专题02 反比例函数的应用（高效培优期中专项训练）数学湘教版九年级上册

专题02 反比例函数的应用 考点01 已知比例系数求特殊图形的面积 1 考点02 根据图形面积求比例系数（解析式） 4 考点03 实际问题与反比例函数 9 考点04 反比例函数与几何综合 15 考点05 一次函数与反比例函数图象综合判断 21 考点06 一次函数与反比例函数的交点问题 28 考点07 一次函数与反比例函数的实际应用 35 考点08 一次函数与反比例函数的其他综合应用 42 考点01 已知比例系数求特殊图形的面积 1．（22-23九年级上·四川广安·期中）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，过点作轴的垂线交轴于点，连接，则的面积等于（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【思路引导】主要考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为． 由于点、位于反比例函数图象上且关于原点对称，则，再根据反比例函数系数的几何意义作答即可． 【规范解答】解：点、位于反比例函数图象上且关于原点对称， 、两点到轴的距离相等， ， ， ． 故选：C． 2．（25-26九年级上·北京·课后作业）已知点是轴正半轴的一个动点，过点作轴的垂线，交双曲线于点，连接． (1)如图甲，当点在轴的正方向上运动时，的面积大小是否变化？答： （请填“变化”或“不变化”），若不变，请求出的面积 ；若改变，试说明理由（自行思索，不必作答）； (2)如图乙，在轴上的点的右侧有一点，过点作轴的垂线交双曲线于点，连接交于，设的面积是，梯形的面积为，则与的大小关系是 （请填“”、“”或“”）． 【答案】(1)不变化， (2) 【思路引导】（）根据反比例函数比例系数的几何意义即可求解； （）根据反比例函数比例系数的几何意义可得，即得到，进而即可判断求解； 本题考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，掌握该知识点是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵点位于反比例函数的图象上，而且轴， ∴， ∴当点在轴的正方向上运动时，的面积不变化，值总等于， 故答案为：不变化，； （2）解：由（）知，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（21-25九年级上·山东烟台·阶段练习）如图，点A、B是双曲线上的点，分别过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若空白矩形面积与的和为6，则阴影部分面积为 ． 【答案】2 【思路引导】本题考查了反比例函数的几何性质（双曲线上点向坐标轴作垂线段，所得矩形面积为​），解题的关键是用“空白面积阴影面积”表示矩形面积，通过面积和差求阴影面积． 根据反比例函数k值得几何意义求出各矩形面积，然后代入求解即可． 【规范解答】解：如图， ∵点A、B是双曲线上的点， ， 即， 上两式左右相加，得， ∵， ∴， 故答案为：2． 4．（23-24九年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，点是直线上一点，过点作轴平行线，交反比例函数图像于点，点位于点的正上方，若的面积为，则点的坐标为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式．设点横坐标，进而表示出点坐标，数形结合找到等量关系，即可解答． 【规范解答】解：延长交轴于点， 设点的横坐标为， ∵点是直线上一点， ∴，即：点的坐标， ∵平行于轴，交反比例函数图像于点，点位于点的正上方， ∴点的坐标， ∵的面积为， 由图可得：， 即：， 解得：， ∴ 点的坐标， 故答案为：． 考点02 根据图形面积求比例系数（解析式） 5．（2025·山西临汾·二模）如图，平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点C，交平行四边形的对角线于点，点A在x轴的正半轴上．已知平行四边形的面积是24，则点B的坐标为 ． 【答案】 【思路引导】过点C作轴于点E，先求出反比例函数的解析式为，可得，然后结合行四边形的面积是24，可得，再求出直线的解析式为，设点C的坐标为，点B的纵坐标为，，可得点B的坐标为，即可求解． 【规范解答】解：如图，过点C作轴于点E，连接， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， ∵平行四边形的面积是24， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点C的坐标为，点B的纵坐标为，， ∴点B的坐标为， 代入，得：， 解得：或（舍去）， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴点B的坐标为． 故答案为： 6．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）如图所示，矩形的面积为6，反比例函数的图象的一支经过矩形对角线的交点P，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象上任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．理解这个知识点后，可以构造出这个矩形，求出这个矩形的面积就可知的值，再根据图像所在象限即可求出k．过P点作轴于E，轴于F，根据矩形的性质得，然后根据反比例函数的比例系数k的几何意义求解． 【规范解答】解：如图所示，过P点作轴于E，轴于F， ∵四边形为矩形，面积为6，P为对角线的交点， ∴， ∴， 又∵图像的一支在第一象限， ∴， ∴． 故答案为． 7．（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）如图，已知、B是反比例函数图象上的两个点，轴于点C，若的面积为2． (1)求m的值； (2)以边作菱形，使点D在第二象限，点E在x轴负半轴上，求菱形的面积． 【答案】(1)m的值为1 (2)菱形的面积为 【思路引导】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征及菱形的性质，熟知反比例函数的图象与性质、菱形的性质是解题的关键． （1）根据反比例函数系数的几何意义求出的值，据此求出m的值即可； （2）根据菱形的面积公式进行计算即可． 【规范解答】（1）解：由题知点B在反比例函数图像上， 因为轴于点C，的面积为2， 所以， 又， 所以， 则反比例函数解析式为， 将点代入得， 解得， 所以m的值为1． （2）解：由（1）知，则， 因为四边形是菱形， 所以，且边上的高为点A的纵坐标值，即为4， 所以菱形的面积为． 8．（24-25九年级上·广东佛山·期末）【问题背景】 如图，在平面直角坐标系中，的一边与轴正方向重合，点在射线上；过点作轴于点，的面积是，函数的图象经过点；以点为圆心，以为半径作弧，交函数的图象于点；分别过点，点作轴和轴的平行线，两线相交于点，连接；过点作轴的平行线交线段于点． 【构建联系】 （1）填空： ． 【深入探究】 （2）求证：点在直线上． （3）请写出与的数量关系，并说明理由． （4）尺规作图：求作射线，使得．（保留作图痕迹，不要求写作法） 【答案】（1） （2）见解析 （3），见解析 （4）见解析 【思路引导】（1）运用反比例函数系数的几何意义即可求得答案； （2）设，，由轴，轴，可得，，运用待定系数法可得直线的解析式为，当时，，即可证得结论； （3）连接交于点，可证得四边形是矩形，推出，再证得，即可求得答案； （4）连接交反比例函数的图象于点，以点为圆心，为半径画弧交反比例函数的图象于点，分别过、作轴、轴的平行线交于点，作点关于轴的对称点，连接、即可． 【规范解答】解：（1）由于函数的图象经过点， 则， 又， ， 故答案为：； （2）证明：由（1）知：， 设，， 轴，轴， ，， 设直线的解析式为，则， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 点在直线上； （3），理由如下： 轴，轴， ， 四边形是矩形， ，，， ，， ， ， ， ， ， 轴， ， ； （4）如图所示，连接交反比例函数的图象于点，以点为圆心，为半径画弧交反比例函数的图象于点，分别过、作轴、轴的平行线交于点，作点关于轴的对称点，连接、，则射线，即为所求． 