3.第三章 概率的进一步认识学情调研-【真题圈】2025-2026学年九年级全册数学练考试卷（北师大版）

理由：根据题意，得4=(2b)2-4(a+c)(a-c)=0, 化简，得b+c2=a2, 所以△ABC为直角三角形. (3)因为△ABC为等边三角形， 所以a=b=c, 所以原方程可化为x2+x=0, 解得x1=0,x2=-1. 24.【解】(1)6cm12cm 分析：经过6s,AP=6cm,BQ=12cm, 4B 12 cm, .∴.BP=12-6=6(cm). (2)设移动时间为xs.过点Q作QD⊥AB于D,如图， 则∠QDB=90°，.∠DQB=30°， ·DB=号BQ=x 在Rt△DBQ中， 由勾股定理，得DQ=V3x .AP =x,.'.PB 12-x. A P D B :S6sN=2PB·D0, 第24题答图 2-W3x=105, 2 解得x1=10,x2=2. x=10时，2x>12,故舍去，.x=2, .经过2s△BPQ的面积等于10√5cm2. 25(解11)-2- (2),一元二次方程2x2+3x-1=0的两根分别为m,n, 六m+n=-元，mm=-2 3 m4r=(mm)2-2mm=景+1-是. (3)①实数s,t满足2s2+3s-1=0,22+3t-1=0,且s≠t, .s,1是一元二次方程2x2+3x-1=0的两个实数根， 六2243s=1,41=- 4+7s1=446sH=2(243)+s40=2+（- ②油①知s+1=-2,1=-克： 3 1 :2=4=(-4×（=, s=± 2, 1-1=-s=2=±7 s t st 1 2 3.第三章学情调研 1.B2.B 3.A【解析】设红色球有x个，黑色球有y个，由题意得六=15%， 120=45%,解得x=18,y=54,“白色球个数=120-18-54= 48.故选A. 4.A 5.B【解析】根据题意，画出如图所示的树状图， G 真题圈数学九年级12N 共有4种情况，其中落人①号槽的有1种，落 A 入②号槽的有2种，落入③号槽的有1种 P(落入①号槽)=子，P(落入②号槽)=子 B B =分，P(落入③号槽)=子，所以，落人中间 C C2 Cz ②号槽中的小球最多，两侧①号、③号槽的 第5题答图 小球较少.故选B. 6.C 7.B【解析】根据题意列表如下：（钥匙1能打开锁1，钥匙2能 打开锁2，钥匙3都打不开) 类别 锁1 锁2 钥匙1 (锁1，钥匙1) (锁2，钥匙1) 钥匙2 (锁1，钥匙2) (锁2，钥匙2) 钥匙3 (锁1，钥匙3) (锁2，钥匙3) 所有等可能的情况有6种，其中随机取出一把钥匙开任意一把 锁，一次打开锁的情况有2种，则随机取出一把钥匙开任意一 把领，一次打开锁的授率是？一号放选B 8.A 9.A【解析】画树状图如下： 开始 S2 S3 S4 S S3 S4 S S2 S4 S S2 S 第9题答图 共有12种等可能的结果，其中能使小灯泡L发光的结果有 S,S,SS4,S2S3,SS4,SS1,S,S2,SS1,S,S2,共8种，.能使小 灯泡L发光的概率为吕-号故选A 10.B【解析】设不规则图案的面积为xcm,由已知得，长方形 面积为20cm,根据几何概率公式小球落在不规则图案的概 率为六·当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率 可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在 不规则图案的概率大约为0.35.综上，0=0.35，解得x=7, ∴.不规则图案的面积大约为7cm2.故选B. 11.3π 14.子【解析】画树状图如图所示. 开始 m 2-2 2 -2 第14题答图 共有6种等可能的结果，其中取得的m,n的值使4=m2 4n≥0的结果有4种，所以取得的m,n的值能使该一元二次方 程有实数根的概率=音=号故答案为号 15.公平 16.小强【解析】从小强开始踢，画树状图如图所示，P(踢到小 强处)=号-子·同理，若从小东开始踢，P(弱到小强处)-是， 若从小智开始踢，P(踢到小强处)=，则要使踢到小强处的 概率最小，应从小强开始踢.故答案为小强 ● 答案与解析 小强 小东 小智 小强 小智 小东 小强 小智小东小强小东小智小强小智小东 第16题答图 17.【解】画树状图如图 开始 B D BCDEACDEABDEABCEABCD 第17题答图 由图知，共有20种等可能结果，其中抽取的两名学生恰好一名 来自七年级、一名来自八年级有12种结果，所以抽取的两名学 生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的概率为兴=？ 20-5 18.【解】列表如下： 小伟 小字 石头 剪刀 布 石头 石头，石头 石头，剪刀 石头，布 剪刀 剪刀，石头 剪刀，剪刀 剪刀，布 布 布，石头 布，剪刀 布，布 共有9种等可能的结果，小宇获胜的结果有3种， :小字获胜的概率为。=号 19.【解】(1)0.59116 (2)0.6 (3)12÷0.6-12=8(个). 答：除白球外，还有8个其他颜色的球 20.【解】(1)70 (2)画树状图如图 开始 0元 10元 20元 50元 102050020500105001020 元元元元元元元元元元元 元 第20题答图 ,·共有12种等可能的结果，该顾客所获得购物券的金额不低 于50元的有6种情况， “该顾客所获得购物券的金额不低于50元的概率为吕=号 21.【解1(1)号 (2)画树状图如图 开始 第一辆车 左 右 第二辆车 左 右 左 第三辆车左右左右左右左右 第21题答图 一共有8种等可能的结果，其中至少有两辆车向左转有4种可 能的结果， “P(至少有两辆车向左转)=令-) 22.【解】(1)画树状图如图① 开始 -2 b-5-25 -5-25 第22题答图① 共有6种等可能的结果，其中a<b的结果有2种，a>b的结果 有3种，“小明获胜的概率为名=号，小刚获胜的概率为}=号 (2)m为0时，小明和小刚获胜的概率相同.（答案不唯一） 分析：画树状图如图② 开始 -2 b -505 -505 第22题答图② 共有6种等可能的结果，其中a<b的结果有3种，a>b的结果 有3种，一小明获胜的概率=小刚获胜的概率=2=} 6=2 23.【解】(1)甲嘉宾随意打了个结，有3种等可能的结果， 所以他恰好将4，和BB,连成一条的概率=： (2)画树状图如图 开始 AB BC AC AB B:C:AC AB BC AC:AB BC AC 第23题答图 共有9种等可能的结果，其中三根细绳连成一条的结果数为6， 所以甲，乙两位嘉宾能分在同队的概率=号-号 24.【解】(1)，掷一次骰子有4种等可能的结果，只有掷得4时， 才会落回圈A,P,=4 (2)列表如下： 第一次 第二次 2 3 4 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) 所有等可能的情况共有16种，当两次掷得的数字和为4的倍 数，即(1,3)，(2,2，(3,1)，(4,4)时，才可落回圈A,共4种， P=老=P=R=好 ∴.淇淇与嘉嘉落回到圈A的可能性一样 25.【解1(1)200 分析：此次调查一共随机抽取的学生人数为50÷25%= 200,∴.C的人数为200-30-50-70-20=30. 补全条形统计图如图① 人数 80 70 70 60 50 0 3 30 30 20 20 10 0 C D E类别 第25题答图① (2)54 (3)画树状图如图② 开始 乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙 第25题答图② 共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙两名同学的结 果有2种， :恰好选中甲和乙两名同学的概率为后一名 4.阶段学情调研（一） 1.C 2.D【解析】A.'四边形ABCD是平行四边形，AB=BC,.四 边形ABCD是菱形，故本选项不符合题意；B.四边形ABCD 是平行四边形，AC⊥BD,∴.四边形ABCD是菱形，故本选项不 符合题意：C.,四边形ABCD是平行四边形，AC=BD,.四 边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；D.,四边形ABCD 是平行四边形，∠ABC=90°，∴.四边形ABCD是矩形，不一定 是正方形，故本选项符合题意.故选D. 3.C 4.C【解析】点D在AC的垂直平分线上，.DA=DC=8. ∠ABC=90,P是AD的中点，BP=号AD=4.故选C. 5.C【解析】当m+1=0时，即m=-1,方程化为-2x+1=0,解 得x=;当m+1≠0时，4=(-2)2-4(m+1)≥0，解得m≤0 且m≠-1，综上所述，m的取值范围为m≤0.故选C. 6.B【解析】画树状图如图，共有3种等可 开始 能的结果，其中最后一只摘到A的情况有1 种，最后一只摘到A的概率是号故选B。 A 7.D A B 8.C【解析】连接AC(图略)，：四边形 ABCD是矩形，.AB∥CD,AB=CD,B B A OA=OC,.∠OAE=∠OCF,∠AEO= 第6题答图 ∠CFO,∴.△OAE≌△OCF,.AE=CF.AE,CF分别一直 在矩形ABCD的边AB,CD上，∴.AE∥CF,.四边形AECF是 平行四边形.当AE=CE时，平行四边形AECF是菱形，当点E 运动到点B时，平行四边形AECF是矩形，∴.在整个过程中四边 形AECF的形状依次为一般平行四边形→菱形→一般平行四边 形→矩形.故选C 9.C【解析】根据题意，由y=9x,得3x2=9x,整理得3x2) 9x=0,解得x1=0,x2=3.故选C. 真题圈数学九年级12N 10.C【解析】如图，连接BD交AC D 于点O,则A0=C0,B0=DO. ,四边形ABCD是菱形，.AD A =AB,∠DAC=∠BAC= ∠DCA=∠BCA,AC⊥BD B ,∠DAB=60°，.△ABD 第10题答图 是等边三角形，∠DAC=∠BAC=∠DCA=∠BCA=30°， BD=AB=9 cm,8 cm. 2(m4C=20A=5cm在R△Bs中，：∠CB =30°，∴.AE=2BE.根据勾股定理得BE+AB2=AE,即 BE+92=(2BE)2,解得BE=3V3cm(负值已舍去)，∴.AE= 6V3cmBE⊥AB,DF⊥CD,.∠CDF=∠ABE=90°， .△CDF≌△ABE(ASA),.AE=CF=6N3cm,.EF= AE+CF-AC =33 cm. 11.24 12.-2024【解析】：a是一元二次方程x2-2x-1012=0的一 个根，∴.a2-2a-1012=0,.2a-a2=-1012,∴.4a-2a2= -2024.故答案为-2024. 13.号【解析】把2件合格产品记为A,B,2件不合格产品记为C, D,画树状图如图，共有12种等可能的结果，抽到1件产品合 格1件产品不合格的有8种，∴.抽到1件产品合格1件产品 不合格的概率是吕=号·故答案为号 开始 B D 个 B C DA C D A B D A B C 第13题答图 14.4【解析】：x,x2是关于x的一元二次方程2x2-6x+m=0 的两个实数根，杯，=3x,=空“=2x=1, 书=2，小x3=罗=2，心m=4故答案为4 15.多或10【解析】由翻折可得AB=AB=5,EB=BE:四 边形ABCD为矩形，.AD=BC=4,CD=AB=5,∠ADC =∠DCB=90°，.DB'=V52-42=3. 如图①，当点E在BC上时，CB=5-3=2,设CE=x,则EB =BE=4-x. 在Rt△ECB中，(4-x2=+2,解得x=多，BE=BC-CE -435 2-2 A B A<------D E B ① ② 第15题答图 如图②，当点E在BC的延长线上时，CB=3+5=8,设CE=y, 则EB=BE=y+4.真题圈数学 同步调研卷（上） 九年级12N 3.第三章学情调研 蜕 (时间：120分钟满分：120分) ☒ 咖咖 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 1.情境题做重复试验，抛掷同一枚啤酒瓶盖，经过统计得“凸面朝上”的频率约为0.44，则可以估计 抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面朝上”的概率约为( A.22% B.44% C.50% D.56% 2.(期中·2023-2024济南高新区)“敬老爱老”是中华民族的优秀传统美德.小刚、小强计划利用暑期 载 从A,B,C三处养老服务中心中，随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率 是( ) 分 .3 c 号 D. 3.（期中·2023-2024沈阳铁西区)在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的球共有120个，除颜 批 色外，其他完全相同.小明通过多次摸球试验后发现其中摸到红色、黑色球的频率稳定在15%和 45%,则布袋中白色球的个数很可能是（金） A.48 B.60 C.18 D.54 4.（月考·2023-2024青岛大学附中)在1,2,3,4四个数中，随机抽取两个不同的数，其乘积大于4 的概率为( 崇 B c D.a 些咖 5.（期末·2023-2024石家庄外国语改编)如图是一个竖直放置的钉板，其中黑色圆表示钉板上的 H 钉子，A1、B,、B2、C、C2、C,分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从人口A, 圍 ® 处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球，圆球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子， 国 且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至圆球落入下面的某个槽内.如果向A 放入大量同样的小球，三个小槽中，小球( ) A.落入①号槽中比较多 B.落入②号槽中比较多 C.落入③号槽中比较多 D.一样多 6.（月考·2023-2024西安高新一中)用图中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，分别旋转两 个转盘，若其中一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色即可配成紫色.那么可配成紫色的概率 是() A号 B. 2 C. 5 D. /●A1● 开始 ●B1●B2● 蓝 红 ●C1●C2●C3● 120° 120° 红 蓝 第一次 ①②③ 个 个 个 第二次红黄蓝红黄蓝红黄蓝 第5题图 第6题图 第8题图 7.(期末·2022-2023武汉第三寄宿中学)有两把不同的锁和三把不同的钥匙，其中两把钥匙分别能 打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁.随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的 概率是( A司 B号 c D号 8.有一个从不透明的袋子中摸球的游戏，袋子中有3个球，这些球除颜色外都相同，小红根据游戏规 则，作出了如图所示的树状图，则此次摸球的游戏规则是( A.随机摸出1个球后放回，再随机摸出1个球 B.随机摸出1个球后不放回，再随机摸出1个球 C.随机摸出1个球后放回，再随机摸出3个球 D.随机摸出1个球后不放回，再随机摸出3个球 9.学科融合如图，随机闭合4个开关S,S2,S,S4中的两个开关，能使小灯泡L发光的概率是( ) A. 2 3 B. 2 c D 小球落在不规则图案内的频率 0.4 0.35 0.3- 0 X 60120180240300360420试验次数 ② 第9题图 第10题图 10.(联考·2023-2024青岛市南区)如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分）， 小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个面积为20c2的长方形，将不规则 图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数 (球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果)，他将若干次有效试验的结果绘制成了如图② 所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积为( A.6 cm2 B.7 cm2 C.8 cm2 D.9 cm2 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.利用电脑程序模拟频率估计概率，在如图所示的同心圆中，大圆的半径为3，向大 圆中（不含边界）随机投射300个点，并统计落在小圆中（不含边界）的点数， 经过大量试验，发现落在小圆中的点数稳定在100左右，则可估计小圆的面积 为 第11题图 12.情境题欢欢考试需要复习语文、数学和英语三科，现在需要安排科目顺序，从 前到后的顺序恰好为“数学、英语、语文”的概率是 13.传统文化中国古代的“四书”是指论语》《孟子》《大学》《中庸》，它们是儒家思想的核心著作， 是中国传统文化的重要组成部分.若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回， 再随机抽取另一本)，则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是 14.（期末·2022-2023成都武侯区)已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0,现从-2,1,2三个数 中任取一个数作为方程中m的值，再从剩下的两个数中任取一个数作为方程中的值，则取得 的m,n的值能使该一元二次方程有实数根的概率是 15.（期中·2023-2024沈阳沈北新区)甲、乙两人做游戏，同时掷两枚相同的硬币，双方约定：同面朝 上甲胜，异面朝上则乙胜，则这个游戏对双方 。(填“公平”或“不公平”)： 16.体育课上小强、小东、小智三人练习踢足球，足球从一人传到另一人就记为踢一次.若踢了三次 后，要使踢到小强处的概率最小，应该从 开始踢 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17.(联考·2023-2024沈阳铁西区)(6分)某校七、八年级举行了一次国家安全知识竞赛，经过评比 后，七年级的两名学生（用A,B表示）和八年级的三名学生（用C,D,E表示）获得优秀奖.从获 得优秀奖的学生中随机抽取两名分享经验，请用列表法或画树状图法，求抽取的两名学生恰好一 名来自七年级、一名来自八年级的概率 18.（月考·2022-2023福州屏东中学)(6分)小宇和小伟玩“石头、剪刀、布”的游戏.这个游戏的规 则是：“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，石头”胜“剪刀”，手势相同不分胜负.如果二人同时随机 出手（分别出三种手势中的一种手势）一次，那么小宇获胜的概率是多少？ 剪刀 石头 第18题图 19.数据分析（期末·2022-2023南京秦淮区）(6分)在一个不透明的口袋里，装有若干个除了颜色 外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把 它放回袋中，不断重复.下表是试验中的统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601 n (1)上表中的a= ,b= (2)“摸到白球”的概率的估计值是 (精确到0.1) (3)如果袋中有12个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其他颜色的球？ 20.情境题(8分)五一劳动节大酬宾，某商场设计的促销活动如下：在一个不透明的箱子里放有4 个相同的小球，球上分别标有“0元”“10元”“20元”和“50元”的字样.规定：在本商场同一日 属 孢 内，顾客每消费满300元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回）.商场根据两 p 小球所标金额的和返还相等价格的购物券，购物券可以在本商场消费.某顾客刚好消费300元. 共嫩 (1)该顾客至多可得到 元购物券； ☒貿 (2)请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于50元的概率. 000 製 21.(月考·2023-2024西安交大附中)(8分)如图，经过某T字路口的汽车，它可能向左转，也可能 向右转，如果这两种可能性的大小相同. (1)请直接写出经过T字路口的一辆汽车向右转的概率： (2)若三辆汽车经过这个T字路口，请画树状图求至少有两辆车向左转的概率 精品 批 金星教有 汽 车 第21题图 巡咖 H 22.(8分)有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数-2,2；乙口袋 中装有三个相同的球，它们分别写有数-5，，5.小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲 口袋中随机取出一个球，其上的数记为α；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为b,若 a<b,小明胜；若a=b,为平局；若a>b,小刚胜 (1)若m=-2,用画树状图或列表的方法分别求出小明、小刚获胜的概率 (2)当m为何值时，小明和小刚获胜的概率相同？直接写出一个符合条件的整数m的值. 23.情境题(8分)某电视台的一档娱乐节目中，在游戏环节，为了随机分选游戏双方的组员，主持人 设计了以下游戏：用不透明的红布包住三根颜色长短相同的细绳AA,、BB,、CC,只露出它们的 头和尾（如图所示），由甲、乙两位嘉宾分别从红布两端各随机选两根细绳打个结，若拿开红布，三 根细绳连成一条，则称两人一条心，分在同队；否则互为反方队员 (1)若甲嘉宾随意打了个结，求他恰好将AA,和BB,连成一条的概率 (2)请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位嘉宾能分在同队的概率. 第23题图 24.(10分)如图①，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面并分别标有数字1,2,3,4 如图②，正方形ABCD顶点处各有一个圈.跳圈游戏的规则：游戏者每掷一次骰子，骰子着地一 面上的数字是几，就沿正方形的边顺时针方向连续跳几个边长 如：若从圈A起跳，第一次掷得3，就顺时针连续跳3个边长，落到圈D;若第二次掷得2，就从 圈D开始顺时针连续跳2个边长，落到圈B… 设游戏者从圈A起跳 (1)嘉嘉随机掷一次骰子，求落回到圈A的概率P, (2)淇淇随机掷两次骰子，用列表法求最后落回到圈A的概率P,并指出她与嘉嘉落回到圈A的 可能性一样吗？ D ① ② 第24题图 题圈 精品图书 金星教 25.（期中·2023-2024沈阳南昌中学改编)(12分)某校为丰富课后服务内容，为学生开设五类社团 活动（要求每人必须参加且只参加一类活动）：A.音乐社团；B.体育社团；C.美术社团；D.文学社 团；E.电脑编程社团.该校为了解学生对这五类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了 调查统计，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图 根据图中信息，解答下列问题： (1)此次调查一共随机抽取了 名学生，补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）. (2)扇形统计图中圆心角a= 度 (3)现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列 表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率 人数 70 6 50 D C 30 30 a〉 20 B E 10 25% A 0 D E 类别 盗印必 第25题图 关爱学子 拒绝盗印 2