x|x=6z，z∈N} 是由自然数中6的倍数构成的集合，6的倍数一定是3的倍数，但3的倍数不一定是6的倍数，∴AB. (3)4和10的公倍数是20的倍数，因而A={是4与10的公倍数}{是20的倍数}{} 【题型4】根据两个集合相等求参数 【典型例题】已知集合，且，则（ ） A. B. 1 C. D. 0 【答案】A 【解析】因为，所以. 解得. 【举一反三1】若，则的值为（    ） A. B.3 C. D.7 【答案】C 【解析】因为， 所以，解得， 所以. 故选：C. 【举一反三2】，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据集合中元素的互异性，，而，只好，   于是.则 . 故选：C. 【举一反三3】，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据集合中元素的互异性，，而，只好，   于是.则 . 故选：C. 【举一反三4】已知集合，且，则（ ） A. B. 1 C. D. 0 【答案】A 【解析】因为，所以. 解得. 【题型5】判断两个集合的包含关系(子集) 【典型例题】已知集合A={0，1，2}，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】“”是用于表示集合与集合之间的包含关系，而0是一个元素，不是集合，不能用来表示，所以选项A错误. “”用于表示元素与集合之间的属于关系，0是集合 A={0，1，2}中的一个元素，所以，选项B正确. “”用于元素与集合的关系，是一个集合，所以表示是错误的，应该是，选项C错误. 因为空集是任何集合的子集，所以应该是，而不是，选项D错误. 正确答案为B 【举一反三1】设集合M＝{1，2，3}，N＝{1}，则下列关系正确的是(　　) A.N∈M B.N∉M C.N⊇M D.N⊆M 【答案】D 【举一反三2】已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1，2}，C＝{x|x＜8，x∈N}，用适当的符号填空： (1)A________B；(2)A________C； (3){2}________C；(4)2________C． 【答案】(1)＝　(2)⊆　(3)⊆　(4)∈ 【解析】集合A为方程x2－3x＋2＝0的解集，即A＝{1，2}，而C＝{x|x＜8，x∈N}＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．故(1)A＝B；(2)A⊆C；(3){2}⊆C；(4)2∈C. 【举一反三3】设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝，则A，B准确的关系是________． 【答案】B⊆ A 【解析】因为B＝＝{(x，y)|y＝x，且x≠0}，故B⊆ A. 【举一反三4】判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由： (1)A＝{1,2,3}，B＝{x|x是8的约数}； (2)A＝{x|x是长方形}，B＝{x|x是两条对角线相等的平行四边形}． 【答案】解　(1)因为3不是8的约数，所以集合A不是集合B的子集． (2)因为若x是长方形，则x一定是两条对角线相等的平行四边形，所以集合A是集合B的子集． 【举一反三5】判断下列各组集合之间的关系： (1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}； (2)M＝{x|x＝2n，n∈N*}，N＝{x|x＝4n，n∈N*}； (3)集合P＝{x|y＝x2}，集合Q＝{y|y＝x2}． 【答案】解：(1)集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系． (2)由列举法知M＝{2，4，6，8，…}，N＝{4，8，12，16，…}，故N⊆ M. (3)因为P＝{x|y＝x2}＝R，Q＝{y|y＝x2}＝{y|y≥0}，所以Q⊆ P. 【题型6】集合相等 【典型例题】已知集合A＝，B＝，C＝，下列结论正确的是(　　) A.A＝B B.A＝C C.B＝C D.A＝B＝C 【答案】A 【解析】∵A＝={x|x≠0}，B＝={y|y≠0}，C=表示曲线y＝上的点形成的集合，∴A＝B. 【举一反三1】给出以下集合，其中是相等集合的有(　　) A.M＝{(－5,3)}，N＝{－5,3} B.M＝∅，N＝{0} C.M＝{π}，N＝{3.141 5} D.M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{y|y2－3y＋2＝0} 【答案】D 【解析】对于A，M＝{(－5,3)}中只有一个元素(－5,3)， N＝{－5,3}中有两个元素－5,3，故M，N不是相等的集合； 对于B，M＝∅，N＝{0}，M是空集，N中有一个元素0，故M，N不是相等的集合； 对于C，M＝{π}，N＝{3.141 5}，M和N中各有一个元素，但元素不相同，故M，N不是相等的集合； 对于D，解一元二次方程可得，M和N都只有两个元素1,2，所以M和N是相等的集合．故选D. 【举一反三2】已知集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么(　　) A.PM B.MP C.M＝P D.M∈P 【答案】C 【解析】∵∴∴M＝P. 【举一反三3】已知集合M＝{－1,3,2m－1}，集合N＝{3，m2}，若N⊆M，则实数m＝________. 【答案】1 【解析】依题意，知当N⊆M时，m2＝－1或m2＝2m－1，又因为m2≥0，所以m2＝2m－1， 解得m＝1，经检验满足题意． 【举一反三4】设a，b∈R，集合A＝{1，a}，B＝{x|x(x－a)(x－b)＝0}，若A＝B，则a＝________，b＝________. 【答案】0　1 【解析】A＝{1，a}，解方程x(x－a)(x－b)＝0， 得x＝0或x＝a或x＝b，若A＝B， 则a＝0，b＝1，经检验，满足题意. 【举一反三5】设 ，集合，且，求实数的值． 【答案】解：，，且， ， 解得或 . 【举一反三6】集合，，若，求x，y的值. 【答案】解：若，则或， 解得或（舍），所以，. 【题型7】判断两个集合是否相等 【典型例题】下列各组两个集合和表示同一集合的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A选项中集合中的元素为无理数，而中的元素为有理数，故； B选项中集合中的元素为实数，而中的元素为有序数对，故； C选项中因为，则集合故； D选项中集合中的元素为0，1，而中的元素为1，故． 故选：C． 【举一反三1】下列四组集合中表示同一集合的为（    ） A.， B.， C.， D.， 【答案】B 【解析】对A，两个集合中元素对应的坐标不同，则A不正确； 对B，集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，故B正确； 对C，两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，则C不正确； 对D，是以为元素的集合，是空集，则D不正确． 故选：B． 【举一反三2】已知集合，，，，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵是单元素集，集合中的元素是， ， ， ，集合中的元素是点， . ∴. 故选：D. 【举一反三3】下列各组两个集合和表示同一集合的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A选项中集合中的元素为无理数，而中的元素为有理数，故； B选项中集合中的元素为实数，而中的元素为有序数对，故； C选项中因为，则集合故； D选项中集合中的元素为0，1，而中的元素为1，故． 故选：C． 【题型8】集合的子集个数 【典型例题】已知集合A＝{(x，y)|4x＋3y－12＜0，x∈N*，y∈N*}，则集合A的子集的个数为(　　) A.3 B.4 C.7 D.8 【答案】D 【解析】用列举法表示集合A，得A＝{(1，1)，(1，2)，(2，1)}，则集合A的子集的个数为23＝8. 【举一反三1】（2023·江苏省扬州市高邮市月考）设集合，集合，则的子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】由题意可知，有三个元素， 故其子集的个数为个. 故选：D. 【举一反三2】已知非空集合P满足：(1)P⊆{1，2，3，4，5}；(2)若a∈P，则6－a∈P.符合上述条件的集合P的个数为________. 【答案】7 【解析】由a∈P，6－a∈P，且P⊆{1，2，3，4，5}可知，P中元素在取值方面应满足的条件是1，5同时选，2，4时同选，3可单独选，可一一列出满足条件的全部集合P为{3}，{1，5}，{2，4}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，5，2，4}，{1，2，3，4，5}，共7个. 【举一反三3】已知集合A⊆{0,1,2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为________． 【答案】6 【解析】集合{0,1,2}的子集为∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有{0}，{2}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，{0,1}，共6个． 【举一反三4】已知集合A＝{x∈R|ax2－3x－4＝0}． (1)若集合A中有两个元素，求实数a的取值范围； (2)若集合A最多有两个子集，求实数a的取值范围． 【答案】解　(1)由于A中有两个元素， ∴关于x的方程ax2－3x－4＝0有两个不等的实数根， ∴Δ＝9＋16a>0，且a≠0，即a>－，且a≠0. 故实数a的取值范围是. (2)集合A最多有两个子集即A中至多有一个元素， 即方程ax2－3x－4＝0无解或只有一解， 当a＝0时，方程为－3x－4＝0，解得x＝－，集合A＝； 当a≠0时，若关于x的方程ax2－3x－4＝0有两个相等的实数根，则A中只有一个元素，此时a＝－； 若关于x的方程ax2－3x－4＝0没有实数根，则A中没有元素，此时a<－. 综上可知，实数a的取值范围是. 【举一反三5】已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集. 【答案】解　∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}， ∴A＝{(0，2)，(1，1)，(2，0)}. ∴A的子集有：，{(0，2)}，{(1，1)}，{(2，0)}，{(0，2)，(1，1)}，{(0，2)，(2，0)}，{(1，1)，(2，0)}，{(0，2)，(1，1)，(2，0)}. 【题型9】Venn图 【典型例题】下列表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2－x＝0}的关系的Venn图正确的是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由x2－x＝0，解得x=1或x=0，所以N＝{1,0}，又因为M＝{－1,0,1}，所以N⊆M.故选B. 【举一反三1】下列各选项中，表示M⊆N的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由M⊆N知，表示集合M的图形应全都在表示集合N的图形中． 【举一反三2】已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2，3}，集合A与B的关系如图所示，则集合B可能是(　　) A.{2，4，5} B.{1，2，5} C.{1，6} D.{1，3} 【答案】D 【解析】由题图可知B⊆A.由A＝{1，2，3}，结合选项可知{1，3}⊆A，故选D. 【举一反三3】下列各选项中，表示M⊆N的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由M⊆N知，表示集合M的图形应全都在表示集合N的图形中． 【题型10】空集的判断和运用 【典型例题】下列四个集合中，是空集的是(　　) A.{x|x＋3＝3} B.{(x，y)|y2＝－x2，x，y∈R} C.{x|x2≤0} D.{x|x2－x＋1＝0，x∈R} 【答案】D 【解析】A项，{x|x+3=3}＝{0}，不是空集， B项，{(x，y)|y2＝－x2，x，y∈R}＝{0,0}，不是空集； C项，{x|x2≤0}＝{0}，不是空集，D项，∵x2－x＋1＝0，Δ＝1－4＝－3<0，方程无解， ∴{x|x2－x＋1＝0，x∈R}＝∅，故选D. 【举一反三1】下列集合中为空集的是(　　) A.{x∈N|x2≤0} B.{x∈R|x2－1＝0} C.{x∈R|x2＋x＋1＝0} D.{0} 【答案】C 【解析】A项，{x∈N|x2≤0}＝{0}，不是空集； B项，{x∈R|x2－1＝0}＝{－1,1}，不是空集； C项，{x∈R|x2＋x＋1＝0}， 因为方程x2＋x＋1＝0判别式Δ=1-4=-3<0,所以无实数解，所以该集合是空集； D项，{0}显然不是空集． 【举一反三2】下列表述中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】不包含任何元素，故中含有元素0，错误； 为点集，为数集，故，B错误； 是集合中的一个元素，即，C错误； 表示自然数集，故，D正确. 故选：D. 【举一反三3】不等式组的解集为，则实数的取值范围是_____________. 【答案】 【解析】∵不等式组的解集为， ①当时，由求得；由，求得， 故不等式组的解集为，故不满足条件； ②当时，由求得；由，求得， 若，即时，不等式组的解集为，满足条件； 若，即时，不等式组的解集为，不满足条件， 综上可得实数的取值范围是， 故答案为：． 【举一反三4】关于的不等式组的解集为，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】由题意得：，所以． 故答案为：. 【举一反三5】已知集合. （1）若集合A的子集只有一个，求实数a的取值范围； （2）若集合A中有且只有一个元素，求实数a的值. 【答案】解 （1）因为集合A的子集只有一个， 则，即方程无实数根， 于是得，即，解得， 所以实数a的取值范围为； （2）因为集合A中有且只有一个元素， 则方程只有一个实数根或者两个相等实根， 当时，集合满足题意，则， 当时，则，，集合满足题意，即， 所以实数a的值为0或1. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2集合间的基本关系 讲解目录 【知识点1】子集的个数 1 【知识点2】判断两个集合是否相同 2 【知识点3】空集及空集的性质 2 【知识点4】两个集合相等的应用 3 【知识点5】判断两个集合的包含关系 4 【知识点6】子集的判断与求解 4 【知识点7】集合的包含关系的应用 5 【知识点8】Venn图表集合的包含关系 6 【题型1】集合的真子集个数 7 【题型2】由集合间的关系求参数的值或范围 7 【题型3】判断两个集合的真包含关系 8 【题型4】根据两个集合相等求参数 8 【题型5】判断两个集合的包含关系(子集) 9 【题型6】集合相等 10 【题型7】判断两个集合是否相等 10 【题型8】集合的子集个数 11 【题型9】Venn图 11 【题型10】空集的判断和运用 12 知识讲解 【知识点1】子集的个数 1、子集真子集定义：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A是集合B的真子集． 也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合 B 的元素，则称 A 是 B 的子集，若 B 中有一个元素，而A 中没有，且A 是 B 的子集，则称 A 是 B 的真子集， 注：①空集是所有集合的子集； ②所有集合都是其本身的子集； ③空集是任何非空集合的真子集 2、一般来说，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以对于含有n个（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n个；真子集就有2n-1．但空集属特殊情况，它只有一个子集，没有真子集． 公式计算：若一个集合有n个元素，则它的子集个数为2^n．理解幂集：幂集是一个集合的所有子集组成的集合． 已知集合A={x|-1≤x+1≤6}，当x∈Z时，求A的非空真子集的个数． 解：当x∈Z时，A={x|-2≤x≤5}={-2，-1，0，1，2，3，4，5}，共8个元素， ∴A的非空真子集的个数为28-2=254个； 【知识点2】判断两个集合是否相同 （1）若集合A与集合B的元素相同，则称集合A等于集合B． （2）对集合A和集合B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，记作A=B．就是如果A⊆B，同时B⊆A，那么就说这两个集合相等，记作 A=B． 集合A与集合B相等，是指A 的每一个元素都在B 中，而且B中的每一个元素都在A中．元素一一对应：两个集合相同，需确保每个元素都在两个集合中出现，且没有遗漏．直接对比：对于简单集合，可以直接对比元素列举是否完全一致． 下列集合中相等的集合是（　　） ①{x|y=+1}； ②{y|y=+1}； ③{（x，y）|y=+1}； ④{s|s=t2+1}． 解：①{x|y=+1}={x|x≥0}； ②{y|y=+1}={y|y≥1}； ③{（x，y）|y=+1}={（x，y）|}； ④{s|s=t2+1}={s|s≥1}． ∴相等的集合是②④． 【知识点3】空集及空集的性质 1、空集的定义：不含任何元素的集合称为空集．记作∅．空集的性质：空集是一切集合的子集． 2、注意： 空集不是没有；它是内部没有元素的集合，而集合是存在的．这通常是初学者的一个难理解点． 将集合想象成一个装有其元素的袋子的想法或许会有帮助； 袋子可能是空的，但袋子本身确实是存在的． 例如：{x|x2+1=0，x∈R}=∅．虽然有x的表达式，但方程中根本就没有这样的实数x使得方程成立，所以方程的解集是空集． 3、空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．     解答与空集有关的问题，例如集合A∩B=B⇔B⊆A，实际上包含3种情况： ①B=∅； ②B⊂A且B≠∅； ③B=A；往往遗漏B是∅的情形，所以老师们在讲解这一部分内容或题目时，总是说“空集优先的原则”，就是首先 考虑空集．     一般情况下，多与集合的基本运算联合命题，是学生容易疏忽、出错的地方，考查分析问题解决问题的细心程度，难度不大，可以在选择题、填空题、简答题中出现． 【知识点4】两个集合相等的应用 对于两个有限数集A=B，则这两个有限数集 A、B中的元素全部相同，由此可推出如下性质： ①两个集合的元素个数相等； ②两个集合的元素之和相等； ③两个集合的元素之积相等．由此知，以上叙述实质是一致的，只是表达方式不同而已．上述概念是判断或证明两个集合相等的依据． 集合A与集合B相等，是指A 的每一个元素都在B 中，而且B中的每一个元素都在A中．解题时往往只解答一个问题，忽视另一个问题；解题后注意集合满足元素的互异性． 已知集合A={0，2，4}，．若A=B，则实数n的值为（　　） 解：由题意，得m+n=0或， 当m+n=0时，，即m=2n+4， 故2n+4+n=0，解得， 故，所以B={4，0，2}，满足题意； 当时，m+n=2，解得n=2， 所以n=2或． 【知识点5】判断两个集合的包含关系 如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A⊂B； 1．按照子集包含元素个数从少到多排列． 2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素． 3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系． 4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法． 通常命题的方式是小题，直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系． 已知集合A={1，2，3，4}，B={1，2，3}，则（　　） A．A＞B B．B∈A C．A⊆B D．B⊆A 解：由题意可得，B⊆A． 故选：D． 【知识点6】子集的判断与求解 1、子集定义：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集（subset）． 记作：A⊆B（或B⊇A）． 2、真子集是对于子集来说的． 真子集定义：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且元素x不属于集合A，我们称集合A是集合B的真子集． 也就是说如果集合A的所有元素同时都是集合 B 的元素，则称 A 是 B 的子集， 若 B 中有一个元素，而A 中没有，且A 是 B 的子集，则称 A 是 B 的真子集， 注：①空集是所有集合的子集； ②所有集合都是其本身的子集； ③空集是任何非空集合的真子集 例如：所有亚洲国家的集合是地球上所有国家的集合的真子集． 所有的自然数的集合是所有整数的集合的真子集． {1，3}⊂{1，2，3，4} {1，2，3，4}⊆{1，2，3，4} 定义子集：A是B的子集，当且仅当A中的每一个元素都在B中． 验证元素：逐个检查A中的元素是否在B中．符号表示：用⊆表示子集关系，若A是B的子集，记为A⊆B． 本考点要求理解，高考会考中多以选择题、填空题为主，曾经考查子集个数问题，常常与集合的运算，概率，函数的基本性质结合命题． 【知识点7】集合的包含关系的应用 如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B，读作“A包含于B”（或“B包含于A”）． 1．按照子集包含元素个数从少到多排列． 2．注意观察两个集合的公共元素，以及各自的特殊元素． 3．可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系． 4．有时借助数轴，平面直角坐标系，韦恩图等数形结合等方法． 设m为实数，集合A={x|-3≤x≤2}，B={x|m≤x≤2m-1}，满足B⊆A，则m的取值范围是_____． 解：∵集合A={x|-3≤x≤2}，B={x|m≤x≤2m-1}，且B⊆A， ∴当m＞2m-1时，即m＜1时，B=∅，符合题意； 当m≥1时，可得，解得． 综上所述，，即m的取值范围是． 故答案为：． 【知识点8】Venn图表集合的包含关系 如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B，读作“A包含于B”（或“B包含于A”）． Venn图表示如下： 明确集合：了解每个集合的元素和定义．绘制圆圈：使用圆圈表示集合，每个集合一个圆圈．包含关系：一个集合完全包含于另一个集合，用一个圆圈完全包含另一个圆圈表示． 下列表示集合M={x|x2-4=0}和关系的Venn图中正确的是（　　） A. B. C. D. 解：集合M={x|x2-4=0}={-2，2}，={1，-1，2，-2}， 则M⊆N． 故选：D． 题型专练 【题型1】集合的真子集个数 【典型例题】已知集合A＝{x,1}，B＝{y,1,2,4}，且A是B的真子集．若实数y在集合{0,1,2,3,4}中，则不同的集合{x，y}共有(　　) A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 【举一反三1】已知集合A＝{x|x2－mx＋＝0}有两个非空真子集，则实数m的取值范围为(　　) A.{m|m>4} B.{m|m<0或m>4} C.{m|m≥4} D.{m|m≤0或m>4} 【举一反三2】已知集合，，则的真子集的个数为（   ） A.8 B.7 C.4 D.3 【举一反三3】定义集合运算：.已知集合，则集合有______个真子集. 【举一反三4】集合{(1,2)，(－3,4)}的所有非空真子集是________． 【举一反三5】写出满足{3,4}P⊆{0,1,2,3,4}的所有集合P. 【题型2】由集合间的关系求参数的值或范围 【典型例题】已知集合、集合，若，则实数的取值集合为（ ）. A. B. C. D. 【举一反三1】设集合，，满足，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【举一反三2】已知集合A＝{x|x<－1，或x>2}，B＝{x|4x＋p<0}，若B⊆A，则实数p的取值范围是________. 【举一反三3】（2023·湖南省长沙市长郡中学期中）设全集集合，． （1）当时，求，； （2）若，求实数的取值范围． 【题型3】判断两个集合的真包含关系 【典型例题】集合的真子集的个数是（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 【举一反三1】已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【举一反三2】用适当的符号填空： (1)a       {a,b,c}; (2)0____ (3)∅      ; (4){0,1}        N; (5){0}____{}； (6){2,1}___{} 【举一反三3】选用适当的符号填空： (1)若集合A={x|2x-3<3x},B={x|x≥2},则 -4      B,-3      A,{2}      B,B      A; (2)若集合{}，则 1       A,{-1}       A,∅         A,{1,-1}       A; (3){x|x是菱形}        {x|x是平行四边形}; {x|x是等腰三角形}        {x|x是等边三角形}. 【举一反三4】在平面直角坐标系中，集合C={(x，y)|y=x}表示直线y=x，从这个角度看，集合表示什么?集合C，D之间有什么关系? 【举一反三5】判断下列两个集合之间的关系： (1)A={x|x<0},B={x|x<1}; (2)A={x|x=3k,k∈N},B={x|x=6z,z∈N}; (3)A={x∈N+|x是4与10的公倍数},B={x|x=20m,m∈N+}. 【题型4】根据两个集合相等求参数 【典型例题】已知集合，且，则（ ） A. B. 1 C. D. 0 【举一反三1】若，则的值为（    ） A. B.3 C. D.7 【举一反三2】，且，则（ ） A. B. C. D. 【举一反三3】，且，则（ ） A. B. C. D. 【举一反三4】已知集合，且，则（ ） A. B. 1 C. D. 0 【题型5】判断两个集合的包含关系(子集) 【典型例题】已知集合A={0，1，2}，那么（ ） A. B. C. D. 【举一反三1】设集合M＝{1，2，3}，N＝{1}，则下列关系正确的是(　　) A.N∈M B.N∉M C.N⊇M D.N⊆M 【举一反三2】已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1，2}，C＝{x|x＜8，x∈N}，用适当的符号填空： (1)A________B；(2)A________C； (3){2}________C；(4)2________C． 【举一反三3】设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝，则A，B准确的关系是________． 【举一反三4】判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由： (1)A＝{1,2,3}，B＝{x|x是8的约数}； (2)A＝{x|x是长方形}，B＝{x|x是两条对角线相等的平行四边形}． 