3.1.1 函数的概念（第1课时）教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦“函数的概念（第1课时）”，通过回顾初中“变量说”，设置判断函数是否相同、正方形周长与正比例函数关系等问题引发认知冲突，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接前后知识。 该资料以问题链驱动概念建构，结合列车运行、工资计算等多情境实例（解析式、表格、图象），引导学生抽象函数三要素，发展数学抽象（数学眼光）、逻辑推理（数学思维），规范符号f(x)表述（数学语言）。如列车运行实例让学生关注定义域，培养严谨性，助力学生深化理解，为教师提供结构化教学路径。

3.1.1 函数的概念（第1课时） 教学目标 （1）能用“变量说”判断具体实例中的函数关系，能用“对应关系说”的语言描述具体实例，能归纳具体实例的共性进而抽象出函数概念，明确定义域、对应法则、值域是函数的三要素，发展数学抽象、逻辑推理的素养. （2）知道对应法则可以用解析式、图象、表格等形式呈现，体会引人符号f表示对应法则的必要性，能 说出符号 y=f（x）， x∈A的含义. 教学重点与难点 教学重点：函数的概念，函数的三要素. 教学难点：函数的概念，对应法则的含义，符号 y=f（x）， x∈A. 教学过程设计 环节一 创设情境，提出问题 引导语：我们的客观世界中存在着各式各样的运动变化现象，例如，长征七号 A遥二运载火箭在发射过程中，离发射点的距离随时间的变化而变化；一个装满水的游泳池在放水的过程中，水面高度随时间的变化而不断降低：我国高铁营业里程逐年增加，已经突破3.5万干米•••••••所有这些都表现为变量间的对应关系，我们可以通过函数模型来刻画，并且通过研究函数模型就能把握相应的运动变化规律。 在初中，我们已经学习了函数的定义为：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们称x是自变量，y是x的函数. 问题1:（1）你能用已学的函数知识判断y=x和y=是否为相同的函数吗？ （2）正方形的周长L与边长a的对应关系为L =4a，而且对于a的每一个确定的值，L都有唯一确的值与其对应，所以L是a的函数，请问这个函数与正比例函数y=4x 是同一个函数吗？ 环节二 抽象概念，内涵辨析 问题2:某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时。 （1）这段时间内，列车行进的路程S（单位：km））与运行时间t（单位：h）的关系如何表示？这是一个 函数吗？请说明理由. （2）有同学想：“根据对应关系S=3501，这趟列车加速到350km/h后，运行1h 就前进了350km.” 这位同学的想法正确吗？ （3）如何更加精准地表述S与t的函数关系？ 【设计意图问题（1）是让学生回顾初中学习的函数概念，用“是否满足定义”来回答，培养学生用定义判断对错的思维习惯；问题（2）激发学生在认知上的冲突，发现不考虑变量范围的不严谨，问题（3）让学生关注到变量t和S的范围，并尝试用更加精准规范的语言表示函数的概念.】 问题3: 某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天.如果公司确定的工资标准是 每人每天350元，而且每周付一次工资，那么： （1）你认为应该怎样确定一个工人每周的工资？ （2）一个工人的工资w（单位：元）是他工作天数d的函数吗？请说明理由. （3）你能仿照问题（1）中对S和t的对应关系的精准刻画，给出这个问题中w 与d的精准表示吗？ 对问题（1）学生给出的答案可能大部分都是w=350d，教师需要引导学生还可以用不同的表示方法， 例如列表格的形式，如下表： 工作天数/天 1 2 3 4 5 6 所得工资/元 350 700 1050 1400 1750 2100 追问： 问题2和问题3中的函数的对应关系一样，它们是同一个函数吗？为什么？ 【引导学生得出结果：判断两个函数是否为同一个函数，不能只是对应关系相同，还要判断自变量的范围是否一样（也可以引导学生用图象来区分这两个不同的函数）.】 【设计意图问题（1）是让学生从变量间的关系的角度判断w与d是否为函数；问题（2）是为了引导学生尝试不同的方法表示函数，为学习抽象的对应关系f做准备；问题（3）让学生模仿问题（1）的方法给出表述，目的是让学生熟练用集合语言和对应关系这种表述方式，同时训练学生的抽象概括能力.再通过追问，使学生思考确定函数的概念需要的基本条件，进一步关注自变量的范围和因变量的范围.】 问题4图3.1-2是某市2016年11月23日的空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）变化图. （1）你能根据图象找到t=8h 时空气质量指数（AQI）的I值吗？ （2）你能根据图象找到这一天内任一时刻t h的空气质量指数（AQI）的I值吗？ （3）你认这里的I是t的函数吗？如果是，你能仿照前面的方式表示1与t的函数关系吗？ 追问1 请问对于时间变量t，AQI的值I范围分别是怎样的？ 追问 2 对于数集 A3=｛10≤t≤24）中的任意一个值t，根据图3.1-2中的数据，你能判断否有唯一对应的I值吗？如何判断？ 【教师在此基础上引导学生从初中函数的定义可知，I是t的函数.用规范的格式表达，】 问题5 国际上常用恩格尔系数，（r=食物女出金额/总支出金额×100%）反映一个地区人民生活质量的高低， 恩格尔系数越低，生活质量越高.表3.1-2是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高. （1）你认为按表3.1-2给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？请说明理由. （2） 如果是，你能仿照前面的表示方法描述这个函数吗？ （3）根据实际情况和恩格尔系数定义，你认为r的取值范围是什么？ 追问 在表中的任意一个年份y，都有唯一的r∈B4与之对应，那反过来，B4中的每个值r一定都有 唯一的y与之对应，这么说对吗？ 【设计意图;与问题3相似，学生对用表格表示的对应关系是否为函数关系的判断存在困难，通过问题和迫问，引导学生思考，教师再加以解释，使学生更好地理解对应关系，为后面抽象出函数的对应关系f做好铺垫，同时进一步明确函数概念的要素。】 问题6 上述问题2～5中的函数有哪些共同特征？你能根据这些特征得出函数概念的本质特征吗？ 【教师做好总结和引导，归纳出四个问题的共同特点： （1） 都包含两个非空数集，用A，B 来表示； （2）都有一个对应关系； （3）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特征：对于数集A中的任意一个数x，按照对应 关系，在数集 B 中都有唯一确定的数y和它对应】 通过上述的归纳，表示对应关系的形式除了解析式、图象、表格之外，还有其他表示方法，为了表示方便，我们引进符号f统一表示对应关系.然后我们可以给出函数的一般性定义： 一般地，设A，B是两个非空数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B 中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B 从集合A到集合B的一个函数， 记作y=f（x），x∈A. 其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域; 与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}⊆B 追问（1）为何不直接让集合B ={f(x)|x∈A}？ （2）请问y等于f 与x 的乘积吗？f（a）与f（x）有什么联系和区别呢？ 【针对问题（1）值域规定为数集 B的子集主要原因是在大多数情形下，无论哪种形式的对应法则，要获 得精准的值域都是十分困难的，但获得函数值的大致范围是相对容易的. 针对问题（2）强调f（a）与f（x）的联系和区别，即f（a）表示当自变量x =a时函数f（x）的取值，是一个确定的函数值；而f（x）其实是变量 ，所以f（a）是f（x）的一个特殊值，是值域中的一个具体元素.】 环节三 例题练习，巩固理解 例1 请用新的函数定义重新刻画初中所学的一次函数、二次函数与反比例函数，刻画时需要注意什么？ 例2 函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个变量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和变化规律.例如，正比例函数y=kx(x≠0）可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等，试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式 y=x（10-x）来描述。 环节四 小结提升，形成结构 问题7：请你带着下列问题回顾本节课学习的内容： （1）函数的定义是什么？其三要素是什么？ （2）你是怎么理解对应关系f的？ （3）与初中的函数概念相比较，你对函数有哪些新的认识？ （4）本节课我们得出函数概念的定义经历了怎样的过程？你能谈谈你的想法吗？ 【（1）判断一个对应关系是不是函数只能通过函数的定义，特别要注意关键词“数集A 中任意一个数在 数集 B 中都有唯一确定的数与之对应”. （2）函数对应关系f的表达形式多种多样，常用的有解析式、图象、表格等，但是本质都是一样的，在 后续学习中需要积累用不同表示法表示对应关系的经验，学会恰当选择合适的表示法刻画函数. （3） 与初中相比较，高中的函数概念明确了自变量的变化范围（定义域），从而可以更加精确地描述变 量之间的规律. （4）教科书构建的函数概念学习的过程是：具体函数→一类函数→“变量说”→归纳共性→“集合一对 应说”→ 概念辨析 →简单应用.】 环节五 目标检测，检验效果 1.一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标.炮弹的射高为845 m，且炮弹距地面的高度h（单位： m） 与时间t（单位：s）的关系h=130t一5t，求函数的定义域与值域，并且用函数的定义描述这个函数. 2.2016年11月2日8时至次日8时（次日的时间前加0表示）某市的温度走势如图所示. （1） 求对应关系为图中曲线的函数的定义域和值域； （2） 根据图像，求这一天12时所对应的温度. 3.集合A、B与对应关系f如图所示， f:A→B是否为从集合A到集合B的函数？如果是，那么定义域、值域与对应关系各是什么？ 4.构建一个问题情境，使其中的变量关系能用解析式来描述. 环节六 布置作业，应用迁移 作业：教科节第12～13页习题3.1第3.8.11.14题 学科网（北京）股份有限公司 $