11.第二十八章 锐角三角函数学情调研-【真题圈】2025-2026学年九年级全册数学练考试卷（人教版）

真题圈数学 同步调研卷（下） 九年级RJ12N 11.第二十八章学情调研 8 蝴 (时间：120分钟满分：120分) ☒貿 咖00 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 1.(模考·2023天津南开区一模)c0s45的值为( ) A.⑤ B.② 3 2 C. D.⑤ 2 2.(期中·2023-2024哈尔滨风华中学)在Rt△ABC中，∠C=90°，c0sA=4C=24,则B8C的长列 A.10 B.24 C.5 D.12 3.（月考·2023-2024清华附中)如图，每个小正方形的边长为1，点A,B,C均在格点上，则siB的值是( A.1 3 B. c, 4 D青 A B 站 第3题图 第4题图 第5题图 4.如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C,CD⊥AB于点D,下列用线段比表示 cosa的值，错误的是( A.BD C B.BC B 茶 C. AC D.CD C 5.情境题（月考·2023-2024吉林省第二实验学校）如图是一间外观迷人的A型框架木屋，是年轻 人户外度假住宿的理想选择.正如其名，A型木屋从正面来看呈现字母A的形状，两个侧边斜屋 顶变成建筑的外立面，在顶部相交于点A.已知B,C两点间的距离为6m,∠C=α，则木屋的侧 巡咖 H 边斜屋顶AC的长度为( 锕 A.3sin a m B.3cos am 品 ® C.3 sin m D.3 6.在△ABC中，∠A,∠B均为锐角，且(tanB-√5)(2sinA-√5)=0，则△ABC是() A等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.至少有一个角是60的三角形 7.（模考·2023武汉青山区二模)构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现，在计 算tan15时，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长 CB到点D,使BD=AB,连接AD,得∠D=15,所以m15°=S= 30° 1 2-V3 B 2+V3(2+V3)(2-V3) =2-.类比这种方法，可得tan22.5的值 第7题图 为() A.V2+1 B.2 C.V2-1 D &.在Rt△ABC中，∠C=90°，若△ABC的三边都缩小到原来的行，则sinA的值( A.缩小为原来的 B.放大为原来的3倍C.不变 D.无法确定 9.在锐角△ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,则，a b sinA-sinB=sinC=2R(其中R 为△ABC的外接圆半径)成立.在△ABC中，若∠A=75°，∠B=45°，c=4,则△ABC的外接 圆面积为( A.16π 3 B.64元 C.16元 D.64π 3 10.（月考·2023-2024长沙雅礼教育集团改编)如图，在矩形ABCD中，点E在 DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处.若AB=3,BC=5, 则sin∠DAE的值为( A.0 10 B.9 0 D 第10题图 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.（月考·2023-2024西安交大附中)正切经常用来描述山坡的坡度，若某一山坡在水平方向上每 前进50m就升高30m,那么这个山坡的坡度是 12.若∠A是锐角，且sinA=cosA,则∠A的度数是 13.如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标为(6，y),且OP与x轴正半轴的夹角为 a若tama=等，则Op= P(6,y) 0 第13题图 第14题图 14.（中考·2023武汉市)如图，将45°的∠AOB按如图所示的方式放置在一把刻度尺上，顶点O与 尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm,若按相同 的方式将37的∠AOC放置在该尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为 cm. (结果精确到0.1cm,参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75) 15.（月考·2023-2024清华附中)定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对.例如，在 △ABC中，AB=AC,∠A的正对记作sadA,则sadA=底边=S.若∠A为锐角，simA=号， 腰 AB 则sadA= 16.（月考·2023-2024重庆一中改编)如图，△ABC和△AED均为等腰直角三 角形，∠BAC=∠EAD=90°，AB=AC,AD=AE,点B在线段ED上，已 知AD=4V2,BD=2,则tan∠BCD的值为 三、解答题（本大题共9小题，共72分）》 D 17.(期末·2023-2024哈尔滨道里区)(6分)计算：(1)0s60°-2si血230 第16题图 sin245°+tan45° (2)(sin60°+1)2·(cos30°-1)2. 精品图书 金星教育 18.(6分)如图，在△ABC中，已知∠A=60°，∠B=45°，AC=10,求AB的长. 第18题图 19.(6分)在△ABC中，已知∠C=90°，∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c,且b+c=30, ∠A-∠B=30°，解这个直角三角形， 20.情境题（期末·2023-2024沈阳沈河区）(7分)无人机在实际生活中的应用越来越广泛.如图所 示，某人利用无人机测量教学楼的高度BC,无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点30m, 俯角为55°，距楼顶C点10m,俯角为30°，其中点A,B,C,P在同一平面内.若每层教学楼的 高度约为3.5m,楼顶加盖2m,求该教学楼的层数.（结果保留整数，参考数据：sin55°≈0.82， cos55°≈0.57，tan55°≈1.4) 拒绝盗印 rrreern 第20题图 2 21.(模考·2023北师大附中三模)(9分)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，OD⊥AB交 AC于点E,DE=DC 令 (1)求证：DC是⊙O的切线 (2)若OA=4,OE=2,求c0sD. 8 期 ☒貿 000加 第21题图 22.情境题(8分)如图，一个书架上放着8个完全一样的长方体档案盒，其中左边7个档案盒紧贴书 架内侧竖放，右边一个档案盒自然向左斜放，其顶点D在书架底部，顶点F靠在书架右侧，顶点 C靠在档案盒上，若书架内侧BG的长为60cm,∠DFG=53°，ED长为21cm,求该书架中最多 钟 能竖放几个这样的档案盒.（点A、点B、点C、点D、点E、点F、点G在同一平面内.参考数据： sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33) ⊙ 第22题图 咖 阳 23.(期末·2023-2024沈阳沈河区)(9分)如图，在△ABC中，CA=CB,BD⊥AC于点D,CE⊥AB 于点E,BF=CF,连接DF,EF,过点E作EG∥DF,交CA的延长线于点G. (1)求证：四边形DGEF是菱形 (2)当AB=10,an∠4CE=音时，求四边形DGBF的周长. G F 第23题图 盗印必 关爱学子 拒绝盗印 3 24.（10分)嘉琪在某次作业中得到如下结果： sin27°+sin83°≈0.122+0.992=0.9945，sin22°+sin268°≈0.37P+0.932=1.0018,sin229°+sin261°≈ 04840,872=09873.si37°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000，sim45°+in2450= (9y-1 据此，嘉琪猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，设∠A=a,有sina+sin(90°-a)=1. (1)当a=30时，验证sin2a+sin2(90°-a)=1是否成立. (2)请你对嘉琪的猜想进行证明， 直题圈 精品图书 金星教育 4 25.(11分)【问题呈现】如图①，在边长为1的正方形网格中，连接DN和EC,DN与EC相交 于点P,求tan∠CPN的值. 【方法归纳】求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形.观察 发现，∠CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题.如图①， 取格点M,连接MN,可得MN∥EC,则∠DNM=∠CPN,连接DM,那么∠CPN就变换到 Rt△DMN中 【问题解决】(1)直接写出图①中tan∠CPN的值： (2)如图②，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P,求cos∠CPN的值 D 以 以 ⑦ ② 盗印必 第25题图 关爱学子 拒绝盗印 4答案与解析 六OD∥4C,0D=2AC=5, ∴.△ODF∽△CEF, 5 23.【解(1)如图 210 41 2 第23题答图 (2)B分析：当x>1时，y随x的增大而减小，故B选项错误 (3)4 分析：：正比例函数y=:与函数y=8x的图象都关于 x2+1 原点成中心对称， ∴.两个函数图象的交点也关于原点成中心对称， 即x1=x2,y1=-y2,故x+x2=0,y+y2=0, ∴.原式=(0-2)×(0-2)=4. 24.【解】(1)AB=4,BD=2AD, ·MB=AD+BD=AD+2AD=3MD=4,AD=等 又：0M=3D3) :点D在反比例函数y=的图象上， k=号x3=4 (2)如图，连接BP,依题意得OP 4 =m,CP=4-m,CE=1. △AOP∽△PCE, 器-器即m=咒， 4-m=1, 解得m=1(不合题意，舍去)或 P C m=3,经检验m=3是原方程的 0 根，.OP=3, 第24题答图 ..PC=OC-OP=4-3=1. BC=OA=3, ∴.在Rt△BCP中，由勾股定理得BP=VP+32=√0 25.【解]1)：抛物线y=am2-4x+a-经过坐标原点0， “把(0,0)代入y=am2-4a+a-,解得a=子 ·该抛物线的解析式为y=子2-x (2):抛物线的解析式为y=子2-x=寻x-2)2-1, ∴抛物线的对称轴为x=2,.点A的坐标为(2,0). 过点B(2,-3)作BC⊥y轴，垂足为点C, ∴.点C的坐标为(0，-3). 设直线AC的解析式为y=cx+b(k≠0)，把点A(2,0),C(0, -3)的坐标代人，得2+60解得压= 0 b=-3, =-3. 直线4C的解析式为y=号x-3. 如图，过点D作DH∥y轴，交直 线AC于点H. 设Dnr2-n,则H-3, H D -3 :DH∥y轴，.△HDE∽△COE, B “器=品 第25题答图 :△COE的面积为S,△CDE的面积为S2, 音-器…音恶 SCO' 3 S 3 12 当n=5时，受取得最大值，点D的坐标为5，) (3)m的取值范围为m0或m=1或0<ms2砻 分折：由2)得，点D5号 设直线OD的解析式为y=kx(k,≠O),把点D的坐标代入， 得k=子，“直线OD的懈析式为y=子x 分情况如下： ①当m>0时：（①）抛物线y=m2-15x4与线段OD只有一个 4 公共点，联立解析式，得 -9+ 化简得mx24x+4= 0,根据题意，得1=（-4)2-4m×4=0,∴.m=1. 15 此时抛物线的对称轴为x=-2嘉-号<5， 即交点在线段OD上，符合题意 (当x=5时，m2-芹x4K,解得m<尝，即0m 251 ②当m0时：当x=5时，y=m2-片x4=25m-孕4= 25m-2, :当m<0时，25m-9<2恒成立，.当m<0时，抛物线y= 44 m2华x4与线段OD只有-个公共点 综上所述，m的取值范围是m<0或m=1或0<m<号 11.第二十八章学情调研 1.B 2A【解折在△ABC中，∠C=90,0sA=-号=给，4C =24,.AB=26,.BC=√AB2-AC2=10.故选A 3.C【解析如图，过点A作AD⊥BC于点D, 则D为格点，AD=3,BD=4 在Rt△ABD中，AB=√AD2+BD2= +F=5,s油B=品=号故选C BCD 4.C【解析】：AC⊥BC,CD⊥AB 第3题答图 ,∴.∠a+∠BCD=∠ACD+∠BCD, ∴.∠a=∠ACD, ÷cosa=cos∠4CD=C-%- AC 只有选项C错误，符合题意.故选C. 5.D【解析】过点A作AD⊥BC,垂足为D, 示意图如图.由题意得AB=AC, :BD CD=BC=3m. 在Rt△ACD中，∠C=a, ·4C=CD=3m故选D. cos a cos a B D 6.D【解析】：在△ABC中，∠A,∠B均 第5题答图 为锐角，且(tanB-√5)(2sinA-√5)=0，∴.tanB-√3=0或 2sin4-V5=0,即anB=V5或sA= 2.∠B=60或 ∠A=60°..至少有一个角是60°，故选D. 7.C【解析】如图，在Rt△ABC中， A ∠C=90°，∠ABC=45°，延长CB 到点D,使BD=AB,连接AD,得 456 ∠D=22.5.tan22.5°=4c= B 22.5>D CD 第7题答图 ,1。=2-1,故选C 1+2 8.C【解析】，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ABC的三边都缩 小到原来的，·变化后的三角形与原三角形相似.根据相似 三角形的对应角相等，可知∠A的大小没有发生变化，∴.siA 的值不变，故选C. 9.A【解析】∠A+∠B+∠C=180°， .∠C=180°-∠A-∠B=180°-75°-45°=60°. :6c=2R2R=o=者-号5， c 2 R=号5，S=R=x(借=9元故选A 10.A【解析】：四边形ABCD为矩形，.AD=BC=5,AB =CD=3.由折叠的性质得AF=AD=5,EF=DE.在 Rt△ABF中，BF=√AF2-AB2=√25-9=4，.CF= BC-BF=5-4=1. 设CE=x,则DE=EF=3-x 在Rt△ECF中，CE+FC=EF,.x2+12=(3-x)2, 解得x=号 DE-EF-3xAD+D0 :m∠pME-2张=寻- 10 .故选A. AE 11.3:512.45° 13.10【解析】过点P作PH⊥x轴于点H,如图. :ama=册-号 P(6,以名=号解得y=8, P(6,8),∴.0P=V62+82=10.故答案为10. P6,y) B/C 0 DE 第13题答图 第14题答图 真题圈数学九年级RJ12N 14.2.7【解析】如图，过点B作BD⊥OA于点D,过点C作 CE⊥OA于点E,易得OD=2cm.在△BOD中，∠BDO= 90°，∠DOB=45°，.BD=OD=2cm,则CE=BD=2cm 在△0CE中，∠C0E=37°，∠CE0=90°，.tan37°= OE ≈0.75，.OE≈2.7cm,即0C与尺上沿的交点C在尺上的 读数约为2.7cm.故答案为2.7. 1525【解析]如图，在△ABC中，过点B 作BD上AC,垂足为D.:sinA=号，设 AB为5x,BD为4x,则AD=√AB2-BD2 =(5x)2-(4x)2=3x,.DC AC-AD =5x-3x 2x,.BC=BD2+DC2= V(4x)+(2x)=2x sad 4=BC B = 第15题答图 2=25故答案为25 5x 5 16.号【解析】：∠BAC=LEAD=90,∠EAB=LDAC :AB=AC,AE=AD,.△ABE≌△ACD(SAS), .EB=DC,∠E=∠ADC=45°，∴.∠BDC=90° .AD=42,.DE =8,..EB DC=6, .tan∠BCD=B2 =枝答案为 17.【解1(1)原式= (2)原式= 可j〔-古 18【解】过点C作CD⊥AB于点D,如图， ,∠A=60°，∠B=45°， ÷4D=4Ccos60°=7×10 =5,CD=AC·sin60°=10× 号=s,D==m D =5V5, 第18题答图 ∴.AB=AD+BD=5+5V5. 19.【解】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， B .∠A+∠B=90°. :∠A-∠B=30°， .∠A=60°，∠B=30°， a .b=sin B.c=jc. .b+c=30,.b=10,c=20 h cos B-4, 第19题答图 六a=cos8=20×9-=10w5. 20.【解】如图，过点P作PD⊥AB于点D,过点C作CE⊥PD于 P 点E,则∠PAB=55°，PA= 30m,PC=10m,∠PCE= b--- 30°，BC=DE. 在Rt△PAD中，sin55°=PP AP 0≈02， et A B 第20题答图 答案与解析 解得PD≈24.6m, 在1△PCE中，sm30=瓷=号解得PE=5m, ∴.DE=PD-PE≈19.6m,∴.BC≈19.6m 设该教学楼的层数为m, 由题意得3.5m+2≈19.6，解得m≈5， ∴.该教学楼的层数为5. 21.(1)【证明】连接OC(图略)，DE=DC, .∠DEC=∠DCE. :∠DEC=∠AEO,∴.∠DCE=∠AEO. .DO⊥AB,.∠AOD=90°， .∠EAO+∠AEO=∠EAO+∠DCE=90°. .OA=OC,∴.∠EAO=∠OCA, ∴.∠OCA+∠DCE=∠DC0=90°，.OC⊥CD. 又C为⊙O上的一点，.DC是⊙O的切线. (2)【解】设CD=x,则DE=x,DO=DE+OE=x+2 在Rt△OCD中，OD2=OC2+CD2,即(x+2)2=42+x2, 解得x=3CD=3.0D=5osD=器-号 22.【解】设一个档案盒的宽度DF=xcm, 则DG=60-7x-21=(39-7x)(cm). 在Rt△DFG中，∠DFG=53°， sim∠DFG=8eDG=DF·sn∠DFG, 即39-7x=x·sin53°，解得x≈5， 即一个档案盒的宽度约为5cm, ∴.该书架中最多能竖放这样的档案盒的个数为60÷5=12. 答：该书架中最多能竖放12个这样的档案盒 23.(1)【证明】：CA=CB,CE⊥AB于点E,∴.BE=AE. :BF=CP,·.EF∥CA,EF=3CA ,EG∥DF,EF∥DG,∴.四边形DGEF是平行四边形 BD⊥AC于点D,.∠BDC=90°， DF=CB=]CA.DF=EF, ∴.四边形DGEF是菱形. （2【解1：∠BC=0,m∠4cE=器=号 :AE=3AB=3×10=5,CE=号AB=号×5=12， CA=√AE2+CE2=V5+122=13, F=号C4=克x13=号 :四边形DGBF是菱形，C都oe=4E=4×号=26， 即四边形DGEF的周长为26. 24.(1)【解】当a=30时，sin2a+sin2(90°-a)=sin230°+sin260° =9=+1 2 所以当a=30时，sin2a+sin2(90°-a)=1成立. (2)【证明】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠A=a,则∠B=90°-a, 所以sin2a+sin2(90°-a) -(器)+(-cc AB2 =4B =1. 第24题答图 25.【解】(1)2 分析：：EC∥MN,.∠CPN=∠DNM, ,∴.tan∠CPW=tan∠DWM. .'∠DMW=90°， ∴tan∠CPN=tan∠DNM=D4=22 MN 2 2 (2)如图，取格点D,连接CD,DM CD∥AN, ∴.∠CPN=∠DCM ,△DCM是等腰直角三角形， M .∠DCM=∠CDM=45°， 第25题答图 cos∠CPW=cos∠DCM=Y 2 12.第二十九章学情调研 1.B2.D 3.D【解析】在同一时刻，平行线段在太阳光下的投影平行或重 合，故正方形纸板在太阳光下的投影不可能为梯形.故选D. 4.B【解析】根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯 视图是三角形可判断出这个几何体是三棱柱.故选B. 5.A6.A 7.A【解析】选项A中主视图的底层有两个小正方形，上层只有 右边有一个小正方形；选项B,C,D中主视图的底层有两个小 正方形，上层只有左边有一个小正方形.所以从正面看到的图 形与其他三个不同的是选项A.故选A. 8.A 9.B【解析】由三视图可知此几何体为圆锥，且底面直径为6，高 2 为4，…圆锥的母线长为《) 42=5,·圆锥的侧面积为2× 6π×5=15元.故选B. 10.C【解析】由主视图易得这个几何体共有3层，由俯视图易得 最底层有3个小正方体，右边第一列第二层和第三层的情况有 5种.故选C 11.中心投影 12.24【解析】长方体的体积等于6×4=24.故答案为24. 13.俯视图【解析】该几何体的三视图如图 主视图 左视图 俯视图 第13题答图 三视图中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是俯视图.故 答案为俯视图 14.16 15.(4,0)【解析]：BC∥DB,△ABC∽△ADE,器= 2-0.8.:BC=1.2m,DE=2m,.E(4,0故答案为4,0) 2