专题05 一元二次方程的应用（高效培优期中专项训练）数学湘教版九年级上册

专题05 一元二次方程的应用 考点01 传播问题（一元二次方程的应用） 1 考点02 增长率问题（一元二次方程的应用） 3 考点03 与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 5 考点04 数字问题（一元二次方程的应用） 11 考点05 营销问题（一元二次方程的应用） 14 考点06 动态几何问题（一元二次方程的应用） 18 考点07 工程问题（一元二次方程的应用） 24 考点08 行程问题（一元二次方程的应用） 27 考点09 图表信息题（一元二次方程的应用） 30 考点10 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 33 考点11 其他问题（一元二次方程的应用） 34 考点01 传播问题（一元二次方程的应用） 1．（21-22九年级上·山东济南·期末）现在是流感多发季，假设有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，请问各位同学，每轮传染中平均一个人传染 （    ）人 A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【思路引导】本题考查一元二次方程的实际应用． 设每轮传染中平均一个人传染人，经过一轮传染有人患病，经过两轮传染有人患病，根据题意列方程求解即可． 【规范解答】解：设每轮传染中平均一个人传染人， 根据题意可得， 整理得， ∴， ∴或（不合题意，舍去） ∴每轮传染中平均一个人传染 人． 故选：B． 2．（25-26九年级上·广东揭阳·阶段练习）新冠病毒持续影响全国人民的生活，有研究表明，新冠病毒变异株仍具有较强的传染性，当一个人感染了该病毒后，在没有防控的情况下，若经过两轮传染后共有25人感染，那么，每轮传染中平均一个人传染了多少人？ 【答案】每轮传染中平均一个人传染了4人 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每轮传染中平均一个人传染了x人，则第一轮传染中感染了x人，第二轮传染中感染了人，根据1人感染了后经过两轮传染共有25人感染，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【规范解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x人， 则第一轮传染中感染了x人，第二轮传染中感染了人， 依题意得：，即 解得，（不合题意，舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染了4人． 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）化学课代表在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了．问一个人每节课手把手教会了 名同学？ 【答案】6 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，设一个人每节课手把手教会了x名同学，根据第二节课后全班49人恰好都会做这个实验了，可列出关于x的一元二次方程． 【规范解答】解：根据题意得：，即， 解得：或（舍去） 即一个人每节课手把手教会了6名同学， 故答案为：6． 4．（24-25九年级上·吉林白城·期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感． （1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 【答案】（1）5；（2）180 【思路引导】（1）设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，列方程求解即可； （2）根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即可． 【规范解答】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意得： x+1+（x+1）x＝36， 解得：x＝5或x＝﹣7（舍去）． 答：每轮传染中平均一个人传染了5个人； （2）根据题意得：5×36＝180（个）， 答：第三轮将又有180人被传染． 【考点剖析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能根据题意找到等量关系并列方程. 考点02 增长率问题（一元二次方程的应用） 5．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）沛县某村民合作社2022年种植生姜100亩，2024年该合作社扩大了生姜的种植面积，共种植144亩． (1)求该合作社这两年种植生姜亩数的平均增长率． (2)假定该合作社种植生姜亩数的平均增长率保持不变，预计2025年底，该合作社种植生姜的亩数可否突破175亩？ 【答案】(1) (2)没有突破175亩 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设该合作社这两年种植生姜亩数的平均增长率为，根据增长率计算公式建立方程求解； （2）由2024年种植生姜数量（增长率）求解2025年种植生姜数量，再与175比较即可． 【规范解答】（1）解：设该合作社这两年种植生姜亩数的平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（舍）， 答：该合作社这两年种植生姜亩数的平均增长率为； （2）解：， 答：合作社种植生姜的亩数没有突破175亩． 6．（25-26九年级上·河南信阳·阶段练习）某小区要修建一个矩形景观湖（图中阴影部分），景观湖的长和宽分别为和，同时要在它四周外围修建宽度相等的绿化带，已知景观湖和绿化带的总面积为． (1)求绿化带的宽度； (2)施工方最初报价为300万元，物业经过两次商洽，最终以243万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确地列出一元二次方程，是解题的关键： （1）设绿化带的宽度为，根据景观湖和绿化带的总面积为，列出方程进行求解即可； （2）设每次降价的百分率为，根据经过两次商洽，最终以243万元达成一致，列出方程进行求解即可． 【规范解答】（1）解：设绿化带的宽度为，根据题意得： ，整理得：， 解得：（舍去）， 答：绿化带的宽度为； （2）设每次降价的百分率为， 根据题意得：， 解得：（不合题意，舍去）， 又， 答：每次降价的百分率为． 7．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段练习）某村在“农产品网店”上销售该村优质农产品，该网店于今年六月底以每袋25元的价格收购了一批农产品，已知七月份销售该农产品256袋，八月，九月该农产品的销售量持续走高，在售价不变的基础上，九月份的销售量达到400袋． (1)求这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率； (2)该网店决定十月降价促销，经市场调查发现，当这批农产品的售价为每袋40元时，平均每月的销售量为400袋，若该农产品每袋每降价1元，平均每月的销售量可增加5袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在十月份可获利4250元？ 【答案】(1)这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率为 (2)当农产品每袋降价元时，这种农产品在十月份可获利4250元 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意正确得出等量关系并列出方程是解题关键． （1）设这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率为，利用七月销量九月的销量建立方程，进而求出答案即可； （2）首先设当农产品每袋降价m元时，这种农产品在十月份可获利4250元，再利用每袋的利润销量总利润列出方程，最后求解即可． 【规范解答】（1）解：设这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率为， 根据题意可得：， 解得，（不合题意，舍去）， 答：这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率为； （2）解：设当农产品每袋降价元时，这种农产品在十月份可获利4250元， 根据题意得：， 解得或（不合题意，舍去）， 答：当农产品每袋降价元时，这种农产品在十月份可获利4250元． 8．（23-24九年级上·重庆渝中·自主招生）某科技公司生产销售一种电子产品，该产品总成本包括技术成本、制造成本、销售成本三部分，经核算，2018年该产品各部分成本所占比例约为（a为整数）．且2018年该产品的技术成本为400万元． (1)若2018年产品总成本超过1800万元，但不超过2000万元，确定a的值； (2)在（1）的条件下，为降低总成本，该公司2019年及2020年增加了技术成本投入，确保这两年技术成本都比前一年增加一个相同的百分数，制造成本在这两年里都比前一年减少；同时为了扩大销售量，2020年的销售成本将在2018年的基础上提高，经过以上变革，预计2020年该产品总成本仅为2018年该产品总成本的，求m的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了比例的应用，一元一次不等式组的应用，以及一元二次方程的应用，读懂题意是解题的关键． （1）根据比例的应用列出关于一元一次不等式组，即可得出a的取值范围，再根据a为整数即可得出答案． （2）由（1）可得2018年的总成本，根据2020年该产品总成本仅为2018年该产品总成本的，列出关于m的一元二次方程求解即可得出答案． 【规范解答】（1）由题意得： 解得： ∵a为整数， ∴； （2）由（1）可得：2018年产品总成本为：(万元)， 则2018年的制造成本为（万元），销售成本为（万元）， 由题意得： 令，则 ∴， 整理得： 解得：，， ∴，（舍去） 则． 考点03 与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 9．（25-26九年级上·广东汕头·阶段练习）如图是一块矩形菜地，，，面积为．现将边增加． (1)如图1，若，边减少，得到的矩形面积不变，求b的值． (2)如图2，若边增加，有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为，求S的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查整式的混合运算，涉及矩形面积，一元二次方程的判别式等，解题的关键是由有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为列出关于S的方程． （1）根据边减少，得到的矩形面积不变，得，可解得答案； （2）根据题意得，，变形得，可解得答案． 【规范解答】（1）解：根据题意得，原长方形的面积为， 变化后矩形的面积为， ∵，边减少，得到的矩形面积不变， ∴， 解得：． 答：b的值为6． （2）解：根据题意得，原长方形的面积为， 变化后矩形的面积为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵有且只有一个a的值， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴S的值为． 10．（25-26九年级上·江西赣州·阶段练习）问题背景：在长方形几何图形设计里，满足长和宽比例相同的两个长方形图形设计问题，称为“和谐设计问题”，对应的长和宽的比称为“和谐比”．某数学小组围绕长方形封面边衬设计，开展“和谐设计问题”的探究． 信息一：2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，大家一同铭记历史、缅怀先烈、珍视和平、开创未来．如图，玲玲制作纪念册，封面设计成长、宽的长方形，整个封面由中央图画以及四周边衬组成，封面整体和封面中央的图画是符合“和谐设计”的两个长方形． 信息二：要使四周边衬所占面积是整个封面面积的四分之一，其中上、下边衬等宽，左、右边衬等宽． 探究1 （1）根据材料可知，纪念册封面中央图画的面积是___________． 探究2 （2）根据“和谐比”，设中央图画的长、宽分别为，，求封面四周边衬的宽度． 探究3 （3）请你用与（2）不同的方法求四周边衬的宽度．（提示：可利用上、下边衬与左、右边衬的宽度比） 【答案】（1）；（2）上、下边衬的宽度，左、右边衬的宽度；（3）见解析 【思路引导】本题考查一元二次方程的实际应用，理解“和谐设计”的定义是解题的关键． （1）四周边衬所占面积是整个封面面积的四分之一，则纪念册封面中央图画的面积占整个封面面积的，由此可解； （2）结合（1）中结论可得，求出x的值，进而可得结论； （3）设上、下边衬的宽度，左、右边衬的宽度，则，根据“和谐设计”可得，推出，代入，解关于z的一元二次方程即可． 【规范解答】解：（1）纪念册封面中央图画的面积是：， 故答案为：； （2）由题意知，即， 解得， 长度不能为负， ， 中央图画的长为，宽为， 上、下边衬的宽度， 左、右边衬的宽度． 答：上、下边衬的宽度，左、右边衬的宽度． （3）设上、下边衬的宽度，左、右边衬的宽度， 则：， 由题意得， ， ， 整理得， 解得 ， ， ， ， 即上、下边衬的宽度，左、右边衬的宽度． 11．（25-26九年级上·河南省直辖县级单位·阶段练习）你知道可以用几何图形求部分一元二次方程的正解吗？以为例，大致过程如下： 第一步：将原方程变形为，即． 第二步：构造一个长为，宽为的长方形，长比宽大3，且面积为4，如图1所示． 第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图2所示．小正方形的边长为________． 第四步：计算大正方形面积，用含的代数式表示为__________． 第五步：用大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，列方程得，因为为边长，所以，可求得方程的正解为_____________． (1)将横线上的内容补充完整； (2)请利用上述的思考过程，求方程的正解． 【答案】(1)3，，； (2)． 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的几何解法，涉及长方形和正方形的面积计算，熟练掌握通过几何图形面积关系列方程求解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先根据长方形长和宽的关系确定小正方形边长；再由大正方形边长与长方形长、宽的关系得出大正方形面积的代数式；最后通过面积关系列方程求解方程正解． （2）按照类似（1）的步骤，先对方程变形，构造长方形，再通过围成大正方形，利用面积关系列方程求解即可． 【规范解答】（1）解：∵ 长方形长为，宽为，长比宽大， ∴ 小正方形的边长为． ∵ 大正方形的边长为长方形的长与宽之和，即， ∴ 大正方形面积用含的代数式表示为． ∴方程得，即． ∵ 为边长，， ∴ ， ， 解得， 故答案为：3，，； （2）解：原方程变形为，即． 构造长为，宽为的长方形，长比宽大，面积为． 用四个这样的长方形围成大正方形，中间小正方形边长为． 大正方形边长为，大正方形面积为． ∵ 大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，四个长方形面积为，小正方形面积为， ∴ ，即． ∵ 为边长，， ∴ ， ， ∴ ． 12．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）【项目介绍】学校有一块矩形空地，打算用空地面积的一半来建造一个花坛，其余部分进行绿化，为了使设计更加美观合理，学校决定在同学们中征集设计方案． 【任务一】测量矩形空地的长和宽． 经测量，矩形的长为8米，宽为6米． 【任务二】拟定设计方案，按照的比例尺画出设计图纸． （1）第一小组方案： 步骤一：图纸上画出矩形的宽为6厘米，在边上确定中点H，则的长应为 ； 步骤二：在图纸上分别找到其他边的中点，顺次连接各边中点得到的四边形区域进行绿化，其余部分作为花坛，如图1．该小组计算后发现此时花坛的面积刚好是矩形空地面积的一半； （2）第二小组方案： 按照如图所示的方式在中间设计两条等宽的小路进行绿化，四周的四个小矩形建造花坛，如图2．请你帮忙计算，小路的宽为多少厘米时符合设计要求？ （3）第三小组计划设计的花坛部分整体为轴对称图形，请你帮助他们完成如下任务：在图3中画出与前两个小组不一样的设计方案，将花坛部分涂上阴影并在图纸上标明必要线段的长度． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【思路引导】（1）根据比例尺求出的长，结合中点求出的长即可； （2）设小路的宽为时符合设计要求，根据题意，列出一元二次方程进行求解即可； （3）连接，交于点O，阴影两部分三角形区域作为花坛即可． 本题考查矩形的性质，比例尺，一元二次方程的实际应用，轴对称图形设计，熟练掌握矩形的性质，轴对称图形的设计，解方程是解题的关键． 【规范解答】（1）解：由题意得：图纸上画出矩形的宽为6厘米，矩形的长为8米，宽为6米． 故， ∵H为边的中点， ∴的长应为， 故答案为：． （2）解：设小路的宽为时符合设计要求，根据题意，得 ， 整理，得， 解得，（舍去）， 答：当小路的宽为时符合设计要求； （3）解：连接，交于点O， 则阴影两部分三角形区域作为花坛即可． 理由如下：根据矩形的性质，勾股定理，得， 故， 故， 故，且阴影部分是轴对称图形，故设计符合题意． 考点04 数字问题（一元二次方程的应用） 13．（20-21九年级上·辽宁鞍山·期中）一个两位数，十位数字与个位数字之和为9，且这两个数字之积等于它们两个数字和的2倍，这个两位数是（　　） A．36 B．63 C．36或63 D．或 【答案】C 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，设十位数字为x，则个位数字为，根据这两个数字之积等于它们两个数字和的2倍，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合这个两位数是，即可得出这个两位数是36或63． 【规范解答】解：设十位数字为x，则个位数字为， 依题意得：， 整理得：， 解得． 当时，，此时这个两位数是； 当时，，此时这个两位数是． 故选：C． 14．（25-26九年级上·全国·周测）一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是（   ） A．不存在 B．25 C．36 D．25或36 【答案】D 【思路引导】本题考查一元二次方程的应用，正确理解关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 设十位数字为a，则个位数字，根据个位数字的平方等于该数，建立方程并求解，验证符合条件的解． 【规范解答】解：设十位数字为a，则个位数字．两位数的值为，根据题意，得： 解得：，． 当时，个位数字为，两位数为25， 当时，个位数字为，两位数为36． 综上，这个两位数是25或36， 故选：D． 15．（24-25九年级上·重庆潼南·期末）对于若干个数，我们先将任意两个数作差（相同的两个数只作一次差），再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数作“差绝对值运算”．例如：对于1，2，3作“差绝对值运算”，得到．下列说法： ①对，，2，5，6作“差绝对值运算”的结果是50； ②对，，1，3作“差绝对值运算”的结果的最小值为； ③对，，作“差绝对值运算”的结果为28，则的值为或．其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【思路引导】本题考查了定义新运算、绝对值的性质、一元二次方程的应用，理解“差绝对值运算”的定义是解题的关键．根据“差绝对值运算”的定义及绝对值的性质，对题目中的说法逐项计算即可判断求解． 【规范解答】解： ，故说法①错误； ， 当时，的值最小，最小值为， 对，，1，3作“差绝对值运算”的结果的最小值为，故说法②正确； ， ，， ， 由题意得，， 当，即时， ， 整理得：， 解得：，（舍去）； 当，即时， ， 整理得：， 解得：，（舍去）； 对，，作“差绝对值运算”的结果为28，则的值为或，故③错误； 综上所述，其中正确的是②，个数是1． 故选：C． 16．（20-21九年级上·四川·阶段练习）对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”． 例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”． （1）请通过计算判断241是不是“喜鹊数”，并直接写出最小的“喜鹊数”； （2）已知一个“喜鹊数”k＝100a＋10b＋c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为自然数），若x＝m是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，x＝n是一元二次方程cx2＋bx＋a＝0的一个根，且m＋n＝﹣2，求满足条件的所有k的值． 【答案】（1）241不是喜鹊数；最小的“喜鹊数”是121；（2）满足条件的所有k的值为121，242，363，484． 【思路引导】（1）由题意代入验证即可解答； （2）求出m与n互为倒数，又m＋n＝−2，得出m＝−1，n＝−1，求出b＝a＋c，a＝c，结合喜鹊数的定义即可得出答案． 【规范解答】解：（1）∵42＝16，4×2×1＝8，16≠8 ∴241不是喜鹊数； ∵各个数位上的数字都不为零，百位上的数字与个位上的数字之积的4倍， ∴十位上的数字的平方最小为4， ∵22＝4，4×1×1＝4， ∴最小的“喜鹊数”是121； （2）∵k＝100a＋10b＋c是喜鹊数， ∴b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0， ∵x＝m是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，x＝n是一元二次方程cx2＋bx＋a＝0的一个根， ∴am2＋bm＋c＝0，cn2＋bn＋a＝0， 将cn2＋bn＋a＝0两边同除以n2得：a（）2＋b（）＋c＝0， ∴将m、看成是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根， ∵b2﹣4ac＝0， ∴方程ax2＋bx＋c有两个相等的实数根， ∴m＝，即mn＝1， ∵m＋n＝﹣2， ∴m＝﹣1，n＝﹣1， ∴a﹣b＋c＝0， ∴b＝a＋c， ∵b2＝4ac， ∴（a＋c）2＝4ac， 解得：a＝c， ∴满足条件的所有k的值为121，242，363，484． 【考点剖析】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是弄清喜鹊数的定义． 考点05 营销问题（一元二次方程的应用） 17．（25-26九年级上·山西晋城·阶段练习）综合与实践 随着国家对地摊经济的支持，各地的夜市逐渐火爆．太原某小型夜市为改善环境，融入地方特色，对夜市摊位摆放位置进行升级改造，改造后的布局如图所示．已知在矩形中，，，阴影部分为夜市摆摊位，其余部分是等宽的人行过道，摊位的总面积为 ． (1)人行过道的宽是多少米？ (2)该夜市有个摊位对外出租，每个摊位的月租金为元时，摊位刚好全部租完．夜市升级改造后对每个摊位的月租金进行适当调整，每个摊位的月租金每上涨元，就会少租出个摊位． ①设每个摊位的月租金上涨元，则该夜市可以租出多少个摊位？用含的代数式表示 ②在尽可能让利于摊主的条件下，当每个摊位的月租金为多少元时，该夜市的月租金总收入为元？ 【答案】(1)人行过道的宽是5米 (2)①；② 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，设出未知数，列出方程是解题关键． （1）设人行过道的宽是，则阴影部分可合成长为米，宽为米的长方形，根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解； （2）①根据每个摊位的月租金每上涨元，就会少租出个摊位，得出该夜市可以租出个摊位 ②设月租金记为元，则总月租金为，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【规范解答】（1）解：设人行过道的宽是，则阴影部分可合成长为米，宽为米的长方形， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 又∵， ∴， ∴． 答：人行过道的宽是5米； （2）①每个摊位的月租金每上涨元，就会少租出个摊位 设每个摊位的月租金上涨元， ∴该夜市可以租出个摊位 ② 设月租金记为元，则总月租金为， 由题意可得方程 解得或； 因为尽可能让利于摊主，应取较小的，此时每个摊位的月租金为(元) ． 18．（25-26九年级上·湖南湘西·阶段练习）项目化学习 项目主题：大同黄花的最优销售单价项目背景：黄花，学名萱草，俗称金针菜．山西大同黄花因其营养价值极高，在全国独树一帜，可称“国内一绝”．某校学习小组以探究“大同黄花的最优销售单价”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究大同黄花销售总利润与销售单价的关系． 研究步骤：（1）学习小组到某农副特产专卖店了解到大同特级黄花干货的成本为80元/千克； （2）该店在试营业期间，不断调整销售单价，并对黄花的销售量进行统计（不考虑其他因素）： （3）数据分析，得出结论． 收集数据： 黄花销售单价x（元/千克） … 92 96 100 104 108 … 每月销售数量y（千克） … 880 840 800 760 720 … 问题解决：请根据此项目实施的相关信息完成下列任务： (1)根据表中信息可知：销售单价x与销售数量y成一次函数关系，请你求出这个函数关系． (2)现计划在月销售成本不超过40000元的情况下，使得月销售利润达到24000元，销售单价应定为多少？ 【答案】(1) (2)销售单价应定为140元/千克 【思路引导】本题考查一次函数与一元二次方程的实际应用，涉及的知识点有一次函数的解析式求解（待定系数法）、一元二次方程的求解以及不等式的应用．运用了函数与方程思想（用一次函数表示销售量与单价的关系，用方程表示利润关系，用不等式限制成本）、待定系数法．解题关键是准确建立函数、方程和不等式模型，易错点是在解一元二次方程后，忽略成本限制的不等式对解的取舍． （1）因为销售单价x与销售数量y成一次函数关系，所以设，选取表格中两组数据代入，通过解方程组求出k和b的值，从而得到函数关系式． （2）先根据月销售成本不超过40000元，结合成本和销售量的关系列出不等式，求出销售单价的范围；再根据利润公式（利润 = （单价 - 成本）× 销售量）列出一元二次方程，求解后结合前面求出的单价范围，确定符合条件的销售单价． 【规范解答】（1）解：设销售单价x与销售数量y的函数关系式为（k，b为常数，）． 当时，；当时，，代入函数关系式可得： ， 解得． 所以，y与x的函数关系式为． （2）设销售单价应定为x元/千克． 由题意得：，把代入得： 解得 再根据利润公式，，把代入得： 解得或． 又因为，所以． 所以月销售成本不超过40000元的情况下，使得月销售利润达到24000元，此时销售单价应定为140元/千克． 19．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段练习）暑假期间某景区商店推出销售纪念品活动，已知纪念品每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该纪念品的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．（销售利润=销售总额-进货成本） (1)若该纪念品的销售单价涨价为5元时，则当天销售量为______件． (2)当该纪念品的销售单价涨价为多少元时，该产品的当天销售利润是2610元． 【答案】(1)230 (2)当该纪念品的销售单价涨价为19元时，该纪念品的当天销售利润是2610元 【思路引导】（1）因为“当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件”，所以销售单价涨价为5元，当天销售数量将减少5个10件，结合已知的销售单价和销售量即可求解； （2）设该纪念品的销售单价涨价为元，用分别表示销售单价、每件的利润和每天的销售数量，根据“当天销售利润是2610元”列方程求解即可； 本题考查了一元二次方程的应用，设该纪念品的销售单价涨价为元，利用销售利润是2610元列方程并解一元二次方程是解题的关键． 【规范解答】（1）解：（件）， 故答案为：230． （2）设该纪念品的销售单价涨价为元，此时纪念品的销售单价为元，每件的利润为元，每天的销售数量为件， 由题意得， 整理得， 因式分解得， 解得，（舍去）． 则当该纪念品的销售单价涨价为19元时，该纪念品的当天销售利润是2610元． 20．（24-25九年级上·吉林长春·期末）“三折叠，怎么折，都有面．”华为“三折叠”一经上市，便火遍全国，形成一股“折叠风”．9月10日，华为新出的型号为“Mate XT非凡大师”的手机在深圳湾召开发布会，某华为手机专卖网店抓住商机，购进10000台“Mate XT 非凡大师”手机进行销售，每台的成本是20000元，在线同时向国内、国外发售．第一个星期，国内销售每台售价是25000元，共获利1000万元，国外销售也售出相同数量该款手机，但每台成本增加4000元，获得的利润却是国内的6倍． (1)求该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是多少元？ (2)受中美贸易战影响，第二个星期，国内销售每台该款手机售价在第一个星期的基础上降低，销量上涨；国外销售每台售价在第一个星期的基础上上涨，并且在第二个星期将剩下的手机全部卖完，结果第二个星期国外的销售总额比国内的销售总额多6993万元，求的值． 【答案】(1)该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是54000元 (2) 【思路引导】本题主要考查了销售的应用问题，涉及到一元二次方程、一元一次方程应用等知识，弄清题意，找出数量关系是解决问题的关键． （1）根据(国外的售价成本)销售的数量国内的6倍，列方程解出即可； （2）根据第二个星期国外的销售总额国内的销售总额元，利用换元法解方程可解答． 【规范解答】（1）解：设该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是x元， 根据题意得：， 解得：， 答：该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是54000元； （2）解：第一个星期国内销售手机的数量为：(台)，则国外销售手机的数量为：台， 根据题意：第二个星期国内销售手机的数量为：(台)，国外销售手机的数量为：台， 由题意得：， 设，则原方程化为：， 即， 解得：（负值舍去）， 则，故， 答：的值为． 考点06 动态几何问题（一元二次方程的应用） 21．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图，在矩形中，，．点从点出发，沿运动，速度为2个单位长度/秒；点从点出发，向点运动，速度为1个单位长度/秒．、两点同时出发，点运动到点时，两点同时停止运动，设点的运动时间为秒．连接，，． (1)当点到达点时，________；当点到终点时，的长为________． (2)当在上时，如果的面积为9，求的值． (3)当运动到上时，的长能否等于5？如果能请求出t的值，如果不能，请说明理由． 【答案】(1)6，4 (2) (3)的长不能等于5，理由见解析 【思路引导】本题考查了矩形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握矩形的性质是解题关键． （1）先根据矩形的性质可得，再根据路程、速度与时间的关系求解即可得； （2）先求出当点在上时，，，，则可得，，再根据建立方程，解方程即可得； （3）假设，先求出当运动到上时，，，，再在中，利用勾股定理建立方程，解方程即可得． 【规范解答】（1）解：∵在矩形中，，， ∴， ∴当点到点时，（秒）； 当点到终点时，（秒）， ∴此时点运动的路程为， 又∵， ∴此时点运动到点， ∴此时的长等于， 故答案为：6，4． （2）解：点从点运动到达点所需时间为秒， ∴当点在上时，，，， ∴，， ∵，且的面积为9， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， 所以的值为1． （3）解：的长不能等于5，理由如下： 假设， 由题意可知，点从点运动到点所需时间为秒，运动到点所需时间为秒， ∴当运动到上时，，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴在中，，即， 整理得：， 解得或（均不符合题意，舍去）， 所以的长度不能等于5． 22．（25-26九年级上·贵州毕节·阶段练习）已知，如图，在中，，，，点从点A开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动． (1)如果点，分别从点A，同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)如果点，分别从点A，同时出发，那么几秒后，的长度等于？ 【答案】(1)点，分别从点A，同时出发，1秒或4秒后，的面积等于 (2)点，分别从点A，同时出发，2秒后，的长度等于 【思路引导】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解决本题的关键． （1）设x秒后，的面积等于，根据面积公式，列出方程进行求解即可； （2）设y秒后，的长度等于，利用勾股定理，列出方程进行求解即可． 【规范解答】（1）解：设x秒后，的面积等于， 由题意得，， ∴， 解得或； 答：点，分别从点A，同时出发，1秒或4秒后，的面积等于． （2）解：设y秒后，的长度等于， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴ 解得或（舍去）， ∴点，分别从点A，同时出发，2秒后，的长度等于． 23．（25-26九年级上·黑龙江大庆·开学考试）函数与的图象交于点和两点． (1)求和的值； (2)不等式的解集为__________； (3)将直线沿轴向左平移得直线，交轴于点，交双曲线于点．若点、点关于原点对称，点是平面内一点，是否存在点、，使得以点、、、为顶点的四边形为矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【思路引导】（1）根据点和两点都在函数图象上，建立方程求解即可得到的值，进而可求出的值； （2）由（1）知，，根据图象即可解答； （3）根据关于原点对称的性质可得，分当以为边，四边形为矩形，当以为对角线，四边形为矩形时，两种情况讨论． 【规范解答】（1）解：∵点和两点都在函数图象上， ∴， 解得， ∴，， 代入到，得， 解得； （2）解：由（1）知，， 由函数图象得，当或时，， ∴不等式的解集为或， 故答案为：或； （3）解：∵点、点关于原点对称，， ∴， 设， 如图，当以为边，四边形为矩形时， 则， ∴， ∴， ∴，即， 解得或（与点A重合，舍去）， ∴； 如图，当以为对角线，四边形为矩形时， 则， ∴， ∴， ∴ ∴或， 解得或（与点A重合，舍去）， ∵， ∴， ∴； 综上，符合条件的点的坐标为或． 【考点剖析】本题属于反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的性质，矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的应用，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 24．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在四边形中，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒. (1)当 时，平分四边形的面积. (2)当与四边形的某一边平行时，求的值. (3)连接，是否存在为等腰三角形？若存在请求出值，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)或. (3)存在为等腰三角形，值为或或. 【思路引导】（1）根据题意可得，，解方程即可求出答案； （2）分和两种情况，根据平行四边形的判定和性质进行列方程解答即可； （3）连接，作于点E，，，分三种情况分别列方程，解方程进行解答即可. 【规范解答】（1）解：由题意可得，， ∵ ∴四边形是直角梯形， 由题意可得，， 解得， 故答案为： （2）当时， ∵ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 则， 解得， 当时， ∵ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 则， 解得， 综上可知，当与四边形的某一边平行时，求的值为或. （3）如图，连接，作于点E，则 ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，， 当时，，解得（不合题意的值的解已舍去） 当时， ，解得（不合题意的值的解已舍去） 当时，，解得（不合题意的值的解已舍去） 综上可知，值为或或. 【考点剖析】此题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理、解一元二次方程等知识，分情况讨论是解题的关键. 考点07 工程问题（一元二次方程的应用） 25．（24-25九年级上·四川绵阳·期中）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)增加4条或条生产线 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加x条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【规范解答】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设增加x条生产线． ， 解得，， 答：增加4条或条生产线． 26．（22-23八年级下·重庆北碚·期中）甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 【答案】(1)甲工程队每小时铺设的路面长度为110米 (2)m的值为18 【思路引导】（1）设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“甲工程队铺设的路面长度+乙两工程队铺设的路面长度=5800”列出方程，求解即可． 【规范解答】（1）解：设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米， 根据题意得，， 解得：， 则， ∴甲工程队每小时铺设的路面长度为110米； （2）解：根据题意得， ， 整理得，， 解得：（舍去）， ∴m的值为18． 【考点剖析】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 27．（22-23九年级上·四川成都·期中）由于疫情反弹，某地区开展了连续全员核酸检测，9月7日，医院派出13名医护人员到一个大型小区设置了、两个采样点进行核酸采样，当天共采样9220份，已知点平均每人采样720份，点平均每人采样700份． (1)求、两点各有多少名医护人员？ (2)9月8日，医院继续派出这13名医护人员前往这个小区进行核酸采样，这天，社区组织者将附近数个商户也纳入这个小区采样范围，同时重新规划，决定从点抽调部分医护人员到点经调查发现，点每减少1名医护人员，人均采样量增加10份，点人均采样量不变，最后当天共采样9360份，求从点抽调了多少名医护人员到点？ 【答案】(1)A检测队有6人，B检测队有7人 (2)从B检测队中抽调了2人到A检测队 【思路引导】（1）设A点有x名医护人员，B点有y名医护人员，根据“A、B两个采样点共13名医护人员，且当天共采样9220份”，即可得出关于x，y的且当天共采样9220份，即可得出关于x， y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设从B点抽调了m名医护人员到A点，则B点平均每人采样份,根据重新规划后当天共采样9360份，即可得出关于m的一元_二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：设A检测队有人，B检测队有人， 依题意得：，分解得： 答：A检测队有6人，B检测队有7人； （2）解：设从B检测队中抽调了人到A检测队，则B检测队人均采样人， 依题意得：， 解得：，解得：，， 由于从B对抽调部分人到A检测队，则故， 答：从B检测队中抽调了2人到A检测队． 【考点剖析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 28．（23-24九年级上·重庆开州·期末）城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲最多施工900米 (2)的值为2 【思路引导】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，审清题意、弄清量之间的关系、正确列出不等式和方程是解题的关键． （1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工米，根据不等关系“工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的”列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可解答； （2）根据“最终每天实际总成本比计划多万元”即可得出关于的一元二次方程求解即可． 【规范解答】（1）解：设甲施工米， 由题意可得：， 解得：． 答：甲最多施工900米． （2）解：由题意可得：， 整理得， 解得． 答：的值为2． 考点08 行程问题（一元二次方程的应用） 29．（24-25九年级上·湖南湘西·期中）数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了 秒． 【答案】 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，利用甲乙的路程之和等于，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【规范解答】解：根据题意得：， 整理得： ， 解得： (不符合题意，舍去)， 故答案为：． 30．（2024·广东广州·模拟预测）今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 【答案】(1)甲开车的平均速度是40千米/小时，步行的平均速度是4千米/小时 (2)的值为 【思路引导】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用． （1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，利用时间路程速度，结合甲到达目的地共花了1小时，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出甲步行的平均速度，再将其代入中，即可求出甲开车的平均速度； （2）利用路程速度时间，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【规范解答】（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （千米小时）． 答：甲开车的平均速度是40千米小时，甲步行的平均速度是4千米小时； （2）根据题意得：， 即， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：的值为． 31．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远（    ） A．步 B．步 C．步 D．步 【答案】C 【思路引导】题目主要考查一元二次方程的应用，勾股定理的运用，根据题意作出如下图所示，设经秒二人在处相遇，可得：，，，然后利用勾股定理列出方程求解，然后即可得出甲走的步数． 【规范解答】设经x秒二人在B处相遇，这时乙共行走：， 甲共行走：， ， ， 又 ， ， ， 解得：（舍去）或， ， ， 即甲走了步， 故选：C． 32．（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）某市区东西走向的青年路与南北走向的江阴路相交于O处，．甲沿着青年路以4m/s的速度由西向东走，乙沿着江阴路以3m/s的速度由南向北走．当乙走到O点以北50m处时，甲恰好到点O处．若两人继续向前行走，求两个人相距85m时各自的位置． 【答案】当两人相距85米时，甲在O点以东36米处，乙在O点以北77米处 【思路引导】分别用未知数表示出两人的路程，再根据勾股定理列出方程求出未知数的值． 【规范解答】设经过x秒时两人相距85m， 根据题意得（4x）2+（50+3x）2=852， 去括号得25x2+300x=4725， 即25x2+300x-4725=0， 化简得x2+12x-189=0， ∴（x-9）（x+21）=0， 解得x1=9，x2=-21（不符合实际情况，舍去）， 当x=9时，4x=36，50+3x=77． ∴当两人相距85m时，甲在O点以东36m处，乙在O点以北77m处． 故当两人相距85米时，甲在O点以东36米处，乙在O点以北77米处． 【考点剖析】考查了方向角，一元二次方程的应用和勾股定理等知识点．要注意的是方向角问题中，南北和西东是垂直的． 考点09 图表信息题（一元二次方程的应用） 33．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）根据绍兴市某风景区的旅游信息： 旅游人数 收费标准 不超过30人 人均收费80元 超过30人 每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于55元 A公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元．A公司参加这次旅游的员工有多少人？ 【答案】A公司参加这次旅游的员工有40人． 【思路引导】设参加这次旅游的员工有人，由可得出，根据总价单价人数，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【规范解答】设参加这次旅游的员工有x人， ∵30×80=2400<2800，∴x>30． 根据题意得：x[80-（x-30）]=2800，解得：x1=40，x2=70． 当x=40时，80-（x-30）=70>55， 当x=70时，80-（x-30）=40<55，舍去． 答：A公司参加这次旅游的员工有40人． 【考点剖析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 34．（2024·河北唐山·二模）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48． （1）请证明发现的规律； （2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数；    （3）嘉琪说：她用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是95，直接判断他的说法是否正确（不必叙述理由）． 【答案】（1）证明见解析；（2）这5个数中最大数为29．（3）嘉琪的说法不正确． 【思路引导】（1）、根据题目数据，设中间的数为a，则另外4个数可以用a的式子表示出来，即可列出算式进行证明； （2）、设最大数为x，列出方程组解答即可； （3）参考（2）问题思路，解出最大数，然后根据最大数所在位置即可判定． 【规范解答】（1）证明：设中间的数为a，则另外4个数分别为（a﹣7），（a﹣1），（a+1），（a+7）， ∴（a﹣1）（a+1）﹣（a﹣7）（a+7）， =a2﹣1﹣（a2﹣49）， =48． （2）解：设这5个数中最大数为x，则最小数为（x﹣14）， 依题意，得：x（x﹣14）＝435， 解得：x1＝29，x2＝﹣15（不合题意，舍去）． 答：设这5个数中最大数为29． （3）嘉琪的说法不正确． 设这5个数中最大数为y，则最小数为（y﹣14），依题意，得：y（y﹣14）=95，解得：y1＝19，y2＝﹣5（不合题意，舍去）．∵19在日历的最后一列，∴不符合题意，∴嘉琪的说法不正确． 【考点剖析】本题考查方程的应用问题，解题关键是准确的设未知数，然后列出方程解答． 35．（19-20九年级下·上海静安·课后作业）小王某月手机话费中的各项费用统计情况见下列图所示，其中月功能费为5元，请你根据统计图的信息完成下列各题： （1）该月小王手机话费共有________元． （2）扇形统计图中，表示短信费的扇形的圆心角______度． （3）请将条形统计图补充完整． （4）电信公司为让利给用户，从下月起每月将对长途话费进行打折优惠，如果小王每月长途电话的通话时间不变，那么两个月后，月长途花费将降至28.8元，那么长途话费的月平均折扣为多少？ 【答案】（1）125元；（2）72°；（3）见解析；（4）长途话费的月平均折扣为八折 【思路引导】（1）根据月功能费在扇形统计图中所占比例计算即可. （2）用短信费所占比例乘以即可. （3）用第（1）问中求出的总话费，分别乘以基本话费和长途话费所占比例，求出两者具体金额后填图. （4）可设长途话费的月平均减少率为，根据题意“两个月后，月长途花费将降至28.8元”可得，解一元二次方程即可. 【规范解答】（1）元 （2）. （3）如图， （4）解：设平均减少率为，据题意得     解得 答：长途话费的月平均折扣为八折. 【考点剖析】本题综合考查了条形统计图与扇形统计图中的数据关系，和一元二次方程解决问题中的增长率问题，熟练掌握相关知识点，找到其中的数量关系并列式计算是解答关键. 36．（24-25九年级上·全国·单元测试）近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费+污水处理费）． （1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元； （2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况； 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 7 70 5 5 40 根据上表数据，求规定用水量a的值． （3）结合当地水资源状况，谈谈如何开展水资源环境保护？如何节约用水？ 【答案】（1）10+40a-5a2元；（2）3吨；（3）见解析; 【思路引导】（1）根据总费用=10+超出费用列出代数式即可；（2）根据题意分别列出5a（7-a）+10=70，5a（5-a）+10=40，取满足两个方程的a的值即为本题答案；（3）结合当地水资源状况，叙述合理即可； 【规范解答】（1）3月份应交水费10+5a（8-a）=10+40a-5a2元； （2）由题意得：5a（7-a）+10=70， 解得：a=3或a=4 5a（5-a）+10=40 解得：a=3或a=2， 综上，规定用水量为3吨； （3）既然我们的水资源比较缺乏，就要提高节水技术、防治水污染、植树造林． 【考点剖析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解本题的水费收取标准． 考点10 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 37．（25-26九年级上·新疆和田·阶段练习）在一次同学聚会时，大家一见面就相互握手(每两人只握一次手)，大家一共握了次手，则参加聚会的人数为 人． 【答案】 【思路引导】本题考查列一元二次方程解决实际问题．解题的关键在于分析题意，找出相等关系并建立方程，同时要注意方程的解是否满足实际问题的情境．设这次聚会的同学共人，则每人需和除自己外的个人握手，而两个人之间仅握手一次，因而共握手次，然后列方程求解即可． 【规范解答】解：设这次聚会的同学共有人， 由题意得，， 整理得，， 因式分解得，， 解得，，， ， ，即这次参加聚会的人数为． 故答案为：． 38．（2025九年级上·全国·专题练习）要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了列一元二次方程，设共有x个队参加比赛，根据“赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场”列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【规范解答】解：设共有x个队参加比赛，则， 故选：D． 39．（23-24九年级上·青海西宁·期中）年杭州亚运会三人篮球赛掀起校园篮球热，某市青少年校园三人篮球联赛采用双循环制，即每两队之间都进行两场比赛，若该市校园三人篮球联赛有队伍支，共比赛了场，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，设队伍有支，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【规范解答】解：设队伍有支， 由题意得，， 解得，（不合，舍去） ∴， 故答案为：． 40．（25-26九年级上·江西赣州·阶段练习）在2025年江西省城市足球超级联赛（赣超）中赣州队已经成功从南区小组突围进入八强，在南区小组赛阶段，所有参赛队伍采用双循环赛制（每两队之间比赛两次）已知南区小组赛共进行了30场比赛，请问南区共有多少支球队参加了2025年赣超联赛的南区小组赛？ 【答案】南区共有支球队参加了2025年赣超联赛的南区小组赛 【思路引导】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 设南区共有支球队参加了2025年赣超联赛的南区小组赛，根据“所有参赛队伍采用双循环赛制（每两队之间比赛两次）已知南区小组赛共进行了30场比赛”建立方程求解即可． 【规范解答】解：设南区共有支球队参加了2025年赣超联赛的南区小组赛， 由题意得，， 解得：，（舍）， 答：南区共有支球队参加了2025年赣超联赛的南区小组赛． 考点11 其他问题（一元二次方程的应用） 41．（25-26九年级上·陕西汉中·阶段练习）阿拉伯数学著作《算术之钥》书中记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到10个石榴，问这群人共有多少人?设这群人共有x人，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查一元二次方程的应用，利用倒序相加的方法求出的和，根据题意即可列出方程． 【规范解答】解：设这群人共有人，则这群人摘的石榴数依次为，设总的石榴数为S， 则①， 又∵② ∴由得， ∴， 又∵平均每人分得10个石榴， ∴总石榴数S也可表示为， 因此方程为， 故选：C． 42．（19-20九年级上·辽宁大连·期末）在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感，据查全国最高毛主席铜像竖在济宁邹城小村，全身净高约12米，若按上述比例设计，毛主席铜像的下部应设计为多高？（结果保留小数点后两位） 【答案】毛主席铜像的下部应设计为7.42米 【思路引导】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 设毛主席铜像的下部应设计为x米，则上部长度为米，根据“雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比”建立方程求解． 【规范解答】解：设毛主席铜像的下部应设计为x米，依题意得， 解得： （舍）， 所以，    答：毛主席铜像的下部应设计为7.42米． 43．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）某校新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知喷漆面积为1056平方米． (1)求通道的宽是多少米． (2)据调查分析，停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 【答案】(1)3米 (2)上涨40元 【思路引导】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设通道的宽是x米，根据题意列出方程，解出x的值即可解答； （2）设每个车位的月租金上涨y元，根据题意列出方程，解出y的值，结合优惠大众选择较小的y的值即可解答． 【规范解答】（1）解：设通道的宽是米，则每一层的停车位可合成长为米，宽为米的长方形， 依题意，得， 解得（不合题意，舍去）． 答：通道的宽是3米． （2）解：设每个车位的月租金上涨元，则每个车位的月租金为元，可租出个车位， 依题意，得， 解得， 又要优惠大众， ． 答：每个车位的月租金应上涨40元． 44．（24-25七年级上·重庆·期末）环保活动周期间，某社区每月举办一次“垃圾分类，环保惠民”活动，社区居民每月共完成垃圾分类的A类（可回收垃圾）和B类（厨余垃圾）总量可获得积分奖励．其全场月分类垃圾总量积分奖励方案如下表所示： 月分类垃圾总量 积分奖励方案 未超过100千克 不享受积分奖励 超过100千克但未超过300千克的部分 每20千克积10分 超过300千克的部分 每20千克积15分 （每1千克分类垃圾总量都可以按照奖励方案规则积分，如月分类垃圾总量为101千克可以获得积分） (1)若某家庭月分类垃圾总量为a千克，当时，该家庭获得积分奖励为______分；当时，该家庭获得积分奖励为______分（用含a的代数式表示）． (2)已知小李家第一季度前两个月都参与活动，2月的月分类垃圾总量比1月多40千克，共获得积分260分，求小李家1月的月分类垃圾总量是多少千克？ (3)为了鼓励更多家庭参与到环保活动中，社区加大力度开展了积分兑换活动，社区决定提高月分类垃圾总量超过300千克部分的积分，并定为每20千克积分，在此基础上再一次性赠送积分分．在（2）问条件下小李家2月B类分类垃圾总量是A类垃圾总量的1.2倍还要多8千克，3月小李家里A类垃圾总量比2月A类垃圾总量增加，B类垃圾总量比2月B类垃圾总量增加，3月小李家月分类垃圾总量获得积分比2月积分增长，求m的值． 【答案】(1)， (2)小李家1月的月分类垃圾总量是千克 (3) 【思路引导】本题主要考查列代数式，一元二次方程的运用，理解数量关系，正确列出代数式，方程是解题的关键． （1）根据题意，分段收费计算即可； （2）设小李家1月的月分类垃圾总量是千克，则2月的月分类垃圾总量是千克，根据题意，分类讨论：当时；当时；当时；根据各段的费用计算即可求解； （3）设2月份的A类垃圾为千克，由题意可得，再由数量关系列式求解即可． 【规范解答】（1）解：∵超过100千克但未超过300千克的部分，每20千克积10分， ∴当时，（分）， 当时，（分）， 故答案为：，； （2）解：已知超过100千克但未超过300千克的部分，每20千克积10分， ∴每千克积分， 已知超过300千克的部分，每20千克积15分， ∴每千克积分， 设小李家1月的月分类垃圾总量是千克，则2月的月分类垃圾总量是千克， 当时，， 解得，（不符合题意，舍去）； 当时，， 解得，（不符合题意，舍去）； 当时，， 解得，， ∴小李家1月的月分类垃圾总量是千克； （3）解：月分类垃圾总量超过300千克部分的积分，并定为每20千克积分， ∴每千克积（分）， 由（2）可知，小李家1月的月分类垃圾总量是千克，2月的月分类垃圾总量比1月多40千克， ∴小李家2月的月分类垃圾总量是千克， 设2月份的A类垃圾为千克， ∴， 解得，， ∴（千克）， ∴小李家2月份的A类垃圾为千克，B类垃圾为千克， ∵3月小李家里A类垃圾总量比2月A类垃圾总量增加，B类垃圾总量比2月B类垃圾总量增加， ∴小李家3月份的A类垃圾为千克，B类垃圾为千克， ∴ 解得，． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元二次方程的应用 考点01 传播问题（一元二次方程的应用） 1 考点02 增长率问题（一元二次方程的应用） 2 考点03 与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 4 考点04 数字问题（一元二次方程的应用） 6 考点05 营销问题（一元二次方程的应用） 7 考点06 动态几何问题（一元二次方程的应用） 9 考点07 工程问题（一元二次方程的应用） 11 考点08 行程问题（一元二次方程的应用） 13 考点09 图表信息题（一元二次方程的应用） 15 考点10 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 17 考点11 其他问题（一元二次方程的应用） 17 考点01 传播问题（一元二次方程的应用） 1．（21-22九年级上·山东济南·期末）现在是流感多发季，假设有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，请问各位同学，每轮传染中平均一个人传染 （    ）人 A．8 B．9 C．10 D．11 2．（25-26九年级上·广东揭阳·阶段练习）新冠病毒持续影响全国人民的生活，有研究表明，新冠病毒变异株仍具有较强的传染性，当一个人感染了该病毒后，在没有防控的情况下，若经过两轮传染后共有25人感染，那么，每轮传染中平均一个人传染了多少人？ 3．（25-26九年级上·全国·课后作业）化学课代表在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了．问一个人每节课手把手教会了 名同学？ 4．（19-20九年级上·吉林白城·期末）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感． （1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ （2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？ 考点02 增长率问题（一元二次方程的应用） 5．（25-26九年级上·江苏徐州·阶段练习）沛县某村民合作社2022年种植生姜100亩，2024年该合作社扩大了生姜的种植面积，共种植144亩． (1)求该合作社这两年种植生姜亩数的平均增长率． (2)假定该合作社种植生姜亩数的平均增长率保持不变，预计2025年底，该合作社种植生姜的亩数可否突破175亩？ 6．（25-26九年级上·河南信阳·阶段练习）某小区要修建一个矩形景观湖（图中阴影部分），景观湖的长和宽分别为和，同时要在它四周外围修建宽度相等的绿化带，已知景观湖和绿化带的总面积为． (1)求绿化带的宽度； (2)施工方最初报价为300万元，物业经过两次商洽，最终以243万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率． 7．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段练习）某村在“农产品网店”上销售该村优质农产品，该网店于今年六月底以每袋25元的价格收购了一批农产品，已知七月份销售该农产品256袋，八月，九月该农产品的销售量持续走高，在售价不变的基础上，九月份的销售量达到400袋． (1)求这批农产品八月，九月这两个月销售量的月平均增长率； (2)该网店决定十月降价促销，经市场调查发现，当这批农产品的售价为每袋40元时，平均每月的销售量为400袋，若该农产品每袋每降价1元，平均每月的销售量可增加5袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在十月份可获利4250元？ 8．（23-24九年级上·重庆渝中·自主招生）某科技公司生产销售一种电子产品，该产品总成本包括技术成本、制造成本、销售成本三部分，经核算，2018年该产品各部分成本所占比例约为（a为整数）．且2018年该产品的技术成本为400万元． (1)若2018年产品总成本超过1800万元，但不超过2000万元，确定a的值； (2)在（1）的条件下，为降低总成本，该公司2019年及2020年增加了技术成本投入，确保这两年技术成本都比前一年增加一个相同的百分数，制造成本在这两年里都比前一年减少；同时为了扩大销售量，2020年的销售成本将在2018年的基础上提高，经过以上变革，预计2020年该产品总成本仅为2018年该产品总成本的，求m的值． 考点03 与图形有关的问题（一元二次方程的应用） 9．（25-26九年级上·广东汕头·阶段练习）如图是一块矩形菜地，，，面积为．现将边增加． (1)如图1，若，边减少，得到的矩形面积不变，求b的值． (2)如图2，若边增加，有且只有一个a的值，使得到的矩形面积为，求S的值． 10．（25-26九年级上·江西赣州·阶段练习）问题背景：在长方形几何图形设计里，满足长和宽比例相同的两个长方形图形设计问题，称为“和谐设计问题”，对应的长和宽的比称为“和谐比”．某数学小组围绕长方形封面边衬设计，开展“和谐设计问题”的探究． 信息一：2025年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，大家一同铭记历史、缅怀先烈、珍视和平、开创未来．如图，玲玲制作纪念册，封面设计成长、宽的长方形，整个封面由中央图画以及四周边衬组成，封面整体和封面中央的图画是符合“和谐设计”的两个长方形． 信息二：要使四周边衬所占面积是整个封面面积的四分之一，其中上、下边衬等宽，左、右边衬等宽． 探究1 （1）根据材料可知，纪念册封面中央图画的面积是___________． 探究2 （2）根据“和谐比”，设中央图画的长、宽分别为，，求封面四周边衬的宽度． 探究3 （3）请你用与（2）不同的方法求四周边衬的宽度．（提示：可利用上、下边衬与左、右边衬的宽度比） 11．（25-26九年级上·河南省直辖县级单位·阶段练习）你知道可以用几何图形求部分一元二次方程的正解吗？以为例，大致过程如下： 第一步：将原方程变形为，即． 第二步：构造一个长为，宽为的长方形，长比宽大3，且面积为4，如图1所示． 第三步：用四个这样的长方形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，如图2所示．小正方形的边长为________． 第四步：计算大正方形面积，用含的代数式表示为__________． 第五步：用大正方形面积等于四个长方形与小正方形面积之和，列方程得，因为为边长，所以，可求得方程的正解为_____________． (1)将横线上的内容补充完整； (2)请利用上述的思考过程，求方程的正解． 12．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）【项目介绍】学校有一块矩形空地，打算用空地面积的一半来建造一个花坛，其余部分进行绿化，为了使设计更加美观合理，学校决定在同学们中征集设计方案． 【任务一】测量矩形空地的长和宽． 经测量，矩形的长为8米，宽为6米． 【任务二】拟定设计方案，按照的比例尺画出设计图纸． （1）第一小组方案： 步骤一：图纸上画出矩形的宽为6厘米，在边上确定中点H，则的长应为 ； 步骤二：在图纸上分别找到其他边的中点，顺次连接各边中点得到的四边形区域进行绿化，其余部分作为花坛，如图1．该小组计算后发现此时花坛的面积刚好是矩形空地面积的一半； （2）第二小组方案： 按照如图所示的方式在中间设计两条等宽的小路进行绿化，四周的四个小矩形建造花坛，如图2．请你帮忙计算，小路的宽为多少厘米时符合设计要求？ （3） 第三小组计划设计的花坛部分整体为轴对称图形，请你帮助他们完成如下任务：在图3中画出与前两个小组不一样的设计方案，将花坛部分涂上阴影并在图纸上标明必要线段的长度． 考点04 数字问题（一元二次方程的应用） 13．（20-21九年级上·辽宁鞍山·期中）一个两位数，十位数字与个位数字之和为9，且这两个数字之积等于它们两个数字和的2倍，这个两位数是（　　） A．36 B．63 C．36或63 D．或 14．（25-26九年级上·全国·周测）一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是（   ） A．不存在 B．25 C．36 D．25或36 15．（24-25九年级上·重庆潼南·期末）对于若干个数，我们先将任意两个数作差（相同的两个数只作一次差），再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数作“差绝对值运算”．例如：对于1，2，3作“差绝对值运算”，得到．下列说法： ①对，，2，5，6作“差绝对值运算”的结果是50； ②对，，1，3作“差绝对值运算”的结果的最小值为； ③对，，作“差绝对值运算”的结果为28，则的值为或．其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 16．（20-21九年级上·四川·阶段练习）对于任意一个三位数k，如果k满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”． 例如：k＝169，因为62＝4×1×9，所以169是“喜鹊数”． （1）请通过计算判断241是不是“喜鹊数”，并直接写出最小的“喜鹊数”； （2）已知一个“喜鹊数”k＝100a＋10b＋c（1≤a、b、c≤9，其中a，b，c为自然数），若x＝m是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，x＝n是一元二次方程cx2＋bx＋a＝0的一个根，且m＋n＝﹣2，求满足条件的所有k的值． 考点05 营销问题（一元二次方程的应用） 17．（25-26九年级上·山西晋城·阶段练习）综合与实践 随着国家对地摊经济的支持，各地的夜市逐渐火爆．太原某小型夜市为改善环境，融入地方特色，对夜市摊位摆放位置进行升级改造，改造后的布局如图所示．已知在矩形中，，，阴影部分为夜市摆摊位，其余部分是等宽的人行过道，摊位的总面积为 ． (1)人行过道的宽是多少米？ (2)该夜市有个摊位对外出租，每个摊位的月租金为元时，摊位刚好全部租完．夜市升级改造后对每个摊位的月租金进行适当调整，每个摊位的月租金每上涨元，就会少租出个摊位． ①设每个摊位的月租金上涨元，则该夜市可以租出多少个摊位？用含的代数式表示 ②在尽可能让利于摊主的条件下，当每个摊位的月租金为多少元时，该夜市的月租金总收入为元？ 18．（25-26九年级上·湖南湘西·阶段练习）项目化学习 项目主题：大同黄花的最优销售单价项目背景：黄花，学名萱草，俗称金针菜．山西大同黄花因其营养价值极高，在全国独树一帜，可称“国内一绝”．某校学习小组以探究“大同黄花的最优销售单价”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究大同黄花销售总利润与销售单价的关系． 研究步骤：（1）学习小组到某农副特产专卖店了解到大同特级黄花干货的成本为80元/千克； （2）该店在试营业期间，不断调整销售单价，并对黄花的销售量进行统计（不考虑其他因素）： （3）数据分析，得出结论． 收集数据： 黄花销售单价x（元/千克） … 92 96 100 104 108 … 每月销售数量y（千克） … 880 840 800 760 720 … 问题解决：请根据此项目实施的相关信息完成下列任务： (1)根据表中信息可知：销售单价x与销售数量y成一次函数关系，请你求出这个函数关系． (2)现计划在月销售成本不超过40000元的情况下，使得月销售利润达到24000元，销售单价应定为多少？ 19．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段练习）暑假期间某景区商店推出销售纪念品活动，已知纪念品每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该纪念品的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．（销售利润=销售总额-进货成本） (1)若该纪念品的销售单价涨价为5元时，则当天销售量为______件． (2)当该纪念品的销售单价涨价为多少元时，该产品的当天销售利润是2610元． 20．（24-25九年级上·吉林长春·期末）“三折叠，怎么折，都有面．”华为“三折叠”一经上市，便火遍全国，形成一股“折叠风”．9月10日，华为新出的型号为“Mate XT非凡大师”的手机在深圳湾召开发布会，某华为手机专卖网店抓住商机，购进10000台“Mate XT 非凡大师”手机进行销售，每台的成本是20000元，在线同时向国内、国外发售．第一个星期，国内销售每台售价是25000元，共获利1000万元，国外销售也售出相同数量该款手机，但每台成本增加4000元，获得的利润却是国内的6倍． (1)求该店销售该款华为手机第一个星期在国外的售价是多少元？ (2)受中美贸易战影响，第二个星期，国内销售每台该款手机售价在第一个星期的基础上降低，销量上涨；国外销售每台售价在第一个星期的基础上上涨，并且在第二个星期将剩下的手机全部卖完，结果第二个星期国外的销售总额比国内的销售总额多6993万元，求的值． 考点06 动态几何问题（一元二次方程的应用） 21．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段练习）如图，在矩形中，，．点从点出发，沿运动，速度为2个单位长度/秒；点从点出发，向点运动，速度为1个单位长度/秒．、两点同时出发，点运动到点时，两点同时停止运动，设点的运动时间为秒．连接，，． (1)当点到达点时，________；当点到终点时，的长为________． (2)当在上时，如果的面积为9，求的值． (3)当运动到上时，的长能否等于5？如果能请求出t的值，如果不能，请说明理由． 22．（25-26九年级上·贵州毕节·阶段练习）已知，如图，在中，，，，点从点A开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动． (1)如果点，分别从点A，同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (2)如果点，分别从点A，同时出发，那么几秒后，的长度等于？ 23．（25-26九年级上·黑龙江大庆·开学考试）函数与的图象交于点和两点． (1)求和的值； (2)不等式的解集为__________； (3)将直线沿轴向左平移得直线，交轴于点，交双曲线于点．若点、点关于原点对称，点是平面内一点，是否存在点、，使得以点、、、为顶点的四边形为矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 24．（24-25八年级下·浙江温州·期中）如图，在四边形中，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒. (1)当 时，平分四边形的面积. (2)当与四边形的某一边平行时，求的值. (3)连接，是否存在为等腰三角形？若存在请求出值，若不存在，说明理由. 考点07 工程问题（一元二次方程的应用） 25．（24-25九年级上·四川绵阳·期中）某头盔经销商5至7月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，应该增加几条生产线？ 26．（22-23八年级下·重庆北碚·期中）甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 27．（22-23九年级上·四川成都·期中）由于疫情反弹，某地区开展了连续全员核酸检测，9月7日，医院派出13名医护人员到一个大型小区设置了、两个采样点进行核酸采样，当天共采样9220份，已知点平均每人采样720份，点平均每人采样700份． (1)求、两点各有多少名医护人员？ (2)9月8日，医院继续派出这13名医护人员前往这个小区进行核酸采样，这天，社区组织者将附近数个商户也纳入这个小区采样范围，同时重新规划，决定从点抽调部分医护人员到点经调查发现，点每减少1名医护人员，人均采样量增加10份，点人均采样量不变，最后当天共采样9360份，求从点抽调了多少名医护人员到点？ 28．（23-24九年级上·重庆开州·期末）城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 考点08 行程问题（一元二次方程的应用） 29．（24-25九年级上·湖南湘西·期中）数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了 秒． 30．（2024·广东广州·模拟预测）今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 31．（23-24八年级下·浙江宁波·期中）《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远（    ） A．步 B．步 C．步 D．步 32．（23-24九年级上·河南信阳·阶段练习）某市区东西走向的青年路与南北走向的江阴路相交于O处，．甲沿着青年路以4m/s的速度由西向东走，乙沿着江阴路以3m/s的速度由南向北走．当乙走到O点以北50m处时，甲恰好到点O处．若两人继续向前行走，求两个人相距85m时各自的位置． 考点09 图表信息题（一元二次方程的应用） 33．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）根据绍兴市某风景区的旅游信息： 旅游人数 收费标准 不超过30人 人均收费80元 超过30人 每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于55元 A公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元．A公司参加这次旅游的员工有多少人？ 34．（2019·河北唐山·二模）在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2019年1月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48． （1）请证明发现的规律； （2）若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数；    （4） 嘉琪说：她用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是95，直接判断他的说法是否正确（不必叙述理由）． 35．（24-25九年级下·上海静安·课后作业）小王某月手机话费中的各项费用统计情况见下列图所示，其中月功能费为5元，请你根据统计图的信息完成下列各题： （1）该月小王手机话费共有________元． （2）扇形统计图中，表示短信费的扇形的圆心角______度． （3）请将条形统计图补充完整． （4）电信公司为让利给用户，从下月起每月将对长途话费进行打折优惠，如果小王每月长途电话的通话时间不变，那么两个月后，月长途花费将降至28.8元，那么长途话费的月平均折扣为多少？ 36．（18-19九年级上·全国·单元测试）近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费+污水处理费）． （1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元； （2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况； 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 7 70 5 5 40 根据上表数据，求规定用水量a的值． （3）结合当地水资源状况，谈谈如何开展水资源环境保护？如何节约用水？ 考点10 握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 37．（25-26九年级上·新疆和田·阶段练习）在一次同学聚会时，大家一见面就相互握手(每两人只握一次手)，大家一共握了次手，则参加聚会的人数为 人． 38．（2025九年级上·全国·专题练习）要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 39．（23-24九年级上·青海西宁·期中）年杭州亚运会三人篮球赛掀起校园篮球热，某市青少年校园三人篮球联赛采用双循环制，即每两队之间都进行两场比赛，若该市校园三人篮球联赛有队伍支，共比赛了场，则 ． 40．（25-26九年级上·江西赣州·阶段练习）在2025年江西省城市足球超级联赛（赣超）中赣州队已经成功从南区小组突围进入八强，在南区小组赛阶段，所有参赛队伍采用双循环赛制（每两队之间比赛两次）已知南区小组赛共进行了30场比赛，请问南区共有多少支球队参加了2025年赣超联赛的南区小组赛？ 考点11 其他问题（一元二次方程的应用） 41．（25-26九年级上·陕西汉中·阶段练习）阿拉伯数学著作《算术之钥》书中记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到10个石榴，问这群人共有多少人?设这群人共有x人，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 42．（19-20九年级上·辽宁大连·期末）在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感，据查全国最高毛主席铜像竖在济宁邹城小村，全身净高约12米，若按上述比例设计，毛主席铜像的下部应设计为多高？（结果保留小数点后两位） 43．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）某校新建一个三层停车楼，每一层布局如图所示．已知每层长为50米，宽30米．阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的通道，已知喷漆面积为1056平方米． (1)求通道的宽是多少米． (2)据调查分析，停车场多余64个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，既能优惠大众，又能使对外开放的月租金收入为14400元？ 44．（24-25七年级上·重庆·期末）环保活动周期间，某社区每月举办一次“垃圾分类，环保惠民”活动，社区居民每月共完成垃圾分类的A类（可回收垃圾）和B类（厨余垃圾）总量可获得积分奖励．其全场月分类垃圾总量积分奖励方案如下表所示： 月分类垃圾总量 积分奖励方案 未超过100千克 不享受积分奖励 超过100千克但未超过300千克的部分 每20千克积10分 超过300千克的部分 每20千克积15分 （每1千克分类垃圾总量都可以按照奖励方案规则积分，如月分类垃圾总量为101千克可以获得积分） (1)若某家庭月分类垃圾总量为a千克，当时，该家庭获得积分奖励为______分；当时，该家庭获得积分奖励为______分（用含a的代数式表示）． (2)已知小李家第一季度前两个月都参与活动，2月的月分类垃圾总量比1月多40千克，共获得积分260分，求小李家1月的月分类垃圾总量是多少千克？ (3)为了鼓励更多家庭参与到环保活动中，社区加大力度开展了积分兑换活动，社区决定提高月分类垃圾总量超过300千克部分的积分，并定为每20千克积分，在此基础上再一次性赠送积分分．在（2）问条件下小李家2月B类分类垃圾总量是A类垃圾总量的1.2倍还要多8千克，3月小李家里A类垃圾总量比2月A类垃圾总量增加，B类垃圾总量比2月B类垃圾总量增加，3月小李家月分类垃圾总量获得积分比2月积分增长，求m的值． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $