17.2用公式法分解因式 讲义 2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册

17.2用公式法分解因式 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】综合运用平方差公式与完全平方公式分解因式 4 【题型2】综合运用提公因式法与公式法分解因式 4 【题型3】形如x²+(p+q)x+pq型多项式的因式分解 5 【题型4】用分组分解法分解因式 6 【题型5】因式分解在有理数简便运算中的应用 7 【题型6】因式分解在判断是否被整除中的应用 7 【题型7】因式分解与新定义型问题及规律型问题 8 【题型8】因式分解在实际问题和几何问题中的应用 10 【题型9】用平方差公式分解因式 11 【题型10】巧用平方差公式分解因式求值 11 【题型11】平方差公式与提公因式法综合分解因式 12 【题型12】完全平方式中2倍乘积项系数 12 【题型13】用完全平方公式分解因式 13 【题型14】巧用完全平方公式分解因式“配方”求值或代数式最值 14 【题型15】用完全平方公式分解因式解决实际问题或几何问题 14 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】完全平方式 完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A=B2，则称A是完全平方式． a2±2ab+b2=（a±b）2 完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用-，后边的符号都用+）” 1.（2024秋•安康期末）若x²+mx+16是一个完全平方式，则m的取值是（　　） A．8 B．-8 C．±8 D．±4 2.（2024秋•长沙期末）若x²+ax+16是一个完全平方式，则常数a的值为（　　） A．8 B．-8 C．±8 D．无法确定 【知识点2】因式分解-运用公式法 1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法． 　　平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）； 　　完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2； 　2、概括整合： ①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反． ②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍． 3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止． 1.（2025春•顺义区期末）下列多项式能运用完全平方公式分解因式的是（　　） A．x²+2x+y2 B．4x²-4x+1 C．x²+4xy+y2 D．x²-4x-4 【知识点3】提公因式法与公式法的综合运用 先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可． 1.（2025•大连模拟）分解因式a2b-b3结果正确的是（　　） A．b（a2-b2） B．b（a-b）2 C．（ab+b）（a-b） D．b（a+b）（a-b） 2.（2025春•平谷区期末）下列因式分解正确的是（　　） A．6x²-4xy=x（6x-4y） B．x²-4x+4=（x-4）2 C．x4-81=（x²+9）（x²-9） D．5x²-5y2=5（x+y）（x-y） 【知识点4】因式分解-分组分解法 1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式． 2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法． 例如：①ax+ay+bx+by =x（a+b）+y（a+b） =（a+b）（x+y） ②2xy-x²+1-y2 =-（x²-2xy+y2）+1 =1-（x-y）2 =（1+x-y）（1-x+y） 1.（2010•自贡）把x²-y2-2y-1分解因式结果正确的是（　　） A．（x+y+1）（x-y-1） B．（x+y-1）（x-y-1） C．（x+y-1）（x+y+1） D．（x-y+1）（x+y+1） 【知识点5】因式分解-十字相乘法等 借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的 方法，通常叫做十字相乘法． ①x²+（p+q）x+pq型的式子的因式分解． 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积； 可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x²+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q） ②ax²+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解 这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2， 把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一 次项b，那么可以直接写成结果：ax²+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）． 1.（2024春•邵东市期末）把多项式x²+ax+b分解因式，得（x+2）（x-3），则a,b的值分别是（　　） A．a=1，b=6 B．a=-1，b=-6 C．a=-1，b=6 D．a=1，b=-6 2.（2025•浙江模拟）若多项式x²-2x+2k因式分解后的结果是（x+2）（x+k），则k的值是（　　） A．3 B．-3 C．-2 D．-4 【题型1】综合运用平方差公式与完全平方公式分解因式 【典型例题】下列各式中，能用公式法分解因式的是（    ） A. B. C. D. 【举一反三1】下列多项式中，能用公式法分解因式的是（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】下列多项式中不能运用公式法进行因式分解的是（    ） A. B. C. D. 【举一反三3】因式分解：          ． 【举一反三4】把下列各式分解因式： (1) (2)． (3). 【题型2】综合运用提公因式法与公式法分解因式 【典型例题】将多项式3ax²﹣3ay2因式分解的结果为（　　） A.3a（x²﹣y2） B.3a（x+y）（x﹣y） C.3a（x﹣y）2 D.3a（x+y）2 【举一反三1】下列因式分解正确的是（　　） A.4a2﹣1＝（4a+1）（4a﹣1） B.﹣a2b+2ab＝﹣ab（a+2） C.a2﹣6ab﹣9b2＝（a﹣3b）2 D.a2﹣8a+16＝（a﹣4）2 【举一反三2】分解因式：a2xy﹣b2xy＝　          　． 【举一反三3】因式分解： （1）3x²y﹣27y； （2）20a2b﹣20ab+5b； （3）（a2+1）2﹣4a2； （4）9（2x﹣1）2﹣6（2x﹣1）+1． 【题型3】形如x²+(p+q)x+pq型多项式的因式分解 【典型例题】将在实数范围内因式分解，正确的结果是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】若二次三项式可分解成，则的值是（    ） A.﹣16 B.﹣8 C.8 D.16 【举一反三2】分解因式：           ． 【举一反三3】分解因式： （1）        ；（2）        ； （3）        ；（4）        ； （5）        ；（6）        ； （7）        ；（8）        ； （9）        ． 【举一反三4】阅读教材：人教版八年级上册数学教材《因式分解》部分内容的“阅读与思考”中介绍，在因式分解中有一类形如的多项式，其常数项是两个因数的积，而一次项系数恰好是这两个因数的和，则我们可以把它分解成 例如，，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图），这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 【题型4】用分组分解法分解因式 【典型例题】用分组分解的因式，分组正确的是（　　） A. B. C. D. 【举一反三1】将多项式分解因式的结果为（　　） A. B. C. D. 【举一反三2】把分解因式，正确的分组为（　　） A. B. C. D. 【举一反三3】因式分解：          ． 【举一反三4】分解因式：=                                                      ． 【举一反三5】常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多项式用上述方法无法分解，例如，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就可以完整的分解了，具体分解过程如下： 这种方法叫分组分解法，请利用这种方法因式分解下列多项式： (1)； (2)； (3)． 【题型5】因式分解在有理数简便运算中的应用 【典型例题】利用因式分解可以简便计算：分解正确的是(   ) A. B. C. D. 【举一反三1】计算：1252﹣50×125+252＝（　　） A.100 B.150 C.10000 D.22500 【举一反三2】（1）（﹣2）113+（﹣2）114等于 　       　． （2）（﹣2）2023+（﹣2）2024＝　        　．（用2的乘方表示） 【举一反三3】利用分解因式计算：22020﹣22019＝　       　． 【举一反三4】计算： （1）39×37﹣13×91； （2）29×20.09+72×20.09+13×20．O9﹣20．O9×14． 【题型6】因式分解在判断是否被整除中的应用 【典型例题】两个连续的奇数的平方差总可以被k整除，则k等于(　　) A.4 B.8 C.4或-4 D.8的倍数 【举一反三1】对任意整数n，（2n+1）2﹣25都能（　　） A.被3整除 B.被4整除 C.被5整除 D.被6整除 【举一反三2】若k为任意整数，则（2k+5）2﹣4k2的值总能（　　） A.被2整除 B.被3整除 C.被5整除 D.被7整除 【举一反三3】对于任何整数a（a≠0），多项式（3a+5）2﹣16都能被 　  　整除（整数或者含a的整式）． 【举一反三4】求证：当n为整数时，多项式(2n＋1)2－(2n－1)2一定能被8整除． 【举一反三5】已知n是正整数，则奇数可以用式子2n+1来表示 （1）分解因式：（2n+1）2﹣1； （2）我们把所有“奇数的平方减去1”所得的数叫“白银数”，则所有“白银数”的最大公约数是多少？请简要说明理由． 【题型7】因式分解与新定义型问题及规律型问题 【典型例题】定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且a+b，a﹣b是一对“互助数”．若a2﹣b2＝p﹣3，则p的值可以为（　　） A. B.6 C. D.3 【举一反三1】如果一个数等于两个连续偶数的平方差，那么我们称这个数为“和融数”，如：因为20＝62﹣42，所以称20为“和融数”，下面4个数中为“和融数”的是（　　） A.2020 B.2021 C.2022 D.2023 【举一反三2】如果一个数等于两个连续偶数的平方差，那么我们称这个数为“和融数”，如：因为20＝62﹣42，所以称20为“和融数”，下面4个数中为“和融数”的是（　　） A.2020 B.2021 C.2022 D.2023 【举一反三3】如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“凤凰数”，如8＝32﹣12，16＝52﹣32，所以8，16都是“凤凰数”，下列整数是“凤凰数”的为（　　） A.22 B.24 C.30 D.34 【举一反三4】阅读下列材料： 请仔细阅读下面某同学对多项式（x²﹣4x+2）（x²﹣4x+6）+4进行因式分解的过程，然后回答问题． 解：设x²﹣4x+2＝m 原式＝m（m+4）+4（第一步） ＝m2+4m+4（第二步） ＝（m+2）2（第三步） ＝（x²﹣4x+4）2（第四步） 回答下列问题： （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是 　   　； A．提取公因式 B．平方差公式 C．完全平方公式 （2）另外一名同学发现第四步因式分解的结果不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果：　      　． （3）请你模仿以上方法对多项式（x²﹣2x）（x²﹣2x+2）+1进行因式分解． 【举一反三5】对于二次三项式x²+2ax+a2可以直接用公式法分解为（x+a）2的形式，但对于二次三项式x²+2ax﹣3a2就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式x²+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使其成为完全平方式，再减去a2这项，使整个式子的值不变，于是有：x²+2ax﹣3a2＝x²+2ax﹣3a2+a2﹣a2＝x²+2ax+a2﹣4a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+3a）（x﹣a）．像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法． （1）请用上述方法把x²+4x+3分解因式； （2）多项式x²+10x+28有最小值吗？如果有，求出最小值是多少？此时x的值是多少？ 【题型8】因式分解在实际问题和几何问题中的应用 【典型例题】如图，四边形ABCD是一个长方形，利用不同的方法可以计算出长方形的面积．通过分析图形中所标线段的长度，将多项式m2+3mn+2n2因式分解，其结果正确的是（　　） A.（m+2n）2 B.（m+2n）（m+n） C.（2m+n）（m+n） D.（m+2n）（m﹣n） 【举一反三1】已知a，b，c是△ABC的三条边，则多项式(a-c)2-b2的值是(　　) A.正数 B.0 C.负数 D.无法确定 【举一反三2】如图，边长为a，b的矩形的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为(　　) A.140 B.70 C.35 D.24 【举一反三3】如图，长方形的长、宽分别为A、b，且a比b大3，面积为7，则a2b﹣ab2的值为 　     　． 【举一反三4】有一个圆形的花园，其半径为4米，现要扩大花园，将其半径增加2米，这样花园的面积将增加多少平方米？ 【举一反三5】如图，某小区规划在边长为xm的正方形场地上，修建两条宽为2m的甬道，其余部分种草，你能用几种方法计算甬道所占的面积． 【题型9】用平方差公式分解因式 【典型例题】若(2x)n-81 = (4x²+9)(2x+3)(2x-3)，那么n的值是( ) A.2 B.4 　　 C.6 　 D.8 【举一反三1】小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是x□-4y2(“□”表示漏抄的指数)，则这个指数可能的结果共有(　　) A.2种 B.3种 C.4种 D.5种 【举一反三2】因式分解：（y2﹣8）2﹣64＝　         　． 【举一反三3】因式分解：（m+n）2﹣4m2＝　     　． 【举一反三4】分解因式：(a+b+c)2-(a-b-c)2. 【举一反三5】分解因式49(m-n)2-9(m+n)2． 【题型10】巧用平方差公式分解因式求值 【典型例题】若81﹣xk＝（9+x²）（3+x）（3﹣x），那么k的值是（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 【举一反三1】已知x，y满足，则x²﹣9y2的值为（　　） A.﹣5 B.4 C.5 D.25 【举一反三2】若，则代数式的值为      ． 【举一反三3】已知x²﹣y2＝﹣1，x+y＝，求x﹣y的值． 【举一反三4】已知a2﹣b2﹣5＝0，c2﹣d2﹣2＝0，求（ac+bd）2﹣（ad+bc）2的值 【题型11】平方差公式与提公因式法综合分解因式 【典型例题】分解因式:ab2-a为　(　　) A. a(b2-1) B.a(b  +1)2 C.a(b +1) (b  -1) D.a(b -1)2 【举一反三1】将多项式因式分解的结果为（    ） A. B. C. D. 【举一反三2】下列因式分解正确的是（    ） A. B. C. D. 【举一反三3】分解因式：           ． 【举一反三4】因式分解： (1)； (2)； (3)； 【题型12】完全平方式中2倍乘积项系数 【典型例题】若x²+kx+25＝（x﹣5）2，那么k的值是（　　） A.5 B.﹣5 C.10 D.﹣10 【举一反三1】已知9x²+mxy+16y2能运用完全平方公式因式分解，则m的值为（　　） A.12 B.±12 C.24 D.±24 【举一反三2】若x²+mx+16＝（x﹣4）2，则m的值是（　　） A.4 B.8 C.﹣8 D.±8 【举一反三3】若a的值使x²+6x+a＝（x+3）2成立，则a的值为（　　） A.9 B.8 C.6 D.3 【举一反三4】若x²－8x＋m2＝(x－4)2，那么m＝________. 【举一反三5】如果是一个完全平方式，那么m＝      ． 【举一反三6】若多项式x²﹣（m﹣1）x+16能用完全平方公式进行因式分解，则m＝　           　． 【举一反三7】已知：关于x的二次三项式是完全平方式，则常数k等于      ． 【题型13】用完全平方公式分解因式 【典型例题】已知x为任意有理数，则多项式x-1-x²的值( ) A.一定为负数 　 B.不可能为正数　 C.一定为正数 　 D.可能为正数或负数或零 【举一反三1】下列各式：①x²﹣6x+9；②25a2+10a﹣1；③x²﹣4x﹣4；④4x²﹣x+，其中不能用完全平方公式因式分解的个数为（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 【举一反三2】判断下列各式是不是完全平方式． ①a2－2ab－b2；②a2＋b2－2ab；③－6xy＋9x²＋y2；④a2－6ab＋b2；⑤x²＋x＋；⑥m2＋4mn＋2n2. 以上各式属于完全平方式的是              .(只填写序号) 【举一反三3】因式分解：a4﹣8a2b2+16b4＝　             　． 【举一反三4】把下列各式分解因式： （1）4a2+4a+1； （2）1﹣6y+9y2； （3）； （4）4x²﹣12xy+9y2； （5）； （6）（x+y）2﹣10（x+y）+25； 【题型14】巧用完全平方公式分解因式“配方”求值或代数式最值 【典型例题】已知a+b＝3，ab＝2，求式子a3b+2a2b2+ab3的值为（　　） A.18 B.28 C.50 D.60 【举一反三1】若a+b=-1，则3a2+3b2+6ab=(　　) A.-1 B.1 C.3 D.-3 【举一反三2】如果a﹣b＝2，那么式子a3﹣2a2b+ab2﹣4a的值是（　　） A.﹣1 B.0 C.1 D.2 【举一反三3】若x²+y2-4x-6y+13=0,x+y的值为　　　　. 【举一反三4】若(m-n)2=8,(m+n)2=2,则m2+n2=　　　　. 【举一反三5】已知|x+2y﹣1|+（2x﹣y﹣2）2＝0，求（2x+y）2﹣2（2x﹣y）（2x+y）+（2x﹣y）2的值． 【举一反三6】已知：x²﹣y2＝15，x+y＝3．求下列各式的值： （1）x﹣y； （2）2x²﹣2xy+10y． 【题型15】用完全平方公式分解因式解决实际问题或几何问题 【典型例题】已知正方形的面积是，则正方形的周长是（   ） A. B. C. D. 【举一反三1】已知正方形的面积为，则正方形的周长是（    ）． A. B. C. D. 【举一反三2】已知、、是一个三角形的三边，则的值是（    ） A.恒正 B.恒负 C.可正可负 D.非负 【举一反三3】已知等腰的三边长，，，且满足：，求的周长为      ． 【举一反三4】若a、b是的两条边的长度，且满足，则面积的最大值是          ． 【举一反三5】阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式．例如：． (1)填空：将多项式变形为的形式，并判断与0的大小关系． ________ __________0（填“＞”，“＜”，“＝”） (2)如下图1所示的长方形的长和宽分别是，，图2所示的长方形的长和宽分别是，，请用含的式子分别表示两个长方形的面积，，比较与的大小，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 17.2用公式法分解因式 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】综合运用平方差公式与完全平方公式分解因式 6 【题型2】综合运用提公因式法与公式法分解因式 8 【题型3】形如x²+(p+q)x+pq型多项式的因式分解 9 【题型4】用分组分解法分解因式 11 【题型5】因式分解在有理数简便运算中的应用 14 【题型6】因式分解在判断是否被整除中的应用 15 【题型7】因式分解与新定义型问题及规律型问题 17 【题型8】因式分解在实际问题和几何问题中的应用 21 【题型9】用平方差公式分解因式 23 【题型10】巧用平方差公式分解因式求值 24 【题型11】平方差公式与提公因式法综合分解因式 26 【题型12】完全平方式中2倍乘积项系数 27 【题型13】用完全平方公式分解因式 29 【题型14】巧用完全平方公式分解因式“配方”求值或代数式最值 31 【题型15】用完全平方公式分解因式解决实际问题或几何问题 33 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】完全平方式 完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A=B2，则称A是完全平方式． a2±2ab+b2=（a±b）2 完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用-，后边的符号都用+）” 1.（2024秋•安康期末）若x²+mx+16是一个完全平方式，则m的取值是（　　） A．8 B．-8 C．±8 D．±4 【答案】C 【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m的值． 【解答】解：∵x²+mx+16=x²+mx+42， ∴mx=±2x•4， 解得m=±8． 故选：C． 2.（2024秋•长沙期末）若x²+ax+16是一个完全平方式，则常数a的值为（　　） A．8 B．-8 C．±8 D．无法确定 【答案】C 【分析】完全平方式是a2±2ab+b2，由此解答即可． 【解答】解：x²+ax+16=x²+ax+42， ∴ax=±2x×4， ∴a=±8， 故选：C． 【知识点2】因式分解-运用公式法 1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法． 　　平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）； 　　完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2； 　2、概括整合： ①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反． ②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍． 3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止． 1.（2025春•顺义区期末）下列多项式能运用完全平方公式分解因式的是（　　） A．x²+2x+y2 B．4x²-4x+1 C．x²+4xy+y2 D．x²-4x-4 【答案】B 【分析】根据完全平方公式的结构特征判断即可． 【解答】解：A、x²+2x+y2不能用完全平方公式分解因式，故此选项不符合题意； B、4x²-4x+1=（2x-1）2，能用完全平方公式分解因式，故此选项符合题意； C、x²+4xy+y2不能用完全平方公式分解因式，故此选项不符合题意； D、x²-4x-4不能用完全平方公式分解因式，故此选项不符合题意； 故选：B． 【知识点3】提公因式法与公式法的综合运用 先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可． 1.（2025•大连模拟）分解因式a2b-b3结果正确的是（　　） A．b（a2-b2） B．b（a-b）2 C．（ab+b）（a-b） D．b（a+b）（a-b） 【答案】D 【分析】直接提取公因式b,进而利用平方差公式分解因式得出答案． 【解答】解：a2b-b3 =b（a2-b2） =b（a+b）（a-b）． 故选：D． 2.（2025春•平谷区期末）下列因式分解正确的是（　　） A．6x²-4xy=x（6x-4y） B．x²-4x+4=（x-4）2 C．x4-81=（x²+9）（x²-9） D．5x²-5y2=5（x+y）（x-y） 【答案】D 【分析】根据提公因式法、公式法分别分解因式判断即可． 【解答】解：A、6x²-4xy=2x（3x-2y），故此选项不符合题意； B、x²-4x+4=（x-2）2，故此选项不符合题意； C、x4-81=（x²+9）（x²-9）=（x²+9）（x+3）（x-3），故此选项不符合题意； D、5x²-5y2=5（x²-y2）=5（x+y）（x-y），故此选项符合题意； 故选：D． 【知识点4】因式分解-分组分解法 1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式． 2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法． 例如：①ax+ay+bx+by =x（a+b）+y（a+b） =（a+b）（x+y） ②2xy-x²+1-y2 =-（x²-2xy+y2）+1 =1-（x-y）2 =（1+x-y）（1-x+y） 1.（2010•自贡）把x²-y2-2y-1分解因式结果正确的是（　　） A．（x+y+1）（x-y-1） B．（x+y-1）（x-y-1） C．（x+y-1）（x+y+1） D．（x-y+1）（x+y+1） 【答案】A 【分析】由于后三项符合完全平方公式，应考虑三一分组，然后再用平方差公式进行二次分解． 【解答】解：原式=x²-（y2+2y+1）， =x²-（y+1）2， =（x+y+1）（x-y-1）． 故选：A． 【知识点5】因式分解-十字相乘法等 借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的 方法，通常叫做十字相乘法． ①x²+（p+q）x+pq型的式子的因式分解． 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积； 可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x²+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q） ②ax²+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解 这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2， 把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一 次项b，那么可以直接写成结果：ax²+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）． 1.（2024春•邵东市期末）把多项式x²+ax+b分解因式，得（x+2）（x-3），则a,b的值分别是（　　） A．a=1，b=6 B．a=-1，b=-6 C．a=-1，b=6 D．a=1，b=-6 【答案】B 【分析】根据十字相乘法知：a=2-3，b=2×（-3）． 【解答】解：∵把多项式x²+ax+b分解因式，得（x+2）（x-3）， ∴a=2-3=-1，b=2×（-3）=-6． 故选：B． 2.（2025•浙江模拟）若多项式x²-2x+2k因式分解后的结果是（x+2）（x+k），则k的值是（　　） A．3 B．-3 C．-2 D．-4 【答案】D 【分析】根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可得答案． 【解答】解：根据因式分解与整式的乘法互为逆运算可得： （x+2）（x+k）=x²+（2+k）x+2k=x²-2x+2k, ∴2+k=-2， 解得k=-4． 故选：D． 【题型1】综合运用平方差公式与完全平方公式分解因式 【典型例题】下列各式中，能用公式法分解因式的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：A、，只能提公因式分解因式，故选项不符合题意； B、有三项，并且有两项是平方项，但是最后的平方项符号是负的，不符合完全平方公式，故选项不符合题意； C、不能继续分解因式，故选项不符合题意； D、，能用平方差公式进行因式分解，故选项符合题意． 故选：D． 【举一反三1】下列多项式中，能用公式法分解因式的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：A. ，不能用公式因式分解，不符题意， B. ，不能用公式因式分解，不符题意，     C. ，不能用公式因式分解，不符题意，     D. ，能用平方差公式因式分解，符合题意， 故选：D． 【举一反三2】下列多项式中不能运用公式法进行因式分解的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：，故A选项能用公式法进行因式分解，不符合题意； ，故B选项能用公式法进行因式分解，不符合题意； ，故C选项能用公式法进行因式分解，不符合题意； 不能用公式法进行因式分解，故D选项符合题意； 故选D． 【举一反三3】因式分解：          ． 【答案】 【解析】解： ， 故答案为：． 【举一反三4】把下列各式分解因式： (1) (2)． (3). 【答案】（1）解： ； （2） ． （3） 【题型2】综合运用提公因式法与公式法分解因式 【典型例题】将多项式3ax²﹣3ay2因式分解的结果为（　　） A.3a（x²﹣y2） B.3a（x+y）（x﹣y） C.3a（x﹣y）2 D.3a（x+y）2 【答案】B 【解析】解：3ax²﹣3ay2 ＝3a（x²﹣y2） ＝3a（x+y）（x﹣y）， 故选：B． 【举一反三1】下列因式分解正确的是（　　） A.4a2﹣1＝（4a+1）（4a﹣1） B.﹣a2b+2ab＝﹣ab（a+2） C.a2﹣6ab﹣9b2＝（a﹣3b）2 D.a2﹣8a+16＝（a﹣4）2 【答案】D 【解析】解：A.4a2﹣1＝（2a+1）（2a﹣1），故本选项不符合题意； B．﹣a2b+2ab＝﹣ab（a﹣2），故本选项不符合题意； C．a2﹣6ab﹣9b2≠（a﹣3b）2，故本选项不符合题意； D．a2﹣8a+16＝（a﹣4）2，故本选项符合题意； 故选：D． 【举一反三2】分解因式：a2xy﹣b2xy＝　          　． 【答案】xy（a+b）（a﹣b）． 【解析】解：a2xy﹣b2xy ＝xy（a2﹣b2） ＝xy（a+b）（a﹣b）， 故答案为：xy（a+b）（a﹣b）． 【举一反三3】因式分解： （1）3x²y﹣27y； （2）20a2b﹣20ab+5b； （3）（a2+1）2﹣4a2； （4）9（2x﹣1）2﹣6（2x﹣1）+1． 【答案】解：（1）原式＝3y（x²﹣9） ＝3y（x+3）（x﹣3）； （2）原式＝5b（4a2﹣4a+1） ＝5b（2a﹣1）2； （3）原式＝（a2+1+2a）（a2+1﹣2a） ＝（a+1）2（a﹣1）2； （4）原式＝[3（2x﹣1）﹣1]2 ＝（6x﹣4）2 ＝4（3x﹣2）2． 【题型3】形如x²+(p+q)x+pq型多项式的因式分解 【典型例题】将在实数范围内因式分解，正确的结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解： ， 故选：D． 【举一反三1】若二次三项式可分解成，则的值是（    ） A.﹣16 B.﹣8 C.8 D.16 【答案】A 【解析】解：二次三项式可分解成即， ， 解得：，， 则， 故选：A． 【举一反三2】分解因式：           ． 【答案】/2x（x+1）（2x-1） 【解析】解：； 【举一反三3】分解因式： （1）        ；（2）        ； （3）        ；（4）        ； （5）        ；（6）        ； （7）        ；（8）        ； （9）        ． 【答案】解：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9） 【举一反三4】阅读教材：人教版八年级上册数学教材《因式分解》部分内容的“阅读与思考”中介绍，在因式分解中有一类形如的多项式，其常数项是两个因数的积，而一次项系数恰好是这两个因数的和，则我们可以把它分解成 例如，，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图），这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 【答案】解：（1） ； （2） ． 【题型4】用分组分解法分解因式 【典型例题】用分组分解的因式，分组正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解： ． 故选：D． 【举一反三1】将多项式分解因式的结果为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解： ， 故选：A． 【举一反三2】把分解因式，正确的分组为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解： ． 故选：A． 【举一反三3】因式分解：          ． 【答案】 【解析】 ． 故答案为：． 【举一反三4】分解因式：=                                                      ． 【答案】 【解析】解： = = = 【举一反三5】常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多项式用上述方法无法分解，例如，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就可以完整的分解了，具体分解过程如下： 这种方法叫分组分解法，请利用这种方法因式分解下列多项式： (1)； (2)； (3)． 【答案】解：（1） （2） （3） 【题型5】因式分解在有理数简便运算中的应用 【典型例题】利用因式分解可以简便计算：分解正确的是(   ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：原式 ， 故选：B． 【举一反三1】计算：1252﹣50×125+252＝（　　） A.100 B.150 C.10000 D.22500 【答案】C 【解析】解：1252﹣50×125+252 ＝（125﹣25）2 ＝10000． 故选：C． 【举一反三2】（1）（﹣2）113+（﹣2）114等于 　       　． （2）（﹣2）2023+（﹣2）2024＝　        　．（用2的乘方表示） 【答案】（1）2113．（2）22023． 【解析】解：（1）（﹣2）113+（﹣2）114 ＝﹣2113+2114 ＝﹣2113+2×2113 ＝（﹣1+2）×2113 ＝2113． （2）原式＝（﹣2）2023×（1﹣2） ＝22023． 【举一反三3】利用分解因式计算：22020﹣22019＝　       　． 【答案】22019． 【解析】解：原式＝22020﹣22019 ＝22019×2﹣22019 ＝22019×（2﹣1） ＝22019， 故答案为：22019． 【举一反三4】计算： （1）39×37﹣13×91； （2）29×20.09+72×20.09+13×20．O9﹣20．O9×14． 【答案】解：（1）39×37﹣13×91 ＝3×13×37﹣13×91 ＝13×（3×37﹣91） ＝13×20＝260； （2）29×20.09+72×20.09+13×20．O9﹣20．O9×14 ＝20.09×（29+72+13﹣14） ＝2009． 【题型6】因式分解在判断是否被整除中的应用 【典型例题】两个连续的奇数的平方差总可以被k整除，则k等于(　　) A.4 B.8 C.4或-4 D.8的倍数 【答案】B 【解析】解：设两个连续奇数为2n+1，2n+3， 根据题意得(2n+3)2-(2n+1)2=(2n+3+2n+1)(2n+3-2n-1)=8(n+1)， 则k的值为8．故选B． 【举一反三1】对任意整数n，（2n+1）2﹣25都能（　　） A.被3整除 B.被4整除 C.被5整除 D.被6整除 【答案】B 【解析】解：∵（2n+1）2﹣25＝（2n+1）2﹣52＝（2n+1﹣5）（2n+1+5）＝（2n﹣4）（2n+6）＝4（n﹣2）（n+3）， ∴对任意整数n，4都是4（n﹣2）（n+3）的一个因数， ∴对任意整数n，（2n+1）2﹣25都能被4整除， 故选：B． 【举一反三2】若k为任意整数，则（2k+5）2﹣4k2的值总能（　　） A.被2整除 B.被3整除 C.被5整除 D.被7整除 【答案】C 【解析】原式＝（2k+5+2k）（2k+5﹣2k） ＝5（4k+5）， 因此，该式总能被5整除． 故选：C． 【举一反三3】对于任何整数a（a≠0），多项式（3a+5）2﹣16都能被 　  　整除（整数或者含a的整式）． 【答案】3或a+3或3a+1． 【解析】解：（3a+5）2﹣16＝（3a+5）2﹣42 ＝（3a+5+4）（3a+5﹣4） ＝（3a+9）（3a+1） ＝3（a+3）（3a+1）， 因此，多项式（3a+5）2﹣16都能被3或a+3或3a+1整除． 故答案为：3或a+3或3a+1． 【举一反三4】求证：当n为整数时，多项式(2n＋1)2－(2n－1)2一定能被8整除． 【答案】证明：原式＝(2n＋1＋2n－1)(2n＋1－2n＋1)＝4n·2＝8n. ∵n为整数， ∴8n能被8整除， 即多项式(2n＋1)2－(2n－1)2一定能被8整除． 【举一反三5】已知n是正整数，则奇数可以用式子2n+1来表示 （1）分解因式：（2n+1）2﹣1； （2）我们把所有“奇数的平方减去1”所得的数叫“白银数”，则所有“白银数”的最大公约数是多少？请简要说明理由． 【答案】解：（1）原式＝（2n+1+1）（2n+1﹣1）＝2n（2n+2）＝4n（n+1）； （2）所有“白银数”的最大公约数是8，理由为： 证明：∵（2n+1）2﹣1＝4n（n+1），n和n+1中必有一个是偶数， ∴所有“白银数”的最大公约数是8． 【题型7】因式分解与新定义型问题及规律型问题 【典型例题】定义：如果两个实数m，n满足，则称m，n为一对“互助数”．已知a，b为实数，且a+b，a﹣b是一对“互助数”．若a2﹣b2＝p﹣3，则p的值可以为（　　） A. B.6 C. D.3 【答案】A 【解析】解：根据题意，互助数m，n应满足mn＝m+n， 因此（a+b）（a﹣b）＝a+b+a﹣b， 化简得：a2﹣b2＝2a＝p﹣3； A．若p＝，则a2﹣b2＝2a＝，a＝，b2＝a2﹣2a＞0，故选项A正确； B．若p＝6，则a2﹣b2＝2a＝3，a＝，b2＝a2﹣2a＜0，故选项B错误； C．若p＝，则a2﹣b2＝2a＝，a＝，b2＝a2﹣2a＜0，故选项C错误； D．若p＝3，则a2﹣b2＝2a＝0，a＝0，明显不符合题意，故选项D错误； 故选：A． 【举一反三1】如果一个数等于两个连续偶数的平方差，那么我们称这个数为“和融数”，如：因为20＝62﹣42，所以称20为“和融数”，下面4个数中为“和融数”的是（　　） A.2020 B.2021 C.2022 D.2023 【答案】A 【解析】解：因为“和融数”是连续两个偶数的平分差，偶数的平方为偶数，偶数的差为偶数， 故2021、2023不能为“和融数”， 设这两个偶数分别为2k+2和2k（k为整数），依题意则有： （2k+2）2﹣（2k）2 ＝（2k+2﹣2k）（2k+2+2k） ＝4（2k+1）， 当4（2k+1）＝2022，2k+1＝505.5， 故k不为整数，则2022不是“和融数”， 当4（2k+1）＝2020，2k+1＝505，k＝252，符合题意， 故2020为“和融数”． 故选A． 【举一反三2】如果一个数等于两个连续偶数的平方差，那么我们称这个数为“和融数”，如：因为20＝62﹣42，所以称20为“和融数”，下面4个数中为“和融数”的是（　　） A.2020 B.2021 C.2022 D.2023 【答案】A 【解析】解：因为“和融数”是连续两个偶数的平分差，偶数的平方为偶数，偶数的差为偶数， 故2021、2023不能为“和融数”， 设这两个偶数分别为2k+2和2k（k为整数），依题意则有： （2k+2）2﹣（2k）2 ＝（2k+2﹣2k）（2k+2+2k） ＝4（2k+1）， 当4（2k+1）＝2022，2k+1＝505.5， 故k不为整数，则2022不是“和融数”， 当4（2k+1）＝2020，2k+1＝505，k＝252，符合题意， 故2020为“和融数”． 故选A． 【举一反三3】如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“凤凰数”，如8＝32﹣12，16＝52﹣32，所以8，16都是“凤凰数”，下列整数是“凤凰数”的为（　　） A.22 B.24 C.30 D.34 【答案】B 【解析】解：设这两个连续奇数分别为：2n﹣1，2n+1，其中n是正整数， ∴“凤凰数”＝（2n+1）2﹣（2n﹣1）2 ＝4n2+4n+1﹣4n2+4n﹣1 ＝8n， A、22÷8＝2⋯⋯6，故选项A不符合题意； B、24÷8＝3，故选项B符合题意； C、30÷8＝3⋯⋯6，故选项C不符合题意； D、34÷8＝4⋯⋯2，故选项D不符合题意； 故选：B． 【举一反三4】阅读下列材料： 请仔细阅读下面某同学对多项式（x²﹣4x+2）（x²﹣4x+6）+4进行因式分解的过程，然后回答问题． 解：设x²﹣4x+2＝m 原式＝m（m+4）+4（第一步） ＝m2+4m+4（第二步） ＝（m+2）2（第三步） ＝（x²﹣4x+4）2（第四步） 回答下列问题： （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是 　   　； A．提取公因式 B．平方差公式 C．完全平方公式 （2）另外一名同学发现第四步因式分解的结果不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果：　      　． （3）请你模仿以上方法对多项式（x²﹣2x）（x²﹣2x+2）+1进行因式分解． 【答案】解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是完全平方公式， 故选：C； （2）（x²﹣4x+4）2＝[（x﹣2）2]2＝（x﹣2）4， 故答案为：（x﹣2）4； （3）设x²﹣2x＝m， 原式＝m（m+2）+1 ＝m2+2m+1 ＝（m+1）2 ＝（x²﹣2x+1）2 ＝[（x﹣1）2]2 ＝（x﹣1）4． 【举一反三5】对于二次三项式x²+2ax+a2可以直接用公式法分解为（x+a）2的形式，但对于二次三项式x²+2ax﹣3a2就不能直接用公式法了，我们可以在二次三项式x²+2ax﹣3a2中先加上一项a2，使其成为完全平方式，再减去a2这项，使整个式子的值不变，于是有：x²+2ax﹣3a2＝x²+2ax﹣3a2+a2﹣a2＝x²+2ax+a2﹣4a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+3a）（x﹣a）．像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法． （1）请用上述方法把x²+4x+3分解因式； （2）多项式x²+10x+28有最小值吗？如果有，求出最小值是多少？此时x的值是多少？ 【答案】解：（1）x²+4x+3 ＝x²+4x+4﹣4+3 ＝（x+2）2﹣1 ＝（x+2+1）（x+2﹣1） ＝（x+3）（x+1）； （2）x²+10x+28＝x²+10x+25+3＝（x+5）2+3， ∵（x+5）2≥0， ∴当（x+5）2＝0时，多项式x²+10x+28有最小值， ∴当x＝﹣5时，多项式x²+10x+28有最小值，最小值是3． 【题型8】因式分解在实际问题和几何问题中的应用 【典型例题】如图，四边形ABCD是一个长方形，利用不同的方法可以计算出长方形的面积．通过分析图形中所标线段的长度，将多项式m2+3mn+2n2因式分解，其结果正确的是（　　） A.（m+2n）2 B.（m+2n）（m+n） C.（2m+n）（m+n） D.（m+2n）（m﹣n） 【答案】B 【解析】解：观察图形可知m2+3mn+2n2＝（m+2n）（m+n）． 故选：B． 【举一反三1】已知a，b，c是△ABC的三条边，则多项式(a-c)2-b2的值是(　　) A.正数 B.0 C.负数 D.无法确定 【答案】C 【解析】解：(a-c)2-b2=(a-c+b)(a-c-b)，∵△ABC的三条边分别是a、b、c，∴a+b-c＞0，a-c-b＜0，∴(a-c)2-b2的值的为负．故选C． 【举一反三2】如图，边长为a，b的矩形的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为(　　) A.140 B.70 C.35 D.24 【答案】B 【解析】解：根据题意得：a+b==7，ab=10， ∴a2b+ab2=ab(a+b)=10×7=70， 故选B． 【举一反三3】如图，长方形的长、宽分别为A、b，且a比b大3，面积为7，则a2b﹣ab2的值为 　     　． 【答案】21 【解析】解：由题意可知，a﹣b＝3，ab＝7， ∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝7×3＝21， 故答案为：21． 【举一反三4】有一个圆形的花园，其半径为4米，现要扩大花园，将其半径增加2米，这样花园的面积将增加多少平方米？ 【答案】解：由题意得：R=4+2=6(米)， 则S增=π(R2-r2)=3.14×(62-42)=62.8(平方米)． 所以花园的面积将增加62.8平方米. 【举一反三5】如图，某小区规划在边长为xm的正方形场地上，修建两条宽为2m的甬道，其余部分种草，你能用几种方法计算甬道所占的面积． 【答案】解：（1）∵根据图形知：每条甬道的长为x米，宽为2米， ∴每条甬道的面积为2x，共为4x米，重合部分的面积为22， ∴甬道的面积为2×2x﹣22＝4（x﹣1）（米2）； （2）正方形的面积为x²米2，每块草皮的面积为（x﹣2）2米2，故甬道的面积为：x²﹣（x﹣2）2＝4（x﹣1）米2； 【题型9】用平方差公式分解因式 【典型例题】若(2x)n-81 = (4x²+9)(2x+3)(2x-3)，那么n的值是( ) A.2 B.4 　　 C.6 　 D.8 【答案】B 【解析】解：右边进行整式乘法后得16x4-81 = (2x)4-81，所以n应为4，答案为B． 【举一反三1】小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是x□-4y2(“□”表示漏抄的指数)，则这个指数可能的结果共有(　　) A.2种 B.3种 C.4种 D.5种 【答案】D 【解析】解：该指数可能是2、4、6、8、10五个数．故选D． 【举一反三2】因式分解：（y2﹣8）2﹣64＝　         　． 【答案】y2（y+4）（y﹣4）． 【解析】解：（y2﹣8）2﹣64＝（y2﹣8+8）（y2﹣8﹣8）＝y2（y2﹣16）＝y2（y+4）（y﹣4）， 故答案为：y2（y+4）（y﹣4）． 【举一反三3】因式分解：（m+n）2﹣4m2＝　     　． 【答案】（3m+n）（n﹣m）． 【解析】解：原式＝（m+n+2m）（m+n﹣2m） ＝（3m+n）（n﹣m）． 故答案为：（3m+n）（n﹣m）． 【举一反三4】分解因式：(a+b+c)2-(a-b-c)2. 【答案】解：(a+b+c)2-(a-b-c)2=[(a+b+c)+(a-b-c)][(a+b+c)-(a-b-c)]=2a·(2b+2c)=4a(b+c). 【举一反三5】分解因式49(m-n)2-9(m+n)2． 【答案】解：49(m-n)2-9(m+n)2 =[7(m-n)+3(m+n)][7(m-n)-3(m+n)] =(10m-4n)(4m-10n) =4(5m-2n)(2m-5n)． 【题型10】巧用平方差公式分解因式求值 【典型例题】若81﹣xk＝（9+x²）（3+x）（3﹣x），那么k的值是（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【解析】解：∵81﹣xk＝（9+x²）（3+x）（3﹣x）， ∴81﹣xk＝（9+x²）（9﹣x²）＝（81﹣x4）， ∴k＝4． 故选：C． 【举一反三1】已知x，y满足，则x²﹣9y2的值为（　　） A.﹣5 B.4 C.5 D.25 【答案】A 【解析】解：因为x²﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）， 所以原式＝﹣1×5＝﹣5． 故选：A． 【举一反三2】若，则代数式的值为      ． 【答案】49 【解析】解：∵， ∴， ∴ = = = = =49． 故答案为：49． 【举一反三3】已知x²﹣y2＝﹣1，x+y＝，求x﹣y的值． 【答案】解：∵x²﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝﹣1，x+y＝， ∴x﹣y＝﹣2． 【举一反三4】已知a2﹣b2﹣5＝0，c2﹣d2﹣2＝0，求（ac+bd）2﹣（ad+bc）2的值 【答案】解：∵a2﹣b2﹣5＝0，c2﹣d2﹣2＝0， ∴（a+b）（a﹣b）＝5，（c+d）（c﹣d）＝2， 则原式＝（ac+bd+ad+bc）（ac+bd﹣ad﹣bc） ＝[c（a+b）+d（a+b）][c（a﹣b）+d（b﹣a）] ＝（a+b）（c+d）（a﹣b）（c﹣d） ＝（a+b）（a﹣b）（c+d）（c﹣d） ＝10． 【题型11】平方差公式与提公因式法综合分解因式 【典型例题】分解因式:ab2-a为　(　　) A. a(b2-1) B.a(b  +1)2 C.a(b +1) (b  -1) D.a(b -1)2 【答案】C 【解析】解：原式=a(b2-1)= a(b  +1) (b -1). 【举一反三1】将多项式因式分解的结果为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解： ， 故选：B． 【举一反三2】下列因式分解正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D、 ，选项正确，符合题意； 故选D． 【举一反三3】分解因式：           ． 【答案】 【解析】解： ， 故答案为：． 【举一反三4】因式分解： (1)； (2)； (3)； 【答案】解：（1） ； （2） ； （3） ． 【题型12】完全平方式中2倍乘积项系数 【典型例题】若x²+kx+25＝（x﹣5）2，那么k的值是（　　） A.5 B.﹣5 C.10 D.﹣10 【答案】D 【解析】解：∵x²+kx+25＝（x﹣5）2， ∴x²+kx+25＝x²﹣10x+25， ∴k＝﹣10， 故选：D． 【举一反三1】已知9x²+mxy+16y2能运用完全平方公式因式分解，则m的值为（　　） A.12 B.±12 C.24 D.±24 【答案】D 【解析】解：∵（3x±4y）2＝9x²±24xy+16y2， ∴在9x²+mxy+16y2中，m＝±24． 故选：D． 【举一反三2】若x²+mx+16＝（x﹣4）2，则m的值是（　　） A.4 B.8 C.﹣8 D.±8 【答案】C 【解析】解：∵x²+mx+16＝（x﹣4）2， ∴x²+mx+16＝x²﹣8x+16， ∴m＝﹣8， 故选：C． 【举一反三3】若a的值使x²+6x+a＝（x+3）2成立，则a的值为（　　） A.9 B.8 C.6 D.3 【答案】A 【解析】解：∵x²+6x+a＝（x+3）2成立， ∴a＝32＝9． 故选：A． 【举一反三4】若x²－8x＋m2＝(x－4)2，那么m＝________. 【答案】±4 【解析】解： 【举一反三5】如果是一个完全平方式，那么m＝      ． 【答案】±3 【解析】解： 是一个完全平方式， ； ； 故答案为． 【举一反三6】若多项式x²﹣（m﹣1）x+16能用完全平方公式进行因式分解，则m＝　           　． 【答案】9或﹣7 【解析】解：∵多项式x²﹣（m﹣1）x+16能用完全平方公式进行因式分解， ∴m﹣1＝±8， 解得：m＝9或m＝﹣7， 故答案为：9或﹣7 【举一反三7】已知：关于x的二次三项式是完全平方式，则常数k等于      ． 【答案】16 【解析】解：二次三项式是完全平方式， 16 故答案为：16． 【题型13】用完全平方公式分解因式 【典型例题】已知x为任意有理数，则多项式x-1-x²的值( ) A.一定为负数 　 B.不可能为正数　 C.一定为正数 　 D.可能为正数或负数或零 【答案】B 【解析】解：x-1-x² = -(1-x+x²) = -(1-x)2≤0，即多项式x-1-x²的值为非正数，正确答案应该是B． 【举一反三1】下列各式：①x²﹣6x+9；②25a2+10a﹣1；③x²﹣4x﹣4；④4x²﹣x+，其中不能用完全平方公式因式分解的个数为（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】解：x²﹣6x+9＝（x﹣3）2，故①能用完全平方公式因式分解； 能利用完全平方公式因式分解的整式需满足：整式是“两数平方和与这两个数积的2倍”． 整式25a2+10a﹣1与x²﹣4x﹣4不满足两数平方和，故②③不能用完全平方公式因式分解； 整式4x²﹣x+的中间项x不是2x与积的2倍，故④不能用完全平方公式因式分解． 故选：C． 【举一反三2】判断下列各式是不是完全平方式． ①a2－2ab－b2；②a2＋b2－2ab；③－6xy＋9x²＋y2；④a2－6ab＋b2；⑤x²＋x＋；⑥m2＋4mn＋2n2. 以上各式属于完全平方式的是              .(只填写序号) 【答案】②③⑤ 【解析】解： 【举一反三3】因式分解：a4﹣8a2b2+16b4＝　             　． 【答案】（a﹣2b）2（a+2b）2． 【解析】解：原式＝（a2﹣4b2）2 ＝（a﹣2b）2（a+2b）2． 故答案为：（a﹣2b）2（a+2b）2． 【举一反三4】把下列各式分解因式： （1）4a2+4a+1； （2）1﹣6y+9y2； （3）； （4）4x²﹣12xy+9y2； （5）； （6）（x+y）2﹣10（x+y）+25； 【答案】解：（1）4a2+4a+1＝（2a+1）2； （2）1﹣6y+9y2＝（1﹣3y）2； （3）＝（1+）2； （4）4x²﹣12xy+9y2＝（2x﹣3y）2； （5）＝（+n）2； （6）（x+y）2﹣10（x+y）+25＝（x+y﹣5）2． 【题型14】巧用完全平方公式分解因式“配方”求值或代数式最值 【典型例题】已知a+b＝3，ab＝2，求式子a3b+2a2b2+ab3的值为（　　） A.18 B.28 C.50 D.60 【答案】A 【解析】解：∵a+b＝3，ab＝2， ∴a3b+2a2b2+ab3 ＝ab（a2+2ab+b2） ＝ab（a+b）2 ＝2×32 ＝2×9 ＝18， 故选：A． 【举一反三1】若a+b=-1，则3a2+3b2+6ab=(　　) A.-1 B.1 C.3 D.-3 【答案】C 【解析】解：3a2+3b2+6ab=3(a2+2ab+b2)=3(a+b)2， 当a+b=-1时，原式=3．故选C． 【举一反三2】如果a﹣b＝2，那么式子a3﹣2a2b+ab2﹣4a的值是（　　） A.﹣1 B.0 C.1 D.2 【答案】B 【解析】解：a3﹣2a2b+ab2﹣4a＝a（a2﹣2ab+b2）﹣4a＝a（a﹣b）2﹣4a， ∵a﹣b＝2， ∴a（a﹣b）2﹣4a＝a×22﹣4a＝0， 故选：B． 【举一反三3】若x²+y2-4x-6y+13=0,x+y的值为　　　　. 【答案】5 【解析】解：.x²+y2-4x-6y+13=(x²-4x+4)+(y2-6y+9)=(x-2)2+(y-3)2.∵(x-2)2+(y-3)2=0,∴，解得，∴x+y=2+3=5. 【举一反三4】若(m-n)2=8,(m+n)2=2,则m2+n2=　　　　. 【答案】5 【解析】解：(m-n)2=8则m2+n2-2mn=8,①(m+n)2=2则m2+n2+2mn=2,②②+①得:2(m2+n2)=10，即m2+n2  =5. 【举一反三5】已知|x+2y﹣1|+（2x﹣y﹣2）2＝0，求（2x+y）2﹣2（2x﹣y）（2x+y）+（2x﹣y）2的值． 【答案】解：∵|x+2y﹣1|+（2x﹣y﹣2）2＝0， ∴， 解得：， 则原式＝[（2x+y）﹣（2x﹣y）]2＝（2y）2＝4y2＝0． 【举一反三6】已知：x²﹣y2＝15，x+y＝3．求下列各式的值： （1）x﹣y； （2）2x²﹣2xy+10y． 【答案】解：（1）∵x²﹣y2＝15， ∴（x﹣y）（x+y）＝15， ∵x+y＝3， ∴x﹣y＝5； （2）∵x+y＝3，x﹣y＝5， ∴2x²﹣2xy+10y ＝2x（x﹣y）+10y ＝10x+10y ＝10（x+y） ＝30． 【题型15】用完全平方公式分解因式解决实际问题或几何问题 【典型例题】已知正方形的面积是，则正方形的周长是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：∵， ∴正方形的边长为， ∴正方形的周长为：， 故选C． 【举一反三1】已知正方形的面积为，则正方形的周长是（    ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：∵， ∴正方形的边长为， ∴正方形的周长为：， 故选:D． 【举一反三2】已知、、是一个三角形的三边，则的值是（    ） A.恒正 B.恒负 C.可正可负 D.非负 【答案】B 【解析】解： ∵是一个三角形的三边， ∴， ∴原式 故选：B． 【举一反三3】已知等腰的三边长，，，且满足：，求的周长为      ． 【答案】 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴，， 解得，， ∵等腰的三边长、、都是正整数， 当时，,不能构成三角形； 当时，的周长为； 综上，的周长为． 故答案为：． 【举一反三4】若a、b是的两条边的长度，且满足，则面积的最大值是          ． 【答案】 【解析】解：∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， 设：， ∵直角三角形的斜边大于直角边， ∴边上高， ∴当时，的面积最大，最大值为； 故答案为：． 【举一反三5】阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式．例如：． (1)填空：将多项式变形为的形式，并判断与0的大小关系． ________ __________0（填“＞”，“＜”，“＝”） (2)如下图1所示的长方形的长和宽分别是，，图2所示的长方形的长和宽分别是，，请用含的式子分别表示两个长方形的面积，，比较与的大小，并说明理由． 【答案】解：（1） ， ∵， ∴， 故答案为：5；2；； （2），理由如下： 由题意得， ， ∴ ∵， ∴， ∴，即． 学科网（北京）股份有限公司 $