【举一反三5】判断下列各组集合之间的关系： (1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}； (2)M＝{x|x＝2n，n∈N*}，N＝{x|x＝4n，n∈N*}； (3)集合P＝{x|y＝x2}，集合Q＝{y|y＝x2}． 【题型6】集合相等 【典型例题】已知集合A＝，B＝，C＝，下列结论正确的是(　　) A.A＝B B.A＝C C.B＝C D.A＝B＝C 【举一反三1】给出以下集合，其中是相等集合的有(　　) A.M＝{(－5,3)}，N＝{－5,3} B.M＝∅，N＝{0} C.M＝{π}，N＝{3.141 5} D.M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{y|y2－3y＋2＝0} 【举一反三2】已知集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么(　　) A.PM B.MP C.M＝P D.M∈P 【举一反三3】已知集合M＝{－1,3,2m－1}，集合N＝{3，m2}，若N⊆M，则实数m＝________. 【举一反三4】设a，b∈R，集合A＝{1，a}，B＝{x|x(x－a)(x－b)＝0}，若A＝B，则a＝________，b＝________. 【举一反三5】设 ，集合，且，求实数的值． 【举一反三6】集合，，若，求x，y的值. 【题型7】判断两个集合是否相等 【典型例题】下列各组两个集合和表示同一集合的是（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】下列四组集合中表示同一集合的为（    ） A.， B.， C.， D.， 【举一反三2】已知集合，，，，，则（    ） A. B. C. D. 【举一反三3】下列各组两个集合和表示同一集合的是（    ） A. B. C. D. 【题型8】集合的子集个数 【典型例题】已知集合A＝{(x，y)|4x＋3y－12＜0，x∈N*，y∈N*}，则集合A的子集的个数为(　　) A.3 B.4 C.7 D.8 【举一反三1】（2023·江苏省扬州市高邮市月考）设集合，集合，则的子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 【举一反三2】已知非空集合P满足：(1)P⊆{1，2，3，4，5}；(2)若a∈P，则6－a∈P.符合上述条件的集合P的个数为________. 【举一反三3】已知集合A⊆{0,1,2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为________． 【举一反三4】已知集合A＝{x∈R|ax2－3x－4＝0}． (1)若集合A中有两个元素，求实数a的取值范围； (2)若集合A最多有两个子集，求实数a的取值范围． 【举一反三5】已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集. 【题型9】Venn图 【典型例题】下列表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2－x＝0}的关系的Venn图正确的是(　　) A. B. C. D. 【举一反三1】下列各选项中，表示M⊆N的是(　　) A. B. C. D. 【举一反三2】已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，2，3}，集合A与B的关系如图所示，则集合B可能是(　　) A.{2，4，5} B.{1，2，5} C.{1，6} D.{1，3} 【举一反三3】下列各选项中，表示M⊆N的是(　　) A. B. C. D. 【题型10】空集的判断和运用 【典型例题】下列四个集合中，是空集的是(　　) A.{x|x＋3＝3} B.{(x，y)|y2＝－x2，x，y∈R} C.{x|x2≤0} D.{x|x2－x＋1＝0，x∈R} 【举一反三1】下列集合中为空集的是(　　) A.{x∈N|x2≤0} B.{x∈R|x2－1＝0} C.{x∈R|x2＋x＋1＝0} D.{0} 【举一反三2】下列表述中正确的是（ ） A. B. C. D. 【举一反三3】不等式组的解集为，则实数的取值范围是_____________. 【举一反三4】关于的不等式组的解集为，则实数的取值范围为__________． 【举一反三5】已知集合. （1）若集合A的子集只有一个，求实数a的取值范围； （2）若集合A中有且只有一个元素，求实数a的值. 学科网（北京）股份有限公司 $