精品解析：江苏省南京市第一中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

南京一中2025-2026学年第一学期10月阶段性检测试卷 高一数学 2025.10 命题人：雷蕾校对人：邢苏婷审核人：蒋文化 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分. 3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上. 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列不是同一集合的是（　　） A. 且 B. C. D. 2. 下列命题中为真命题的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 化简（a＜0）的结果为（ ） A. B. C. D. 4. 学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人。两次运动会中，这个班总共参赛的同学有（ ） A. 20人 B. 17人 C. 15人 D. 12人 5. 若，是二次函数的两个零点，则的值是（ ） A. 3 B. 9 C. 21 D. 33 6. 设,则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知正实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 8. 若一元二次不等式（）的解集为，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若，且，则 C. 若，则 D. 若，，则 10. 对于集合，，定义集合运算，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 11. 使得命题“，”为真命题的充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：______． 13. 已知集合，，若满足，则实数a的值为______． 14. 已知a，b都是正数，则的最大值为_____.. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合. （1）若，求和； （2）若，求实数的取值范围. 16. （1）已知，，求的值；新增小题 （2）已知，为正实数，求的值；新增小题 （3）已知，求的值.新增小题 17. 已知命题p：，，命题q：，. （1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围； （2）若p是假命题，q是真命题，求实数a的取值范围. 18. 已知，. （1）若关于x的不等式的解集为，求a的值； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数x的取值范围； （3）解关于x的不等式：. 19. 已知. （1）求的最小值； （2）求的最小值； （3）设，.若对任意的，，总存在，使得，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京一中2025-2026学年第一学期10月阶段性检测试卷 高一数学 2025.10 命题人：雷蕾校对人：邢苏婷审核人：蒋文化 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分. 3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上. 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列不是同一集合的是（　　） A. 且 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析各对集合元素的特征，即可判断. 【详解】对于A，由，得，∴且，故A不正确； 对于B，，∴，故B不正确； 对于C，集合是数集，是点集，∴，故C正确； 对于D，∴，故D不正确. 故选：C. 2. 下列命题中为真命题的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】对A：由判断命题为假；对B：当时命题不成立；对C：由及关系判断命题为真；对D：由判断命题为假. 【详解】，，故是假命题； 当时，，故是假命题； ，，故是真命题； 方程中，此方程无解，故是假命题. 故选:：C. 3. 化简（a＜0）的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用指数幂性质公式化简即可. 【详解】. 故选：B. 4. 学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人。两次运动会中，这个班总共参赛的同学有（ ） A. 20人 B. 17人 C. 15人 D. 12人 【答案】B 【解析】 【分析】利用容斥原理可得. 【详解】设参加田径运动的同学构成集合，参加球类运动会的同学构成集合， 则参加田径运动的同学人数， 参加球类运动会的同学人数， 两次运动会都参赛的同学人数， 则两次运动会中，这个班总共参赛的同学人数为 . 故选：B. 5. 若，是二次函数的两个零点，则的值是（ ） A. 3 B. 9 C. 21 D. 33 【答案】C 【解析】 【分析】根据根与系数的关系即可求解. 【详解】由，是二次函数的两个零点， ，所以，是的两个实数根， 所以， 故， 故选：C 6. 设,则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由可得，则或 ∴当时，成立 当时，不一定成立 ∴“”是“”的充分不必要条件 故选A 7. 已知正实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正实数，满足，代入，再利用基本不等式的性质即可得出． 【详解】解：正实数，满足， 则， 当且仅当时取等号． 故选：A． 【点睛】本题考查基本不等式的性质，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 8. 若一元二次不等式（）的解集为，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的解集求得b，c与a的关系，结合基本不等式即可求得答案. 【详解】一元二次不等式（）的解集为， 即，2为（）的两实数根，故，即， 则，当且仅当时，即时取等号， 即的最小值为4. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若，且，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据不等式的性质，差比较法等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，若，则，所以A选项错误. B选项，若，，则， 则，所以B选项正确. C选项，若，则， 所以，所以C选项正确. D选项，若，，如， 则，所以D选项错误. 故选：BC 10. 对于集合，，定义集合运算，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】由韦恩图分别表示集合，，，再对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】如图：若，不具有包含关系，由韦恩图分别表示集合，，， 若，具有包含关系，不妨设是的真子集， 对于A，图中，，图中，所以，A正确； 对于B，图中，成立， 图中，，， 所以成立，故B正确； 对于C，若，则；故C正确； 对于D，由图2可知，若，则，故D错误； 故选：ABC 11. 使得命题“，”为真命题的充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题可得命题为真命题时得到不等式组，可得，即可求解. 【详解】由题可得命题“，”为真命题时， 则得，解得， 所以其充分不必要条件可以是、、，故A、C、D正确. 故选:ACD. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂的运算法则计算． 【详解】． 故答案为：． 13. 已知集合，，若满足，则实数a的值为______． 【答案】－3 【解析】 【分析】根据交集定义，若，则且，从而讨论集合的情况，确定实数a的值. 【详解】由题意可得，且， 当时，解得， 此时，，，不符合题意，舍去； 当时，解得， 当时，，，中元素不满足互异性，不符合题意，舍去， 当时，，，，符合题意， 综上所述，， 故答案为：－3. 14. 已知a，b都是正数，则的最大值为_____.. 【答案】3 【解析】 【分析】由题设，，再结合基本不等式可得，即可求解. 【详解】设，，则，， 联立解得，， 则， 当且仅当，即，即时取等号， 故的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，集合. （1）若，求和； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用集合的交并补集的运算即可求解； （2）由，可得，分，两种情况讨论，即可求解. 【小问1详解】 若，则， 因为，所以. 因为，所以. 【小问2详解】 若，则， ①当时，，解得. ②当时，，解得或. 综上，实数的取值范围为. 16. （1）已知，，求的值；新增小题 （2）已知，为正实数，求的值；新增小题 （3）已知，求的值.新增小题 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算法则求解即可； （2）根据指数幂的运算法则及完全平方公式、立方差公式求解即可； （3）由题可得，利用换元法及求根公式求解即可. 【小问1详解】 原式. 【小问2详解】 因为， ， 所以. 【小问3详解】 由可得， 即， 又，令，则， 解得，即. 17. 已知命题p：，，命题q：，. （1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围； （2）若p是假命题，q是真命题，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，从而可求解； （2）由（1）可得是假命题，则，再由命题为真可得在上恒成立，利用换元法令，从而得到，即可求解. 【小问1详解】 因为命题为真命题，所以，解得或. 故实数a的取值范围为. 【小问2详解】 由（1）知，若是假命题，则， 因为命题：，是真命题， 所以在上恒成立. 令，则，， 则，当且仅当时取等号， 所以，所以. 综上所述：. 故实数a的取值范围. 18. 已知，. （1）若关于x的不等式的解集为，求a的值； （2）若对任意的，不等式恒成立，求实数x的取值范围； （3）解关于x的不等式：. 【答案】（1） （2） （3）当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）利用韦达定理即可求解； （2）由题得对任意的恒成立，利用更换主元法结合一次函数的单调性列出不等式即可求解； （3）根据解含参一元二次不等式的解法求解即可. 【小问1详解】 由题可知，的两根为和， 所以，解得. 【小问2详解】 ，即，即对任意的恒成立， 所以 解得 所以的取值范围为. 【小问3详解】 不等式为，. ①若，则，解得. ②若，则，解得或. ③若，因为， 1° 若，即时，解得. 2° 若，即时，不等式无解. 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 19. 已知. （1）求的最小值； （2）求的最小值； （3）设，.若对任意的，，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】（1）16 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式可得，从而可求解； （2）由可得，从而可得，再利用基本不等式即可求解. （3）由（2）可得，从而可得，求得，再结合，分，，三种情况求出，从而再由，即可求解. 【小问1详解】 因为，， 所以， 解得，当且仅当，即，时，取等号. 所以的最小值为16. 【小问2详解】 因为，，，所以， 所以， 当且仅当，即时，取等号. 所以的最小值为. 【小问3详解】 因为，，，所以，，且， 整理得. 所以， 当且仅当，即，时，取等号， 所以. 由题意，对任意的，，总存在，使得， 所以，则. 又，. ①若，即时，当时，，即，不合题意. ②若，即时，当时，， 解得或，所以. ③若，即时，当时，，解得，所以. 综上，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $