九年级数学上学期期中模拟卷（湘教版第1-3章，高效培优·提升卷）

2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 提升卷·答案版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版2024九年级上册第一章~第三章。 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的. 请在答题卡中填涂符合题意的选项. 本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D D D B A C C C A C 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11． 12．1（大于等于1的数均可） 13．6 14． 15． 16．4 17． 18． 三、解答题（本大题共8小题，第19-20题每小题6分，第21-22题每小题8分，第23-24题每小题9分，第25-26题每小题10分，共66分） 19．（本题6分）（1）解：， 移项得：， ∴， ∴， ∴， 解得：，． （2）解：， 整理得：， ∴， ∴或， ∴，． 20．（本题6分）（1）解：∵，， ∴，， 若添加的条件是， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，与相矛盾，舍去； ∴只能是， ∴添加的条件是， 在和中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． （2）解：由（1）可知，只能是， ∴， ∵，， ∴， ∴． 21．（本题8分）（1）解：在矩形中，∵，， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴，解得：， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵， ∴随的增大而减小， 当时，， 当时，， ∵点在反比例函数图象上， ∴当时，． 22．（本题8分）（1）解：由题意得，若降价8元，每天能多售出（件）， 所以此时的销售价为元，销售量为（件）， 所以每天销售T恤衫的利润为（元）． 即若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元． （2）解：设每件T恤衫降价元时，每天能获得1200元的利润． 由题意可得， 去括号整理得， 因式分解得， 所以， 当时，每件利润为元， 利润率，不符合题意， 当时，每件利润为元， 利润率，不符合题意， 综上所述，为了保证每件恤衫的利润率不低于，小明每天不能获得1200元的利润． 23．（本题9分）（1）解：①当时，， ， ，（成立）； ②当时，， ，（成立）； ③当时，， ，（成立）； 综上所述，满足条件的的长为或9或； （2）证明：， ， ，， ， ， 即， ， ， 平分， ， ， ， ， 是比例三角形． （3）解：如图2，过点作于点， ， ， ，， ， ， 又， ， ， 即， ， 又， ， ， ，， ， ． 24．（本题9分）（1）解：把，代入得， 解得， ∴， ∵线段持续的时间恰为10分钟， ∴， ∴， 设反比例函数的解析式为， 把代入得， 解得， ∴曲线的函数表达式为； （2）解：能，理由如下： 令， 解得， 令， 解得， ∵， ∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 25．（本题10分）（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得， ∵， ∴是“四倍根方程”； （2）解：解关于的方程得， ∵关于的方程是“二倍根方程”， ∴或， 当时，； 当时，； 综上，的值为10或82； （3）解：设直线解析式为， 把代入到中得， ∴， ∴直线解析式为； ∵一个五倍根方程的两个根为和， ∴， ∴点P的坐标为， ∴点P在直线上， 联立，解得， 联立，解得， ∵点在的内部（不包含边界）， ∴． 26．（本题10分）（1），理由如下： ∵轴， ∴， 由【性质认识】的结论可得， ∴四边形是平行四边形， ∴． 同理，四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵轴， ∴， 由【性质认识】的结论可得， ∵四边形为平行四边形， ∴， 同理，四边形为平行四边形， ∵， ∴； （3）证明：过作轴于，过作轴于，过作轴于，连接，如图， 函数的图像与过原点的直线相交于、两点， 、两点关于成中心对称， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【考点剖析】本题求解的关键是借助题目中【性质认识】，合理作辅助线，结合平行四边形的判定条件与等腰三角形判定条件，来证明线段和角度相等，即可得出证明． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 提升卷·解析版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版2024九年级上册第一章~第三章。 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的. 请在答题卡中填涂符合题意的选项. 本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．（本题3分）用配方法解方程时，变形结果正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先移项，再“加上一次项系数一半的平方”配方即可． 【规范解答】解：， 移项，得， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 配方，得． 故选：D． 2．（本题3分）如图机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度是（   ） A．8 B．3 C．9 D．4 【答案】D 【思路引导】本题考查了反比例函数的应用，根据题意求出反比例函数的解析式是解题的关键； 利用待定系数法求出反比例函数解析式，再将代入计算即可． 【规范解答】设反比例函数解析式为， 机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度； ， 反比例函数解析式为， 当时，． 故选：D． 3．（本题3分）函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查反比例函数的图象，根据反比例函数的图象特点求解即可． 【规范解答】解：函数的图象是位于第一、三象限的双曲线，大致是 故选：D 4．（本题3分）如图，在中，，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理确定对应比例关系是解答本题的关键． 根据平行线分线段成比例定理得到比例式即可解答． 【规范解答】解：∵， ∴ ∴的值为． 故选：B． 5．（本题3分）股票每天的涨、跌幅均不超过，即当涨了原价的后，便不能再涨，叫涨停；当跌了原价的后，便不能再跌，叫跌停．已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为，则满足的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了增长率的定义及由实际问题抽象出一元二次方程的知识，这道题的关键在于理解：价格上涨后是原来价格的倍．股票一次跌停就跌到原来价格的，再从的基础上涨到原来的价格，且涨幅只能，所以至少要经过两天的上涨才可以．设平均每天涨，第一天涨为，第二天涨为，据题意列出方程． 【规范解答】解：设这两天此股票股价的平均增长率为 ∴， 即， 故选：A． 6．（本题3分）某小区利用一块长方形空地建一个停车场，其布局如图所示．已知停车场的长为米，宽为米，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，要使停车位占地面积为，则通道宽应为多少米？设通道宽为米，可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查的是一元二次方程的应用，平移的性质，掌握利用一元二次方程解决面积问题是解题的关键．利用平移的性质可得停车位组成一个边长为米，米的长方形，再根据矩形的面积公式列出方程即可． 【规范解答】解：利用平移的性质可得停车位形成一个边长为米，米的长方形， 则可列方程． 故选：C． 7．（本题3分）如图，点A在双曲线（）上，点B在双曲线上，轴，分别过点A，B向轴作垂线，垂足分别为D，C，若矩形的面积是9，则k的值为（   ） A． B．9 C． D．12 【答案】C 【思路引导】本题考查了反比例函数系数的几何意义，矩形的性质，熟记反比例函数系数与图形面积之间的关系是解题的关键．延长交轴于点，则四边形和是矩形，由点B在双曲线上，可得矩形的面积是3，进而求出矩形的面积，再根据反比例函数系数的几何意义得到，再结合反比例函数经过的象限即可确定k的值． 【规范解答】解：如图，延长交轴于点， 则四边形和是矩形， ∵点B在双曲线上， ∴矩形的面积， ∵矩形的面积是9， ∴矩形的面积， ∵点A在双曲线（）上， ∴， 解得：， 由图象得，双曲线经过第二象限， ∴， ∴， 故选：C． 8．（本题3分）如图，一次函数与反比例函数相交于A，B两点，A，B两点的横坐标分别为1和3，则不等式的解集为（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【思路引导】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握数形结合是关键． 所求不等式的解集为双曲线在直线上方对于的自变量x的取值范围，根据两个函数图象及交点横坐标直接写出不等式解集即可． 【规范解答】解：由题意可知，，两点的横坐标分别为1和3， 不等式的解集为：或． 故选：C． 9．（本题3分）已知分别是直角三角形的三边长，为斜边，则关于的方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．可能有且只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【思路引导】本题主要考查一元二次方程根的判别式，能够熟练计算判别式的值并能根据判别式的值判断根的情况是解题关键．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．计算判别式的值，再确定根的情况即可． 【规范解答】解：， ， 分别是直角三角形的三边长， ， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：． 10．（本题3分）如图，在正方形中，E为的中点，P为边上一点，在下列条件中：①；②； ③P为的中点； ④．其中能得到与相似的是 （   ） A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③ 【答案】C 【思路引导】此题考查了相似三角形的判定、正方形的性质以及直角三角形的性质．熟练掌握三角形的判定方法是解题的关键． 由四边形是正方形，可得，，当①，根据有两角对应相等的三角形相似，证得与相似；当②，可得，继而可得与相似；③若P为的中点，则，此时不相似；当④若，可得，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可判定与相似． 【规范解答】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ①若， ∵， ∴； ②若，则， ∵， ∴， ③若P为的中点， 则， ∴， ∴此时不相似； ④若， 则， ∵， ∴． 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．（本题3分）若，则 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了比例的基本性质，准确计算是解题的关键． 根据已知条件得到，代入到式子中求解即可． 【规范解答】， ， 原式； 故答案是． 12．（本题3分）方程有实数根，则k的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】1（大于等于1的数均可） 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，先把原方程化为一般式，再由题意可得判别式大于等于0，据此列式求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵方程有实数根， ∴， ∴， ∴k的值可以是1， 故答案为：1（大于等于1的数均可）． 13．（本题3分）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于两点，过点作轴于点，过点作轴于点，则的面积为 ． 【答案】6 【思路引导】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，根据正比例函数和反比例函数的关系式可求出交点坐标，进而得出，再根据三角形的面积公式求出答案． 【规范解答】解：联立方程组得， 解得或， ∴，， ∵轴，轴， ∴， ∴， 故答案为：6． 14．（本题3分）山西祁县是“中国酥梨之乡”，某超市将进价为5元/千克的酥梨按8元/千克售出，平均一天能售出50千克，为尽快减少库存，超市决定降价销售．经市场调查，售价每降低1元，日销售量增加10千克，现要使超市每天销售酥梨的利润为120元．若设售价应降低元，则可列方程为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据题意可知每千克酥梨的利润为，销售量为千克，再根据总利润等于每千克的利润乘以销售量列出方程即可． 【规范解答】解：由题意得，， 故答案为：． 15．（本题3分）如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点 B处反射后，恰好经过木板的边缘点 F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点 A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度为 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了相似三角形的应用，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键．先证明得到，然后代值可得，则，再证明得到，代值计算出即可． 【规范解答】解：由题意可得：， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∵光在镜面反射中的入射角等于反射角， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 解得：， 故答案为：． 16．（本题3分）如图，在反比例函数的图象上有四点，它们的横坐标依次为1，2，3，4，分别过这些点作垂直于x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，若，则k的值为 ． 【答案】4 【思路引导】本题主要考查了反比例函数与几何综合，根据题意可得，再根据长方形面积公式分别表示出，根据建立方程求解即可． 【规范解答】解：在中，当时，，当时，，当时，，当时，， ∴， ∵分别过这些点作垂直于x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为， ∴，，，， ∵， ∴， 解得， 故答案为：4． 17．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线（）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为1，，则k的值为 ． 【答案】 【思路引导】过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N， 由等腰三角形的判定与性质得出，证出由证明，得出，，即可得出B点坐标，代入反比例函数，得到一元二次方程，解方程求解即可； 【规范解答】解：过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N，如图所示： 则， ∴四边形是矩形， ， 把代入反比例函数的解析式得， ， 双曲线图象在第一象限， ， ， ，， ， ， 双曲线经过B， 整理得：， 解得：（舍）， 故答案为：． 【考点剖析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征和全等三角形的判定与性质的综合运用，解一元二次方程，矩形的判定和性质等，正确的作出辅助线是解题的关键． 18．（本题3分）如图，将沿着过中点D的直线折叠，使点A落在边上的处，称为第1次操作，面积记为，还原纸片后，再将沿着过中点的直线折叠，使点A落在边上的处，称为第2次操作，面积记为，按上述方法不断操作下去…经过第2018次操作后得到的面积记为，若，则的值为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了三角形中位线的性质，根据中点的性质及折叠的性质可得，由折叠得，得出，得,同理可得，依次类推，得出规律即可解答． 【规范解答】解：由折叠的性质可得：， 又∵D是中点， ∴， ∴， ∴， ∴ 由折叠得，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 同理， ， ⋯⋯， , 当时，， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，第19-20题每小题6分，第21-22题每小题8分，第23-24题每小题9分，第25-26题每小题10分，共66分） 19．（本题6分）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【思路引导】本题考查一元二次方程的解法． （1）把方程化为，再进一步用配方法即可求解． （2）把方程化为，再利用因式分解法即可求解． 【规范解答】（1）解：， 移项得：， ∴， ∴， ∴， 解得：，． （2）解：， 整理得：， ∴， ∴或， ∴，． 20．（本题6分）如图．，，． (1)请你添加一个条件，使相似于，你添加的条件是______． (2)若，，在（1）的条件下．求的长度． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 【思路引导】本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）先求出，，再若添加的条件是，证出，根据相似三角形的性质可得，然后证出四边形是平行四边形，则可得，与相矛盾，只能是，由此即可得添加的条件； （2）根据相似三角形的性质可得，代入计算即可得． 【规范解答】（1）解：∵，， ∴，， 若添加的条件是， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，与相矛盾，舍去； ∴只能是， ∴添加的条件是， 在和中， ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． （2）解：由（1）可知，只能是， ∴， ∵，， ∴， ∴． 21．（本题8分）如图，反比例函数的图象经过矩形的顶点B，且． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点在反比例函数的图象上，当时，求y的取值范围． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查了反比例函数图象上点的性质，矩形的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数图象上点的特征． （1）根据矩形的性质可得，再代入，即可求解； （2）根据反比例函数的性质可得随的增大而减小，再分别求出当和时的函数值，即可求解． 【规范解答】（1）解：在矩形中，∵，， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴，解得：， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵， ∴随的增大而减小， 当时，， 当时，， ∵点在反比例函数图象上， ∴当时，． 22．（本题8分）小明开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案恤衫．已知每件恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， (1)若降价8元，则每天销售恤衫的利润为多少元？ (2)为了保证每件恤衫的利润率不低于，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率） 【答案】(1)1152元 (2)不能；理由见解析 【思路引导】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练应用一元二次方程解决问题是解题的关键． （1）根据题意，可表示出降价后的售价和每天的销售量，继而求得每天的利润； （2）根据题意，可设出降低的价格，根据等量关系“利润销售价每天的销量”列出方程，继而利用利润率对求得的解进行检验，即可求解． 【规范解答】（1）解：由题意得，若降价8元，每天能多售出（件）， 所以此时的销售价为元，销售量为（件）， 所以每天销售T恤衫的利润为（元）． 即若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元． （2）解：设每件T恤衫降价元时，每天能获得1200元的利润． 由题意可得， 去括号整理得， 因式分解得， 所以， 当时，每件利润为元， 利润率，不符合题意， 当时，每件利润为元， 利润率，不符合题意， 综上所述，为了保证每件恤衫的利润率不低于，小明每天不能获得1200元的利润． 23．（本题9分）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫作比例三角形． (1)已知是比例三角形，，，请直接写出所有满足条件的的长； (2)如图1，在四边形中，，对角线平分，，求证：是比例三角形； (3)如图2，在（2）的条件下，当时，求的值． 【答案】(1)的长为或9或 (2)见解析 (3) 【思路引导】本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、比例三角形的定义以及分类讨论等知识，证明三角形相似是解题的关键． （1）根据比例三角形的定义分、、三种情况分别代入计算可得； （2）①先判断出，得出即可； ②由得出，再由知，即可得出结论； （3）过点作于点，证，得，即，再由推出，据此可得答案． 【规范解答】（1）解：①当时，， ， ，（成立）； ②当时，， ，（成立）； ③当时，， ，（成立）； 综上所述，满足条件的的长为或9或； （2）证明：， ， ，， ， ， 即， ， ， 平分， ， ， ， ， 是比例三角形． （3）解：如图2，过点作于点， ， ， ，， ， ， 又， ， ， 即， ， 又， ， ， ，， ， ． 24．（本题9分）某研究性学习小组通过调查发现，在一节40分钟的课中，学生的注意力会随时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐渐集中，中间一段时间保持较为理想的稳定状态，随后开始分散．经试验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示，其中线段的函数表达式为：，线段持续的时间恰为10分钟，曲线为反比例函数图象的一部分． (1)求m的值及曲线的函数表达式，并写出取值范围． (2)若一道数学难题，需要讲解16分钟，为了效果较好，要求学生注意力指数y不低于64，那么老师能否在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题？请说明理由． 【答案】(1)； (2)能，理由见解析 【思路引导】此题考查了一次函数的应用和反比例函数的应用． （1）将B点坐标代入线段的函数解析式，即可求出m的值；再结合题意可得点坐标，进而可求得曲线的函数表达式； （2）分别求出注意力指数为64时的两个时间，再将两时间之差和16比较，大于16则能讲完，否则不能． 【规范解答】（1）解：把，代入得， 解得， ∴， ∵线段持续的时间恰为10分钟， ∴， ∴， 设反比例函数的解析式为， 把代入得， 解得， ∴曲线的函数表达式为； （2）解：能，理由如下： 令， 解得， 令， 解得， ∵， ∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 25．（本题10分）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍（为正整数），则称这样的方程为“倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)根据上述定义，是“___________倍根方程”； (2)若关于的方程是“二倍根方程”，求的值； (3)直线与轴交于点，直线过点，且与相交于点．若一个五倍根方程的两个根为和，且点在的内部（不包含边界），求的取值范围． 【答案】(1)四 (2)10或82 (3) 【思路引导】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一次函数与几何综合，正确理解“倍根方程”的定义是解题的关键． （1）利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义求解即可； （2）先解关于的方程得，由题意可得或，再代入求解即可； （3）利用待定系数法求出直线解析式为；再根据题意可得，则可得点P在直线上，求出直线与直线的交点坐标，直线与直线的交点坐标，根据点在的内部（不包含边界），结合函数 图象即可得到答案． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得， ∵， ∴是“四倍根方程”； （2）解：解关于的方程得， ∵关于的方程是“二倍根方程”， ∴或， 当时，； 当时，； 综上，的值为10或82； （3）解：设直线解析式为， 把代入到中得， ∴， ∴直线解析式为； ∵一个五倍根方程的两个根为和， ∴， ∴点P的坐标为， ∴点P在直线上， 联立，解得， 联立，解得， ∵点在的内部（不包含边界）， ∴． 26．（本题10分）【性质认识】如图，在函数的图象上任取两点、向坐标轴作垂直，连接垂足、或、．则一定有如下结论：，． 【数学理解】 （1）如图①，借助【性质认识】的结论，猜想 （填“”、“”或“”）； （2）如图②，借助【性质认识】的结论，请证明； 【问题解决】 （3）如图③，函数的图象与过原点的直线相交于、两点，点是第一象限内图象上的动点（点在点的左侧），直线分别交于轴、轴于点、，连接分别交轴、轴于点、请证明： ． 【答案】（1），理由见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【思路引导】本题考查了平行线性质、平行四边形判定和等腰三角形判定，关键是利用题目中【性质认识】来得到判定平行四边形的条件，其次，是利用平行线性质，得到角度相等来得出等腰三角形边相等， （1）猜想关键是利用题目中【性质认识】，并结合平行四边形判定条件，“两组对边平行且相等得到四边形为平行四边形”，即可得到； （2）在四边形和四边形中，结合题目中【性质认识】，并利用平行四边形判定条件，“两组对边平行且相等得到四边形为平行四边形”，即可得到； （3）求解关键是作辅助线，过作轴于，过作轴于，过作轴于，连接，，利用题目中【性质认识】，在中得到，即可证明． 【规范解答】（1），理由如下： ∵轴， ∴， 由【性质认识】的结论可得， ∴四边形是平行四边形， ∴． 同理，四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵轴， ∴， 由【性质认识】的结论可得， ∵四边形为平行四边形， ∴， 同理，四边形为平行四边形， ∵， ∴； （3）证明：过作轴于，过作轴于，过作轴于，连接，如图， 函数的图像与过原点的直线相交于、两点， 、两点关于成中心对称， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【考点剖析】本题求解的关键是借助题目中【性质认识】，合理作辅助线，结合平行四边形的判定条件与等腰三角形判定条件，来证明线段和角度相等，即可得出证明． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期期中模拟卷 提升卷·考试版 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版2024九年级上册第一章~第三章。 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的. 请在答题卡中填涂符合题意的选项. 本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．（本题3分）用配方法解方程时，变形结果正确的是（    ）． A． B． C． D． 2．（本题3分）如图机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度是（   ） A．8 B．3 C．9 D．4 3．（本题3分）函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 4．（本题3分）如图，在中，，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（本题3分）股票每天的涨、跌幅均不超过，即当涨了原价的后，便不能再涨，叫涨停；当跌了原价的后，便不能再跌，叫跌停．已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为，则满足的方程是（    ） A． B． C． D． 6．（本题3分）某小区利用一块长方形空地建一个停车场，其布局如图所示．已知停车场的长为米，宽为米，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，要使停车位占地面积为，则通道宽应为多少米？设通道宽为米，可列方程为（　　） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，点A在双曲线（）上，点B在双曲线上，轴，分别过点A，B向轴作垂线，垂足分别为D，C，若矩形的面积是9，则k的值为（   ） A． B．9 C． D．12 8．（本题3分）如图，一次函数与反比例函数相交于A，B两点，A，B两点的横坐标分别为1和3，则不等式的解集为（   ） A． B．或 C．或 D．或 9．（本题3分）已知分别是直角三角形的三边长，为斜边，则关于的方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．可能有且只有一个实数根 D．没有实数根 10．（本题3分）如图，在正方形中，E为的中点，P为边上一点，在下列条件中：①；②； ③P为的中点； ④．其中能得到与相似的是 （   ） A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．（本题3分）若，则 ． 12．（本题3分）方程有实数根，则k的值可以是 ．（写出一个即可） 13．（本题3分）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于两点，过点作轴于点，过点作轴于点，则的面积为 ． 14．（本题3分）山西祁县是“中国酥梨之乡”，某超市将进价为5元/千克的酥梨按8元/千克售出，平均一天能售出50千克，为尽快减少库存，超市决定降价销售．经市场调查，售价每降低1元，日销售量增加10千克，现要使超市每天销售酥梨的利润为120元．若设售价应降低元，则可列方程为 ． 15．（本题3分）如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点 B处反射后，恰好经过木板的边缘点 F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点 A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度为 ． 16．（本题3分）如图，在反比例函数的图象上有四点，它们的横坐标依次为1，2，3，4，分别过这些点作垂直于x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，若，则k的值为 ． 17．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线（）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为1，，则k的值为 ． 18．（本题3分）如图，将沿着过中点D的直线折叠，使点A落在边上的处，称为第1次操作，面积记为，还原纸片后，再将沿着过中点的直线折叠，使点A落在边上的处，称为第2次操作，面积记为，按上述方法不断操作下去…经过第2018次操作后得到的面积记为，若，则的值为 ． 三、解答题（本大题共8小题，第19-20题每小题6分，第21-22题每小题8分，第23-24题每小题9分，第25-26题每小题10分，共66分） 19．（本题6分）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 20．（本题6分）如图．，，． (1)请你添加一个条件，使相似于，你添加的条件是______． (2)若，，在（1）的条件下．求的长度． 21．（本题8分）如图，反比例函数的图象经过矩形的顶点B，且． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点在反比例函数的图象上，当时，求y的取值范围． 22．（本题8分）小明开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案恤衫．已知每件恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， (1)若降价8元，则每天销售恤衫的利润为多少元？ (2)为了保证每件恤衫的利润率不低于，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率） 23．（本题9分）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫作比例三角形． (1)已知是比例三角形，，，请直接写出所有满足条件的的长； (2)如图1，在四边形中，，对角线平分，，求证：是比例三角形； (3)如图2，在（2）的条件下，当时，求的值． 24．（本题9分）某研究性学习小组通过调查发现，在一节40分钟的课中，学生的注意力会随时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐渐集中，中间一段时间保持较为理想的稳定状态，随后开始分散．经试验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示，其中线段的函数表达式为：，线段持续的时间恰为10分钟，曲线为反比例函数图象的一部分． (1)求m的值及曲线的函数表达式，并写出取值范围． (2)若一道数学难题，需要讲解16分钟，为了效果较好，要求学生注意力指数y不低于64，那么老师能否在学生注意力全程达到要求的状态下讲解完这道题？请说明理由． 25．（本题10分）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍（为正整数），则称这样的方程为“倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)根据上述定义，是“___________倍根方程”； (2)若关于的方程是“二倍根方程”，求的值； (3)直线与轴交于点，直线过点，且与相交于点．若一个五倍根方程的两个根为和，且点在的内部（不包含边界），求的取值范围． 26．（本题10分）【性质认识】如图，在函数的图象上任取两点、向坐标轴作垂直，连接垂足、或、．则一定有如下结论：，． 【数学理解】 （1）如图①，借助【性质认识】的结论，猜想 （填“”、“”或“”）； （2）如图②，借助【性质认识】的结论，请证明； 【问题解决】 （3）如图③，函数的图象与过原点的直线相交于、两点，点是第一象限内图象上的动点（点在点的左侧），直线分别交于轴、轴于点、，连接分别交轴、轴于点、请证明： ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $