2.第二章 一元二次方程学情调研-【真题圈】2025-2026学年九年级全册数学练考试卷（北师大版）

答案与解析 ∴.四边形AMPN是矩形，PM=PN,∴.∠MPN=90° PD=PQ,PN=PM,.Rt△DPN≌Rt△QPM(HL), ∴.∠DPN=∠QPM..'∠QPN+∠QPM=90°， ∴.∠QPN4∠DPW=90°，即∠DPQ=90°. (2)【解】AQ=CP,理由如下： ,四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°， ∴.AB=BC,AC⊥BD,DO=BO, ∴.△ABC是等边三角形，AC垂直平分BD, ∴.∠BAC=60°，PD=PB. PD=PQ,∴PQ=PB. 过点P作PE∥BC交AB于点E,过点E作EG∥AC交BC 于点G,如图②， 则四边形PEGC是平行四边形，∠GEB=∠BAC=60°， ∠AEP=∠ABC=60°， ∴.EG=PC,△APE,△BEG都是等边三角形， ∴.BE=EG=CP 过点P作PM⊥AB于点M,则QM=MB,AM=EM, ∴.AQ=BE,∴.AQ=CP D AM AME ① ② 第25题答图 2.第二章学情调研 1.D2.B3.C4.B5.A 6.D【解析】根据题意得x+x2=2,x2=-3,则2x+2x2x2= 2(x+x)-xx2=2×2-(-3)=7.故选D 7.C 8.B【解析】14.41<15<15.84，.一元二次方程x2+12x=15 的一个根的范围为1.1<x<1.2.故选B. 9.B【解析】x2-17x+70=0,.(x-10)(x-7)=0,∴.x,= 10,x2=7.2+7<10,无法构成三角形，∴此三角形的周长是 2+10+10=22.故选B. 10.D【解析】，x2-2(a-1)x+a-2=0(a>0)是关于x的一元 二次方程，4=[-2(a-1)]2-4a(a-2)=4,由求根公式，得 x=2a0±2，x=1或x=1-2.>0,x>x,x= 2a 1,=1-名y=x=1a1-)=1-a20,解得 a<3,.0<a<3.故选D. 11.x+112.x1=0,x2=2 13.9【解析】，一元二次方程x2+6x+m=0有两个相等的实数 根，.4=62-4m=0,∴m=9.故答案为9. 14.1【解析】，'x2-4mx+3m2=（x-m)(x-3m),.关于x的一元 二次方程x2-4mx+3mr=0(m>0)的两根分别为x,=m,x2= 3m,且x2>x,.x2-x,=2m=2,.m=1.故答案为1. 15.6【解析】设每次倒出总量的百分比为x,最后水是酒精的3 倍，总体积还是12L,则酒精剩余12×=3L可列方程为 12(1-2=3,解得x=7,3=2(舍去).12×=6L, 每次倒出液体的数量为6L.故答案为6. 16.4或-)【解析】由题意可得，(2x-1)2-(2x-1)(x+2)=7,整 理，得2-7x-4=0,(x-4)2x+1)=0,x=4,为=-2 故答案为4或- 17.【解(1)x2+2x-3=0, (x+3)(x-1)=0, 则x+3=0,或x-1=0 解得x,=-3,x2=1. (2)2x2-4x+1=0, .a=2,b=-4,c=1, ,∴.b2-4ac=(-4)2-4×2×1=8>0, x=4±22 2×2 22=22 x-2+ 2 18.【证明】：a2-8a+20=(a-4)2+4≥4， ∴.无论a取何值，a2-8a+20≥4，即无论a取何值，原方程的 二次项系数都不会等于0， ∴.关于x的方程(a2-8a+20)x2+2ar+1=0,无论a取何值，该 方程都是一元二次方程， 19.【解】设t=3x+5,则原方程可化为2-4t+3=0, 即(t-1)(t-3)=0,∴.t=1或t=3. 当1=1，即3x+5-1时，解得x=-号： 当1=3，即3x+5=3时，解得x=号 综上所述，原方程的解是x=一专5=一号 20.【解】设AB的长是xm,则BC的长是(24-3x)m, 根据题意得x(24-3x)=45, 整理得x2-8x+15=0, 解得x1=3,x2=5, 当x=3时，24-3x=24-3×3=15>10,不符合题意，舍去； 当x=5时，24-3x=24-3×5=9<10,符合题意. 答：AB的长是5m 21.【解】(1)=(-6)2-4(-m2+3m+5) =r-12m16=4a-7. :(m-新≥0(m+70, .方程总有两个不相等的实数根 (2)设方程的另一根为a,则x+x2=a+(-1)=6,解得a=7, .方程的另一根为7. 22.【解】(1)32 (2)设每件商品应降价x元， 由题意得(40-x)(20+2x)=1200, 整理得x2-30x+200=0,解得x=10或x=20. .要尽快减少库存，.x=20, .每件商品应降价20元。 23.【解】(1)△ABC是等腰三角形 理由：把x=-1代入方程，得a+c-2b+a-c=0,即a=b, 所以△ABC为等腰三角形， 7(2)△ABC为直角三角形. 理由：根据题意，得4=(2b)2-4(a+c)(a-c)=0, 化简，得b+c2=a2, 所以△ABC为直角三角形. (3)因为△ABC为等边三角形， 所以a=b=c, 所以原方程可化为x2+x=0, 解得x1=0,x2=-1. 24.【解】(1)6cm12cm 分析：经过6s,AP=6cm,BQ=12cm, 4B 12 cm, .∴.BP=12-6=6(cm). (2)设移动时间为xs.过点Q作QD⊥AB于D,如图， 则∠QDB=90°，.∠DQB=30°， ·DB=号BQ=x 在Rt△DBQ中， 由勾股定理，得DQ=V3x .AP =x,.'.PB 12-x. A P D B :S6sN=2PB·D0, 第24题答图 2-W3x=105, 2 解得x1=10,x2=2. x=10时，2x>12,故舍去，.x=2, .经过2s△BPQ的面积等于10√5cm2. 25(解11)-2- (2),一元二次方程2x2+3x-1=0的两根分别为m,n, 六m+n=-元，mm=-2 3 m4r=(mm)2-2mm=景+1-是. (3)①实数s,t满足2s2+3s-1=0,22+3t-1=0,且s≠t, .s,1是一元二次方程2x2+3x-1=0的两个实数根， 六2243s=1,41=- 4+7s1=446sH=2(243)+s40=2+（- ②油①知s+1=-2,1=-克： 3 1 :2=4=(-4×（=, s=± 2, 1-1=-s=2=±7 s t st 1 2 3.第三章学情调研 1.B2.B 3.A【解析】设红色球有x个，黑色球有y个，由题意得六=15%， 120=45%,解得x=18,y=54,“白色球个数=120-18-54= 48.故选A. 4.A 5.B【解析】根据题意，画出如图所示的树状图， G 真题圈数学九年级12N 共有4种情况，其中落人①号槽的有1种，落 A 入②号槽的有2种，落入③号槽的有1种 P(落入①号槽)=子，P(落入②号槽)=子 B B =分，P(落入③号槽)=子，所以，落人中间 C C2 Cz ②号槽中的小球最多，两侧①号、③号槽的 第5题答图 小球较少.故选B. 6.C 7.B【解析】根据题意列表如下：（钥匙1能打开锁1，钥匙2能 打开锁2，钥匙3都打不开) 类别 锁1 锁2 钥匙1 (锁1，钥匙1) (锁2，钥匙1) 钥匙2 (锁1，钥匙2) (锁2，钥匙2) 钥匙3 (锁1，钥匙3) (锁2，钥匙3) 所有等可能的情况有6种，其中随机取出一把钥匙开任意一把 锁，一次打开锁的情况有2种，则随机取出一把钥匙开任意一 把领，一次打开锁的授率是？一号放选B 8.A 9.A【解析】画树状图如下： 开始 S2 S3 S4 S S3 S4 S S2 S4 S S2 S 第9题答图 共有12种等可能的结果，其中能使小灯泡L发光的结果有 S,S,SS4,S2S3,SS4,SS1,S,S2,SS1,S,S2,共8种，.能使小 灯泡L发光的概率为吕-号故选A 10.B【解析】设不规则图案的面积为xcm,由已知得，长方形 面积为20cm,根据几何概率公式小球落在不规则图案的概 率为六·当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率 可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在 不规则图案的概率大约为0.35.综上，0=0.35，解得x=7, ∴.不规则图案的面积大约为7cm2.故选B. 11.3π 14.子【解析】画树状图如图所示. 开始 m 2-2 2 -2 第14题答图 共有6种等可能的结果，其中取得的m,n的值使4=m2 4n≥0的结果有4种，所以取得的m,n的值能使该一元二次方 程有实数根的概率=音=号故答案为号 15.公平 16.小强【解析】从小强开始踢，画树状图如图所示，P(踢到小 强处)=号-子·同理，若从小东开始踢，P(弱到小强处)-是， 若从小智开始踢，P(踢到小强处)=，则要使踢到小强处的 概率最小，应从小强开始踢.故答案为小强 ●真题圈数学 同步调研卷（上） 九年级12N 2.第二章学情调研 蜕 (时间：120分钟满分：120分) ☒ 咖0 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 1.(联考·2023-2024沈阳大东区六校)下列方程中，属于一元二次方程的是( A.2x+1=0 B.x2+y=5 C4是+1=0 D.x2+x=5 2.（期末·2023-2024武汉东西湖区)关于x的一元二次方程5x2+2x-1=0的二次项系数、一次项系 数、常数项分别是( A.5,-2,-1 B.5,2,-1 C.-5,2,1 D.-5,-2,-1 3.(期中·2023-2024北京海淀区)一元二次方程x2-4x+3=0经过配方变形为(x-2)2=k,则k的值 是( ) A.-3 B.-7 的 C.1 D.7 4.（期末·2022-2023济南历下区)已知x=-1是关于x的一元二次方程x2+3x+k=0的一个根，则 k的值为( ) A.1 B.2 C.-4 D.-2 5.(中考·2023河南)关于x的一元二次方程x2+mx-8=0的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 器 C.只有一个实数根 D.没有实数根 6.(期末·2022-2023广州荔湾区)已知x,x,是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，则2x+2x2 x,x2的值为( 些咖 A.-1 B.1 H C.-7 D.7 题) 备 7.情境题（开学考·2023-2024西南大学附中）某家快递公司，今年8月与10月完成投递的总件数 回 分别为2万件和2.88万件.若设该快递公司8月到10月投递总件数的月平均增长率为x,则以 下所列方程正确的是( A.2(1+x)=2.88 B.2(1+2x)=2.88 C.2(1+x)2=2.88 D.2+2(1+x)+2(1+x)2=2.88 8.数据分析由下表估算一元二次方程x2+12x=15的一个根的范围，正确的是( x 1.0 1.1 1.2 1.3 x2+12x 13 14.41 15.84 17.29 A.1.0<x<1.1 B.1.1<x<1.2 C.1.2<x<1.3 D.14.41<x<15 9.（月考·2023-2024青岛大学附中)已知三角形的两边的长分别为2和10，第三边的长是方程x2- 17x+70=0的两根之一，则此三角形的周长是() A.19 B.22 C.13 D.19或22 10.已知关于x的一元二次方程ax2-2(a-1)x+a-2=0(a>0),设方程的两个实数根分别为x1,x2 (其中x,>x2),若y是关于a的函数，且y=x,-ax2,y>0,则a的取值范围是() A.a<3 B.a>3 C.0<a<1 D.0<a<3 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.(期中·2023-2024太原市)将x(x+4)=3x-1化成一元二次方程的一般形式的结果为x2+ =0 12.(模考·2023西工大附中七模)方程2x2-4x=0的根为 13.(月考·2023-2024成都外国语学校)已知一元二次方程x2+6x+m=0有两个相等的实数根，则 m的值为 14.已知关于x的一元二次方程x2-4x+3m2=0(m>0)的一个根比另一个根大2，则m的值为 15.情境题如果有12L纯酒精，倒出一部分后注满水，第二次倒出与前次同量的混合液再注满水， 此时容器内的水是酒精的3倍，则每次倒出液体的数量是 L. 16.新定义问题（月考·2023-2024沈阳七中）对于实数a,b,定义运算“※”如下：a※b=a2-ab.例如， 5※3=52-5×3=10.若(2x-1)※(x+2)=7,则x的值为 三、解答题（本大题共9小题，共72分） 17.(月考·2023-2024西安交大附中)(10分)解方程： (1)x2+2x-3=0. (2)2x2-4x+1=0. 18.（6分)试证明关于x的方程(a2-8a+20)x2+2ax+1=0无论a取何值，该方程都是一元二次方程. 19.思维拓展(6分)解方程(x-1)2-5(x-1)+4=0时，我们可以将x-1看成一个整体，设x-1=y, 则原方程可化为y2-5y+4=0,解得y,=1,y2=4.当y=1,即x-1=1时，解得x=2;当y=4, 即x-1=4时，獬得x=5.所以原方程的解为x,=2,x2=5。 请利用这种方法解方程：(3x+5)2-4(3x+5)+3=0. 精品 金星教育 20.情境题（期末·2022-2023山西大学附中）(6分)义务教育劳动课程以丰富开放的劳动项目为载 体.学校准备在校园内利用围墙的一段（墙体的最大可用长度α=10m)和篱笆，围成中间隔有 一道篱笆的矩形劳动实践菜园ABCD(如图)，已知篱笆长24m(篱笆全部用完)，如果要围成面 积为45m2的菜园，AB的长是多少米？ 第20题图 21.(月考·2023-2024青岛大学附中)(8分)已知关于x的方程x2-6x-m2+3m+5=0. (1)试说明此方程总有两个不相等的实数根 (2)若此方程的一个根是-1，求另一根 拒绝盗印 22.情境题（月考·2023-2024西安铁一中)(8分)超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件 盈利40元，为了扩大销量，该店采取了降价措施.经过一段时间后，发现销售单价每降低1元， 令 平均每天可多售出2件， 和 (1)若降价6元，则平均每天销售数量为 件. 必》 (2)为尽快减少库存，要使该商店每天销售利润为1200元，每件商品应降价多少元？ ☒图 000 题圈 精品图书 金星教 咖 阳 23.(8分)已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+（a-c)=0,其中a,b,c分别为△ABC三边 的长 (1)如果x=-1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由， (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由. (3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根. 盗印必究 关爱学子 拒绝盗印 24.(月考·2023-2024厦门大学附属科技中学)(8分)如图，在边长为12cm的等边三角形ABC 中，点P从点A开始沿AB边向点B以1cms的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以 2c/s的速度移动，若P,Q分别从A,B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止 运动，求： (1)经过6s,BP= BQ= (2)经过几秒△BPQ的面积等于10W3cm?. 第24题图 直题圈 精品图书 金星教 25.(联考·2023-2024青岛市南区)(12分)阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根x,x,和系数a,b,c,有如 下关系x5=-名环=吕 材料2：已知一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根分别为m,n,求m2n+mn2的值. 解：.'m,n是一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根 ∴.m+n=1,mn=-1. 则m2n+mn2=mn(m+n)=-1×1=-1. 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题. (1)【应用】一元二次方程2x2+3x-1=0的两个实数根为x,x2,则x+比2= X2= (2)【类比】已知一元二次方程2x2+3x-1=0的两个实数根为m,n,求m2+n2的值. (3)【提升】已知实数s,t满足2s2+3s-1=0,2+3t-1=0,且s≠t 求：①4s2+7s+t的值. ②上-的值. s t 盗印必 关爱学子 拒绝盗印