3.3 幂函数 讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

§3.3 幂函数 目录 题型1：求幂函数的定义域和值域 3 题型2：幂函数的图像问题 6 题型3：幂值大小的比较 11 题型4：幂函数性质的综合应用 13 【强化训练】 20 1. 幂函数的概念 一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数. 2. 幂函数的图像与性质 解析式 图像 在第一象限内指数的变化规律：在上，指数越大，幂函数图像越靠近轴，简记“指大图低"；在上，指数越大，幂函数图像越远离轴。 定义域 当取正整数时，定义域为R； 当取零或负整数时，定义域为； 当取分数时，可以化为根式，利用根式的要求求定义域 定点 图像过点和点 图像过点 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在第一象限内，当时，图像上凸；当时，图像下凸 在第一象限内，图像都下凸 奇偶性 当为奇数时，为奇函数；当为偶数时，为偶函数 结论 (1) 幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限； (2) 幂函数的图象过定点，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点. (互质且) 奇偶性 都为奇数 奇函数 为奇数，为偶数 既不是奇函数，也不是偶函数 为偶数，为奇数 偶函数 上凸函数、下凸函数的定义 (1) 设函数在上有定义,若对上任意不同的两点, 都成立,则称在上是上凸的函数,即上凸函数。 (2) 设函数在上有定义,若对上任意不同的两点，成立,则称在上是下凸的函数,即下凸函数。 题型1：求幂函数的定义域和值域 【例1.1.】 下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求幂函数的值域、求幂函数的定义域 【分析】根据幂函数的性质逐项分析即得. 【详解】对于A，的定义域为，∵，∴的值域为， 的定义域和值域均为，故A错误； 对于B，的定义域为，其值域为， 的定义域为，其值域为，故B错误； 对于C，的定义域为，其值域为， 的定义域为，其值域为，故C正确； 对于D，的定义域为，其值域为， 的定义域和值域均为，故D错误， 故选：C. 【例1.2.】 幂函数图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求幂函数的解析式、求与幂函数有关的复合函数定义域 【分析】设出幂函数，代入点坐标得到函数解析式，确定函数定义域，得到，解得答案. 【详解】设幂函数为，则，故，， 则的定义域为， 故满足，解得. 故选：A 【例1.3.】 函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求与幂函数有关的复合函数定义域、具体函数的定义域 【分析】求使函数有意义的的取值范围可得答案. 【详解】由已知解得，所以f(x)的定义域为． 故选：B． 【例1.4.】 已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求幂函数的解析式、求与幂函数有关的复合函数定义域 【分析】依据题意设出解析式，求出解析式后求解具体函数定义域即可. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，解得，故，则， 故，解得 故选：B 【例1.5.】 函数的定义域是，则它的值域是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求二次函数的值域或最值、求幂函数的值域 【分析】设，由可得，将求函数在上的值域转化为求二次函数在上的值域来解决. 【详解】由， 设，因，则， 而函数在上单调递减，在上单调递增， 则，故函数的值域为. 故答案为：. 题型2：幂函数的图像问题 【例2.1.】 如图，函数在上的图象对应的编号依次为（    ）    A．②①③ B．②③① C．①③② D．①②③ 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】幂函数图象的判断及应用、判断一般幂函数的单调性 【分析】根据幂函数的单调性判断即可. 【详解】根据幂函数的单调性， 当时，在上单调递增， 且时，在上的图象增长速度越来越快， 时，在上的图象匀速增长， 时，在上的图象的图象增长速度越来越慢， 当时，在上单调递减， 因为，所以②为的图象，③为的图象，①为的图象． 故选：B. 【例2.2.】 已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求幂函数的解析式、幂函数图象的判断及应用 【分析】根据幂函数图象上的点求出幂函数的解析式， 方法一：排除法，根据函数的定义域及偶函数图象特征排除，即可判断； 方法二：排除法，根据幂函数的单调性和函数值的符号排除，即可判断． 【详解】设幂函数的解析式为，由其图象经过点，得，解得， 于是． 方法一：函数的定义域为，关于原点对称，排除A，D； 因为，所以函数为偶函数， 图象关于轴对称，排除C． 方法二：因为，所以在上单调递减，排除A，D； 又，排除C． 故选：B． 【例2.3.】 若幂函数与在第一象限内的图象如图所示，则与的取值情况为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】由幂函数的单调性求参数、幂函数图象的判断及应用、判断一般幂函数的单调性 【分析】根据幂函数的图像性质，逐项分析判断即可求解. 【详解】当时，幂函数在上单调递增，且时，图象上凸，． 当时，幂函数在上单调递减．不妨令，由图象得，则． 综上可知，． 故选择：D. 【例2.4.】 在同一坐标系内，函数和的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】一次函数的图像和性质、函数图像的识别、幂函数图象的判断及应用 【分析】根据幂函数和一次函数的单调性判断的正负，可判断ABC，再由一次函数与坐标轴交点坐标及单调性判断D. 【详解】对于A，函数，，函数，；二者矛盾，不可能成立； 对于B，函数，，函数，；二者矛盾，不可能成立； 对于C，函数，，函数，；可能成立； 对于D，函数，，函数，，，矛盾，不可能成立． 故选：C． 【例2.5.】 函数的图象恒过点 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】幂函数图象过定点问题 【分析】根据幂函数的图象过定点求解. 【详解】令， 此时，无论取何值，都有. 所以函数图象恒过点. 故答案为： 【例2.6.】 已知幂函数的图象不过原点，则实数的值为（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】幂函数图象的判断及应用、根据函数是幂函数求参数值 【分析】根据幂函数的定义以及性质可得出关于实数的等式和不等式，解之即可. 【详解】因为幂函数的图象不过原点，则，解得. 故选：B. 【例2.7.】 若幂函数的图象与一次函数的图象有三个交点，则a的值为（   ） A．0 B．或3 C． D．3 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】幂函数图象的判断及应用、根据函数是幂函数求参数值 【分析】根据幂函数的定义解得或，代入结合函数图象检验即可. 【详解】因为为幂函数，则，解得或， 若，则的图象与一次函数的图象有三个交点，符合题意； 若，则的图象与一次函数的图象有两个交点，不符合题意； 综上所述：. 故选：D. 题型3：幂值大小的比较 方法提炼 (1) 比较两个幂值的大小的关键是搞清底数和指数是否相同,若指数相同,底数不同,则利用幂函数的单调性比较;若底数相同,指数不同,则利用幂函数的性质进行转化再比较;若底数、指数皆不同,可考虑用其他方法，如差值比较法、商值比较法、中介值法或数形结合. (2) 中介值法或估值法。如先与0比较大小,若都大于0,再与1比较,直到比较出所有数的大小。若不能采用中介值法,则要采用估值法,先判断各数的范围,进而比较出各数的大小。 【例3.1.】 比较下列各组数的大小． (1)与； (2)与； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、函数奇偶性的定义与判断、由幂函数的单调性比较大小 【分析】（1）根据在单调性比较大小； （2）根据在单调性比较大小； （3）根据函数在单调性比较大小. 【详解】（1）因为幂函数在定义域上单调递减， 且，所以． （2）幂函数的定义域为，且在上单调递减， 又因为，所以函数为奇函数，所以在上单调递减， 又因为，所以． （3）因为函数在上是单调递增函数，而，所以． 【例3.2.】 已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由幂函数的单调性比较大小 【分析】根据指数性质化简，构造函数，根据单调性比较大小. 【详解】，，对于幂函数， 因为指数，故在上单调递增，又，所以． 故选：C. 【例3.3.】 已知幂函数，且，则下列选项中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、判断一般幂函数的单调性 【分析】根据幂函数的单调性即可比较大小. 【详解】因在上单调递增， 由，可得， 故. 故选：C. 题型4：幂函数性质的综合应用 【例4.1.】 已知幂函数是定义域上的奇函数，则（    ） A．或3 B．3 C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】求幂函数的定义域、判断五种常见幂函数的奇偶性、根据函数是幂函数求参数值 【分析】根据给定条件，利用幂函数的定义及性质列式计算即得. 【详解】由函数是幂函数，得，解得或， 当时，是R上的偶函数，不符合题意， 当时，是上的奇函数，符合题意， 所以. 故选：D 【例4.2.】 函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断与幂函数相关的复合函数的单调性 【分析】由，可得的定义域，利用复合函数的单调性可求得的单调递减区间. 【详解】由，可得，解得或， 所以函数的定义域为， 又，所以在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增， 所以由复合函数的单调性可得在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为. 故选：A. 【例4.3.】 已知定义在上的函数，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由函数奇偶性解不等式、解不含参数的一元二次不等式、判断一般幂函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据函数的奇偶性以及单调性可得，即可利用二次不等式的解法得解. 【详解】由和在上都是单调递增，知在上单调递增， 又，则为奇函数． 由，得，即，即有，解得． 故答案为： 【例4.4.】 幂函数的图象与坐标轴有交点，且，则的值（    ） A．无法判断 B．等于0 C．恒小于0 D．恒大于0 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由幂函数的单调性比较大小、幂函数的奇偶性的应用、根据函数是幂函数求参数值 【分析】根据幂函数的概念及性质求得，然后根据函数的单调性及奇函数性质转化求解即可. 【详解】由，解得或. 当时，；当时，. 因为函数的图象与坐标轴有交点，故. 又，所以， 因为为在R上单调递增的奇函数， 所以，即. 故选：D 【例4.5.】 已知函数，若对任意的正数a，b，总有，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、幂函数的单调性的其他应用、幂函数的奇偶性的应用 【分析】根据幂函数的单调性和奇偶性可得，利用乘“1”法结合基本不等式运算求解. 【详解】由题意可知：函数为定义域在上的奇函数，且为增函数， 因为，则， 可得，即，且， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 【例4.6.】 若，则（    ） A．1 B．0 C．2 D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的应用、根据解析式直接判断函数的单调性、幂函数的单调性的其他应用 【分析】由，构造函数，可得，再结合的单调性和奇偶性即可求解. 【详解】构造函数， 由， 可得， ，且定义域为， 是奇函数， ， 又易得为上的单调递增函数，, ， . 故选：B 【例4.7.】 已知幂函数为偶函数. (1)求的值； (2)若函数在区间上单调，求实数的取值范围. 【答案】(1)2； (2) 【难度】0.85 【知识点】幂函数的奇偶性的应用、已知二次函数单调区间求参数值或范围、根据函数是幂函数求参数值 【分析】（1）根据幂函数的定义可得或，再根据奇偶性可得； （2）利用二次函数单调性列不等式，可得解. 【详解】（1）由幂函数的定义，有，解得或， ①当时，，函数为奇函数，不合题意； ②当时，，函数为偶函数，满足题意； 由上知，实数的值为2. （2）由（1）知，，有， 又由函数的对称轴方程为. 若函数在区间上单调，有或. 可得或. 故实数的取值范围为. 【例4.8.】 已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】由幂函数的单调性解不等式、幂函数的奇偶性的应用、根据函数是幂函数求参数值 【分析】（1）根据幂函数的定义可解得参数的值，再根据函数为偶函数即可求解； （2）结合幂函数的单调性及奇偶性、定义域求解. 【详解】（1）∵函数为幂函数， ，即，解得或. 当时，，满足，此时为偶函数，符合题意； 当时，，不满足，此时不是偶函数，不符合题意. 综上可得，. （2）由（1）得，所以在上单调递减，在上单调递增且为偶函数， 因为， 所以， 解得或或. 故实数的取值范围为. 【例4.9.】 已知函数． (1)若是幂函数，且是奇函数，求实数的值； (2)若在第一象限内是严格增函数，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求参数、由幂函数的单调性求参数、幂函数的单调性的其他应用、根据函数是幂函数求参数值 【分析】（1）结合幂函数的定义可求的值，根据奇函数的定义验证即可； （2）根据在第一象限内是严格增函数需满足的条件列出不等式组，求解即可. 【详解】（1）若是幂函数，则，解得：或， 当时，，此时是奇函数，符合题意， 当时，，此时是偶函数，不符合题意， 所以； （2）若在第一象限内是严格增函数， 则需满足或， 解得或， 即或或， 所以的取值范围是. 【例4.10.】 已知幂函数为奇函数，. (1)若，求； (2)已知，若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2). 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、幂函数的奇偶性的应用、函数不等式恒成立问题、根据函数是幂函数求参数值 【分析】（1）根据幂函数的定义可得或，结合奇偶性即可求解，进而可得的表达式，代入即可求解， （2）利用单调性的定义求解的单调性，即可根据单调性求解函数的最值，问题转化成，即可求解. 【详解】（1）对于幂函数，得，解得或， 当时，不是奇函数，舍去， 当时，是奇函数，满足题意. ∴，∵，∴. （2）关于的不等式在上恒成立，即在上恒成立， 令，下面先研究函数的单调性 ，不妨设，则 ， ∵，∴，，， ∴，即， 故在上单调递增，∴， 由题意，，解得，所以的取值范围是. 【强化训练】 1. 已知幂函数的图象经过第三象限，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求幂函数的解析式、幂函数图象的判断及应用 【分析】由幂函数的概念求得，再验证即可； 【详解】由题意得，得．当时，的图象不经过第三象限； 当时，的图象经过第三象限．综上，． 故选：A 2. 如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由幂函数的单调性求参数、幂函数图象的判断及应用 【分析】结合图象及幂函数的性质判断即可. 【详解】由图可知，①对应的幂函数：函数的定义域为，在第一象限内单调递增， 且图象呈现上凸趋势，则指数的值满足，排除选项AD； 又的定义域为R，的定义域为， 故符合题意. 故选：C 3. 已知二次函数的图象如图所示，则函数和在第一象限的图象可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】二次函数的图象分析与判断、幂函数图象的判断及应用、判断一般幂函数的单调性 【分析】由已知图象可确定与的正负情况，进而判断根据幂函数单调性判断各选项正误. 【详解】因为二次函数的图象开口向上，所以，又对称轴在轴右侧，则，所以， 则在第一象限，根据幂函数的单调性可得单调递增，单调递减． 故选：B. 4. 函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】函数图像的识别、幂函数图象的判断及应用 【分析】根据给定条件，利用幂函数的性质判断即可. 【详解】函数是幂函数，定义域为R，是偶函数，排除D； 由，得函数在上单调递增，排除C； 且当时，函数的图象在下方，排除A，选项B符合要求. 故选：B 5. 已知幂函数的图象关于轴对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】幂函数图象的判断及应用、求幂函数的值、根据函数是幂函数求参数值 【分析】利用幂函数的定义及图象特征求出，进而求出函数值. 【详解】由函数是幂函数，得，解得或， 当时，是奇函数，图象关于原点对称，不符合题意； 当时，是偶函数，图象关于轴对称，符合题意，因此， 所以. 故选：B 6. 设与是两个不同的幂函数，记，则中的元素个数的可能是（    ）. A．0、1、2、 B．1、2、3 C．1、2、3、4 D．0、1、2、3 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】幂函数图象过定点问题 【分析】由幂函数的函数图像及性质可以得出结论. 【详解】设，， 由幂函数图像可知，，故至少存在一个解； ②若，在0处都有定义，则，故可能存在解， ③若，同为奇函数或者偶函数，由对称性可知，或，故可能存在解， 综上所述：中的元素个数的可能是：1,2,3. 故选:B. 7. 已知幂函数在上单调递增，则m的值为（   ） A．1 B．-3 C．-4 D．1或-3 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由幂函数的单调性求参数、根据函数是幂函数求参数值 【分析】根据幂函数定义和函数单调性列出关于的方程和不等式即可求解. 【详解】由题意可得. 故选：A 8. 已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性求参数值、判断五种常见幂函数的奇偶性、根据函数是幂函数求参数值 【分析】根据幂函数的性质得到，则，其对称轴方程为，根据单调性得到不等式，求出答案. 【详解】因为幂函数是上的偶函数， 则，解得或， 当时，，该函数是奇函数，不合乎题意； 当时，，该函数是定义域为的偶函数，合乎题意，所以， 则，其对称轴方程为， 因为在区间上单调递减，则. 故选：A. 9. 已知幂函数的图象过点，若，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求幂函数的解析式、由幂函数的单调性解不等式 【分析】根据幂函数的概念求得解析式，再利用幂函数的单调性的性质解不等式即可. 【详解】设， 因为幂函数的图象过点， 所以，即，所以， 于是不等式可转化为，即， 所以，即或， 故选：D 10. 已知点在幂函数的图象上，设，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求幂函数的解析式、由幂函数的单调性比较大小 【分析】根据已知条件求出的解析式，利用幂函数的单调性即可判断选项. 【详解】由于点在幂函数的图象上，所以在上单调递减． 由于，所以， 又，所以， 所以，即 故选：D 11. 下列关于幂函数的描述中，正确的是（    ） A．幂函数的图象都经过点和 B．幂函数的图象不经过第三象限 C．当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的增函数 D．幂函数的图象过点，则 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】幂函数图象过定点问题、幂函数图象的判断及应用、判断一般幂函数的单调性、求幂函数的值 【分析】根据幂函数的图象性质分别判断每个选项即可. 【详解】对于A，当时，幂函数在处无定义，故图象不会经过点，选项A错误； 对于B，当时，幂函数都有意义，且，故幂函数的图象不经过第四象限，选项B错误； 对于C，当时，，在R上单调递增；当时，，在上单调递增；当时，，定义域为，且在上单调递增，选项C正确； 对于D，幂函数的图象过点，即，所以，即，所以，选项D错误； 故选：C. 12. 已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由幂函数的单调性求参数、由幂函数的单调性解不等式、幂函数的奇偶性的应用 【分析】结合幂函数性质由条件求，结合函数的性质化简不等式，解不等式可得结论. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以，又， 所以， 因为函数的图象关于轴对称， 所以为偶数， 所以， 函数的定义域为， 且函数在和上单调递减， 当时，，当时，， 所以不等式可化为 或或， 所以或， 所以的取值范围为. 故选：C. 13. （多选）已知幂函数的图象经过点，，是函数图象上的任意不同两点，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】求幂函数的解析式、由幂函数的单调性比较大小、判断一般幂函数的单调性 【分析】设，根据幂函数所过的点求出的解析式，设，，由幂函数的性质可判断与的单调性，由单调性比较大小得到正确答案即可. 【详解】因为是幂函数，可设， 因为幂函数的图象经过点， 所以，即，解得，所以，定义域为， 设，定义域为，因为， 所以由幂函数性质得在上单调递增， 若，则有，即，故A错误，B正确； 设，定义域为， 因为，所以由幂函数性质得在上单调递减， 若，则有，即，故C正确，D错误. 故选：BC 14. 函数的定义域为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求与幂函数有关的复合函数定义域、具体函数的定义域 【分析】定义域即使得式子有意义，列出不等式即可. 【详解】由，使得式子有意义，则，则定义域为. 故答案为： 15. 若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由幂函数的单调性求参数、利用不等式求值或取值范围 【分析】根据幂函数的性质可知在定义域上单调递减，结合题干列出不等式组，解不等式组即可. 【详解】因为幂函数在定义域上单调递减， 所以， 故答案为：. 16. 已知幂函数在上单调递减. ①的值为 ； ②记，，若，则的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求幂函数的值域、根据交集结果求集合或参数、由幂函数的单调性求参数、根据函数是幂函数求参数值 【分析】根据幂函数的定义及单调性得到，求出，即可得到函数解析式，由函数的单调性求出集合，再根据，得到或，即可得解. 【详解】因为幂函数在上单调递减， 所以，解得； 因为在上单调递减， 又，， 则， 因为，所以或，解得或， 即的取值范围是. 故答案为：； 17. 已知，，． (1)若，试比较与的大小关系； (2)当时，求的最小值． 【答案】(1)，当且仅当，即时，等号成立 (2) 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值、由幂函数的单调性比较大小 【分析】（1）根据题意可得，结合幂函数单调性分析判断； （2）换元令，可得，利用基本不等式求最值即可. 【详解】（1）因为，可得，当且仅当时，等号成立， 又因为在内单调递减， 所以，当且仅当，即时，等号成立. （2）由（1）可得， 因为，令，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 18. 已知幂函数在区间上单调递减． (1)判断函数的奇偶性； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)为奇函数． (2) 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、由幂函数的单调性求参数、由幂函数的单调性解不等式、根据函数是幂函数求参数值 【分析】（1）由幂函数的定义可得，结合单调性解出的值，然后根据奇偶性定义判断奇偶性. （2）由（1）得,由定义域和单调性可得答案. 【详解】（1）由幂函数的定义得， 解得或，又由幂函数在区间上单调递减得指数，即， 故，则， 又为奇函数． （2）由（1）得，因为函数在区间和上单调递减， 当时，无解，舍去； 当时，解得； 当时，解得． 综上，的取值范围是． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §3.3 幂函数 目录 题型1：求幂函数的定义域和值域 3 题型2：幂函数的图像问题 4 题型3：幂值大小的比较 6 题型4：幂函数性质的综合应用 6 【强化训练】 8 1. 幂函数的概念 一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数. 2. 幂函数的图像与性质 解析式 图像 在第一象限内指数的变化规律：在上，指数越大，幂函数图像越靠近轴，简记“指大图低"；在上，指数越大，幂函数图像越远离轴。 定义域 当取正整数时，定义域为R； 当取零或负整数时，定义域为； 当取分数时，可以化为根式，利用根式的要求求定义域 定点 图像过点和点 图像过点 单调性 在上单调递增 在上单调递减 在第一象限内，当时，图像上凸；当时，图像下凸 在第一象限内，图像都下凸 奇偶性 当为奇数时，为奇函数；当为偶数时，为偶函数 结论 (1) 幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限； (2) 幂函数的图象过定点，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点. (互质且) 奇偶性 都为奇数 奇函数 为奇数，为偶数 既不是奇函数，也不是偶函数 为偶数，为奇数 偶函数 上凸函数、下凸函数的定义 (1) 设函数在上有定义,若对上任意不同的两点, 都成立,则称在上是上凸的函数,即上凸函数。 (2) 设函数在上有定义,若对上任意不同的两点，成立,则称在上是下凸的函数,即下凸函数。 题型1：求幂函数的定义域和值域 【例1.1.】 下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【例1.2.】 幂函数图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【例1.3.】 函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【例1.4.】 已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【例1.5.】 函数的定义域是，则它的值域是 . 题型2：幂函数的图像问题 【例2.1.】 如图，函数在上的图象对应的编号依次为（    ）    A．②①③ B．②③① C．①③② D．①②③ 【例2.2.】 已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【例2.3.】 若幂函数与在第一象限内的图象如图所示，则与的取值情况为（   ）    A． B． C． D． 【例2.4.】 在同一坐标系内，函数和的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【例2.5.】 函数的图象恒过点 . 【例2.6.】 已知幂函数的图象不过原点，则实数的值为（   ） A． B． C． D．或 【例2.7.】 若幂函数的图象与一次函数的图象有三个交点，则a的值为（   ） A．0 B．或3 C． D．3 题型3：幂值大小的比较 方法提炼 (1) 比较两个幂值的大小的关键是搞清底数和指数是否相同,若指数相同,底数不同,则利用幂函数的单调性比较;若底数相同,指数不同,则利用幂函数的性质进行转化再比较;若底数、指数皆不同,可考虑用其他方法，如差值比较法、商值比较法、中介值法或数形结合. (2) 中介值法或估值法。如先与0比较大小,若都大于0,再与1比较,直到比较出所有数的大小。若不能采用中介值法,则要采用估值法,先判断各数的范围,进而比较出各数的大小。 【例3.1.】 比较下列各组数的大小． (1)与； (2)与； (3)． 【例3.2.】 已知，则（   ） A． B． C． D． 【例3.3.】 已知幂函数，且，则下列选项中正确的是（ ） A． B． C． D． 题型4：幂函数性质的综合应用 【例4.1.】 已知幂函数是定义域上的奇函数，则（    ） A．或3 B．3 C． D． 【例4.2.】 函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【例4.3.】 已知定义在上的函数，则关于的不等式的解集为 ． 【例4.4.】 幂函数的图象与坐标轴有交点，且，则的值（    ） A．无法判断 B．等于0 C．恒小于0 D．恒大于0 【例4.5.】 已知函数，若对任意的正数a，b，总有，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【例4.6.】 若，则（    ） A．1 B．0 C．2 D． 【例4.7.】 已知幂函数为偶函数. (1)求的值； (2)若函数在区间上单调，求实数的取值范围. 【例4.8.】 已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围. 【例4.9.】 已知函数． (1)若是幂函数，且是奇函数，求实数的值； (2)若在第一象限内是严格增函数，求实数的取值范围． 【例4.10.】 已知幂函数为奇函数，. (1)若，求； (2)已知，若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围. 【强化训练】 1. 已知幂函数的图象经过第三象限，则（    ） A． B．1 C． D．2 2. 如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（   ） A． B． C． D． 3. 已知二次函数的图象如图所示，则函数和在第一象限的图象可能为（   ） A． B． C． D． 4. 函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 5. 已知幂函数的图象关于轴对称，则（    ） A． B． C． D． 6. 设与是两个不同的幂函数，记，则中的元素个数的可能是（    ）. A．0、1、2、 B．1、2、3 C．1、2、3、4 D．0、1、2、3 7. 已知幂函数在上单调递增，则m的值为（   ） A．1 B．-3 C．-4 D．1或-3 8. 已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9. 已知幂函数的图象过点，若，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10. 已知点在幂函数的图象上，设，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 11. 下列关于幂函数的描述中，正确的是（    ） A．幂函数的图象都经过点和 B．幂函数的图象不经过第三象限 C．当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的增函数 D．幂函数的图象过点，则 12. 已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 13. （多选）已知幂函数的图象经过点，，是函数图象上的任意不同两点，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 14. 函数的定义域为 . 15. 若，则实数的取值范围是 . 16. 已知幂函数在上单调递减. ①的值为 ； ②记，，若，则的取值范围是 . 17. 已知，，． (1)若，试比较与的大小关系； (2)当时，求的最小值． 18. 已知幂函数在区间上单调递减． (1)判断函数的奇偶性； (2)若，求的取值范围． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $