22.3实际问题与二次函数讲义 2025-2026学年人教版九年级数学上册

22.3实际问题与二次函数 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】用二次函数解决商品利润问题 5 【题型2】用二次函数解决面积问题 9 【题型3】二次函数解决固定型抛物线问题 12 【题型4】二次函数解决运动型抛物线问题 17 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=时，y=． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=时，y=． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 1.（2021秋•岑溪市期末）二次函数y=（x-1）2-3的最小值是（　　） A．-3 B．3 C．0 D．1 【答案】A 【分析】由二次函数的性质及函数的顶点式，可得顶点坐标，进而根据二次函数的性质得出答案． 【解答】解：∵二次函数y=（x-1）2-3， ∴其图象开口向上，其顶点为（1，-3）． ∴函数的最小值为-3． 故选：A． 【知识点2】根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 1.（2024秋•东川区期中）公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售1500个，9月份销售y个，设7月份到9月份销售量的月增长率为x,那么y与x的函数关系是（　　） A．y=1500（1+x）2 B．y=1500（1-x）2 C．y=（1+x）2+1500 D．y=x2+1500 【答案】A 【分析】利用该品牌头盔9月份的销售量=该品牌头盔7月份的销售量×（1+7月份到9月份销售量的月增长率）2，即可列出y与x的函数关系． 【解答】解：根据题意得：y=1500（1+x）2． 故选：A． 2.（2023•大埔县开学）若正方形的边长为6，边长增加x,面积增加y,则y关于x的函数解析式为（　　） A．y=（x+6）2 B．y=x2+62 C．y=x2+6x D．y=x2+12x 【答案】D 【分析】首先表示出原边长为6的正方形面积，再表示出边长增加x后正方形的面积，再根据面积随之增加y可列出方程． 【解答】解：原边长为6的正方形面积为：6×6=36， 边长增加x后边长变为：x+6， 则面积为：（x+6）2， ∴y=（x+6）2-36=x2+12x. 故选：D． 【知识点3】二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 1.（2023•温江区模拟）某市新建一座景观桥．如图，桥的拱肋ADB可视为抛物线的一部分，桥面AB可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度AB为40米，桥拱的最大高度CD为16米（不考虑灯杆和拱肋的粗细），则与CD的距离为5米的景观灯杆MN的高度为（　　） A．13米 B．14米 C．15米 D．16米 【答案】C 【分析】以AB所在直线为x轴、CD所在直线为y轴建立坐标系，可设该抛物线的解析式为y=ax2+16，将点B坐标代入求得抛物线解析式，再求当x=5时y的值即可． 【解答】解：建立如图所示平面直角坐标系， 设抛物线表达式为y=ax2+16， 由题意可知，B的坐标为（20，0）， ∴400a+16=0， ∴a=-， ∴y=-x2+16， ∴当x=5时，y=15． ∴与CD距离为5米的景观灯杆MN的高度为15米， 故选：C． 2.（2024秋•汉阳区期中）一学生推铅球，铅球行进的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y=-x2+x+，则学生推铅球的距离为（　　） A． B．3m C．10m D．12m 【答案】C 【分析】铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x的值． 【解答】解：令函数式y=-x2+x+中，y=0， 即-x2+x+=0， 解得x1=10，x2=-2（舍去）， 即铅球推出的距离是10m. 故选：C． 【题型1】用二次函数解决商品利润问题 【典型例题】某商店对于某个商品的销售量与获利做了统计，得到下表： 若获利是销售量的二次函数，那么，该商店获利的最大值是（　　） A.9万元 B.9.25万元 C.9.5万元 D.10万元 【答案】B 【解析】设销售量为x件，获利为y元， 根据题意得，解得， ∴y=-x2+500x+30000=-（x-250）2+92500， ∵-1＜0， ∴y有最大值=92500（元）=9.25万元． 【举一反三1】某公司计划生产一种新型电子产品，经过公司测算，在生产数量不超过8万件的情况下，生产成本和销售价格均是生产数量的一次函数，其部分数据如表： 为获得最大利润，生产数量应为（　　） A.3万件 B.4万件 C.5万件 D.6万件 【答案】B 【解析】解：设生产数量为x万件，生产成本为y1元/件，销售价格为y2元/件． ∵生产成本和销售价格均是生产数量的一次函数， ∴设y1＝k1x+b1，y2＝k2x+b2． ∵（1，9），（2，8）符合y1， ∴， 解得：． ∴y1＝﹣x+10． ∵（1，16），（2，14）符合y2， ∴． 解得：． ∴y2＝﹣2x+18． 设生产利润为w，则w＝[（﹣2x+18）﹣（﹣x+10）]x ＝（﹣x+8）x ＝﹣x2+8x． ∵﹣1＜0， ∴当x＝﹣＝4时，利润最大． 故选：B． 【举一反三2】某种商品的成本是120元，试销阶段每件商品的售价x（元）与产品的销售量y（件）满足当x=130时，y=70，当x=150时，y=50，且y是x的一次函数，为了获得最大利润S（元），每件产品的销售价应定为（　　） A.160元 B.180元 C.140元 D.200元 【答案】A 【解析】设y=kx+b，将（130，70），（150，50）代入得即，解得，∴y与x之间的一次函数关系式为y=-x+200；销售利润为S，由题意得S=（x-120）y=-x2+320x-24000=-（x-160）2+1600，∴售价为160元/件时，获最大利润1600元． 【举一反三3】某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为____________元时，该服装店平均每天的销售利润最大． 【答案】22 【解析】设定价为x元， 根据题意得y=（x-15）[8+2（25-x）] =-2x2+88x-870 ∴y=-2x2+88x-87 =-2（x-22）2+98 ∵a=-2＜0， ∴抛物线开口向下， ∴当x=22时，y最大值=98． 【举一反三4】将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价a元，最大利润为b元，则a+b=__________． 【答案】630 【解析】设应降价x元，销售量为（20+x）个， 根据题意得利润y=（100-x）（20+x）-70（20+x）=-x2+10x+600=-（x-5）2+625， 故为了获得最大利润，则应降价a=5元，最大利润为b=625元． 故a+b=5+625=630. 【举一反三5】某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．求房价定为多少元时，宾馆的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】解：设房价增加x元时，利润为w元， 则w=（180-20+x）（50-）=-（x-170）2+10890， ∵-＜0， ∴W关于x的二次函数有最大值 ∴当x=170时，即房价定为350元时，利润最大是10890元． 【举一反三6】某工厂生产一种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量y（件）与售价x（万元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表： 该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元． （1）求：三月份每件产品的成本是多少万元？ （2）四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比三月份下降了14万元．若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获得的利润w（万元）关于售价x（万元/件）的函数关系式，并求最少利润是多少万元． 【答案】解：（1）设三月的成本为m万元， 当x＝35时，y＝﹣2x+100＝30， 由题意得：450＝30（35﹣m）， 解得：m＝20， 即三月份每件产品的成本是20万元； （2）四月份每件产品的成本比三月份下降了14万元，则此时的成本为20﹣14＝6， 由题意得：w＝y（x﹣6）﹣450＝（﹣2x+100）（x﹣6）﹣450＝﹣2x2+112x﹣1050（25≤x≤30）， 则抛物线的对称轴为x＝28， 则x＝25时，w取得最小值， 此时，w＝500， 即四月份最少利润是500万元． 【题型2】用二次函数解决面积问题 【典型例题】如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵根据正方形的四边相等，四个角都是直角，且AE=BF=CG=DH， ∴可证△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG． 设AE为x，则AH=1-x，根据勾股定理，得 EH2=AE2+AH2=x2+（1-x）2， 即s=x2+（1-x）2． s=2x2-2x+1， ∴所求函数是一个开口向上，对称轴是直线x=． ∴自变量的取值范围是大于0小于1． 【举一反三1】超市有一种“喜之郎”果冻礼盒，内装两个上下倒置的果冻，果冻高为4 cm，底面是个直径为6 cm的圆，横截面可以近似地看作一个抛物线，为了节省成本，包装应尽可能的小，那么要制作这样一个包装盒至少纸板（　　）平方厘米．（不计重合部分） A.253 B.288 C.206 D.245 【答案】A 【解析】建立如图（2）所示的平面直角坐标系，过切点K作KH⊥OC于点H． 依题意知 K（x，2）． 易求开口向上抛物线的解析式：y=x2， 所以 2=x2，解得 x=或x=-（舍去）， ∴OH=HG=， ∴BC=BO+OH+HG+GC=3+++3=6+3， ∴S矩形ABCD=AB•BC=4×（6+3）=24+12（平方厘米）． 如图（3），S矩形A′B′C′D′=6BC=6×（6+3）（平方厘米）． 所以，2S矩形ABCD+2S矩形A′B′C′D′+2AB•AE=2×（24+12）+2×（36+18）+2×4×6=168+60≈253（平方厘米）． 【举一反三2】一种线型合成材料，其成本y（元）与材料长度x（米）的平方成正比．已知材料长度为2米时，成本为4元；若材料长度为4×103米，则该材料的成本用科学记数法表示为（　　） A.16×105元 B.1.6×106元 C.16×106元 D.1.6×107元 【答案】D 【解析】解：根据题意，y与x的解析式为y＝kx2， 把x＝2，y＝4代入解析式得：4k＝4， 解得k＝1， ∴y与x的解析式为y＝x2， ∴当x＝4×103时，y＝（4×103）2＝16×106＝1.6×107， 故选：D． 【举一反三3】如图，某小区准备用篱笆围成一块矩形花圃ABCD，为了节省篱笆，一边利用足够长的墙，另外三边用篱笆围着，再用两段篱笆EF与GH将矩形ABCD分割成①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，现有总长80米的篱笆，当围成的花圃ABCD的面积最大时，AB的长为_____________米． 【答案】15 【解析】∵三块矩形区域的面积相等， ∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍， ∴AE=2BE， 设BC=x，BE=a，则AE=2a， ∴8a+2x=80， ∴a=-x+10，3a=-x+30， ∴y=（-x+30）x=-x2+30x， ∵a=-x+10＞0， ∴x＜40， 则y=-x2+30x=-x2+30x=-（x-20）2+300（0＜x＜40）， ∴当x=20时，y有最大值，最大值为300平方米， 当x=20时，a=-x+10=5， ∴AB=AE+BE=3a=15（米）. 【举一反三4】如图，用总长度为12米的不锈钢材料设计成如图所示的外观为矩形的框架，所有横档和竖档分别与AD，AB平行，则矩形框架ABCD的最大面积为______________米2． 【答案】4 【解析】∵AB为x米，则AD==4-x， S长方形框架ABCD=AB×AD=-x2+4x=-（x-2）2+4， 当x=2时，S取得最大值=4； ∴长方形框架ABCD的面积S最大为4米2． 【举一反三5】如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米． （1）求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； （2）已知墙的最大可用长度为8米； ①求所围成花圃的最大面积； ②若所围花圃的面积不小于20平方米，请直接写出x的取值范围． 【答案】解：（1）S=x（24-4x）=-4x2+24x（0＜x＜6） （2）①S=-4x2+24x=-4（x-3）2+36 由，解得4≤x＜6， 当x=4时，花圃有最大面积为32； ②令-4x2+24x=20时，解得x1=1，x2=5 所以5＜x＜6 【题型3】二次函数解决固定型抛物线问题 【典型例题】小王结婚时，在小区门口的平地上放置了一个充气婚庆拱门，其形状如图所示，若将该拱门（拱门的宽度忽略不计）放在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0）．若将该拱门看作是抛物线y=-x2+bx-的一部分，则点A与点B的距离为（　　） A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】C 【解析】把点A（1，0）代入y=-x2+bx-，解得b=， 因此函数解析式为y=-x2+x-， 由题意得-x2+x-=0，解得x=1或x=7， 则点B坐标为（0，7）， 所以点A与点B的距离为6． 【举一反三1】我校“龙行数学”综合实践活动小组在下表中记录了二次函数y＝ax2+bx﹣2（a≠0）中两个变量x与y的5组对应值，其中x2＞x1＞﹣1，若当0＜x≤4时，直线y＝k与该二次函数图象有两个公共点，则k的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：由表中信息可知：抛物线经过点（﹣3，m）和（5，m）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝， ∴﹣＝1， ∴b＝﹣2a． 根据表中信息，抛物线经过点（﹣1，0）， ∴a﹣b﹣2＝0， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2； ∵yy＝x2﹣x﹣2＝（x﹣1）2﹣， ∴该抛物线的顶点坐标为（1，﹣），抛物线的开口方向向上，抛物线经过（0，﹣2），（2，﹣2）， ∴当x＝1时，y由最小值﹣， 当x＝0时，y＝﹣2，当x＝2时，y＝﹣2； 当x＝4时，y＝， 如图： ∵当0＜x≤4时，直线y＝k与该二次函数图象有两个公共点， ∴﹣＜k＜﹣2． 故选：C． 【举一反三2】廊桥是我国古老的文化遗产，如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是 　 　米． 【答案】18 【解析】解：由“在该抛物线上距水面AB高为8米的点”， 可知y＝8， 把y＝8代入y＝﹣x2+10得： 8＝﹣x2+10， 解得x＝±9， ∴由两点间距离公式可求出EF＝18（米）． 故答案为：18． 【举一反三3】开封黑岗口引黄调蓄水库上的东京大桥，又名“彩虹桥”．夜晚在桥上彩灯的映衬下好似彩虹般绚丽．主景观由三个抛物线型钢拱组成（如图①所示），其中最高的钢拱近似看成二次函数的图象抛物线，钢拱最高处C点与路面的距离OC为50米，若以点O为原点，OC所在的直线为y轴，建立如图②所示的平面直角坐标系，抛物线与x轴相交于A、B两点，且AB两点间的距离为80米． （1）求这条抛物线的解析式； （2）钢拱最高处C点与水面的距离CD为72米，请求出此时这条钢拱之间水面的宽度； （3）当﹣32＜x＜16时，求y的取值范围． 【答案】解：（1）∵OC＝50m，AB＝80m， ∴C（0，50），A（﹣40，0），B（40，0）， 设抛物线解析式为y＝a（x﹣40）（x+40）， 把C（0，50）代入得： 50＝a×（﹣40）×40， 解得：， ∴抛物线解析式为． （2）∵CD＝72m，OC＝50m ∴OD＝CD﹣OC＝22m， ∴D（0，﹣22）， 把y＝﹣22代入得：， 解得：x1＝48，x2＝﹣48， ∴此时这条钢拱之间水面的宽度为48﹣（﹣48）＝96（m）； （3）∵， ∴抛物线的顶点坐标为（0，50）， ∴当x＝0时，y取最大值50， ∵， ∴抛物线开口向下，则离对称轴越远，函数值越小， ∵﹣32＜x＜16， ∴当x＝﹣32时，y取最小值，， ∴当﹣32＜x＜16时，18＜y≤50． 【举一反三4】拱桥造型优美，是中国最常用的一种桥梁形式．现在某地，有一座拱桥，跨度AB为60m，拱顶C离地面高18m，拱桥的形状是一条抛物线； （1）以AB的中点为坐标原点，如图建立坐标系，请求出该拱桥所在抛物线的表达式； （2）当水面宽度小于或等于30m时，需要采取紧急措施．现在水面距离拱顶为4m，是否需要采取紧急措施； （3）某人在拱顶C处踢一足球，足球最高点位置距人水平距离为8m，竖直距离为6m，已知足球的运动轨迹为一条抛物线，请问足球会落在桥上吗？ 【答案】解：（1）由题意可知：A（﹣30，0），B（30，0），C（0，18），C点为顶点； 设拱桥所在抛物线的表达式为：y＝ax2+18， 代入A（﹣30，0），得：0＝302a+18， 解得：， ∴拱桥所在抛物线的表达式为：； （2）将y＝14代入得：， 解得：， 所以此时水面宽度为 m， 又∵， 所以需要采取紧急措施； （3）若人朝x轴正方向踢足球，则由题意可知，足球最高点的坐标为（8，24）， 该点也是足球轨迹抛物线的顶点，因此可设足球轨迹抛物线表达式为：y＝m（x﹣8）2+24， 代入C（0，18）得：18＝（0﹣8）2m+24， 解得：， ∴， 令x＝30，得， 所以球会落在桥上． 【题型4】二次函数解决运动型抛物线问题 【典型例题】如图是王阿姨阿晚饭后步行的路程s（单位：m）与时间t（单位：min）的函数图象．其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分，下列说法不正确的是（　　） A.25min～50min，王阿姨步行的路程为800m B.5min～20min，王阿姨步行速度由慢到快 C.线段CD的函数解析式为s＝32t+400（25≤t≤50） D.曲线段AB的函数解析式为s＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20） 【答案】B 【解析】解：A、25min～50min，王阿姨步行的路程为2000﹣1200＝800m，故A正确，不符合题意； B、在A点的速度为＝105m/min，在A到B点的平均速度为＝＝45m/min，故B错误，符合题意； C、设线段CD的函数解析式为s＝kt+b， 把（25，1200），（50，2000）代入得，， 解得：， ∴线段CD的函数解析式为S＝32t+400（25≤t≤50），故C正确，不符合题意； D、当t＝20时，由图象可得s＝1200m，即抛物线顶点为（20，1200）， 将（5，525）代入s＝a（t﹣20）2+1200（5≤t≤20）得：525＝a（5﹣20）2+1200， 解得a＝﹣3， ∴曲线段AB的函数解析式为s＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20），故D正确，不符合题意； 故选：B． 【举一反三1】如图，在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y＝﹣x+1的一部分（水平地面为x轴，单位：m），有下列结论：①出球点A离点O的距离是1m；②羽毛球最高达到m；③羽毛球横向飞出的最远距离是3m；其中，正确结论的个数是（　　） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】C 【解析】解：当x＝0时，y＝1， 则出球点A离地面点O的距离是1m，故①正确； ∵y＝﹣x2+x+1， ∴y＝﹣（x﹣）2+， ∴此次羽毛球最高可达到m，故②正确； 当y＝0时，0＝﹣x2+x+1， 解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝4≠3．故③错误； 其中，正确结论的个数是2个， 故选：C． 【举一反三2】科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如表）： 由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量是温度的二次函数，则下列说法： ①该植物在0℃时，每天高度增长量最大； ②该植物在﹣6℃时，每天高度增长量仍能保持在20mm以上； ③该植物在﹣1至6℃的环境下，每天高度增长量随温度的增大而减小． 其中正确说法的个数是（　　） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【答案】C 【解析】解：设y＝a（x+1）2+k，把（0，49），（2，41）代入解得：，解得：a＝﹣1，k＝50， ∴y＝﹣（x+1）2+50； 当x＝﹣1时，y的最大值＝50， ∴该植物在0℃时，每天高度增长量最大，最大值为50mm，故①错误． 当x＝﹣6时，y＝﹣（﹣6+1）2+50＝﹣25+50＝25＞20，故②正确． 当x＝6时，y＝﹣（6+1）2+50＝﹣49+50＝1， ∴该植物在﹣1至6℃的环境下，每天高度增长量随温度的增大而减小，故③正确． 故选：C． 【举一反三3】冰雪运动越来越受大家的青睐，这是某运动员在自由式滑雪大跳台训练中从2m高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设他与跳台边缘的水平距离为x m，与跳台底部所在水平面的竖直高度为y m，y与x的函数关系式为，当他与跳台边缘的水平距离为 　   　m时，竖直高度达到最大值． 【答案】6 【解析】解：y＝﹣＝﹣， ∵﹣＜0， ∴当x＝6时，y有最大值，最大值为， ∴当他与跳台边缘的水平距离为6m时，竖直高度达到最大值． 故答案为：6． 【举一反三4】小华酷爱足球运动．一次训练时，他将足球从地面向上踢出，足球距地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系为：h＝﹣4t2+12t，则足球距离地面的最大高度为 　    　m． 【答案】9 【解析】解：∵h＝﹣4t2+12t， a＝﹣4，b＝12，c＝0， ∴足球距地面的最大高度是：＝9m， 故答案为：9． 【举一反三5】【发现问题】 某景观公园内圆形人工湖中心有一喷泉，在人工湖中央垂直于水面安装一个柱子，安置在柱子顶端的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．爱思考的小敏发现，如果设距喷水柱子的水平距离为d米，喷出的抛物线形水线距离湖面高度为h米，h与d的数量变化有一定规律． 【答案】解：（1）描点、连线、图象如图1； ； （2）该函数是二次函数，由（1，2）和（3，2）可知，抛物线的对称轴为直线d＝2， 当d＝2时，， ∴水柱最高点距离湖面的高度是米； 由图象可得，顶点， 设二次函数的关系式为， 把代入可得， ∴； 将和代入抛物线关系式，左边等于右边，所有的点都在二次函数图象上， ∴可以确认该函数是二次函数； （3）游船宽带2.4米，在抛物线的正下方通过，令d＝2﹣1.2＝0.8， 代入抛物线得， 由已知，顶棚到水面的高度为2米，顶棚到水柱的垂直距离不小于0.8米， ∴2+0.8＝2.8， ∴2.8＞2.09， ∴不能正常通过． 【举一反三6】鹰眼技术助力杭州亚运，提升球迷观赛体验，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．水平距离s与地高度h的鹰眼数据如表： （1）根据表中数据可得，当s＝　 　m时，h达到最大值 　 　m； （2）求h关于s的函数解析式； （3）当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度2.6m时，视为防守成功．若一次防守中，守门员位于足球正下方时，s＝27m，请问这次守门员能否防守成功？试通过计算说明． 【答案】解：（1）s＝15m时，h达到最大值5m； （2）由（1）知，抛物线顶点坐标（15，5），设h＝a（s﹣15）2+5， 把（12，4.8）代入解析式， ∴（12﹣15）2a+5＝4.8，解得， ∴． （3）当s＝27m， ∴， ∵1.8＜2.6， ∴守门员能成功防守． 学科网（北京）股份有限公司 $ 22.3实际问题与二次函数 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】用二次函数解决商品利润问题 3 【题型2】用二次函数解决面积问题 5 【题型3】二次函数解决固定型抛物线问题 6 【题型4】二次函数解决运动型抛物线问题 8 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】二次函数的最值 （1）当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=时，y=． （2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=时，y=． （3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 1.（2021秋•岑溪市期末）二次函数y=（x-1）2-3的最小值是（　　） A．-3 B．3 C．0 D．1 【知识点2】根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 1.（2024秋•东川区期中）公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售1500个，9月份销售y个，设7月份到9月份销售量的月增长率为x,那么y与x的函数关系是（　　） A．y=1500（1+x）2 B．y=1500（1-x）2 C．y=（1+x）2+1500 D．y=x2+1500 2.（2023•大埔县开学）若正方形的边长为6，边长增加x,面积增加y,则y关于x的函数解析式为（　　） A．y=（x+6）2 B．y=x2+62 C．y=x2+6x D．y=x2+12x 【知识点3】二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 1.（2023•温江区模拟）某市新建一座景观桥．如图，桥的拱肋ADB可视为抛物线的一部分，桥面AB可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度AB为40米，桥拱的最大高度CD为16米（不考虑灯杆和拱肋的粗细），则与CD的距离为5米的景观灯杆MN的高度为（　　） A．13米 B．14米 C．15米 D．16米 2.（2024秋•汉阳区期中）一学生推铅球，铅球行进的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y=-x2+x+，则学生推铅球的距离为（　　） A． B．3m C．10m D．12m 【题型1】用二次函数解决商品利润问题 【典型例题】某商店对于某个商品的销售量与获利做了统计，得到下表： 若获利是销售量的二次函数，那么，该商店获利的最大值是（　　） A.9万元 B.9.25万元 C.9.5万元 D.10万元 【举一反三1】某公司计划生产一种新型电子产品，经过公司测算，在生产数量不超过8万件的情况下，生产成本和销售价格均是生产数量的一次函数，其部分数据如表： 为获得最大利润，生产数量应为（　　） A.3万件 B.4万件 C.5万件 D.6万件 【举一反三2】某种商品的成本是120元，试销阶段每件商品的售价x（元）与产品的销售量y（件）满足当x=130时，y=70，当x=150时，y=50，且y是x的一次函数，为了获得最大利润S（元），每件产品的销售价应定为（　　） A.160元 B.180元 C.140元 D.200元 【举一反三3】某服装店购进单价为15元童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，当每件的定价为____________元时，该服装店平均每天的销售利润最大． 【举一反三4】将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个，若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价a元，最大利润为b元，则a+b=__________． 【举一反三5】某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．求房价定为多少元时，宾馆的利润最大？最大利润是多少？ 【举一反三6】某工厂生产一种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量y（件）与售价x（万元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表： 该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元． （1）求：三月份每件产品的成本是多少万元？ （2）四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比三月份下降了14万元．若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获得的利润w（万元）关于售价x（万元/件）的函数关系式，并求最少利润是多少万元． 【题型2】用二次函数解决面积问题 【典型例题】如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】超市有一种“喜之郎”果冻礼盒，内装两个上下倒置的果冻，果冻高为4 cm，底面是个直径为6 cm的圆，横截面可以近似地看作一个抛物线，为了节省成本，包装应尽可能的小，那么要制作这样一个包装盒至少纸板（　　）平方厘米．（不计重合部分） A.253 B.288 C.206 D.245 【举一反三2】一种线型合成材料，其成本y（元）与材料长度x（米）的平方成正比．已知材料长度为2米时，成本为4元；若材料长度为4×103米，则该材料的成本用科学记数法表示为（　　） A.16×105元 B.1.6×106元 C.16×106元 D.1.6×107元 【举一反三3】如图，某小区准备用篱笆围成一块矩形花圃ABCD，为了节省篱笆，一边利用足够长的墙，另外三边用篱笆围着，再用两段篱笆EF与GH将矩形ABCD分割成①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，现有总长80米的篱笆，当围成的花圃ABCD的面积最大时，AB的长为_____________米． 【举一反三4】如图，用总长度为12米的不锈钢材料设计成如图所示的外观为矩形的框架，所有横档和竖档分别与AD，AB平行，则矩形框架ABCD的最大面积为______________米2． 【举一反三5】如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米． （1）求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； （2）已知墙的最大可用长度为8米； ①求所围成花圃的最大面积； ②若所围花圃的面积不小于20平方米，请直接写出x的取值范围． 【题型3】二次函数解决固定型抛物线问题 【典型例题】小王结婚时，在小区门口的平地上放置了一个充气婚庆拱门，其形状如图所示，若将该拱门（拱门的宽度忽略不计）放在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0）．若将该拱门看作是抛物线y=-x2+bx-的一部分，则点A与点B的距离为（　　） A.4 B.5 C.6 D.7 【举一反三1】我校“龙行数学”综合实践活动小组在下表中记录了二次函数y＝ax2+bx﹣2（a≠0）中两个变量x与y的5组对应值，其中x2＞x1＞﹣1，若当0＜x≤4时，直线y＝k与该二次函数图象有两个公共点，则k的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】廊桥是我国古老的文化遗产，如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是 　 　米． 【举一反三3】开封黑岗口引黄调蓄水库上的东京大桥，又名“彩虹桥”．夜晚在桥上彩灯的映衬下好似彩虹般绚丽．主景观由三个抛物线型钢拱组成（如图①所示），其中最高的钢拱近似看成二次函数的图象抛物线，钢拱最高处C点与路面的距离OC为50米，若以点O为原点，OC所在的直线为y轴，建立如图②所示的平面直角坐标系，抛物线与x轴相交于A、B两点，且AB两点间的距离为80米． （1）求这条抛物线的解析式； （2）钢拱最高处C点与水面的距离CD为72米，请求出此时这条钢拱之间水面的宽度； （3）当﹣32＜x＜16时，求y的取值范围． 【举一反三4】拱桥造型优美，是中国最常用的一种桥梁形式．现在某地，有一座拱桥，跨度AB为60m，拱顶C离地面高18m，拱桥的形状是一条抛物线； （1）以AB的中点为坐标原点，如图建立坐标系，请求出该拱桥所在抛物线的表达式； （2）当水面宽度小于或等于30m时，需要采取紧急措施．现在水面距离拱顶为4m，是否需要采取紧急措施； （3）某人在拱顶C处踢一足球，足球最高点位置距人水平距离为8m，竖直距离为6m，已知足球的运动轨迹为一条抛物线，请问足球会落在桥上吗？ 【题型4】二次函数解决运动型抛物线问题 【典型例题】如图是王阿姨阿晚饭后步行的路程s（单位：m）与时间t（单位：min）的函数图象．其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分，下列说法不正确的是（　　） A.25min～50min，王阿姨步行的路程为800m B.5min～20min，王阿姨步行速度由慢到快 C.线段CD的函数解析式为s＝32t+400（25≤t≤50） D.曲线段AB的函数解析式为s＝﹣3（t﹣20）2+1200（5≤t≤20） 【举一反三1】如图，在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y＝﹣x+1的一部分（水平地面为x轴，单位：m），有下列结论：①出球点A离点O的距离是1m；②羽毛球最高达到m；③羽毛球横向飞出的最远距离是3m；其中，正确结论的个数是（　　） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【举一反三2】科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节，科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中，经过一天后，测试出这种植物高度的增长情况（如表）： 由这些数据，科学家推测出植物每天高度增长量是温度的二次函数，则下列说法： ①该植物在0℃时，每天高度增长量最大； ②该植物在﹣6℃时，每天高度增长量仍能保持在20mm以上； ③该植物在﹣1至6℃的环境下，每天高度增长量随温度的增大而减小． 其中正确说法的个数是（　　） A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【举一反三3】冰雪运动越来越受大家的青睐，这是某运动员在自由式滑雪大跳台训练中从2m高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设他与跳台边缘的水平距离为x m，与跳台底部所在水平面的竖直高度为y m，y与x的函数关系式为，当他与跳台边缘的水平距离为 　   　m时，竖直高度达到最大值． 【举一反三4】小华酷爱足球运动．一次训练时，他将足球从地面向上踢出，足球距地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系为：h＝﹣4t2+12t，则足球距离地面的最大高度为 　    　m． 【举一反三5】【发现问题】 某景观公园内圆形人工湖中心有一喷泉，在人工湖中央垂直于水面安装一个柱子，安置在柱子顶端的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．爱思考的小敏发现，如果设距喷水柱子的水平距离为d米，喷出的抛物线形水线距离湖面高度为h米，h与d的数量变化有一定规律． 【举一反三6】鹰眼技术助力杭州亚运，提升球迷观赛体验，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．水平距离s与地高度h的鹰眼数据如表： （1）根据表中数据可得，当s＝　 　m时，h达到最大值 　 　m； （2）求h关于s的函数解析式； （3）当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度2.6m时，视为防守成功．若一次防守中，守门员位于足球正下方时，s＝27m，请问这次守门员能否防守成功？试通过计算说明． 学科网（北京）股份有限公司 $