专题01 反比例函数的图像与性质（高效培优期中专项训练）数学湘教版九年级上册

专题01 反比例函数的图像与性质 考点01 判断（画）反比例函数图象 1 考点02 已知反比例函数的图象，判断其解析式 4 考点03 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 6 考点04 已知双曲线分布的象限，求参数范围 8 考点05 判断反比例函数的增减性 9 考点06 判断反比例函数图象所在象限 11 考点07 已知反比例函数的增减性求参数 11 考点08 比较反比例函数值或自变量的大小 13 考点01 判断（画）反比例函数图象 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）函数的图象可以由函数的图象左右平移得到．若将函数的图象向右平移4个单位得到函数的图象，则 ，此时不等式的解集为 ． 2．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）下面是小明同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．今天是2024年3月28日（星期四），在下午数学活动课上，我们数学兴趣小组的同学参加了一次“探索压力一定时，压强p与受力面积S函数关系的数学活动”． 第一步，如图，将一长方体A放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，相应的记录桌面所受压强与受力面积． 第二步，数据整理，收集记录的数据如下： 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 受力面积 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.4 桌面所受的压强 600 400 300 25 200 150 第三步，数据分析，以S的数值为横坐标，p的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，在该坐标系中描出以表中数对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点． 数据分析中，我发现一组数据可能有明显错误，重新实验，证明了我的猜想正确，并对数据进行了修改，实验结束后，大家有很多收获，每人都撰写了数学日记． 任务： (1)你认为表中哪组数据是明显错误的？并直接写出p关于S的函数表达式． (2)在平面直角坐标系中，画出此函数的图象． (3)结合图象，如果要求压强不超过，那么长方体A的受力面积至少为_______． 3．（2025·河南安阳·模拟预测）如图，等腰三角形的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，点为腰上的一个格点，反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的解析式． (2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点的两个格点，再画出反比例函数的图象． (3)将等腰三角形向下平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离． 4．（21-22八年级下·河南南阳·期末）建模：某班开端午联欢会，生活委员彤彤先购买了2个装饰挂件，共计3元，又购买了单价为2元的粽形香囊个，设所有装饰挂件和粽形香囊的平均价格为元，则与的关系式为_______（不要求写的范围） 【探究】根据函数的概念，彤彤发现：是的函数，结合自己学习函数的经验，为了更好地研究这个函数，彤彤打算先脱离实际背景，对该函数的完整图像与性质展开探究，请根据所给信息，将彤彤的探究过程补充完整． （1）列表： … －4 －3 －1 0 1 2 … … 4 1 … 填空：______，______． （2）在如图所示的平面直角坐标系中描点、连线，画出该函数的图像． （3）观察函数图像，判断下列描述错误的一项是（    ） A．该函数图像是中心对称图形 B．该函数值不可能等于2 C．当时，随的增大而增大 D.当时，随的增大而减小 应用：（4）根据上述探究，结合实际经验，彤彤得到结论： 粽形香囊越多，所购买物品的平均价格越______（填“高”或“低”），但不会突破______元． 考点02 已知反比例函数的图象，判断其解析式 5．（24-25九年级上·湖南益阳·阶段练习）已知反比例函数的图象如图所示，试回答下列问题： (1)求这个函数的表达式； (2)你认为点，是否在这个函数的图象上，请说明理由． 6．（23-24九年级上·陕西商洛·期末）反比例函数的图像如图所示，若二次函数图像的对称轴为直线，与轴交于点，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 7．（22-23九年级上·安徽·开学考试）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作为的整数）．反比例函数的图象为曲线．    (1)若过点，求反比例函数的解析式； (2)若过点，则它必定还过另一点，求的坐标； (3)若曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，求出所有满足条件的整数． 8．（2019·北京·中考模拟）在平面直角坐标系xOy中，函数()的图象经过边长为2的正方形OABC的顶点B，如图，直线与()的图象交于点D(点D在直线BC的上方)，与x轴交于点E . (1)求k的值； (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记()的图象在点B，D之间的部分与线段AB，AE，DE围成的区域(不含边界)为W. ①当时，直接写出区域W内的整点个数； ②若区域W内恰有3个整点，结合函数图象，求m的取值范围. 考点03 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 9．（2025·山东·模拟预测）学习函数时，我们经历了列表、描点、连线、画出函数图象、观察分析图象特征、概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，探究函数的图象性质． (1)根据题意，列表如下： x … 0 … 2 3 5 … y … 1 2 4 … … 在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象． (2)观察图象，发现： ①当时，y随x的增大而______（填“增大”或“减少”）； ②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为______． (3)深度思考：函数的图象可由函数的图象向____平移____个单位长度得到，想象平移后得到的函数的图象，直接写出当时，x的取值范围是____ 10．