2.1.2 有理数的加法运算律 基础讲义 2025-2026 学年青岛版（2024）数学七年级上册

本讲义聚焦有理数的加法运算律这一核心知识点，前承小学加法交换律与结合律，通过“朝三暮四”成语情境及探究活动验证其在有理数范围内的适用性，后接运算技巧（如相反数结合法、同号结合法）与实际应用，构建从旧知迁移到新知探究再到技能提升的学习支架。 资料以情境导入激发兴趣，通过问题链引导自主探究，培养推理意识；例题设计涵盖多种运算技巧，提升运算能力；结合机器人移动等实际问题，发展模型意识。课中辅助教师引导学生主动建构知识，课后助力学生通过例题解析与练习巩固，弥补运算薄弱环节。

2024新版·7年级上册数学讲义·青岛版 第2章 有理数的运算之2.1.2 有理数的加法运算律 2.1.2 有理数的加法运算律 在小学,我们已经学习了加法交换律和加法结合律，它们在有理数范围内还成立吗？ 导入新课： 成语“朝三暮四”讲述了宋国有一个养猕猴的人,因为养的猕猴太多而家财匮乏,于是养猕猴的人就打算限制猕猴的食物.他对猴子们说,早上给四个栗子,晚上给三个栗子,猴子大怒.后来他说早上三个栗子,晚上四个栗子,猴子们听后,认为晚上的栗子增加了,都很满意.听了这个故事,你们有什么感受呢? 4+3=3+4,只是改变了早晚顺序,每天的总量其实没变。 从数学角度考虑,4+3=3+4运用了加法的什么运算律？在小学我们还学过哪些加法运算律? 这些运算律在有理数中还成立吗? 从数学角度考虑,4+3=3+4运用了加法交换律.在小学我们还学过加法结合律,但不清楚它们在有理数范围内是否仍然成立。 思考与交流 活动一:探究有理数的加法运算律 问题1: 计算下列各题:-3 -3 ①(-1)+(-2)= , (-2)+(-1)= ;3.5 3.5 ② (-3)+(+6.5)= , (+6.5)+(-3)= 。 (1)比较每组中两个加数的位置及运算结果,你发现了什么? 发现 (-1)+(-2)=(-2)+(-1); (-3)+(+6.5)=(+6.5)+(-3)。 再任取两个数相加,并交换加数的位置,还能得到相同的结论吗? 发现还能得到相同的结论。 归纳:对于任意两个有理数,上述结论都成立,即加法交换律在有理数范围内仍成立。 问题2: (1)计算: -1 ①[8+(-5)]+(-4)= , -1 ②8+[(-5)+(-4)]= 。 (2)两次所得的和相同吗? 换几个加数再试一试. 观察发现两次所得的和相同,即[8+(-5)]+(-4)=8+[(-5)+(-4)]=-1. 再换几个加数仍得到相同的结论。 (3)从上述计算中,你能得出什么结论? 有理数满足加法结合律。 知识点 有理数加法的运算律 将前面所得两种情况汇总,可得出完整的有理数加法的运算律: 1. 有理数加法的运算律 运算律 文字叙述 式子表示 加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变 a+b=b+a 加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加， 或者先把后两个数相加，和不变 （a+b）+c=a+(b+c) 提示： （1）用交换律时，一定要连同加数的符号一起交换，即“符号跟着数字走”。 （2）三个以上有理数相加，既可以根据需要交换加数的位置，也可以先把其中的几个数相加。 例1 计算： （1）（-23）+（-12）+（+7）； （2）（-）+（-）+（-）+（+）。 分析：如何用加法交换律和加法结合律进行计算？对于第(1)题,能否把+23 和+7先计算? 第(2)题怎样把分母相同的数先计算? 解：（1）（-23）+（-12）+（+7） =（-23）+（+7）+（-12） （加法交换律） =〔（-23）+（+7）〕+（-12） （加法结合律） =（+30）+（-12） （有理数加法法则） =18。 （有理数加法法则） （2） （-）+（-）+（-）+（+） =（-）+（-）+（-）+（+） （加法交换律） =〔（-）+（-）〕+〔（-）+（+）〕 （加法结合律） =（-1）+（-2） （有理数加法法则） =-3。 （有理数加法法则） 2. 加法运算律的运算技巧 (1) 互为相反数的两个数先相加 ——“相反数结合法”； (2) 符号相同的数先相加——“同号结合法”; (3) 分母相同（或分母成倍数关系易化成同分母）的数先相加——“同分母结合法”； (4) 能相加得到整数的几个数先相加——“凑整法”； (5) 整数与整数、小数与小数先相加——“同形结合法”； (6) 带分数相加时，可先拆成整数与分数的和，再分别相加——“拆分法”。 注意： 多个加数相加时，往往有多种组合方法，不要硬套法则，要仔细观察，根据题目的特点，灵活运用运算法则。 例2 计算： （1）26+（-14）+（-16）+18； （2）18.56+（-5.16）+（-1.44）+5.16+（-18.56）； （3）0.75+0.125+（-2）+（-4）+； （4）（+12）+（-23）； （5）（-1）+1 +（+7）+（-2）+（-8）。 分析： （1）利用加法交换律和加法结合律把符号相同的数分别相加。 （2）先把互为相反数的数分别相加，使计算简便。 （3）算式中既有分数，又有小数，通常将小数化为分数，然后根据加法交换律和加法结合律利用“凑整法”计算。 （4）先把带分数拆分成整数和分数的和，再根据加法的运算律利用“同行结合法”计算。 （5）利用加法的运算律先将分母相同的分数结合计算。 解：（1）26+（-14）+（-16）+18 =（26+18）+【（-14）+（-16）】同号结合法 同号结合法 =44+（-30） =14 （2）18.56+（-5.16）+（-1.44）+5.16+（-18.56） =〔18.56+（-18.56）〕+〔（-5.16）+5.16〕+（-1.44）相反数结合法 相反数结合法 =-1.44 （3）0.75+0.125+（-2）+（-4）+ = + +（-2）+（-4）+ =〔 +（-2）〕+〔 +（-4）〕+凑整法 凑整法 =（-2）+（-4）+ =-5 （4） （+12）+（-23）易错警示： 利用拆分法进行加法运算时，要注意分开的整数部分和分数部分都要保留原带分数的符号，如-23=（-23）+（-），本题易出现“-23=（-23）+ ”这种错误。 =12+ +（-23）+（-）拆分法 拆分法 =〔12+（-23）〕+〔 +（-）〕同形结合法 同形结合法 =（-11）+ =-10 （5） （-1）+1 +（+7）+（-2）+（-8） =〔（-1）+（-2）〕+〔1 +（-8）〕+（+7）同分母结合法 同分母结合法 =-3 + （-7）+7 =-3+（-） +（-7）+7+拆分法 拆分法 =-3+（-）+〔（-7）+7〕+相反数结合法 =-3+（-）+ 0+ =-3 素养点拨： 本例题利用运算律进行有理数加法运算，根据所给式子特点运用同号结合法、凑整法、拆分法等技巧快速计算，体现运算能力。 例3 在一次机器人测试中，机器人要从起点开始连续移动6次，移动要求依次为： 前进0.6m，前进2.2m，后退1.6m， 后退2.4m，前进2.8m，后退1.8m。 机器人经过6次移动后，从起点前进（或后退）了多少米？ 解：（+0.6）+（+2.2）+（-1.6）+（-2.4）+（+2.8）+（-1.8） =〔（+0.6）+（-1.6）〕+〔（+2.2）+（+2.8）〕+〔（-2.4）+（-1.8）〕 =（-1）+（+5）+（-4.2） =-0.2 所以，经过6次移动后，机器人从起点后退了0.2m。 练习（p31） 1. 计算： （1） （+3）+（-13）+（+7）； （2） （+0.56）+（-0.9）+（+0.44）+（-8.1）； （3） （+）+（-）+（-）+（+）。 解： （1） （+3）+（-13）+（+7）=（+3）+（+7）+（-13）=10+（-13）=-3 （2） （+0.56）+（-0.9）+（+0.44）+（-8.1） =〔（+0.56）+（+0.44）〕+〔（-0.9）+（-8.1）〕 =1+（-9） =-8 （3） （+）+（-）+（-）+（+） =〔（+）+（-）〕+〔（-）+（+）〕 = + （- ） =- 2. 一批箱装苹果的标准质量是每箱10kg。现从中随意抽取10箱进行检验，超过标准质量的千克数记作正数，不足标准质量的千克数记作负数，记录如下： +0.5，+0.3，-0.2, 0，+0.2，-0.5, 0，+0.2，-0.3，-0.1。 这10箱苹果的总质量是多少？ 解：由题意得， （+0.5）+（+0.3）+（-0.2）+0+（+0.2）+（-0.5）+0+（+0.2）+（-0.3）+（-0.1） =〔（+0.5）+（-0.5）〕+〔（+0.3）+（-0.3）〕+〔（+0.2）+（-0.2）〕++〔（+0.2）+（-0.1）〕 =0+0+0+0.1 =0.1（kg）， 所以这10箱苹果的总质量是 10×10+0.1=100.1（kg）。 重点内容总结 加法交换律 a+b=b+a 有 理 数 的 运算律 加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c) 1 学科网（北京）股份有限公司 $