专题04 一元二次方程根的判别式与根与系数的关系（高效培优期中专项训练）数学湘教版九年级上册

专题04 一元二次方程根的判别式与根与系数的关系 考点01 判断不含参数方程的根的情况 1 考点02 判断含参数方程的根的情况 2 考点03 根据根的情况求参数的取值范围 5 考点04 根据根的情况判断三角形边长 9 考点05 根据根与系数的关系直接求代数式的值 12 考点06 根据根与系数的关系求参数的值 14 考点07 根据根与系数的关系求参数的取值范围 17 考点08 根据根与系数的关系构造一元二次方程求解 21 考点09 根据根与系数的关系解几何问题 26 考点10 根与系数的综合应用 29 考点01 判断不含参数方程的根的情况 1．（25-26九年级上·海南海口·阶段练习）方程的根的情况是 A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式． 利用根的判别式进行判断即可． 【规范解答】解：由得，， ∵， ∴ 该一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：D． 2．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】A 【思路引导】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先计算判别式的值，再根据计算结果进行判断即可． 【规范解答】解：， 则，，， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 3．（25-26九年级上·全国·阶段练习）方程的根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【思路引导】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程中，，，，可以求出，所以可知方程有两个不相等的实数根． 【规范解答】解：方程中，，，， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 4．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段练习）关于的方程根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有1个实数根 【答案】C 【思路引导】本题考查根的判别式．根据题意比较和0的大小关系即可得到本题答案． 【规范解答】解：， ， ∴， ∵， ∴方程没有实数根， 故选：C． 考点02 判断含参数方程的根的情况 5．（25-26九年级上·甘肃天水·阶段练习）关于x的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若n是方程的一个根，则；④若是方程的一个根，则是方程的一个根．其中正确的是 ．（写出所有正确说法的序号） 【答案】①②④ 【思路引导】此题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的根等知识，完全平方公式，提公因式，证明，即可判断①，证明，即可判断②；根据一元二次方程根的定义得到，则或，即可判断③；由题意可得，即可判断④． 【规范解答】解：①对于方程， ， 若，则， 则， 即， ∴方程一定有两个不相等的实数根；故①正确； ②由①可知，， 若，则，即，则， ∴， ∴方程没有实数根；故②正确； ③若n是方程的一个根，则，即， 则或，即或，故③错误； ④若是方程的一个根， 则， ∵， ∴两边同除以得， ， 即， ∴是方程的一个根． 故④正确； 综上可知，①②④正确， 故答案为：①②④． 6．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）解方程． (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)，； (2)，； (3)无实数根 (4)，； 【思路引导】本题考查一元二次方程的解法，包括配方法，因式分解法以及判别式法． （1）对于方程，可使用配方法求解，通过配方将方程转化为完全平方式，再开方求解； （2）对于方程，可利用因式分解法求解，将方程转化为两个因式相乘等于0的形式，再求解； （3）对于方程，可使用判别式法，通过计算判别式的值，判断方程根的情况； （4）对于方程，可利用因式分解法求解，将方程转化为两个因式相乘等于0的形式，再求解． 【规范解答】（1）解： 或 ，． （2）解： 或 ，． （3）解： ，，， ∴， ∴方程无实数根． （4）解： 或 即，． 7．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知关于x的一元二次方程：． (1)求证：这个方程总有两个实数根． (2)若是方程的一个根，求m的值和方程的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)m的值为4，方程的另一个根为1 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，通过根求系数，解一元二次方程等内容，解题的关键是掌握一元二次方程的求解． （1）根据根的判别式列出代数式，利用完全平方公式进行整理，然后可得结论； （2）将根代入原方程即可求出参数，然后利用因式分解法求一元二次方程的解即可． 【规范解答】（1）证明：由得， ∴这个方程总有两个实数根； （2）解：将代入得， ， 解得， ∴ ， ∴或 ∴，， ∴m的值为4，方程的另一个根为1． 8．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若是方程的一个根，则一定有成立；③若，则它有一个根是；④若一元二次方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根，其中正确的是 （填序号）． 【答案】①③④ 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的根的定义、根的判别式，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题的关键．根据一元二次方程的根的定义、根的判别式等知识，对每个说法逐一进行分析判断． 【规范解答】解：①若，则是方程的一个根，所以方程有实数根，故，①正确． ②若是方程的一个根，则，当时，；当时，，则不一定等于，②错误． ③若，则当时，，所以它有一个根是，③正确． ④若一元二次方程有两个不相等的实数根，则，即．对于方程，其判别式，因为，，所以，故方程必有两个不相等的实数根，④正确． 故答案为：①③④． 考点03 根据根的情况求参数的取值范围 9．（24-25九年级上·湖北襄阳·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求a的取值范围； (2)若a为正整数，且方程的两个根也是整数，求a的值及此时的两根． 【答案】(1)且． (2)，此时方程的两根为，． 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的定义、根的判别式以及解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题的关键． （1）根据一元二次方程的定义，二次项系数不为，再结合根的判别式，求出的取值范围． （2）在（1）的基础上，根据为正整数，确定的可能值，再代入方程，结合根为整数，确定的值，进而求出方程的根． 【规范解答】（1）解：∵方程是一元二次方程， ∴． 又∵方程有实数根， ∴根的判别式，其中，，， ∴， ， ， ， ∴的取值范围是且． （2）解：∵为正整数，且， ∴或． 当时，方程为，此时，，根不是整数，不符合题意． 当时，方程为， 解得，，符合题意． ∴，此时方程的两根为，． 10．（25-26九年级上·云南昆明·阶段练习）已知关于x的一元二次方程 (1)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； (2)若是方程的一个根，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】本题考查一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系． （1）根据题意得到，进而解不等式即可求解； （2）将代入方程中，得到，，进而求得 ， ，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，即， 解得， 故k的取值范围为； （2）证明：∵是方程的一个根， ∴，则，， ∴ ， ， ∴． 11．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知关于x的方程． (1)求证：无论k为何值，方程总有实数根； (2)若等腰三角形的边长，b、c为方程的两个根，求k值． 【答案】(1)见解析； (2)． 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程根的判别式以及等腰三角形的性质、三角形三边关系．熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系，以及等腰三角形的性质和三角形三边关系是解题的关键． （1）要证明无论为何值方程总有实数根，需要考虑方程的判别式．对于一元二次方程，当判别式非负时，方程有实数根，所以通过计算判别式并判断其取值范围来证明． （2）已知等腰三角形的边长，、为方程的两个根，需要根据等腰三角形的性质，分情况讨论哪两边相等，再结合方程根与系数的关系求解的值． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴其判别式 ∵任何数的平方都大于等于，即， ∴无论为何值，方程总有实数根； （2）解：∵， ∴， 分三种情况讨论： 情况一：若为腰，，． ∵，不满足三角形任意两边之和大于第三边，这种情况舍去； 情况二：若为底，，则． 此时三边为，，，满足三角形三边关系； 综上，． 12．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段练习）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程” (1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； (2)已知关于的一元二次方程．（是常数）是“邻根方程”，求的值． 【答案】(1)是，计算见解析 (2)或 【思路引导】本题考查因式分解法解一元二次方程，公式法解一元二次方程． （1）先利用因式分解法解一元二次方程，再根据题意即可得到答案； （2）根据题意利用公式法解一元二次方程，再列出两根相减等于1的式子，解出即可得到本题答案． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵符合“邻根方程”定义， ∴是“邻根方程”； （2）解：∵关于的二次方程．（是常数）是“邻根方程”， ∴， ∴， ∴， ∴或， ①当时，即， 方程根为或， ∵， ∴， ∴，解得：； ②当时，即， 方程根为或， ∵， ∴， ∴，解得：； ③当时，即， 方程根为， 不符合题意，不存在的值使得其中一个根比另一个根大1， ∴综上所述：或． 考点04 根据根的情况判断三角形边长 13．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）已知的一条边的长为5，另两边、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； (2)当m为何值时，是等腰三角形？并求此时的周长． 【答案】(1)见解析 (2)11或13 【思路引导】本题主要考查了根的判别式、等腰三角形的判定． （1）依据题意，由，进而可以判断得解； （2）依据题意，分①当为腰长时；②当为底边时两种情形，分别讨论计算可以判断得解． 【规范解答】（1）证明：∵ ， ∴无论m为何值，方程总有两个实数根； （2）解：①当为腰长时，则方程必有一个根为5， ∴， ∴， ∴方程为：， ∴或， ∴等腰三角形的三边为：5，5，3， ∴周长为：； ②当为底边时，则方程有2个相同的实数根， ∴， ∴， ∴方程为：， 解得：， ∴等腰三角形的周长为：． 综上：周长为11或13． 14．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知的两边的长是关于x的一元二次方程的两个根，第三边的长是10． (1)求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根． (2)当n为何值时，为等腰三角形？并求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)时，为等腰三角形，的周长分别为28或32． 【思路引导】此题考查解一元二次方程，根的判别式，灵活选用适当的方法求得方程的解即可． （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可证出：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）由（1）的结论及为等腰三角形，可得出只能是的腰，再将代入原方程中求出n的值，分别解一元二次方程求解即可． 【规范解答】（1）证明： ∴无论n为何值方程总有两个不等实根； （2）解：∵方程有两个不相等实根， 为等腰三角形， ∴方程的其中一根应为10， ∴， 即：， 解得， 当时，方程为， 解得， ∴三边为10，10，12，周长为， 当时，方程为， 解得， ∴三边为8，10，10，周长为． 15．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程一定有两个实数根； (2)若等腰的一边长，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【思路引导】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，三角形的三边关系，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键． （1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）根据等腰三角形的定义，分两种情况讨论：当时；当或时，分别求出的值，进而得到另两边边长，再根据三角形的三边关系判断即可． 【规范解答】（1）证明：， ，即， 无论取任何实数值，方程总有实数根； （2）解：当时，，则， 方程化为，解得， 的周长； 当或时， 把代入方程得，解得， 方程化为，解得，， 此时不符合三角形三边的关系，此情况舍去， 的周长为5． 16．（16-17九年级下·湖南株洲·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根； (2)若等腰的一边长为6，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)或 【思路引导】本题考查了根的判别式及三角形三边关系定理，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验． （1）计算方程的根的判别式，若，则证明方程总有实数根； （2）设，另两边长为能是腰，分两种情况求得，的值后，再求出的周长，注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验． 【规范解答】（1）证明：， ∴无论取何值，方程总有实数根； （2）设 ，另两边长为、， ①若为底边，则，为腰长，则则， 解得：， 此时原方程化为 ，即， 此时三边为，，不能构成三角形，故舍去； ②若为腰， 则，中一边为腰，不妨设， 代入方程：，解得或， 则原方程化为或 解得或， 即 或 ， 此时三边为， ， 或，， 能构成三角形， 周长为或． 考点05 根据根与系数的关系直接求代数式的值 17．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段练习）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】A 【思路引导】本题考查的是一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，根据一元二次方程的解的意义和根与系数的关系可得到，将所求代数式变形代入求值即可． 【规范解答】解：，是一元二次方程的两个实数根， ， ， ， 故选：A． 18．（25-26九年级上·云南昆明·阶段练习）已知a，b是方程的两个实数根，则的值是（   ） A．6 B． C． D．8 【答案】C 【思路引导】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，．据此求得，，进而代值求解即可． 【规范解答】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ， 故选：C． 19．（25-26九年级上·甘肃酒泉·阶段练习）若、是一元二次方程的两个根，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、分式的求值，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 由根与系数的关系可得，，根据分式的运算法则得到，再整体代入数据即可求解． 【规范解答】解：∵、是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴． 故选：D． 20．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段练习）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 【答案】5 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系． 利用根与系数的关系及多项式乘多项式的法则进行求解即可． 【规范解答】解：根据题意得，， ， 将代入上式得， 原式， 故答案为：5． 考点06 根据根与系数的关系求参数的值 21．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若方程的两根分别为，且，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)k的值为0或 【思路引导】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，解一元二次方程，熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系，根与系数的关系，是解题的关键： （1）求出判别式的符号，即可得出结论； （2）根据根与系数的关系，列出方程进行求解即可． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）∵方程的两根分别为， ∴ ∴， 整理，得， 解得或． 22．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知关于x的一元二次方程的两根分别为，则b与c的值分别为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，根据是一元二次方程的两个实数根，得出，据此列式，代入数值，进行计算，即可作答． 【规范解答】解：∵关于x的一元二次方程的两根分别为， ∴， 解得， 故选：A 23．（25-26九年级上·山西晋城·阶段练习）综合与实践 已知关于的一元二次方程（），且方程的两根为，． (1)当时，求方程的根． (2)若，，，且，恰好的两条直角边的长，求此的斜边的长． (3)若，且，求的值． （温馨提示：若一元二次方程的两个根为、，则有，） 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理； （1）根据题意得原方程为：，解方程，即可求解； （2）根据题意得出原方程为：，根据一元二次方程根与系数的关系可得，根据勾股定理即可求解； （3）根据题意得出原方程为：，设得出，根与系数的关系：根据已知，得出或，再求得原方程的判别式，进而求得的值，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵ ∴原方程为：， 可得： （2）解：∵，，， ∴原方程为： ∵方程的两根为，，且，恰好的两条直角边的长， ∴ ∴此的斜边的长为 （3）解：∵， ∴ ∴原方程为： ∴ 设 ∴ 由根与系数的关系： ∵，代入得：. ∴即 解得：或 ∵中， 当时， ∴当时，， 当时，，原方程无实根，舍去， 综上所述， 24．（25-26九年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知平行四边形的两边长，是关于的一元二次方程 的两个实数根． (1)若的长为，求的值； (2)当为何值时，平行四边形为菱形； (3)是否存在使得平行四边形为对角线长为的矩形？若存在，请求出的值以及矩形面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，矩形的面积为 【思路引导】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，菱形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握根的判别式和菱形的判定与性质是解题的关键． （1）将代入原方程，即可求出的值； （2）根据菱形的性质可得出，即方程有两个相等的实数根，结合根的判别式，得出关于的一元二次方程，解方程即可得出的值； （3）根据平行四边形为对角线长为的矩形，则有，即，由根与系数关系得：，，将等式进行变形，可得关于的一元二次方程，解方程结合实际意义可确定的值，进而可求得矩形的面积． 【规范解答】（1）解：将代入方程得：， 解得； （2）解：菱形的邻边相等， ，即方程有两个相等的实数根， ， 即， ， ； （3）解：存在，理由如下： 设方程两根为，，则，， 由根与系数的关系得：，， 若平行四边形为对角线长为的矩形，则有， 即， ， ， 整理得：， 解得或， 当时，，不符合题意，舍去， ， 矩形的面积为． 考点07 根据根与系数的关系求参数的取值范围 25．（24-25九年级上·广西南宁·期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是（     ） A． B． 且 C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了一元二次方程根的判别式，设一元二次方程的两个根分别为，根据方程有两个不相等的正实数根，可得，由此可得出m的取值范围． 【规范解答】解：设一元二次方程的两个根分别为， 关于x的一元二次方程有两个不相等的正实数根， ， 解得， 解得， 解得， 解④得，当时，恒成立， m的取值范围是， 故选：D． 26．（24-25九年级下·山东青岛·阶段练习）阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程的两个实数根为，则 ， ； (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，则的值为 ； (3)提升：已知实数s，t满足，且，则的值 ； (4)拓展：已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数的取值范围是 ． 【答案】(1)， (2) (3)或 (4) 【思路引导】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出，，再根据，最后代入求值即可； （3）由题意可将s、t可以看作方程的两个根，即得出，，从而由，求得或，最后分类讨论分别代入求值即可； （4）根据方程有两个不相等的实数根得到，求出，然后利用根与系数的关系得到，，然后代入求出，进而求解即可． 【规范解答】（1）解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴，． 故答案为：，； （2）解：∵一元二次方程的两根分别为m、n， ∴，， ∴ ； （3）解：∵实数s、t满足， ∴s、t可以看作方程的两个根， ∴，， ∵ ， ∴或， 当时， ， 当时， ， 综上分析可知，的值为或． （4）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ 解得 ∵关于的一元二次方程 ∴， ∵ ∴ ∴ 解得 综上所述，． 【考点剖析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，完全平方公式的变形计算．理解题意，掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． 27．（23-24九年级上·天津和平·期末）（1）解方程：； （2）已知关于的一元二次方程的两个实数根异号．求的取值范围． 【答案】（1），；（2） 【思路引导】本题主要考查了解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、根与系数的关系等知识点，熟练掌握一元二次方程的几种解法以及一元二次方程根的判别式是解本题的关键． （1）先移项，然后运用因式分解法求解即可； （2）由根的判别式可得，再运用根与系数的关系可得，进而完成解答． 【规范解答】解：（1）， ， 或， 所以； （2）∵关于的一元二次方程的两个实数根， ， ． 又两根异号， ， ． 综上，． 28．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍为正整数），则称这样的方程为“倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)根据上述定义，是“________倍根方程”； (2)若关于的方程是“三倍根方程”，求的值； (3)直线：与轴交于点，直线过点，且与相交于点．若一个五倍根方程的两个根为和，且点在的内部（不包含边界），求的取值范围． 【答案】(1)四 (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一次函数与几何综合，正确理解“倍根方程”的定义是解题的关键． （1）利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义求解即可； （2）由题意可设这个方程的两个根分别为，则由根与系数的关系可得，据此求解即可； （3）利用待定系数法求出直线解析式为；再根据题意可得，则可得点P在直线上，求出直线与直线的交点坐标，直线与直线的交点坐标，根据点在的内部（不包含边界），结合函数 图象即可得到答案． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得， ∵， ∴是“四倍根方程”； （2）解：∵关于的方程是“三倍根方程”， ∴可设这个方程的两个根分别为， ∴， ∴， ∴； （3）解：设直线解析式为， 把代入到中得， ∴， ∴直线解析式为； ∵一个五倍根方程的两个根为和， ∴， ∴点P的坐标为， ∴点P在直线上， 联立，解得， 联立，解得， ∵点在的内部（不包含边界）， ∴． 考点08 根据根与系数的关系构造一元二次方程求解 29．（24-25九年级上·河北唐山·期末）【阅读材料】若关于的一元二次方程的两根为，则． 这就是一元二次方程根与系数的关系，根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： 【材料理解】一元二次方程的两根为，则______，______； 【类比运用】已知关于的一元二次方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个实数根； ②若该方程的两个实数根、满足，求的值． 【答案】材料理解：，；类比运用：①见解析；② 【思路引导】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 材料理解：根据一元二次方程根与系数的关系进行计算即可； 类比运用：①证明即可；②通过一元二次方程根与系数的关系表示出两根和，以及两根乘积，然后代入解方程即可． 【规范解答】材料理解： 解，∵一元二次方程的两根为，， ∴， 故答案为：，； 类比运用： ①证明：∵， ∴， ∴不论m为何值，该方程总有两个实数根； ②∵，是一元二次方程的两根， ∴，， 又∵， ∴， 解得：． 30．（24-25九年级上·福建·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论a为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)设，是方程的两个根，求的值． 【答案】(1)见详解 (2) 【思路引导】本题考查了一元二次方程的根的判别式，完全平方公式，根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先整理得，再计算，即可作答． （2）结合完全平方公式，得，然后计算，再代入化简，即可作答． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴ ∴ 故无论a为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：依题意， ∵， ∴， ∴， 则． 31．（24-25九年级上·福建漳州·阶段练习）如果方程的两个根是，，则，，请根据以上结论，解决下列问题： (1)若，，求方程的两根． (2)已知实数a、b满足，，求的值； 【答案】(1)， (2)或2 【思路引导】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． （1）根据，，得出方程，再求解即可； （2）根据、满足，，得出，是的解，求出和的值，即可求出的值． 【规范解答】（1）解：当，，则方程为， ， 或， ∴，； （2）解：、满足，， 、是的解， 当时，，， ； 当时，原式． 综上，的值为或2． 32．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程是“邻根方程”的是 （填序号）． ①；②；③；④． (2)若方程是“邻根方程”，是方程的两根，求： ①请求出k的值． ②若点是一次函数图象上的一点，求一次函数的解析式． (3)若，m，b均为常数，是关于x的“邻根方程”，则方程是“邻根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由． 【答案】(1)②④ (2)①②或 (3)， 【思路引导】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系，理解“邻根方程”的定义是解此题的关键； （1）分别求得①②③④中两个方程的根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）①利用根与系数的关系和“邻根方程”的定义列出关于的方程求解即可；②利用，求得，，分两种情况，代入即可求得的值； （3）解方程，，均为常数，求得两个根，由“邻根方程”的定义计算得出，即，解，计算两个根的差即可判断方程是“邻根方程”，进一步代入，即可求得方程的根． 【规范解答】（1）解：①解方程得，， ， 方程不是“邻根方程”； ②解方程得，， ， 方程是“邻根方程”； ③解方程得， ， 方程不是“邻根方程”； ④解方程得，， ， 方程是“邻根方程”． 故答案为：②④． （2）解：①方程是“邻根方程”，、是方程的两根， ，，， ， ， 解得； ②方程是“邻根方程”，、是方程的两根， ，， 解得，， 点是一次函数图象上的一点， ， ， 一次函数的解析式为； ，， 点是一次函数图象上的一点， ， ， 一次函数的解析式为； 故一次函数的解析式为或； （3）解：由题意可知，方程，，均为常数，有两个实数根， ， ，，均为常数，是关于的“邻根方程”， ， ， ， ， ， ， ， 方程是“邻根方程” 则， 方程的根为或． 考点09 根据根与系数的关系解几何问题 33．（24-25九年级上·四川成都·期中）（1）已知k为实数，关于x的方程有两个实数根． ①求实数k的取值范围； ②若，试求k的值． （2）如图，在菱形中，对角线相交于点O，． ①求证：四边形是矩形； ②若，求四边形的面积． 【答案】（1）①；②；（2）①见解析；② 【思路引导】（1）①把方程化为一般式，再根据判别式的意义得到，然后解不等式即可； ②利用根与系数的关系得到，再利用得到．然后解关于k的方程后利用k的范围确定满足条件的k的值； （2）①根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可； ②证明三角形是等边三角形得出的长，再根据勾股定理求出的长即可得出结果． 【规范解答】解：（1）①∵关于x的方程有两个实数根 即关于x的方程有两个实数根， ∴， ∴， ∴实数k的取值范围为； ②∵方程的两根为， ∴， ∵，即， ∴， 解得：， ∵， ∴； （2）①证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形； ②解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 由（1）得：四边形是矩形， 在中，由勾股定理得：， ∴四边形的面积． 【考点剖析】本题考查了根的判别式，根与系数关系，矩形的判定与性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记各知识点是解题的关键． 34．（2025·四川泸州·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与双曲线的图象交于点，，连接并延长与双曲线交于点，连接，． (1)求一次函数的解析式； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了反比例函数与一次函数综合，熟练利用数形结合的思想是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）联立反比例函数和一次函数解析式，可得，，在利用勾股定理可得值，即可求得坐标，代入反比例函数，即可求出值． 【规范解答】（1）解：把，代入， 可得， 解得； 一次函数的解析式为 （2）解：联立， 整理得， 直线与双曲线交于点，， 点，的横坐标即为方程的两个解， ， 设，则，且， 把代入， 可得， ， ， ， ， ， 解得，（舍去）， ， 把代入反比例函数， 可得， 考点10 根与系数的综合应用 35．（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）阅读材料：对于一元二次方程（其中），其两个根和与系数、、之间存在以下关系：①两根的和：；②两根的积：．这两个关系式被称为一元二次方程的根与系数的关系，也被称为韦达定理（Vieta's formulas）． 解决问题： (1)验证关系：给定一元二次方程，请验证其两个根的和与积是否分别满足和． (2)应用关系：若一元二次方程的两个根分别为3和，且二次项系数为1，请写出这个一元二次方程的一般形式 ； (3)能力素养：学习了根与系数的关系后，秦老师布置了一道课后思考题，题目是：和是关于的方程的两个实数根，且，求的值． 【答案】(1)满足，详解见解析 (2) (3) 【思路引导】此题考查了一元二次方程中根与系数的关系和根的判别式，用公式法、因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握一元二次方程中根与系数之间关系，和根的判别式． （1）根据公式法求出的两个根，再根据题意计算和，最后验证两个根的和与积是否分别满足和； （2）根据题干中的韦达定理解答即可； （3）先根据根的判别式得，由题干中的韦达定理得和，再化简，将和代入后得到关于的一元二次方程，解方程并判断是否符合题意． 【规范解答】（1）由，这里，，， ， ， ，， ，， 则一元二次方程两个根的和与积满足和； （2）一元二次方程的两个根分别为3和，且二次项系数为1， 设一元二次方程的一般式是， ，， 解得：，， 这个一元二次方程的一般形式为； （3） 和是关于的方程的两个实数根， ，，， ， 又 ， ， 则， ， 当时，， 当时，， ，（舍去）， 则． 36．（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）阅读材料，解决问题。 【材料1】为了解决方程，若我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，我们通常把以上这种解决问题的方程叫做换元法． 【材料2】已知实数满足，且，显然是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知， 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用：方程的解为__________． (2)间接应用：已知实数满足，且，求的值； (3)拓展应用：已知实数满足，且，求的值． 【答案】(1)，，， (2) (3)15 【思路引导】（1）利用换元法降次解决问题即可； （2）模仿例题，利用一元二次方程，根与系数的关系，解决问题即可； （3）令，，则，，再模仿例题，结合一元二次方程根与系数关系，解决问题即可． 【规范解答】（1）解：令，则有， ∴， ∴，， ∴或3， ∴，，，； （2）解：令，， ∵， ∴则，， ∴，是方程的两个不相等的实数根， ∴， 此时； （3）解：令，，则，， ∵， ∴即， ∴，是方程的两个不相等的实数根， ∴， 故． 【考点剖析】本题主要考查了根与系数的关系，幂的乘方与积的乘方，换元法，解一元二次方程等知识，解题的关键是理解题意，学会模仿例题解决问题． 37．（25-26九年级上·全国·阶段练习）已知关于x的一元四次方程．有实数根． (1)求k的取值范围． (2)若方程的所有实数根的积为，且m，n是其中的两个实数根，求的值． 【答案】(1) (2)10 【思路引导】本题主要考查了根的判别式，根与系数的关系，根的定义，解题的关键是熟练掌握根的判别式和根与系数的关系． （1）将原方程变形为，根据，得出，根据根的判别式列出不等式，解不等式即可； （2）根据方程根的定义和根与系数的关系得出，进而得，从而得出，，然后再代入化简求出结果即可． 【规范解答】（1）解：由原方程得 ， 即 ， ， ， ∴当方程有实数根时，原方程有实数根， ∴， 解得：； （2）解：由条件得，m、n为方程的两个根，根据根与系数的关系得：， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 38．（25-26九年级上·山西朔州·阶段练习）综合与实践 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)当方程的判别式的值为时，且该方程的两根为，求代数式的值． (3)在（2）的条件下，若为方程的两个根，且分别为菱形的两条对角线的长，求菱形的周长． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得，代入数值即可求解． （2）根据，代入数值求解即可得，，再利用根与系数关系结合多项式乘多项式即可求解． （3）利用根与系数关系可得，设两条对角线交于点，根据菱形的性质可得，再结合勾股定理即可求解． 【规范解答】（1）解：根据题意得， 解得：． （2）解：， ， 方程为， 根据根与系数的关系可得：， ． （3）解：方程的两根为， ， 设两条对角线交于点， ， ， ， ， 菱形的周长为． 【考点剖析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数关系，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 一元二次方程根的判别式与根与系数的关系 考点01 判断不含参数方程的根的情况 1 考点02 判断含参数方程的根的情况 1 考点03 根据根的情况求参数的取值范围 2 考点04 根据根的情况判断三角形边长 3 考点05 根据根与系数的关系直接求代数式的值 4 考点06 根据根与系数的关系求参数的值 5 考点07 根据根与系数的关系求参数的取值范围 6 考点08 根据根与系数的关系构造一元二次方程求解 7 考点09 根据根与系数的关系解几何问题 8 考点10 根与系数的综合应用 10 考点01 判断不含参数方程的根的情况 1．（25-26九年级上·海南海口·阶段练习）方程的根的情况是 A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 2．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 3．（25-26九年级上·全国·阶段练习）方程的根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 4．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段练习）关于的方程根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有1个实数根 考点02 判断含参数方程的根的情况 5．（25-26九年级上·甘肃天水·阶段练习）关于x的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若n是方程的一个根，则；④若是方程的一个根，则是方程的一个根．其中正确的是 ．（写出所有正确说法的序号） 6．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）解方程． (1) (2) (3) (4) 7．（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知关于x的一元二次方程：． (1)求证：这个方程总有两个实数根． (2)若是方程的一个根，求m的值和方程的另一个根． 8．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若是方程的一个根，则一定有成立；③若，则它有一个根是；④若一元二次方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根，其中正确的是 （填序号）． 考点03 根据根的情况求参数的取值范围 9．（24-25九年级上·湖北襄阳·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求a的取值范围； (2)若a为正整数，且方程的两个根也是整数，求a的值及此时的两根． 10．（25-26九年级上·云南昆明·阶段练习）已知关于x的一元二次方程 (1)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； (2)若是方程的一个根，求证：． 11．（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知关于x的方程． (1)求证：无论k为何值，方程总有实数根； (2)若等腰三角形的边长，b、c为方程的两个根，求k值． 12．（25-26九年级上·安徽芜湖·阶段练习）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，则方程是“邻根方程” (1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； (2)已知关于的一元二次方程．（是常数）是“邻根方程”，求的值． 考点04 根据根的情况判断三角形边长 13．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）已知的一条边的长为5，另两边、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：无论m为何值，方程总有两个实数根； (2)当m为何值时，是等腰三角形？并求此时的周长． 14．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知的两边的长是关于x的一元二次方程的两个根，第三边的长是10． (1)求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根． (2)当n为何值时，为等腰三角形？并求的周长． 15．（22-23九年级上·河南新乡·阶段练习）已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程一定有两个实数根； (2)若等腰的一边长，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 16．（24-25九年级下·湖南株洲·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根； (2)若等腰的一边长为6，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 考点05 根据根与系数的关系直接求代数式的值 17．（25-26九年级上·湖北襄阳·阶段练习）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 18．（25-26九年级上·云南昆明·阶段练习）已知a，b是方程的两个实数根，则的值是（   ） A．6 B． C． D．8 19．（25-26九年级上·甘肃酒泉·阶段练习）若、是一元二次方程的两个根，则的值是（    ） A． B． C． D． 20．（25-26九年级上·陕西榆林·阶段练习）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ． 考点06 根据根与系数的关系求参数的值 21．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若方程的两根分别为，且，求k的值． 22．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）已知关于x的一元二次方程的两根分别为，则b与c的值分别为（  ） A． B． C． D． 23．（25-26九年级上·山西晋城·阶段练习）综合与实践 已知关于的一元二次方程（），且方程的两根为，． (1)当时，求方程的根． (2)若，，，且，恰好的两条直角边的长，求此的斜边的长． (3)若，且，求的值． （温馨提示：若一元二次方程的两个根为、，则有，） 24．（25-26九年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知平行四边形的两边长，是关于的一元二次方程 的两个实数根． (1)若的长为，求的值； (2)当为何值时，平行四边形为菱形； (3)是否存在使得平行四边形为对角线长为的矩形？若存在，请求出的值以及矩形面积；若不存在，请说明理由． 考点07 根据根与系数的关系求参数的取值范围 25．（24-25九年级上·广西南宁·期中）关于x的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则m的取值范围是（     ） A． B． 且 C． D． 26．（24-25九年级下·山东青岛·阶段练习）阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程的两个实数根为，则 ， ； (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，则的值为 ； (3)提升：已知实数s，t满足，且，则的值 ； (4)拓展：已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数的取值范围是 ． 27．（23-24九年级上·天津和平·期末）（1）解方程：； （2）已知关于的一元二次方程的两个实数根异号．求的取值范围． 28．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍为正整数），则称这样的方程为“倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)根据上述定义，是“________倍根方程”； (2)若关于的方程是“三倍根方程”，求的值； (3)直线：与轴交于点，直线过点，且与相交于点．若一个五倍根方程的两个根为和，且点在的内部（不包含边界），求的取值范围． 考点08 根据根与系数的关系构造一元二次方程求解 29．（24-25九年级上·河北唐山·期末）【阅读材料】若关于的一元二次方程的两根为，则． 这就是一元二次方程根与系数的关系，根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： 【材料理解】一元二次方程的两根为，则______，______； 【类比运用】已知关于的一元二次方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个实数根； ②若该方程的两个实数根、满足，求的值． 30．（24-25九年级上·福建·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论a为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)设，是方程的两个根，求的值． 31．（24-25九年级上·福建漳州·阶段练习）如果方程的两个根是，，则，，请根据以上结论，解决下列问题： (1)若，，求方程的两根． (2)已知实数a、b满足，，求的值； 32．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程是“邻根方程”的是 （填序号）． ①；②；③；④． (2)若方程是“邻根方程”，是方程的两根，求： ①请求出k的值． ②若点是一次函数图象上的一点，求一次函数的解析式． (4) 若，m，b均为常数，是关于x的“邻根方程”，则方程是“邻根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由． 考点09 根据根与系数的关系解几何问题 33．（24-25九年级上·四川成都·期中）（1）已知k为实数，关于x的方程有两个实数根． ①求实数k的取值范围； ②若，试求k的值． （2）如图，在菱形中，对角线相交于点O，． ①求证：四边形是矩形； ②若，求四边形的面积． 34．（2025·四川泸州·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与双曲线的图象交于点，，连接并延长与双曲线交于点，连接，． (1)求一次函数的解析式； (2)若，求的值． 考点10 根与系数的综合应用 35．（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）阅读材料：对于一元二次方程（其中），其两个根和与系数、、之间存在以下关系：①两根的和：；②两根的积：．这两个关系式被称为一元二次方程的根与系数的关系，也被称为韦达定理（Vieta's formulas）． 解决问题： (1)验证关系：给定一元二次方程，请验证其两个根的和与积是否分别满足和． (2)应用关系：若一元二次方程的两个根分别为3和，且二次项系数为1，请写出这个一元二次方程的一般形式 ； (3)能力素养：学习了根与系数的关系后，秦老师布置了一道课后思考题，题目是：和是关于的方程的两个实数根，且，求的值． 36．（24-25九年级上·四川巴中·阶段练习）阅读材料，解决问题。 【材料1】为了解决方程，若我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，我们通常把以上这种解决问题的方程叫做换元法． 【材料2】已知实数满足，且，显然是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知， 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用：方程的解为__________． (2)间接应用：已知实数满足，且，求的值； (3)拓展应用：已知实数满足，且，求的值． 37．（25-26九年级上·全国·阶段练习）已知关于x的一元四次方程．有实数根． (1)求k的取值范围． (2)若方程的所有实数根的积为，且m，n是其中的两个实数根，求的值． 38．（25-26九年级上·山西朔州·阶段练习）综合与实践 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围． (2)当方程的判别式的值为时，且该方程的两根为，求代数式的值． (3)在（2）的条件下，若为方程的两个根，且分别为菱形的两条对角线的长，求菱形的周长． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $