2.第二十二章 二次函数学情调研-【真题圈】2025-2026学年九年级全册数学练考试卷（人教版）

真题圈数学 同步调研卷（上） 九年级RJ12N 恐 2.第二十二章学情调研 (时间：120分钟满分：120分) ☒貿 000 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 1.(月考·2023-2024重庆南开中学)下列函数中，y是x的二次函数的是( A.y=2 B.y=2x x2+1 C.y=vx2+4 D.y=-3x2 2.(期中·2022-2023天津南开区)若二次函数y=ax2+b(a≠0)的图象经过点P(-2,4),则下列各 点中一定在该图象上的是( A.(2,4) B.(-2,-4) C.(4,-2) D.(-4,2) 3.二次函数y=ax2+bx-1(a≠0)的图象经过点(1,1)，则a+b+1的值是( A.-3 B.-1 C.2 D.3 部 4.(期中·2023-2024北京海淀区)已知点A(-1,y,B(-2,y)在抛物线y=3x2上，则y,y,的大 小关系正确的是( 金星多 A.yy2 B.y=y2 C.y-y2 D.不能确定 5.(月考·2023-2024大连三十四中)若二次函数y=x2-2x-1的图象与x轴有两个交点，则k 的取值范围是( 器 A.k>-1 B.k<1 C.k>-1且k≠0 D.k<1且k≠0 些咖 6.（月考·2023-2024长春外国语学校)一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系 H 中的图象可能是( 随 7.(期中·2023-2024武汉汉阳区)抛物线y=-(x+1)2-1可以由抛物线y=-方平移得到，则 下列平移过程正确的是() A.先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 B.先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 C.先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 D.先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 8.情境题为了使居住环境更加美观，某小区建造了一个小型喷泉，水流从地面上的点O喷出，在各 个方向上沿形状相同的抛物线落到地面，某方向上抛物线的形状如图所示，落点A到点O的距离 为4m,水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间近似满足函数关系式y= 心+号x,则水流喷出的最大高度为( 4.m B.5m cm 0 A D.6m 第8题图 9.(期中·2023-2024大连甘井子区)已知二次函数y=4(x-3)2+7,下列结论错误的是( A.图象的对称轴为x=3 B.图象的顶点坐标为(-3,7) C.函数的最小值是7 D.当x>3时，y随x的增大而增大 y 10.(中考·2023广东)如图，抛物线y=ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A, B,C,点B在y轴上，则aC的值为( A.-1 B.-2 0 C.-3 D.-4 拒绝盗印 第10题图 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 2y1=m0 11.开放性问题（期中·2023-2024北京海淀区）写出一个顶点在坐标原 点，开口向下的抛物线的解析式： 12.抛物线y=-5x2+1与y轴交点的坐标为 13.（月考·2023-2024大连三十四中)二次函数y=mx2,y,=2的图 0 象如图所示，则mn(填“>”或“<”). 第13题图 14.抛物线y=ax2-4ax+3a-2(a≠0)恒过定点，则该定点的坐标为 15.若抛物线M:y=x2-(3m-3)x-3与抛物线：y=x2+10x+2n+5关于y轴对称，则m+n= 16.(期中·2023-2024武汉硚口区)抛物线y=ax2-2ax+c经过点(3,0)，其中a,c是常数，且a≠0， c>0.下列四个结论： ①抛物线一定经过(-1,0)：②2a+c>0;③若P,(t+2022,y),P,(t+2023,y,)两点在该抛物线 上，且y,>y,则>-2021；④若m,n(m<n)为方程ax2+2ax+c=p的两个实数根，其中p>0, 则-3<m<n<1. 其中正确的结论是 (填写序号)」 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17.(6分)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-5恰好经过A(2,-9),B(4,-5)两点. (1)求该抛物线的解析式. (2)通过计算说明，点M(-2,7)是否在抛物线上， 18.(期中·2022-2023天津河西区)(6分)已知抛物线y二x2-2x-3. (1)请在如图所示的网格中画出这条抛物线的草图。 (2)抛物线有最 点（填“高”或“低”），该点是 (3)利用图象直接回答：当x取什么值时，函数值大于0？ 第18题图 19.(月考·2023-2024大连三十四中)(6分)如图，在平面直角坐标系x0中，直线y=)+2与x 轴交于点A,与y轴交于点C抛物线y=a+x+c的对称轴是x=-多且经过A,C两点，与x 轴的另一交点为点B. (1)求抛物线的解析式， (2)直接写出当a2+br+c≤x+2时，x的取值范围. 第19题图 20.(8分)已知抛物线y=x2+2x+3的顶点为A,它与y轴的交点为B. (1)求线段AB的长. (2)平移该抛物线，使其顶点在y轴上，且与x轴相交的两交点之间的距离为4，求平移后所得抛 物线的解析式 绝盗印 21.情境题（月考·2023-2024合肥四十八中）(7分)如图，小明的父亲在相距2m的两棵树间拴了 一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面的高度都是2.5，绳子自然下垂 令 呈抛物线状，身高1m的小明距较近的那棵树0.5m时，头部刚好接触到绳子 和 (1)选取合适的点作为原点，建立平面直角坐标系，求出抛物线的解析式 (2)求绳子的最低点离地面的距离 ☒图 0000 25 第21题图 题圈 精品图书 金星教 咖 图 22.(月考·2023-2024吉林大学附中)(8分)如图，抛物线y=-x2+4x+5与x轴交于A,B两点，与y 轴交于C点 (1)A点坐标为 ,B点坐标为 ,C点坐标为 (2)点P是抛物线上第一象限内的一点，若S△4Cp=6,求点P的坐标. 0 B 第22题图 23.(月考·2022-2023华南师大附中)(9分)已知二次函数y=(x-m)2-1(m为常数) (1)求证：不论m为何值，该函数图象与x轴总有两个交点 (2)当1≤x≤3时，y的最小值为3，求m的值 拒绝盗印 24.（月考·2023-2024长春外国语学校)(10分)某品牌服装公司新设计了一款服装，其成本价为 60元/件，在大规模上市前，为了摸清款式受欢迎状况以及日销售量y(件)与销售价格x(元/件) 之间的关系，进行了市场调查，部分信息如表： 销售价格x元/件 80 90 100 110 日销售量y(件) 240 220 200 180 (1)若y与x之间满足一次函数关系，请直接写出函数的解析式： (不用写自变量x的取值范围) (2)若该公司想每天获利8000元，并尽可能让利给顾客，则应如何定价？ (3)为了帮助某山区的小朋友，公司决定每卖出一件服装向希望小学捐款10元，该公司应该如何 定价，才能使每天获利最大？最大利润是多少？（利润用W表示） 精品图书 金星教 25.探究性问题（月考·2023-2024合肥四十八中）(12分)如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴相交于 A(-1,0),B(5,0)两点 (1)求抛物线的解析式 (2)在第二象限内取一点C,作CD垂直于x轴于点D,连接AC,且AD=5,CD=8,将 Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位长度，当点C落在抛物线上时，求m的值 (3)在(2)的条件下，当点C第一次落在抛物线上时记为点E,点P是抛物线对称轴上一点.试探究： 在抛物线上是否存在点Q,使以点B,E,P,Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点 Q的坐标；若不存在，请说明理由. B 盗印必 第25题图 关爱学子 拒绝盗印:A8+D=m>0,m=-号不合题意，舍去， ..m的值为1. 25.【解(1)设经过xs后，△PBQ的面积等于8cm2,则(6-x)· 2x=8,整理，得x2-6x+8=0,解得x=2或x=4. 当一动点到达终点时，另一动点也随之停止， 40≤x≤3x=2 答：经过2s后，△PBQ的面积等于8cm2. (2)不能.理由如下： 设经过ys后，△PBQ的面积等于10cm2,则号(6-y)·2y= 10,整理，得y-6y+10=0,4=(-6)2-4×1×10=-4<0, .∴.原方程无解，∴.△PBQ的面积不能等于10cm2. 2.第二十二章学情调研 1.D 2.A【解析】根据y=ax2+b,可知抛物线的对称轴为y轴.：抛 物线经过点P(-2,4),∴.抛物线也经过点(2,4).故选A 3.D【解析：二次函数y=ar2+bx-1(a≠0)的图象经过点(1， 1),.a+b-1=1,.a+b=2,.a+b+1=3.故选D. 4.A【解析】：抛物线y=3x2的对称轴为y轴，∴.点A(-1,y), B(-2,y,)都在对称轴左侧.又抛物线开口向上，∴.在对称轴左 侧，y随x的增大而减小.·-1>-2，∴y,y2故选A. 5.C【解析】令y=0,可得x2-2x-1=0.二次函数y=x2 2x-1的图象与x轴有两个交点，.k≠0，方程x2-2x-1=0 有两个不相等的实数根，∴.>0，即4+4k>0,解得>-1，∴.k的 取值范围为k>-1且k≠0.故选C. 6.C【解析】A.由抛物线可知a<0,由直线可知a>0,故本选项 错误：B.由抛物线可知a>0,x=一会>0，得6<0，由直线可知 >0,b>0,故本选项错误：C.由抛物线可知a0,x=一会<0， 得b<0,由直线可知a<0,b<0,故本选项正确；D.由抛物线可知 a<0,x=-名<0，得b0,由直线可知a<0,b>0,故本选项错 误.故选C. 7.B 8.A【解析，点A到点0的距离为4m,.A(4,0).把点A(4,0) 的坐标代人y=m4告x得16a+号×4=0，解得a=-号， y=-g4兰x,整理得y=-号-444)=-gx-2丹 兰水流喷出的最大高度为号m故选A 9.B【解析】A.二次函数图象的对称轴为x=3,正确，故此选项 不合题意B.二次函数图象的顶点坐标为(3,7)，错误，故此选 项符合题意.C.·a=4>0,顶点坐标为(3,7)，∴.函数的最小 值是7，正确，故此选项不合题意.D.当x>3时，y随x的增大而 增大，正确，故此选项不合题意.故选B. 10.B【解析】如图，过点A作AH⊥x轴 yA 于点H.四边形ABCO是正方形， R .∴.∠A0B=45°， ∴.∠AOH=45°，∴.AH=OH. 设A(m,m),则B(0,2m), m=am+c, 2m=c, 第10题答图 真题圈数学九年级RJ12N m=-1,a=又c=2m,ac=-2故选B. m 11.y=-x2(答案不唯一)12.(0,1)13.> 14.(1,-2)或(3，-2)【解析】：y=ax2-4ax+3a-2=a(x2-4x+ 3)-2,.当x2-4x+3=0时，二次函数的图象恒过定点，则 x=3或x=1.当x=1时，y=-2;当x=3时，y=-2. 故定点的坐标为(1，-2)或(3，-2).故答案为(1，-2)或(3，-2) 15.号【解析】：抛物线M:y=2-(3m-3)x-3与抛物线M: y=x2+10x+2n+5关于y轴对称，∴.y=(-x)2-(3m-3)(-x)- 3=x2+10x+2n+5,.x2+(3m-3)x-3=x2+10x+2n+5,.3m- 3=10,2m+5=-3,m=号，n=4,mn=号4= 号故答案为} 16.①②④【解析】①：抛物线经过点(3,0)，∴.9a-6a+c=0, .3a+c=0.当x=-1时，y=a+2a+c=3a+c=0,.该抛 物线一定经过(-1,0)，故①正确. ②由①，得c=-3a.c>0,.-3a>0,.a<0.3a+c=0, .2a+c=-a,∴.2a+c>0,故②正确. ③抛物线的对称轴为x=-沿=1，当1=2021时， P(1,y),P2(2,y2）.a<0,yy2,.t=-2021也符合题意， 这与t>-2021矛盾，故③错误. ④，抛物线y=ax2-2ax+c的对称轴为x=1,抛物线y= ax2+2+c的对称轴为x=-1,∴.抛物线y=ax2-2a+c向左 平移2个单位长度得到抛物线y=ax2+2ar+c. ,抛物线y=a2-2a+c经过点(-1,0)，(3,0)， ∴.抛物线y=ax2+2a+c经过点(-3,0)，(1,0). :m,n(m<n)是方程ax2+2ax+c=p的两个实数根， .m,n是抛物线y=ax2+2ax+c与直线y=p交点的横坐标 ”p>0,.-3<m<n<1,故④正确.故答案为①②④. 17.【解】(1)：抛物线经过A(2,-9),B(4,-5), 9=4a+2b-5、a=1, -5=16a+4b-5,b=-4, ∴.抛物线的解析式为y=x2-4x-5. (2)当x=-2时，y=4+8-5=7,∴.点M(-2,7)在抛物线上 18.【解】(1)列表如下： -101 2 3 y … 0-3 -4 -3 0 描点、连线，抛物线的草图如图所示 2y4 -Q12: 第18题答图 (2)低(1，-4) (3)由函数图象知，当x<-1或x>3时，函数值大于0. 9.【解11)由y=方x42可知，当x=0时，y=2,当y=0时， 答案与解析 x+2=0,解得x=-4,A(-4,0,C(0,2). 1 :抛物线y=m4+bxc的对称轴是x=-且经过A,C两点， -=-3 a=- 1 2a=2 2 1c=2. 解得6=-多“y=-方-号x+2 2 16a-4b+c=0, c=2, (2)根据图象可知x的取值范围为x≤-4或x≥0， 20.【解】(1)：y=x2+2x+3=(x+1)2+2,当x=0时，y=3, ∴A点的坐标为(-1,2)，B点的坐标为(0,3)， .AB=V(-1-02+(2-3)2=√2. (2)设平移后的抛物线的解析式为y=x2+k :抛物线平移后与x轴相交的两个交点之间的距离是4， ∴.平移后的抛物线与x轴的交点为(-2,0)，(2,0)， ∴22+k=0,解得k=-4, ∴。平移后所得抛物线的解析式为y=x2-4. 21.【解】(1)如图，建立平面直角坐标系. 设抛物线的解析式为y=ax2+c. 将点(-0.5,1)，(1,2.5)的坐标分别代入y=a2+c,得 （-0.5a+c=l解得 =2, a+c=2.5, c=0.5, ∴.抛物线的解析式为y=2x2+0.5. (2)当x=0时，y=2x2+0.5=0.5, ∴.绳子的最低点离地面的距离为0.5m. 2.5m AO 2m 第21题答图 第22题答图 22.【解】(1)(-1,0)(5,0)(0,5) (2)如图，过点P作PD⊥AB,交AB于点D 设P(m,-m2+4m+5),则D(m,0), ∴.PD=-m2+4m+5,AD=m+1, 可得56c=40:C”=1空-3， 2 cOD-(CO+PD)+4m+5+5) 2 2 =-m3+4m2+10m S6m=4D,PD_m+-2+4m+-m+3m+9m+5 2 2 2 2 S△MCP=S△A0c+S号形cODP-S△AD =3+m+4+10m-m+3nm+9m+5=6. 2 2 可得方程mm=6,解得m,=3,m,=4(舍去)，∴P(3,8), 2 23.(1)【证明】当y=0时，(x-m)2-1=0,即x2-2mx+m2-1=0. .1=4m2-4(m2-1)=4>0, ∴.不论m为何值，该函数图象与x轴总有两个交点 (2)【解】由题意知抛物线的对称轴为x=m, 若m<1,则当1≤x≤3时，y随x的增大而增大， 故当x=1时，y有最小值为3，所以(1-m)2-1=3, 解得m1=3(舍去)，m2=-1. E 若1<m<3,则当x=m时，y有最小值-1，不合题意，舍去. 若m>3,则当1≤x≤3时，y随x的增大而减小， 故当x=3时，y有最小值3，所以(3-m)2-1=3, 解得m,=1(舍去)，m2=5. 综上所述，m的值为-1或5. 24.【解】(1)y=-2x+400 (2)根据题意，得(x-60)(-2x+400)=8000, 解得x,=100,x2=160. :公司要尽可能让利给顾客，∴.应定价为100元. (3)根据题意得W=(x-60-10)(-2x+400)=-2x2+540x-28000 =-2(x-135)2+8450, :-2<0,.当x=135时，W有最大值，最大值为8450. 答：该公司应定价为135元/件，才能使每天获利最大，最大利 润是8450元。 25.【解】(1)，抛物线y=-x2+bx+c与x轴分别交于A(-1,0), B(5,0)两点， 1-b+c=0, 解得 b=4, -25+5b+c=0, c=5, ∴.抛物线的解析式为y=-x2+4x+5. (2)AD=5,且0A=1,.0D=6. 又CD=8,.C(-6,8). 设平移后的点C的对应点为C,则点C的纵坐标为8， 代入抛物线解析式可得8=-x2+4x+5,解得x=1或x=3, .点C的坐标为(1,8)或(3,8) ,C(-6,8),.当点C落在抛物线上时，向右平移了7或9个 单位长度，.m的值为7或9. (3)存在..y=-x2+4x+5=-(x-2)2+9, .抛物线的对称轴为x=2,∴.可设P(2,t). 由(2)可知E点坐标为(1,8) ①当BE为平行四边形的边时，设BE交对称轴于点M,过点E 作EF⊥x轴于点F,过点Q作对称轴的垂线，垂足为N,如图， 则∠BEF=∠BMP=∠QPN. y 在△PQN和△EBF中， ∠QPN=∠BEF, ∠PNQ=∠EFB, PQ=EB, .△PQN≌△EBF(AAS), B .NQ BF OB-OF 5-1=4. 设Q(x,y),则NQ=x-2引， N .x-2=4,解得x=-2或x=6. 当x=-2或x=6时，代入抛物线的解析 第25题答图 式可求得y=-7, .点Q的坐标为(-2，-7)或(6，-7). ②当BE为对角线时，：B(5,0),E(1,8), ∴.线段BE的中点坐标为(3,4)，则线段PQ的中点坐标为 (3,4). 由上可知P(2,t),设Q(p,n),∴.p+2=3×2,解得p=4,把 p=4代入抛物线解析式可求得n=5,∴.Q(4,5). 综上可知，点Q的坐标为(-2，-7)或(6，-7)或(4,5). 3.第二十三章学情调研 A 2.D