24.1.3 弧、弦、圆心角课件 2025-2026学年人教版数学九年级上册

24.1 圆的有关性质 24.1.3 弧、弦、圆心角 　　1．能够重合的两个圆叫做_________，在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做__________． 等圆 等弧 　　2．圆是轴对称图形，______________________都是圆的对称轴． 任何一条直径所在直线 　　3．垂径定理： 　　4．垂径定理的推论： 　　平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 一、复习回顾 　　5．什么是中心对称图形？ 　　把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形（自身）重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． A B O A B C D O 一、复习回顾 　　剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转180°，所得的图形与原图形重合吗？由此你能得到什么结论？ B O A 　　把圆绕圆心旋转180°，所得的图形与原图形重合． 　　圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心． 二、新知探究 　　把圆绕圆心旋转任意一个角度后，还能和原来的图形重合吗？ 思考 A A A A A 　　把圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都与原图形重合． O 圆的旋转对称性 　　圆具有旋转不变性，它绕圆心旋转任意一个角度都能与它本身重合，因此圆也是中心对称图形，圆心是对称中心． 　　如图，∠AOB为⊙O 的圆心角． 　　顶点在圆心的角叫做圆心角． B A 圆心角∠AOB所对的弦为AB，所对的弧为 O 1 知识点 圆心角的概念 　　1.判断下列各图中的角是不是圆心角． 不是 是 不是 是 不是 练习 O O O O O 如图，AB为⊙O 的弦，∠A＝40°，则AB所对的圆心角等于(　　) A．40° B．80° C．100° D．120° ⌒ C 任意给圆心角，对应出现三个量： 圆心角 弧 弦 · O B A 疑问：这三个量之间会有什么关系呢？ 2 知识点 圆心角与所对的弧、弦之间的关系 如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A1OB1的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？ · O A1 B1 ∵ ∠AOB=∠A1OB1 ∴AB=A1B1 AB=A1B1 . ⌒ ⌒ A B 　　在等圆中，如果∠AOB＝∠A′O′B′，你发现的相等关系是否依然成立？ 思考 B A O B′ A′ O′ 　AB＝A′B′，依然成立． 　　结合下面的动图，你能将你的发现归纳成一般结论吗？ 思考 弧、弦、圆心角之间的关系： 　　在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 　　符号语言： ∵∠AOB＝∠A′OB′ B A B′ A′ O 　，AB＝A′B′ ∴ 　 在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 　　把题设中“圆心角相等”与两个结论中的任意一个交换，得到两个新命题，你能验证这两个命题的真假吗？ 　　命题1：在同圆或等圆中，如果弧相等，那么弧所对的圆心角相等，弦相等． 　　命题2：在同圆或等圆中，如果弦相等，那么弦所对的圆心角相等，优弧和劣弧分别相等． 　　如图，在⊙O中， ＝ ，它们所对的圆心角分别为∠AOB和∠A′OB′，所对的弦分别为AB和A′B′． 　　经过旋转验证可得： 　　∠AOB＝∠A′OB′，AB＝A′B′． 　　命题1：在同圆或等圆中，如果弧相等，那么弧所对的圆心角相等，所对的弦相等． B A B′ A′ O 　　命题2：在同圆或等圆中，如果弦相等，那么弦所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等． 　　如图，在⊙O中，AB＝A′B′，它们所对的圆心角分别为∠AOB和∠A′OB′，所对的弧分别为 和 ． 　　证明：∵AB＝A′B′，OA＝OA′，OB＝OB′， 　　∴△AOB≌△A′OB′（SSS）， 　　∴∠AOB＝∠A′OB′． 　　∴ ＝ （在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等）． B A B′ A′ O 在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等． 弧、弦与圆心角关系定理的推论 在同圆或等圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等． 　　在同圆或等圆中，弧、弦和圆心角“知一推二”，即知道其中的一组相等，其余两组均相等． 圆心角相等 所对的弦相等 所对的弧相等 归纳 　　如图，在两圆中，当圆心角∠AOB＝∠A′OB′时，它们所对的 和 、弦AB和A′B′相等吗？ 练习 不相等． O A B A′ B′ 　　在应用弧、弦、圆心角之间的关系定理及其推论解决问题时，一定要注意“在同圆或等圆中”这个前提条件，否则结论不一定成立． 掌握新知 课本85页第1题 变式：若OE＝OF，则AB与CD相等吗？ （4）解：OE＝OF．理由如下： ∵OE⊥AB，OF⊥CD ∴∠OEA＝∠OFC＝90°, AE＝ AB，CF＝ CD 又∵AB＝CD ∴AE＝CF ∵在Rt△AOE和Rt△COF中， OA＝OC AE＝CF ∴Rt△AOE≌Rt△COF(HL) ∴OE＝OF 解：AB＝CD．理由如下： ∵在Rt△AOE和Rt△COF中， OA＝OC OE＝OF ∴Rt△AOE≌Rt△COF(HL) ∴AE＝CF ∵OE⊥AB，OF⊥CD ∴∠OEA＝∠OFC＝90°, AE＝ AB，CF＝ CD ∴AB＝CD 1. 下列说法中，正确的是(　　) A．等弦所对的弧相等 B．等弧所对的弦相等 C．在同圆中，圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等，所对的圆心角相等 · A O B C D E 课本85页第2题 2.如图，AB是⊙O 的直径， ，∠COD=35°，求∠AOE 的度数． 3.如图所示，在⊙O中，AD＝BC.比较 的长度，并证明你的结论。 课本89页第4题 变式：如图，在⊙O中，AD＝BC.求证：AB＝CD. 　　例1　如图，在⊙O中， ＝ ，∠ACB＝60°． 求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC． 　　∴AB＝AC． 　　又∠ACB＝60°， 　　∴△ABC是等边三角形 ． 　　∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC． 　　∴△ABC是等腰三角形． 　　∴AB＝BC＝CA． 　　证明：∵ ＝ ， B A C O 4.如图，A、B是⊙A上的两点，∠AOB＝120°，C是 的中点. 试判断四边形OACB的形状，并说明理由. 课本90页第13题 弧、弦、圆心角 弧、弦、圆心角之间的关系 圆的旋转对称性 圆心角 定理 推论 $