3.1.1 函数的概念（第1课时）教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册
教学目标
（1）能用“变量说”判断具体实例中的函数关系，能用“对应关系说”的语言描述具体实例，能归纳具体实例的共性进而抽象出函数概念，明确定义域、对应法则、值域是函数的三要素，发展数学抽象、逻辑推理的素养.
（2）知道对应法则可以用解析式、图象、表格等形式呈现，体会引人符号f表示对应法则的必要性，能
说出符号 y=f（x）， x∈A的含义.
教学重点与难点
教学重点：函数的概念，函数的三要素.
教学难点：函数的概念，对应法则的含义，符号 y=f（x）， x∈A.
教学过程设计
环节一 创设情境，提出问题
引导语：我们的客观世界中存在着各式各样的运动变化现象，例如，长征七号 A遥二运载火箭在发射过程中，离发射点的距离随时间的变化而变化；一个装满水的游泳池在放水的过程中，水面高度随时间的变化而不断降低：我国高铁营业里程逐年增加，已经突破3.5万干米•••••••所有这些都表现为变量间的对应关系，我们可以通过函数模型来刻画，并且通过研究函数模型就能把握相应的运动变化规律。
在初中，我们已经学习了函数的定义为：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们称x是自变量，y是x的函数.
问题1:（1）你能用已学的函数知识判断y=x和y=
是否为相同的函数吗？
（2）正方形的周长L与边长a的对应关系为L =4a，而且对于a的每一个确定的值，L都有唯一确的值与其对应，所以L是a的函数，请问这个函数与正比例函数y=4x 是同一个函数吗？
环节二 抽象概念，内涵辨析
问题2:某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时。
（1）这段时间内，列车行进的路程S（单位：km））与运行时间t（单位：h）的关系如何表示？这是一个
函数吗？请说明理由.
（2）有同学想：“根据对应关系S=3501，这趟列车加速到350km/h后，运行1h 就前进了350km.”
这位同学的想法正确吗？
（3）如何更加精准地表述S与t的函数关系？
【设计意图问题（1）是让学生回顾初中学习的函数概念，用“是否满足定义”来回答，培养学生用定义判断对错的思维习惯；问题（2）激发学生在认知上的冲突，发现不考虑变量范围的不严谨，问题（3）让学生关注到变量t和S的范围，并尝试用更加精准规范的语言表示函数的概念.】
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问题3: 某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天.如果公司确定的工资标准是
每人每天350元，而且每周付一次工资，那么：
（1）你认为应该怎样确定一个工人每周的工资？
（2）一个工人的工资w（单位：元）是他工作天数d的函数吗？请说明理由.
（3）你能仿照问题（1）中对S和t的对应关系的精准刻画，给出这个问题中w 与d的精准表示吗？
对问题（1）学生给出的答案可能大部分都是w=350d，教师需要引导学生还可以用不同的表示方法，
例如列表格的形式，如下表：
工作天数/天 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
所得工资/元 | 350 | 700 | 1050 | 1400 | 1750 | 2100 |
追问： 问题2和问题3中的函数的对应关系一样，它们是同一个函数吗？为什么？
【引导学生得出结果：判断两个函数是否为同一个函数，不能只是对应关系相同，还要判断自变量的范围是否一样（也可以引导学生用图象来区分这两个不同的函数）.】
【设计意图问题（1）是让学生从变量间的关系的角度判断w与d是否为函数；问题（2）是为了引导学生尝试不同的方法表示函数，为学习抽象的对应关系f做准备；问题（3）让学生模仿问题（1）的方法给出表述，目的是让学生熟练用集合语言和对应关系这种表述方式，同时训练学生的抽象概括能力.再通过追问，使学生思考确定函数的概念需要的基本条件，进一步关注自变量的范围和因变量的范围.】
问题4图3.1-2是某市2016年11月23日的空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）变化图.
（1）你能根据图象找到t=8h 时空气质量指数（AQI）的I值吗？
（2）你能根据图象找到这一天内任一时刻t h的空气质量指数（AQI）的I值吗？
（3）你认这里的I是t的函数吗？如果是，你能仿照前面的方式表示1与t的函数关系吗？
追问1 请问对于时间变量t，AQI的值I范围分别是怎样的？
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