第15讲：椭圆方程的几何性质【知识梳理+8个题型归纳+方法总结】讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2025-2026年高二数学上学期常考题型归纳 【第15讲：椭圆方程的几何性质】 总览 题型梳理 【知识梳理】 一、椭圆的标准方程（基础核心） 椭圆的标准方程由焦点所在坐标轴决定，核心是明确、、的关系，这是后续所有性质的基础。 焦点位置 标准方程 核心参数关系 适用条件与关键说明 焦点在x轴上 ；为半焦距，焦点坐标为 焦点在y轴上 ；焦点坐标为 关键提醒：始终对应分母较大的项，代表“长半轴”；是“短半轴”，是“半焦距”，且满足（因）。 二、椭圆的几何性质（以焦点在x轴为例） 几何性质是椭圆的“形态特征”，焦点在y轴上时，仅需交换、相关描述即可。 1.范围：椭圆上所有点的坐标满足，，即椭圆位于以、为顶点的矩形内。 2.对称性：关于x轴、y轴和原点都对称，原点是椭圆的“对称中心”（简称中心）。 3.顶点： 长轴顶点：，长轴长为（椭圆最长直径）； 短轴顶点：，短轴长为（椭圆最短直径）。 4.焦点：坐标为，两焦点间距离为。 5.离心率： 定义：，用于衡量椭圆“扁平程度”； 范围：（因）； 规律：越接近1，椭圆越扁；越接近0，椭圆越圆（时退化为圆，此时、）。 6.准线： 方程：； 几何意义：椭圆上任意一点到焦点的距离，与到对应准线的距离之比等于离心率（第二定义），常用于距离转化。 三、椭圆常考核心结论（高频解题工具） 这些结论是考试中快速破题的关键，需理解推导逻辑而非死记。 1.焦点三角形相关结论 定义：椭圆上任意一点与两焦点、构成的，称为“焦点三角形”。 核心结论： 1.周长固定：（依据椭圆第一定义，）； 2.面积公式：，其中； 3.最大夹角：当在短轴顶点时，最大（此时，两边夹角最大）。 2.弦长与焦点弦结论 通用弦长公式：设直线与椭圆交于、，直线斜率为，则： ； （需联立直线与椭圆方程，用韦达定理求）。 焦点弦特殊结论： 1.通径：过焦点且垂直于长轴的弦，长度为（椭圆最短的焦点弦）； 2.定值性质：若焦点弦过，则（结果为定值）。 3.离心率相关结论 变形公式：（由推导，已知、时可直接用）； 特殊场景：若椭圆中存在直角三角形（如顶点与焦点构成直角），可通过勾股定理列方程求。例如：短轴顶点与焦点连线垂直时，，则。 4.点与椭圆位置关系 设点，椭圆方程为，则： 在椭圆内：； 在椭圆上：； 在椭圆外：。 四、椭圆的参数方程（灵活解题技巧） 参数方程通过“三角函数”将椭圆上的二元变量（）转化为一元变量（），大幅简化最值、轨迹等问题。 1.标准参数方程（分焦点位置） 焦点位置 直角坐标方程 对应的参数方程 参数的几何意义 焦点在x轴上 （） （） 从长轴右顶点（）绕原点逆时针旋转到点的角度，不是的倾斜角（需特别注意区分） 焦点在y轴上 （） （） 从长轴上顶点（）绕原点逆时针旋转到点的角度 2.参数方程的核心应用场景 求最值问题：比如求椭圆上一点到某直线的距离最值，或求、等表达式的最值。 示例：求椭圆上点到直线的距离最小值，设，代入距离公式后用辅助角公式即可快速求解。 求轨迹问题：当动点坐标与椭圆上点相关联时，用表示椭圆上点的坐标，再消去可得动点轨迹。 简化代数运算：减少变量个数，比如计算椭圆上两点的向量数量积时，可避免复杂的二元二次方程。 五、易混淆与易错点提醒 1.标准方程判断：勿因分母顺序颠倒错判焦点位置（焦点在分母大的变量对应的轴上）； 2.参数关系：牢记，切勿与双曲线的混淆； 3.离心率范围：椭圆，双曲线，抛物线，需明确区分； 4.参数意义：是“离心角”，不是椭圆上点与原点连线的倾斜角，避免代入斜率计算时出错。 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：求共焦点的椭圆方程】 例题精选 【例题1】（25-26高二上·山西吕梁·阶段练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过点，且离心率： (2)经过点，且与椭圆有相同的焦点. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意，分类讨论椭圆的焦点位置，结合椭圆的离心率公式求得，从而得解； （2）利用共焦点的性质得到，再利用点在椭圆上得到关于的方程组，解之即可得解. 【详解】（1）因为椭圆经过点， 若椭圆焦点在轴上，则， 由，得，所以， 此时椭圆的标准方程为； 若椭圆焦点在轴上，则， 由，得， 此时椭圆的标准方程为； 综上，椭圆的标准方程为或. （2）因为所求与椭圆有相同的焦点，可得， 因为焦点在轴上，可设它的标准方程为且， 因为椭圆过点，所以有①， 又因为②， 由①②解得：， 所求椭圆的标准方程为. 【例题2】（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）与椭圆有相同的焦点，且经过点的椭圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】设所求椭圆的标准方程为，由题意有，把点代入椭圆方程，求出即可. 【详解】所求椭圆与椭圆的焦点相同，则其焦点在y轴上，半焦距c有， 设它的标准方程为，于是得， 又点在所求椭圆上，即有， 联立两个方程得，解得，则， 所以所求椭圆的标准方程为. 故答案为： 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程． (1)已知椭圆的离心率为，短轴长为； (2)椭圆与有相同的焦点，且经过点，求椭圆的标准方程. 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）由题意得，解出该方程组即可由椭圆焦点在x轴上或在y轴上得解； （2）先求出椭圆焦点即可得椭圆焦点坐标为，进而可设圆方程为且，解出和即可得解. 【详解】（1）由题得， 所以椭圆的标准方程为或. （2）椭圆满足，故该椭圆焦点坐标为， 因为椭圆与有相同的焦点，且经过点， 所以可设椭圆方程为，且，解得， 故，解得（舍去）或，故. 所以椭圆的标准方程为. 【相似题2】（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期中）求符合下列条件的方程： (1)求过两点和，且圆心在轴上的圆的标准方程． (2)与椭圆有相同的焦点的椭圆，且经过点． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设所求圆的标准方程为：，代入，，求解即可. （2）求出椭圆的焦点坐标，利用待定系数法求得的值，即得答案． 【详解】（1）设所求圆的标准方程为：， 依题意得，即， 解得， 所以所求圆的方程为：. （2）椭圆的焦点坐标为， 则所求椭圆的焦点坐标也为， 设其方程为，则， 又椭圆经过点，故，联立， 解得， 故椭圆方程为． 【解题策略】 一、3步核心解题法 1.第一步：定c² 若给参考椭圆（如）：先看焦点轴（分母大的轴），再算； 若直接给焦点（如）：直接得。 2.第二步：设方程 按焦点轴设方程，用消去b，只留a²： 焦点在x轴：； 焦点在y轴：。 3.第三步：求a²，写方程 用题目额外条件（如过定点、已知离心率）代入设好的方程，解出a²，再算，代入即得最终方程。 二、快速例题 题目：与椭圆共焦点，且过，求方程。 1.定c²：参考椭圆a₁²=25，b₁²=9，，焦点在x轴； 2.设方程：； 3.求a²：代入，得，解得a²=36（a²>16），b²=36-16=20； 4.方程：。 【题型二：求椭圆中x，y的取值范围】 例题精选 【例题1】（2025·江西新余·二模）已知点是椭圆：上的动点，若，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据两点间的距离公式列关于的函数式，然后利用二次函数求出最值即可 【详解】由题意得，且 所以 当时，取得最小值为， 故答案为： 【例题2】（24-25高二上·上海·期末）已知椭圆方程为，点为椭圆的右顶点，定点在轴上，点为椭圆上一动点，当取得最小值时点恰与点重合，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设，利用两点间距离公式建立函数关系，借助二次函数探讨最小值. 【详解】椭圆方程为，则圆的右顶点 设，则，， 则， 所以，， 当恰与点重合时，取得最小值， 即要使时取最小值，则必有，所以. 故答案为：. 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·上海·阶段练习）在椭圆上任意一点P，左右焦点分别为，若有，则点P纵坐标的取值范围为 . 【答案】 【分析】设，结合将数量积坐标化，利用椭圆方程消建立关于的不等式，再由椭圆的几何性质得范围取交集可得. 【详解】由椭圆方程，得， 则，所以. 设，由题意得， 则，所以. 由, 解得，所以，解得，或， 所以点P纵坐标的取值范围为. 故答案为：. 【相似题2】【多选题】（24-25高二上·浙江·期中）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点是上的任意一点，则下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据椭圆的定义，，将转化为二次函数，即可求解范围，判断A，利用坐标表示，转化为二次函数求解B，利用向量的运算可知，，根据的范围，即可求解，判断C，利用焦半径的最值，即可判断D. 【详解】，，，，，设，，则，， A．，范围是，故A正确； B．设，则，故B错误； C．设为原点，则；故C正确； D．和的最大值为，最小值为 ，所以的最大值为，最小值为，，故D正确. 故选：ACD 【解题策略】 一、核心解题思路（分2种标准方程） 椭圆的x、y范围由标准方程中x²、y²项的分母决定，分母越大，对应变量的取值范围越广（因平方项需≤1才能使两式相加为1）。 1.第一步：确定椭圆的标准方程类型 先判断椭圆焦点在x轴还是y轴，明确标准方程形式，这是推导范围的前提： 焦点在x轴：标准方程为（），x²对应分母（较大分母），y²对应分母（较小分母）； 焦点在y轴：标准方程为（），y²对应分母（较大分母），x²对应分母（较小分母）。 2.第二步：利用“平方项≤1”推导范围 因椭圆方程中两个平方项相加等于1，每个平方项的取值都必须≤1（否则总和会超过1），据此解不等式： 以焦点在x轴为例（）： 1.对x：→→开方得，即x∈[-a,a]； 2.对y：→→开方得，即y∈[-b,b]。 以焦点在y轴为例（）： 1.对y：→→y∈[-a,a]； 2.对x：→→x∈[-b,b]。 二、特殊情况：非标准椭圆方程（一般式） 若椭圆给出的是一般式（如，其中A、B、C同号且A≠B），需先化为标准式，再按上述步骤推导： 1.化标准式：两边同除以C，使右边为1，即； 2.判断a²、b²：比较和的大小，较大的为，较小的为； 3.推导范围：按“平方项≤1”的规则，对应写出x、y的范围。 三、快速例题 题目：求椭圆中x、y的取值范围。 1.化标准式：两边÷36，得； 2.定类型：（x²分母大），焦点在x轴，，； 3.求范围：x∈[-3,3]，y∈[-2,2]。 【题型三：根据椭圆的有界性求范围或最值】 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）求椭圆上的点到直线的最短距离． 【答案】 【分析】由题设，根据点到直线的距离公式及三角恒等变形可得最值. 【详解】由题知，设椭圆上一点， 则点到直线的距离 ，其中， 所以当，即时，， 所以最短距离为. 【例题2】（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知为椭圆上一动点，则点到直线：距离的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设椭圆上的点，，由点到直线距离公式和三角函数的性质求出椭圆上的点到直线的取值范围. 【详解】设椭圆上的，， 则到直线：的距离： ，其中， 因为，则，可得， 所以点到直线：距离的取值范围为. 故答案为：. 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·浙江温州·开学考试）已知点，点P为圆上任意一点，线段AP的垂直平分线与CP相交于点Q，则面积的最大值为（    ） A． B． C．8 D． 【答案】B 【分析】根据已知得Q点轨迹是椭圆，结合面积为及椭圆的性质求面积的最大值. 【详解】如图，Q是线段AP的垂直平分线上的点，则， 则， 所以Q点轨迹是以，为焦点的椭圆， 设其标准方程为，其中，则，标准方程为， 面积为，显然，当时，最大， 则面积的最大值为. 故选：B 【相似题2】（24-25高二上·广东深圳·期末）一动圆与圆外切，同时与圆内切． (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)记（1）所求轨迹方程对应的曲线为，点为曲线上一动点，点的坐标为，求点到点距离的最小值，并给出此时点的坐标． 【答案】(1) (2)最小值为，点的坐标为或． 【分析】（1）设动圆圆心为，由条件可得关系，结合椭圆定义判断的轨迹形状及位置，再利用待定系数法求椭圆方程； （2）设，表示，结合关系点在椭圆上，消，求其最小值可得结论. 【详解】（1）设动圆圆心为，半径为， 设圆和圆的圆心分别为， 将圆的方程分别配方得：圆，圆 当动圆与圆相外切时，有① 当动圆与圆相内切时，有 将①②两式相加，得， 所以动圆圆心到点和的距离和是常数， 所以点的轨迹是焦点为点，长轴长等于的椭圆． 设该椭圆的标准方程为；椭圆的半焦距为， 则，， 所以， 所以， 所以动圆圆心轨迹方程为． （2）根据题意得：设， 因为点在椭圆上，所以，故， 所以， 所以当时，最小值为，此时点的坐标为或． 【解题策略】 一、基础规范公式（椭圆形式与有界性） 首先明确椭圆的标准方程及对应的x、y取值范围，这是所有计算的前提，需严格区分焦点位置。 焦点位置 标准方程（，为长半轴，为短半轴） 有界性范围（x、y的取值限制） 焦点在x轴 ， 焦点在y轴 ， 补充：一般式椭圆的转化 若椭圆为一般式（需满足、、且），先化为标准式： 两边同除以，得，再比较与的大小—— 较大值即为，较小值即为，进而确定焦点位置和x、y的有界范围。 二、规范解题步骤（3步核心流程） 第一步：确定椭圆形式与有界范围 1.将椭圆方程化为标准式（若为一般式）； 2.确定、的值及焦点位置； 3.写出x、y的有界范围（参考上表）。 第二步：转化目标表达式（消元/参数化） 将含、的目标表达式转化为单变量函数，两种常用方法的规范公式如下： 转化方法 适用场景 规范公式与操作 代数消元法 目标表达式为一次（如）、二次（如） 以焦点在x轴的椭圆为例： 1.消去：由得，代入含的表达式； 2.消去：由得，代入含的表达式。 参数方程法 任意二元表达式（尤其适合线性、非线性表达式） 以焦点在x轴的椭圆为例： 1.参数方程：（，为离心角）； 2.代入目标表达式：如。 第三步：单变量函数求最值（按类型用规范公式） 转化为单变量函数后，根据函数类型（一次、二次、三角函数），套用对应公式求最值/范围。 1.一次函数型（，，） 系数符号 最大值公式 最小值公式 （当时） （当时） （当时） （当时） 2.二次函数型（，，） 1.求对称轴：； 2.按对称轴与区间的位置关系求最值： 若： 当（开口向上）：，； 当（开口向下）：，； 若： 最值在区间端点：，。 3.三角函数型（，） 1.用辅助角公式转化：，其中（为辅助角）； 2.利用三角函数有界性：因，故： 三、规范公式应用示例 题目：已知椭圆，求的取值范围。 1.第一步：确定椭圆形式与有界范围——焦点在x轴，，，参数方程为（）； 2.第二步：转化目标表达式——代入得； 3.第三步：三角函数求范围——用辅助角公式，，，则，故。 四、易错点规范提醒 1.一般式转化时，需保证、、同号，否则不是椭圆； 2.消元后需严格遵循原变量的有界范围（如），不可随意扩大或缩小； 3.二次函数求最值时，必须先判断对称轴是否在变量区间内，再确定用顶点值还是端点值。 【题型四：根据椭圆的对称性求值或者范围】 例题精选 【例题1】（25-26高三上·上海·开学考试）已知椭圆的右焦点为，直线经过椭圆右焦点，交椭圆于、两点（点在第二象限），若点关于轴对称点为，且满足，求直线的方程是 ． 【答案】 【分析】先求出椭圆的右焦点坐标，再根据对称性求出直线的倾斜角，从而得到其斜率，再由点斜式即可求得直线的方程． 【详解】由点关于轴对称点为，则直线与轴的夹角相等， 又，则直线的倾斜角为， 则直线的倾斜角为，即直线的斜率为， 又椭圆的右焦点为， 所以直线的方程是，即， 故答案为：． 【例题2】（2025高三·全国·专题练习）如图，椭圆的左、右焦点分别为，过点分别作弦．若，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用椭圆的对称性，结合椭圆过焦点的最长、最短弦求出范围. 【详解】设点关于原点的对称点为，由椭圆的对称性，得点在椭圆上，    由互相平分于点，得四边形为平行四边形，则且， 又且，则点与点重合，因此， 而过椭圆焦点的最短弦长为通径，最长弦长为实轴长， 椭圆的通径长为，实轴长为，由知，线段与椭圆实轴不重合， 所以. 故选：C 相似练习 【相似题1】（2025高三·全国·专题练习）如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个等分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的左焦点，则 . 【答案】35 【分析】根据椭圆的对称性，结合椭圆定义即可求解. 【详解】设椭圆的右焦点为，连接， 根据椭圆的对称性，可知，，， 又根据椭圆的定义，得，，，， 所以， 又由椭圆，可知， 所以. 故答案为：. 【相似题2】（24-25高二下·河南焦作·期中）已知是椭圆的左焦点，经过坐标原点的直线与交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆定义求出，后，再利用余弦定理解三角形计算即可求解. 【详解】设为的右焦点，连接，，如图，则四边形为平行四边形， ∴，由椭圆定义知，， ∴，. 在中，， ∴. 在中，.    故选：C. 【解题策略】 一、先明确椭圆的对称性核心性质 椭圆的对称性是解题的“工具基础”，需先牢记其对坐标的具体影响，所有应用均源于此： 1.轴对称性（x轴、y轴） 若点在椭圆上，则其关于x轴的对称点、关于y轴的对称点也一定在椭圆上。 推论：表达式中若含的奇次项（如、），则；若含的偶次项（如），则。 2.中心对称性（原点） 若点在椭圆上，则其关于原点的对称点也一定在椭圆上。 推论：表达式中若、均为奇次项（如），则；若均为偶次项（如），则。 二、再判断对称性的适用场景 遇到以下3类题型，优先考虑用对称性解题，可大幅减少计算量： 场景类型 题目特征 核心目标 1.对称点相关问题 已知椭圆上一点，判断其对称点是否在椭圆上；或求椭圆上与某点对称的点的坐标 直接用对称性性质验证或求坐标 2.简化计算类问题 求椭圆上一点到两对称点的距离和/差、面积；或求含对称变量的表达式值 将分散的计算转化到同一侧，避免重复计算 3.求范围/最值问题 目标表达式含对称变量（如、），或限制条件涉及对称点 利用对称变量的范围一致性，减少变量个数 三、最后用针对性方法解题（附示例） 根据不同场景，对应以下具体方法，每步均体现对称性的“简化作用”： 场景1：对称点相关问题——直接用性质判断/求坐标 方法：若已知点在椭圆上，直接写出其对称点坐标，代入椭圆方程验证（或无需验证，因性质保证对称点在椭圆上）。 示例：已知椭圆过点，求其关于y轴的对称点是否在椭圆上。 解：的坐标为，代入椭圆方程：，满足方程，故在椭圆上（或直接用y轴对称性质，无需代入计算）。 场景2：简化计算类问题——转化到同一区域 方法：若涉及两对称点（如与），将关于两点的计算（如距离、面积）转化为关于其中一点的计算，减少步骤。 示例：已知椭圆，求椭圆上一点到点与的距离和的最大值。 解： 1.观察到、关于原点对称，且均在椭圆内部（因）； 2.利用椭圆对称性，（其中是的对称点），但更简便的是结合椭圆定义：椭圆上任意一点到两焦点距离和为，而、不是焦点，可转化为（因是的对称点）； 3.当、、共线时，最大，最大值为？不，更直接：因、对称，？实际更简单：利用对称性，的最大值为（当在长轴端点时），，，故最大值为10。 场景3：求范围/最值问题——减少变量个数 方法：若目标表达式含对称变量（如，与、与代入后值不变），可利用对称性只考虑、的情况，将变量范围缩小到第一象限（或某一区域），简化计算。 示例：已知椭圆，求的取值范围。 解： 1.利用对称性，、均为偶次项，故只需考虑、； 2.由椭圆方程得，代入：； 3.因，故，代入得（无需考虑负区间，因对称性保证负区间结果一致）。 四、易错点提醒 1.混淆对称类型：比如将“关于x轴对称”错用为“关于原点对称”，导致对称点坐标写错（如把写成）； 2.忽略对称点前提：需先确认原点点在椭圆上，才能用对称性推导其对称点也在椭圆上； 3.范围缩小过度：利用对称性缩小变量范围时（如只考虑第一象限），需保证表达式在对称区间内的取值一致（如偶次项、绝对值项），避免漏解。 【题型五:离心率与椭圆的圆扁关系】 例题精选 【例题1】（24-25高二上·广东惠州·期末）椭圆可看成是圆被压扁或拉伸形成的．下列椭圆中，形状更接近圆的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】法一：根据离心率越小越接近圆判断；法二：根据越接近越接近圆判断. 【详解】法一：A、B、C、D四个选项中离心率分别为，B选项最小. 法二：当椭圆的时可看成圆，最趋近于1的即满足要求，A、B、C、D四个选项中分别为，B选项最接近. 故选：B． 【例题2】（24-25高二上·吉林延边·阶段练习）若椭圆比椭圆更扁，则椭圆的长轴长的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由椭圆方程分别写出离心率，由题意建立不等式，可得答案. 【详解】由椭圆可得其离心率， 由椭圆可得其离心率为， 由于比椭圆更扁， 故的离心率满足，即，解得， 故长轴长为. 故答案为：． 相似练习 【相似题1】【多选题】（24-25高二上·湖北·期中）已知曲线方程表示椭圆，则下列说法正确的是（   ） A．的取值集合为 B．当时，焦点坐标为 C．当时，记椭圆所包围的区域面积为，则 D．当时，随着越大，椭圆就越接近于圆 【答案】BCD 【分析】根据椭圆的基本性质对选项逐一判断即可. 【详解】A选项，因为，则,且，所以的取值范围是，故A选项错误； B选项，当时，椭圆方程为，则椭圆表示焦点在轴上的椭圆，且，所以焦点坐标为； C选项，当时，椭圆方程为，则椭圆表示焦点在轴上的椭圆，且，，则椭圆所包围的区域面积为，且，则C选项正确； D选项，时，曲线方程表示焦点在轴上的椭圆，则，，，则当，时，离心率表示单调递减的函数，则随着越大，椭圆的离心率越接近0，椭圆越圆，故D选项正确. 故选：BCD 【相似题2】（23-24高二上·贵州贵阳·阶段练习）椭圆的离心率（）大小决定该椭圆的圆扁程度（离心率趋于0椭圆越圆，离心率越趋于1椭圆越扁），则四个椭圆的形状中，最接近于圆的椭圆是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出各选项中椭圆的离心率即可判断得解. 【详解】椭圆的离心率，椭圆的离心率， 椭圆的离心率，椭圆的离心率， 显然，所以最接近于圆的椭圆是，B正确. 故选：B 【解题策略】 一、先明确离心率与圆扁的核心关系 椭圆的圆扁程度由“长半轴与短半轴的比值”决定，而离心率通过、直接关联这一比值，是判断圆扁的量化工具。 1.推导逻辑（关键公式链） 由椭圆基本关系，两边同除以得： 因（即），代入上式得： 2.圆扁关系结论（核心） 是关键：越接近1（越接近），椭圆越圆；越接近0（远小于），椭圆越扁。 结合的结论： 当时，（），椭圆趋近于圆（当时，，退化为圆）； 当时，（），椭圆趋近于扁（一条线）。 范围锚定：椭圆，在区间内的位置直接对应圆扁程度。 二、解题3步通用思路 无论是“已知判圆扁”，还是“已知圆扁求的范围”，均围绕上述核心关系展开，步骤固定： 第一步：明确已知条件，关联的表达式 根据题目给出的条件（如、、的关系，焦点三角形角度，弦长等），选择的合适表达式： 若已知、：用； 若已知、：直接用； 若已知焦点三角形（如最大角）：用（椭圆焦点三角形中，，简化为，当是短轴顶点处的角时）。 第二步：计算的值或范围 若求具体：代入已知数据，计算出（注意结果需在内）； 若求的范围：根据“圆扁要求”转化为的范围，再通过推导的范围。 示例：要求椭圆“较圆”，即，则，故，即。 第三步：根据判断圆扁或验证要求 若已知判圆扁：对比与关键值（如，对应的等腰直角情况），越小越圆，越大越扁； 若已知圆扁求：验证推导的范围是否符合“圆扁要求”，确保逻辑闭环。 三、典型场景与例题 场景1：已知、，判圆扁 题目：椭圆与，哪个更圆？ 解： 1.求的：，，； 2.求的：，，； 3.判圆扁：，故更圆。 场景2：已知圆扁要求，求的范围 题目：椭圆（），要求其“不扁于”，求的范围。 解： 1.明确“不扁于”即“更圆或相等”，先求参考椭圆的：参考椭圆，，； 2.转化为的范围：“更圆”意味着，故。 四、易错点提醒 1.混淆、的大小：必须先确定是长半轴（分母较大的项），再代入，若颠倒、，会导致大于1（错误，椭圆）； 2.与双曲线混淆：椭圆，双曲线，判断圆扁时仅针对椭圆，勿套用双曲线的性质； 3.忽略“圆扁”的相对关系：题目说“椭圆A比椭圆B圆”，需通过计算两者的并比较大小（），而非单独看某一个的绝对值。 【题型六：求椭圆的离心率】 例题精选 【例题1】（25-26高二上·内蒙古通辽·阶段练习）已知椭圆：，过的右焦点作轴的垂线交于，两点，，则的离心率为 . 【答案】/ 【分析】利用的横坐标计算出，进而可得，，进而求解离心率. 【详解】将代入椭圆方程得， 整理得，解得， 因此，点和的坐标分别为和， ，， 则， 因此. 故答案为： 【例题2】（25-26高三上·湖北武汉·阶段练习）设椭圆E：的左右焦点分别为，，椭圆E上点P满足，直线和直线分别和椭圆E交于异于点P的点A和点B，若，则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，，得，，，结合椭圆的定义及勾股定理得、，即可求离心率. 【详解】由题设，令，故，， 所以，故①， 由，令，则， 由，则， 所以，整理得， 由，则， 所以，整理得， 所以，整理得②， 联立①②，得，，故，即， 所以. 故选：D 相似练习 【相似题1】（2025·贵州·模拟预测）已知椭圆E：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为，上顶点为B，右顶点为A，到直线AB的距离为b，则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意写出直线的方程，进而点到直线的距离化简并转化离心率的表达式，从而解方程可得结果. 【详解】设椭圆上顶点的坐标，右顶点的坐标，左焦点，    则直线的方程为，即， 由到直线AB的距离为b，得， 又，化简得，即， 所以，解得或（舍去）． 故椭圆E的离心率为. 故选：C 【相似题2】【多选题】（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上.若是等腰直角三角形，则椭圆的离心率可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据题意，由是等腰直角三角形分成是直角与是直角两种情形，结合条件和图形，建立的齐次方程，求解即得离心率. 【详解】由椭圆的对称性，不妨设点在轴上方， 因，则， 又是等腰直角三角形，所以直角只能是或. ①如图1，当是直角时，则，将其代入椭圆的方程，得， 再将代入化简得，即得，解得（舍去）. ②如图2，当是直角时，则，将其代入椭圆的方程，得， 再将代入化简得，即得， 解得（舍去），故. 故选：BD. 【解题策略】 一、核心解题逻辑（通用3步） 无论已知条件如何变化，最终都要落到“建立与的关系”上，3步可覆盖所有基础题型： 1.第一步：确定椭圆类型（定的对应轴） 先判断椭圆焦点在x轴还是y轴，明确（长半轴，对应分母较大的项）、（短半轴）的取值，避免后续混淆、导致错误。 焦点在x轴：（）； 焦点在y轴：（）。 2.第二步：根据已知条件找与（或与）的关系 这是解题关键，需根据题目给出的条件（如数值、焦点三角形角度、弦长、特殊点等），通过椭圆定义、几何性质或代数运算推导关系（如、等）。 3.第三步：代入公式计算，验证范围 用核心公式计算，并确保结果满足椭圆离心率的范围：（若结果超出则说明步骤有误）。 若已知、：直接用； 若已知、：用变形公式（由推导）。 二、分场景具体解法（高频考点适配） 不同已知条件对应不同的“找关系”方法，以下是4类典型场景，覆盖考试中90%以上的题型： 场景1：已知、或、的直接关系 适用条件：题目直接给出、、中的两个量，或它们的倍数关系（如、）。 方法：直接代入公式计算，无需额外推导。 示例：已知椭圆中，，，求。 解：由得，即； 代入公式：。 场景2：已知焦点三角形的角度或边长 适用条件：题目涉及椭圆上一点与两焦点构成的“焦点三角形”（如已知最大角、面积、边长比）。 核心性质： 焦点三角形中，（椭圆定义）； 最大角出现在为短轴顶点时（此时，两边相等，夹角最大）。 方法：用余弦定理或面积公式建立、关系。 示例：椭圆焦点三角形中，短轴顶点处的角为，求。 解：设短轴顶点为，则，； 对用余弦定理：； 化简：，即； 计算：。 场景3：已知特殊弦（通径、焦点弦）或特殊点 适用条件：题目给出通径长、焦点弦长，或椭圆上某点到焦点/顶点的距离。 核心公式： 通径长（过焦点且垂直长轴的弦）：； 椭圆上一点到焦点距离：（左焦点）、（右焦点）。 方法：用弦长公式或距离公式建立、关系，再转化为、关系。 示例：椭圆通径长等于长半轴长，求。 解：通径长，即； 由得，化简得； 计算：。 场景4：已知椭圆与直线的位置关系（相切、相交） 适用条件：题目给出椭圆与某直线相切（如与y轴、某定直线相切）或相交的条件（如弦中点坐标）。 方法：联立椭圆与直线方程，利用“相切时判别式”或“中点坐标公式”建立、关系。 示例：椭圆与直线相切，且，求。 解：联立方程，代入得； 整理：，相切时，解得； 求、：，； 计算：。 三、易错点提醒 1.混淆、的大小：必须确保是长半轴（分母较大的项），若颠倒、，会导致为负数，无法计算。 2.忽略的范围：椭圆，若计算出或，说明推导过程中存在错误（如误用双曲线的）。 3.焦点三角形角度用错：最大角一定在短轴顶点，若题目未指定的位置，默认用短轴顶点推导更简便。 【题型七：求椭圆的离心率取值范围问题】 例题精选 【例题1】（24-25高二上·新疆哈密·阶段练习）已知点P在圆上，点Q在椭圆上，且的最大值等于5，则椭圆的离心率的最大值为 . 【答案】 【分析】把的最大值的问题转化为椭圆上的点到圆心的最大值，进而转化为不等式恒成立问题，得到范围及离心率的最大值. 【详解】由化简为，圆心．如图，    因为，所以的最大值为5等价于的最大值为4. 设，由，得 ①，又在上 ② 联立①②消去，化简得， 即，因在上，则有，得， 故，即在上成立(*). 令，因，则函数在上单调递减. 故，由（*）可得，解得，故. 所以，即， 即椭圆的离心率的最大值为. 故答案为：. 【例题2】（25-26高二上·云南昭通·开学考试）已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且，则该椭圆离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义算出，由焦点三角形三边关系列不等式求解. 【详解】由椭圆的定义得， 又，故， 由，得， 又椭圆的离心率，则. 故选：B 相似练习 【相似题1】（25-26高二上·全国·课后作业）椭圆的右焦点，直线与轴的交点为，在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一：先根据列出等式，然后得到不等式组，进而求得离心率的范围； 解法二：先根据列出等式，然后根据范围得到不等式，进而求得离心率的范围. 【详解】解法一：由点在线段的垂直平分线上，得点到点与点的距离相等， 而，于是，即， 结合得又，故． 解法二：设点，则有，即，解得， 又因为，所以有，两边同时除以，可以解得． 故选：D. 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）已知，为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点满足，则椭圆离心率的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把点坐标设为参数形式，再由及三角函数性质得到离心率的范围. 【详解】设，，， ． 化简得，因，所以， 整理得，，所以．即. 故选：B． 【解题策略】 题型分类 条件特征（题目常给信息） 核心依据（公式/定理） 转化步骤（统一为e的不等式） 示例及结论（含e范围） 1.点与椭圆位置关系 已知点在椭圆内/外；或焦点在椭圆内 -点在椭圆内： -点在椭圆外： 1.代入，消去； 2.两边除以（正数，不改变不等号方向），解关于的不等式。 示例：点在椭圆内，。 转化：→（恒成立），结合，得。 2.焦点三角形条件 已知焦点三角形的最大角；或面积范围；或边长比 -焦点三角形：， -余弦定理： -最大角在短轴顶点（此时） 1.取短轴顶点时的最大角，代入余弦定理； 2.化简得与的关系，转化为。 示例：焦点三角形最大角。 转化：→，得；若最大角，则。 3.直线与椭圆位置关系 直线与椭圆相交（有公共点）、相切、相离；或弦长范围 -联立直线与椭圆方程，得一元二次方程 -相交：；相切：；相离： 1.联立后代入，整理出关于的方程； 2.令（相交），化简得的不等式。 示例：直线与椭圆相交，。 转化：联立得，代入，令→，结合，得。 4.与比值关系 已知的取值范围（如） -椭圆基本关系： -单调性：越大，越小（反向变化） 1.设，则； 2.代入的范围，解出的范围（注意单调性）。 示例：。 转化：当时，；当时，，得。 【题型八：椭圆中的光线问题】 例题精选 【例题1】【多选题】（24-25高二下·福建厦门·阶段练习）（多选）如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆，其左、右焦点分别是，，为椭圆上任意一点，直线与椭圆相切于点，过点与垂直的直线与椭圆的长轴交于点，，点，给出下列四个结论，正确的是（    ） A．面积的最大值为 B．的最大值为8 C．若，则 D．若，垂足为，则 【答案】ACD 【分析】对于A：根据椭圆性质分析判断；对于B：由椭圆定义结合几何性质分析判断；对于C：应用角平分线的性质及余弦定理即可求解；对于D，延长，交于点，应用对称性及圆的定义即可求解. 【详解】由椭圆方程可知：，，. 对于A：当点为短轴顶点时，面积的最大，最大值为，故A正确； 对于B：因为，则， 可得， 当且仅当为射线与椭圆的交点时，取到最大， 所以的最大值为7，故B错误； 对于C：由椭圆的光学性质，得点与垂直的直线为角的角平分线， 则， 设，则，， 可得，，，， 则， 即， 整理可得，解得或， 当时，，与重合，不合题意， 所以，即，故C正确： 对于D：如图，延长，交于点， 则在中，，， 则且为中点，连， 在中，， 则点在以原点为圆心，2为半径的圆上，即，故D正确. 故选：ACD. 【例题2】（24-25高二上·江苏扬州·期中）椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆，为坐标原点，是点处的切线，过左焦点作的垂线，垂足为，则（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】C 【分析】延长、交于点，由光学性质分析可知，则为的中点，且，利用中位线的性质结合椭圆的定义可求得的值. 【详解】由椭圆，则，长轴长. 如图，在平面直角坐标系中， 延长交于点，连接， 由题意可知，又因为， 则为的中点，且， 所以， 又因为为的中点，则为的中位线， 则. 故选：C. 相似练习 【相似题1】（23-24高二下·甘肃·期末）圆锥曲线具有丰富的光学性质：椭圆绕它的长轴旋转一周形成一个旋转椭球面．以旋转椭球面做反射镜时，从它的一个焦点发射的光线，经旋转椭球面的反射后，反射光线都经过另一个焦点．如图甲，椭圆为旋转椭球面中过长轴的一个截面，其中法线表示与椭圆的切线垂直且过相应切点的直线．如图乙，椭圆的中心在坐标原点，焦点为．由发出的光经椭圆两次反射后回到经过的路程为．利用椭圆的光学性质解决以下问题： （1）椭圆的离心率为 ． （2）点是椭圆上除顶点外的任意一点，椭圆在点处的切线为在上的射影在圆上，则椭圆的方程为 ． 【答案】 / 【分析】（1）利用椭圆的定义，结合已知求出离心率； （2）根据给定条件，利用光的反射定理结合椭圆定义求出椭圆长半轴长即可求解. 【详解】（1）设椭圆的长轴长为，则由发出的光经椭圆两次反射后回到， 经过的路程为，从而； （2）如图，延长，交于点， 在中，，由反射角等于入射角，得， 则，且为中点， 在中，， 则，， 所以椭圆方程为． 故答案为： ； 【点睛】方法点睛：求椭圆的标准方程有两种方法： ①定义法：根据椭圆的定义，确定，的值，结合焦点位置可写出椭圆方程． ②待定系数法：若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为(A>0，B>0，A≠B)． 【相似题2】（23-24高三上·福建厦门·期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯所著的八册《圆锥曲线论（Conics）》中，首次提出了圆锥曲线的光学性质，其中之一的内容为：“若点为椭圆上的一点，、为椭圆的两个焦点，则点处的切线平分外角”.根据此信息回答下列问题：已知椭圆，为坐标原点，是点处的切线，过左焦点作的垂线，垂足为，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长、交于点，分析可知，则为的中点，且，利用中位线的性质结合椭圆的定义可求得的值. 【详解】如下图所示：    延长、交于点，由题意可知， 又因为，则为的中点，且， 所以，， 又因为为的中点，则. 故选：A. 【解题策略】 一、先明确椭圆的核心光学性质（解题前提） 椭圆的光学性质是所有光线问题的“题眼”，需牢记两种常见场景： 1.入射光线过焦点：若光线从椭圆的一个焦点出发，经椭圆上某点反射，则反射光线必过另一个焦点（如图1）； 2.反射光线过焦点：若光线经椭圆上某点反射后过焦点，则入射光线的反向延长线必过另一个焦点（如图2）。 本质：椭圆上点处的切线是的外角平分线，法线是的内角平分线（反射定律：入射角=反射角，对应角平分线性质）。 二、通用解题步骤（4步落地） 无论题目是“求反射光线方程”“证明光线过焦点”还是“求椭圆方程”，均遵循以下步骤，仅在“求结果”环节根据目标调整： 步骤1：识别光线类型，锁定光学性质 先判断题目中的光线是“入射→反射”的哪一环节，明确是否用到“反射光线过另一焦点”的性质： 若题干明确“光线从出发，经反射”→直接用“反射光线过”； 若题干仅给“光线经反射后过点”→需验证是否为焦点，或反向延长入射光线找另一焦点。 步骤2：提取已知条件，标注关键元素 从题干中提取核心信息，整理成可计算的“已知量”，常见元素包括： 椭圆相关：焦点坐标、（或）、椭圆方程、长半轴； 光线相关：入射点（椭圆上的点）、入射光线的方向（斜率、过某定点）、反射光线的过某定点。 步骤3：利用光学性质，建立数学关系 根据光学性质，将“光线问题”转化为“坐标/线段关系”，核心是关联焦点与入射点： 若求反射光线方程：已知反射光线过和入射点→两点确定一条直线，直接用两点式求方程； 若证明反射光线过：需证明反射光线的直线方程经过坐标（代入验证等式成立）； 若求椭圆方程：已知入射点，且入射光线过、反射光线过→用椭圆定义（）求，结合求。 步骤4：结合工具计算，输出目标结果 根据步骤3的数学关系，选择对应工具计算，常见工具包括： 求直线方程：两点式（已知和）、点斜式（已知和反射光线斜率）； 验证点在直线上：将焦点坐标代入直线方程，看左右是否相等； 求椭圆参数：用距离公式算得，结合已知求。 三、分题型示例（含具体计算） 题型1：求反射光线方程（已知椭圆、焦点、入射点） 题目：已知椭圆，焦点、，光线从出发，经椭圆上点反射，求反射光线方程。 步骤1：识别类型→入射光线过，经反射→反射光线过； 步骤2：已知元素→，； 步骤3：建立关系→反射光线过和，两点横坐标均为1，是垂直于x轴的直线； 步骤4：计算结果→反射光线方程为。 题型2：证明反射光线过焦点（已知椭圆、入射光线、反射光线） 题目：已知椭圆（），焦点、，光线经椭圆上点反射，且反射光线斜率为，入射光线过，证明反射光线过。 步骤1：识别类型→入射光线过，需证反射光线过； 步骤2：已知元素→在椭圆上（），入射光线的斜率为； 步骤3：建立关系→用反射定律：处法线平分，即（为法线与x轴交点），或用斜率关系：入射角=反射角，推导反射光线必过； 步骤4：验证结果→反射光线过和，计算其斜率是否与已知一致（或代入坐标验证反射光线方程成立）。 题型3：求椭圆方程（已知光线反射条件） 题目：已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，光线从点出发，经椭圆上点反射后过点，且，求椭圆方程。 步骤1：识别类型→反射光线过，入射光线过→根据光学性质，、应为椭圆的两个焦点； 步骤2：已知元素→、，故；； 步骤3：建立关系→由光学性质，反射光线过另一焦点，故是焦点，入射光线反向延长线过（即是另一焦点），且（，）； 步骤4：计算结果→→，，椭圆方程为。 四、关键工具与易错点 1.必备工具 椭圆定义：（光学性质与定义结合是核心）； 直线方程：两点式、点斜式； 距离公式：（计算时用）。 2.易错点提醒 混淆焦点位置：若椭圆焦点在y轴上，焦点坐标为，反射光线过的焦点需对应y轴坐标，勿错用x轴焦点； 忽略椭圆定义：证明反射光线过焦点时，若直接用斜率计算易出错，结合“”更简便； 反射光线方向：入射光线从到，反射光线是从到，勿搞反方向（如错写为从到）。 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高二下·广东深圳·期中）已知为椭圆上一点，则C的焦距为（    ） A．1 B． C． D． 2．（24-25高二上·浙江台州·期末）已知椭圆的标准方程为，下列说法正确的是（    ） A．椭圆的长轴长为2 B．椭圆的焦点坐标为 C．椭圆关于直线对称 D．当点在椭圆上时， 3．（24-25高二下·广东广州·期中）已知直线与椭圆交于A，B两点，椭圆E右焦点为F，直线AF与E的另外一个交点为C，若，若，则E的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·贵州·期中）已知椭圆E：的上下顶点分别为Q、P，为椭圆的右焦点，直线交椭圆E于点M，若，则椭圆E的离心率为（   ）． A． B． C． D． 5．（23-24高二上·河南开封·期中）班级物理社团在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题：已知椭圆的方程为，其左、右焦点分别是，，直线与椭圆切于点，且，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点Q，则（注；若的角平分线交于点，则）（    ） A．1 B．2 C． D． 二、多选题 6．（23-24高二上·河南南阳·期中）是椭圆上的一点，为坐标原点，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若存在点，使，则椭圆的离心率 D．若的中点在轴上，则 7．（24-25高二下·辽宁朝阳·期中）已知离心率为的椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与该椭圆相交于，两点，点在该椭圆上，且的最小值为，则下列说法正确的是（   ） A．存在点，使得 B．满足为等腰三角形的点有2个 C．若，则的面积为 D． 8．（24-25高二下·广东深圳·期中）已知椭圆的左、右焦点分别是，过坐标原点O的直线l与椭圆C交于P、Q两点．则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的短轴长为2 B．三角形面积的最大值是1 C．的取值范围为 D．以椭圆的长轴为直径的圆与以线段为直径的圆内切 9．（24-25高二下·福建·期中）已知椭圆的两个焦点分别为，是上任意一点，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．椭圆的离心率越大形状越扁平 三、填空题 10．（23-24高二上·福建泉州·期中）若椭圆过点且与椭圆有相同的焦点，则椭圆的方程为 ． 11．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知是椭圆的左､右焦点，过原点的直线与交于两点，当时，四边形面积为60，且的周长为30，则的离心率大小为 ． 12．（24-25高三上·辽宁大连·期中）已知椭圆和椭圆的离心率分别为和，若，则 ． 13．（24-25高二下·重庆渝中·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，若以为圆心，为半径作圆，过椭圆上一点作此圆的切线，切点为，若恒成立，则该椭圆离心率的取值范围为 . 四、解答题 14．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆C：经过点，、是椭圆C的左、右两个焦点，，P是椭圆C上的一个动点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若点P在第一象限，且，求点P的横坐标的取值范围． 15．（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知，是椭圆：()的左、右焦点，点在椭圆上，线段与轴的交点满足． (1)求椭圆的方程； (2)椭圆上任一动点关于直线的对称点为，求的取值范围． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 C D C B B CD ACD ACD ABD 1．C 【分析】将点代入C的方程得，故，再根据焦距概念得解. 【详解】因为点在C上，代入C的方程得，解得，故， 所以C的焦距为. 故选：C. 2．D 【分析】由椭圆的标准方程先确定求得，得到长轴长，焦点为即可判断A，B； 将方程中的互换，根据所得方程是否与原方程相同可判别C；根据椭圆的范围可判断D. 【详解】对于A、B，由得， ∴长轴长，焦点为.故A、B不正确； 对于C，将互换，得椭圆与原椭圆方程不相同，故椭圆不关于直线对称.故C不正确； 对于D，因为点在椭圆上，则，∴，故D正确. 故选：D 3．C 【分析】如图，设，根据椭圆的对称性和定义可得，，在直角与中，分别利用勾股定理建立方程，解之即可求解. 【详解】设椭圆的左焦点为，连接， 设，由对称性可知， 由定义得，则， 又，，所以， 在直角中，由， 即，解得. 在直角中，，即， 把代入整理得，由解得. 故选：C 4．B 【分析】设出直线方程，与椭圆方程联立求得M的坐标，利用距离公式列方程化简得，即可求解离心率. 【详解】由题意，，，则， 直线方程为，即， 与椭圆E：联立消y得，所以， 所以， 因为，所以，即， 所以，所以， 即，所以，所以，所以，所以（负根舍去）. 故选：B 5．B 【分析】根据椭圆定义求出，结合平分，故. 【详解】由题设，则平分，故， 而，由椭圆定义可知， 则，所以. 故选：B. 6．CD 【分析】根据椭圆的几何性质，可判定A错误；设，利用余弦定理和椭圆定义，求得，结合三角形的面积公式，可判定B错误；设椭圆的短轴上端点为，得到，得到，结合离心率的定义，可判定C正确；根据题意，得到轴，进而可判定D正确. 【详解】对于A中，根据椭圆的几何性质，可得，所以A错误； 对于B中，设，则， 由余弦定理得， 解得，所以，所以B错误； 对于C中，设椭圆的短轴上端点为，连接, 若存在点，使得，则，所以，即， 所以，所以，即， 又因为，可得，所以C正确； 对于D中，若的中点在轴上，则轴， 结合椭圆的几何性质，可得，所以D正确. 故选：CD. 7．ACD 【分析】首先求出椭圆方程，当点为椭圆的上、下顶点时，最大，即可判断A，根据的范围判断B，利用余弦定理及椭圆的定义求出焦点三角形的面积，即可判断C，根据焦点弦的性质判断D. 【详解】因为，的最小值为，即，所以， 则，所以椭圆的方程为； 对于A，当点为椭圆的上、下顶点时，最大，如下图：    由椭圆，则，，在中，， 易知此时，所以的取值范围为，故A正确； 对于B，当点在椭圆的上，下顶点时，满足为等腰三角形， 又因为，， 所以满足的点有个，同理，满足的点有个， 综上可得，满足为等腰三角形的点有个，故B错误； 对于C，设，，则，， 在中，根据余弦定理得， 所以，整理可得， 则，故C正确； 对于D：因为过点的直线与该椭圆相交于，两点， 当过点且垂直于轴的直线与该椭圆相交于，两点时取得最小值， 由，解得，所以，又， 所以，故D正确； 故选：ACD 8．ACD 【分析】根据椭圆的几何性质，可得判定A正确；设，得到，可判定B错误；由，根据，可判定C正确；连接，取的中点，连接，根据椭圆的定义得，可判定D正确. 【详解】对于A中，由椭圆，可得，则， 所以椭圆的短轴长为，所以A正确； 对于B中，设，可得，其中， 所以，所以最大面积为，所以B错误； 对于C中，由，且 ， 则 ， 因为，可得，则， 所以的取值范围为，所以C正确； 对于D中，连接，取的中点，连接，且， 以长轴为直径的圆的圆心为，半径为，以为直径的圆的圆心为，半径为, 由椭圆的定义得， 所以以椭圆的长轴为直径的圆与以线段为直径的圆内切，所以D正确. 故选：ACD.    9．ABD 【分析】根据椭圆方程求出，再结合椭圆的定义及几何性质逐项判断. 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，椭圆的离心率，A正确； 对于B，的周长为，B正确； 对于C，的最小值为，C错误； 对于D，当一定时，椭圆的离心率越大，则越大，越小，椭圆形状越扁平，D正确. 故选：ABD 10． 【分析】本题有两种方法：法一是设共焦点的椭圆方程系，直接代入(3，2)即可求得；法二是求出椭圆的焦点，利用定义求出长轴长，进而求出椭圆标准方程． 【详解】法1：因为椭圆与椭圆共焦点，所以设椭圆， 因为椭圆过点，所以，即， 解得或（舍去）， 所以椭圆的方程为． 故答案为：． 法2：因为椭圆的焦点为，椭圆过点， 所以 所以，而，所以，所以椭圆的方程为． 故答案为：． 11． 【分析】根据给定条件，结合椭圆的对称性可得四边形为矩形，结合勾股定理及椭圆定义建立关系求出即可得解. 【详解】令椭圆的半焦距为c，依题意，点关于原点对称，而是的中点，又， 则四边形为矩形，有，， 于是，由的周长为30， 得， 则，解得，所以的离心率. 故答案为： 12．或. 【分析】根据离心率定义求椭圆的离心率，结合条件确定椭圆的离心率，讨论焦点位置列方程求. 【详解】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为， 则， ， ， 所以椭圆的离心率，又， 所以， 设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为， 则，所以， 所以， 当椭圆的焦点在轴上时，，所以， 当椭圆的焦点在轴上时，，所以， 所以或. 故答案为：或. 13． 【分析】由题意作图，根据圆的切线性质以及勾股定理，可建立方程，根据焦半径的取值范围以及题干中的不等式，通过化简整理，代入离心率，可得答案. 【详解】如下图所示：易知， 又焦半径的最小值为，且恒成立， 则，又，所以， 整理可得，即，可得，即， 又，解得，又半径，则，解得， 所以. 故答案为： 14．(1) (2)． 【分析】（1）依题意得焦点坐标，再利用椭圆的定义求得，进而求得即可； （2）设，从而可求得，再把代入求解即可. 【详解】（1）由已知得，， ，，， 同理， ， ，， 椭圆的标准方程为． （2）设，且，则，，   ． 由椭圆方程可得， 整理得，所以， 即点的横坐标的取值范围是． 15．(1) (2) 【分析】（1）根据题意列出关于，的方程组，进而求解即可求得椭圆的方程； （2）根据关于直线的对称性质可得，从而解得，，即可得到，再根据椭圆的性质可得，进而即可的取值范围． 【详解】（1）由点在椭圆上，则有①， 又，则为的中点，则，即， 所以②， 联立①②解得，， 所以椭圆的方程为． （2）由点关于直线的对称点为， 则，解得， 所以， 又点在椭圆上，则， 所以，即的取值范围为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年高二数学上学期常考题型归纳 【第15讲：椭圆方程的几何性质】 总览 题型梳理 【知识梳理】 一、椭圆的标准方程（基础核心） 椭圆的标准方程由焦点所在坐标轴决定，核心是明确、、的关系，这是后续所有性质的基础。 焦点位置 标准方程 核心参数关系 适用条件与关键说明 焦点在x轴上 ；为半焦距，焦点坐标为 焦点在y轴上 ；焦点坐标为 关键提醒：始终对应分母较大的项，代表“长半轴”；是“短半轴”，是“半焦距”，且满足（因）。 二、椭圆的几何性质（以焦点在x轴为例） 几何性质是椭圆的“形态特征”，焦点在y轴上时，仅需交换、相关描述即可。 1.范围：椭圆上所有点的坐标满足，，即椭圆位于以、为顶点的矩形内。 2.对称性：关于x轴、y轴和原点都对称，原点是椭圆的“对称中心”（简称中心）。 3.顶点： 长轴顶点：，长轴长为（椭圆最长直径）； 短轴顶点：，短轴长为（椭圆最短直径）。 4.焦点：坐标为，两焦点间距离为。 5.离心率： 定义：，用于衡量椭圆“扁平程度”； 范围：（因）； 规律：越接近1，椭圆越扁；越接近0，椭圆越圆（时退化为圆，此时、）。 6.准线： 方程：； 几何意义：椭圆上任意一点到焦点的距离，与到对应准线的距离之比等于离心率（第二定义），常用于距离转化。 三、椭圆常考核心结论（高频解题工具） 这些结论是考试中快速破题的关键，需理解推导逻辑而非死记。 1.焦点三角形相关结论 定义：椭圆上任意一点与两焦点、构成的，称为“焦点三角形”。 核心结论： 1.周长固定：（依据椭圆第一定义，）； 2.面积公式：，其中； 3.最大夹角：当在短轴顶点时，最大（此时，两边夹角最大）。 2.弦长与焦点弦结论 通用弦长公式：设直线与椭圆交于、，直线斜率为，则： ； （需联立直线与椭圆方程，用韦达定理求）。 焦点弦特殊结论： 1.通径：过焦点且垂直于长轴的弦，长度为（椭圆最短的焦点弦）； 2.定值性质：若焦点弦过，则（结果为定值）。 3.离心率相关结论 变形公式：（由推导，已知、时可直接用）； 特殊场景：若椭圆中存在直角三角形（如顶点与焦点构成直角），可通过勾股定理列方程求。例如：短轴顶点与焦点连线垂直时，，则。 4.点与椭圆位置关系 设点，椭圆方程为，则： 在椭圆内：； 在椭圆上：； 在椭圆外：。 四、椭圆的参数方程（灵活解题技巧） 参数方程通过“三角函数”将椭圆上的二元变量（）转化为一元变量（），大幅简化最值、轨迹等问题。 1.标准参数方程（分焦点位置） 焦点位置 直角坐标方程 对应的参数方程 参数的几何意义 焦点在x轴上 （） （） 从长轴右顶点（）绕原点逆时针旋转到点的角度，不是的倾斜角（需特别注意区分） 焦点在y轴上 （） （） 从长轴上顶点（）绕原点逆时针旋转到点的角度 2.参数方程的核心应用场景 求最值问题：比如求椭圆上一点到某直线的距离最值，或求、等表达式的最值。 示例：求椭圆上点到直线的距离最小值，设，代入距离公式后用辅助角公式即可快速求解。 求轨迹问题：当动点坐标与椭圆上点相关联时，用表示椭圆上点的坐标，再消去可得动点轨迹。 简化代数运算：减少变量个数，比如计算椭圆上两点的向量数量积时，可避免复杂的二元二次方程。 五、易混淆与易错点提醒 1.标准方程判断：勿因分母顺序颠倒错判焦点位置（焦点在分母大的变量对应的轴上）； 2.参数关系：牢记，切勿与双曲线的混淆； 3.离心率范围：椭圆，双曲线，抛物线，需明确区分； 4.参数意义：是“离心角”，不是椭圆上点与原点连线的倾斜角，避免代入斜率计算时出错。 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型一：求共焦点的椭圆方程】 例题精选 【例题1】（25-26高二上·山西吕梁·阶段练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过点，且离心率： (2)经过点，且与椭圆有相同的焦点. 【例题2】（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）与椭圆有相同的焦点，且经过点的椭圆的标准方程为 . 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程． (1)已知椭圆的离心率为，短轴长为； (2)椭圆与有相同的焦点，且经过点，求椭圆的标准方程. 【相似题2】（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期中）求符合下列条件的方程： (1)求过两点和，且圆心在轴上的圆的标准方程． (2)与椭圆有相同的焦点的椭圆，且经过点． 【解题策略】 一、3步核心解题法 1.第一步：定c² 若给参考椭圆（如）：先看焦点轴（分母大的轴），再算； 若直接给焦点（如）：直接得。 2.第二步：设方程 按焦点轴设方程，用消去b，只留a²： 焦点在x轴：； 焦点在y轴：。 3.第三步：求a²，写方程 用题目额外条件（如过定点、已知离心率）代入设好的方程，解出a²，再算，代入即得最终方程。 二、快速例题 题目：与椭圆共焦点，且过，求方程。 1.定c²：参考椭圆a₁²=25，b₁²=9，，焦点在x轴； 2.设方程：； 3.求a²：代入，得，解得a²=36（a²>16），b²=36-16=20； 4.方程：。 【题型二：求椭圆中x，y的取值范围】 例题精选 【例题1】（2025·江西新余·二模）已知点是椭圆：上的动点，若，则的最小值为 . 【例题2】（24-25高二上·上海·期末）已知椭圆方程为，点为椭圆的右顶点，定点在轴上，点为椭圆上一动点，当取得最小值时点恰与点重合，则实数的取值范围为 ． 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·上海·阶段练习）在椭圆上任意一点P，左右焦点分别为，若有，则点P纵坐标的取值范围为 . 【相似题2】【多选题】（24-25高二上·浙江·期中）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点是上的任意一点，则下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 【解题策略】 一、核心解题思路（分2种标准方程） 椭圆的x、y范围由标准方程中x²、y²项的分母决定，分母越大，对应变量的取值范围越广（因平方项需≤1才能使两式相加为1）。 1.第一步：确定椭圆的标准方程类型 先判断椭圆焦点在x轴还是y轴，明确标准方程形式，这是推导范围的前提： 焦点在x轴：标准方程为（），x²对应分母（较大分母），y²对应分母（较小分母）； 焦点在y轴：标准方程为（），y²对应分母（较大分母），x²对应分母（较小分母）。 2.第二步：利用“平方项≤1”推导范围 因椭圆方程中两个平方项相加等于1，每个平方项的取值都必须≤1（否则总和会超过1），据此解不等式： 以焦点在x轴为例（）： 1.对x：→→开方得，即x∈[-a,a]； 2.对y：→→开方得，即y∈[-b,b]。 以焦点在y轴为例（）： 1.对y：→→y∈[-a,a]； 2.对x：→→x∈[-b,b]。 二、特殊情况：非标准椭圆方程（一般式） 若椭圆给出的是一般式（如，其中A、B、C同号且A≠B），需先化为标准式，再按上述步骤推导： 1.化标准式：两边同除以C，使右边为1，即； 2.判断a²、b²：比较和的大小，较大的为，较小的为； 3.推导范围：按“平方项≤1”的规则，对应写出x、y的范围。 三、快速例题 题目：求椭圆中x、y的取值范围。 1.化标准式：两边÷36，得； 2.定类型：（x²分母大），焦点在x轴，，； 3.求范围：x∈[-3,3]，y∈[-2,2]。 【题型三：根据椭圆的有界性求范围或最值】 例题精选 【例题1】（2025高三·全国·专题练习）求椭圆上的点到直线的最短距离． 【例题2】（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知为椭圆上一动点，则点到直线：距离的取值范围为 ． 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·浙江温州·开学考试）已知点，点P为圆上任意一点，线段AP的垂直平分线与CP相交于点Q，则面积的最大值为（    ） A． B． C．8 D． 【相似题2】（24-25高二上·广东深圳·期末）一动圆与圆外切，同时与圆内切． (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)记（1）所求轨迹方程对应的曲线为，点为曲线上一动点，点的坐标为，求点到点距离的最小值，并给出此时点的坐标． 【解题策略】 一、基础规范公式（椭圆形式与有界性） 首先明确椭圆的标准方程及对应的x、y取值范围，这是所有计算的前提，需严格区分焦点位置。 焦点位置 标准方程（，为长半轴，为短半轴） 有界性范围（x、y的取值限制） 焦点在x轴 ， 焦点在y轴 ， 补充：一般式椭圆的转化 若椭圆为一般式（需满足、、且），先化为标准式： 两边同除以，得，再比较与的大小—— 较大值即为，较小值即为，进而确定焦点位置和x、y的有界范围。 二、规范解题步骤（3步核心流程） 第一步：确定椭圆形式与有界范围 1.将椭圆方程化为标准式（若为一般式）； 2.确定、的值及焦点位置； 3.写出x、y的有界范围（参考上表）。 第二步：转化目标表达式（消元/参数化） 将含、的目标表达式转化为单变量函数，两种常用方法的规范公式如下： 转化方法 适用场景 规范公式与操作 代数消元法 目标表达式为一次（如）、二次（如） 以焦点在x轴的椭圆为例： 1.消去：由得，代入含的表达式； 2.消去：由得，代入含的表达式。 参数方程法 任意二元表达式（尤其适合线性、非线性表达式） 以焦点在x轴的椭圆为例： 1.参数方程：（，为离心角）； 2.代入目标表达式：如。 第三步：单变量函数求最值（按类型用规范公式） 转化为单变量函数后，根据函数类型（一次、二次、三角函数），套用对应公式求最值/范围。 1.一次函数型（，，） 系数符号 最大值公式 最小值公式 （当时） （当时） （当时） （当时） 2.二次函数型（，，） 1.求对称轴：； 2.按对称轴与区间的位置关系求最值： 若： 当（开口向上）：，； 当（开口向下）：，； 若： 最值在区间端点：，。 3.三角函数型（，） 1.用辅助角公式转化：，其中（为辅助角）； 2.利用三角函数有界性：因，故： 三、规范公式应用示例 题目：已知椭圆，求的取值范围。 1.第一步：确定椭圆形式与有界范围——焦点在x轴，，，参数方程为（）； 2.第二步：转化目标表达式——代入得； 3.第三步：三角函数求范围——用辅助角公式，，，则，故。 四、易错点规范提醒 1.一般式转化时，需保证、、同号，否则不是椭圆； 2.消元后需严格遵循原变量的有界范围（如），不可随意扩大或缩小； 3.二次函数求最值时，必须先判断对称轴是否在变量区间内，再确定用顶点值还是端点值。 【题型四：根据椭圆的对称性求值或者范围】 例题精选 【例题1】（25-26高三上·上海·开学考试）已知椭圆的右焦点为，直线经过椭圆右焦点，交椭圆于、两点（点在第二象限），若点关于轴对称点为，且满足，求直线的方程是 ． 【例题2】（2025高三·全国·专题练习）如图，椭圆的左、右焦点分别为，过点分别作弦．若，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（2025高三·全国·专题练习）如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个等分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的左焦点，则 . 【相似题2】（24-25高二下·河南焦作·期中）已知是椭圆的左焦点，经过坐标原点的直线与交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【解题策略】 一、先明确椭圆的对称性核心性质 椭圆的对称性是解题的“工具基础”，需先牢记其对坐标的具体影响，所有应用均源于此： 1.轴对称性（x轴、y轴） 若点在椭圆上，则其关于x轴的对称点、关于y轴的对称点也一定在椭圆上。 推论：表达式中若含的奇次项（如、），则；若含的偶次项（如），则。 2.中心对称性（原点） 若点在椭圆上，则其关于原点的对称点也一定在椭圆上。 推论：表达式中若、均为奇次项（如），则；若均为偶次项（如），则。 二、再判断对称性的适用场景 遇到以下3类题型，优先考虑用对称性解题，可大幅减少计算量： 场景类型 题目特征 核心目标 1.对称点相关问题 已知椭圆上一点，判断其对称点是否在椭圆上；或求椭圆上与某点对称的点的坐标 直接用对称性性质验证或求坐标 2.简化计算类问题 求椭圆上一点到两对称点的距离和/差、面积；或求含对称变量的表达式值 将分散的计算转化到同一侧，避免重复计算 3.求范围/最值问题 目标表达式含对称变量（如、），或限制条件涉及对称点 利用对称变量的范围一致性，减少变量个数 三、最后用针对性方法解题（附示例） 根据不同场景，对应以下具体方法，每步均体现对称性的“简化作用”： 场景1：对称点相关问题——直接用性质判断/求坐标 方法：若已知点在椭圆上，直接写出其对称点坐标，代入椭圆方程验证（或无需验证，因性质保证对称点在椭圆上）。 示例：已知椭圆过点，求其关于y轴的对称点是否在椭圆上。 解：的坐标为，代入椭圆方程：，满足方程，故在椭圆上（或直接用y轴对称性质，无需代入计算）。 场景2：简化计算类问题——转化到同一区域 方法：若涉及两对称点（如与），将关于两点的计算（如距离、面积）转化为关于其中一点的计算，减少步骤。 示例：已知椭圆，求椭圆上一点到点与的距离和的最大值。 解： 1.观察到、关于原点对称，且均在椭圆内部（因）； 2.利用椭圆对称性，（其中是的对称点），但更简便的是结合椭圆定义：椭圆上任意一点到两焦点距离和为，而、不是焦点，可转化为（因是的对称点）； 3.当、、共线时，最大，最大值为？不，更直接：因、对称，？实际更简单：利用对称性，的最大值为（当在长轴端点时），，，故最大值为10。 场景3：求范围/最值问题——减少变量个数 方法：若目标表达式含对称变量（如，与、与代入后值不变），可利用对称性只考虑、的情况，将变量范围缩小到第一象限（或某一区域），简化计算。 示例：已知椭圆，求的取值范围。 解： 1.利用对称性，、均为偶次项，故只需考虑、； 2.由椭圆方程得，代入：； 3.因，故，代入得（无需考虑负区间，因对称性保证负区间结果一致）。 四、易错点提醒 1.混淆对称类型：比如将“关于x轴对称”错用为“关于原点对称”，导致对称点坐标写错（如把写成）； 2.忽略对称点前提：需先确认原点点在椭圆上，才能用对称性推导其对称点也在椭圆上； 3.范围缩小过度：利用对称性缩小变量范围时（如只考虑第一象限），需保证表达式在对称区间内的取值一致（如偶次项、绝对值项），避免漏解。 【题型五:离心率与椭圆的圆扁关系】 例题精选 【例题1】（24-25高二上·广东惠州·期末）椭圆可看成是圆被压扁或拉伸形成的．下列椭圆中，形状更接近圆的是（   ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高二上·吉林延边·阶段练习）若椭圆比椭圆更扁，则椭圆的长轴长的取值范围是 ． 相似练习 【相似题1】【多选题】（24-25高二上·湖北·期中）已知曲线方程表示椭圆，则下列说法正确的是（   ） A．的取值集合为 B．当时，焦点坐标为 C．当时，记椭圆所包围的区域面积为，则 D．当时，随着越大，椭圆就越接近于圆 【相似题2】（23-24高二上·贵州贵阳·阶段练习）椭圆的离心率（）大小决定该椭圆的圆扁程度（离心率趋于0椭圆越圆，离心率越趋于1椭圆越扁），则四个椭圆的形状中，最接近于圆的椭圆是（   ） A． B． C． D． 【解题策略】 一、先明确离心率与圆扁的核心关系 椭圆的圆扁程度由“长半轴与短半轴的比值”决定，而离心率通过、直接关联这一比值，是判断圆扁的量化工具。 1.推导逻辑（关键公式链） 由椭圆基本关系，两边同除以得： 因（即），代入上式得： 2.圆扁关系结论（核心） 是关键：越接近1（越接近），椭圆越圆；越接近0（远小于），椭圆越扁。 结合的结论： 当时，（），椭圆趋近于圆（当时，，退化为圆）； 当时，（），椭圆趋近于扁（一条线）。 范围锚定：椭圆，在区间内的位置直接对应圆扁程度。 二、解题3步通用思路 无论是“已知判圆扁”，还是“已知圆扁求的范围”，均围绕上述核心关系展开，步骤固定： 第一步：明确已知条件，关联的表达式 根据题目给出的条件（如、、的关系，焦点三角形角度，弦长等），选择的合适表达式： 若已知、：用； 若已知、：直接用； 若已知焦点三角形（如最大角）：用（椭圆焦点三角形中，，简化为，当是短轴顶点处的角时）。 第二步：计算的值或范围 若求具体：代入已知数据，计算出（注意结果需在内）； 若求的范围：根据“圆扁要求”转化为的范围，再通过推导的范围。 示例：要求椭圆“较圆”，即，则，故，即。 第三步：根据判断圆扁或验证要求 若已知判圆扁：对比与关键值（如，对应的等腰直角情况），越小越圆，越大越扁； 若已知圆扁求：验证推导的范围是否符合“圆扁要求”，确保逻辑闭环。 三、典型场景与例题 场景1：已知、，判圆扁 题目：椭圆与，哪个更圆？ 解： 1.求的：，，； 2.求的：，，； 3.判圆扁：，故更圆。 场景2：已知圆扁要求，求的范围 题目：椭圆（），要求其“不扁于”，求的范围。 解： 1.明确“不扁于”即“更圆或相等”，先求参考椭圆的：参考椭圆，，； 2.转化为的范围：“更圆”意味着，故。 四、易错点提醒 1.混淆、的大小：必须先确定是长半轴（分母较大的项），再代入，若颠倒、，会导致大于1（错误，椭圆）； 2.与双曲线混淆：椭圆，双曲线，判断圆扁时仅针对椭圆，勿套用双曲线的性质； 3.忽略“圆扁”的相对关系：题目说“椭圆A比椭圆B圆”，需通过计算两者的并比较大小（），而非单独看某一个的绝对值。 【题型六：求椭圆的离心率】 例题精选 【例题1】（25-26高二上·内蒙古通辽·阶段练习）已知椭圆：，过的右焦点作轴的垂线交于，两点，，则的离心率为 . 【例题2】（25-26高三上·湖北武汉·阶段练习）设椭圆E：的左右焦点分别为，，椭圆E上点P满足，直线和直线分别和椭圆E交于异于点P的点A和点B，若，则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（2025·贵州·模拟预测）已知椭圆E：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为，上顶点为B，右顶点为A，到直线AB的距离为b，则椭圆E的离心率为（   ） A． B． C． D． 【相似题2】【多选题】（25-26高二上·河南南阳·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上.若是等腰直角三角形，则椭圆的离心率可能是（    ） A． B． C． D． 【解题策略】 一、核心解题逻辑（通用3步） 无论已知条件如何变化，最终都要落到“建立与的关系”上，3步可覆盖所有基础题型： 1.第一步：确定椭圆类型（定的对应轴） 先判断椭圆焦点在x轴还是y轴，明确（长半轴，对应分母较大的项）、（短半轴）的取值，避免后续混淆、导致错误。 焦点在x轴：（）； 焦点在y轴：（）。 2.第二步：根据已知条件找与（或与）的关系 这是解题关键，需根据题目给出的条件（如数值、焦点三角形角度、弦长、特殊点等），通过椭圆定义、几何性质或代数运算推导关系（如、等）。 3.第三步：代入公式计算，验证范围 用核心公式计算，并确保结果满足椭圆离心率的范围：（若结果超出则说明步骤有误）。 若已知、：直接用； 若已知、：用变形公式（由推导）。 二、分场景具体解法（高频考点适配） 不同已知条件对应不同的“找关系”方法，以下是4类典型场景，覆盖考试中90%以上的题型： 场景1：已知、或、的直接关系 适用条件：题目直接给出、、中的两个量，或它们的倍数关系（如、）。 方法：直接代入公式计算，无需额外推导。 示例：已知椭圆中，，，求。 解：由得，即； 代入公式：。 场景2：已知焦点三角形的角度或边长 适用条件：题目涉及椭圆上一点与两焦点构成的“焦点三角形”（如已知最大角、面积、边长比）。 核心性质： 焦点三角形中，（椭圆定义）； 最大角出现在为短轴顶点时（此时，两边相等，夹角最大）。 方法：用余弦定理或面积公式建立、关系。 示例：椭圆焦点三角形中，短轴顶点处的角为，求。 解：设短轴顶点为，则，； 对用余弦定理：； 化简：，即； 计算：。 场景3：已知特殊弦（通径、焦点弦）或特殊点 适用条件：题目给出通径长、焦点弦长，或椭圆上某点到焦点/顶点的距离。 核心公式： 通径长（过焦点且垂直长轴的弦）：； 椭圆上一点到焦点距离：（左焦点）、（右焦点）。 方法：用弦长公式或距离公式建立、关系，再转化为、关系。 示例：椭圆通径长等于长半轴长，求。 解：通径长，即； 由得，化简得； 计算：。 场景4：已知椭圆与直线的位置关系（相切、相交） 适用条件：题目给出椭圆与某直线相切（如与y轴、某定直线相切）或相交的条件（如弦中点坐标）。 方法：联立椭圆与直线方程，利用“相切时判别式”或“中点坐标公式”建立、关系。 示例：椭圆与直线相切，且，求。 解：联立方程，代入得； 整理：，相切时，解得； 求、：，； 计算：。 三、易错点提醒 1.混淆、的大小：必须确保是长半轴（分母较大的项），若颠倒、，会导致为负数，无法计算。 2.忽略的范围：椭圆，若计算出或，说明推导过程中存在错误（如误用双曲线的）。 3.焦点三角形角度用错：最大角一定在短轴顶点，若题目未指定的位置，默认用短轴顶点推导更简便。 【题型七：求椭圆的离心率取值范围问题】 例题精选 【例题1】（24-25高二上·新疆哈密·阶段练习）已知点P在圆上，点Q在椭圆上，且的最大值等于5，则椭圆的离心率的最大值为 . 【例题2】（25-26高二上·云南昭通·开学考试）已知是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，且，则该椭圆离心率的取值范围是（　　） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（25-26高二上·全国·课后作业）椭圆的右焦点，直线与轴的交点为，在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（2025高三·全国·专题练习）已知，为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点满足，则椭圆离心率的范围是（    ） A． B． C． D． 【解题策略】 题型分类 条件特征（题目常给信息） 核心依据（公式/定理） 转化步骤（统一为e的不等式） 示例及结论（含e范围） 1.点与椭圆位置关系 已知点在椭圆内/外；或焦点在椭圆内 -点在椭圆内： -点在椭圆外： 1.代入，消去； 2.两边除以（正数，不改变不等号方向），解关于的不等式。 示例：点在椭圆内，。 转化：→（恒成立），结合，得。 2.焦点三角形条件 已知焦点三角形的最大角；或面积范围；或边长比 -焦点三角形：， -余弦定理： -最大角在短轴顶点（此时） 1.取短轴顶点时的最大角，代入余弦定理； 2.化简得与的关系，转化为。 示例：焦点三角形最大角。 转化：→，得；若最大角，则。 3.直线与椭圆位置关系 直线与椭圆相交（有公共点）、相切、相离；或弦长范围 -联立直线与椭圆方程，得一元二次方程 -相交：；相切：；相离： 1.联立后代入，整理出关于的方程； 2.令（相交），化简得的不等式。 示例：直线与椭圆相交，。 转化：联立得，代入，令→，结合，得。 4.与比值关系 已知的取值范围（如） -椭圆基本关系： -单调性：越大，越小（反向变化） 1.设，则； 2.代入的范围，解出的范围（注意单调性）。 示例：。 转化：当时，；当时，，得。 【题型八：椭圆中的光线问题】 例题精选 【例题1】【多选题】（24-25高二下·福建厦门·阶段练习）（多选）如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆，其左、右焦点分别是，，为椭圆上任意一点，直线与椭圆相切于点，过点与垂直的直线与椭圆的长轴交于点，，点，给出下列四个结论，正确的是（    ） A．面积的最大值为 B．的最大值为8 C．若，则 D．若，垂足为，则 【例题2】（24-25高二上·江苏扬州·期中）椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆，为坐标原点，是点处的切线，过左焦点作的垂线，垂足为，则（    ） A． B． C．4 D．8 相似练习 【相似题1】（23-24高二下·甘肃·期末）圆锥曲线具有丰富的光学性质：椭圆绕它的长轴旋转一周形成一个旋转椭球面．以旋转椭球面做反射镜时，从它的一个焦点发射的光线，经旋转椭球面的反射后，反射光线都经过另一个焦点．如图甲，椭圆为旋转椭球面中过长轴的一个截面，其中法线表示与椭圆的切线垂直且过相应切点的直线．如图乙，椭圆的中心在坐标原点，焦点为．由发出的光经椭圆两次反射后回到经过的路程为．利用椭圆的光学性质解决以下问题： （1）椭圆的离心率为 ． （2）点是椭圆上除顶点外的任意一点，椭圆在点处的切线为在上的射影在圆上，则椭圆的方程为 ． 【相似题2】（23-24高三上·福建厦门·期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯所著的八册《圆锥曲线论（Conics）》中，首次提出了圆锥曲线的光学性质，其中之一的内容为：“若点为椭圆上的一点，、为椭圆的两个焦点，则点处的切线平分外角”.根据此信息回答下列问题：已知椭圆，为坐标原点，是点处的切线，过左焦点作的垂线，垂足为，则为（    ） A． B． C． D． 【解题策略】 一、先明确椭圆的核心光学性质（解题前提） 椭圆的光学性质是所有光线问题的“题眼”，需牢记两种常见场景： 1.入射光线过焦点：若光线从椭圆的一个焦点出发，经椭圆上某点反射，则反射光线必过另一个焦点（如图1）； 2.反射光线过焦点：若光线经椭圆上某点反射后过焦点，则入射光线的反向延长线必过另一个焦点（如图2）。 本质：椭圆上点处的切线是的外角平分线，法线是的内角平分线（反射定律：入射角=反射角，对应角平分线性质）。 二、通用解题步骤（4步落地） 无论题目是“求反射光线方程”“证明光线过焦点”还是“求椭圆方程”，均遵循以下步骤，仅在“求结果”环节根据目标调整： 步骤1：识别光线类型，锁定光学性质 先判断题目中的光线是“入射→反射”的哪一环节，明确是否用到“反射光线过另一焦点”的性质： 若题干明确“光线从出发，经反射”→直接用“反射光线过”； 若题干仅给“光线经反射后过点”→需验证是否为焦点，或反向延长入射光线找另一焦点。 步骤2：提取已知条件，标注关键元素 从题干中提取核心信息，整理成可计算的“已知量”，常见元素包括： 椭圆相关：焦点坐标、（或）、椭圆方程、长半轴； 光线相关：入射点（椭圆上的点）、入射光线的方向（斜率、过某定点）、反射光线的过某定点。 步骤3：利用光学性质，建立数学关系 根据光学性质，将“光线问题”转化为“坐标/线段关系”，核心是关联焦点与入射点： 若求反射光线方程：已知反射光线过和入射点→两点确定一条直线，直接用两点式求方程； 若证明反射光线过：需证明反射光线的直线方程经过坐标（代入验证等式成立）； 若求椭圆方程：已知入射点，且入射光线过、反射光线过→用椭圆定义（）求，结合求。 步骤4：结合工具计算，输出目标结果 根据步骤3的数学关系，选择对应工具计算，常见工具包括： 求直线方程：两点式（已知和）、点斜式（已知和反射光线斜率）； 验证点在直线上：将焦点坐标代入直线方程，看左右是否相等； 求椭圆参数：用距离公式算得，结合已知求。 三、分题型示例（含具体计算） 题型1：求反射光线方程（已知椭圆、焦点、入射点） 题目：已知椭圆，焦点、，光线从出发，经椭圆上点反射，求反射光线方程。 步骤1：识别类型→入射光线过，经反射→反射光线过； 步骤2：已知元素→，； 步骤3：建立关系→反射光线过和，两点横坐标均为1，是垂直于x轴的直线； 步骤4：计算结果→反射光线方程为。 题型2：证明反射光线过焦点（已知椭圆、入射光线、反射光线） 题目：已知椭圆（），焦点、，光线经椭圆上点反射，且反射光线斜率为，入射光线过，证明反射光线过。 步骤1：识别类型→入射光线过，需证反射光线过； 步骤2：已知元素→在椭圆上（），入射光线的斜率为； 步骤3：建立关系→用反射定律：处法线平分，即（为法线与x轴交点），或用斜率关系：入射角=反射角，推导反射光线必过； 步骤4：验证结果→反射光线过和，计算其斜率是否与已知一致（或代入坐标验证反射光线方程成立）。 题型3：求椭圆方程（已知光线反射条件） 题目：已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，光线从点出发，经椭圆上点反射后过点，且，求椭圆方程。 步骤1：识别类型→反射光线过，入射光线过→根据光学性质，、应为椭圆的两个焦点； 步骤2：已知元素→、，故；； 步骤3：建立关系→由光学性质，反射光线过另一焦点，故是焦点，入射光线反向延长线过（即是另一焦点），且（，）； 步骤4：计算结果→→，，椭圆方程为。 四、关键工具与易错点 1.必备工具 椭圆定义：（光学性质与定义结合是核心）； 直线方程：两点式、点斜式； 距离公式：（计算时用）。 2.易错点提醒 混淆焦点位置：若椭圆焦点在y轴上，焦点坐标为，反射光线过的焦点需对应y轴坐标，勿错用x轴焦点； 忽略椭圆定义：证明反射光线过焦点时，若直接用斜率计算易出错，结合“”更简便； 反射光线方向：入射光线从到，反射光线是从到，勿搞反方向（如错写为从到）。 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高二下·广东深圳·期中）已知为椭圆上一点，则C的焦距为（    ） A．1 B． C． D． 2．（24-25高二上·浙江台州·期末）已知椭圆的标准方程为，下列说法正确的是（    ） A．椭圆的长轴长为2 B．椭圆的焦点坐标为 C．椭圆关于直线对称 D．当点在椭圆上时， 3．（24-25高二下·广东广州·期中）已知直线与椭圆交于A，B两点，椭圆E右焦点为F，直线AF与E的另外一个交点为C，若，若，则E的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·贵州·期中）已知椭圆E：的上下顶点分别为Q、P，为椭圆的右焦点，直线交椭圆E于点M，若，则椭圆E的离心率为（   ）． A． B． C． D． 5．（23-24高二上·河南开封·期中）班级物理社团在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题：已知椭圆的方程为，其左、右焦点分别是，，直线与椭圆切于点，且，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点Q，则（注；若的角平分线交于点，则）（    ） A．1 B．2 C． D． 二、多选题 6．（23-24高二上·河南南阳·期中）是椭圆上的一点，为坐标原点，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若存在点，使，则椭圆的离心率 D．若的中点在轴上，则 7．（24-25高二下·辽宁朝阳·期中）已知离心率为的椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与该椭圆相交于，两点，点在该椭圆上，且的最小值为，则下列说法正确的是（   ） A．存在点，使得 B．满足为等腰三角形的点有2个 C．若，则的面积为 D． 8．（24-25高二下·广东深圳·期中）已知椭圆的左、右焦点分别是，过坐标原点O的直线l与椭圆C交于P、Q两点．则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的短轴长为2 B．三角形面积的最大值是1 C．的取值范围为 D．以椭圆的长轴为直径的圆与以线段为直径的圆内切 9．（24-25高二下·福建·期中）已知椭圆的两个焦点分别为，是上任意一点，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为12 C．的最小值为3 D．椭圆的离心率越大形状越扁平 三、填空题 10．（23-24高二上·福建泉州·期中）若椭圆过点且与椭圆有相同的焦点，则椭圆的方程为 ． 11．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知是椭圆的左､右焦点，过原点的直线与交于两点，当时，四边形面积为60，且的周长为30，则的离心率大小为 ． 12．（24-25高三上·辽宁大连·期中）已知椭圆和椭圆的离心率分别为和，若，则 ． 13．（24-25高二下·重庆渝中·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，若以为圆心，为半径作圆，过椭圆上一点作此圆的切线，切点为，若恒成立，则该椭圆离心率的取值范围为 . 四、解答题 14．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆C：经过点，、是椭圆C的左、右两个焦点，，P是椭圆C上的一个动点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若点P在第一象限，且，求点P的横坐标的取值范围． 15．（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知，是椭圆：()的左、右焦点，点在椭圆上，线段与轴的交点满足． (1)求椭圆的方程； (2)椭圆上任一动点关于直线的对称点为，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $