3.4 函数的应用（一）-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

§3.4 函数的应用（一） 目录 题型1：二次函数模型的应用 3 题型2：幂函数模型的应用 4 题型3：分段函数模型的应用 5 题型4：图表型函数应用题 7 【强化训练】 9 1. 常见的几种函数模型 (1) 一次函数模型(线性函数模型)：，（为常数且）,其增长特点是直线上升（）或直线下降（）. (2) 二次函数模型：当研究的问题呈现先增长后减少的特点时,可以选用二次函数模型，(为常数且);当研究的问题呈现先减少后增长的特点时,可以选用二次函数模型，(为常数且)。 1　 有些问题的两变量之间是二次函数关系：如面积问题、利润问题、产量问题等，可构建二次函数模型，利用二次函数图像与单调性求解. 2　 建立二次函数模型可以求出函数的最值，解决实际中的最优化问题. (3) 幂函数模型：，（为常数，，）. (4) 反比例函数模型：，（为常数且）. (5) 分段函数模型 1　 很多实际问题中变量间的关系，不能用同一关系式给出，而是几个不同的关系式构成分段函数，如出租车与路程之间就是分段函数． 2　 要注意各段自变量的范围，特别是端点值. 3　 构造分段函数时，力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏. 2. 用函数模型解决实际问题的方法和步骤 第一步：审题：认真读题，确切理解题意，明确问题的实际背景，寻找各量之间的内在联系，及关键的等量关系． 第二步：建模：通过抽象概括，引进数学符号，利用已有知识建立相应的数学模型，要注明符合实际意义的定义域； 建立函数模型求解析式的方法 (1) 待定系数法。已知条件中给出了含参数的函数解析式或根据已知条件可确定函数模型，此种情形下应用待定系数法求出函数解析式中的相关参数(未知系数)的值，就可以确定函数的解析式。 (2) 归纳法。先让自变量x取一些特殊值,计算出相对应的函数值，从中发现规律,再推广到一般情形,从而得到函数的解析式。 (3) 方程法。用x表示自变量或其他相关的量,根据问题的实际意义,运用已掌握的数学、物理等方面的知识,列出函数的解析式，此种方法形式上和列方程解应用题相仿,故称为方程法,实际上函数的解析式就是含的二元方程。 第三步：解模：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解； 第四步：还原：将所求得的数学结果，还原到实际问题中去． 以上过程用框图表示如下： 题型1：二次函数模型的应用 【例1.1.】 端午节前，小鲁购进了一批粽子进行销售，第一天销售了256个，第二、三天的销售量持续走高，第三天的销售量达到400个，则第二、三天销售量的平均增长率为 %. 【例1.2.】 某公司生产某种仪器的固定成本为4000元，每生产一台仪器需增加投入500元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台，，）满足函数：，利润是总收入与总成本之差． (1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？ 【例1.3.】 如图所示，有一块矩形空地，要在这块空地上开辟一个内接四边形绿地（图中四边形），使其四个顶点分别落在矩形的四条边上已知，且，设，绿地面积为，若，则绿地面积的最大值为 ．（用含的式子作答） 题型2：幂函数模型的应用 【例2.1.】 科学家很早就提出关于深度睡眠问题，随着现代生活节奏的加快，睡眠成了严重影响生活的问题．经研究，睡眠中恒温动物的脉搏率f（单位：心跳次数）与体重W（单位：Kg）的次方成反比．若A、B为两个睡眠中的恒温动物，A的体重为2Kg、脉搏率为210次，B的脉搏率是70次，则B的体重为（    ） A．6Kg B．8Kg C．18Kg D．54Kg 【例2.2.】 （多选）在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：）与管道的半径（单位：）的四次方成正比，当气体在半径为5的管道中时，流量为，则（    ） A．当气体在半径为3的管道中时，流量为 B．当气体在半径为3的管道中时，流量为 C．要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为4 D．要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为 【例2.3.】 美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2亿元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1亿元，公司获得毛收入0.25亿元；生产芯片的毛收入（亿元）与投入的资金（亿元）的函数关系为，其图象如图所示.    (1)试分别求出生产两种芯片的毛收入（亿元）与投入资金（亿元）的函数关系式； (2)如果公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片毛收入更大？ (3)现在公司准备投入40亿元资金同时生产两种芯片，设投入亿元生产芯片，用表示公司所获净利润，当为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润.（净利润芯片毛收入芯片毛收入一研发耗费资金） 题型3：分段函数模型的应用 【例3.1.】 已知某列车的发车时间间隔（单位：分）满足．经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔相关，当时列车为满载状态，载客量为720人；当时，载客量会减少，减少的人数（为常数），且发车时间间隔为3分钟时的载客减少量为324人．记列车载客量为，则的表达式为 ．为响应低碳出行，若载客量至少达到524人时，列车才发车，则列车发车时间间隔至少为 分钟． 【例3.2.】 某种农作物单株的产量（单位：kg）与肥料成本（单位：元）满足如下关系：单株产量，单株成熟除肥料成本（单位：元）外，还需其他成本（单位：元）.已知这种农作物的市场售价为5元／kg，且供不应求，记该农作物单株获得的利润为（单位：元）． (1)求的函数关系式； (2)当投入的单株肥料成本为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【例3.3.】 某工厂进行加工生产所的工料两种供应方式，一种是从市场上直接采购工料，另一种是通过工厂自身生产工料，该工厂去年（2月至12月）每月所需的工料总量均为12000件，由于工厂生产车间处于调试阶段，自身生产的工料有限，于是工厂从市场上采购一部分工料作为补充，两种供应方式同时进行，2月至6月，该工厂从市场上采购的工料量（件）与月份x（，且x为整数）之间满足的函数关系如下表 月份x（月） 2 3 4 5 6 市场采购工料量（件） 6000 4000 3000 2400 2000 7月至12月，该工厂自身生产的工料量（件）与月份x（，且x为取整数）之间满足二次函数关系式为．其图象如图所示.2月至6月，该工厂每件工料的市场采购成本（元）与月份x之间满足函数关系式，该工厂自身生产的每件工料的成本（元）与月份x之间满足函数关系式：；7月至12月的每一个月份，该工厂从市场采购的工料成本均为3元/件，该工厂自身生产的工料成本为1.5元/件． (1)请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别求出与x之间的函数关系式； (2)请你求出该工厂去年（2月至12月）哪个月份所需的工料总费用W（元）最多，并求出这个最多费用． 题型4：图表型函数应用题 方法提炼 图像信息应用题的解答策略 (1) 明确横轴、纵轴的意义,分析题中的具体含义。 (2) 由图像判定函数模型。 (3) 抓住特殊点的实际意义,特殊点一般包括最高点(最大值点)、最低点(最小值点)及折线的拐角点等。 (4) 通过方程、不等式、函数等数学模型化实际问题为数学问题。 【例4.1.】 生物活动小组的同学们观察某植物生长，得到该植物高度（单位：cm）与观察时间（单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（轴），该植物最高的高度是（    ）    A．50cm B．20cm C．16cm D．12cm 【例4.2.】 某企业员工小李的住处与他的办公室相距，某天下班后，小李发现有份重要材料丢在办公室，于是他从住处出发，先匀速跑步3min来到办公室，停留2min，然后匀速步行10min返回住处．在这个过程中，小李行进的速度和行走的路程都是时间的函数，则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的（    ） A．①④ B．②③ C．④① D．③② 【例4.3.】 在一条笔直的公路上有A、B、C三地，C地位于A、B两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地．在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示．下列结论正确的有 ①甲车出发2h时，两车相遇 ②乙车出发1.5h时，两车相距170km ③乙车出发2h时，两车相遇 ④甲车到达C地时，两车相距40km 【例4.4.】 （多选）某智能手机生产厂家对其旗下的某款手机的续航能力进行了一轮测试（一轮测试时长为），得到了剩余电量（单位：百分比）与测试时间（单位：）的函数图象如图所示，则下列判断中正确的有（    ）    A．测试结束时，该手机剩余电量为85% B．该手机在前内电量始终在匀速下降 C．该手机在内电量下降的速度比在内下降的速度更慢 D．该手机在进行了充电操作 【强化训练】 1. （多选）某打车平台欲对收费标准进行改革，现推出了甲、乙两种方案供乘客选择，其支付费用与打车里程数的函数关系大致如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．当打车距离为时，乘客选择甲方案省钱 B．当打车距离为时，乘客选择甲、乙方案均可 C．打车以上时，甲方案每千米增加的费用比乙方案多 D．打车内（含）时，选甲方案需付费元，行程大于时，每增加费用增加0．7元 2. 遗忘曲线（又称“艾宾浩斯遗忘曲线”）是由德国心理学家艾宾浩斯（H．Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率y与初次记忆经过的时间x（单位：时）的大致关系：，若陈同学需要在明天15：00考语文时拥有复习背诵记忆的42%，则他明天复习背诵的时间需大约在（    ）参考数据：，． A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 3. 在中国天门山举行的WWL翼装飞行世锦赛中，某翼人空中高速飞行，如图反映了他从某时刻开始的15分钟内的速度与时间的关系，若定义“速度差函数”为时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图象是（    ）    A．   B．   C．   D．   4. 某饮料公司推出了一种时尚运动功能饮料，一上市就受到年轻人的喜爱，该公司统计了该饮料一年中每个月的盈利情况，得到月利润（单位：万元）与销售月份之间的关系为． （1）一年中最高月利润对应的月份为 ； （2）一年中该饮料月利润超过3万元的有 个月． 5. 如图，甲、乙两人沿同一直线同时出发去往B地，甲到达B地后立即以原速沿原路返回，乙到达B地后停止运动，已知运动过程中两人到B地的距离y(km)与出发时间x(h)的关系如图所示，则甲、乙两人在出发后多少小时第2次相遇？（    ） A．2 B．4.5 C． D． 6. 某学校因为学生活动区域紧张，为了更好地为学生提供活动场地，决定在一块长米，宽米的矩形地块上施工，规划建设占地如图中矩形的学生活动中心，要求顶点在地块的对角线上，、分别在边、上，假设长度为米． (1)记矩形面积为，试用表示； (2)要使矩形活动区域的面积不小于平方米，的长度应在什么范围？ (3)长度和宽度分别为多少米时矩形活动区域的面积最大？最大值是多少平方米？ 7. 2025年成都世界运动会是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，竞赛项目以非奥运会项目为主.2025年世界运动会将于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行，是中国大陆第一次举办世界运动会.据调查，国内某公司出售一款2025年成都世界运动会吉祥物，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出，若以80元的单价出售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若购进30万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为. (1)当购进产品数量为10万件时，利润是多少？（利润销售收入成本） (2)写出利润（万元）关于购进产品数量（万件）的函数解析式； (3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 8. 为了提升某水域的生态环境，科研人员于2020年初在该水域投放一种微生物，投放量为1个单位数量．这种微生物在开始的4年内繁殖速度越来越快，随后越来越慢，设投放年后这种微生物的数量为个单位．已知与的关系拟合后的分段函数的图象如图所示：①；②；③. (1)请从中选择并求合适的两个确定关于的函数解析式，并说明理由； (2)求该水域生态环境最佳的时长.（注：微生物的数量在个单位之间生态环境最佳） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §3.4 函数的应用（一） 目录 题型1：二次函数模型的应用 3 题型2：幂函数模型的应用 5 题型3：分段函数模型的应用 8 题型4：图表型函数应用题 12 【强化训练】 16 1. 常见的几种函数模型 (1) 一次函数模型(线性函数模型)：，（为常数且）,其增长特点是直线上升（）或直线下降（）. (2) 二次函数模型：当研究的问题呈现先增长后减少的特点时,可以选用二次函数模型，(为常数且);当研究的问题呈现先减少后增长的特点时,可以选用二次函数模型，(为常数且)。 1　 有些问题的两变量之间是二次函数关系：如面积问题、利润问题、产量问题等，可构建二次函数模型，利用二次函数图像与单调性求解. 2　 建立二次函数模型可以求出函数的最值，解决实际中的最优化问题. (3) 幂函数模型：，（为常数，，）. (4) 反比例函数模型：，（为常数且）. (5) 分段函数模型 1　 很多实际问题中变量间的关系，不能用同一关系式给出，而是几个不同的关系式构成分段函数，如出租车与路程之间就是分段函数． 2　 要注意各段自变量的范围，特别是端点值. 3　 构造分段函数时，力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏. 2. 用函数模型解决实际问题的方法和步骤 第一步：审题：认真读题，确切理解题意，明确问题的实际背景，寻找各量之间的内在联系，及关键的等量关系． 第二步：建模：通过抽象概括，引进数学符号，利用已有知识建立相应的数学模型，要注明符合实际意义的定义域； 建立函数模型求解析式的方法 (1) 待定系数法。已知条件中给出了含参数的函数解析式或根据已知条件可确定函数模型，此种情形下应用待定系数法求出函数解析式中的相关参数(未知系数)的值，就可以确定函数的解析式。 (2) 归纳法。先让自变量x取一些特殊值,计算出相对应的函数值，从中发现规律,再推广到一般情形,从而得到函数的解析式。 (3) 方程法。用x表示自变量或其他相关的量,根据问题的实际意义,运用已掌握的数学、物理等方面的知识,列出函数的解析式，此种方法形式上和列方程解应用题相仿,故称为方程法,实际上函数的解析式就是含的二元方程。 第三步：解模：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解； 第四步：还原：将所求得的数学结果，还原到实际问题中去． 以上过程用框图表示如下： 题型1：二次函数模型的应用 【例1.1.】 端午节前，小鲁购进了一批粽子进行销售，第一天销售了256个，第二、三天的销售量持续走高，第三天的销售量达到400个，则第二、三天销售量的平均增长率为 %. 【答案】25 【难度】0.65 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题 【分析】利用平均增长率的公式建立方程，通过解方程求出增长率. 【详解】设第二、三天销售量的平均增长率为, 则, 得, 得(舍去负根), 得. 故答案为:25 【例1.2.】 某公司生产某种仪器的固定成本为4000元，每生产一台仪器需增加投入500元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台，，）满足函数：，利润是总收入与总成本之差． (1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)或时，公司获得最大利润为74120元． 【难度】0.65 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、求二次函数的值域或最值 【分析】（1）由利润是总收入与总成本之差即可求解； （2）通过配方法即可求解； 【详解】（1）利润是总收入与总成本之差，所以． （2）， 所以当或时，公司获得最大利润为74120元． 【例1.3.】 如图所示，有一块矩形空地，要在这块空地上开辟一个内接四边形绿地（图中四边形），使其四个顶点分别落在矩形的四条边上已知，且，设，绿地面积为，若，则绿地面积的最大值为 ．（用含的式子作答） 【答案】 【难度】0.4 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、利用函数单调性求最值或值域 【分析】由计算即可得到函数关系式，再结合可求得其定义域，最后研究时二次函数在上的单调性，进而求得其最大值. 【详解】由题意，得，， 所以， 又因为，所以， 故，定义域为. 因为 由于，故， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，. 故答案为： 题型2：幂函数模型的应用 【例2.1.】 科学家很早就提出关于深度睡眠问题，随着现代生活节奏的加快，睡眠成了严重影响生活的问题．经研究，睡眠中恒温动物的脉搏率f（单位：心跳次数）与体重W（单位：Kg）的次方成反比．若A、B为两个睡眠中的恒温动物，A的体重为2Kg、脉搏率为210次，B的脉搏率是70次，则B的体重为（    ） A．6Kg B．8Kg C．18Kg D．54Kg 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】幂函数模型的应用 【分析】根据给定信息求出关系式，再代入计算即得. 【详解】依题意，设，由，得，则， 当时， ，所以． 故选：D 【例2.2.】 （多选）在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：）与管道的半径（单位：）的四次方成正比，当气体在半径为5的管道中时，流量为，则（    ） A．当气体在半径为3的管道中时，流量为 B．当气体在半径为3的管道中时，流量为 C．要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为4 D．要使得气体流量不小于，管道的半径的最小值为 【答案】AC 【难度】0.85 【知识点】幂函数模型的应用 【分析】根据题意求得函数解析式，再逐项判断即可. 【详解】依题意可设，为常数． 当气体在半径为5的管道中时，流量为，所以，解得， 则．当时，，故A正确，B错误． 由，解得，故C正确，D错误． 故选：AC. 【例2.3.】 美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2亿元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1亿元，公司获得毛收入0.25亿元；生产芯片的毛收入（亿元）与投入的资金（亿元）的函数关系为，其图象如图所示.    (1)试分别求出生产两种芯片的毛收入（亿元）与投入资金（亿元）的函数关系式； (2)如果公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片毛收入更大？ (3)现在公司准备投入40亿元资金同时生产两种芯片，设投入亿元生产芯片，用表示公司所获净利润，当为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润.（净利润芯片毛收入芯片毛收入一研发耗费资金） 【答案】(1)生产芯片关系式为，生产芯片关系式为 (2)答案见解析 (3)亿时，公司所获净利润最大净利润为9亿元 【难度】0.85 【知识点】解析法表示函数、幂函数模型的应用、建立拟合函数模型解决实际问题、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】（1）由题意直接得到生产A芯片的解析式，待定系数法求出生产B芯片的解析式； （2）在（1）的基础上，得到不等式和方程，得到答案； （3）表达出，换元后求出最值. 【详解】（1）设投入资金亿元，则生产A芯片的毛收入. 将代入， 得，解得， 生产B芯片的毛收入. （2）由，得；由，得； 由，得. 当投入资金大于16亿元时，生产芯片的毛收入更大； 当投入资金等于16亿元时，生产芯片的毛收入相等； 当投入资金小于16亿元时，生产B芯片的毛收入更大. （3）由题意知投入亿元生产芯片，则投入亿元资金生产A芯片， 公司所获净利润， 令，则， ， 故当，即亿时，公司所获净利润最大，最大净利润为9亿元. 题型3：分段函数模型的应用 【例3.1.】 已知某列车的发车时间间隔（单位：分）满足．经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔相关，当时列车为满载状态，载客量为720人；当时，载客量会减少，减少的人数（为常数），且发车时间间隔为3分钟时的载客减少量为324人．记列车载客量为，则的表达式为 ．为响应低碳出行，若载客量至少达到524人时，列车才发车，则列车发车时间间隔至少为 分钟． 【答案】 5 【难度】0.65 【知识点】分段函数模型的应用 【分析】列车载客量等于满载量减去载客减少量，再根据求出k即可得到分段函数的表达式，分、两种情况求解不等式即可得解. 【详解】由题知，当时，； 当时，． 因为发车时间间隔为3分钟时的载客减少量为324人，此时载客量为（人）， 所以，解得， 所以． 所以； 依题意， 当时，，满足题意； 当时，，即，解得， 又，所以. 综上，，所以列车发车时间间隔至少为5分钟． 故答案为：；5 【例3.2.】 某种农作物单株的产量（单位：kg）与肥料成本（单位：元）满足如下关系：单株产量，单株成熟除肥料成本（单位：元）外，还需其他成本（单位：元）.已知这种农作物的市场售价为5元／kg，且供不应求，记该农作物单株获得的利润为（单位：元）． (1)求的函数关系式； (2)当投入的单株肥料成本为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当投入的单株肥料成本为6元时，该农作物单株获得的利润最大，最大利润是42元. 【难度】0.94 【知识点】分段函数的值域或最值、分段函数模型的应用 【分析】（1）由题意求出的函数即可；（2）由分段函数的性质，分和两段，分别求出最大值，取两者之中的较大者即可； 【详解】（1）由题意可得， ，所以 （2）当时，的图象为开口向上的抛物线，对称轴， 所以当时，； 当时，， 当且仅当，即时等号成立，此时； 综上，当投入的单株肥料成本为6元时，该农作物单株获得的利润最大，最大利润是42元. 【例3.3.】 某工厂进行加工生产所的工料两种供应方式，一种是从市场上直接采购工料，另一种是通过工厂自身生产工料，该工厂去年（2月至12月）每月所需的工料总量均为12000件，由于工厂生产车间处于调试阶段，自身生产的工料有限，于是工厂从市场上采购一部分工料作为补充，两种供应方式同时进行，2月至6月，该工厂从市场上采购的工料量（件）与月份x（，且x为整数）之间满足的函数关系如下表 月份x（月） 2 3 4 5 6 市场采购工料量（件） 6000 4000 3000 2400 2000 7月至12月，该工厂自身生产的工料量（件）与月份x（，且x为取整数）之间满足二次函数关系式为．其图象如图所示.2月至6月，该工厂每件工料的市场采购成本（元）与月份x之间满足函数关系式，该工厂自身生产的每件工料的成本（元）与月份x之间满足函数关系式：；7月至12月的每一个月份，该工厂从市场采购的工料成本均为3元/件，该工厂自身生产的工料成本为1.5元/件． (1)请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别求出与x之间的函数关系式； (2)请你求出该工厂去年（2月至12月）哪个月份所需的工料总费用W（元）最多，并求出这个最多费用． 【答案】(1)（，且x取整数），（，且x取整数） (2)去年5月用于所需工料的总费用最多，最多费用是22000元 【难度】0.65 【知识点】分段函数模型的应用、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】（1）利用待定系数法即可求解， （2）根据题意列出总费用的函数关系，即可利用二次函数的性质求解. 【详解】（1）根据表格中数据可以得出定值，则与x之间的函数关系为反比例函数关系 设，将代入得：， 故（，且x取整数） 根据图象可以看出：的图象过，两个点， 代入得： 解得： 故（，且x取整数） （2）当，且x取整数时： ,则开口向下，且对称轴为， 当时，（元） 当时，且x取整数时， 为开口向下，对称轴为轴， 当时，W随x的增大而减小， 当时，（元） 去年5月用于所需工料的总费用最多，最多费用是22000元． 题型4：图表型函数应用题 方法提炼 图像信息应用题的解答策略 (1) 明确横轴、纵轴的意义,分析题中的具体含义。 (2) 由图像判定函数模型。 (3) 抓住特殊点的实际意义,特殊点一般包括最高点(最大值点)、最低点(最小值点)及折线的拐角点等。 (4) 通过方程、不等式、函数等数学模型化实际问题为数学问题。 【例4.1.】 生物活动小组的同学们观察某植物生长，得到该植物高度（单位：cm）与观察时间（单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（轴），该植物最高的高度是（    ）    A．50cm B．20cm C．16cm D．12cm 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】分段函数模型的应用、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】设直线 的解析式为 ，然后利用待定系数法求出直线线段的解析式，再把代入进行计算即可得解． 【详解】设直线 的解析式为 经过点 ， 解得 所以直线 的解析式为 ，由题中图像可知， 当 时，该植物最高，此时 . 故选 ：C. 【例4.2.】 某企业员工小李的住处与他的办公室相距，某天下班后，小李发现有份重要材料丢在办公室，于是他从住处出发，先匀速跑步3min来到办公室，停留2min，然后匀速步行10min返回住处．在这个过程中，小李行进的速度和行走的路程都是时间的函数，则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的（    ） A．①④ B．②③ C．④① D．③② 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】函数图像的识别、分段函数模型的应用 【分析】设行进的速度为，行走的路程为，得出关于的函数，关于的函数解析式，即可判断函数图象． 【详解】设行进的速度为，行走的路程为，则 且， 由速度函数及路程函数的解析式可知， 其图象分别为①④． 故选：A． 【例4.3.】 在一条笔直的公路上有A、B、C三地，C地位于A、B两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地．在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示．下列结论正确的有 ①甲车出发2h时，两车相遇 ②乙车出发1.5h时，两车相距170km ③乙车出发2h时，两车相遇 ④甲车到达C地时，两车相距40km 【答案】②③④ 【难度】0.65 【知识点】分段函数模型的应用、一次函数的图像和性质 【分析】观察函数图象可知，当时，两函数图象相交，结合交点代表的意义，即可得出结论①错误；根据速度＝路程÷时间分别求出甲、乙两车的速度，再根据时间＝路程速度和可求出乙车出发时，两车相距，结论②正确；根据时间路程速度和可求出乙车出发时，两车相遇，结论③正确；结合函数图象可知当甲到地时，乙车离开地小时，根据路程速度时间，即可得出结论④正确． 【详解】观察函数图象可知，当时，两函数图象相交，∵C地位于A、B两地之间， ∴交点代表了两车离C地的距离相等，并不是两车相遇，结论①错误； 甲车的速度为， 乙车的速度为， ∵， ∴乙车出发时，两车相距，结论②正确； ∵， ∴乙车出发时，两车相遇，结论③正确； ∵， ∴甲车到达C地时，两车相距，结论④正确； 故答案为：②③④ 【例4.4.】 （多选）某智能手机生产厂家对其旗下的某款手机的续航能力进行了一轮测试（一轮测试时长为），得到了剩余电量（单位：百分比）与测试时间（单位：）的函数图象如图所示，则下列判断中正确的有（    ）    A．测试结束时，该手机剩余电量为85% B．该手机在前内电量始终在匀速下降 C．该手机在内电量下降的速度比在内下降的速度更慢 D．该手机在进行了充电操作 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】分段函数模型的应用 【分析】由函数图象逐一判断即可. 【详解】对于A，由图象可得，当时，，所以测试结束时，该手机剩余电量为85%，故A正确； 对于B，当时，函数图象不是一条直线，故不是匀速下降，故B错误； 对于C，由图象可得，在内电量下降的速度为，在内电量下降的速度为， 因为，所以该手机在内电量下降的速度比在内下降的速度更快，故C错误； 对于D，由图象可得该手机在电量上升了55%，所以进行了充电操作，故D正确． 故选：AD. 【强化训练】 1. （多选）某打车平台欲对收费标准进行改革，现推出了甲、乙两种方案供乘客选择，其支付费用与打车里程数的函数关系大致如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．当打车距离为时，乘客选择甲方案省钱 B．当打车距离为时，乘客选择甲、乙方案均可 C．打车以上时，甲方案每千米增加的费用比乙方案多 D．打车内（含）时，选甲方案需付费元，行程大于时，每增加费用增加0．7元 【答案】BC 【难度】0.85 【知识点】分段函数模型的应用、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】根据函数图象对应的函数值的大小关系判断每个选项是否省钱 【详解】对于A，当打车距离为时，甲对应的函数图象在乙图象的下方，即甲对应的函数值小于乙对应的函数值，故当打车距离为时，乘客选择甲方案省钱，即A错误； 对于B，当打车距离为时，由图可知，甲、乙均为12元，因此乘客选择甲､乙方案均可，即B正确； 对于C，打车以上时，甲方案每公里增加的费用为（元），乙方案每公里增加的费用为（元），故每公里增加的费用甲方案比乙方案多，即C正确； 对于D，由图可知，甲方案内（含）内（含）付费5元，行程大于每增加1公里费用增加1元，故D错误； 故选：BC 2. 遗忘曲线（又称“艾宾浩斯遗忘曲线”）是由德国心理学家艾宾浩斯（H．Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率y与初次记忆经过的时间x（单位：时）的大致关系：，若陈同学需要在明天15：00考语文时拥有复习背诵记忆的42%，则他明天复习背诵的时间需大约在（    ）参考数据：，． A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】幂函数模型的应用 【分析】利用函数模型求出需要记忆的时间，即可推断出考前复习背诵的时间在几点开始. 【详解】令，则． ∵，，， ∴的估计值可取0.5，即他复习背诵的时间需大约在． 故选：A. 3. 在中国天门山举行的WWL翼装飞行世锦赛中，某翼人空中高速飞行，如图反映了他从某时刻开始的15分钟内的速度与时间的关系，若定义“速度差函数”为时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图象是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【难度】0.65 【知识点】函数图象的应用、分段函数模型的应用、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】根据速度差函数的定义，分四种情况，分别求得函数解析式，从而得到函数图象. 【详解】由题意可得，当时，翼人做匀加速运动，，“速度差函数”可排除B项． 当时，翼人做匀减速运动，速度从160开始下降，一直降到． 当时，翼人做匀减速运动，从80开始下降，易得则． 当时，翼人做匀加速运动，“速度差函数”，结合所给的图象，故D正确. 故选：D. 4. 某饮料公司推出了一种时尚运动功能饮料，一上市就受到年轻人的喜爱，该公司统计了该饮料一年中每个月的盈利情况，得到月利润（单位：万元）与销售月份之间的关系为． （1）一年中最高月利润对应的月份为 ； （2）一年中该饮料月利润超过3万元的有 个月． 【答案】 8月 5 【难度】0.85 【知识点】分段函数模型的应用、利用给定函数模型解决实际问题、求二次函数的值域或最值 【分析】（1）对分段函数进行分段考虑，运用换元法和配方法分别求出的最大值，最后综合比较即得； （2）根据（1）的结果判断超过3万元的月份只可能在后面的7个月中，通过解不等式即可得解． 【详解】当时，令，则，且， 令， 因为，所以时，取得最大值3，则时，取得最大值3； 当时，， 因为，所以时，取得最大值7． 综上，8月的月利润最大，为7万元． 由（1）可知前5个月中，最大月利润为4月的3万元， 故超过3万元的月份只可能在后面的7个月中， 即，由，可得， 解得．又，所以， 故月利润超过3万元的月份有6月、7月、8月、9月、10月， 所以一年中该饮料月利润超过3万元的有5个月． 故答案为：8月；5 5. 如图，甲、乙两人沿同一直线同时出发去往B地，甲到达B地后立即以原速沿原路返回，乙到达B地后停止运动，已知运动过程中两人到B地的距离y(km)与出发时间x(h)的关系如图所示，则甲、乙两人在出发后多少小时第2次相遇？（    ） A．2 B．4.5 C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题 【分析】有图可得甲乙函数解析式，再求交点横坐标即可. 【详解】由图可知甲的函数解析式为，乙的解析式为， 令，解得. 故选：C 6. 某学校因为学生活动区域紧张，为了更好地为学生提供活动场地，决定在一块长米，宽米的矩形地块上施工，规划建设占地如图中矩形的学生活动中心，要求顶点在地块的对角线上，、分别在边、上，假设长度为米． (1)记矩形面积为，试用表示； (2)要使矩形活动区域的面积不小于平方米，的长度应在什么范围？ (3)长度和宽度分别为多少米时矩形活动区域的面积最大？最大值是多少平方米？ 【答案】(1) (2)米 (3)米，米；最大面积为平方米． 【难度】0.65 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、基本不等式求积的最大值、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）根据矩形的性质结合已知条件得出，再根据相似三角形的性质得出相应边成比例，从而得出关于的表达式，最后根据矩形面积公式得出与的关系式． （2）根据（1）的结论结合题给条件列不等式，解不等式求出的范围，从而得出的长度范围． （3）对函数进行变形求最大值，从而得出面积的最大值及对应的边长． 【详解】（1） 四边形为矩形，为矩形对角线上的点， ，，， ， ， 又， ， ， ， ． （2）由（1）知，，矩形活动区域的面积与的关系为：， 要使矩形活动区域的面积不小于平方米，则， 原不等式化简得，解得， 的长度为米． （3）由（1）知，，矩形活动区域的面积与的关系为：， ， 当时，函数取最大值， 又， 米，米，最大面积为平方米． 7. 2025年成都世界运动会是由国际世界运动会协会主办的一项国际性体育盛会，竞赛项目以非奥运会项目为主.2025年世界运动会将于2025年8月7日至8月17日在中国四川成都举行，是中国大陆第一次举办世界运动会.据调查，国内某公司出售一款2025年成都世界运动会吉祥物，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出，若以80元的单价出售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若购进30万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为. (1)当购进产品数量为10万件时，利润是多少？（利润销售收入成本） (2)写出利润（万元）关于购进产品数量（万件）的函数解析式； (3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 【答案】(1)200万元 (2) (3)当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是910万元 【难度】0.65 【知识点】基本（均值）不等式的应用、分段函数模型的应用、利用给定函数模型解决实际问题、求二次函数的值域或最值 【分析】（1）依题意，当购进产品数量为10万件时，是以80元的单价出售，每件30元成本，且需要固定投入300万元，由此根据利润销售收入成本计算即可； （2）依题意，分三段：当时，当时，当时，写出函数解析式，其中，当时，需要设降价元，并用含的式子表示. （3）计算出各段函数的最大值进行比较.当时，根据一次函数的单调性求解最大值；当时，根据二次函数的最值求解最大值；当时，根据基本不等式求解最大值. 【详解】（1）依题意，当购进产品数量为10万件时，利润是万元. （2）当时，； 当时，不妨设降价元，则，得到， 所以； 当时，； 所以. （3）由（2）知，当时，，函数单调递增， 当时，利润最大，此时利润是450万元； 当时，， 当时，利润最大，此时利润是500万元； 当时，， 当且仅当，即时，利润最大，此时利润是910万元. 因为，所以当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是910万元. 8. 为了提升某水域的生态环境，科研人员于2020年初在该水域投放一种微生物，投放量为1个单位数量．这种微生物在开始的4年内繁殖速度越来越快，随后越来越慢，设投放年后这种微生物的数量为个单位．已知与的关系拟合后的分段函数的图象如图所示：①；②；③. (1)请从中选择并求合适的两个确定关于的函数解析式，并说明理由； (2)求该水域生态环境最佳的时长.（注：微生物的数量在个单位之间生态环境最佳） 【答案】(1)解析式为①和② (2)时长为 【难度】0.65 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、幂函数模型的应用、利用给定函数模型解决实际问题、指数函数模型的应用（2） 【分析】（1）根据函数图象并结合已有模型性质，根据增减性可判断选择①②，再代入点的坐标求得参数值即可得出解析式； （2）由生态环境最佳的标准得出不等关系解不等式，即可得出结论. 【详解】（1）易知模型③在上单调递减，因此可排除； 因为这种微生物在开始的年内繁殖速度越来越快，根据二次函数性质可得①符合题意； 又随后越来越慢，由幂函数性质可得②符合题意； 因此在时，， 当时，； 结合图象可知经过点、； 即，解得，即； 函数经过点、， 即，解得，即； 因此符合题意的两函数解析式为①和②. （2）因为微生物的数量在个单位之间生态环境最佳， 当时，令，解得； 当时，令，解得； 综上可得，当时，满足题意； 因此该水域生态环境最佳的时长为. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $