九年级数学上学期期中模拟卷（湘教版第1-3章，高效培优·强化卷）

2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 强化卷·解析版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版2024九年级上册第一章~第三章。 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的. 请在答题卡中填涂符合题意的选项. 本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．（本题3分）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是2，像这样的方程叫做一元二次方程． 根据一元二次方程的定义逐一判断即可． 【规范解答】解：A．，不是一元二次方程； B．，是一元二次方程； C．，不是一元二次方程； D．，不是一元二次方程； 故选：B． 2．（本题3分）如图，在中，，若，则的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【思路引导】直接利用平行线分线段成比例定理求解． 本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 【规范解答】解：, ． , ， 故选：C． 3．（本题3分）如图，一次函数和反比例函数的图象相交于点，，若，则的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【思路引导】本题考查的是反比例函数与一次函数图象的交点问题，根据题意利用数形结合求解是解答此题的关键． 根据两函数的图象交点利用数形结合直接进行解答． 【规范解答】解：观察图象得：当或时，反比例函数图象在一次函数图象的上方， ∴当时，的取值范围是或． 故选：B 4．（本题3分）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了一元二次方程的解，由整理得，根据关于的一元二次方程有一根为进行对比即可求解，正确理解能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键． 【规范解答】∵， ∴， ∵关于的一元二次方程有一根为， ∴有一根为， 解得， ∴一元二次方程必有一根为， 故选：． 5．（本题3分）如图是某花架及其侧面示意图，已知，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题关键是熟练掌握定理，根据定理列出比例式； 根据，列出，求出的长即可求解． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 6．（本题3分）如图，在矩形中，，点从点出发沿以的速度向点运动；同时，点从点出发沿以的速度向点运动，点运动到点时，点也停止运动；当的面积等于时，运动时间为（　　）s． A．2 B．4 C．10 D．2或10 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的应用，矩形的性质．设运动时间为，则，利用三角形面积的计算公式结合的面积等于，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【规范解答】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 设运动时间为，则，依题意，得： ， 整理，得：， 解得：（不合题意，舍去）． 即当的面积等于时，运动时间为． 故选：A． 7．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别在x轴、y轴正半轴上，顶点C、D位于第一象限，反比例函数的图象经过正方形的对角线的交点若的面积为，正方形边长为3，则k的值为（ ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【思路引导】过点D作轴于点H，设，则点，点，证明和全等得，由此得点D的坐标为，进而得点，再根据反比例函数的图象经过点E得，再由勾股定理得，由的面积为得，由此即可得出k的值． 【规范解答】解：过点D作轴于点H，如图所示： ， 设， 点A的坐标为，点B的坐标为， 四边形是正方形，且边长为3， ，点E为的中点， ， 在中，， ， 在和中，， ， ， ， 点D的坐标为， 又点B的坐标为，点E为的中点， 点E的坐标为， 反比例函数的图象经过点E， ， 在中，由勾股定理得：， ， 的面积为， ， ， ， ． 故选：D． 【考点剖析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，反比例函数图象上点的坐标满足反比例函数的表达式，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 8．（本题3分）若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程；与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（   ） A．2018 B．2020 C．2025 D．2030 【答案】B 【思路引导】根据新定义，把方程化成定义型方程，利用恒等式性质，确定a，b的值，后代入，配方，利用非负性求最值即可． 本题考查了一元二次方程新定义问题，配方法求最值是解题的关键． 【规范解答】解：根据题意，得， 故， 又与是“同族二次方程”． ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴当时，取得最小值，且为2020， 故选：B． 9．（本题3分）如图，在中，，是边上的中线，将绕着点C顺时针旋转，得到，连接，交于点F．若，，则（   ） A． B． C．9 D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形，平行线分线段成比例，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 过作交延长线于，过作，过作，根据面积可得，再根据中线得到，接着通过证即可求解． 【规范解答】解：过作交延长线于，过作，过作， ，， ， 解得， ，， ， ， ，， ， ， 又为中点， ， ， ， 为中位线， ， 绕着点C顺时针旋转， ，， ， 又， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，． 故选：D． 10．（本题3分）如图，等腰三角形的底边均在轴负半轴上，且每个等腰三角形的底边长相等，顶点均在反比例函数的图象上，已知第个等腰三角形顶点的横坐标为，第个等腰三角形顶点的横坐标为，，依此类推，则第个等腰三角形顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了反比例函数的性质，等腰三角形的性质，数字规律，由第个等腰三角形顶点的横坐标为，第个等腰三角形顶点的横坐标为，第个等腰三角形顶点的横坐标为，，则第个等腰三角形顶点的横坐标为，然后代入反比例函数即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：由题意知，每个等腰三角形的底边长均为，且顶点在反比例函数的图象上， ∵第个等腰三角形顶点的横坐标为， 第个等腰三角形顶点的横坐标为， 第个等腰三角形顶点的横坐标为， ， ∴第个等腰三角形顶点的横坐标为， ∴第个等腰三角形顶点的纵坐标为， ∴第个等腰三角形顶点的坐标为， 故选：． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．（本题3分）已知是关于的一元二次方程，则代数式 ． 【答案】 【思路引导】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．利用一元二次方程的定义求出m的值，代入原式计算即可求出值． 【规范解答】解：由是关于x的一元二次方程，得到， 则原式． 故答案为：． 12．（本题3分）如图，在中，，于点，，，则的长为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查相似三角形的判定与性质，解题关键是：利用“两角分别相等的两个三角形相似”，证明三角形相似．通过倒角证明，，进而证明，再根据相似三角形的对应边成比例，列出比例式，进而求出的长． 【规范解答】解：在中，，， ，， ， ，即 ． 故答案为：． 13．（本题3分）如图，点A是y轴上一点，点B，C分别在反比例函数和的图象上，且轴，若的面积为6，则的值为 ． 【答案】12 【思路引导】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积求解，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由轴，可知、的横坐标相同，设，，则，根据的面积为6，得出，求得答案即可． 【规范解答】解：∵轴， 、的横坐标相同， 设，，则， ， ∵的面积为6， ∴， ． 故答案为：． 14．（本题3分）是关于的方程的两实数根，且，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，由根与系数的关系可得，进而根据已知条件可得，解之即可得到答案． 【规范解答】解：∵是关于的方程的两实数根， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解， 故答案为：． 15．（本题3分）如图，四边形与四边形都是正方形，将正方形BEFG绕点按顺时针方向旋转，连接．在正方形BEFG绕点按顺时针方向旋转的过程中，的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造相似三角形是解决本题的关键． 根据角边角证明得出，连接，证明，得出，即可求解． 【规范解答】解：∵四边形与四边形都是正方形， ∴，，， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴， 连接，如图， ∵，， ∴， 在中，，在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 故答案为： ． 16．（本题3分）我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法，以方程为例，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载：构造大正方形的面积是，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，根据面积关系可求得的长，从而解得正数解．小刚用此方法解关于x的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为144，小正方形的面积为4，则 ；关于x的方程的正数解为 ． 【答案】 2 【思路引导】本题考查了解一元二次方程，理解一元二次方程的几何解法是解题关键．先得出小刚构造的大正方形的面积、四个矩形的长与宽、中间小正方形的边长，再根据大正方形的面积为144，小正方形的面积为4建立方程，解方程即可得． 【规范解答】解：关于x的方程可转化为，即， 则小刚构造的大正方形的面积是，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，其中矩形的长为、宽为x，中间小正方形的边长为m， ∵小刚构造的大正方形的面积为144，小正方形的面积为4， ，， ， 解得， 则关于的方程的正数解为， 故答案为：，． 17．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点P在直线上．顶点Q在函数的图象上，M、N两点在x轴上．若点Q的横坐标为，则k的值为 ． 【答案】2 【思路引导】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用直线解析式求出正方形边长是关键． 根据题意可知Q点横坐标，利用直线解析式得到，依据正方形性质推出，根据点Q的坐标求出k值即可． 【规范解答】解：点Q的横坐标为， ∴， ∴， 直线， ∴， 四边形是正方形， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 点Q在反比例函数图象上， ∴， 故答案为：； 18．（本题3分）如图，把边长为3的正方形绕点逆时针旋转得到正方形与交于点的延长线交于点，交的延长线于点．若，则 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，正方形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 由，推出，再由可得，设，在中由勾股定理求出，再由求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵把边长为3的正方形绕点O逆时针旋转得到正方形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：或0（舍去）， ∴， ∵正方形中， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，第19-20题每小题6分，第21-22题每小题8分，第23-24题每小题9分，第25-26题每小题10分，共66分） 19．（本题6分）按照指定方法解下列方程： (1)（用直接开平方法） (2)．（用配方法） 【答案】(1)， (2)， 【思路引导】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答的关键． （1）根据指定的直接开平方法解方程即可； （2）根据指定的配方法解方程即可． 【规范解答】（1）解：开方，得 即或 ∴，； （2）解：移项，得 配方，得 即 开方，得 ∴，． 20．（本题6分）如图，某校在综合实践活动课上，小明设计了一个探索杠杆平衡条件的装置，在左边固定的托盘A中放置一个重物（质量固定），在右边可左右移动的托盘B中放置一定质量的砝码（质量记为），可使仪器水平平衡（平衡时遵循杠杆平衡条件）．改变托盘B与点O之间的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表格： 托盘B与点O的距离 10 15 20 25 30 托盘B中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)y与x之间的函数表达式为____________； (2)当砝码的质量为时，求托盘B与点O之间的距离． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了反比例函数的图像和性质． （1）由题意可知y与x成反比例关系，设，将代入计算即可； （2）将代入计算即可． 【规范解答】（1）解：由题意，设， 结合表格数据，该函数图象过点 ， 与的函数表达式为． 故答案为：； （2）解：由题意，将代入， 得， 解得． 答：当砝码的质量为24g时，托盘与点之间的距离是． 21．（本题8分）小明同学在学习平行线分线段成比例定理时遇到这样一个问题：如图，在中，点D是的中点，点E是中点．连接，交于点G，求的值． 小明发现，过点D作交于H，根据平行线分线段成比例即可得到问题的答案．下面是小明的部分解题过程： 解：如图1，过点D作交于H， 是的中点， ， ， 请你补全余下的解题过程． 【答案】见解析 【思路引导】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，过点D作交于H，则可推出，证明，得到，则． 【规范解答】解：如图，过点D作交于H， 是的中点， ， ， ∵E是的中点， ∴， ． ， ∴． 22．（本题8分）小明开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案恤衫．已知每件恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， (1)若降价8元，则每天销售恤衫的利润为多少元？ (2)为了保证每件恤衫的利润率不低于，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率） 【答案】(1)1152元 (2)不能；理由见解析 【思路引导】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练应用一元二次方程解决问题是解题的关键． （1）根据题意，可表示出降价后的售价和每天的销售量，继而求得每天的利润； （2）根据题意，可设出降低的价格，根据等量关系“利润销售价每天的销量”列出方程，继而利用利润率对求得的解进行检验，即可求解． 【规范解答】（1）解：由题意得，若降价8元，每天能多售出（件）， 所以此时的销售价为元，销售量为（件）， 所以每天销售T恤衫的利润为（元）． 即若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元． （2）解：设每件T恤衫降价元时，每天能获得1200元的利润． 由题意可得， 去括号整理得， 因式分解得， 所以， 当时，每件利润为元， 利润率，不符合题意， 当时，每件利润为元， 利润率，不符合题意， 综上所述，为了保证每件恤衫的利润率不低于，小明每天不能获得1200元的利润． 23．（本题9分）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，且一次函数的图像交轴于点，交轴于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)在第四象限的反比例图像上有一点，使得，请求出点的坐标． (3)观察图像，直接写出时，x的取值范围． 【答案】(1)一次函数解析式为； (2) (3)或 【思路引导】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的图像与性质是解题的关键． （1）把点代入可求出反比例函数解析式，从而得到点A的坐标，再利用待定系数法求出一次函数的解析式即可； （2）求出点C，D的坐标，可得到，，设点P的坐标为，再由，可得关于b的方程，即可求解； （3）根据图像可直接进行求解． 【规范解答】（1）解：把点代入得： ， ∴反比例函数的解析式为； 把点代入得： ， ∴点， 把点，代入得： ， 解得：， ∴一次函数解析式为； （2）解：对于， 当时，，当时，， ∴点，点， ∴，， 设点P的坐标为， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴点的坐标为； （3）解：观察图像得：当或时，一次函数的图像在反比例函数的图像的下方， ∴不等式的解集为或． 24．（本题9分）数学活动小组的同学们利用阳光下的影子测量某建筑物顶部避雷塔的高度．如图，他们在同一时刻，分别测得该建筑物的影长为，的影长为，小强同学的影长为，其中点O，C，D，F，G在同一直线上，点，B，O在同一直线上，且，．已知小强同学的身高为，点A，B，O，C，D，E，F，G在同一平面内，求避雷塔的高． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了相似三角形的实际应用，根据题意可证明，利用相似三角形的性质列出比例式求出的长，进而求出的长就可得到答案． 【规范解答】解：∵同一时刻下，太阳光是平行的， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 答：避雷塔的高为． 25．（本题10分）如图1，矩形在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，点坐标为．反比例函数的图象与交于点，与交于点． (1)求证：； (2)若的面积为，求反比例函数的解析式； (3)如图2，在（2）的条件下，将沿轴的正方向平移得到，若线段在内部的长度为3．求点的坐标． 【答案】(1)见解析； (2)反比例函数解析式为； (3)点的坐标为或． 【思路引导】本题主要考查了一次函数与几何综合，反比例函数与几何综合，正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）由矩形的性质可得，则根据点B坐标可得，则可证明四边形为正方形，得到，可求出．则．证明，即可证明． （2）根据列式求解即可； （3）由（1）（2）得，可求出直线解析式为直线解析式为；直线解析式为；设，由平移的性质可得，则平移方式为向右平移m个单位长度，则，可得直线的解析式为，直线解析式为，直线解析式为；再分当与交于与交于，当与交于，与交于，两种情况讨论求解即可． 【规范解答】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ， ∴ 四边形为正方形， ， 在中，当时，，当时，， ∴． ． 在和中． ， ． （2）解：∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴反比例函数解析式为； （3）解：由（1）（2）得， 设直线解析式为， ∴， ∴ ∴直线解析式为 同理可得直线解析式为；直线解析式为； 设，由平移的性质可得，则平移方式为向右平移m个单位长度，则， ∴直线的解析式为，直线解析式为，直线解析式为； ①当与交于与交于， 在中，当时，， 在中，当时，， ∴ ， 解得， ∴． ②当与交于，与交于， 同理可得 ， 解得， ∴． 综上，若线段在内部的长度为3，则点的坐标为或． 26．（本题10分）在平面直角坐标系中，为原点，四边形是正方形，顶点，点在轴正半轴上，点在第二象限，的顶点，点． (1)如图①，连接、，判断与的关系，并证明． (2)将正方形沿轴向右平移，得到正方形，点，的对应点分别为．设，正方形与重合部分的面积为． ①如图②，当正方形与重合部分为五边形时，直线分别与轴，交于点与交于点，试用含的式子表示，并直接写出的取值范围； ②若平移后重合部分的面积为，求的值． 【答案】(1)且；证明见详解 (2)①； ②的值为或 【思路引导】（1）连接、后延长至，交于点，根据正方形的性质和全等三角形的性质和判定可得，再根据推出，即可证明． （2）①∵根据题意结合正方形的性质可得四边形是矩形，进而得出，，再根据当时，正方形与重合部分为五边形，可列式，代入数值化简即可． ②分成，，，，五种情况时，令重合部分面积等于，即可求解． 【规范解答】（1）且． 证明：连接、后延长至，交于点，如图： ∵四边形是正方形，顶点，，点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故且． （2）解：①∵，，， ∴，， 由平移知，四边形是正方形，得，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 当时，正方形与重合部分为五边形， ， ∴． ②当时，则有， 由题意得， 解得：，不符题意； 当时， 由题意得， 解得或（不符题意，舍去）； 当时，有， ∴， ∴， ， 解得：（不符题意，舍去）和（不符题意，舍去）； 当时，点与点重合， 此时，不符合题意； 当时， ∴， 由题意得， 解得：或（舍去）； 综上，的值是或． 【考点剖析】本题考查了平移，正方形的性质，解一元二次方程，全等三角形的性质和判定的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 强化卷·答案版 (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：湘教版2024九年级上册第一章~第三章。 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本 大题共10个小题，每小题3分，共30分) 2 4 6 7 8 10 B C B C D B D A 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11.-1 12.号 13.12 14.-3 15.V2 16.2 x=5 17.2 18.月 三、解答题（本大题共8小题，第19-20题每小题6分，第21-22题每小题8分，第23-24题每小题9分， 第25-26题每小题10分，共66分) 19.(本题6分)(1)解：开方，得2x-1=±3 即2x-1=3或2x-1=-3 .X1=2,X2=-1; (2)解：移项，得x2-6x=-2 配方，得x2-6x十9=-2十9 即(x-3)2=7 开方，得x-3=±V万 1/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴x1=3+V7,x2=3-V7 20.(本题6分)(1)解：由题意，设y=令， 结合表格数据，该函数图象过点(10,30)， ÷k=10×30=300, “y与x的函数表达式为y= 故答案为：y=, (2)解：由题意，将y=24代入y=, 得24=30， 解得x=12.5. 答：当砝码的质量为24g时，托盘B与点0之间的距离是12.5cm. 21.(本题8分)解：如图，过点D作DHBE交AC于H, A G D 图1 :D是BC的中点， :BD=CD, ·品=器=1， ,E是AC的中点， ..AE=CE, ∴歸=爵-2 DHIGE, 器=哿=2. 22.(本题8分)(1)解：由题意得，若降价8元，每天能多售出2×8=16（件）， 所以此时的销售价为100-8=92元，销售量为20+16=36（件）， 所以每天销售T恤衫的利润为(92-60)×36=1152（元). 即若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元. 2/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：设每件T恤衫降价x元时，每天能获得1200元的利润. 由题意可得(100-x-60)(20+2x)=1200, 去括号整理得x2-30x+200=0, 因式分解得(x-10)(x-20)=0, 所以x1=10,X2=20, 当x=10时，每件利润为100一10-60=30元， 利润率=器×100%=50%<556，不符合题意， 当x=20时，每件利润为100-20-60=20元， 利润率=器×100%=青×100%≈33%<55%，不符合题意， 综上所述，为了保证每件T恤衫的利润率不低于55%，小明每天不能获得1200元的利润. 23.（本题9分)(1)解：把点B(-1,3)代入y2=奈(k≠0)得： k=-1×3=-3, ·反比例函数的解析式为y2=-是， 把点A(a,-1)代入y2=-景得： a=-马=3， .点A(3,-1), 把点A(3,-1),B(-1,3)代入y1=mx+n(m≠0)得： (3m+n=-1 -m+n=3’ ∫m=-1 解得：{ 卫=2， ·一次函数解析式为y1=-x+2, (2)解：对于y1=-x+2, 当x=0时，y1=2,当y=0时，x=2, .点C(2,0),点D(0,2), .0C=2,0D=2, 设点P的坐标为(b一号)， S△0cP=6S△0BD, 3/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴0C×(-yp)=6×克×(-xB)×0D, 即片×2×吾=6××1×2， 解得：b=, ∴点P的坐标为（号，-6）： (3)解：观察图像得：当一1<x<0或x>3时，一次函数的图像在反比例函数的图像的下方， ∴，不等式kx+b一受≤0的解集为一1≤x<0或x≥3. 24.（本题9分)解：，同一时刻下，太阳光是平行的， .EG‖AD‖BC, ∴.∠EGF=∠ADO=∠BCO; A0⊥DO,EF⊥GF, ∠EFG=∠B0C=∠A0D=90°， ∴.△EFG△A0D,△EFG△BOC, “器=器，器=器，即器=器，器=器， .0A=22.5m,0B=18m, AB=0A-0B=4.5m, 答：避雷塔的高AB为4.5m, 25.（本题10分)(1)证明：四边形0ABC是矩形， AB⊥OA, :B(4,4), .0A=AB=4 ·四边形ABCO为正方形， :0A=0C,∠0AF=∠0CE=90°， 在y=尝(k>0)中，当x=4时，y=聋，当y=奈=4时，x=车， ∴E(,4),F(4,) AF=CE=年， 在△OAF和△OCE中. 4/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0A=0C ∠0AF=L0CE, AF-CE ·△OAF≌△OCE(SAS) ·0E=0F. (2)解：：S△0EF=S正方f形0ABC-S△40F-S△CoE-S△BEF, ∴.4×4-×4×聋-3×4×年-×(4-冬)(4-冬)=， 解得k=4或k=-4（舍去)， 反比例函数解析式为y=; (3)解：由(1)(2)得E(1,4),F(4,1), 设直线EF解析式为y=k1x+b1, 【k1+b1=4 41+b1=1 （k1=-1 1b1=5 ∴.直线EF解析式为y=-x+5 同理可得直线0E解析式为y=4x;直线OF解析式为y=聋： 设P(m,O),由平移的性质可得PNIIOE,MNIEF,PM‖OF,则平移方式为向右平移m个单位长度， 则N(1+m,4), .直线MN的解析式为y=-(x-m)+5,直线PN解析式为y=4(x-m),直线PM解析式为 y=Ψ， ①当AB与MN交于G,AB与PM交于H, 在y=-(x-m)+5中，当x=4时，y=m+1, 在y=平中，当x=4时，y=Ψ， G(4m+1),H(4,Ψ)】 G >M 支：GH=m+1-Ψ=婴=3， 解得m=号， 5/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴P(号，0) ②当AB与PN交于K,AB与PM交于H, 同理可得K(4,16-4m),H(4,) BN P A 支：KH=16-4m-望=60=3， 4 解得m=兰 ∴P(兽，0) 综上，若线段AB在△PNM内部的长度为3，则点P的坐标为（号，0）或（兽，0）. 26.(本题10分)(1)AM⊥BN且AM=BN. 证明：连接AM、BN后延长NB至AM,交于点Q,如图： M B N衣 图① ,四边形A0BC是正方形，顶点A(-4,0),M(0,5)，点N(5,0), .A0=B0=4,M0=N0=5 又，∠A0M=∠M0N=90°， .△AMO≌△BNO(SAS), ∴∠MAO=∠OBN,AM=BN, ,∠QBM=∠OBN, ∴.∠MAO+∠QMB=∠QBM+∠QMB=90°， ∴.∠MQB=90°， AM⊥BN, 故AM⊥BN且AM=BN. (2)解：①M(0,5),N(5,0),∠M0N=90°， 6/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.M0=N0=5,∠0MN=∠0NM=45o, 由平移知，四边形A0BC是正方形，得BC=4,∠B=∠BO0=90°， ∴.四边形00BE是矩形， ∴.BE=00=t,0E=B0=4,∠BEM=90o, .∠EFM=45°， .EF=ME=M0-E0=5-4=1,BF=t-1, :∠BFH=∠EFM=45°， .∠BHF=45°， ·BH=BF=t-1, 当1<t≤4时，正方形A0'BC与△MON重合部分为五边形， S=00.0E-BH·BF=4t-3(t-1)2=-t2+5t-, S=-t2+5t-(1<t≤4) 珠 M F B H AO 0N衣 ②当0<t≤1时，则有0<BE≤1， 由题意得S=4t=号， 解得：t=司，不符题意： 当1<t≤4时， 由题意得S=-t2+5t-方=号， 解得t=5-V15或5+V15(不符题意，舍去)： 当4<t<5时，有0A=t-4, ∴.CF=1-(t-4)=5-t, ∴.FB=HB=4-(5-t)=t-1, S=A0·AC-专BH·BF=4×4-(t-1)2=号， 7/8 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得：t=1+V23(不符题意，舍去)和t=1-V23(不符题意，舍去)： 当t=5时，点0与点N重合， 此时S=吉×4×4=8>号， 不符合题意； 当5<t<9时， 珠 C ∴AN=AF=9-t 由题意得(9-t)2=号， 解得：t=6或t=12(舍去)： 综上，t的值是5-V15或6. 8/8 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 强化卷·考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版2024九年级上册第一章~第三章。 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的. 请在答题卡中填涂符合题意的选项. 本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．（本题3分）下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（本题3分）如图，在中，，若，则的值为（    ） A．3 B． C． D． 3．（本题3分）如图，一次函数和反比例函数的图象相交于点，，若，则的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 4．（本题3分）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A． B． C． D． 5．（本题3分）如图是某花架及其侧面示意图，已知，则的长为（   ） A． B． C． D． 6．（本题3分）如图，在矩形中，，点从点出发沿以的速度向点运动；同时，点从点出发沿以的速度向点运动，点运动到点时，点也停止运动；当的面积等于时，运动时间为（　　）s． A．2 B．4 C．10 D．2或10 7．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别在x轴、y轴正半轴上，顶点C、D位于第一象限，反比例函数的图象经过正方形的对角线的交点若的面积为，正方形边长为3，则k的值为（ ） A．2 B． C．3 D． 8．（本题3分）若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程；与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（   ） A．2018 B．2020 C．2025 D．2030 9．（本题3分）如图，在中，，是边上的中线，将绕着点C顺时针旋转，得到，连接，交于点F．若，，则（   ） A． B． C．9 D． 10．（本题3分）如图，等腰三角形的底边均在轴负半轴上，且每个等腰三角形的底边长相等，顶点均在反比例函数的图象上，已知第个等腰三角形顶点的横坐标为，第个等腰三角形顶点的横坐标为，，依此类推，则第个等腰三角形顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．（本题3分）已知是关于的一元二次方程，则代数式 ． 12．（本题3分）如图，在中，，于点，，，则的长为 ． 13．（本题3分）如图，点A是y轴上一点，点B，C分别在反比例函数和的图象上，且轴，若的面积为6，则的值为 ． 14．（本题3分）是关于的方程的两实数根，且，则的值为 ． 15．（本题3分）如图，四边形与四边形都是正方形，将正方形BEFG绕点按顺时针方向旋转，连接．在正方形BEFG绕点按顺时针方向旋转的过程中，的值为 ． 16．（本题3分）我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法，以方程为例，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载：构造大正方形的面积是，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，根据面积关系可求得的长，从而解得正数解．小刚用此方法解关于x的方程时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为144，小正方形的面积为4，则 ；关于x的方程的正数解为 ． 17．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点P在直线上．顶点Q在函数的图象上，M、N两点在x轴上．若点Q的横坐标为，则k的值为 ． 18．（本题3分）如图，把边长为3的正方形绕点逆时针旋转得到正方形与交于点的延长线交于点，交的延长线于点．若，则 ． 三、解答题（本大题共8小题，第19-20题每小题6分，第21-22题每小题8分，第23-24题每小题9分，第25-26题每小题10分，共66分） 19．（本题6分）按照指定方法解下列方程： (1)（用直接开平方法） (2)．（用配方法） 20．（本题6分）如图，某校在综合实践活动课上，小明设计了一个探索杠杆平衡条件的装置，在左边固定的托盘A中放置一个重物（质量固定），在右边可左右移动的托盘B中放置一定质量的砝码（质量记为），可使仪器水平平衡（平衡时遵循杠杆平衡条件）．改变托盘B与点O之间的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到如下表格： 托盘B与点O的距离 10 15 20 25 30 托盘B中的砝码质量 30 20 15 12 10 (1)y与x之间的函数表达式为____________； (2)当砝码的质量为时，求托盘B与点O之间的距离． 21．（本题8分）小明同学在学习平行线分线段成比例定理时遇到这样一个问题：如图，在中，点D是的中点，点E是中点．连接，交于点G，求的值． 小明发现，过点D作交于H，根据平行线分线段成比例即可得到问题的答案．下面是小明的部分解题过程： 解：如图1，过点D作交于H， 是的中点， ， ， 请你补全余下的解题过程． 22．（本题8分）小明开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案恤衫．已知每件恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， (1)若降价8元，则每天销售恤衫的利润为多少元？ (2)为了保证每件恤衫的利润率不低于，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率） 23．（本题9分）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，且一次函数的图像交轴于点，交轴于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)在第四象限的反比例图像上有一点，使得，请求出点的坐标． (3)观察图像，直接写出时，x的取值范围． 24．（本题9分）数学活动小组的同学们利用阳光下的影子测量某建筑物顶部避雷塔的高度．如图，他们在同一时刻，分别测得该建筑物的影长为，的影长为，小强同学的影长为，其中点O，C，D，F，G在同一直线上，点，B，O在同一直线上，且，．已知小强同学的身高为，点A，B，O，C，D，E，F，G在同一平面内，求避雷塔的高． 25．（本题10分）如图1，矩形在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，点坐标为．反比例函数的图象与交于点，与交于点． (1)求证：； (2)若的面积为，求反比例函数的解析式； (3)如图2，在（2）的条件下，将沿轴的正方向平移得到，若线段在内部的长度为3．求点的坐标． 26．（本题10分）在平面直角坐标系中，为原点，四边形是正方形，顶点，点在轴正半轴上，点在第二象限，的顶点，点． (1)如图①，连接、，判断与的关系，并证明． (2)将正方形沿轴向右平移，得到正方形，点，的对应点分别为．设，正方形与重合部分的面积为． ①如图②，当正方形与重合部分为五边形时，直线分别与轴，交于点与交于点，试用含的式子表示，并直接写出的取值范围； ②若平移后重合部分的面积为，求的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $