22.1.4 二次函数y=ax²＋bx＋c的图象和性质(吃透教材)-【众相原创】2025-2026学年九年级全一册数学分层练（人教版）广西专版

34　 21. 2. 3　 因式分解法 ①0　 ②降次　 ③a= 0　 ④b= 0 例 1　 物体经过约 2. 04 s 落回地面. 【变式】(1)x1 = x2 = 1. 　 (2)x1 = 1,x2 = 1 3 . 【方法总结】(1)0　 (2)积　 (3)0　 ①x+2 = 0 或 x+3 = 0　 ②x1 = -2,x2 = -3 例 2　 (1)x1 = 2,x2 = -5. (2)x1 = 7+ 65 4 ,x2 = 7- 65 4 . (3)x1 = -2,x2 = 1. (4)x1 = 3,x2 = -1. 【方法总结】①直接开平方　 ②配方法　 ③因式分解法　 ④公式法 例 3　 (1)佳琪同学的解法错误,原因是第一步出现错误,方 程两边不能同时除以 x+2. (2)x1 = -2,x2 = 4. ※21. 2. 4　 一元二次方程的根与系数的关系 ①- b a 　 ② c a 　 ③相反数　 ④二次项系数　 ⑤≥ 例 1　 解:(1)Δ= 32 -4×1×1 = 5>0,∴ 方程有两个实数根 x1 , x2 ,∴ x1 +x2 = -3,x1x2 = 1. (2)将原方程整理,得 3x2 +x-3 = 0,Δ= 12 -4×3×( -3)= 37> 0,∴ 方程有两个实数根 x1 ,x2 ,∴ x1 +x2 = - 1 3 ,x1x2 = -1. 例 2　 解:设方程的另一根为 x1 ,∵ x1 +3 = 1,∴ x1 = -2. ∵ x1 ·3 = -2×3 = c,∴ c= -6. 【变式 1】2　 【变式 2】1 例 3　 (1)x1 +x2 -x1x2 = 2. (2)x21 +x 2 2 = 21 4 . (3) 1 x1 + 1 x2 = 5. 例 4　 -3 21. 3　 实际问题与一元二次方程 第 1 课时　 传播、循环、数字问题 ①a(1+x) 2 　 ②n(n -1) 2 　 ③n(n-1) 例 1　 每轮传染中平均一个人传染了 6 个人. 【变式】每轮传染中平均一个人传染了 5 个人. 例 2　 5　 【变式】A　 例 3　 31 第 2 课时　 平均变化率、销售利润问题 ①a(1+x) 2 = b　 ②a(1-x) 2 = b　 ③销售量 例 1　 每月生产成本的下降率为 15%. 【变式】(1)该公司投递快递总件数的月平均增长率为 30%. (2)5 月份投递快递总件数不能达到 45 万件. 例 2　 每件应降价 4 元. 【变式】(1)55 (2) 当这种背包的销售单价为 42 元时, 销售利润是 3 120 元. (3)这种背包的销售利润不可能达到 3 700 元. 理由略. 第 3 课时　 面积问题 ①(a-2x)(b-2x)　 ②(a-x)(b-x)　 ③(a-x)(b-x) 例 1　 两条直角边的长分别为 3 cm,4 cm. 【变式】A 例 2　 上、下边衬的宽为( 40 - 16 5 ) cm,左、右边衬的宽为 (30-12 5 )cm. 【变式】B　 例 3　 垂直于墙的边 AB 的长度为 15 m. 第二十二章　二次函数 22. 1　 二次函数的图象和性质 22. 1. 1　 二次函数 ①y=ax2 +bx+c　 ②常数项　 ③2　 ④二次项 例 1　 解:(1)y= 2x2 -3 是二次函数, 二次项系数是 2,一次项系数是 0,常数项是-3. (2)y= 3x-1 不是二次函数,是一次函数. (3)y= (2x-1)(1-x)= -2x2 +3x-1 是二次函数, 二次项系数是-2,一次项系数是 3,常数项是-1. (4)y= 1 x2 +1 不是二次函数. 【变式】D 例 2　 m= 1 2 n(n-1)　 是　 例 3　 y= 50(1+x) 2 例 4　 解:(1)S= 2x2 +4×6x= 2x2 +24x,V= 6x2 . (2)它们都是关于 x 的二次函数. 例 5　 2　 【变式】-1 22. 1. 2　 二次函数 y=ax2 的图象和性质 ①抛物线　 ②抛物线　 ③向上　 ④向下　 ⑤越小　 ⑥y 轴　 ⑦低　 ⑧高　 ⑨减小　 ⑩增大　 􀃊􀁉􀁓增大　 􀃊􀁉􀁔减小 例 1　 4　 1　 0　 1　 4 描点、连线略. (1)开口向上　 (2)对称轴是 y 轴 (3)当 x<0 时,y 随 x 的增大而减小;当 x>0 时,y 随 x 的增 大而增大(答案不唯一) 例 2　 解:画图象略. 这些抛物线的特点:当 a> 0 时,开口向上,有最小值,在对 称轴左侧,y 随 x 的增大而减小;在对称轴右侧,y 随 x 的增 大而增大. 当 a<0 时,开口向下,有最大值,在对称轴左侧,y 随 x 的增 大而增大;在对称轴右侧,y 随 x 的增大而减小. 【变式】①③② 22. 1. 3　 二次函数 y=a(x-h) 2+k 的图象和性质 第 1 课时　 二次函数 y= ax2 +k 的图象和性质 ①向上　 ②向下　 ③y 轴　 ④(0,k)　 ⑤减小　 ⑥增大 ⑦增大　 ⑧减小　 ⑨k　 ⑩k 例 1　 8　 4. 5　 2　 0. 5　 0　 0. 5　 2　 4. 5　 8 9　 5. 5　 3　 1. 5　 1　 1. 5　 3　 5. 5　 9 7　 3. 5　 1　 -0. 5　 -1　 -0. 5　 1　 3. 5　 7 描点、连线略. 向上　 y 轴　 (0,0) 　 向上　 y 轴　 (0,1) 　 向上　 y 轴　 (0,-1) 【思考 1】答:a 决定开口方向和开口大小:当 a> 0 时,开口 向上;当 a<0 时,开口向下; | a |越大,开口越小. 【思考 2】答:k 决定顶点的纵坐标. (答案不唯一,合理即 可) 例 2　 (1)上　 1　 (2)下　 1　 (3)下　 1　 (4)上　 1 (5)下　 2　 (6)上　 2　 【思考】上　 下　 | k | 例 3　 -6≤y≤-2 第 2 课时　 二次函数 y= a(x-h) 2 的图象和性质 ①向上　 ②向下　 ③x=h　 ④(h,0)　 ⑤减小　 ⑥增大 ⑦增大　 ⑧减小　 ⑨0　 ⑩0 例 1　 -4. 5　 -2　 -0. 5　 0　 -0. 5　 -2　 -4. 5 -2　 -0. 5　 0　 -0. 5　 -2　 -4. 5　 -8 -8　 -4. 5　 -2　 -0. 5　 0　 -0. 5　 -2 描点、连线略. 向下　 y 轴　 (0,0)　 向下　 x= -1　 (-1,0)　 向下　 x= 1 (1,0) 【归纳】向上　 低　 向下　 高　 x=h　 (h,0) 例 2　 (1)左　 1　 (2)右　 1　 (3)右　 1　 (4)左　 1 (5)右　 2　 (6)左　 2 【思考】右　 左　 | h | 第 3 课时　 二次函数 y= a(x-h) 2 +k 的图象和性质 ①向上　 ②向下　 ③x=h　 ④(h,k)　 ⑤减小　 ⑥增大 ⑦增大　 ⑧减小　 ⑨k　 ⑩k　 􀃊􀁉􀁓左加右减 例 1　 向上　 (1,-1)　 x= 1　 >1　 <1　 1　 小　 -1 【思考】1　 下　 1 例 2　 (1)该抛物线对应的函数解析式为 y = - 3 4 ( x- 1) 2 + 3 (0≤x≤3) . (2)柱形喷水装置的高度为 9 4 m. 例 3　 B　 【变式】D 22. 1. 4　 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 第 1 课时　 二次函数 y= ax2 +bx+c 的图象和性质 ①向上　 ②向下　 ③- b 2a 　 ④- b 2a 　 ⑤4ac -b2 4a 　 ⑥减小 ⑦增大　 ⑧增大　 ⑨减小　 ⑩小　 􀃊􀁉􀁓大　 􀃊􀁉􀁔- b 2a 　 􀃊􀁉􀁕4ac -b2 4a 例 1　 解:y= 2x2 -4x+6 = 2(x2 -2x+1)-2+6 = 2(x-1) 2 +4, 故该二次函数图象的对称轴为 x= 1,顶点坐标为(1,4) . 例 2　 解:(1)y= x2 -4x+3 = x2 -4x+22 -22 +3 = (x-2) 2 -1, ∴ 抛物线的对称轴为 x= 2,顶点坐标为(2,-1) . (2)由(1)得 y= x2 -4x+3 = (x-2) 2 -1, ∴ 抛物线 y= x2 -4x+3 可以看作是由抛物线 y= x2 先向右平 移 2 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度得到的. (3)画抛物线略. 例 3　 B　 第 2 课时　 用待定系数法求二次函数的解析式 ①(x-h) 2 　 ②(x-x1 )(x-x2 ) 例 1　 能. 这个二次函数的解析式为 y= x2 +2. 例 2　 此抛物线的解析式为 y= -17x2 -34x-8. 【变式】抛物线的解析式为 y= 5 4 x2 -5x. 例 3　 此抛物线的解析式为 y= 5x2 +20x+15. 例 4　 y= 2x2 -4x-6 或 y= -2x2 +4x+6 22. 2　 二次函数与一元二次方程 ①有两个不相等的实数根　 ②有两个相等的实数根 ③无实数根　 ④x<x1 或 x>x2 　 ⑤x1 <x<x2 例 1　 解:(1)画出函数图象略. (2)图象与 x 轴的交点坐标为(-1,0),(3,0) . (3)当 x= -1 或 x= 3 时,y= 0,这里 x 的取值是方程 x2 -2x- 3 = 0 的根. 例 2　 解:(1)x1 = -4,x2 = 1 (2)当 x<-4 或 x>1 时,y>0. (3)当-4<x<1 时,y<0. 例 3　 解:画出函数 y= x2 -3x-2 的图象略. (1)方程 x2 -3x-2 = 0 的近似根为 x1 ≈-0. 6,x2 ≈3. 6. (2)方程 x2 -3x-2 = 2 的实数根为 x1 = -1,x2 = 4. (3)方程 x2 -3x-2 = -3 的近似根为 x1 ≈0. 4,x2 ≈2. 6. 例 4　 D　 例 5　 C 22. 3　 实际问题与二次函数 第 1 课时　 面积问题 例 1　 解:(1)有最小值,最小值为-7. (2)有最大值,最大值为 6. 例 2　 45　 1 350 例 3　 (1) y 与 x 之间的函数关系式为 y = - 2x2 + 40x( 0<x< 20) . (2)当 AB 边的长为 10 m 时,菜园的面积最大,最大面积为 200 m2 . 【变式】BC 为 12 m,AB 为 9 m 时,菜园的面积最大,最大面积 为 108 m2 . 第 2 课时　 销售利润问题 例 1　 25 例 2　 当每副春联的售价定为 35 元时,日销售利润最大,最 大日销售利润是 2 250 元. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 众相原创 分层练·参考答案 吃透教材 28　 众相原创 分层练·广西数学(RJ) 22. 1. 4　 二次函数 y= ax2 +bx+c 的图象和性质 第 1 课时　 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 一阶 教材知识梳理 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质 解析式 y=ax2 +bx+c(a≠0) a 的符号 a>0 a<0 大致图象 开口方向 开口①　 向上　 开口②　 向下　 对称轴 x= ③　 　 　 　 顶点坐标 (④　 　 　 　 ,⑤　 　 　 　 ) 增减性 在对称轴左侧,y 随 x 的增大而⑥　 减小　 ; 在对称轴右侧,y 随 x 的增大而⑦　 增大　 在对称轴左侧,y 随 x 的增大而⑧　 增大　 ; 在对称轴右侧,y 随 x 的增大而⑨　 减小　 最值 有最⑩　 小　 值 有最􀃊􀁉􀁓　 大　 值 当 x= 􀃊􀁉􀁔　 　 　 　 时,y 取得最值,最值为􀃊􀁉􀁕　 　 　 　 二阶 教材母题变式 教材母题 1　二次函数 y=ax2+bx+c化为顶点式 y=a(x-h) 2+k 例 1　 (教材 P37 思考改编)用配方法把二次函数 y= 2x2 -4x+6 化为 y=a(x-h) 2 +k 的形式,并指出该 函数图象的对称轴和顶点坐标. 解:y= 2x2-4x+6= 2(x2-2x+1)-2+6= 2(x-1) 2+4, 故该二次函数图象的对称轴为 x= 1,顶点坐标为(1,4) . 【方法总结】配方的基本步骤:(1)提:提出二次项系数;(2)配:括号内配成完全平方式;(3)化:化 成顶点式. 吃透教材 众相原创 分层练·广西数学(RJ) 29　 教材母题 2　二次函数 y=ax2+bx+c的图象和性质 例 2　 (教材 P37 思考改编)我们已经知道二次函数 y = a(x-h) 2 +k 的图象和性质,能否利用这些知 识来讨论二次函数 y= x2 -4x+3 的图象和性质? (1)你能求出抛物线 y= x2 -4x+3 的对称轴和顶点坐标吗? (2)抛物线 y= x2 -4x+3 可以看作是由抛物线 y= x2 怎样平移得到的? (3)在如图所示的平面直角坐标系 xOy 中,画出抛物线 y= x2 -4x+3. 解:(1)y=x2-4x+3=x2-4x+22-22+3=(x-2) 2-1, ∴抛物线的对称轴为 x= 2,顶点坐标为(2,-1) . (2)由(1)得 y=x2-4x+3=(x-2) 2-1, ∴抛物线 y=x2-4x+3 可以看作是由抛物线 y= x2 先向右平移 2 个单位长度,再向下平移 1 个单 位长度得到的. (3)易知,抛物线 y=x2-4x+3 的开口向上,顶点坐标为(2,-1),与 x 轴的交点坐标为(3,0),(1, 0),故可画出其图象如解图. 教材母题 3　二次函数图象与系数的关系 例 3　 已知经过点( -1,0)且对称轴为 x= 1 的二次函数 y = ax2 +bx+c 的图象如图所示,有以下结论: ①abc>0;②a-b+c<0;③4a+2b+c>0;④2a+b= 0;⑤3a+c<0. 其中正确的结论有 ( B ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 吃透教材 30　 众相原创 分层练·广西数学(RJ) 第 2 课时　 用待定系数法求二次函数的解析式 一阶 教材知识梳理 用待定系数法求二次函数的解析式 (1)步骤:设解析式→代已知点的坐标→解方程(组)→得解析式. (2)所设解析式的形式: 已知条件 应设解析式 任意三个点的坐标 一般式:y=ax2 +bx+c(a≠0) 顶点坐标(h,k) +其他点坐标 顶点式:y=a①　 　 　 　 　 　 　 +k(a≠0) 与 x 轴的两个交点的坐标(x1,0),(x2,0) +其他点 坐标 交点式:y=a②　 　 　 　 　 　 　 (a≠0) 二阶 教材母题变式 教材母题 1　利用“一般式”求二次函数的解析式 例 1　 (教材 P39 探究(2)改编)如果一个二次函数的图象经过( -1,3),(1,3),(2,6)三点,能求出 这个二次函数的解析式吗? 如果能,求出这个二次函数的解析式. 解:能. 设这个二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c(a≠0) . 将(-1,3),(1,3),(2,6)分别代入,得 3=a-b+c, 3=a+b+c, 6= 4a+2b+c, ì î í ï ï ï ï 解得 a= 1, b= 0, c= 2, ì î í ï ï ï ï 所以这个二次函数的解析式为 y=x2+2. 教材母题 2　利用“顶点式”求二次函数的解析式 例 2　 (教材 P39 探究(2)改编)已知抛物线的顶点坐标为( -1,9),并且与 y 轴交于点(0,-8),求此 抛物线的解析式. 解:设抛物线的解析式为 y=a(x+1) 2+9(a≠0) . 把(0,-8)代入解析式,得 a=-17, ∴ y=-17(x+1) 2+9=-17x2-34x-8, 即此抛物线的解析式为 y=-17x2-34x-8. 吃透教材 众相原创 分层练·广西数学(RJ) 31　 【变式】已知抛物线的顶点坐标是(2,-5),且过原点,求抛物线的解析式. 解:设抛物线的解析式为 y=a(x-2) 2-5(a≠0) . 把(0,0)代入解析式,得 a= 5 4 , ∴ y= 5 4 (x-2) 2-5= 5 4 x2-5x,即抛物线的解析式为 y= 5 4 x2-5x. 【方法总结】利用“顶点式”y=a(x-h) 2 +k(a≠0)求二次函数解析式: (1)当抛物线的顶点为原点时,可设函数解析式为 y=ax2; (2)当抛物线的对称轴为 y 轴时,可设函数解析式为 y=ax2 +k; (3)当抛物线的顶点在 x 轴上时,可设函数解析式为 y=a(x-h) 2 . 教材母题 3　利用“交点式”求二次函数的解析式 例 3　 (教材 P40 练习 T1 改编)已知抛物线与 x 轴的交点坐标是( -1,0),( -3,0),且经过点(1,40), 求此抛物线的解析式. 解:设此抛物线的解析式为 y=a(x+1)(x+3)(a≠0) . 把(1,40)代入解析式,得 a= 5, ∴ y= 5(x+1)(x+3)= 5x2+20x+15, 即此抛物线的解析式为 y= 5x2+20x+15. 【方法总结】(1)当抛物线与 x 轴的两个交点的坐标分别为(x1,0),(x2,0)时,抛物线的对称轴为直 线 x= x1 +x2 2 ;(2)当已知抛物线与 x 轴的一个交点坐标+对称轴时,可求出抛物线与 x 轴的另一个交 点的坐标,仍可设交点式. 三阶 易错剖析 易错点　只考虑二次函数的图象开口向上的情况，漏掉开口向下的情况 例 4　 抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的两个交点坐标分别为(-1,0),(3,0),其形状与抛物线 y=-2x2 相同,则 此抛物线的解析式为　 y=2x2-4x-6或 y=-2x2+4x+6　 . 易 错 提 醒 当题目没有明确指出抛物线的开口方向时,一定要分 a>0 和 a<0 两种情况讨论,避免 漏解.