第10讲 一元一次方程及其解法（知识点+题型+强化训练） 2025-2026学年沪科版七年级数学上册同步讲义与测试

第10讲 一元一次方程及其解法（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.一元一次方程的定义 2.解一元一次方程——移项 3.解一元一次方程——去括号 4.解一元一次方程——去分母 题型巩固 一、判断是否是一元一次方程 二、判断是否是一元一次方程解 三、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 四、解一元一次方程（二）—去括号 五、解一元一次方程（三）—去分母 六、绝对值方程 七、已知一元一次方程的解，求参数 八、一元一次方程解的关系 强化训练 单选题（8） 填空题（4） 解答题（7） 知识梳理 知识点1.一元一次方程的定义 1. 整式方程的定义    方程的两边都是整式，这样的方程称为整式方程 . 2. 一元一次方程的定义 只含有一个未知数(元)，未知数的次数是 1，且等式两边都是整式的方程叫作一元一次方程 . 一元一次方程具有如下特点： (1)只含有一个未知数； (2) 所含未知数的项的最高次数为 1； (3) 是由整式组成的，即方程中分母不含未知数 . 知识点2.解一元一次方程——移项移项要变号. 1. 移项  把方程中某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫作移项 . 2. 移项的依据  移项的依据是等式的基本性质 1，在方程的两边都加上(或减去) 同一个适当的整式，使含未知数的项集中在方程的一边，常数项集中在另一边 . 3. 移项解一元一次方程的步骤 (1) 移项： 把含有未知数的项移到等号一边，把常数项移到等号另一边； (2) 合并同类项： 把方程变形为 ax=b(a， b 为常数，且a ≠ 0)的形式； (3)系数化为 1： 得到方程的解 x= (a ≠ 0). 知识点3.解一元一次方程——去括号 1. 解含有括号的一元一次方程时，先利用去括号法则去括号，然后通过移项、合并同类项解方程 . 2. 去括号解一元一次方程的步骤   (1) 去括号(按照去括号法则去括号)； (2) 移项； (3) 合并同类项； (4) 将未知数的系数化为 1. 3. 解方程中去括号的顺序 先去小括号，再去中括号，最后去大括号，一般是由内向外去括号，也可以由外向内去括号. 知识点4.解一元一次方程——去分母 1. 解含有分母的一元一次方程时，方程两边同乘各分母的最小公倍数，从而约去分母 . 2. 去分母的依据  等式的基本性质 2. 3. 解一元一次方程的一般步骤 变形名称 依据 具体做法 注意事项 去分母 等式的基本性质 2 方程两边同乘各分母的最小公倍数 (1)不要漏乘不含分母的项； (2)当分子是多项式时，去分母后应将分子作为一个整体加上括号 去括号 分配律，去括号法则 先去小括号，再去中括号，最后去大括号(也可以先去大括号，再去中括号，最后去小括号) (1)不要漏乘括号里面的项； (2)不要弄错符号 移项 等式的基本性质 1 一般把含未知数的项移 到方程的左边，把常数 项移到方程的右边 (1)移项时，移动的项要变号； (2)不要漏项 合并 同类项 合并同类项法则 系数相加，字母及字母的指数不变，把方程化为 ax=b(a ≠ 0)的形式 (1)未知数及其指数不变； (2) 不要漏项 系数化为 1 等式的基本性质 2 在方程 ax=b( a ≠ 0) 的两边同除以 a (或乘以) 得到方程的解为 x= 不要将分子、分母的位置颠倒 题型巩固 题型一、判断是否是一元一次方程 1．（23-24七年级上·安徽淮南·阶段练习）如果关于x的方程是一元一次方程，则m的值为（    ） A． B．2 C．3 D．不存在 2．（2024七年级上·全国·专题练习）下列方程：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）若关于的方程是一元一次方程，则 ． 题型二、判断是否是一元一次方程解 4．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）下列方程的解是的方程是（   ） A． B． C． D． 5．已知是关于的一元一次方程的解，则的值为 ． 6．，，分别是下列哪个方程的解？ （1）； （2）； （3）； （4）． 题型三、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 7．（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）关于的方程与的解相同，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 8．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）按下面的程序计算，若开始输入的值为正数，最后输出的结果为13，则符合条件的的值为 ． 9．（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）当为何值时，关于的方程的解比关于的方程：的解大2． 题型四、解一元一次方程（二）——去括号 10．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）若a，b，c为互不相等的有理数，且，则下列结论正确的是(    ) A． B． C．7 D． 11．（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）若有理数m满足，则m的值是 ． 12．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）解方程：． 题型五、解一元一次方程（三）——去分母 13．（24-25七年级·安徽合肥·开学考试）方程去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）已知是关于x的方程的解，那么关于x的方程的解是 ． 15．（24-25七年级上·安徽池州·期末）解方程： 题型六、绝对值方程 16．若，则“”表示的数可能是（  ） A．0 B．1 C．2 D．4 17．如果，则 ． 18．先阅读下列解题过程，然后解答后面的问题．解方程：． 解：因为，且， 所以原方程可化为或． 由，得； 由，得． 所以原方程的解是或． 试根据上面的思路解下列方程：． 题型七、已知一元一次方程的解，求参数 19．（2023七年级上·安徽阜阳·竞赛）关于x的一元一次方程的解为，则的值为（    ） A．9 B．8 C．5 D．6 20．已知a、b为常数，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是，则ab的值为 ． 21．（24-25七年级上·安徽六安·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于的方程：与方程是“美好方程”，求的值． (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个方程的解为，求的值． (3)若关于的一元一次方程和是“美好方程”，求关于的一元一次方程的解． 题型八、一元一次方程解的关系 22．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 23．若关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ． 24．定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为“成双方程”．例如：方程的解为，方程的解为，因为，所以这两个方程互为“成双方程”． (1)请写出一个一元一次方程，使得它与方程互为“成双方程”； (2)若关于x的方程和互为“成双方程”，求m的值． 强化训练 一、单选题 1．下列方程中：①x﹣2＝；②x＝6；③；④x2﹣4x＝3；⑤0.3x＝1；⑥x＋2y＝0，其中一元一次方程的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．有4位同学对方程的解分别估计如下，其中你认为正确的是（    ）． A． B． C． D． 3．下列各数中，是方程的解的是（    ） A． B． C． D．和 4．下列方程的变形中，正确的是（    ） ① ，变形为；②， 变形为；③，变形为；④，变形为． A．①④ B．②③ C．②④ D．①②③ 5．若关于x的方程的解为，则a的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．小明在解关于的方程时，误将看成了，得到的解为．请聪明的你帮小明算一算，方程正确的解为（   ） A． B． C． D． 7．嘉嘉同学在解关于x的方程时，由于粗心大意，误将等号左边的“”看作了“”，其他解题过程均正确，从而解得方程的解为，则原方程的解是（   ） A． B． C． D． 8．若m、n是有理数，关于x的方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x有至少两个不同的解，则另一个关于x的方程（m+n）x+3＝4x+m的解的情况是（　　） A．有至少两个不同的解 B．有无限多个解 C．只有一个解 D．无解 二、填空题 9．当 时，式子与的值相等． 10．若代数式比的值大1，则 ． 11．已知是关于的一元一次方程的解，则的值为 ． 12．若方程是关于x的一元一次方程，则这个方程的解是 ． 三、解答题 13．解下列方程： (1)； (2)． 14．解方程 (1) (2) 15．解方程： (1)； (2)； (3)． 16．若关于的方程的解与的解相同，求的值． 17．本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小蒙同学的解题过程： 解方程：    解：方程两边同时乘以4，得： ……① 去分母，得：     …………② 去括号，得：   ………………③ 移项，得：    ……………④ 合并同类项，得：      ……………………⑤ 系数化1，得：    ………………………⑥ 上述小蒙的解题过程从第___________步开始出现错误，错误的原因是___________．请帮小蒙改正错误，写出完整的解题过程． 18．如图，一组有规律的图案中，第一个图案是1个边长为正方形，周长为，第二个图案是2个边长为的正方形拼接而成，周长为，第三个图案是3个边长为的正方形拼接而成，周长为，…… (1)第5个图案的周长为_____； (2)第个图案的周长为_____； (3)图案的周长有可能为吗？如果有可能，求出是第几个图案，如果没有可能，请说明理由． 19．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程，”求关于y的一元一次方程的解． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 一元一次方程及其解法（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.一元一次方程的定义 2.解一元一次方程——移项 3.解一元一次方程——去括号 4.解一元一次方程——去分母 题型巩固 一、判断是否是一元一次方程 二、判断是否是一元一次方程解 三、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 四、解一元一次方程（二）—去括号 五、解一元一次方程（三）—去分母 六、绝对值方程 七、已知一元一次方程的解，求参数 八、一元一次方程解的关系 强化训练 单选题（8） 填空题（4） 解答题（7） 知识梳理 知识点1.一元一次方程的定义 1. 整式方程的定义    方程的两边都是整式，这样的方程称为整式方程 . 2. 一元一次方程的定义 只含有一个未知数(元)，未知数的次数是 1，且等式两边都是整式的方程叫作一元一次方程 . 一元一次方程具有如下特点： (1)只含有一个未知数； (2) 所含未知数的项的最高次数为 1； (3) 是由整式组成的，即方程中分母不含未知数 . 知识点2.解一元一次方程——移项移项要变号. 1. 移项  把方程中某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫作移项 . 2. 移项的依据  移项的依据是等式的基本性质 1，在方程的两边都加上(或减去) 同一个适当的整式，使含未知数的项集中在方程的一边，常数项集中在另一边 . 3. 移项解一元一次方程的步骤 (1) 移项： 把含有未知数的项移到等号一边，把常数项移到等号另一边； (2) 合并同类项： 把方程变形为 ax=b(a， b 为常数，且a ≠ 0)的形式； (3)系数化为 1： 得到方程的解 x= (a ≠ 0). 知识点3.解一元一次方程——去括号 1. 解含有括号的一元一次方程时，先利用去括号法则去括号，然后通过移项、合并同类项解方程 . 2. 去括号解一元一次方程的步骤   (1) 去括号(按照去括号法则去括号)； (2) 移项； (3) 合并同类项； (4) 将未知数的系数化为 1. 3. 解方程中去括号的顺序 先去小括号，再去中括号，最后去大括号，一般是由内向外去括号，也可以由外向内去括号. 知识点4.解一元一次方程——去分母 1. 解含有分母的一元一次方程时，方程两边同乘各分母的最小公倍数，从而约去分母 . 2. 去分母的依据  等式的基本性质 2. 3. 解一元一次方程的一般步骤 变形名称 依据 具体做法 注意事项 去分母 等式的基本性质 2 方程两边同乘各分母的最小公倍数 (1)不要漏乘不含分母的项； (2)当分子是多项式时，去分母后应将分子作为一个整体加上括号 去括号 分配律，去括号法则 先去小括号，再去中括号，最后去大括号(也可以先去大括号，再去中括号，最后去小括号) (1)不要漏乘括号里面的项； (2)不要弄错符号 移项 等式的基本性质 1 一般把含未知数的项移 到方程的左边，把常数 项移到方程的右边 (1)移项时，移动的项要变号； (2)不要漏项 合并 同类项 合并同类项法则 系数相加，字母及字母的指数不变，把方程化为 ax=b(a ≠ 0)的形式 (1)未知数及其指数不变； (2) 不要漏项 系数化为 1 等式的基本性质 2 在方程 ax=b( a ≠ 0) 的两边同除以 a (或乘以) 得到方程的解为 x= 不要将分子、分母的位置颠倒 题型巩固 题型一、判断是否是一元一次方程 1．（23-24七年级上·安徽淮南·阶段练习）如果关于x的方程是一元一次方程，则m的值为（    ） A． B．2 C．3 D．不存在 【答案】C 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题主要考查一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义得到，计算求解即可． 【详解】解：∵方程是一元一次方程， ∴， 解得， 故选：C． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）下列方程：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次方程的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查了一元一次方程的定义．熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 根据一元一次方程的定义判断作答即可． 【详解】解：由题意知，①中不是整式方程，故不是一元一次方程，故不符合要求； ②中是一元一次方程，故符合要求； ③中是一元一次方程，故符合要求； ④中最高次数为2，故不是一元一次方程，故不符合要求； ⑤中含有两个未知数，故不是一元一次方程，故不符合要求； 故选：B． 3．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）若关于的方程是一元一次方程，则 ． 【答案】 【知识点】判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查了一元一次方程的定义以及绝对值，牢记“只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程”是解题的关键．利用一元一次方程的定义，可得出关于m的一元一次不等式及含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出m的值． 【详解】解：关于的方程是一元一次方程， ， 解得：. 故答案为：. 题型二、判断是否是一元一次方程解 4．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）下列方程的解是的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是一元一次方程解 【分析】此题考查了一元一次方程的解，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的解的适合方程． 将分别代入四个选项中求解判断即可． 【详解】解：A、将代入， 得， 故选项错误，不符合题意； B、将代入， 得， 故选项错误，不符合题意； C、将代入， 得， 故选项正确，符合题意； D、将代入， 得， 故选项错误，不符合题意． 故选：C． 5．已知是关于的一元一次方程的解，则的值为 ． 【答案】 【知识点】判断是否是一元一次方程解 【分析】本题考查了一元一次方程的解即使方程左右两边相等的未知数的值，正确运用解的定义是解题的关键．把代入求解即可． 【详解】解∶∵是关于的一元一次方程的解， ∴， ∴， 故答案为：． 6．，，分别是下列哪个方程的解？ （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】是方程的解；是方程的解；是方程的解． 【知识点】判断是否是一元一次方程解 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把，，分别代入四个方程中，看方程左右两边是否相等即可得到结论． 【详解】解：把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边相等，故是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边相等，故是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边相等，故是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 把代入方程中，方程左边，方程右边，此时方程左右两边不相等，故不是方程的解； 综上所述，是方程的解；是方程的解；是方程的解． 题型三、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 7．（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）关于的方程与的解相同，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解题的关键是根据题意列出． 先将与分别化为与，再根据关于的方程与的解相同列方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵关于的方程与的解相同， ∴， 解得， 故选：A． 8．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）按下面的程序计算，若开始输入的值为正数，最后输出的结果为13，则符合条件的的值为 ． 【答案】6或或 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】此题考查了一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键．根据结果为13，由程序框图得符合条件x的值即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：； 可得， 解得：； 可得， 解得：， 可得， 解得：，不合题意， 则符合条件的值为6或或， 故答案为：6或或 9．（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）当为何值时，关于的方程的解比关于的方程：的解大2． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，分别解方程求出方程和方程的解，再根据关于的方程的解比关于的方程：的解大2建立关于a的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：解方程得， 解方程得， ∵关于的方程的解比关于的方程：的解大2， ∴， 解得：． 题型四、解一元一次方程（二）——去括号 10．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）若a，b，c为互不相等的有理数，且，则下列结论正确的是(    ) A． B． C．7 D． 【答案】C 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查等式的性质，解题的关键是正确的变形． 把选项中的等式变形为形式即可判断． 【详解】解：由可得，与已知不一致，故选项A错误， 由 可得，与已知不一致，故选项B错误， 由7 可得，与已知一致，故选项C正确， 由可得，与已知不一致，故选项D错误， 故选C． 11．（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）若有理数m满足，则m的值是 ． 【答案】20 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题考查解一元一次方程，去括号，移项，合并同类项，系数化1，求出m的值即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：20． 12．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）解方程：． 【答案】． 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法．按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】解：， 去括号，得， 移项，合并同类项得， 系数化为1，得． 题型五、解一元一次方程（三）——去分母 13．（24-25七年级·安徽合肥·开学考试）方程去分母正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查解一元一次方程（去分母），解题的关键是熟练掌握等式的基本性质．方程左右两边同时乘以各分母的最小公倍数，去分母即可． 【详解】解： 去分母得：． 故选：． 14．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）已知是关于x的方程的解，那么关于x的方程的解是 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，确定参数a的值是解题关键．根据题意，先由一元一次方程的解求参数a，即将代入方程中并解得a值；再解含参数a的一元一次方程，即把a值代入方程中，然后按照去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1等步骤求解即可． 【详解】解：把代入方程中，得 ， 整理可得 解得 ， 把代入方程中，可得 ， 去分母，得 去括号、移项、合并同类项，得 系数化为1，可得 ． 故答案为： 15．（24-25七年级上·安徽池州·期末）解方程： 【答案】 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查解一元一次方程，先去分母，然后去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可得解．解题的关键是掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1． 【详解】去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：． 题型六、绝对值方程 16．若，则“”表示的数可能是（  ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【知识点】绝对值方程 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的加减运算；根据题意可得的绝对值为，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴“”表示的数可能是或 故选：B． 17．如果，则 ． 【答案】4或 【知识点】绝对值方程 【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值的意义解方程即可． 【详解】解：∵， ∴； ∴或 ∴或． 故答案为：4或． 18．先阅读下列解题过程，然后解答后面的问题．解方程：． 解：因为，且， 所以原方程可化为或． 由，得； 由，得． 所以原方程的解是或． 试根据上面的思路解下列方程：． 【答案】或 【知识点】绝对值方程、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了绝对值方程，解一元一次方程等知识点，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 根据题中提供的思路解方程，即：利用绝对值的意义将原方程化为两个一元一次方程，然后求解即可． 【详解】解：， ， ，且， 原方程可化为或， 由，解得：， 由，解得：， 原方程的解是或． 题型七、已知一元一次方程的解，求参数 19．（2023七年级上·安徽阜阳·竞赛）关于x的一元一次方程的解为，则的值为（    ） A．9 B．8 C．5 D．6 【答案】D 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数、判断是否是一元一次方程 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，一元一次方程的解，解一元一次方程，求代数式的值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据一元一次方程的定义得出，求出a的值，再将方程的解代入求解出的值，即可求解． 【详解】解：∵方程是一元一次方程， ∴， 解得：， ∴方程为， 又∵方程的解为， ∴， 解得：， ∴． 故选：D． 20．已知a、b为常数，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是，则ab的值为 ． 【答案】 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题主要考查了方程的解的定义、方程无数解的条件等知识点，正确得到a和b的值是解题的关键． 把代入方程，由k可以取得任意值可得到关于a和b式子，进而求得a和b的值，最后代入代数式计算即可． 【详解】解：把代入方程得， 化简得：， 由于k可以取任意值，则，解得：， ∴． 故答案为：． 21．（24-25七年级上·安徽六安·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于的方程：与方程是“美好方程”，求的值． (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个方程的解为，求的值． (3)若关于的一元一次方程和是“美好方程”，求关于的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2)或 (3)2025 【知识点】已知一元一次方程的解，求参数、一元一次方程解的关系 【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键． （1）先表示两个方程的解，再求解； （2）根据条件建立关于n的方程，再求解； （3）由关于x的一元一次方程和是“美好方程”，可求出的解为，再将变形为，则，从而求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∵关于x的方程与方程是“美好方程” ∴ ∴． （2）解：∵“美好方程”的两个解和为1 ∴另一个方程的解是 ∵两个解的差是8 ∴或 ∴或； （3）解：∵ ∴ ∵关于x的一元一次方程和是“美好方程” ∴关于x的一元一次方程的解为， ∴关于y的一元一次方程可化为 ∴ ∴． 题型八、一元一次方程解的关系 22．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元一次方程解的关系 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义和解法，观察两个方程，利用换元法是解题关键．设，利用“整体换元”的方法根据题中方程的解确定出y的值即可． 【详解】解：设， 方程的解，即为的解， 的解为， ， 解得， 关于的一元一次方程的解为． 故选：D． 23．若关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【知识点】一元一次方程解的关系 【分析】本题考查换元法解一元一次方程，根据题意，易得的解为，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴的解为：； ∴； 故答案为：． 24．定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为“成双方程”．例如：方程的解为，方程的解为，因为，所以这两个方程互为“成双方程”． (1)请写出一个一元一次方程，使得它与方程互为“成双方程”； (2)若关于x的方程和互为“成双方程”，求m的值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) 【知识点】一元一次方程解的关系 【分析】本题考查一元一次方程的解，理解题意并求得方程的解是解题的关键． （1）解方程得，再根据“成双方程”的定义可得与方程互为“成双方程”的解为，据此写出一个方程即可； （2）解方程得，再根据“成双方程”的定义可得的解为，将其代入解得m的值即可． 【详解】（1）解：， 解得：， 则与方程互为“成双方程”的解为， 那么这个一元一次方程可以是（答案不唯一）； （2）解： ， 解得：， ∵关于x的方程和互为“成双方程”， ∴方程的解为， 则， 解得：． 强化训练 一、单选题 1．下列方程中：①x﹣2＝；②x＝6；③；④x2﹣4x＝3；⑤0.3x＝1；⑥x＋2y＝0，其中一元一次方程的个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据一元一次方程的定义：一元一次方程只含有1个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程，进行逐一判断即可． 【详解】解：①x﹣2＝不是整式方程，不是一元一次方程，故不符合题意： ②x=6是一元一次方程，故符合题意： ③和⑤0.3x＝1符合一元一次方程的定义，故符合题意； ④x2﹣4x＝3未知数的最高次不是1，不是一元一次方程，故不符合题意； ⑥x+2y＝0含有两个未知数，不是一元一次方程，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的定义，需注意定义里的每一个条件都要满足，理解掌握定义是解答关键． 2．有4位同学对方程的解分别估计如下，其中你认为正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据解一元一次方程的步骤进行解方程即可求解. 【详解】解：， 移项合并同类项可得：， 系数化为1可得：. 故选D. 【点睛】本题主要考查一元一次方程的解法，解决本题的关键是要熟练掌握一元一次方程的解法. 3．下列各数中，是方程的解的是（    ） A． B． C． D．和 【答案】B 【分析】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法是解题关键．依次移项、合并同类项、系数化1解方程即可． 【详解】解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化1，得， 故选：B． 4．下列方程的变形中，正确的是（    ） ① ，变形为；②， 变形为；③，变形为；④，变形为． A．①④ B．②③ C．②④ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行变形判断即可． 【详解】解：，变形为，故①错误； ， 变形为；故②正确； ，变形为；故③错误； ，变形为，故④正确． 故选C． 5．若关于x的方程的解为，则a的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】使方程左右两边的值相等的未知数的值是该方程的解．将方程的解代入方程可得关于a的一元一次方程，从而可求出a的值． 【详解】解：∵关于x的方程的解为， ∴ 解得 故选D 【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义，解一元一次方程，将代入原方程是解题的关键． 6．小明在解关于的方程时，误将看成了，得到的解为．请聪明的你帮小明算一算，方程正确的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了方程的解的定义和解一元一次方程，掌握方程解的定义和解一元一次方程的方法是关键． 先根据题意得到方程的解为，求出，再代入原方程得到，解方程即可． 【详解】解：根据题意，小明错解的方程为，将代入该方程得： ， 解得：， ∴原方程为：， 解得：， 故选：A． 7．嘉嘉同学在解关于x的方程时，由于粗心大意，误将等号左边的“”看作了“”，其他解题过程均正确，从而解得方程的解为，则原方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求含参数一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的计算方法是解题的关键． 利用“将错就错”的方法求出的值，再将代入原方程即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：的解为， 将代入中，得： ∴， 再将代入中，得： ∴， 故选：B． 8．若m、n是有理数，关于x的方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x有至少两个不同的解，则另一个关于x的方程（m+n）x+3＝4x+m的解的情况是（　　） A．有至少两个不同的解 B．有无限多个解 C．只有一个解 D．无解 【答案】D 【分析】首先解方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x，可得：（6m+3n﹣6）x＝3m+n，再根据方程有两个解的条件可得到m，n的值，然后代入方程（m+n）x+3＝4x+m中即可知道其解的情况． 【详解】解：解方程3m（2x﹣1）﹣n＝3（2﹣n）x 可得：（6m+3n﹣6）x＝3m+n ∵有至少两个不同的解， ∴6m+3n﹣6＝3m+n＝0， 即m＝﹣2，n＝6， 把m＝﹣2，n＝6代入（m+n）x+3＝4x+m中得：4x+3＝4x+m， ∴方程（m+n）x+3＝4x+m无解． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了解含字母系数的一元一次方程，关键是根据解的情况判断字母系数的值． 二、填空题 9．当 时，式子与的值相等． 【答案】3 【分析】此题主要考查了代数式的值相等的问题，根据相等关系构成一元一次方程是解题关键，比较简单．根据两个代数式的值相等列方程即可求解． 【详解】解：根据题意可得， ∴， 解得. 故答案为：． 10．若代数式比的值大1，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解决本题的关键．根据题意即可列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：根据题意得，， 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 故答案为：． 11．已知是关于的一元一次方程的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解即使方程左右两边相等的未知数的值，正确运用解的定义是解题的关键．把代入求解即可． 【详解】解∶∵是关于的一元一次方程的解， ∴， ∴， 故答案为：． 12．若方程是关于x的一元一次方程，则这个方程的解是 ． 【答案】或 【分析】本题考查一元一次方程的定义，解一元一次方程，属于基础题，理解一元一次方程的定义是解题的关键．根据一元一次方程的定义可得，可得出a的值，再解方程即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴， ∴或． 当时，原方程为，解得， 当时，原方程为，解得， 故答案为：或 三、解答题 13．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程.正确掌握相关性质内容是解题的关键．特别注意移项要变号. 【详解】解：（1） 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得； （2） 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 14．解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用去括号，移项，合并同类项解方程即可； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键． 【详解】（1）解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． （2）解： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． 15．解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)y=1； (2)x=-1； (3)x=5.5 【分析】（1）先移项，合并同类项再将系数化为1即可得到方程的解； （2）先去括号，再移项，合并同类项，系数化为1即可得到方程的解； （3）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可得到方程的解． 【详解】（1）解：， 移项，合并同类项得-9y=-9， 系数化为1，得y=1； （2）解： 去括号，得x+1-2x+2=1-3x， 移项，合并同类项，得2x=-2， 系数化为1，得x=-1； （3）解： 去分母，得5（4-x）=3（x-3）-15， 去括号，得20-5x=3x-9-15， 移项，合并同类项，得-8x=-44， 系数化为1，得x=5.5． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，正确掌握解一元一次方程的步骤及法则是解题的关键． 16．若关于的方程的解与的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，先分别求出两个方程的解，再根据两个方程的解相同得出关于的一元一次方程，最后解方程即可求解，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：解方程，得， 解方程，得， ∵两个方程的解相同， ∴， 解得． 17．本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小蒙同学的解题过程： 解方程：    解：方程两边同时乘以4，得： ……① 去分母，得：     …………② 去括号，得：   ………………③ 移项，得：    ……………④ 合并同类项，得：      ……………………⑤ 系数化1，得：    ………………………⑥ 上述小蒙的解题过程从第___________步开始出现错误，错误的原因是___________．请帮小蒙改正错误，写出完整的解题过程． 【答案】②；去分母没有加括号；见解析 【分析】检查小蒙同学的解题过程，找出出错的步骤，以及错误的原因，写出正确的解题过程即可． 【详解】解：上述小蒙解题过程从第②步开始出现错误，错误的原因是去分母没有加括号； 正确解题过程为： 解：方程两边同时乘以4，得： 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得： 系数化1，得： 故答案为：②；去分母没有加括号； 【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18．如图，一组有规律的图案中，第一个图案是1个边长为正方形，周长为，第二个图案是2个边长为的正方形拼接而成，周长为，第三个图案是3个边长为的正方形拼接而成，周长为，…… (1)第5个图案的周长为_____； (2)第个图案的周长为_____； (3)图案的周长有可能为吗？如果有可能，求出是第几个图案，如果没有可能，请说明理由． 【答案】(1)12 (2) (3)可能为，是第1011个图案 【分析】本题考查了图形类规律探索和一元一次方程的应用，正确找到规律是解题的关键； （1）根据前几个图形周长的数据可以得到：第n个图案是n个边长为的正方形拼接而成，周长是，即可求解； （2）根据（1）的结论即得答案； （3）根据得到的规律列出方程求解即可进行判断． 【详解】（1）解：第一个图案是1个边长为正方形，周长为，， 第二个图案是2个边长为的正方形拼接而成，周长为，， 第三个图案是3个边长为的正方形拼接而成，周长为，， …… 所以第n个图案是n个边长为的正方形拼接而成，周长是， 所以第5个图案的周长为cm； 故答案为：12； （2）解：由（1）知：第n个图案是n个边长为的正方形拼接而成，周长是， 故答案为：； （3）解：若，解得， 所以图案的周长可能为，是第1011个图案． 19．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程，”求关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1)9 (2) 或 (3)2022 【分析】（1）先表示两个方程的解，再求解； （2）根据条件建立关于n的方程，再求解； （3）由关于x的一元一次方程和是“美好方程”，可求出的解为x=-2023，再将变形为，则y+1=x=2023，从而求解． 【详解】（1）解：∵3x+m=0 ∴x ∵ ∴x=4 ∵关于x的方程与方程是“美好方程” ∴ ∴m=9． （2）解：∵“美好方程”的两个解和为1 ∴另一个方程的解是1-n ∵两个解的差是8 ∴1-n-n=8或n-（1-n）=8 ∴ 或 ． （3）解：∵ ∴x=-2022 ∵关于x的一元一次方程和是“美好方程” ∴关于x的一元一次方程的解为： x=1-（-2022）=2023 ∴关于y的一元一次方程可化为 ∴y+1=x=2023 ∴y=2022． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $