11.阶段学情调研(二)-【真题圈】2025-2026学年九年级全册数学练考试卷（北师大版）

真题圈数学 同调研卷（下） 九年级12N 郑 11.阶段学情调研（二） 8 (时间：120分钟满分：120分) ☒貿 1咖 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 1.传统文化（期中·2023-2024济南历城区）榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方 式，是我国工艺文化的传奇.凸出部分叫榫，凹进部分叫卯.如图是某个部件“卯”的图形，它的俯 视图是( 主视方向 第1题图 A B U D 2.（联考·2023-2024深圳龙岗区)一个不透明的袋子里装有若干个白球和15个红球，这些球除颜 色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出1个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸 到白球的频率稳定在0.4左右，则袋中白球约有( 部 A.5个 B.10个 C.15个 D.25个 3.(月考·2023-2024重庆育才中学)若a是方程x2-6x-4=0的根，则a2-6a+1的值为() A.5 B.-5 C.-3 D.3 4.(期中·2023-2024重庆八中)如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为点O,且OC:OF= 3:2,则△ABC的周长与△DEF周长之比为( A.3:2 B.3:5 C.9:4 D.9:5 些咖 H 题) B A 品 闻 第4题图 第5题图 5.（期末·2023-2024沈阳皇姑区)如图，以0为圆心，适当长为半径画弧，与射线OA交于点B,再 以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C,画射线OC,则sin∠AOC的值为( B 3 C② 2 D 2 6.情境题（期中·2023-2024沈阳南昌中学）如图是小明一天看到的一根电线杆的影子的俯视图， 按时间先后顺序排列正确的是( 北 北 北 东 东 东 ① ② ③ ④ 第6题图 A.①②③④ B.④③②① C.④③①② D.②③④① 7.(模考·2023广州外国语学校二模)如图，在△ABC中，∠B和∠C都是锐角，若∠B=a,∠C=B, 则() A.AB·cosB=AC·cosa B.AB·sina=AC·cosf C.AB·sina=AC·sinB 第7题图 D.AB·sinB=AC·sina 8.(月考·2022-2023清华附中)在平面直角坐标系x0y中，反比例函数y=《的图象经过点P(1,m), 且在每一个象限内，y随x的增大而减小，则，点P在( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 9.数据分析（期中·2023-2024福州台江区）已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数值y与自变量x 的部分对应值如下表： -1 0 1 3 3 … y 10 欢5 2 2 则当y>5时，x的取值范围是( A.0<x<4 B.1<x<3 C.x<0或x>4 D.x<0或x>5 10.(期中·2023-2024济南槐荫区)定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称 为“互异二次函数”.如图，在正方形OADC中，点A(0,2),C(2,0),当互异二次函数y=(x-m)2-m 的图象与正方形OADC有交点时，m的最大值和最小值分别是( A.4,-1 D B.5-V7 2 C.4,0 D.5+V17 -1 2 第10题图 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.如果两个相似三角形对应高的比为2：3，那么这两个三角形的面积比为 12.（月考·2023-2024西安交大附中)若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有两个不相等的 实数根，则k的取值范围是 13.（期中·2023-2024济南槐荫区改编)阅读材料：余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角余 弦值关系的数学定理，运用它可以解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者已知三边求 角的问题.余弦定理是这样描述的：在△ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,则三 角形中任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边及这两边的夹角的余弦值的乘积的 2倍.用公式可描述为a2=b2+c2-2 bccos A,b2=a2+c2-2 accos B,c2=a2+b2-2 abcos C.已知在 △ABC中，AB=2,BC=4,∠A=60°，则AC的长为 14.（月考·2023-2024清请华附中)如图，矩形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在反比例 函数y=(k≠0)的图象上，点B的坐标为(4,3，则点E的坐标为 2W ↑y=tc≥0y=苦c≥0 P(C)D A B 第14题图 第15题图 第16题图 15.如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在边CD,BC上，且DC=3DE=3a.将矩形沿直线EF折叠， 使点C恰好落在AD边上的点P处，则FP= 16、如图，平行于x轴的直线4C分别交抛物线片=P(≥0)与，=号x≥0)于B,C两点，过点 C作y轴的平行线，交y于点D,直线DE∥4C交，于点E,则 AB 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 精品 17.(8分)(1)（月考·2023-2024厦门双十中学节选）解方程：x2+2x-1=0. (2)(期末·2022-2023合肥五十中)计算：sin45°+tan60°·cos30°. 18.(期中·2022-2023天津河西区)(6分)已知抛物线y=x2-2x-3. (1)请在如图所示的网格中画出这条抛物线的草图， (2)抛物线有最 点（填“高”或“低”），该点是 (3)利用图形直接回答：当x取什么值时，函数值大于0？ 第18题图 19.情境题（中考·2023长春市）(6分)班级联欢会上有一个抽奖活动，每位同学均参加一次抽奖， 活动规则如下：将三个完全相同的不透明纸杯倒置放在如图所示的桌面上，每个杯子内放入一 个彩蛋，彩蛋颜色分别为红色、红色、绿色.参加活动的同学先从中随机选中一个杯子，记录杯内 彩蛋颜色后放回，重新打乱杯子的摆放位置，再从中随机选中一个杯子，记录杯内彩蛋颜色.若 两次选中的彩蛋颜色不同则获一等奖，颜色相同则获二等奖.用画树状图（或列表）的方法，求某 同学获一等奖的概率 000 第19题图 2 20.传统文化（期末·2023-2024济南槐荫区）(6分)祖冲之设计制造的水碓(du)是一种春米机具 (如图①)，在我国古代科学家宋应星的著作《天工开物》中有详细记载，其原理是以水流推动轮 孢 轴旋转进而拨动碓杆上下春米.图②是碓杆与支柱的示意图，支柱OM高4尺且垂直于水平地面， 物 和 碓杆AB长16尺，OB=3OA.当点A最低时，∠AOM=60°，此时点B位于最高点；当点A位 嫩 于最高点A时，∠A'OM=108.2°，此时点B位于最低点B' ☒烂 (1)求点A位于最低点时与地面的垂直距离 0加0 (2)求B与地面的垂直距离.（参考数据：sin18.2°≈0.31，cos18.2°≈0.95，an18.2°≈0.33） B ① ② 第20题图 数 21.(期中·2023-2024济南市中区)(8分)如图，一次函数y=-2x+8的图象与反比例函数y=(x>0) 的图象交于A(m,6),B(3,n)两，点 金星教 (1)填空：m= ，k= (2)求△OAB的面积 (3)根据图象直接写出不等式-2x+8<的解集. 巡加 第21题图 22.(8分)如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=10,点E在BC边上，DF⊥AE,垂足为F (1)求证：△ADF∽△EAB. (2)若DF=6,则线段EF= 第22题图 23.(8分)在菱形ABCD中，过点B作BE⊥CD于点E,点F在边AB上，AF=CE,连接BD,DF (1)求证：四边形BFDE是矩形 (2)若BD=2√5，BE=4,求BC的长 爱学子 拒绝盗印 第23题图 24.情境题（期末·2023-2024沈阳一二六中学）(10分)某超市销售的一批成本为20元/千克的绿 色健康食品，深受游客青睐，其售价不低于成本价，且不高于52元/千克.经市场调查发现，该 食品每天的销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)之间满足一次函数关系，其图象如图所示. (1)求该食品每天的销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)之间的函数关系式 (2)若该超市每天销售这种绿色健康食品获利2400元，则销售价格为多少？ (3)设销售这种绿色健康食品每天获利w(元)，当销售价格为多少时，每天获利最大？最大利润 是多少元？ 千克) 130 110 0 2535 x元/千克) 第24题图 精品图书 金星教 4 25.(期中·2023-2024福州台江区)(12分)如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(2,0),B(-2, 4),C(-4,0),直线AB与抛物线的对称轴交于点E. (1)求抛物线的表达式 (2)点M在直线AB上方的抛物线上运动，当△ABM的面积最大时，求点M的坐标 (3)若点F为平面内的一点，且以点B,E,C,F为顶点的四边形是平行四边形，请写出符合条件 的点F的坐标. B 第25题图 盗印必劳 关爱学子 拒绝盗印 4答案与解析 设点P的坐标为-+x+4 1 则点D的坐标为x,-2x+4 PD=-43x4-(x+4 1 =-242x=-4424 :-日<0，“当x=4时，PD的长有最大值4 23.【解】(1)①b=-4a. ②m>n.理由： a>0,∴.抛物线开口向上. 点A(-1,m),B(3,n)在抛物线y=ar2+bx+c上，抛物线的 对称轴为直线x=2,且点A(-1,m)到对称轴的距离大于点 B(3,n)到对称轴的距离， ∴.m>n. (2)由题意可知，点A(-1,m)在对称轴的左侧，点B(3,n) 在对称轴右侧或在对称轴上，点C(x。,p)在对称轴的右侧， :对于3<x。<4,都有m>p>n, 点A到对称轴的距离大于点C到对称轴的距离， 任品4-解得号<1≤3,1的取值范围是号<1≤3 +1>4-。 24.【解】(1)，点C为抛物线DCE和抛物线FCG的顶点，它们 的对称轴都为y轴， ∴.可设抛物线DCE的表达式为y=a,x2+50,抛物线FCG的 表达式为y=a,x2+50. :点D(-25,75)在抛物线DCE上，点F(-25,150)在抛物线 FCG上， .75=(-25)2a+50,150=(-25)2a2+50, “4=54=务 一抛物线DCE的表达式为y=方+50，抛物线FCG的表达 式为y=务450 (2)设男士杯中液体与女士杯中液体最上层表面圆的半径分别 为R,r, 在抛物线FCG中，当y=50+30=80时， 由2务2450=80，得=30x25-15x25=2 4 2 .30-(75-50)=5>0,∴.R=25 -r=(25-1525）r=4375x(mm) (3)当50<y<75时， 由抛物线表达式可得=25(050)，P=2(y-50). 由x-2=450m,即250-50)-空0-50)=450， 解得y=74, 则杯中液体最深处的深度为74-50=24(mm). 当公75时，由图形可得心=25，户-空050)， 由元R2-元r2=450m, 得25-0,50)=450，解得y=78, 则杯中液体最深处的深度为78-50=28(mm). 综上，杯中液体最深处的深度为24mm或28mm 25.【解】(1)设抛物线L,的表达式为y=ar2+bx+c, 将点A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)的坐标代入， a-b+c=0, a=1, 得9a+3b+c=0,解得b=-2, c=-3, c=-3, .该抛物线的表达式为y=x2-2x-3. (2)存在. 2 如图，若∠PCD=90°，PC=CD, L 2 作DE⊥y轴于点E. 1oPB以 由y=x2-2x-3=(x-1)2-4,得 -2- 2B4 抛物线L,的顶点坐标为(1，-4)， -y=m 点P的坐标为(1,0). D E ∴.抛物线L,沿直线y=m翻折 后得到的抛物线L,的顶点坐标 第25题答图 为(1,2m+4), .抛物线L,的表达式为y=-(x-1)2+2m+4=-x2+2x+2m+3. ,∠CED=∠POC=∠PCD=90° .∠ECD=90°-∠PCO=∠OPC 又CD=PC,.△CED≌△POC(AAS), .CE=P0=1,ED=OC=3,∴.D(3,-4). :点D在抛物线L2上， ∴.-9+6+2m+3=-4,解得m=-2, .抛物线L,的表达式为y=-x2+2x-1. 若∠CPD=90°，PC=PD,用同样的方法可求得D(4,-1), .-16+8+2m+3=-1,解得m=2, .抛物线L,的表达式为y=-x2+2x+7. 综上所述，抛物线L,的表达式为y=-x2+2x-1或y=-x2+2x+7. 11.阶段学情调研（二） 1.B 2.B【解析】由题意知，摸到红球的频率稳定在0.6左右，袋中 装有若干个白球和15个红球，∴袋中球的总数为15÷0.6= 25,.袋中白球约有25-15=10（个）.故选B. 3.A【解析】a是方程x2-6x-4=0的根，∴.a2-6a-4=0, ∴.a2-6=4,.a2-6a+1=5.故选A. 4.A5.D6.C 7.C【解析】如图，过点A作AD⊥BC 于点D,则∠ADB=∠ADC=90°： :血B=船s咖C=把，∠B =a,∠C=B,∴.AD=AB·sina, h AD=AC·sinB,.AB·sina= B D 第7题答图 AC·sinB.故选C. 8,A【解析】：反比例函数y=冬的图象在每一个象限内，y 随x的增大而减小，∴.k>0,.这个反比例函数的图象位于第 一、三象限.又：反比例函数y=的图象经过点P(1,m),且 X 1>0,∴.点P在第一象限.故选A. 9.C【解析】根据表格可知抛物线经过点(1,2)，(3,2)，∴.其对称 轴为直线x=2设抛物线经过点(a,5,a≠0，则生9=2，解 得a=4.观察表格发现，当x<2时，y随着x的增大而减小；当 x>2时，y随着x的增大而增大，∴.当y>5时，x的取值范围是 ex<0或x>4.故选C. 10.D【解析】由题意可得，互异二次函数y=(x-m)2-m图象的 顶点(m,-m)在直线y=-x上.由四边形OADC为正方形，点 A(0,2),C(2,0),得D(2,2).如图，当互异二次函数的图象从 左上向右下移动时，若抛物线与正方形有交点，则先经过点A, 再逐渐经过点O、点D y 点C,最后再经过点D, 且在移动的过程中，两 次经过点A,两次经过 点O、点D和点C, 故只需算出当抛物线 经过点A及点D时m 的值，即可求出m的最 大值及最小值.当互异 二次函数y=(x-mP-m 的图象经过点A(0,2) 第10题答图 时，m=2或m=-1;当互异二次函数y=(x-m)2-m的图象 经过点D(2,2)时，m=57或m=5+亚，当互异二 次函数y=(x-m)2-m的图象与正方形OADC有交点时，m的 最大值和最小值分别是+匝，-1.故选D 2 11.4:9 12.k<5且k≠1【解析】：关于x的一元二次方程(k- 1)x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，.k-1≠0，且4= 42-4(k-1)>0,解得k<5且k≠1.故答案为k<5且k≠1. 13.1+√13【解析】AB=c=2,BC=a=4,∠A=60°，a2 =b2+c2-2bcc0sA,∴.42=b2+22-2b×2c0s60°，即16=b2+4 2b×2×号，解得b=1+V13,b2=1-V3(不合题意，舍去)， .AC=b=1+√3.故答案为1+√3. 14.(6,2)【解析】：点B(4,3)在反比例函数y=(k≠0)的图 象上，k=4×3=12,·反比例函数的表达式为y= x :点E在反比例函敏图象上，可设a号 .由AD=a-4 =ED=12,得a,=6或a,=-2.a>0,·a=6,E(6, 2).故答案为(6,2). 15.2√3a【解析】如图，过点F作 A P(C)D FM⊥AD于M,则MF=DC E =3a.,:四边形ABCD是矩形， .∠C=∠D=90°.，DC =3DE=3a,.CE=2a.由 B 折叠的性质得PE=CE=2a 第15题答图 =2DE,∠EPF=∠C=90°，∴.∠DPE=30°，∴.∠MPF= 180°-90°-30°=60°.在Rt△MPF中，：sim∠MPF=M9 六P=0=沿=25a放答案为25a 3 16.5-√5【解析】设A(0,m)(m>0). AB∥x轴， ∴.点A的纵坐标与点B、点C的纵坐标相同，都是m :点B在抛物线y,=x2(x≥0)上，令y,=m,得x=Vm(负 值舍去，B(√m,m,∴AB=Vm. 真题圈数学九年级12N :点C的纵坐标与点B的纵坐标相同，都是m,点C在抛物 线%=号(x≥0)上， 令y2=m,得x=√5m(负值舍去)，.C(√5m,m). CD∥y轴， ∴.点D的横坐标与点C的横坐标相同，都是√5m, 在y,=x2中，令x=V5m,得y,=5m,∴.D(V5m,5m). DE平行于x轴，∴.点D的纵坐标与点E的纵坐标相同，都 是5m.令y,=5m,得x=5Vm(负值舍去)，.E(5Vm,5m), DE=5m-5m,2骆=5@m=5-V5. m 故答案为5-√5 17.【解1(1)x2+2x-1=0, .x2+2x=1, .x2+2x+1=2, .(x+1)2=2, x+1=士√2， 解得x,=-1+V2,x2=-1-V2 (2)原式= 2 =+ =2. 18.【解】(1)列表如下： -1 01 3 y 0-3 -4 3 0 建系、描点、连线，抛物线的草图如图所示. 912 第18题答图 (2)低(1，-4) (3)当x<-1或x>3时，函数值大于0. 19.【解】树状图如图所示. 开始 红 红 绿 个 红红绿红红绿红红绿 第19题答图 共有9种等可能的结果，其中两次选中的彩蛋颜色不同的结果 有4种，·某同学获一等奖的概率为号 20.【解】(1)如图，过点A作AC⊥OM于点C, .AB 16,OB=30A, 1 4六0A=16×+3=4,0B=30A=12 答案与解析 在Rt△AOC中， ∠A0C=60°，0A=4, :0c=301=2, A'、 ∴.CM=4-2=2, A-- 即点A位于最低点时与地面 D ---B M 的垂直距离为2尺. 第20题答图 (2)如图，过点B作BD⊥OM于点D, 在Rt△B'0D中，OB=12,∠OBD=108.2°-90°=18.2°， :sin∠OBD=OD, OB'' .0D=12×sin18.2°≈12×0.31=3.72， ∴.DM=0M-0D≈4-3.72=0.28， 即最低点B与地面的垂直距离约为0.28尺. 21.【解(1)126 分析：”一次函数y=-2x+8与反比例函数y=《(x>0)的图 象交于A(m,6),B(3,n)两点， .∴.6=-2m+8,n=-2×3+8,k=6m,∴.m=1,n=2,k=6. (2):y=-2x+8, .当x=0时，y=8;当y=0时，x=4. 如图所示，C(0,8),D(4,0), y 则0C=8,0D=4, o=c000x A 4×8-×8xk7×4×=× 1 4×8-7×8×1-7×4×2=8 (3)0<x<1或x>3. D 第21题答图 22.(1)【证明】、四边形ABCD为矩形， .∠B=90°，AD∥BC,.∠AEB=∠EAD. ,DF⊥AE,.∠F=90°=∠B,∴.△ADF∽△EAB (2)【解】3 分析：，四边形ABCD为矩形，∴.AD=BC=10. 在Rt△ADF中，AF=√AD2-DF2=V102-62=8. N△ADF∽△EAB, “能=器即品-9服=4 在Rt△ABE中，AE=√AB2+BE=5, ∴EF=AF-AE=8-5=3. 23.(1)【证明】：四边形ABCD是菱形， ∴.AB∥CD,AB=CD. AF=CE,.FB=ED,∴.四边形DFBE是平行四边形 :BE⊥CD,∴.∠BED=90°，∴.四边形BFDE是矩形. (2)【解】在Rt△BDE中，DE=√BD2-BE2=V(25)2-42=2 :四边形ABCD是菱形， ∴.BC=CD,∴.CE=CD-DE=BC-2. 在Rt△BCE中，BC=CE+BE, 即BC2=(BC-2)2+42,解得BC=5. 24.【解】(1)设y=x+b, ,点(25,130)，(35,110)在函数图象上， 25k+b=130解得k=2 35k+b=110, b=180, .y=-2x+180. (2)由题意，得(x-20)(-2x+180)=2400, 解得x,=50,x2=60(不合题意，舍去). .销售价格为50元/千克. (3)由题意，得 w=(x-20)(-2x+180)=-2x2+220x-3600=-2(x-55)2+2450. :-2<0,且其图象的对称轴为直线x=55, .抛物线的开口向下，当x<55时，y随x的增大而增大 .x≤52， .当x=52时，w有最大值，最大利润为-2(52-55)2+2450= 2432(元). 即当销售价格定为52元/千克时，利润最大，最大利润是2432元. 25.【解】(1)将点A(2,0),B(-2,4),C(-4,0)的坐标代入y= 4a+2b+c=0, 1 a=-2' a2+bx+c,得4a-2b+c=4,解得6=-y=-号-x4 16a-4b+c=0, c=4, (2)如图，过点M作MG∥y轴，交直线AB于点G, 设直线AB的表达式为y=ac+d, 3y4 由2+d=0,解得日=2， -2k+d=4,k=-1, B M .直线AB的表达式为y=-x+2. 设M(m号m2-m+4, G 则G(m,-m+2), G=-方m+2, 第25题答图 56w=号×4×（m2+2=-m4, .当m=0时，△ABM的面积最大，此时M(0,4). (3)设F(x,y), :y=- 2-x4=-143, .抛物线的对称轴为直线x=-1,.E(-1,3). ①当BE为对角线时， -1-2=x-4, 3+4=y, 解得=F(1,7 y=7, -2-4=x-1, ②当BC为对角线时， 解得=5：P(-5,1 4=3+y, y=1, ③当BF为对角线时， 一2+x=-1-4解得 4+y=3, =-3,:F(-3,-1 y=-1, 综上所述，点F的坐标为(1,7)或(-5,1)或(-3，-1) 12.第三章学情调研 1.B 2.B【解析】A.直径是圆中最长的弦，所以A选项说法正确；B.在 同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以B选项说法错 误；C.面积相等的两个圆的半径相等，它们是等圆，所以C选项 说法正确；D.半径相等的两个半圆是等弧，所以D选项说法正 确.故选B. 3.C 4.A【解析】：∠A=∠D=45°，∠APD=∠B+∠D,∴.∠B =∠APD-∠D=80°-45°=35°.故选A. 5.D【解析】：∠BCD+∠DCE=180°，∠A+∠BCD=180°， 609,∠4=∠DCE=60°，.∠B0D