（2025·江西景德镇·模拟预测）如图，点在反比例函数上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图并保留作图痕迹． (1)图1中，作点关于点的对称点； (2)图2中，若点，请作出直线． 11．（24-25九年级上·全国·假期作业）在同一平面直角坐标系中，函数的图象可以由函数的图象平移得到．依此想法，数学小组对反比例函数图象的平移进行探究． 【动手操作】 列表： … … … … 描点连线：在已画出函数的图象的坐标系中画出函数的图象． 【探究发现】 （1）将反比例函数的图象向 平移 个单位长度得到函数的图象． （2）上述探究方法运用的数学思想是 ． A．整体思想 B．类比思想 C．分类讨论思想 【应用延伸】 （1）将反比例函数的图象先 ，再 得到函数的图象． （2）函数图象的对称中心的坐标为 ． 12．（2024·山东·一模）如图，已知等边三角形，顶点在双曲线上，点的坐标为．过作交双曲线于点，过作 交轴于点，得到第二个等边；过作交双曲线于点，过作交轴于点，得到第三个等边；以此类推，... 则点的坐标为 ．    考点04 已知双曲线分布的象限，求参数范围 13．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知反比例函数． (1)如果这个函数的图象如图所示，求k的取值范围． (2)如果这个函数的图象经过点，试判断点，是否在该函数的图象上． 14．（24-25九年级上·山东烟台·期末）请根据学习函数的经验，自主尝试探究表达式为的函数图象与性质，下列说法正确的是（   ） A．图象与轴的交点是 B．图象与轴有一个交点 C．随的增大而减小 D．当时， 15．（2021九年级·全国·专题练习）若数a使关于x的不等式组有且仅有三个整数解，且使关于x的反比例函数y＝经过一，三象限，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1 16．（20-21九年级上·重庆·开学考试）启航同学根据学习函数的经验，对函数 的图象与性质进行了探究．下面是他的探究过程，请补充完成： （1）函数 的自变量x 的取值范围是__________； （2）列表，找出y 与x 的几组对应值，列表如下： x … -2 -1 0 2 3 ．． y … a 1 2 2 1 … 其中， a=_______； （3）在平面直角坐标系xOy 中，描出以上表中各对对 应值为坐标的点，并画出该函数的图象并写出该函数的一条性质：______________________ 考点05 判断反比例函数的增减性 17．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系，现有某学生利用一个最大电阻为72欧姆的滑动变阻器及一个电流表测电源电压，结果如图所示，当电阻为12欧姆时，电流为12安培． (1)求电流（安培）关于电阻（欧姆）的函数表达式； (2)若，求电流的变化范围． 18．（25-26九年级上·山东东营·开学考试）关于反比例函数，下列结论不正确的是（    ） A．图象位于第一、三象限 B．y随x的增大而减小 C．图象经过 D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上 19．（24-25九年级上·广东·期末）已知反比例函数的图象经过点． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)这个函数的图象在哪个象限？在每个象限内，y随x的增大怎样变化？ (3)判断点是否在这个函数的图象上，说明理由． 20．（23-24九年级上·山东临沂·期末）小明在实验课上做了一个试验．如图，在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘（可左右移动）中放置一个装水的容器，容器的质量为．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录容器中加入的水的质量，得到下表： 托盘与点的距离 30 25 20 15 10 容器与水的总质量 10 12 15 20 30 加入的水的质量 5 7 10 15 25 把上表中的与各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的关于的函数图象． (1)请在该平面直角坐标系中作出关于的函数图象； (2)观察函数图象，并结合表中的数据： ①猜测与之间的函数关系，并求关于的函数表达式； ②求关于的函数表达式； ③当时，随的增大而______（填“增大”或“减小”），随的增大而______（填“增大”或“减小”），的图象可以由的图象向______（填“上”或“下”）平移得到． (3)若在容器中加入的水的质量满足，求托盘与点的距离的取值范围． 考点06 判断反比例函数图象所在象限 21．（24-25九年级上·广西贵港·期中）已知反比例函数的图象经过点． (1)求与之间的函数表达式； (2)这个函数的图象在哪个象限？在每个象限内，随的增大怎样变化？ (3)点、在这个函数的图象上吗？ 22．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）关于反比例函数，下列结论中不正确的是（   ） A．图像经过点 B．图像在第一、三象限 C．当时， D．当时，随着的增大而增大 23．（2022·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象位于（   ） A．第二、三象限 B．第一、三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限 24．（18-19九年级·河北·阶段练习）关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．必经过点 B．两个分支分布在第二、四象限 C．两个分支关于轴成轴对称 D．当时， 考点07 已知反比例函数的增减性求参数 25．（24-25九年级上·吉林·期中）已知反比例函数（a为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求a的取值范围； (2)当时，y随x的增大而减小，求a的取值范围． 26．（24-25八年级下·浙江·期末）已知，是反比例函数图象上的两点． (1)若，，求的值． (2)若，关于原点中心对称，求的值． (3)当，，时，求的取值范围． 27．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）平面直角坐标系中，点，点在反比例函数（是常数）的图象上，且，则的取值范围是 ． 28．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）在函数的学习过程中，我们经历“画函数图象一利用函数图象研究其性质一运用函数图象解决问题”的学习过程． 下面根据学习函数的过程和方法，探究分段函数的相关性质和应用． (1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出了分段函数图象的一部分，并补全该分段函数的图象如图所示． x ……    写出该分段函数的一条性质：　 　； (2)直线与该分段函数的图象有2个交点，则k的取值范围是　 　； (3)若该分段函数图象上有两点、，且，则m的取值范围是　 　； (4)当时，函数值y的取值范围为，当a取某个范围内的任意值时，b为定值，直接写出满足条件的a的取值范围及其对应的b值． 考点08 比较反比例函数值或自变量的大小 29．（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C．当时， D．当时， 30．（21-22九年级上·陕西榆林·期末）如图，点A在某反比例函数的图象上，轴于点C，，． (1)求该反比例函数的表达式； (2)已知，若，，两点都在该反比例函数的图象上，试比较与的大小． 31．（24-25九年级上·山东济南·期中）已知反比例函数，点和是反比例函数图象上的两点．若对于，，都有，则的取值范围是（　　） A．或 B．且， C．或 D．且， 32．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）【定义】在平面直角坐标系中，对“经纬值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“经纬值”．函数图象上所有点的“经纬值”中的最大值称为函数的“最优经纬值”． 【举例】已知点在函数图象上．点的“经纬值”为；函数图象上所有点的“经纬值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优经纬值”为7． 【问题】根据定义，解答下列问题： (1)①点的“经纬值”为 ； ②求出函数（k为常数且，）的“最优经纬值”； (2)若二次函数的顶点在直线上，且最优经纬值为8，求c的值； (3)若二次函数，当时，二次函数的最优经纬值为3，直接写出b的值． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 反比例函数的图像与性质 考点01 判断（画）反比例函数图象 1 考点02 已知反比例函数的图象，判断其解析式 6 考点03 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 11 考点04 已知双曲线分布的象限，求参数范围 16 考点05 判断反比例函数的增减性 20 考点06 判断反比例函数图象所在象限 24 考点07 已知反比例函数的增减性求参数 26 考点08 比较反比例函数值或自变量的大小 29 考点01 判断（画）反比例函数图象 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）函数的图象可以由函数的图象左右平移得到．若将函数的图象向右平移4个单位得到函数的图象，则 ，此时不等式的解集为 ． 【答案】 -4 或 【思路引导】利用左加右减的平移规律即可得到结论，根据图象即可求得． 【规范解答】解：将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则； 画出函数图象： 观察图象，不等式的解集为或． 故答案为：，或． 【考点剖析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数与一次函数的交点，反比例函数图象与几何变换，数形结合是解题的关键． 2．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）下面是小明同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．今天是2024年3月28日（星期四），在下午数学活动课上，我们数学兴趣小组的同学参加了一次“探索压力一定时，压强p与受力面积S函数关系的数学活动”． 第一步，如图，将一长方体A放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，相应的记录桌面所受压强与受力面积． 第二步，数据整理，收集记录的数据如下： 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 受力面积 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.4 桌面所受的压强 600 400 300 25 200 150 第三步，数据分析，以S的数值为横坐标，p的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，在该坐标系中描出以表中数对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点． 数据分析中，我发现一组数据可能有明显错误，重新实验，证明了我的猜想正确，并对数据进行了修改，实验结束后，大家有很多收获，每人都撰写了数学日记． 任务： (1)你认为表中哪组数据是明显错误的？并直接写出p关于S的函数表达式． (2)在平面直角坐标系中，画出此函数的图象． (3)结合图象，如果要求压强不超过，那么长方体A的受力面积至少为_______． 【答案】(1)第四组， (2)图见解析 (3) 【思路引导】（1）通过观察表中数据即可发现明显错误的数据，根据变量间的关系设，把代入，即可求出的值，进而得出关于的函数表达式； （2）将格点在坐标系中描点，再连线作图即可； （3）令，代入，得，由此即可求出的值． 【规范解答】（1）解：第四组数据是明显错误的，理由如下： 通过观察表中数据可以发现，除第四组外，其余每组与的积都是定值，因此第四组数据明显有误（压强错了）， 设，把代入，得：， ， 关于的函数表达式为； （2）解：画出函数图象如图所示： （3）解：令，代入，得：， ， 长方体A的受力面积至少为， 故答案为：． 【考点剖析】本题主要考查了求反比例函数解析式，画反比例函数图象，求自变量的值，用表格表示变量间的关系等知识点，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 3．（2025·河南安阳·模拟预测）如图，等腰三角形的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，点为腰上的一个格点，反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的解析式． (2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点的两个格点，再画出反比例函数的图象． (3)将等腰三角形向下平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【思路引导】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，画反比例函数图象，平移的性质等知识： （1）由图可知，点的坐标为，再由待定系数法求解； （2）描出两个整数点即可，根据描点、连线作图即可； （3）先设出向下平移后点的坐标为，再代入函数解析式，求出，即可确定平移距离． 【规范解答】（1）解：由图可知，点的坐标为， 反比例函数的图象经过点， ， ， 这个反比例函数的解析式为． （2）解：描出这个反比例函数图象上不同于点的两个格点为， 可作反比例函数的图象如图所示： （3）解：由图知，点的坐标为，设向下平移后点的坐标为． 点在反比例函数的图象上， ． ， 将等腰三角形向下平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为． 4．（21-22八年级下·河南南阳·期末）建模：某班开端午联欢会，生活委员彤彤先购买了2个装饰挂件，共计3元，又购买了单价为2元的粽形香囊个，设所有装饰挂件和粽形香囊的平均价格为元，则与的关系式为_______（不要求写的范围） 【探究】根据函数的概念，彤彤发现：是的函数，结合自己学习函数的经验，为了更好地研究这个函数，彤彤打算先脱离实际背景，对该函数的完整图像与性质展开探究，请根据所给信息，将彤彤的探究过程补充完整． （1）列表： … －4 －3 －1 0 1 2 … … 4 1 … 填空：______，______． （2）在如图所示的平面直角坐标系中描点、连线，画出该函数的图像． （3）观察函数图像，判断下列描述错误的一项是（    ） A．该函数图像是中心对称图形 B．该函数值不可能等于2 C．当时，随的增大而增大 D.当时，随的增大而减小 应用：（4）根据上述探究，结合实际经验，彤彤得到结论： 粽形香囊越多，所购买物品的平均价格越______（填“高”或“低”），但不会突破______元． 【答案】建模：；探究：（1）3；0；（2）见解析；（3）D；应用：（4）高；2 【思路引导】建模：依据平均数的算法，可得y与x的关系式； 探究：（1）利用函数关系式，根据自变量x的值，即可得到因变量y的值； （2）依据坐标，进行描点、连线，即可得到函数图像； （3）由图可得，对称中心的坐标；依据函数图像与直线y=2无限接近，即可得出该函数值y不可能等于2；依据函数图像的增减性，即可得出y随x的增大而增大．据此判断即可； 应用：（4）依据函数图像的增减性，即可得到y随x的增大而增大，函数值y与2无限接近． 【规范解答】解：建模∵彤彤先购买了2个装饰挂件共计3元，又购买了单价为2元的粽形香囊x个，y（元）是所有装饰挂件和粽形香囊的平均价格， ∴y与x的关系式为， 故答案为：； 探究：（1）当x=-3时，y=3，即m=3； 当x=-时，y=0，即n=0； 故答案为：3；0； （2）描点、连线，该函数的图像如图所示： （3）A、该函数图像是中心对称图形，该说法正确； B、函数图像与直线y=2无限接近，故该函数值y不可能等于2，该说法正确； C、当x＞-2时，函数图像从左往右上升，即y随x的增大而增大，该说法正确； D、当x<-2时，函数图像从左往右上升，即y随x的增大而增大，原说法错误； 故选：D； 应用：（4）由图可得，当x≥0时，函数图像从左往右上升，与直线y=2无限接近，即y随x的增大而增大，函数值y与2无限接近， 故粽形香囊越多，所购买物品的平均价格越高，但不会突破2元． 故答案为：高；2． 【考点剖析】本题主要考查了反比例函数的图像和性质，利用图像解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．还能利用图像直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决函数问题的一种常用方法． 考点02 已知反比例函数的图象，判断其解析式 5．（24-25九年级上·湖南益阳·阶段练习）已知反比例函数的图象如图所示，试回答下列问题： (1)求这个函数的表达式； (2)你认为点，是否在这个函数的图象上，请说明理由． 【答案】(1)这个函数的表达式为； (2)不在这个函数的图象上，理由见解析． 【思路引导】本题考查了反比例函数的图象与性质，待定系数法求解析式，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． （）把点代入即可求解； （）当时，即可判断点是否在这个函数的图象上． 【规范解答】（1）解：根据图象可知，反比例函数的图象过点， ∴， ∴这个函数的表达式为； （2）解：不在这个函数的图象上，理由， 当时，， ∴点不在这个函数的图象上． 6．（23-24九年级上·陕西商洛·期末）反比例函数的图像如图所示，若二次函数图像的对称轴为直线，与轴交于点，则下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，二次函数的图像与性质，解题的关键是掌握反比例函数的图像与性质，二次函数的图像与性质，数形结合．根据反比例函数的图像与性质可得，从而得到抛物线的开口向下和对称轴为，进而得到的取值范围；由抛物线与轴交于点，可得，推出即可求出的取值范围． 【规范解答】解：反比例函数的图像过第二象限， ， 当时，， ， 抛物线的开口向下，对称轴为， 抛物线的对称轴为直线， ， 依据题意得， ， ， 即， 故选：C． 7．（22-23九年级上·安徽·开学考试）如图是8个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是1和2，每个台阶凸出的角的顶点记作为的整数）．反比例函数的图象为曲线．    (1)若过点，求反比例函数的解析式； (2)若过点，则它必定还过另一点，求的坐标； (3)若曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，求出所有满足条件的整数． 【答案】(1) (2) (3)，，，，，，． 【思路引导】（1）由题意可求这些点的坐标，将点的坐标代入解析式可求解； （2）将点的坐标代入解析式可求的值，将点代入可求解； （3）由曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，可得，，，与，，，在曲线的两侧，即可求解． 【规范解答】（1）解：每个台阶的高和宽分别是1和2， ，，，，，，，， 过点， ， 反比例函数的解析式为； （2）过点， ， 反比例函数解析式为， 当时，， 在反比例函数图象上， 的坐标为； （3）若曲线过点，时，， 若曲线过点，时，， 若曲线过点，时，， 若曲线过点，时，， 曲线使得这些点分布在它的两侧，每侧各4个点， ， 所有满足条件的整数，，，，，，． 【考点剖析】本题考查了反比例函数的应用，求出各点的坐标是解决问题的关键． 8．（2019·北京·中考模拟）在平面直角坐标系xOy中，函数()的图象经过边长为2的正方形OABC的顶点B，如图，直线与()的图象交于点D(点D在直线BC的上方)，与x轴交于点E . (1)求k的值； (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记()的图象在点B，D之间的部分与线段AB，AE，DE围成的区域(不含边界)为W. ①当时，直接写出区域W内的整点个数； ②若区域W内恰有3个整点，结合函数图象，求m的取值范围. 【答案】(1)k=4；(2)①2个；②. 【思路引导】（1）把B点坐标代入函数y=（x＞0）中便可求得k的值； （2）①由m=，得出直线y=mx+m+1的解析式，画出图象，再根据定义求出区域W的整点个数便可；②当直线y=mx+m+1过（0，）时，区域W内有两点整点，当直线y=mx+m+1过（0，2），区域W内有3个整点，由此便可求出m的取值范围． 【规范解答】解：（1）由题干条件可得B点坐标为（2，2），代入函数y=（x＞0）中可得k=4. （2）①由m=，可得直线解析式为，做出图象如下图，由图可得区域W的整点为（0，1）和（1，1），故区域W的整点个数为2个. ②当直线y=mx+m+1过（0，）时，可得m= ，此时区域W的整点个数为2个；当直线y=mx+m+1过（0，2），可得m=1，此时区域W的整点个数为3个；由图象分析可得，当直线y=mx+m+1过y轴上（0，）至（0，2）之间时，区域W内有3个整点为（0，1），（1，1），（1，2），但当直线y=mx+m+1过y轴上（0，2）点之上的点时，点（1，3）会在区域W内，不符合题干要求，综上可得，区域W内恰有3个整点时，m的取值范围为＜m≤1． 【考点剖析】本题考查了一次函数与反比例函数图象问题，同时考查了用待定系数法求函数解析式，熟练掌握并综合分析应用图象问题是解题的关键． 考点03 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 9．（2025·山东·模拟预测）学习函数时，我们经历了列表、描点、连线、画出函数图象、观察分析图象特征、概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，探究函数的图象性质． (1)根据题意，列表如下： x … 0 … 2 3 5 … y … 1 2 4 … … 在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象． (2)观察图象，发现： ①当时，y随x的增大而______（填“增大”或“减少”）； ②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为______． (3)深度思考：函数的图象可由函数的图象向____平移____个单位长度得到，想象平移后得到的函数的图象，直接写出当时，x的取值范围是____ 【答案】(1)见解析 (2)①增大；② (3)上；2个；或 【思路引导】本题考查函数图象及性质，图象的平移； （1）利用描点法画出函数图象即可； （2）通过观察图象即可求解； （3）根据函数图象平移规则“上加下减”解决问题即可． 【规范解答】（1）解：在所给平面直角坐标系中描点并连线，画出该函数的图象，如图所示， （2）解：观察图象，发现： ①当时，y随x的增大而增大； 故答案为：增大； ②图象是中心对称图形，其对称中心的坐标为 故答案为：； （3）解：函数的图象可由函数的图象向上平移个单位长度得到， ∵当时，， ∴当时，x的取值范围是或． 故答案为：上；2个；或． 10．（2025·江西景德镇·模拟预测）如图，点在反比例函数上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图并保留作图痕迹． (1)图1中，作点关于点的对称点； (2)图2中，若点，请作出直线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查反比例函数的对称性，无刻度直尺作图，掌握反比例函数的中心对称性解题即可． （1）连接并延长交反比例函数于点，则点即为所作； （2）连接并延长交反比例函数于点，然后连接交双曲线于点，然后作点关于原点的对称点C，再过点A、C作直线，则直线即为所作． 【规范解答】（1）解：如图，点即为所作； （2）解：如图直线即为所作； 11．（24-25九年级上·全国·假期作业）在同一平面直角坐标系中，函数的图象可以由函数的图象平移得到．依此想法，数学小组对反比例函数图象的平移进行探究． 【动手操作】 列表： … … … … 描点连线：在已画出函数的图象的坐标系中画出函数的图象． 【探究发现】 （1）将反比例函数的图象向 平移 个单位长度得到函数的图象． （2）上述探究方法运用的数学思想是 ． A．整体思想 B．类比思想 C．分类讨论思想 【应用延伸】 （1）将反比例函数的图象先 ，再 得到函数的图象． （2）函数图象的对称中心的坐标为 ． 【答案】动手操作：见解析；探究发现：（1）左，；（2）B；应用延伸：（1）右平移个单位长度；向下平移个单位长度；（2） 【思路引导】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是掌握反比例函数的图象与性质． 动手操作：列表，描点、连线画出函数的图象即可； 探究发现：结合图象填空即可； 应用延伸：根据发现的规律填空即可． 【规范解答】解：动手操作 列表： … … … … 描点、连线画出函数图象如图示： 探究发现 （1）将反比例函数的图象向左平移 个单位长度得到函数的图象． 故答案为：左，； （2）上述探究方法运用的数学思想是B． 故答案为：B； 应用延伸 （1）将反比例函数的图象先右平移个单位长度，再向下平移个得到函数的图象． 故答案为：右平移个单位长度；向下平移个单位长度； （2）函数图象的对称中心的坐标为． 故答案为． 12．（2019·山东·一模）如图，已知等边三角形，顶点在双曲线上，点的坐标为．过作交双曲线于点，过作 交轴于点，得到第二个等边；过作交双曲线于点，过作交轴于点，得到第三个等边；以此类推，... 则点的坐标为 ．    【答案】 【思路引导】根据等边三角形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征分别求出B2、B3、B4的坐标，得出规律，进而求出点B5的坐标． 【规范解答】如图，作A2C⊥x轴于点C，设B1C=a，则A2C=a，    OC=OB1+B1C=4+a，A2（4+a， a）． ∵点A2在双曲线（x＞0）上， ∴（4+a）•a=4， 解得a=2-2，或a=-2-2（舍去）， ∴OB2=OB1+2B1C=4+4-4=4， ∴点B2的坐标为（4，0）； 作A3D⊥x轴于点D，设B2D=b，则A3D=b， OD=OB2+B2D=4+b，A3（4+b， b）． ∵点A3在双曲线（x＞0）上， ∴（4+b）•b=4， 解得b=-2+2，或b=-2-2（舍去）， ∴OB3=OB2+2B2D=4-4+4=4， ∴点B3的坐标为（4，0）； 同理可得点B4的坐标为（4，0）即（8，0）； 以此类推…， ∴点Bn的坐标为（4，0）， ∴点B5的坐标为（4，0）． 故答案为（4，0）． 【考点剖析】此题考查反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，正确求出B2、B3、B4的坐标进而得出点Bn的规律是解题的关键． 考点04 已知双曲线分布的象限，求参数范围 13．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知反比例函数． (1)如果这个函数的图象如图所示，求k的取值范围． (2)如果这个函数的图象经过点，试判断点，是否在该函数的图象上． 【答案】(1) (2)点不在该函数的图象上，点在该函数的图象上 【思路引导】本题考查反比例函数的图象与性质、用待定系数法求反比例函数解析式、判断点是否在反比例函数图象上， （1）根据反比函数图象在第一、三象限可得，再求解即可； （2）用待定系数法求得反比例函数的表达式为，再把点、点分别代入表达式进行验证即可． 【规范解答】（1）解：∵这个函数的图象位于第一、三象限， ∴， ∴； （2）解：把代入，得， 解得， ∴反比例函数的表达式为， ，， ∴点不在该函数的图象上，点在该函数的图象上． 14．（24-25九年级上·山东烟台·期末）请根据学习函数的经验，自主尝试探究表达式为的函数图象与性质，下列说法正确的是（   ） A．图象与轴的交点是 B．图象与轴有一个交点 C．随的增大而减小 D．当时， 【答案】D 【思路引导】本题考查了反比例函数的图象与平移，利用反比例函数图象性质逐项判断解题即可． 【规范解答】解：函数的图象是函数向右平移个单位得到， A、 当时，，则图象与轴的交点是，原说法错误； B、令，方程无解，故图象与轴无交点，原说法错误； C、 在每个分支上，随的增大而减小，原说法错误； D、 当时，，说法正确； 故选：D． 15．（2021九年级·全国·专题练习）若数a使关于x的不等式组有且仅有三个整数解，且使关于x的反比例函数y＝经过一，三象限，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1 【答案】B 【思路引导】解关于x的不等式组，根据整数解得个数确定a的取值范围，再根据反比例函数的性质，进一步确定a的取值范围，得出整数a的值，进而计算其和即可． 【规范解答】解：解不等式组得， ＜x≤3， 又∵不等式组仅有三个整数解， ∴0≤＜1， ∴﹣≤a＜3， 又∵反比例函数y＝经过一，三象限， ∴3﹣2a＞0， ∴a＜， ∴﹣≤a＜， 因此整数a为﹣2，﹣1，0，1， 所以所有满足条件的整数a的值之和为﹣2， 故选：B． 【考点剖析】反比例函数的性质、一元一次不等式组的整数解，熟练并正确解不等式组是关键 16．（20-21九年级上·重庆·开学考试）启航同学根据学习函数的经验，对函数 的图象与性质进行了探究．下面是他的探究过程，请补充完成： （1）函数 的自变量x 的取值范围是__________； （2）列表，找出y 与x 的几组对应值，列表如下： x … -2 -1 0 2 3 ．． y … a 1 2 2 1 … 其中， a=_______； （3）在平面直角坐标系xOy 中，描出以上表中各对对 应值为坐标的点，并画出该函数的图象并写出该函数的一条性质：______________________ 【答案】（1）x≠1；（2）；（3）图像见解析，函数图像经过第一、二象限（答案不唯一） 【思路引导】（1）根据分式有意义的条件即可得出结论； （2）把x=-2代入函数解析式，求出y的值即可； （3）在坐标系内描出各点，再顺次连接即可得到图像，再根据函数图象即可得性质． 【规范解答】解：（1）在函数中， ， 解得：x≠1， ∴自变量x 的取值范围是x≠1， 故答案为：x≠1； （2）∵当x=-2时，a==， 故答案为：； （3）函数图像如图所示， 由图可知： 函数图像经过第一、二象限（答案不唯一）． 【考点剖析】本题考查了函数的图象、函数自变量的取值范围，解决本题的关键是根据表格数据作出函数图象． 考点05 判断反比例函数的增减性 17．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系，现有某学生利用一个最大电阻为72欧姆的滑动变阻器及一个电流表测电源电压，结果如图所示，当电阻为12欧姆时，电流为12安培． (1)求电流（安培）关于电阻（欧姆）的函数表达式； (2)若，求电流的变化范围． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了反比例函数及其增减性： （1）根据反比例函数的定义设，将，代入即可求出k； （2）根据反比例函数的增减性即可求解． 【规范解答】（1）解：∵当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系， ∴设， 当时， ； （2）解：中，， ∴在时，随的增大而减小， ∴， 即． 18．（25-26九年级上·山东东营·开学考试）关于反比例函数，下列结论不正确的是（    ） A．图象位于第一、三象限 B．y随x的增大而减小 C．图象经过 D．若点在它的图象上，则点也在它的图象上 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．直接利用反比例函数的性质分别分析得出答案． 【规范解答】解：A、由于，则图象位于第一、三象限，正确，不符合题意； B、由于，图象在一、三象限内，在每个象限内，y随x的增大而减小，错误，符合题意； C、由，可得图象经过，正确，不符合题意； D、的图象关于直线对称，若点在它的图象上，则点也在它的图象上，正确，不符合题意． 故选：B． 19．（24-25九年级上·广东·期末）已知反比例函数的图象经过点． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)这个函数的图象在哪个象限？在每个象限内，y随x的增大怎样变化？ (3)判断点是否在这个函数的图象上，说明理由． 【答案】(1) (2)这个函数的图象在第二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大 (3)点不在这个函数的图象上 【思路引导】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的图象和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出反比例函数解析式； （2）利用反比例函数的图象和性质即可解题； （3）利用反比例函数的图象和性质即可解题． 【规范解答】（1）解：将点代入反比例函数中， 即， 解得， y与x之间的函数表达式为； （2）在反比例函数中，， 这个函数的图象在第二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大； （3）将代入中， 可得， 点不在这个函数的图象上． 20．（23-24九年级上·山东临沂·期末）小明在实验课上做了一个试验．如图，在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘（可左右移动）中放置一个装水的容器，容器的质量为．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘与点的距离，记录容器中加入的水的质量，得到下表： 托盘与点的距离 30 25 20 15 10 容器与水的总质量 10 12 15 20 30 加入的水的质量 5 7 10 15 25 把上表中的与各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的关于的函数图象． (1)请在该平面直角坐标系中作出关于的函数图象； (2)观察函数图象，并结合表中的数据： ①猜测与之间的函数关系，并求关于的函数表达式； ②求关于的函数表达式； ③当时，随的增大而______（填“增大”或“减小”），随的增大而______（填“增大”或“减小”），的图象可以由的图象向______（填“上”或“下”）平移得到． (3)若在容器中加入的水的质量满足，求托盘与点的距离的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)①是的反比例函数，；②；③减小，减小，下； (3) 【思路引导】本题主要考查了反比例函数及画图等．解决问题的关键是熟练掌握反比例函数图象的画法，反比例函数的性质，反比例函数图象的平移． （1）将平面直角坐标系中的点用平滑曲线连接即可； （2）①观察表格数据可知，是x的反比例函数，设， 把代入计算， 得到，即可；②根据与x成反比例函数，设， 即可得解；③根据图象上函数值随自变量的变化情况作答即可； （3）把代入 计算即可． 【规范解答】（1）解：作出关于的函数图象如下： （2）①观察表格可知，是的反比例函数， 设， 把代入得：， ∴， ∴关于的函数表达式是； ②∵， ∴； ∴； ③观察图象可得， 当时，随的增大而减小， 随的增大而减小， 的图象可以由的图象向下平移5个单位长度得到； 故答案为：减小，减小，下； （3）∵，， ∴， ∴， ∴． 考点06 判断反比例函数图象所在象限 21．（24-25九年级上·广西贵港·期中）已知反比例函数的图象经过点． (1)求与之间的函数表达式； (2)这个函数的图象在哪个象限？在每个象限内，随的增大怎样变化？ (3)点、在这个函数的图象上吗？ 【答案】(1) (2)这个函数的图象在第二、四象限；在每个象限内，随的增大而增大 (3)点在这个函数的图象上，点不在这个函数的图象上 【思路引导】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图象和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）用待定系数法即可求反比例函数解析式． （2）利用反比例函数的图象和性质即可解题． （3）利用反比例函数的图象和性质即可解题． 【规范解答】（1）解：将点代入反比例函数中， 即， 解得： ∴与之间的函数表达式为． （2）解：∵在反比例函数中，， ∴这个函数的图象在第二、四象限；在每个象限内，随的增大而增大． （3）解：将点、分别代入中， 可得：，， ∴点在这个函数的图象上，点不在这个函数的图象上． 22．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）关于反比例函数，下列结论中不正确的是（   ） A．图像经过点 B．图像在第一、三象限 C．当时， D．当时，随着的增大而增大 【答案】D 【思路引导】本题考查了反比例函数的图像与性质，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题的关键．根据反比例函数的图像与性质，利用排除法求解． 【规范解答】解：A、当时，， 图像经过点，正确； B、 ， 图像在第一、三象限，正确； C、 ， 图像在第一象限内随的增大而减小， 当时，，正确； D、应为当时，随着的增大而减小，错误． 故选：D． 23．（2022·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象位于（   ） A．第二、三象限 B．第一、三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限 【答案】B 【思路引导】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，先根据反比例函数的图象经过点求出的值，再根据反比例函数的性质进行解答． 【规范解答】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴此函数的图象位于一、三象限， 故选：B． 24．（18-19九年级·河北·阶段练习）关于反比例函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．必经过点 B．两个分支分布在第二、四象限 C．两个分支关于轴成轴对称 D．当时， 【答案】D 【思路引导】根据反比例函数（k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，反比例函数图象上的点，横纵坐标之积=k进行解答． 【规范解答】A、必经过点（1，1），说法错误； B、两个分支分布在第一、三象限，说法错误； C、两个分支关于原点成中心对称，说法错误； D、当时，，说法正确； 故选：D． 【考点剖析】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数的性质． 考点07 已知反比例函数的增减性求参数 25．（24-25九年级上·吉林·期中）已知反比例函数（a为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求a的取值范围； (2)当时，y随x的增大而减小，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）由反比例函数的图象位于第二、四象限，得到，然后求解即可； （2）当时，y随x的增大而减小，得到，，然后求解即可． 【规范解答】（1）解：反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 解得， a的取值范围是； （2）解：反比例函数（a为常数），当时，y随x的增大而减小， ， 解得， a的取值范围是． 26．（24-25八年级下·浙江·期末）已知，是反比例函数图象上的两点． (1)若，，求的值． (2)若，关于原点中心对称，求的值． (3)当，，时，求的取值范围． 【答案】(1)4 (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数的性质，中心对称的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）把，代入，求出，再计算即可； （2）根据中心对称的点的坐标特征求解即可； （3）先确定，，进而确定点在第三象限，点在第一象限，最后根据象限内的点的坐标特征列不等式求解即可． 【规范解答】（1）解：当，时， ，， ； （2）∵，关于原点中心对称，且都在函数图象上 ∴，，， ∴ （3）∵，， ∴， ∵时，图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， ∵，， ∴点和点不在同一象限内， ∴点在第三象限，点在第一象限， ∴，且， 解得：． 27．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）平面直角坐标系中，点，点在反比例函数（是常数）的图象上，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征，正确利用反比例函数的性质解答是解题的关键． 由点和点都在反比例函数的图象上，且，可得，然后求出范围即可． 【规范解答】解：∵点和点都在反比例函数的图象上，且， ∴在每个象限内，随着的增大而增大， ∴反比例函数图象在第二、四象限， ∴，解得：， 故答案为：． 28．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）在函数的学习过程中，我们经历“画函数图象一利用函数图象研究其性质一运用函数图象解决问题”的学习过程． 下面根据学习函数的过程和方法，探究分段函数的相关性质和应用． (1)在如图所示的平面直角坐标系中，画出了分段函数图象的一部分，并补全该分段函数的图象如图所示． x ……    写出该分段函数的一条性质：　 　； (2)直线与该分段函数的图象有2个交点，则k的取值范围是　 　； (3)若该分段函数图象上有两点、，且，则m的取值范围是　 　； (4)当时，函数值y的取值范围为，当a取某个范围内的任意值时，b为定值，直接写出满足条件的a的取值范围及其对应的b值． 【答案】(1)见解析，当时，y随x的增大而增大（答案不唯一） (2) (3)或 (4)， 【思路引导】（1）根据函数图象进行解答便可； （2）观察函数图象，根据函数图象的特征进行解答便可； （3）根据函数图象解答便可； （4）根据函数图象解答便可． 【规范解答】（1）解：（1）根据图象可知，当时，随的增大而增大(答案不唯一)， 故答案为：当时，随的增大而增大（答案不唯一）； （2）由函数图象可知，当时，线与该分段函数的图象有2个交点， 直线与该分段函数的图象有2个交点，则的取值范围是， 故答案为：； （3）是函数图象上的点， ， ， ， 由函数图象知，当时，或， 在函数图象上， 或， 故答案为：或； （4）由函数图象可知，若，，当时，函数值的取值范围为， 当时，函数值的取值范围为，当取某个范围内的任意值时，为定值，则，． 【考点剖析】本题考查了分段函数图象，二次函数的图像与性质，反比例函数的图像与性质，根据函数图象的信息解题是本题的关键． 考点08 比较反比例函数值或自变量的大小 29．（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C．当时， D．当时， 【答案】D 【思路引导】该题考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【规范解答】解：∵反比例函数常量， ∴反比例函数图象分布在第二四象限，在每个象限内y随x的增大而增大， A、若两点在同一分支上，，故 ，原说法错误，不符合题意； B、若，则点在第二象限，第四象限，故，原说法错误，不符合题意； C、当时，两点都在第四象限， ，原说法错误，不符合题意； D、当时，两点都在第二象限， ，原说法正确，符合题意； 故选：D ． 30．（21-22九年级上·陕西榆林·期末）如图，点A在某反比例函数的图象上，轴于点C，，． (1)求该反比例函数的表达式； (2)已知，若，，两点都在该反比例函数的图象上，试比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式、比较反比例函数值的大小，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． （1） 首先得到点A的坐标为，然后代入即可求解； （2）根据反比例函数的增减性求解即可． 【规范解答】（1）解：设该反比例函数的表达式为， ∵，，轴于点C， ∴点A的坐标为， 把点代入，得， ∴， 则反比例函数的表达式为； （2）解：由图象可得：函数y在第一象限内随x的增大而减小， ∵， ∴， ∴． 31．（24-25九年级上·山东济南·期中）已知反比例函数，点和是反比例函数图象上的两点．若对于，，都有，则的取值范围是（　　） A．或 B．且， C．或 D．且， 【答案】D 【思路引导】本题考查了反比例函数的图象和性质．由题意得，反比例函数的图象在二、四象限或一、三象限，分两种情况讨论，即可求得的取值范围． 【规范解答】解：对于，未知，需分类讨论， 当时，反比例函数的图象在一、三象限，此时， ∴， ∵， ∴点和都在第一象限的图象上，且和都大于0， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 解得，即； 当时，反比例函数的图象在二、四象限，此时， 由图象可知，时，， ∴点在第四象限的图象上， 对于分类讨论， 当时，，此时点在第四象限的图象上，随的增大而增大， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，即； 当时，，此时点在第二象限的图象上， 则，， ∴，， ∵，， 取点关于原点的中心对称点，则点， ∵， ∴，此时点和点都在第二象限的图象上，随的增大而增大， ∵， ∴， ∴， 解得，即； 当时， ∴，此时点不在反比例函数的图象上，舍去， 综上，且，， 故选：D． 32．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）【定义】在平面直角坐标系中，对“经纬值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“经纬值”．函数图象上所有点的“经纬值”中的最大值称为函数的“最优经纬值”． 【举例】已知点在函数图象上．点的“经纬值”为；函数图象上所有点的“经纬值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优经纬值”为7． 【问题】根据定义，解答下列问题： (1)①点的“经纬值”为 ； ②求出函数（k为常数且，）的“最优经纬值”； (2)若二次函数的顶点在直线上，且最优经纬值为8，求c的值； (3)若二次函数，当时，二次函数的最优经纬值为3，直接写出b的值． 【答案】(1)①9；②当时，“最优经纬值”为；当时，“最优经纬值”为； (2) (3)b的值为5或． 【思路引导】本题以新定义题型为背景，考查了二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解最优经纬值的定义是解题的关键． （1）①根据定义直接求解即可；②根据定义先求出，分和两种情况讨论，即可求解； （2）先确定函数的解析式为，再由的最优经纬值为8，得到，即可求解； （3）先求，再分类讨论若，若，两种情况即可求解； 【规范解答】（1）解：①由题意得：点的“经纬值”为， 故答案为：9； ②， ∵， 当时，的“最优经纬值”为； 当时，的“最优经纬值”为； （2）解：由题意得：抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵最优经纬值为8， ∴， ∴； （3）解：， 当时，二次函数的最优经纬值为3， 若，则当时，； 即：， 解得：或（舍去）； 若，则当时，； 即：， 解得（舍）或； 综上所述：b的值为5或． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $