9.第一章 直角三角形的边角关系学情调研-【真题圈】2025-2026学年九年级全册数学练考试卷（北师大版）

真题圈数学 同步调研卷（下） 九年级12N 9.第一章学情调研 饰 8 (时间：120分钟满分：120分) ☒貿 咖咖 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 1.（期末·2022-2023沈阳皇姑区)tan45°的值为( A号 B号 C.1 D.√5 2.(期末·2023-2024天津河西区)如图，在△ABC中，若∠C=90°，则有( AamA=号 製 B.sin4= C C.cos=a A bC 第2题图 D.sinA=号 3.把锐角△ABC的各边都扩大为原来的2倍得到△A'BC,那么∠A,∠A'的余弦值关系是( A.cos A cos A' B.cos 4 =2cos4' C.2cos 4 cos 4' D.不确定的 部 4.(联考·2022-2023济南高新区)小明沿着坡比为1：√3的山坡向上走了300m,则他升高了( ) A.100W3m B.150m C.100W2m D.100m 5.（月考·2023-2024清华附中)如图，每个小正方形的边长为1，点A,B,C均在格点上，则sinB的 值是( ) A.1 c B 第5题图 些加 6.情境题（月考·2023-2024吉林省第二实验学校）如图是一间外观迷人的A H 型框架木屋，是年轻人户外度假住宿的理想选择.正如其名，A型木屋从 锕 正面来看呈现字母A的形状，两个侧边斜屋顶变成建筑的外立面，在顶 品 部相交于点A.已知B,C两点间的距离为6m,∠C=a,则木屋的侧边 国 斜屋顶AC的长度为() A.3·sin a m B.3·cos am 第6题图 C. 3m D.-3m sin a cos a 7.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=12,边AB的垂直平分线EF交AC于点D,连接BD,若 cos∠BDC-,则BC的长是(） A.10 B.8 C.43 D D.2V6 第7题图 8.已知0°<0<45°，则下列各式中正确的是( ) Acos0为 B.tan 0>1 C.sinθ>cos8 D.sin 0<tan 0 9.在△ABC中，∠A,∠B均为锐角，且(tanB-V3)(2sinA-√3)=0，则△ABC是() A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.至少有一个角是60的三角形 10.（月考·2023-2024长沙雅礼教育集团改编)如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE 折叠，使点D落在BC边上的点F处.若AB=3,BC=5,则sin∠DAE的值为( A.0 D 10 B品 第10题图 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.若∠A是锐角，且sinA=cosA,则∠A的度数是 12.（模考·2023北京西城区二模)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(3,4)，设线段OA 与x轴正方向的夹角为a,则tana= B/C a 0 1cm 2 01 3 第12题图 第13题图 第14题图 13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，∠DBC=∠A,若AC=4,cosA= 号，则BD 的长度为 14.(中考·2023武汉市)如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点0与尺下 沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm,若按相同的方 式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约是 cm (结果精确到0.1cm,参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75) 15.思维探索小明喜欢构建几何图形，利用“数形结合”的思想解决代数问题.在计算an22.5时，如 图，在Rt△ACB,∠C=90°，∠ABC=45°，延长CB使BD=AB,连接AD,得∠D=22.5°，所以 tan22.5°=4C=1 2-1=√2-1，类比小明的方法，计算m15的值为 CD-√2+1(W2+10(2-1) 45 22.50 B D D 第15题图 第16题图 16.（月考·2023-2024重庆一中改编)如图，△ABC和△AED均为等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD =90°，AB=AC,AD=AE,点B在线段ED上，已知AD=4V2,BD=2,则tan∠BCD的值 为 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17.(期中·2023-2024济南槐荫区)(6分)计算：2cos30°-tan60°+sin45°cos45°. 精品图书 金星教育 18.(6分)在△ABC中，已知∠C=90°，∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c,且b+c=30, ∠A-∠B=30°，求这个直角三角形的其他元素. 19.情境题(6分)如图，在某海域，某渔政船在P处检测到南偏西45°方向的B处有一艘不明船只， 正沿正西方向航行，该渔政船立即沿南偏西60°方向以20 n mile/的速度去截获不明船只，经过 1.5h,刚好在A处截获不明船只，求不明船只的航行速度.（√2≈1.4，V3≈1.7，结果保留整数） 必 P 西 东 60450 A B 南 第19题图 20.(期末·2022-2023沈阳沈河区)(8分)如图，要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端， 梯子与地面所形成的锐角a一般要满足45°≤α≤60°，现有一个梯子长6m (1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙？（结果保留根号)》 (2)填空：当梯子底端距离墙面3√2m时，梯子与地面所成的锐角α的度数是 °，这时人 安全使用这个梯子（填“能”或“不能”）. B 墙 烯 Q入 A地面 第20题图 21.(8分)如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tanB=cos∠DAC. (1)求证：AC=BD 为 2)若mC=号，BC=12,求D的长 】 必》 ☒图 0000 B 第21题图 安 22.(月考·2023-2024西安铁一中)(8分)如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E, 过点E作EF∥AB交AD于点F,连接BF交AE于点P (1)求证：四边形ABEF是菱形 (2)连接PD,若AB=4,AD=6,∠ABC=60°，求sin∠ADP的值 精品图 金星教育 第22题图 巡咖 3 23.新知探索(9分)嘉琪在某次作业中得到如下结果： sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945， sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018， sin229°+sin261°≈0.482+0.87=0.9873， sin237°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000， sin45°+sin245°= (+j=1 据此，嘉琪猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，设∠A=a,有sina+sin(90°-a)=1. (1)当a=30°时，验证sina+sin2(90°-a)=1是否成立. (2)请你对嘉琪的猜想进行证明· 盗印必 关爱学子 拒绝盗印 5- 24.(9分)【问题呈现】 如图①，在边长均为1的正方形网格中，连接格点D,N和E,C,DN与EC相交于点P,求 tan∠CPN的值 【方法归纳】 求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形.观察发现，∠CPW 不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M,N,可得 MN∥EC,则∠DNM=∠CPN,连接DM,那么∠CPN就变换到Rt△DMN中 【问题解决】 (1)直接写出图①中tan∠CPN的值为 (2)如图②，在边长均为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P,求cos∠CPN的值. D E M ① ② 第24题图 精品图书 金星教育 3 25.情境题（月考·2022-2023深圳高级中学）(12分)如图所示，无人机在生活中的使用越来越广 泛，小明用无人机测量大楼的高度.无人机悬停在空中E处，测得楼AB的楼顶A的俯角是60°， 楼CD的楼顶C的俯角是45°，已知两楼间的距离BD=100√3m,楼AB的高为10m,从楼AB 的A处测得楼CD的C处的仰角是30°(A,B,C,D,E在同一平面内). (1)求楼CD的高 (2)小明发现无人机电量不足，仅能维持60s的飞行时间，为了避免无人机掉落砸伤人，站在A 点的小明马上控制无人机从E处匀速以5m/s的速度沿EA方向返航，无人机能安全返航吗？ E 60yX459 0 B 第25题图 盗印必 关爱学子 拒绝盗印 6-D E 第25题答图 同步调研卷（下） 9.第一章学情调研 1.C2.A3.A 4.B【解析如图，过点B作BE⊥AC于点E,:坡比i=1:√5， :amA=1:V5=5,∠A=30.:AB=30m,BE =号AB=150m·他升高了150m故选B. B D : E 第4题答图 第5题答图 5.C【解析】如图，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D,在 Rt△ABD中，AB=√AD2+BD2=V32+42=5,.sinB= 铝-号故选C 6.D【解析】如图，过点A作 AD⊥BC,垂足为D. 由题意得AB=AC, ·BD=CD=3BC=3m 在Rt△ACD中，∠C=a, 4C=CD=3(m). B cos a cos a 故选D. 第6题答图 7.D【解析】：∠C=90°，cos∠BDC=号，设CD=5x,则BD =7x,.BC=2√6x.,边AB的垂直平分线EF交AC于点D, .'AD BD 7x,.'AC=12x. AC=12,∴.x=1,.BC=2√6.故选D. 8.D【解析】A.由于一个锐角的余弦值随着锐角的增大而减小， 而0°<0<45°，所以0s>c0s60,即0s>号，因此选项A不 符合题意；B.由于一个锐角的正切值随着锐角的增大而增大， 所以tan0<tan45°，即tanf<l,因此选项B不符合题意；C.由 于c0s30r-9,血30-即s血csL,因比选项C不符 合越意：D.由于sm0-悦布阅时边，m0-餐8鹤费。 斜边 而锐角的邻边小于斜边，所以sinO<tanO,因此选项D符合题 意.故选D 9.D【解析】：在△ABC中，∠A,∠B均为锐角，且(tanB- V3)(2sinA-V3)=0,.tanB-V3=0或2sinA-√3=0， 即mB=5或snA-9,:∠B=60或∠A=60 .△ABC中至少有一个角是60°，故选D. 真题圈数学九年级12N 10.A【解析】：四边形ABCD为矩形，.AD=BC=5,AB= CD=3.,矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC 边上的F处，∴AF=AD=5,EF=DE在Rt△ABF中，BF =VAF2-AB2=√25-9=4，∴.CF=BC-BF=5-4=1.设 CE=x,则DE=EF=3-x.在Rt△ECF中，：CE+FC= EFR,2412=(3-x2,解得x-等，·DE=EF=3-x=号， 5 EVAD+DB=而，m∠DE=笼-有 AE 0故选A 10 11.45° 12.号【解析]如图，∠AM0=90°.：点 A A的坐标为(3,4)，.OM=3,AM=4, ma=微-号放答案为号 13.华【解析】：∠C=90,AC=4, M m4=青骆=希=号8 013 =5,.BC=√AB2-AC2=V52-42 第12题答图 =3.:∠DBC=∠A,cos∠D8C=cosA=8器=号 B0-54C-5学3-华故答案为华 41 41 14.2.7【解析】如图，过点B作BD⊥OA于D,过点C作 CE⊥OA于E,在△BOD中， B/C∠ ∠BD0=90°，∠D0B=45°， .CE=BD=OD=2cm.在 △OCE中，∠C0E=37°， 0 DE A ∠C80=90,m39-器 第14题答图 ≈0.75，.OE≈2.7cm,即0C与尺上沿的交点C在尺上的 读数约是2.7cm故答案为2.7. 15.2-√5【解析】如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC= 30°，延长CB使BD=AB,连接AD,得∠D=15°.设AC=1,则 BA=BD=2,BC=V3,∴.CD=BC+BD=2+V3.在Rt△ACD 中，m5=n0=品-25=2-5.放答案为2-5 30° B 15°D 第15题答图 16.号【解析】：∠BAC=∠EAD=90°，·.∠EAB=∠DAC AB=AC,AD=AE,∴△ABE≌△ACD(SAS),.EB= DC,∠E=∠ADC=45°，.∠BDC=90°.：AD=4V2, DE=8EB=DC=6,m∠BcD=8e=名=号 故答案为号 (解原式=2×怎-5+号×号=5-5+分 2 18.【解】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∴∠A+∠B=90°. ∠A-∠B=30°， .∠A=60°，∠B=30°， b=sin B.c=7c. 1 ,b+c=30,.b=10,c=20. 答案与解析 cosB-=8,a=ecosB=20×9=105. 北 -东 60450 b A∠ B -Q 第18题答图 第19题答图 19.【解】如图，过点P作PQ垂直AB,交AB的延长线于点Q. 由题意得AP=1.5×20=30(n mile), ∴.在△APQ中，AQ=AP·sin60°=15N3 n mile, PQ=AP·cos60°=15 n mile.. :在△BQP中，∠BPQ=45°，.BQ=PQ=15 n mile, .4B =AQ-BQ =(153-15)(n mile), ·得≈7 n mile/h). 答：不明船只的航行速度约是7 n mile/.h 20.【解】(1)由题意可知AB=6m, 'sin aBCABin e, 当a=60时，此时8c有最大值，BC=6x9=35a。 (2)45能 分析：由题意可知AC=3V2m, a=怨-9-号a=5 此时人能够安全使用这个梯子. 21.(1)【证明】.AD是BC上的高， ∴∠ADB=90°，∠ADC=90°. 在Rt△ABD和Rt△ADC中， :tnB=品os∠DMC=0,mB=as∠DMC, ÷品-0a4C=加 2解在t△ADC巾，mC=是. 故可设AD=12k,则AC=13k, .∴.CD=VAC2-AD2=5k BC BD+CD,AC BD,..BC 13k+5k 18k. 由已知BC=12,18k=12,k=号， AD=12k=12×号=8 22.(1)【证明】：四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC :EF∥AB,∴.四边形ABEF是平行四边形 AD∥BC,∴∠DAE=∠AEB. AE平分∠BAD,∴.∠DAE=∠BAE.∴.∠BAE=∠AEB AB=BE,四边形ABEF是菱形 (2)【解过点P作PH⊥AD于H,如图所示 ,四边形ABEF是菱形，∠ABC= AH 60°，AB=4,.AB=AF=4, ∠ABF=∠AFB=30°，AP⊥BF, AP=34B=2 E ,PH⊥AD, 第22题答图 .∠APH=∠AFB=30°， ∴AH=2AP=1,PH=5AH=5, .DH=AD-AH=6-1=5, PD=PH2+DH2=3+52=27, im20-器焉-得 23.(1)【解】当a=30时，sin2a+sin2(90°-a)=sin230°+sin260° =⑨（旷-子1 所以当a=30时，sin2a+sin2(90°-a)=1成立. (2)【证明】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，设∠A=a,则 ∠B=90°-a,所以sin2a+sin2(90°-a) A -(+(-℃+c AB2 =g=1 B 第23题答图 24.【解】(1)2 分析：.∠DMN=90°， tam∠CPN=tam∠DM=0=22=2 MN√2 故填2. (2)如图，取格点D,连接CD,DM ,·CD∥AN,.∠CPN=∠DCM ,△DCM是等腰直角三角形， ∴.∠DCM=∠CDM=45°， M ieos∠CPN=cas∠DCM=号 第24题答图 25.【解】(1)如图，过点A作AF⊥CD,垂足为F 由题意得AB=DF=10m,AF=BD=100N3m, 在Rt△AFC中，∠CAF=30°， CF=AF.tam30°=105x9=1o0(m）, .CD=CF+DF=100+10=110(m), ∴.楼CD的高为110m F 60°y 459 H 30.E B D 第25题答图 (2)在Rt△AFC中，∠CAF=30°，CF=100m, .AC=2CF=200(m). 由题意得GH∥AF ∴.∠EAF=∠GEA=60°， .∠EAC=∠EAF-∠CAF=30° .∠HEC=45°， .∠AEC=180°-∠GEA-∠HEC=75°， .∠ACE=180°-∠AEC-∠EAC=75, .∠AEC=∠ACE=75°，.AE=AC=200m. :无人机从E处匀速以5m/s的速度沿EA方向返航， ∴.无人机返航需要的时间=200÷5=40(s). :40s<60s,.无人机能安全返航