2.4 用因式分解法求解一元二次方程 课件 2025--2026学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“用因式分解法求解一元二次方程”，通过问题导入复习因式分解方法及“若ab=0则a=0或b=0”的性质，搭建旧知与新知的联系，帮助学生理解“降次”“转化”思想。 其亮点是通过小颖、小明、小亮的解法对比培养推理意识，用“右化零，左分解，两因式，各求解”歌诀体现数学语言简洁性，结合解法选择表和思路培养抽象能力与应用意识。采用问题导入和对比辨析，小结结构化，学生能系统掌握方法，教师教学更高效。

2.4 用因式分解法求解 一元二次方程 第二章 一元二次方程 问题导入 2. 我们知道，若 ab = 0，则 a = 0 或 b = 0．类似地，解方程 (x + 1)(x - 1) =0 时，可转化为两个一元一次方程 x + 1 = 0 或 x - 1 = 0 来解。你能求出方程 (x + 3)(x - 5) = 0 的解吗？ 1. 因式分解的基本方法有哪些? 提取公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式） 目标导学 学习目标 1.了解因式分解法的解题步骤，能用因式分解法解一元二次方程； 2.能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法； 3.因式分解法是把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解，体现了一种“降次”思想、“转化”思想，并了解这种转化思想在解方程中的应用。 引例：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？ 小颖、小明、小亮都设这个数为x，根据题意，可得方程x2=3x ,但他们的解法各不相同。 自主探究 因式分解法解一元二次方程 小颖： 方程x2=3x两边 同时约去x,得 x=3. 所以这个数是3. 小明： 由方程x2=3x,得 x2-3x=0, 即x(x-3)=0. 于是x=0,或x-3=0. 因此x1=0,x2=3. 所以这个数是0或3. 小亮： 他们做得对吗？为什么？ 由方程x2=3x，得 x2-3x=0 因此,得 x1=0,x2=3. 所以这个数是0或3. 如果 a · b = 0， 那么 a = 0 或 b = 0. 要点归纳 因式分解法的概念 当一元二次方程的一边为 0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，就可以用前面的方法求解.这种解一元二次方程的方法称为因式分解法。 试一试：下列各方程的根分别是多少？ (1) x(x - 2) = 0； (1) x1 = 0，x2 = 2. (2) (y + 2)(y - 3) = 0； (2) y1 = -2，y2 = 3. (3) (3x + 6)(2x - 4) = 0； (3) x1 = -2，x2 = 2. (4) m2 = m. (4) m1 = 0，m2 = 1. 例1 解下列方程： 解：(1)原方程可变形得 5x2-4x=0 ∴ x(5x-4)=0. 导学互动 (1)5x2=4x; 因式分解法的基本步骤 一移：使方程的右边为 0； 二分：将方程的左边因式分解； 三化：将方程化为两个一元一次方程； 四解：写出方程的两个解。 简记歌诀： 右化零，左分解；两因式，各求解. x=0,或5x-4=0 例1 解下列方程： (2) 解：原方程可变形得 （x-2）(x-1)=0. （用提取公因式法进行因式分解） 解得 ∴x-2 = 0 或 x - 1 = 0. 导学互动 (2)x(x-2)=x-2 x(x-2) -（x-2）=0 整体思想 想一想 你能用因式分解法解下列方程吗？ x²-4=0 （x+1）²-25=0 平方差公式：a²-b²=（a+b)(a-b） 填一填：一元二次方程的各种解法及适用类型. 方法总结 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解 x2 + px + q = 0 ( p2 - 4q≥0) (ax + m)2 = n (a ≠ 0，n≥0) ax2 + bx +c = 0 (a ≠ 0，b2 - 4ac≥0) (ax + m)(bx + n) = 0 (ab ≠ 0) 灵活选用适当的方法解方程 (1) 3x(x + 5) = 5(x + 5)； (2) (5x + 1)2 = 1； 分析：该式左右两边含公因式,所以用因式分解法解答较快. 分析：方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可用直接开平方法. 解：变形得 (3x - 5)(x + 5) = 0. 即 3x - 5 = 0 或 x + 5 = 0. 解得 解：开平方，得 5x + 1 = ±1. 解得 x1 = 0，x2 = (3) x2 - 12x = 4； (4) 3x2 = 4x + 1. 分析：二次项系数为 1，可用配方法解较快. 分析：二次项系数不为 1，且不能直接开平方，也不能直接分解因式，则用公式法. 解：配方，得 x2 - 12x + 62 = 4 + 62， 即 (x - 6)2 = 40. 开平方，得 解得 x1 = ， x2 = 解：整理成一般形式，得 3x2 - 4x - 1 = 0. ∵Δ = b2 - 4ac = 28 > 0， 1. 一般地，当一次项系数为 0 时 (ax2 + c = 0，a ≠ 0)，应选用直接开平方法； 2. 若常数项为0(ax2+bx =0，a ≠ 0)，应选用因式分解法； 3. 化为一般式 (ax2 + bx + c = 0，a ≠ 0) 后，若一次项系数和常数项都不为 0，先看左边是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，否则就选用公式法或配方法.此时若二次项系数为 1，且一次项系数为偶数，则可选用配方法；否则可选公式法. 系数含根式时也可选公式法. 要点归纳 一元二次方程的解法选择基本思路 1. 填空： ① x2 - 3x + 1 = 0； ② 3x2 - 1 = 0； ③ -3t2 + t = 0； ④ x2 - 4x = 2； ⑤ 2x2 = x； ⑥ 5(m + 2)2 = 8； ⑦ 3y2 - y - 1 = 0； ⑧ 2x2 + 4x = 1； ⑨ (x - 2)2 = 2(x - 2). 最适合运用直接开平方法： ； 最适合运用因式分解法： ； 最适合运用公式法： ； 最适合运用配方法： . ⑥ ① ③ ⑤ ⑦ ⑧ ⑨ ② ④ 检测固学 解：化为一般式为 因式分解，得 x2 - 2x + 1 = 0. (x - 1)2 = 0. ∴ x - 1 = 0. 解得 x1 = x2 = 1. 解：因式分解，得 (2x + 11)( 2x - 11) = 0. ∴ 2x + 11 = 0 或 2x - 11 = 0， 2.解方程： 解得 因式分解 概念 步骤 简记歌诀： 右化零，左分解；两因式，各求解 如果 a ·b = 0，那么 a = 0 或 b = 0 原理 将方程左边因式分解，使右边为 0 因式分解的常见方法有 ma + mb = m(a + b)； a2±2ab + b2 = (a±b)2； a2 - b2 = (a + b)(a - b). 课堂小结 $