【考点剖析】本题考查了待定系数法、反比例函数系数的几何意义、矩形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 考点03 实际问题与反比例函数 9．（25-26九年级上·安徽六安·阶段练习）合肥长丰盛产草莓，草莓富含维生素C、胡萝卜素、膳食纤维及钙、磷、铁等矿物质，其中维生素C维护上皮组织健康，膳食纤维能促进肠道蠕动、改善便秘．此外，草莓是鞣酸含量丰富的植物，可吸附并阻止致癌化学物质的吸收，具有防癌作用．某超市从批发市场购进草莓的进价为3元，在销售过程中发现，日销售量（单位：）随售价（单位：元）的变化规律符合某种函数关系，结果如下表：（售价不低于进价） 售价（单位：元） 3 4 5 6 … 日销量 400 300 240 200 … 若与之间的函数关系是一次函数，二次函数，反比例函数中的某一种． (1)判断与之间的函数关系，并写出其表达式； (2)该超市销售草莓的日利润能否达到800元？说明理由． 【答案】(1)反比例函数关系； (2)能达到；理由见解析 【思路引导】本题考查反比例函数的实际应用，分式方程的实际应用，正确的列出函数关系式和分式方程，是解题的关键： （1）观察表格，可知售价与日销量的乘积为定值1200，则与之间为反比例函数关系，待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【规范解答】（1）解：观察表格，可知售价与日销量的乘积为定值1200，则与之间为反比例函数关系． 设与之间的函数表达式为， 当时， ． 把其余各组对应值代入上式均成立，故与之间的函数表达式为； （2）能达到800元． 理由：依题意，得，解得， 经检验，是原方程的解，并且符合题意， 答：当售价为9元/千克时，超市销售草莓的日利润可达到800元． 10．（25-26九年级上·湖南·阶段练习）实践活动：确定台灯内滑动变阻器的电阻范围． 素材：图为某厂家设计的一款亮度可调的台灯，图为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻来调节亮度，电流与总电阻成反比例，其中，已知，实验测得当时，． 素材：图是该台灯电流和光照强度的关系，研究表明，适宜人眼阅读的光照强度在之间（包含临界值）． (1)任务：求关于的函数表达式． (2)任务：为使得光照强度适宜人眼阅读，确定的取值范围． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了反比例函数的应用，掌握待定系数法求反比例函数的关系式和反比例函数的增减性是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2） 根据图3， 得到光照强度适宜人眼阅读的电流的取值范围， 将R表示为I的函数， 根据反比例函数的增减性求出R的取值范围， 从而由求出的取值范围即可． 【规范解答】（1）解：设I关于R的函数表达式为， 把，代入，得， ， I关于R的函数表达式为． （2）解：由题图得，当光照强度在之间(包含临界值)时，电流为， ， ，， 随的增大而减小， 当时，最大， 当时，最小， ， ， ， ． 11．（24-25八年级下·山西临汾·期末）某款三明治机制作三明治的工作原理如下： ①预热阶段：开机1分钟空烧预热至，机器温度y与时间x成一次函数关系； ②操作阶段：操作3分钟后机器温度均衡升至最高温度后保持恒温状态； ③断电阶段：操作完成后进行断电降温，机器温度y与时间x成反比例关系． 如图所示为某次制作三明治时机器温度与时间x（）的函数图象，请结合图象回答下列问题： (1)预热阶段机器温度上升的平均速度是______，开机3分钟时，温度为_______； (2)当时，求机器温度y与时间x的函数关系式； (3)求三明治机工作温度持续在以上的时间是多少分钟？ 【答案】(1)60，140 (2) (3)分钟 【思路引导】（1）根据速度等于温度除以时间计算即；利用待定系数法求解析式，后求函数值解答即可； （2）分成和两段计算解答即可； （3）求出反比例函数的解析式，分别计算的自变量的值，自变量的差即为所求． 本题考查了待定系数法求解析式，持续时长的计算，一次函数与反比例函数的应用，熟练掌握应用是解题的关键． 【规范解答】（1）解：根据速度等于温度除以时间计算即； 设温度与时间之间的关系式为， 根据题意，得， 解得， 故， 当时，， 故答案为：60,140． （2）解：由图象可知：当时，； 当时，， 综上：． （3）解：当时，设， 将代入得：   ； 当时， 依次代入及中， 分别解得， 故持续时间长为： (分钟)；   答：三明治机工作温度在以上持续分钟． 12．（23-24九年级上·广西南宁·开学考试）【综合与实践】 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】小明提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】（1）小华尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，木栏总长为，得到，在平面直角坐标系中作出两个函数的图象，则同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______m，______． 【类比探究】（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小华的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】（3）当木栏总长为时，小华建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的．在平移过程中，当直线与反比例函数的图象有唯一交点时，求交点坐标及a的值． 【答案】（1）；4；2；（2）时，不能围出面积为的矩形；图见解析，理由见解析；（3），交点坐标为． 【思路引导】（1）根据函数的解析式，联立构造方程组，转化为一元二次方程，解方程即可． （2）仿照（1），根据函数的解析式，联立构造方程组，转化为一元二次方程，利用根的判别式判定方程解的情况即可． （3）仿照（2），根据函数的解析式，联立构造方程组，转化为一元二次方程，利用根的判别式，令判别式等于零求解即可． 【规范解答】解：（1）将反比例函数与直线：联立得， ∴， ∴， ∴，， ∴方程组的解为或， ∴另一个交点坐标为， ∵为，为， ∴，． 故答案为：；4；2； （2）时，不能围出面积为的矩形；理由如下： 由题意得，即直线：， 将反比例函数与直线：联立得， ∴， ∴， ∵， ∴无解， 故两个函数图象无交点； 的图象， 当时，；当时，； 如图中所示： ∵与函数图象没有交点， ∴时，不能围出面积为的矩形； （3）如图中直线：所示， ∵直线与反比例函数的图象有唯一交点， ∴有唯一解，即：方程只有一个实数解， ∴， 解得：或（舍去）， 此时：， 解得：， 当时，， ∴此时交点坐标为． 【考点剖析】本题考查了一次函数解析式，反比例函数解析式，函数的交点问题，图象的画法，解方程组，解一元二次方程，根的判别式的应用，熟练掌握解方程组，解方程，根的判别式活用是解题的关键． 考点04 反比例函数与几何综合 13．（2021九年级上·广东佛山·竞赛）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点，且点A的坐标为，将直线向上平移m个单位，交双曲线于点C，交y轴于点F，且的面积是．给出以下结论：①；②点B的坐标是；③；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【思路引导】本题考查了反比例函数和一次函数的交点，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积等，求得交点坐标是解题的关键．①把代入求得，然后代入求得；②联立解析式，解方程组即可求得；③根据同底等高的三角形面积相等，得出；④根据列出，解得． 【规范解答】解：①直线经过点， ， ， 点在双曲线上， ，故①正确； ②联立， 解得或， 点B的坐标为，故②正确； ③将直线向上平移m个单位，交双曲线于点C，交y轴于点F， ， 和是同底等高， ，故③正确； ④， ， 解得，故④正确； 综上，正确的结论有：①②③④，共4个． 故选：D． 14．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）如图，M是四边形对角线的交点，轴于点C，轴于点，反比例函数：的图象经过点M，M是的中点． (1)求经过点A的反比例函数的表达式； (2)若点D恰好也在图象上，证明：四边形是菱形． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】本题将反比例函数与四边形的性质结合，解题关键是利用反比例函数的性质和中点坐标求出相关点的坐标关系，再结合菱形的判定定理进行证明，考查了知识的综合运用能力． 设点M的坐标为，根据点M在反比例函数上，求出，根据轴，M是的中点，求出点A的坐标，设经过点A的反比例函数的表达式为，代入点A的坐标即可解答； 根据题意证明与互相垂直平分即可得证． 【规范解答】（1）解：设点M的坐标为， 点M在反比例函数上， ， 轴，M是的中点， 点A的坐标为， 设经过点A的反比例函数的表达式为， 把代入可得， 即， 又， ， 则反比例函数的表达式为； （2）证明：设点M的坐标为， 轴， 点D的纵坐标与点M的纵坐标相同， 点D在图象上， 点D的坐标为， 由知，，即， 点M的坐标为， ， 是的中点， ； 轴，轴， 轴，轴， 即， 四边形是菱形． 15．（20-21九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，已知点、、． (1)将矩形向右平移m个单位，得到矩形，若、恰好落在反比例函数的图象上，求出此时m的值和反比例函数的解析式； (2)在（1）的情况下，问是否存在y轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B、D四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数表达式为， (2)存在，点Q的坐标为或或 【思路引导】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用，正确求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据平移规则求出、的坐标，根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积为，列出方程进行求解即可； （2）分为边和为对角线，两种情况进行讨论求解即可． 【规范解答】（1）解：矩形向右平移m个单位，、，则点、的坐标分别为、， 将点、的坐标代入反比例函数表达式得：， 解得，， 故反比例函数表达式为，． （2）解：存在，理由：设点，点， ①当是边时，点D向右平移4个单位，向下平移2个单位得到B， 则点向右平移4个单位，向下平移2个单位得到，故，即， 故点Q的坐标为或． ②当是对角线时，可得中点的横坐标为， ，解得， 故点Q的坐标为； 综上，点Q的坐标为或或． 16．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）【性质认识】如图，在函数的图象上任取两点、向坐标轴作垂直，连接垂足、或、．则一定有如下结论：，． 【数学理解】 （1）如图①，借助【性质认识】的结论，猜想 （填“”、“”或“”）； （2）如图②，借助【性质认识】的结论，请证明； 【问题解决】 （3）如图③，函数的图象与过原点的直线相交于、两点，点是第一象限内图象上的动点（点在点的左侧），直线分别交于轴、轴于点、，连接分别交轴、轴于点、请证明： ． 【答案】（1），理由见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【思路引导】本题考查了平行线性质、平行四边形判定和等腰三角形判定，关键是利用题目中【性质认识】来得到判定平行四边形的条件，其次，是利用平行线性质，得到角度相等来得出等腰三角形边相等， （1）猜想关键是利用题目中【性质认识】，并结合平行四边形判定条件，“两组对边平行且相等得到四边形为平行四边形”，即可得到； （2）在四边形和四边形中，结合题目中【性质认识】，并利用平行四边形判定条件，“两组对边平行且相等得到四边形为平行四边形”，即可得到； （3）求解关键是作辅助线，过作轴于，过作轴于，过作轴于，连接，，利用题目中【性质认识】，在中得到，即可证明． 【规范解答】（1），理由如下： ∵轴， ∴， 由【性质认识】的结论可得， ∴四边形是平行四边形， ∴． 同理，四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵轴， ∴， 由【性质认识】的结论可得， ∵四边形为平行四边形， ∴， 同理，四边形为平行四边形， ∵， ∴； （3）证明：过作轴于，过作轴于，过作轴于，连接，如图， 函数的图像与过原点的直线相交于、两点， 、两点关于成中心对称， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【考点剖析】本题求解的关键是借助题目中【性质认识】，合理作辅助线，结合平行四边形的判定条件与等腰三角形判定条件，来证明线段和角度相等，即可得出证明． 考点05 一次函数与反比例函数图象综合判断 17．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)已知点P在第三象限为反比例函数图像上一点，，求点P的坐标； (3)当时，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【思路引导】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）先把点代入，求出的值，再用待定系数法求出的值即可； （2）先求出和长，过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，连接，，，利用得到，列出方程进行求解即可； （3）首先求出一次函数的图像和反比例函数的图像的交点为，，然后根据图象求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意，将代入中， ∴， ∴， ∴， 将代入反比例函数， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：对于， 当时，， 解得， ∴，， ∵， ∴，过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，连接，，， ∵， ∴， 即， 解得， ∵点P在第三象限， ∴点P的纵坐标为， 将代入得， ∴； （3）解：联立和得，， 整理得，， 解得或， 将代入， ∴一次函数的图像和反比例函数的图像的交点为，， 由图象可得，当一次函数的图像在反比例函数的图像下方时，或， ∴当时，x的取值范围为或． 18．（24-25九年级上·甘肃嘉峪关·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，两点. (1)求，对应的函数解析式； (2)求的面积； (3)根据函数图象写出关于x的不等式的解集。 【答案】(1) (2)的面积为 (3)或 【思路引导】本题考查了一次函数与反比例函数的解析式求解、函数图像交点的应用、三角形面积的计算以及利用函数图像解不等式，解题的关键是通过交点坐标求出函数解析式，结合图像性质分析面积和不等式解集． （1）利用点A的坐标求出反比例函数解析式，再通过反比例函数求出点B的横坐标，最后用两点坐标求出一次函数解析式； （2）找到直线与x轴的交点，将分割为两个三角形，利用坐标计算面积之和； （3）观察函数图像，确定一次函数图像在反比例函数图像下方时x的取值范围． 【规范解答】（1）解：∵点在双曲线上， ， 解得：， 则双曲线函数解析式为 ∵点在双曲线上， ∴， 解得：即． ∵点、在直线上， ∴， 两式相减得：， 解得：， 将代入，得 解得 ∴． 综上，， （2）解：设直线与x轴交于点， 令则， 解得即． ∴的面积 ∵、、 ∴的面积． （3）解：观察函数图像，当时，x的取值范围是或． 19．（25-26九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，点的位置和函数，的图象如图所示．以为边在轴上方作正方形，边与函数的图象相交于点边与函数的图象分别相交于点，与轴相交于点，一次函数的图象经过点，与轴相交于点，连接． (1)当在满足的条件下任意变化时，的面积是否变化？请说明理由． (2)试判断直线与边的交点是否在函数的图象上？请说明理由． 【答案】(1)的面积不变化，理由见解析 (2)直线与边的交点在函数的图象上．理由见解析 【思路引导】本题主要考查了一次函数和反比例函数相结合，正方形的性质，利用待定系数法求函数解析式，判断点是否在函数图象上等内容，解题的关键是熟练掌握一次函数和反比例函数的性质，并掌握待定系数法． （1）根据正方形的性质和给出的坐标，表示出线段的长度，并利用待定系数法表示出直线的解析式中的，最后表示出三角形的面积为定值，即可得出结论； （2）延长交边于点，利用待定系数法表示出直线的解析式，然后表示出点坐标，最后即可判断点在函数的图象上． 【规范解答】（1）解：的面积不变化，理由如下： 点，四边形是正方形， ∴点， ． 设，将和代入得， ， 整理得，， ， ， ∴当a，m在满足的条件下任意变化时，的面积不变化． （2）解：直线与边的交点在函数的图象上．理由如下： 如图，延长交边于点． 设直线的表达式为． 将代入，得， ． ． 当时，， 点N在的图象上． 20．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）已知：如图，直线与函数的图像交于A，B两点，且与x，y轴分别交于C，D两点． (1)若直线与直线平行，且面积为2，求m的值； (2)若的面积是的面积的倍，过A作轴于E，过B作轴于F，与交于H点． ①求的值； ②求k与m之间的函数关系式． (3)若点P坐标为，在（2）的条件下，是否存在k，m，使得为直角三角形，且，若存在，求出k，m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②m与k的关系式为（） (3)存在，，或， 【思路引导】（1）利用两直线平行得到，从而得到点，设点，根据的面积求出a的值，从而得到点A的坐标，根据待定系数法即可求出m的值； （2）①设，（其中，），由得到，根据三角形的面积公式可推出，而，即可求解； ②由得到，进而有，联立与得，根据根与系数的关系得到，，代入后得到，从而； （3）过点B作轴于点N，，可证明，根据相似三角形的性质得到，即，变形得到，利用得到，进而，由（2）有，，代入后得到，求解即可得到m，k的值，从而可解答． 【规范解答】（1）解：∵直线与直线平行， ∴， 对于直线，令，则， ∴， ∴， 设， ∵，即， ∴， ∴， ∵点在函数的图像上， ∴； （2）解： ①设，（其中，） ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ②对于直线，令，则， ∴， ∴， 由①有， ∴，即， 联立与得， ∴，， ∴，即， ∴m与k的关系式为（）． （3）解：存在k，m，使得为直角三角形，且． 过点B作轴于点N， 若，则 ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 即， 由（2）有，， ∴，解得，， 当时，； 当时，； ∴存在k，m，使得为直角三角形，且． 【考点剖析】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，涉及待定系数法，一元二次方程根与系数的关系，相似三角形的判定及性质，三角形的面积等，解题的关键是熟练掌握反比例函数图像上点的坐标特征和一次函数图像上点的坐标特征；会求反比例函数与一次函数的交点坐标，灵活运用根与系数的关系；会利用相似比计算线段的长． 考点06 一次函数与反比例函数的交点问题 21．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，直线交双曲线于，两点，交轴于点，过点作轴的垂线，交双曲线于点，连接，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了反比例函数与几何面积问题，反比例函数与一次函数结合，掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解题的关键．根据直线交轴于点，求得点坐标，根据过点作轴的垂线，交双曲线于点，求得点坐标，联立直线与双曲线函数解析式求得和点坐标，最后根据列式求解即可． 【规范解答】解：直线交轴于点， 当时，， ， 过点作轴的垂线，交双曲线于点， 当时，即， 解得， ， 直线交双曲线于，两点， ，解得，， ，， ． 故选：C． 22．（25-26九年级上·全国·期末）如图，直线与反比例函数的图象相交于点A，B，已知点A的坐标为，点B的横坐标为． (1)求该反比例函数的解析式； (2)请直接写出当时，不等式的解集； (3)D是y轴上一点，E是坐标平面内一点，若以A，B，D，E为顶点的四边形是菱形，求满足条件的点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【思路引导】（1）利用待定系数法解答即可； （2）求得点坐标，观察图象，一次函数图象在反比例函数图象上方的部分即为符合题意部分，对照图象直接写出即可； （3）利用分类讨论的方法分当以为一边时和当以为一条对角线时两种情况，分别画出图形，依据菱形的性质和对称性直接写出即可． 【规范解答】（1）解：将点A的坐标代入反比例函数中得： ， 反比例函数的关系式为； （2）解：∵点的横坐标为， ， ， 由图象可知，不等式的解集为； （3）解：当以为一边时，如图所示： 把，分别代入得： ，解得：， ∴， 把代入得：，∴， 且直线与y轴交点坐标为：， 设点， 则， ， ∵， ∴， 即， 解得：或（舍去）， ∴点， ∴轴， ∵菱形的对角线相互垂直平分， ∴， ∴轴， ∴； 当以为一条对角线时，如图， 设点， 则，， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴， 菱形的对角线与互相平分， ∴根据中点坐标公式可得，与交点的坐标为：， ∴点的坐标为：； 综上，以点，，，为顶点的四边形是菱形，点的坐标为或． 【考点剖析】本题主要考查了待定系数法，数形结合法，双曲线上点的坐标的特征，菱形的性质，利用数形结合法解答是解题的关键． 23．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数（，）的图象交于点，两点． (1)求一次函数与反比例函数（）的表达式； (2)求 的面积． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】（1）一次函数的图象与反比例函数（，）的图象交于点，两点，得到双曲线，，，利用待定系数法计算解析式即可． （2）根据直线与y轴的交点为C，且点，得到，根据直线与x轴的交点为D，且点，得到，利用勾股定理，根据面积关系列式计算即可． 【规范解答】（1）解：一次函数的图象与反比例函数（，）的图象交于点，两点， ∴，即， ∴双曲线，， ∵点B的横坐标为， ∴， ∴． （2）解：根据直线与y轴的交点为C，且点，得到，根据直线与x轴的交点为D，且点，得到， ∴， 设点O到直线的距离为h， ∴， ∵，， ∴． ∴． 【考点剖析】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，一次函数与反比例函数的综合，三角形面积的表示法，交点坐标的意义，正确理解交点坐标的意义，勾股定理是解题的关键． 24．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图所示，直线与双曲线交于A、B两点，已知点B的纵坐标为，直线与轴交于点，与轴交于点，，． (1)直接写出不等式的解集_____． (2)求直线的解析式； (3)求三角形的面积 (4)若点是轴上的一点，使的面积是的面积的2倍，求点的坐标； 【答案】(1)或 (2) (3) (4)或 【思路引导】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解直角三角形，三角形面积，掌握函数图象的交点坐标满足两个函数解析式是解题关键． （1）利用解直角三角形得到点坐标，再待定系数法求出反比例函数解析式，进而求得的坐标，结合函数图象，即可求解； （2）待定系数法求解析式，即可求解； （3）连接，根据三角形的面积公式，即可求解． （4）先求出三角形面积，设，则，代入三角形面积公式求出值即可得到点坐标． 【规范解答】（1）解：作轴，垂足为， 在中，，， 设，则，由勾股定理得： ， 解得：（舍去， ， 将代入得：，解得， ∴， ∵点B的纵坐标为， 当时，， 点， 根据函数图象可得：的解集为或； （2）点在一次函数图象上， 设直线解析式为：， 将代入得， 解得：， 直线的解析式为：． （3）解：如图，连接 ∵，，， ∴， ∴ （4）解：如图， ∵，， ∴ 设，则， 又的面积是的面积的2倍， ∴ 解得：或 ∴或 考点07 一次函数与反比例函数的实际应用 25．（24-25八年级下·甘肃天水·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点两点，与x轴交于点C． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点M在x轴上，且的面积为6，求点M的坐标． (3)结合图形，直接写出时x的取值范围． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【思路引导】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、函数与不等式的关系以及三角形的面积公式，解决该题型题目时，根据点在函数图象上求出点的坐标是关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）根据的面积为6，求得，根据的坐标即可求得的坐标； （3）观察函数图象即可求解． 【规范解答】（1）解：（1）把代入得：， 即反比例函数的表达式为， 把代入得：， 即的坐标为， 把、的坐标代入得： ，解得， 即一次函数的表达式为； （2）一次函数与轴交于点， ， ，点在轴上，且的面积为6， ， 或； （3）观察函数图象知，时的取值范围为． 26．（24-25九年级上·四川达州·期末）【问题情境】已知矩形的面积为1，求该矩形周长的最小值． 【函数模型】设该矩形的长为，周长为，则矩形的宽为，所以与的函数表达式为 【探索研究】 小芳同学借鉴以往研究函数的经验，对问题进行如下处理：设，则，这样将问题就转化为求函数的最小值，她首先探索函数的图象性质．下表是与的几组对应值． 1 2 3 2 （1）表格中___________，___________． （2）请在平面直角坐标系中画出对应函数的图象，并写出函数图象的两条性质：性质1：___________；性质2：___________ 【问题解决】 （3）根据上面的探究，得到【问题情景】中的答案：矩形周长的最小值为___________． 【答案】（1）；4；（2）图见解析；①当时，随的增大而减小；②函数有最小值，最小值为2；（3）4 【思路引导】本题考查了反比例函数的性质,反比例函数的图象，矩形的性质，二次函数的最值,读懂题目信息，理解函数的图象是解题的关键． （1）根据表格数据即可求出m，n的值； （2）根据表格数据，描点、连线，即可得出函数的图象，结合图象即可写出函数图象的两条性质； （3）由（2）得，当时，y有最小值，y最小值，由此可以得到问题情景的结论． 【规范解答】解：对于， 当时，； 当时，，解得，， ∴； 故答案为：；4； （2）根据（1）中表格数据描点、连线得， 由图象得：①当时，随的增大而减小； ②函数有最小值，最小值为2； （3）由图象知：当时，y有最小值，y最小值， 所以，矩形周长的最小值为4． 27．（23-24八年级下·江苏镇江·阶段练习）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】 （1）点_______“美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则_______； 【深入探究】 （2）若“美好点” 在双曲线（，且为常数）上，则_______； 【拓展延伸】 （3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． ①求关于的函数表达式，并求出自变量x的取值范围； ②在图2的平面直角坐标系中画出函数图象： 列表：下表是x与y的几组对应值，请将下表填写完整． 描点：根据表中各组对应值，在图2的平面直角坐标系中描出各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图像； ③结合图象研究性质，下列结论正确的选项是_______；（多项选择，全部选对的得2分，部分选对的得1分，有选错的不得分） A．图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点； B．随着的增大而减小； C．随着的增大而增大； D．图象经过点； ④对于图象上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． ⑤结合上述问题，观察图象可知该图象可由哪个函数的图象怎样平移得到？ 【答案】（1）不是，；（2）；（3）①（）；②图见解析，；③AB；④是为定值，定值为；⑤ 【思路引导】（1）直接根据“美好点”的定义可以判断点是不是“美好点”，根据“美好点”的定义得到，进行计算即可得到的值； （2）根据“美好点”的定义求出的值，得到的坐标，将点代入反比例函数解析式，进行计算即可得到答案； （3）①根据“美好点”的定义可得，化简整理即可得到答案； ②先列表然后描点连线即可得到图象， ③根据图象逐一判断即可得到答案； ④将代入进行计算即可得到答案， ⑤由图象观察可知，该图像可由平移得到． 【规范解答】解：（1）， 点不是“美好点”， 点是第一象限内的一个“美好点”， ， 解得：， 故答案为：不是，4； （2） 是“美好点”， ， 解得：， ， 将代入双曲线， 得， 故答案为：18； （3）①点是第一象限内的“美好点”， ， 化简得：， 第一象限内的点的横坐标为正， ， 解得：， 关于的函数表达式为：（）； ②列表如下， 如图如图所示：    ③由图象可得： A，图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点，故A正确，符合题意； B，由图象可知随着的增大而减小，故B正确，符合题意； C，随着的增大而增大，该选项说法错误，不符合题意； D，当时，，所以图象经过点，故该选项说法错误，不符合题意 故选：AB； ④ ， ， 对于图象上任意一点，代数式是为定值，定值为． ⑤该图象可由向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到， 故答案为：； 【考点剖析】本题主要考查了矩形的性质、反比例函数的图象与性质，熟练掌握矩形的性质、反比例函数的图象与性质，理解“美好点”的定义，是解题的关键． 28．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，与x轴交于点，与y轴交于点E． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)F为反比例函数第四象限上一点，过点F作轴于点Q，使与相似，求满足条件的F点坐标； (3)将直线平移，与反比例函数图象交于M，N两点，若，求直线的解析式． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； (2)或 (3)或 【思路引导】本题考查待反比例函数与一次函数的综合应用，待定系数法求解析式，相似三角形的应用，一次函数与反比例函数交点问题； （1）将点代入求解即可得到答案； （2）设出点的坐标，分类讨论直角的两对应边成比例求解即可得到答案； （3）设出平移后的解析式，根据两交点距离列式求解即可得到答案； 【规范解答】（1）解：将，代入得， ，， 解得：，， ∴反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； （2）解：∵轴， ∴， 设， 当时，， ∴， 当时， ， 解得：，（不符合题意舍去）， ∴， 当时， ， 解得：，（不符合题意舍去）， ∴， 综上所述：满足的坐标为：或； （3）解：设平移后的解析式为：， 联立反比例函数得， ， 即：， 设两个交点为，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 即：， ， 解得：或， ∴或． 考点08 一次函数与反比例函数的其他综合应用 29．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，点． (1)求n和b的值； (2)求的面积； (3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【思路引导】（1）将点代入一次函数，即可求出b的值，得出一次函数解析式，再将代入一次函数解析式，即可求出n的值； （2）记一次函数交轴于点，利用一次函数解析式求出点坐标，再结合三角形面积公式求解，即可解题； （3）根据，的坐标结合图象即可得出答案． 【规范解答】（1）解：反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，点， ， 解得， 即一次函数解析式为， ； （2）解：记一次函数交轴于点， 当时，，解得， ，即， 点，点， 的面积； （3）解：点，点， 则一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围为或． 【考点剖析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，一次函数与轴交点问题，解题的关键是利用数形结合思想求解． 30．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在矩形中，，，点是边上的点且，反比例函数的图像经过点，交边于点，作直线． (1)直接写出点 、 的坐标：（____，____），（____，____），直接写出反比例函数的解析式：________．连接， 直接写出的面积：_______． (2)在轴上找一点，使的周长最小，求出此时点的坐标； (3)若点在反比例函数的图像上，点在轴上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；；；；； (2) (3)存在，点的坐标为或，理由见解析 【思路引导】（1）根据矩形的性质及可得点的坐标，从而得出反比例函数的解析式，再把代入可得点的坐标，然后利用矩形的面积公式和三角形的面积公式可得的面积； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于，此时的周长最小，求出直线的解析式，再令可求出点的坐标； （3）分类讨论：①当，为对角线时，②当，为对角线时，③当，为对角线时，利用中点坐标公式建立方程组求解即可． 【规范解答】（1）解：如图，连接，， ∵在矩形中，，， ∴轴，轴，，， ∵点是边上的点且， ∴， ∴， ∵反比例函数的图像经过点，交边于点， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， ∴， ∴，， ∴ ， ∴，，反比例函数的解析式为，的面积， 故答案为：；；；；；； （2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于， 由（1）知：， ∴，， ∴，当点、、共线时取“”， 此时取得最小值，即的周长取得最小值，最小值为， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，得， ∴； （3）设，， ∵，， ①当，为对角线时，得： ，解得：， ∴； ②当，为对角线时，得： ，解得：， ∴； ③当，为对角线时，得： ，解得：， ∴（不符合题意，舍去）； 综上所述，存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或． 【考点剖析】本题是反比例函数、一次函数及矩形的综合应用，考查坐标与图形，待定系数法确定函数解析式，矩形的性质，轴对称最短路线问题，平行四边形的判定与性质等知识，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 31．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过矩形一条对角线的两个端点，则定义函数是这个矩形的“对角函数”． (1)如图1，矩形在第一象限，轴，轴，且，． ①若点的坐标为，一次函数是矩形的“对角函数”，则这个函数解析式为　　　； ②若反比例函数是矩形的“对角函数”，求点的坐标； (2)如图2， 矩形在第一象限，轴，轴，且点的坐标为，正比例函数经过点，且是矩形的“对角函数”，反比例函数经过点，且是矩形的“对角函数”．当时，将矩形沿折叠，点的对应点为，若点落在轴上，求的值． 【答案】(1)①或；②； (2) 【思路引导】（1）①根据题意先求出，然后分两种情况，并结合待定系数法解答，即可求解；②设，则点，点，从而得到点，再把点B的坐标代入反比例函数解析式，可求出s的值，即可求解； （2）先求出正比例函数解析式为，可设点，则，，从而得到，再由折叠的性质可得，延长交y轴于点F，结合矩形的性质可得，，然后在中，利用勾股定理求出m的值，即可求解． 【规范解答】（1）解：①∵点的坐标为，轴，轴，且，， ∴点， 当直线过点B，D时， 把，代入得： ， 解得：， ∴该函数解析式为； 当直线过点A，C时， 把点，代入得： ， 解得：， ∴该函数解析式为； 综上所述，该函数解析式为或 故答案为：或 ②∵四边形是矩形， ∴，轴， ∵反比例函数是矩形的“对角函数”， ∴点B，D在反比例函数的图象上， 设点，则点， ∵轴，且， ∴点， ∵轴， ， ∴点， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， 解得：（舍去）或， ∴点； （2）解：点的坐标为，正比例函数经过点， ∴， ∴正比例函数解析式为， ∵正比例函数是矩形的“对角函数”， 可设点，则，， ∴， ∵将矩形沿折叠，点的对应点为， ∴， 如图，延长交y轴于点F， ∵轴， ∴点，， ∴， ∵四边形是矩形，轴， ∴轴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：或2， ∵， ∴，即， ∴， ∴点， 把点代入得：． 【考点剖析】本题考查了矩形的性质，反比例函数，一次函数，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，解一元二次方程，理解“对角函数”，利用数形结合思想求解是解题的关键． 32．（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）直线与反比例函数交于点和点，并与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线与反比例函数的表达式； (2)连接、，求的面积； (3)若为反比例函数在第一象限图象上一点，且的面积为12， ①若点在点的左侧，求点的坐标． ②点可在点的右侧吗？若在，直接写出点的坐标，若不在，请说明理由 【答案】(1)一次函数表达式为，反比例函数表达式为：； (2)； (3)①；②存在， 【思路引导】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式，函数图象的交点问题，与面积的综合问题，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）利用割补法求解； （3）①设，连接并延长交y轴于点N，可求直线表达式为，则，即，由，得到，解方程即可； ②按照①的解法求解即可． 【规范解答】（1）解：把代入线与反比例函数， 得， ∴， ∴一次函数表达式为，反比例函数表达式为； （2）解：在一次函数中，时，， ∴，即， 联立， 解得：， 经检验解成立， ∴， ∴； （3）解：①设，连接并延长交y轴于点N，如图： ∵点M在第一象限，且点M在点A左侧， ∴， 设直线表达式为， 把点分别代入得：， 解得：， ∴直线表达式为， ∴当， ∴，即， ∵， ∴， 即， 整理得：， 解得：或（舍）， 经检验：成立， ∴ ②存在，理由如下， 作出同样辅助线， ∵点M在第一象限，且点M在点A右侧， ∴， 同理可求：直线表达式为， ∴当， ∴，即， ∵， ∴， 即， 整理得：， 解得：或（舍）， 经检验：成立， ∴． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 反比例函数的应用 考点01 已知比例系数求特殊图形的面积 1 考点02 根据图形面积求比例系数（解析式） 2 考点03 实际问题与反比例函数 4 考点04 反比例函数与几何综合 7 考点05 一次函数与反比例函数图象综合判断 10 考点06 一次函数与反比例函数的交点问题 12 考点07 一次函数与反比例函数的实际应用 14 考点08 一次函数与反比例函数的其他综合应用 17 考点01 已知比例系数求特殊图形的面积 1．（22-23九年级上·四川广安·期中）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点，过点作轴的垂线交轴于点，连接，则的面积等于（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 2．（25-26九年级上·北京·课后作业）已知点是轴正半轴的一个动点，过点作轴的垂线，交双曲线于点，连接． (1)如图甲，当点在轴的正方向上运动时，的面积大小是否变化？答： （请填“变化”或“不变化”），若不变，请求出的面积 ；若改变，试说明理由（自行思索，不必作答）； (2)如图乙，在轴上的点的右侧有一点，过点作轴的垂线交双曲线于点，连接交于，设的面积是，梯形的面积为，则与的大小关系是 （请填“”、“”或“”）． 3．（24-25九年级上·山东烟台·阶段练习）如图，点A、B是双曲线上的点，分别过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若空白矩形面积与的和为6，则阴影部分面积为 ． 4．（23-24九年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，点是直线上一点，过点作轴平行线，交反比例函数图像于点，点位于点的正上方，若的面积为，则点的坐标为 ． 考点02 根据图形面积求比例系数（解析式） 5．（2025·山西临汾·二模）如图，平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点C，交平行四边形的对角线于点，点A在x轴的正半轴上．已知平行四边形的面积是24，则点B的坐标为 ． 6．（24-25九年级上·贵州铜仁·期末）如图所示，矩形的面积为6，反比例函数的图象的一支经过矩形对角线的交点P，则 ． 7．（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）如图，已知、B是反比例函数图象上的两个点，轴于点C，若的面积为2． (1)求m的值； (2)以边作菱形，使点D在第二象限，点E在x轴负半轴上，求菱形的面积． 8．（24-25九年级上·广东佛山·期末）【问题背景】 如图，在平面直角坐标系中，的一边与轴正方向重合，点在射线上；过点作轴于点，的面积是，函数的图象经过点；以点为圆心，以为半径作弧，交函数的图象于点；分别过点，点作轴和轴的平行线，两线相交于点，连接；过点作轴的平行线交线段于点． 【构建联系】 （1）填空： ． 【深入探究】 （2）求证：点在直线上． （3）请写出与的数量关系，并说明理由． （4）尺规作图：求作射线，使得．（保留作图痕迹，不要求写作法） 考点03 实际问题与反比例函数 9．（25-26九年级上·安徽六安·阶段练习）合肥长丰盛产草莓，草莓富含维生素C、胡萝卜素、膳食纤维及钙、磷、铁等矿物质，其中维生素C维护上皮组织健康，膳食纤维能促进肠道蠕动、改善便秘．此外，草莓是鞣酸含量丰富的植物，可吸附并阻止致癌化学物质的吸收，具有防癌作用．某超市从批发市场购进草莓的进价为3元，在销售过程中发现，日销售量（单位：）随售价（单位：元）的变化规律符合某种函数关系，结果如下表：（售价不低于进价） 售价（单位：元） 3 4 5 6 … 日销量 400 300 240 200 … 若与之间的函数关系是一次函数，二次函数，反比例函数中的某一种． (1)判断与之间的函数关系，并写出其表达式； (2)该超市销售草莓的日利润能否达到800元？说明理由． 10．（25-26九年级上·湖南·阶段练习）实践活动：确定台灯内滑动变阻器的电阻范围． 素材：图为某厂家设计的一款亮度可调的台灯，图为对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过改变滑动变阻器的电阻来调节亮度，电流与总电阻成反比例，其中，已知，实验测得当时，． 素材：图是该台灯电流和光照强度的关系，研究表明，适宜人眼阅读的光照强度在之间（包含临界值）． (1)任务：求关于的函数表达式． (2)任务：为使得光照强度适宜人眼阅读，确定的取值范围． 11．（24-25八年级下·山西临汾·期末）某款三明治机制作三明治的工作原理如下： ①预热阶段：开机1分钟空烧预热至，机器温度y与时间x成一次函数关系； ②操作阶段：操作3分钟后机器温度均衡升至最高温度后保持恒温状态； ③断电阶段：操作完成后进行断电降温，机器温度y与时间x成反比例关系． 如图所示为某次制作三明治时机器温度与时间x（）的函数图象，请结合图象回答下列问题： (1)预热阶段机器温度上升的平均速度是______，开机3分钟时，温度为_______； (2)当时，求机器温度y与时间x的函数关系式； (3)求三明治机工作温度持续在以上的时间是多少分钟？ 12．（23-24九年级上·广西南宁·开学考试）【综合与实践】 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】小明提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】（1）小华尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，木栏总长为，得到，在平面直角坐标系中作出两个函数的图象，则同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和______，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或______m，______． 【类比探究】（2）若，能否围出矩形地块？请仿照小华的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】（3）当木栏总长为时，小华建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的．在平移过程中，当直线与反比例函数的图象有唯一交点时，求交点坐标及a的值． 考点04 反比例函数与几何综合 13．（2021九年级上·广东佛山·竞赛）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点，且点A的坐标为，将直线向上平移m个单位，交双曲线于点C，交y轴于点F，且的面积是．给出以下结论：①；②点B的坐标是；③；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）如图，M是四边形对角线的交点，轴于点C，轴于点，反比例函数：的图象经过点M，M是的中点． (1)求经过点A的反比例函数的表达式； (2)若点D恰好也在图象上，证明：四边形是菱形． 15．（20-21九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，已知点、、． (1)将矩形向右平移m个单位，得到矩形，若、恰好落在反比例函数的图象上，求出此时m的值和反比例函数的解析式； (2)在（1）的情况下，问是否存在y轴上的点P和反比例函数图象上的点Q，使得以P、Q、B、D四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 16．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）【性质认识】如图，在函数的图象上任取两点、向坐标轴作垂直，连接垂足、或、．则一定有如下结论：，． 【数学理解】 （1）如图①，借助【性质认识】的结论，猜想 （填“”、“”或“”）； （2）如图②，借助【性质认识】的结论，请证明； 【问题解决】 （3）如图③，函数的图象与过原点的直线相交于、两点，点是第一象限内图象上的动点（点在点的左侧），直线分别交于轴、轴于点、，连接分别交轴、轴于点、请证明： ． 考点05 一次函数与反比例函数图象综合判断 17．（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． (1)求反比例函数的表达式； (2)已知点P在第三象限为反比例函数图像上一点，，求点P的坐标； (3)当时，求x的取值范围． 18．（24-25九年级上·甘肃嘉峪关·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，两点. (1)求，对应的函数解析式； (2)求的面积； (3)根据函数图象写出关于x的不等式的解集。 19．（25-26九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，点的位置和函数，的图象如图所示．以为边在轴上方作正方形，边与函数的图象相交于点边与函数的图象分别相交于点，与轴相交于点，一次函数的图象经过点，与轴相交于点，连接． (1)当在满足的条件下任意变化时，的面积是否变化？请说明理由． (2)试判断直线与边的交点是否在函数的图象上？请说明理由． 20．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）已知：如图，直线与函数的图像交于A，B两点，且与x，y轴分别交于C，D两点． (1)若直线与直线平行，且面积为2，求m的值； (2)若的面积是的面积的倍，过A作轴于E，过B作轴于F，与交于H点． ①求的值； ②求k与m之间的函数关系式． (3) 若点P坐标为，在（2）的条件下，是否存在k，m，使得为直角三角形，且，若存在，求出k，m的值；若不存在，请说明理由． 考点06 一次函数与反比例函数的交点问题 21．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，直线交双曲线于，两点，交轴于点，过点作轴的垂线，交双曲线于点，连接，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 22．（25-26九年级上·全国·期末）如图，直线与反比例函数的图象相交于点A，B，已知点A的坐标为，点B的横坐标为． (1)求该反比例函数的解析式； (2)请直接写出当时，不等式的解集； (3)D是y轴上一点，E是坐标平面内一点，若以A，B，D，E为顶点的四边形是菱形，求满足条件的点E的坐标． 23．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数（，）的图象交于点，两点． (1)求一次函数与反比例函数（）的表达式； (2)求 的面积． 24．（24-25九年级上·山东枣庄·阶段练习）如图所示，直线与双曲线交于A、B两点，已知点B的纵坐标为，直线与轴交于点，与轴交于点，，． (1)直接写出不等式的解集_____． (2)求直线的解析式； (3)求三角形的面积 (4)若点是轴上的一点，使的面积是的面积的2倍，求点的坐标； 考点07 一次函数与反比例函数的实际应用 25．（24-25八年级下·甘肃天水·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点两点，与x轴交于点C． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点M在x轴上，且的面积为6，求点M的坐标． (3)结合图形，直接写出时x的取值范围． 26．（24-25九年级上·四川达州·期末）【问题情境】已知矩形的面积为1，求该矩形周长的最小值． 【函数模型】设该矩形的长为，周长为，则矩形的宽为，所以与的函数表达式为 【探索研究】 小芳同学借鉴以往研究函数的经验，对问题进行如下处理：设，则，这样将问题就转化为求函数的最小值，她首先探索函数的图象性质．下表是与的几组对应值． 1 2 3 2 （1）表格中___________，___________． （2）请在平面直角坐标系中画出对应函数的图象，并写出函数图象的两条性质：性质1：___________；性质2：___________ 【问题解决】 （3）根据上面的探究，得到【问题情景】中的答案：矩形周长的最小值为___________． 27．（23-24八年级下·江苏镇江·阶段练习）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”． 【尝试初探】 （1）点_______“美好点”（填“是”或“不是”）；若点是第一象限内的一个“美好点”，则_______； 【深入探究】 （2）若“美好点” 在双曲线（，且为常数）上，则_______； 【拓展延伸】 （3）我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”． ①求关于的函数表达式，并求出自变量x的取值范围； ②在图2的平面直角坐标系中画出函数图象： 列表：下表是x与y的几组对应值，请将下表填写完整． 描点：根据表中各组对应值，在图2的平面直角坐标系中描出各点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图像； ③结合图象研究性质，下列结论正确的选项是_______；（多项选择，全部选对的得2分，部分选对的得1分，有选错的不得分） A．图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点； B．随着的增大而减小； C．随着的增大而增大； D．图象经过点； ④对于图象上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由． ⑤结合上述问题，观察图象可知该图象可由哪个函数的图象怎样平移得到？ 28．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点，与x轴交于点，与y轴交于点E． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)F为反比例函数第四象限上一点，过点F作轴于点Q，使与相似，求满足条件的F点坐标； (3)将直线平移，与反比例函数图象交于M，N两点，若，求直线的解析式． 考点08 一次函数与反比例函数的其他综合应用 29．（24-25九年级上·广东东莞·期末）如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，点． (1)求n和b的值； (2)求的面积； (3)直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围． 30．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在矩形中，，，点是边上的点且，反比例函数的图像经过点，交边于点，作直线． (1)直接写出点 、 的坐标：（____，____），（____，____），直接写出反比例函数的解析式：________．连接， 直接写出的面积：_______． (2)在轴上找一点，使的周长最小，求出此时点的坐标； (3)若点在反比例函数的图像上，点在轴上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 31．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过矩形一条对角线的两个端点，则定义函数是这个矩形的“对角函数”． (1)如图1，矩形在第一象限，轴，轴，且，． ①若点的坐标为，一次函数是矩形的“对角函数”，则这个函数解析式为　　　； ②若反比例函数是矩形的“对角函数”，求点的坐标； (2) 如图2， 矩形在第一象限，轴，轴，且点的坐标为，正比例函数经过点，且是矩形的“对角函数”，反比例函数经过点，且是矩形的“对角函数”．当时，将矩形沿折叠，点的对应点为，若点落在轴上，求的值． 32．（24-25九年级上·湖南湘潭·阶段练习）直线与反比例函数交于点和点，并与轴交于点，与轴交于点． (1)求直线与反比例函数的表达式； (2)连接、，求的面积； (3)若为反比例函数在第一象限图象上一点，且的面积为12， ①若点在点的左侧，求点的坐标． ②点可在点的右侧吗？若在，直接写出点的坐标，若不在，请说明理由 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $