专题06 相似三角形的判定、性质与应用（高效培优期中专项训练）数学湘教版九年级上册

专题06 相似三角形的判定、性质与应用 考点01 利用平行判定相似 1 考点02 利用两角对应相等判定相似 3 考点03 利用三边对应成比例判定相似 4 考点04 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 5 考点05 相似三角形的判定综合 6 考点06 选择或补充条件使两个三角形相似 7 考点07 相似三角形的判定与性质综合 8 考点08 利用相似三角形的性质求解 10 考点09 证明三角形的对应线段成比例 11 考点10 利用相似求坐标 12 考点11 在网格中画与已知三角形相似的三角形 14 考点12 相似三角形—动点问题 16 考点13 重心的有关性质 17 考点14 相似三角形实际应用 19 考点15 相似三角形的综合问题 20 考点01 利用平行判定相似 1．（21-22九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图是一张三角形纸片，沿边上的中线折叠，点落在点处，与相交于点，若与垂直，且，则的长为 ． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，点、在上，点、分别在、上，且 ， ，交于点图中与相似的三角形有多少个？把它们表示出来，并说明理由． 3．（2025·广东深圳·二模）在数学文化长河中，蕴藏着诸多精妙的比例关系，除广为人知的黄金分割外，白银分割亦是一颗璀璨的明珠．白银分割是指：若存在两点C、D将线段分割为两条等长的较长线段及一条较短线段，满足比例关系：，则称线段被点C、D白银分割，点C、D叫做线段的白银分割点，该比值叫做白银比． 根据分割形态差异，可分为两类经典情形： 对称型分割——当两条等长的较长线段分居较短线段两侧时（如图1），构成对称型白银分割； 邻接型分割——当两条等长的较长线段相邻排列时（如图2），构成邻接型白银分割． (1)以对称型分割为例，类比黄金比的求解方法探究白银比．如图1，设，．求x的值，写出必要的解答过程（结果保留根号）． (2)如图3，点C为线段靠近点A的白银分割点，在只考虑对称型分割的情形下请利用尺规作图，作出线段靠近点A的白银分割点P．不写作法，保留作图痕迹． 考点02 利用两角对应相等判定相似 4．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，点、、分别在等边的三边、、上，且，求证：． 5．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，于E，于F，与分别相交于点． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是菱形． 6．（24-25九年级上·甘肃嘉峪关·期末）如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，连接，F为上一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 考点03 利用三边对应成比例判定相似 7．（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）如图，在中，分别是的中点，连接． (1)尺规作图：作的垂直平分线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在第（1）问的条件下，连接．求证：四边形为平行四边形． 8．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）在边长为1的小正方形网格中，的顶点、、均落在格点（小正方形的顶点）上，请只用无刻度的直尺按要求完成作图． (1)将绕点按逆时针方向旋转，得到，请在图1中作出．（点与点是对应点） (2)请在图2中画一个三角形，使得该三角形与相似（不全等）． 9．（23-24九年级下·全国·期中）如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，小妍、小凤、小蕾、小强四位同学用无刻度的直尺在网格中各画了一个钝角三角形，其中会相似的三角形是（　　） A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①和④ 考点04 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 10．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，经过点的直线l与双曲线交于点，过点 作x轴的平行线分别交双曲线和于点C、D． (1)k＝ ，直线l的表达式： ； (2)若点P的纵坐标为4，求证：； (3)是否存在实数m，使得？若存在，请直接写出所有满足条件的m的值；若不存在，请说明理由． 11．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 考点05 相似三角形的判定综合 13．（22-23九年级上·北京延庆·期中）如图，中，，，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（    ） A． B． C． D． 14．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示，三个边长为1的正方形ABCD，ABEF，EFHG拼在一起，则，，这三个角的度数之和等于 ． 15．（25-26九年级上·全国·阶段练习）已知：如图，为等腰三角形． (1)求作菱形，使得为菱形的一个内角，点，，分别在边，，上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，求菱形的面积． 考点06 选择或补充条件使两个三角形相似 16．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，已知，补充下列条件仍不能判断与相似的是（    ） A．平分 B． C． D． 17．（2024·福建福州·一模）如图，中，点D是边上一点，，连接．从下列条件中，选择一个作为附加条件①；②；③，求证：． 18．（22-23九年级上·广东佛山·期末）直观感知和操作确认是发现几何学习的重要方式，解决下列问题． (1)问题提出：如图1，在中，过上一点D作直线交于点E，使所得的三角形与原三角形相似，请画出这样的直线； (2)操作确认：在（1）的条件下，将沿着过点D的直线折叠，使点C落在射线的点P处，折痕交于点F．判断四边形的形状，写出3条不同类型的性质； (3)迁移运用：如图2，，在的延长线上取一点M，且满足． ①当，时，求a的值； ②当时，过点M作，并使，求的值． 考点07 相似三角形的判定与性质综合 19．（25-26九年级上·浙江金华·阶段练习）.如图，矩形的边上有一点P，且，，以点P为直角顶点的直角三角形两条直角边分别交线段，线段于点E，F，连接，则 ． 20．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在正方形中，点G是对角线上一点，的延长线交于点E，交的延长线于点F，连接．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 21．（20-21九年级上·陕西西安·阶段练习）已知，矩形，点E是上一点，将矩形沿折叠，点A恰好落在上的点F处． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，若点F恰好是的中点，点M是上一点，过点M作交于点N，连接，若平分，求证：． 考点08 利用相似三角形的性质求解 22．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在等边中，，D，P分别是边，上的点，且，，    (1)证明：； (2)求的长． 23．（20-21九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）图a、图b是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边为1，点A、B、D在小正方形的顶点上． (1)在图a中画出（点C在小正方形顶点上），使是等腰三角形，且； (2)在图b中画出（E、F在小正方形顶点上），使且相似比为． 24．（2025·新疆·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，，点M是的中点，点D和点N分别是线段和上的动点． (1)当点D和点N分别是和的中点时，求a的值； (2)当时，以点C，D，N为顶点的三角形与相似，求的值； (3)当时，求的最小值． 考点09 证明三角形的对应线段成比例 25．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在正方形中，为边上一点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长； 26．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，边长为1的小正方形组成了网格，点A、B均是格点，请你仅用无刻度的直尺画出满足下列条件的点P，并在图中标出点P．        (1)图①中，点P为的中点； (2)图②中，点P在线段上且． 27．（2023·吉林四平·三模）在中，，分别为，上一点，，交于点．    (1)设的面积为，的面积为，且． ①如图①，连接．若，求证：； ②如图②，若，，求的值． (2)如图③，若，，，，直接写出的值． 考点10 利用相似求坐标 28．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，矩形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，连接． (1)求点E的坐标； (2)若点F是边上一点，连接，且，求点F的坐标． 29．（22-23九年级上·湖南邵阳·期末）如图，直线与双曲线相交于和两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D． (1)求双曲线的解析式； (2)连接、，求的面积； (3)在y轴上是否存在一点P，使与相似？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 30．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与坐标轴交于C，D两点，直线与坐标轴交于A，B两点，线段，的长是方程的两个根． (1)求点A，C的坐标； (2)直线与直线交于点E，若点E是线段的中点，求直线的解析式； (3)在（2）的条件下，在坐标平面是否存在点M，使与相似，且以为直角边，若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 考点11 在网格中画与已知三角形相似的三角形 31．（21-22九年级上·浙江湖州·期末）如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，顶点A、B、C均在格点上．请只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)图1中，请画出中边上的中线； (2)图2中，请画出，点E、F分别在边、上，满足，且相似比为． 32．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，以为边画一个四边形，使四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形； (2)在图②中，分别在边上画点F、G，连接，使，且； (3)在图③中，分别在边上画点M、N，连接，使，且． 33．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点都在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图①中以为底边画一个等腰直角三角形； (2)在图②中画线段（点E、F不与点A、B重合），使与线段相交，且它们所夹锐角的度数为． (3)在图③中线段左侧作一点P，连结，使且的面积为． 考点12 相似三角形—动点问题 34．（22-23九年级上·全国·期中）如图，在中，，，，点从点出发，沿向点以的速度移动，点从点出发，沿向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动． (1)问点P、Q同时出发，几秒后可使的长为？ (2)问点P、Q同时出发，几秒后可使与相似？ 35．（2025九年级上·上海·专题练习）如图，已知在矩形中，，，点从点出发，沿线段以每秒的速度向点A方向移动，同时点从点出发，沿射线方向以每秒的速度移动，当、、三点共线时，两点同时停止运动．设点移动的时间为（秒， (1)求证：； (2)求的取值范围； (3)连接，当为何值时，？ 36．（2025·福建泉州·二模）如图，在矩形中，，动点P在边上，以每秒１个单位的速度从点B向点A运动；同时动点Q在边上从点B向C运动．把沿着直线翻折，点B的对应点为点G，直线与边相交于点E． (1)如图1，若点P为的中点，连接，求证：． (2)如图2，若点Q的运动速度是点P运动速度的3倍，运动时间为t秒，当t为何值时，点G恰好在直线上？ (3)如图3，连结，交于点F，若且，求点Q的运动速度． 考点13 重心的有关性质 37．（22-23九年级上·全国·期中）我们给出如下定义：三角形三条中线的交点称为三角形的重心．一个三角形有且只有一个重心．可以证明三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍． 可以根据上述三角形重心的定义及性质知识解答下列问题： 如图，的平分线与边上的中线互相垂直，并且． (1)猜想与的数量关系，并说明理由； (2)求的三边长． 38．（24-25九年级上·四川巴中·期末）如图，在中，，，，点是的重心，连接交于，于，则的长为（   ） A． B． C． D． 39．（25-26九年级上·上海徐汇·阶段练习）在学习“三角形的重心”一课时，小王向同桌小刘提出两个问题：四边形有没有？如果有，它的重心如何确定？小刘在周末查阅了相关资料，得到如下的信息：①四边形有重心；②当两个面积相等的三角形拼成一个四边形时，四边形的重心是连接这两个三角形重心的线段的中点． 根据以上信息，解决下列问题： 如图，有两张全等的直角三角形纸片，其中一张记为为直角顶点，，将这两个三角形拼成一个四边形，使得斜边重合． (1)请画出所有符合要求的四边形，并指出所作四边形的重心；（不用写作法，写出结论） (2)直接写出线段与线段的比值． 考点14 相似三角形实际应用 40．（22-23九年级上·北京延庆·期中）如图，小明在晚上由路灯走到路灯．当他走到P点时，发现身后他影子的顶部刚好落在路灯的底部，当他再步行15米达到点Q时，发现身前自己影子的顶部刚好落在路灯的底部．已知小明的身高是1.8米，两个路灯的高度都是9米，且． (1)求两个路灯之间的距离； (2)当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是多少？ 41．（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）【综合与实践】现实生活中，人们可以借助光源来测量物体的高度．已知榕树，和灯柱如图①所示，在灯柱上有一盏路灯P，榕树和灯柱的底端在同一水平线上，两棵榕树在路灯下都有影子，只要测量出其中一些数据，则可求出所需要的数据，具体操作步骤如下： ①根据光源确定榕树在地面上的影子； ②测量出相关数据，如高度，影长等； ③利用相似三角形的相关知识，可求出所需要的数据． 根据上述内容，解答下列问题： (1)如图①，若榕树的高度为3.6米，其离路灯的距离为6米，两棵榕树的影长，均为4米，两棵树之间的距离为6米，求榕树的高度； (2)无论太阳光还是点光源，其本质与视线问题相同．日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题．如图②，建筑物高为50米，建筑物上有一个广告牌，合计总高度为70米，两座建筑物之间的直线距离为30米．一个观测者（身高不计）先站在A处观测，发现能看见广告牌的底端M处，观测者沿着直线向前走了5米到B处观测，发现刚好看到广告牌的顶端E处．则广告牌的高度为多少米． 42．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）大拇指在人们的认知中通常代表着认可、称赞，大拇指广场在多个城市都有分布．青岛大拇指广场处于海尔路中央商务区中心地段，其建立可能寓意着对青岛城市发展的肯定，以及对该区域商业繁荣、经济腾飞的一种期待和赞美，仿佛在为青岛不断向前发展的态势点赞．如图I是大拇指广场示意图及测量其高度的方案，图II是求大拇指高度的示意图．如图II，在处放置一根高度为且与地平线垂直的竹竿，点，，在同一直线上，测得为．将竹竿平移至处，点，，在同一直线上，测得为．求大拇指的高度． 考点15 相似三角形的综合问题 43．（2023·重庆开州·模拟预测）如图1，已知是等边三角形，边，点B、C是直线上的动点，点始终在点D左侧，点始终在点右侧，且，设，，一次函数过点和． (1)直接写出，的函数关系式； (2)在图中画出函数，图像，并写出一条的性质； (3)直接写出时，自变量的取值范围______． 44．（20-21九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点和点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）在轴上是否存在点，使与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 45．（24-25八年级下·江苏·期末）如图，在中，，，，点、分别在，上，连接. (1)将沿折叠，使点落在边上的点处，如图1，若，求的长； (2)将沿折叠，使点落在边上的点处，如图2，若. ①求的长； ②求四边形的面积； (3)若点在射线上，点在边上，点关于所在直线的对称点为点，问：是否存在以、为对边的平行四边形，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 相似三角形的判定、性质与应用 考点01 利用平行判定相似 1 考点02 利用两角对应相等判定相似 4 考点03 利用三边对应成比例判定相似 6 考点04 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 9 考点05 相似三角形的判定综合 13 考点06 选择或补充条件使两个三角形相似 15 考点07 相似三角形的判定与性质综合 20 考点08 利用相似三角形的性质求解 23 考点09 证明三角形的对应线段成比例 28 考点10 利用相似求坐标 32 考点11 在网格中画与已知三角形相似的三角形 37 考点12 相似三角形—动点问题 41 考点13 重心的有关性质 46 考点14 相似三角形实际应用 52 考点15 相似三角形的综合问题 55 考点01 利用平行判定相似 1．（21-22九年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图是一张三角形纸片，沿边上的中线折叠，点落在点处，与相交于点，若与垂直，且，则的长为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了图形的变换—折叠，三角形中位线的性质、三角形全等的判定及性质、三角形相似的判定及性质，熟练掌握以上知识点、会添加适当的辅助线是解题的关键．取的中点，连接交于点，构造为的中位线， 得到，，即，，得出，由折叠的性质得，进而证明，得出，，由，得，即，推出，即可得出答案． 【规范解答】解：如图所示，取的中点，作射线交于点， 为的中线， 为的中点， 为的中点， ，， 与垂直，， ，， ， 三角形沿边上的中线折叠， ，，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为． 2．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，点、在上，点、分别在、上，且 ， ，交于点图中与相似的三角形有多少个？把它们表示出来，并说明理由． 【答案】图中与相似的三角形有个，，， 【思路引导】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据相似三角形的判定推出答案即可． 【规范解答】解：图中与相似的三角形有个，，，， 理由：， ，， ， ， ． 3．（2025·广东深圳·二模）在数学文化长河中，蕴藏着诸多精妙的比例关系，除广为人知的黄金分割外，白银分割亦是一颗璀璨的明珠．白银分割是指：若存在两点C、D将线段分割为两条等长的较长线段及一条较短线段，满足比例关系：，则称线段被点C、D白银分割，点C、D叫做线段的白银分割点，该比值叫做白银比． 根据分割形态差异，可分为两类经典情形： 对称型分割——当两条等长的较长线段分居较短线段两侧时（如图1），构成对称型白银分割； 邻接型分割——当两条等长的较长线段相邻排列时（如图2），构成邻接型白银分割． (1)以对称型分割为例，类比黄金比的求解方法探究白银比．如图1，设，．求x的值，写出必要的解答过程（结果保留根号）． (2)如图3，点C为线段靠近点A的白银分割点，在只考虑对称型分割的情形下请利用尺规作图，作出线段靠近点A的白银分割点P．不写作法，保留作图痕迹． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】本题考查了白银分割的概念及应用、一元二次方程的求解以及尺规作图，解题关键是理解白银分割的比例关系并据此列出方程求解，同时利用尺规作图的基本原理作出符合要求的图形． （1）根据线段设定及白银分割定义，用含x的式子表示各线段长度，依据白银分割比例关系列出方程，将方程化为一元二次方程标准形式，利用求根公式求解，根据线段长度非负性舍去不合理的值． （2）连接，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、 ；以点为圆心，同样的半径画弧，交于点，用圆规量取的长度，以点为圆心，长为半径画弧，交之前所画弧于点，用直尺连接并延长，与相交于点，此时，根据同位角相等，两直线平行，可得，点就是线段靠近点的白银分割点． 【规范解答】（1）解：，， ， ， 解得：，（舍去）； （2）如图所示：点P即为所求． 考点02 利用两角对应相等判定相似 4．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，点、、分别在等边的三边、、上，且，求证：． 【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查了等边三角形的性质，相似三角形的性质与判定：先由等边三角形的性质得到，再由三角形内角和定理和平角的定义证明，即可证明． 【规范解答】解：是等边三角形， ， ， ， ， ． 5．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，于E，于F，与分别相交于点． (1)求证：； (2)若，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定，相似三角形的判定，等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质可得，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）根据平行四边形的性质可得．从而得到，再由可得，然后结合三角形外角的性质可得．从而得到，最后根据菱形的判定即可得证． 【规范解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵，， ∴， 在和中， ， ∴． （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵，， ∴． ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 6．（24-25九年级上·甘肃嘉峪关·期末）如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，连接，F为上一点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定，含直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）由平行的性质结合条件可得到和，可证得结论； （2）由平行可知，在中，由含直角三角形的性质结合勾股定理可求得． 【规范解答】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得：． 考点03 利用三边对应成比例判定相似 7．（25-26九年级上·广西南宁·开学考试）如图，在中，分别是的中点，连接． (1)尺规作图：作的垂直平分线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） (2)在第（1）问的条件下，连接．求证：四边形为平行四边形． 【答案】(1)图见解析 (2)证明见解析 【思路引导】本题考查尺规作图、三角形中位线以及平行四边形的判定，解题的关键是平行四边形的判定定理． （1）分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于两点，过这两点作直线即为的垂直平分线，交于点； （2）先由垂直平分线的性质F分别是的中点系，再根据三角形中位线得出，，进而证明四边形是平行四边形． 【规范解答】（1）解：为所作，如图， （2）证明：∵垂直平分， ， F是的中点， ∵是的中点， ∴是的中位线， ， 同理可证，， ∴四边形为平行四边形． 8．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）在边长为1的小正方形网格中，的顶点、、均落在格点（小正方形的顶点）上，请只用无刻度的直尺按要求完成作图． (1)将绕点按逆时针方向旋转，得到，请在图1中作出．（点与点是对应点） (2)请在图2中画一个三角形，使得该三角形与相似（不全等）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题主要考查了旋转作图，相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握旋转的性质和相似三角形的判定定理． （1）根据旋转的性质，先作出点B、C的对应点、，然后再顺次连接即可； （2）根据相似三角形的判定求解即可． 【规范解答】（1）解：如图所示，为所求作的三角形； （2）解：如图所示， 9．（23-24九年级下·全国·期中）如图，八个完全相同的小长方形拼成一个正方形网格，小妍、小凤、小蕾、小强四位同学用无刻度的直尺在网格中各画了一个钝角三角形，其中会相似的三角形是（　　） A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①和④ 【答案】D 【思路引导】本题考查网格中的相似三角形，观察图形可知小长方形的长是宽的2倍，设小长方形的宽为，则小长方形的长为，正方形的边长为，分别求出每个三角形的边长，根据三边对应成比例的两个三角形相似，进行判断即可． 【规范解答】解：观察图形可知：小长方形的长是宽的2倍，设小长方形的宽为，则小长方形的长为，正方形的边长为， 图①三角形的三条边长分别为：， 图②三角形的三条边长分别为：， 图③三角形的三条边长分别为：， 图④三角形的三条边长分别为：， ∵， ∴图①和图④的两个三角形相似； 故选D． 考点04 利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 10．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，经过点的直线l与双曲线交于点，过点 作x轴的平行线分别交双曲线和于点C、D． (1)k＝ ，直线l的表达式： ； (2)若点P的纵坐标为4，求证：； (3)是否存在实数m，使得？若存在，请直接写出所有满足条件的m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)存在实数或使得 【思路引导】（1）将点B的坐标代入即可得出k的值，设直线l的解析式为，再把点A、B的坐标代入，解方程组求得和b即可得出直线l的解析式； （2）根据点P在直线上，求出点P的坐标，再证明即可； （3）先假设存在，利用．求得m的值，看是否符合要求． 【规范解答】（1）解：∵在双曲线上， ∴， 设直线l的解析式为， 则， 解得， ∴直线l的解析式为； 故答案为：；． （2）证明：∵点，点P在直线上， ∴， 解得， ∴，，，且点P在直线上，A，B，P共线， ∴，，，， ∵，， ∴． （3）解：存在实数m，使得． ①如图2中，当点P在之间，时． ∵， ∴点C、D的纵坐标都为， 将代入和， 得和， ∴C、D的坐标分别为，， ∴，， ∵， ∴， ∴ 整理，得， 解得：， ∵， ∴， ②当时，如图3中， 同法可得：，， ∵， ∴， ∴ 整理，得， 解得， ∵， ∴， ∴存在实数或使得． 【考点剖析】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，以及用待定系数法求反比例函数和一次函数的 解析式，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题， 属于中考压轴题. 11．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了相似三角形的判定，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键．根据求出，再根据相似三角形的判定定理逐个判断即可． 【规范解答】解：∵， ∴， 即， A项：若，则，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； B项：∵，若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； C项：∵，若，符合相似三角形的判定定理，能推出，故本选项不符合题意； D项：∵，若，不符合相似三角形的判定定理，不能推出，故本选项符合题意； 故选：D． 12．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数是． 【思路引导】此题重点考查角平分线的定义、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识． （1）由，得，由平分，得，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明； （2）由相似三角形的性质得，则，所以． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是． 考点05 相似三角形的判定综合 13．（22-23九年级上·北京延庆·期中）如图，中，，，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【规范解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、根据已知条件无法证明两个三角形相似，故本选项符合题意； D、这两个三角形两边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意． 故选：C． 14．（25-26九年级上·全国·课后作业）如图所示，三个边长为1的正方形ABCD，ABEF，EFHG拼在一起，则，，这三个角的度数之和等于 ． 【答案】 【思路引导】先通过两边对应成比例且夹角相等证明，得到，然后利用三角形外角性质可得，即可求解． 【规范解答】解：四边形，，都是边长为1的正方形， ，，，， ，， ． 又， ， ， ， ． 故答案为：． 【考点剖析】本题考查的是正方形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形外角定理，勾股定理的应用，掌握以上基础知识是解本题的关键． 15．（25-26九年级上·全国·阶段练习）已知：如图，为等腰三角形． (1)求作菱形，使得为菱形的一个内角，点，，分别在边，，上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析， (2) 【思路引导】（1）根据菱形的判定，利用尺规作图作出的角平分线交于，作的垂直平分线交、于点、，连接、即可； （2）先根据等腰三角形三线合一求出的长度，再由平行线判定得到，进而推出，利用相似三角形性质求出，最后根据菱形面积公式求出面积． 【规范解答】（1）解：如图，菱形即为所求， ∵平分， ∴， ∵垂直平分， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵，，平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 【考点剖析】本题主要考查了菱形的判定与性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握菱形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 考点06 选择或补充条件使两个三角形相似 16．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，已知，补充下列条件仍不能判断与相似的是（    ） A．平分 B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查三角形相似的判定，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题关键．A选项：由角平分线的定义得出，即可由两角分别相等的两个三角形相似判定；B选项：可证，得出，即可由两角分别相等的两个三角形相似判定；C选项：不能证明与相似；D选项：可得出，即可由两个直角三角形的斜边与一条直角边对应成比例的两个三角形相似判定． 【规范解答】解：∵平分， ∴． ∵， ∴，故A选项不符合题意； ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴，故B选项不符合题意； 由，结合，不能证明与相似，故C选项符合题意； ∵， ∴， ∴，故D选项不符合题意． 故选C． 17．（2024·福建福州·一模）如图，中，点D是边上一点，，连接．从下列条件中，选择一个作为附加条件①；②；③，求证：． 【答案】②，见解析 【思路引导】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．可添加根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；或添加利用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定其相似． 【规范解答】证明：选择② ∵， ∴， ∵， ∴． 18．（22-23九年级上·广东佛山·期末）直观感知和操作确认是发现几何学习的重要方式，解决下列问题． (1)问题提出：如图1，在中，过上一点D作直线交于点E，使所得的三角形与原三角形相似，请画出这样的直线； (2)操作确认：在（1）的条件下，将沿着过点D的直线折叠，使点C落在射线的点P处，折痕交于点F．判断四边形的形状，写出3条不同类型的性质； (3)迁移运用：如图2，，在的延长线上取一点M，且满足． ①当，时，求a的值； ②当时，过点M作，并使，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)四边形为菱形，性质见解析 (3)①，② 【思路引导】（1）过点D作或作； （2）根据（1）中的图形，进行分类讨论：当时，根据折叠的性质可得，，，即可证明四边形为菱形．当时，四边形不是特殊的四边形． （3）①过点A作于点D，通过证明得到，即可求解；②延长相交于点K，过点A作于点D，证明得到，证明得到，总而得到 ，即可求解． 【规范解答】（1）解：如图：过点D作或作，交于点E，即为所求， 或 （2）①当时，如图： ∵， ∴， 由翻折的性质可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． 性质：1、菱形的对角线平分对角；2、菱形的对边平行且相等；3、菱形的对角线互相垂直． 当时，四边形不是特殊的四边形． （3）①过点A作于点D， ∵，，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：，（舍）． 综上：． ②延长相交于点K， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 过点A作于点D， 设， ∵，， ∴，， 在中，根据勾股定理可得：， ∵，， ∴，整理得：． 解得：，（舍）， ∴， ∴． 【考点剖析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形对应版成比例的性质． 考点07 相似三角形的判定与性质综合 19．（25-26九年级上·浙江金华·阶段练习）.如图，矩形的边上有一点P，且，，以点P为直角顶点的直角三角形两条直角边分别交线段，线段于点E，F，连接，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了矩形的性质和相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是作出辅助线． 过点E作于点M，证明，利用对应边成比例即可求解． 【规范解答】解：如图，过点E作于点M， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：． 20．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在正方形中，点G是对角线上一点，的延长线交于点E，交的延长线于点F，连接．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】此题重点考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明、及是解题的关键． （1）由正方形的性质得，，，则，所以，根据相似三角形的性质即可得证； （2）由，证明，得，由，证明，得，则，代入数据求出，进而可求的长． 【规范解答】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 21．（20-21九年级上·陕西西安·阶段练习）已知，矩形，点E是上一点，将矩形沿折叠，点A恰好落在上的点F处． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，若点F恰好是的中点，点M是上一点，过点M作交于点N，连接，若平分，求证：． 【答案】(1)； (2)见解析． 【思路引导】（1）由勾股定理求出的值，再证得线段成比例，设，列方程求解即可； （2）根据条件推理证明即可． 【规范解答】（1）解：矩形中，，，，， ，， ， ， ， ， ， 设，则， ，解得， ． （2）证明：F为的中点，， ， ， ， ． 又平分， ， ， ， ， ， ． 【考点剖析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、角平分线的定义、平行线的判定与性质、折叠的性质，相似三角形的判定与性质等知识点，掌握这些是解题的关键． 考点08 利用相似三角形的性质求解 22．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在等边中，，D，P分别是边，上的点，且，，    (1)证明：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识； （1）由是等边三角形，得到，利用三角形外角的性质得到，则，即可得到结论； （2）由题意得到，，由得到，求出，即可得到答案． 【规范解答】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵等边，，且， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 23．（20-21九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）图a、图b是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边为1，点A、B、D在小正方形的顶点上． (1)在图a中画出（点C在小正方形顶点上），使是等腰三角形，且； (2)在图b中画出（E、F在小正方形顶点上），使且相似比为． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【思路引导】本题考查了等腰三角形的判定、勾股定理、作图相似变换，掌握相关知识，充分利用网格是解决问题的关键． （1）利用方格纸，根据勾股定理画出等腰直角三角形； （2）根据图，利用方格纸，根据勾股定理按比例画出图． 【规范解答】（1）解：如图 证明：在和中，由勾股定理得：， 在中，， ，且， 为等腰直角三角形． （2）如图， 证明：在和中，由勾股定理得：， 在中，， ，， ， ∴且相似比为． 24．（2025·新疆·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，，点M是的中点，点D和点N分别是线段和上的动点． (1)当点D和点N分别是和的中点时，求a的值； (2)当时，以点C，D，N为顶点的三角形与相似，求的值； (3)当时，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）勾股定理求出的长，中点求出的长，的长，根据，求出的值即可； （2）设，得到，，进而得到，分和两种情况进行讨论，列出比例式进行求解即可； （3）作于点，连接，易得为等腰直角三角形，得到，，进而得到四边形为平行四边形，得到，将绕点旋转90度得到，连接，证明，得到，进而得到，得到，勾股定理求出的长即可． 【规范解答】（1）解：∵等腰直角三角形中，，，，， ∴， ∵点D和点N分别是和的中点， ∴，， ∵， ∴； （2）∵，， ∴， 设，则：，， ∵等腰直角三角形中，，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 当点C，D，N为顶点的三角形与相似时，分两种情况： ①当时，则：， ∴， 此方程无解，不符合题意； ②当时，则：， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）或； ∴； 综上：； （3）∵，， ∴， 作于点，连接， 则：， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴，， 又， ∴四边形为平行四边形， ∴， 将绕点旋转90度得到，连接，则：， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点在线段上时，的值最小为的长， 在中，， ∴， ∴的最小值为． 【考点剖析】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，求线段和的最小值，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，构造特殊图形，是解题的关键． 考点09 证明三角形的对应线段成比例 25．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在正方形中，为边上一点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长； 【答案】(1)见解析 (2)2 【思路引导】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由正方形的性质可得，再结合可证，再根据两组对角相等的三角形是相似三角形即可证明结论； （2）根据正方形的性质以及已知条件可得、，再结合列比例式求解即可． 【规范解答】（1）证明：四边形为正方形， ， ， ， ， ， ． （2）解：四边形为正方形， ． ， ，， ， ， ，解得：． 26．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，边长为1的小正方形组成了网格，点A、B均是格点，请你仅用无刻度的直尺画出满足下列条件的点P，并在图中标出点P．        (1)图①中，点P为的中点； (2)图②中，点P在线段上且． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）连接图中，与的交点即为点P； （2）连接图中，与的交点即为点P； 【规范解答】（1）解：如图，点P即为所求；    （2）解：如图，点P即为所求；      【考点剖析】本题主要考查作图，矩形的性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握画图的技巧是解题的关键． 27．（2023·吉林四平·三模）在中，，分别为，上一点，，交于点．    (1)设的面积为，的面积为，且． ①如图①，连接．若，求证：； ②如图②，若，，求的值． (2)如图③，若，，，，直接写出的值． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【思路引导】（1）①由可证，即可证，可进一步推出结论；②连接，作于点，作于点，过点作于点．可证，推出，设，则，则可分别求出，的长，即可求出结论； （2）过点作，且，连接，，构造平行四边形，证，推出，证明再证明为直角三角形，且可求出其三边的比，即可求出的值． 【规范解答】（1）解：①， ，． ， ，即． 又， ， ． 如图②，连接，作于点，作于点，过点作于点．    ， ， 又， ， ． 又， ， ， ， 设，则， ． （2） 如答图（2），过点作，且，连接，，    则四边形为平行四边形． ， ． ， ， ． 又， ， ，即． ， ． ， 设，， 则在中，． ， ， ． 【考点剖析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是能够通过作出合适的辅助线构造相似三角形，并且能够灵活运用相似三角形的判定与性质． 考点10 利用相似求坐标 28．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，矩形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，连接． (1)求点E的坐标； (2)若点F是边上一点，连接，且，求点F的坐标． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了相似三角形的性质、反比例函数的图象和性质、以及矩形的性质等知识，正确应用相似三角形的性质是解题关键． （1）根据D为的中点首先得出D点坐标，再根据反比例函数的图象经过点D，得出函数关系式，进而得出E点坐标 （2）直接利用相似三角形的性质分析得出答案． 【规范解答】（1）解：∵矩形的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为， ∴轴，， ∵点D为的中点， ∴， ∴点D的坐标为， 将点D的坐标代入中得： ； ∴反比例函数的表达式y=， ∵轴， ∴点E的横坐标与点B的横坐标相等为2， ∵点E在双曲线上， ∴， ∴点E的坐标为； （2）∵点E的坐标为，B的坐标为，点D的坐标为，为矩形， ∴， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点F的坐标为． 29．（22-23九年级上·湖南邵阳·期末）如图，直线与双曲线相交于和两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D． (1)求双曲线的解析式； (2)连接、，求的面积； (3)在y轴上是否存在一点P，使与相似？若存在求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【思路引导】（1）根据点，利用待定系数法求解即可得； （2）先根据反比例函数的解析式求出点的坐标，利用待定系数法可得直线的解析式，从而可得点的坐标和的长，再根据的面积等于与的面积之和即可得； （3）先推出是等腰直角三角形，，再分两种情况：①过点作轴，交轴于点，则；②过点作，交轴于点，则，由此即可得． 【规范解答】（1）解：将点代入得：， 则双曲线的解析式为． （2）解：如图，连接、， 将点代入得：，即， 将点，代入得：， 解得， 则， 当时，，即， 当时，，解得，即， 则的面积为． （3）解：， 是等腰直角三角形，， ①如图，过点作轴，交轴于点， ，符合题意， ， ； ②如图，过点作，交轴于点， 则是等腰直角三角形， 在和中，， ，符合题意， 又轴，轴轴， ， ， ，即， 综上，在轴上存在一点，使与相似，点的坐标为或． 【考点剖析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合、相似三角形的判定等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键． 30．（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与坐标轴交于C，D两点，直线与坐标轴交于A，B两点，线段，的长是方程的两个根． (1)求点A，C的坐标； (2)直线与直线交于点E，若点E是线段的中点，求直线的解析式； (3)在（2）的条件下，在坐标平面是否存在点M，使与相似，且以为直角边，若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或或或或或或或 【思路引导】本题考查了解一元二次方程，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的性质． （1）利用分解因式法解一元二次方程即可得出，的值，再根据点所在的位置即可得出A、C的坐标； （2）根据点C的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，根据点A、B的横坐标结合点E为线段的中点即可得出点E的横坐标，将其代入直线的解析式中即可求出点E的坐标，再利用待定系数法即可解决问题； （3）先求出，，再根据以为直角边，得到或，最后根据与相似得到比例式计算即可，注意分类讨论． 【规范解答】（1）解：， ∴，， ∵， ∴，， ∴，； （2）解：将代入中， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点E为线段的中点，，B的横坐标为0， ∴点E的横坐标为， ∵点E为直线上一点， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为； （3）解：∵直线的解析式为， ∴， ∴， ∵直线的解析式为， ∴， ∴， ∵以为直角边， ∴或， ①当时，点在轴上，设，则， ∵与相似，， ∴或， 当时，即，解得， 此时或； 当时，即，解得， 此时或； ②当时，，设，则， ∵与相似，， ∴或， 当时，即，解得， 此时或； 当时，即，解得， 此时或； 综上所述，存在点M，使与相似，且以为直角边，点M的坐标为或或或或或或或． 考点11 在网格中画与已知三角形相似的三角形 31．（21-22九年级上·浙江湖州·期末）如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，顶点A、B、C均在格点上．请只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)图1中，请画出中边上的中线； (2)图2中，请画出，点E、F分别在边、上，满足，且相似比为． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【思路引导】本题考查的是格点作图及相似三角形的判定与性质， （1）取线段中点即格点D，连接即可； （2）取格点G、F，连接交于点E，根据则，得出，则，再结合，证明，所以相似比为． 【规范解答】（1）解：如下图，线段即为所求作； （2）解：即为所求作． 32．（23-24九年级上·吉林·阶段练习）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，以为边画一个四边形，使四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形； (2)在图②中，分别在边上画点F、G，连接，使，且； (3)在图③中，分别在边上画点M、N，连接，使，且． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【思路引导】本题考查了格点图中画相似三角形、中心对称图形和轴对称图形． （1）作平行四边形，画图即可； （2）根据相似三角形的判定和相似比，画图即可； （3）根据相似三角形的判定和相似比，画图即可． 【规范解答】（1）解：如图，四边形即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，即为所求 33．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的端点都在格点上，在图①、图②、图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)在图①中以为底边画一个等腰直角三角形； (2)在图②中画线段（点E、F不与点A、B重合），使与线段相交，且它们所夹锐角的度数为． (3)在图③中线段左侧作一点P，连结，使且的面积为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】本题考查了作图﹣运用与设计作图、相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握以上知识． （1）根据等腰直角三角形的定义，作出图形即可． （2）根据等腰直角三角形的定义作出图形是等腰直角三角形，再利用网格线的特点作和平行与相交即可； （3）同理（2）作出图形是等腰直角三角形，由勾股定理求出，利用相似三角形的性质即在线段上找到点P，使得，则，即可得到，连接即可． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：如图所示，线段即为所求： （3）解：如图所示，点为所求： 考点12 相似三角形—动点问题 34．（22-23九年级上·全国·期中）如图，在中，，，，点从点出发，沿向点以的速度移动，点从点出发，沿向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动． (1)问点P、Q同时出发，几秒后可使的长为？ (2)问点P、Q同时出发，几秒后可使与相似？ 【答案】(1)2秒或秒后可使的长为 (2)t的值为秒或秒 【思路引导】本题主要考查了相似三角形的性质，勾股定理应用，依据题意列出方程求解是解题关键． （1）设秒后，可使的长为，由题意得，，，，根据勾股定理可得，易求出的值， （2）设秒后可使使与相似，他两种情况：当时，当时，依据相似三角形的对应边成比例列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：设秒后，可使的长为，则，， ， ， 根据勾股定理得：， 解得：或， 秒或秒后可使的长为． （2）解：设秒后可使与相似，则，， 当时，，即， 解得：． 秒后可使． 当时，，即， 解得， 综上所述，满足条件的的值为秒或秒． 35．（2025九年级上·上海·专题练习）如图，已知在矩形中，，，点从点出发，沿线段以每秒的速度向点A方向移动，同时点从点出发，沿射线方向以每秒的速度移动，当、、三点共线时，两点同时停止运动．设点移动的时间为（秒， (1)求证：； (2)求的取值范围； (3)连接，当为何值时，？ 【答案】(1)见解析 (2) (3)秒 【思路引导】（1）根据矩形的性质和相似三角形的判定方法：两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可证明； （2）因为当、、三点共线时，两点同时停止运动，所以可用表示出此时的，，的长，利用相似三角形的性质即可求出的最大值，进而求出的取值范围； （3）因为利用相似的性质和矩形的性质可证明，利用勾股定理即可求出的长，进而求出的长，时间也可求出了． 【规范解答】（1）证明：四边形是矩形， ， ，， ， ，， ， ， ； （2）解：如图所示： 当、、三点共线时， ， ∴， ， ， ， ， ； （3）解：如图所示， ， ， ，， ， ， ， ， ，，， ， ， ， 秒． 【考点剖析】本题主要考查了矩形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质． 36．（2025·福建泉州·二模）如图，在矩形中，，动点P在边上，以每秒１个单位的速度从点B向点A运动；同时动点Q在边上从点B向C运动．把沿着直线翻折，点B的对应点为点G，直线与边相交于点E． (1)如图1，若点P为的中点，连接，求证：． (2)如图2，若点Q的运动速度是点P运动速度的3倍，运动时间为t秒，当t为何值时，点G恰好在直线上？ (3)如图3，连结，交于点F，若且，求点Q的运动速度． 【答案】(1)见解析 (2) (3)点Q的运动速度是每秒3个单位长度 【思路引导】本题考查矩形中的动点问题，涉及三角形全等的证明、利用勾股定理和方程求解动点位置以及相似三角形判定和应用．解题的关键是根据动点的运动速度和时间表示出相关线段长度，再结合图形的性质列方程求解． （1）利用矩形性质和折叠性质找出全等三角形的对应边和对应角，依据全等判定定理证明； （2）过点作于点，证明， 得到，设，建立方程求解； （3）连接，通过平行线性质、折叠性质得到角的关系，证明，从而得到，设，建立方程求解， 再设，在 中，，建立方程求解，从而求出点Q的运动速度． 【规范解答】（1）∵点为的中点， ， 在矩形中，， ， ∵沿着直线翻折，点的对应点为点， ， ， 在和中， ， ∴； （2）过点作于点，如图， 则， ， ， ， ， ∵点的运动速度是运动速度的3倍， ， ， ， ， ， ，解得：， 当，点G恰好在直线上； （3）连接， ， ， 由翻折可知：， ， ， ， ，又， 四边形为菱形， ， 在中， ， ， ， ，又， ， ， ， 解得， 设，则， 在 中，， ， 解得， ， 点的运动速度是每秒 3 个单位长度． 考点13 重心的有关性质 37．（22-23九年级上·全国·期中）我们给出如下定义：三角形三条中线的交点称为三角形的重心．一个三角形有且只有一个重心．可以证明三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍． 可以根据上述三角形重心的定义及性质知识解答下列问题： 如图，的平分线与边上的中线互相垂直，并且． (1)猜想与的数量关系，并说明理由； (2)求的三边长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，， 【思路引导】本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的重心，勾股定理． （1）证明，即可得出结论； （2）延长到F，使，则是等腰三角形，延长交于H点，则垂直平分，易证E是的重心，求出，利用勾股定理即可求出，进而求出，在中，利用勾股定理求出，即可求出． 【规范解答】（1）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，延长到F，使，则是等腰三角形， ∵是的中线， ∴是的一条中位线， 延长交于H点，则垂直平分， ∴E是的重心， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∵在中，， ∴． 38．（24-25九年级上·四川巴中·期末）如图，在中，，，，点是的重心，连接交于，于，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了重心的性质、相似三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解答本题的关键． 连接并延长交于，由重心的性质可知，可得，由，，可得，进而可证明出，可得到，代入数据即可求出的长． 【规范解答】解：如图，连接并延长交于， 点是的重心， ，即， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 故选：C． 39．（25-26九年级上·上海徐汇·阶段练习）在学习“三角形的重心”一课时，小王向同桌小刘提出两个问题：四边形有没有？如果有，它的重心如何确定？小刘在周末查阅了相关资料，得到如下的信息：①四边形有重心；②当两个面积相等的三角形拼成一个四边形时，四边形的重心是连接这两个三角形重心的线段的中点． 根据以上信息，解决下列问题： 如图，有两张全等的直角三角形纸片，其中一张记为为直角顶点，，将这两个三角形拼成一个四边形，使得斜边重合． (1)请画出所有符合要求的四边形，并指出所作四边形的重心；（不用写作法，写出结论） (2)直接写出线段与线段的比值． 【答案】(1)见解析； (2)线段与线段的比值是或． 【思路引导】（1）当两个直角三角形拼成一个矩形时，两个三角形的重心连接的线段与斜边的交点就是拼成的四边形的重心；当两个直角三角形拼成一个两组邻边相等的四边形时，四边形的两条对角线把四边形分成两对三角形，与的重心连接的线段与，与的重心连接的线段的交点就是四边形的重心； （2）根据重心的定义，可知四边形的重心是两个直角三角形的重心与直角三角形斜边的交点，分两种情况求出与的比值． 【规范解答】（1）解：如下图所示， 直角的重心是直角三角形三条中线的交点， 两个完全相同直角三角形拼成一个矩形， 当两个直角三角形的斜边重合时，两个直角三角形的重心连接的线段与斜边的交点就是四边形的重心； 如下图所示， 直角的重心是直角三角形三条中线的交点， 直角的重心是直角三角形三条中线的交点， 由题意可知和是等腰三角形且，， 和的重心都在边上， 四边形的重心是线段与的交点； （2）解：当两个直角三角形拼成一个矩形时， 如下图所示， 矩形对角线互相平分， ， ； 当直角三角形拼成如下图所示的四边形时， ， 是的垂直平分线， ∵， 设，则， ， ，， 点是重心， ， ，， 设，。。 则有， ， ， 整理得：， 解得：， ， ． 综上所述：线段与线段的比值是或． 【考点剖析】本题主要考查了四边形的重心、三角形的重心、三角形的中线和勾股定理．解决本题的关键是根据三角形的重心是三角形三条中线的交点，两个三角形拼成的四边形的中心是两个三角形重心连接的线段的中点． 考点14 相似三角形实际应用 40．（22-23九年级上·北京延庆·期中）如图，小明在晚上由路灯走到路灯．当他走到P点时，发现身后他影子的顶部刚好落在路灯的底部，当他再步行15米达到点Q时，发现身前自己影子的顶部刚好落在路灯的底部．已知小明的身高是1.8米，两个路灯的高度都是9米，且． (1)求两个路灯之间的距离； (2)当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是多少？ 【答案】(1)两路灯的距离为25米 (2)当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是6.25米 【思路引导】本题考查了相似三角形的应用． （1）如图1，先证明，利用相似比可得，进而得，，解得米； （2）如图2，当小明走到路灯时，他在路灯下的影子为，证明，利用相似三角形的性质得，然后利用比例性质求出即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， 答：两路灯的距离为25米； （2）解：如图2，当小明走到路灯时，他在路灯下的影子为， ∵， ∴， ∴，即， 解得． 答：当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是6.25米． 41．（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）【综合与实践】现实生活中，人们可以借助光源来测量物体的高度．已知榕树，和灯柱如图①所示，在灯柱上有一盏路灯P，榕树和灯柱的底端在同一水平线上，两棵榕树在路灯下都有影子，只要测量出其中一些数据，则可求出所需要的数据，具体操作步骤如下： ①根据光源确定榕树在地面上的影子； ②测量出相关数据，如高度，影长等； ③利用相似三角形的相关知识，可求出所需要的数据． 根据上述内容，解答下列问题： (1)如图①，若榕树的高度为3.6米，其离路灯的距离为6米，两棵榕树的影长，均为4米，两棵树之间的距离为6米，求榕树的高度； (2)无论太阳光还是点光源，其本质与视线问题相同．日常生活中我们也可以直接利用视线解决问题．如图②，建筑物高为50米，建筑物上有一个广告牌，合计总高度为70米，两座建筑物之间的直线距离为30米．一个观测者（身高不计）先站在A处观测，发现能看见广告牌的底端M处，观测者沿着直线向前走了5米到B处观测，发现刚好看到广告牌的顶端E处．则广告牌的高度为多少米． 【答案】(1)榕树的高度为米 (2)广告牌的高度为米 【思路引导】本题考查相似三角形的判定和性质的应用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可； （2）根据求出，再根据求出，进而求出． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， 答：榕树的高度为米； （2）解：∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴（米）， 答：广告牌的高度为米． 42．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）大拇指在人们的认知中通常代表着认可、称赞，大拇指广场在多个城市都有分布．青岛大拇指广场处于海尔路中央商务区中心地段，其建立可能寓意着对青岛城市发展的肯定，以及对该区域商业繁荣、经济腾飞的一种期待和赞美，仿佛在为青岛不断向前发展的态势点赞．如图I是大拇指广场示意图及测量其高度的方案，图II是求大拇指高度的示意图．如图II，在处放置一根高度为且与地平线垂直的竹竿，点，，在同一直线上，测得为．将竹竿平移至处，点，，在同一直线上，测得为．求大拇指的高度． 【答案】大拇指的高度为 【思路引导】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 分别证明、可得、，进而得到可得；最后将代入求得的值即可解答． 【规范解答】解：由题意可得：， ∴． ∴． 由题意可得：， ∴． ∴． ∵， ∴， 即，解得：． 将代入， 得，解得． ∴大拇指的高度为． 考点15 相似三角形的综合问题 43．（2023·重庆开州·模拟预测）如图1，已知是等边三角形，边，点B、C是直线上的动点，点始终在点D左侧，点始终在点右侧，且，设，，一次函数过点和． (1)直接写出，的函数关系式； (2)在图中画出函数，图像，并写出一条的性质； (3)直接写出时，自变量的取值范围______． 【答案】(1)， (2)画图见解析，当时，随的增大而减小 (3)或 【思路引导】（）根据已知条件证明，则对应变成比例，的函数解析式；设将 和 代入即可求得的解析式； （）按画图象的步骤方法画图即可由函数图象写出一条的性质即可； （）函数图象可得自变量的取值范围，由（）所画两函数图象交点横坐标，观察图象的位置关系，即可确定大小； 本题主要考查了正比例函数的图象与性质、用待定系数法求一次函数解析式以及反比例函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题． 【规范解答】（1）∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 设， 将和代入可得：，解得： 则， 综上所述：，； （2）经过的点有：，，，，经过的点有：，， 描点、连线，画出函数，图象如下： 如图， 的性质：当时，随的增大而减小（答案不唯一）； （3）由（）中图象可知，，图象交点为，， 当或时，图象在图象的上方， ∴当时，自变量的取值范围为或． 44．（20-21九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象分别交于点和点，与坐标轴分别交于点和点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）在轴上是否存在点，使与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；；（2）存在， 或． 【思路引导】(1)把和分别代入反比例函数解析式中求出和，再代入一次函数解析式中求出一次函数的解析式； (2)先求出C点和D点的坐标，再分情况讨论当时和当时求解即可． 【规范解答】解：(1)把代入反比例函数，得 反比例函数的表达式为． 点在图象上，，即 把，两点代入， 解得， 所以一次函数的表达式为． (2)由(1)得一次函数的表达式为 当时，，，即． 当时，，点坐标为，即， ． ，． 设点坐标为，由题可以，点在点左侧，则， 由可得： ①当时，，， 解得，故点坐标为； ②当时，，， 解得，即点的坐标为． 因此，点的坐标为或时，与相似． 【考点剖析】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，相似三角形的性质和判定等，属于综合题，熟练掌握各性质及解析式的求法是解决本题的关键． 45．（24-25八年级下·江苏·期末）如图，在中，，，，点、分别在，上，连接. (1)将沿折叠，使点落在边上的点处，如图1，若，求的长； (2)将沿折叠，使点落在边上的点处，如图2，若. ①求的长； ②求四边形的面积； (3)若点在射线上，点在边上，点关于所在直线的对称点为点，问：是否存在以、为对边的平行四边形，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)；(2)①；②；(3)存在，或6. 【思路引导】（1）先判断出S△ABC=4S△AEF，再求出AB，判断出Rt△AEF∽△Rt△ABC，得出，代值即可得出结论； （2）先判断出四边形AEMF是菱形，再判断出△CME∽△CBA得出比例式，代值即可得出结论； （3）分两种情况，利用平行四边形的性质，对边平行且相等，最后用勾股定理即可得出结论． 【规范解答】解：(1)∵沿折叠，折叠后点落在上的点处， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴； (2)①∵沿折叠，折叠后点落在边上的点处， ∴，，， ∴，∴， ∴， ∴四边形是菱形， 设，则，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 即：， ②由①知，，， ∴； (3)①如图3，当点在线段上时， ∵与是平行四边形的对边， ∴，， 由对称性知，，， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 即：； ②如图4，当点在线段的延长线上时，延长交于， 同理：，， 在中，， ∴， ∴， ∴， 即：或6. 【考点剖析】此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，对称的性质，勾股定理，平行四边形的性质，求出AE是解本题的关键． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $