2.2.2 基本不等式（二）教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦基本不等式的应用，通过上节课例题再现导入，学生展示后教师总结“和定积最大、积定和最小”及“一正二定三相等”条件，搭建前后知识支架，引出应用技巧。 以数学抽象、逻辑推理为核心，通过单“元”双“元”问题（如配凑、裂项构造）和几何解释探究，落实使用条件。培养学生建模与运算能力，为教师提供分层练习和素养导向教学路径，提升课堂效率。

高一年级 学科：数学 组编人：高一数学组 审核人：张学杰 2025—2026学年上学期高一年级数学学科导学案 第二章 一元二次函数 方程和不等式 年级： 学科组： 姓名： 第一课时：2.2 基本不等式（二） 【课标解读】 1 本节课是人教A版2019必修第一册第二章“一元二次函数、方程与不等式”中的2.2节“基本不等式”第1课时。内容包括基本不等式 （a>0，b>0）的代数表述、证明方法（作差法与分析—综合法）、几何解释（“半径不小于半弦”），以及利用基本不等式解决“和定积最大、积定和最小”两类最值问题的模型与应用条件“一正、二定、三相等”。 2 本节内容是在学生已经学习了等式性质与不等式性质、重要不等式 a²+b²≥2ab 的基础上，进一步通过代数变形与几何直观引出并研究“基本不等式（a>0，b>0）”。通过具体实例与图形构造，引导学生理解基本不等式的代数结构、证明方法和几何意义，并提炼出“一正、二定、三相等”的使用条件，进而将基本不等式抽象为解决“和定积最大、积定和最小”两类最值问题的数学模型。基本不等式是衔接代数与几何、不等理论与函数最值的关键节点，也是后续学习函数单调性、极值与优化问题的重要工具。通过本节课的学习，学生将进一步提升数学抽象、逻辑推理、直观想象及数学建模等核心素养。 【核心素养】 ‌数学抽象‌：从实际问题中提炼数学模型，理解符号化表达的核心意义。 ‌‌逻辑推理‌：从具体实例归纳规律，用严谨方法（如几何直观）验证结论。 ‌数学建模‌：将不等式工具用于优化问题或模型构建，解决现实约束。 数学运算：通过代数变形和逻辑推理求解极值或证明不等式。‌‌‌ 【学习目标】 （1） 知道基本不等式的内容，明确基本不等式就是“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”； （2） 会利用不等式的性质证明基本不等式，能说明基本不等式的几何意义； （3） 能结合具体实例，明确基本不等式的使用条件和注意事项，即“一正、二定、三相等”； （4） 能用基本不等式模型识别和理解实际问题，能用基本不等式求最大值或最小值，在解决具体问题的过程中，感受从特殊到一般、转化与化归、数形结合的数学思想方法． 教学重点：通过代数变形与几何构造双路径，理解并掌握基本不等式及“一正、二定、三相等”的使用条件。 教学难点：基本不等式的几何解释及其在求最值问题中的模型识别与规范应用。 第一课时：2.2 基本不等式（二） 学习过程 二次备课 【导】：（5分钟）具体操作策略：（上节课已经分析过这两个例题，本节课要求学生再次展示并能总结出基本不等式的问题本质，由学生再次展示后教师总结） 教材例题再现导入： 例1 已知，求的最小值. 例2 已知x，y都是正数，求证： （1）如果积等于定值P，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值S，那么当时，积有最大值 教师总结：积定和最小；和定积最大 利用基本不等式求最值时，需满足:（一正，二定，三相等） （1）a，b必须是正数. （正） （2）当a+b为定值时，便可求ab的最大值； 当ab为定值时，便可求a+b的最小值. （定） （3）当且仅当a=b时，等式成立. （取等） 【思】（5分钟）具体操作策略：（学生阅读教材45页探究，类比上节课重要不等式的呈现过程，自学深思，勾画圈点，分析归纳，并做好以下记录，要求不交流，不提问，埋头动笔，问题在规定时间内完成，不能在一个问题上耗费太多时间，对不能解决的问题用红笔圈起来，以便在讨论环节提出求解；） （1） 通过类比上节课的方法给下面的图进行定量和变量的设置并标注； 小组任务：讨论其几何关系并得到基本不等式，然后展示；（本次过程和上节课重要不等式类似教师处理可以简单些） 【议—展-评】（15分钟）具体操作策略：（小组讨论以下问题，学生展示，教师点评总结） 探究1：单“元”基本不等式的应用技巧 （1） “和定”“积定”隐藏问题 1.当x>0时，求的最大值；（什么定，写出定式： ） 2.当时，求的最大值；（不是正数怎么办？） 3.已知 （什么定，写出定式： ） （配系数） 5.求的最大值 （什么定，写出定式： ） 6.已知，则的最小值为（    ） 入更号 （2） “积定”的配凑，添项，裂项，分离常熟等构造技巧 7． 若，则函数的最小值为 . （添项） 8． 已知x＜，则f(x)＝4x－2＋的最大值为 （添项） 9． 已知，且，则的最大值是 ． （配系数换元添项） 10． 若，则的最小值是 . （分离常数再构造） 11． 若，则的最小值为 . （分离常数再构造） 12． 函数的最小值为 ． （分离常数再构造） 13．已知，求的最小值 （分离常数再构造） 13． 已知函数的最大值是 ． （同除构造，类比分离参数） 15．当时，函数的最大值为 ． （同除构造，类比分离参数） 探究2：双“元”基本不等式的应用技巧 （1）“和定求和”--1的代换 1．已知，且，，则的最小值是（   ） 2．已知正数、满足，则的最小值为（   ） 3. 已知，且，则的最小值为（    ） 4．若（，），则的最小值为（   ） 5．若正实数x、y满足，则的最小值是 . 6．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是 . （2）“和定求和”--双分母构造 7．已知正数x，y满足，则的最小值是 ． 8．已知x，y都是正数．若，且，则的最小值为 ． 9．已知，且，则的最小值为 . 10．已知实数与满足，且，则的最小值为 ． 11．若，且，则的最小值为 ． 12．已知，且，则的最小值是 . （以上两组题目一定要对比探究，找到学生疑惑点，加强对三相等的取等条件的讨论，以上题目钧作为参考，可在上课过程中适度删减，对比研究） （3）有和有积无常数 13. 已知正实数m，n满足，则的最小值为 14. 若正数满足，则的最小值为 15. 已知为正数，，则的最小值为 （4）有和有积有常数 16. 若，且，则的最小值是 17. 已知，且，则的最小值为 . （从因式分解的角度再看此类型） 18. 已知，则的最小值是 19. 已知，，且，则的最小值为 ． 20. 已知，且，则的最小值为 . 21. 已知，，且，则的最小值是 22. 若实数，满足，则的最大值为 . 教师归纳总结： 利用基本不等式求最值的注意事项 一正:各项必须都是正值. 　　若各项都是正数,则可以直接用基本不等式求最大(小)值;若各项都是负数,则可以提取负号,化为正数后用基本不等式求最大(小)值;若有些项是正数,有些项是负数,则不可以用基本不等式求最大(小)值. 二定: 各项之和或各项之积为定值. 利用基本不等式求最大(小)值有关问题的关键是凑出“和”或“积”为定值,常见的方法技巧如下: ①拆(裂项拆项):对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和,再根据分式中分母的情况对整式进行拆项,为应用基本不等式凑定值创造条件; ②并(分组并项):目的是分组后各组可以单独应用基本不等式,或分组后先对一组应用基本不等式,再在组与组之间应用基本不等式得出最值; ③配(配式、配系数,凑出定值):有时为了挖掘出“积”或“和”为定值,常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法,使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值,或配以恰当的系数后,使积式中的各项之和为定值. 三相等：取等条件一定要验证，等号一定要能取到； 【当堂检测】（针对本节内容的对点练习） (1)整理本节课的题型；（数学积累本） 【总结提升】（知识点和思维方法的总结） 整理并完成学案 让学生自己画一个本节课的思维导图（以下为参考） 1 学科网（北京）股份有限公司 $