3.2 函数的基本性质讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

§3.2 函数的基本性质 目录 知识点一：单调性与最大（小）值 2 知识点二：函数的奇偶性 2 题型1：函数单调性的判断与证明 4 题型2：求函数最大（小）值 6 题型3： 函数单调性的逆向应用 6  由单调性求参数 6  利用单调性比较大小或解不等式 7 题型4：函数奇偶性的逆向应用 8  求函数解析式 8  求函数值 8  求参数值 9 题型5：函数的单调性与奇偶性的综合 9 【强化训练】 12 知识点一：单调性与最大（小）值 1. 函数的单调性 定义 一般地，设函数的定义域为，区间，如果， 当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增. 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数。 当时，都有，那么就称函数在区间上单调递减.特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数。 图象描述 自左向右看图象呈上升趋势 自左向右看图象呈下降趋势 单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间． 2. 最大（小）值 前提 设函数 的定义域为，如果存在实数满足 条件 (1)，都有 ； (2)，使得. (1)，都有； (2)，使得. 结论 为最大值 为最小值 几何意义 函数的最大值对应图像最高点的纵坐标 函数的最小值对应图像最低点的纵坐标 知识点二：函数的奇偶性 1. 函数奇偶性的定义 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称 奇函数 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称 （1） 函数具有奇偶性的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称； （2） 若奇函数在处有定义，则必有； （3） 偶函数必满足； （4） 既是奇函数又是偶函数，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集； （5） 若函数的定义域关于原点对称，则为偶函数，为奇函数，且. 2. 函数奇偶性的运算性质 在的公共定义域内，有下列结论： 都为奇函数 为奇函数，为偶函数 为偶函数，为奇函数 都为偶函数 奇函数 _____ _____ 偶函数 奇函数 _____ _____ 偶函数 偶函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 偶函数 偶函数 复合函数的奇偶性原则：“内偶则偶，两奇为奇”. 题型1：函数单调性的判断与证明 方法提炼 判断函数单调性的方法： (1) 定义法 (2) 图象法 如果是以图象形式给出的，或者的图象易作出，则可由图象的上升或下䧏确定单调性，由图像确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图像不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”，不能用. (3) 性质法 1　 在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数，增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数. 2　 函数在公共定义域内与的单调性相反． 3　 复合函数的单调性：函数在函数的定义域上，如果与的单调性相同，那么单调递增；如果与的单调性相反，那么单调递减．（简记：“同增异减”） 【例1.1.】 （多选）已知函数，的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．是函数的单调递增区间 B．是函数的单调递减区间 C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减 【例1.2.】 下列说法正确的是（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递增 C．在和上单调递减 D．在上单调递减 【例1.3.】 函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D．， 【例1.4.】 函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【例1.5.】 函数的单调递减区间为 ． 【例1.6.】 已知函数满足任意的实数，都有，且当时，． (1)求的值； (2)判断在上的单调性并证明． 【例1.7.】 已知函数，且，设． (1)求函数的解析式； (2)用定义法判断的单调性． 题型2：求函数最大（小）值 方法提炼 求函数最值的问题实质上就是求函数值域的问题,因此求函数值域的方法也可用来求函数最值,求函数最值的常用方法有: (1) 配方法:主要适用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围; (2) 换元法:用换元法时一定要注意新元的取值范围; (3) 数形结合法:对于图像较容易画出的函数的最值问题,可借助图像找出图像的最高点和最低点，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值； (4) 利用函数的单调性:要注意函数的单调性对函数最值的影响，特别是闭区间上函数的最值。 【例2.1.】 函数在区间上的最小值是（    ） A．0 B．1 C． D．4 【例2.2.】 已知函数的图象过点，则在区间上的最大值为 ． 【例2.3.】 已知函数，则的最大值为（    ） A． B．6 C．4 D．3 【例2.4.】 已知，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．0 【例2.5.】 已知正实数满足则的最大值是（    ） A． B． C． D． 题型3： 函数单调性的逆向应用 · 由单调性求参数 方法提炼 1. 利用函数单调性求参数取值范围的两种思路 (1) 已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是视参数为已知数，依据函数的图像或单调性的定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数。 (2) 借助常见函数(如一次函数、反比例函数、二次函数等)的单调性求解。需注意,若一个函数在区间上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的。 2. 解决分段函数的单调性问题时，一般要从两个方面思考:一方面每个分段区间上函数具有相同的单调性,由此可列出相关式子;另一方面要考虑端点处的衔接情况，由此可列出相关式子。 【例3.1.】 已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3.2.】 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3.3.】 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3.4.】 设实数，若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围为 ． · 利用单调性比较大小或解不等式 方法提炼 利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小。在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上。 【例3.5.】 若函数在上单调递增，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【例3.6.】 （多选）已知函数的图象关于直线对称，且在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 题型4：函数奇偶性的逆向应用 · 求函数解析式 方法提炼 利用奇偶性求函数解析式的具体方法： (1) 在哪个区间求解析式,就设在哪个区间内; (2) 将代入已知区间的解析式; (3) 利用的奇偶性把变形成或,从而解出. 【例4.1.】 已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的解析式是（    ）． A． B． C． D． 【例4.2.】 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式是（    ） A． B． C． D． · 求函数值 方法提炼 已知求的思路:判断的奇偶性或构造已知奇偶性的函数，利用奇偶性找出与的关系,若还有其他条件,可再利用其转化，进而求. 【例4.3.】 已知是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A．－7 B．7 C．－5 D．5 【例4.4.】 已知分别为奇函数、偶函数，且，则 ． 【例4.5.】 已知函数，若，则（    ） A．4 B． C．14 D． 【例4.6.】 已知是定义在上不恒为的函数，为奇函数，为偶函数，则（   ） A． B． C． D． · 求参数值 方法提炼 已知函数的奇偶性求参数值的三种思路 (1) 若表示定义域的区间含有参数,则可利用对称性列出关于参数的方程。 (2) 一般化策略:对取定义域内的任一个值,利用与的关系式恒成立来确定参数的值。 (3) 特殊化策略:根据定义域内关于原点对称的特殊自变量值对应的函数值的关系列方程求解,不过,这种方法求出的参数值要代入解析式检验，看是否满足条件，不满足的要舍去。 【例4.7.】 已知是偶函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例4.8.】 已知函数是定义在上的奇函数，则 ， . 题型5：函数的单调性与奇偶性的综合 方法提炼 (1) 奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．（简记：“奇同偶异”）. (2) 比较大小问题,一般解法是利用奇偶性,把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值,通过转化到其对称区间上的函数值,使其在同一单调区间上，这样便可以利用单调性比较大小。 (3) 解抽象不等式问题,解题步骤是:①将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系；②利用奇偶性得出函数在该区间上的单调性,再利用单调性“脱去”函数的符号,转化为解不等式(组)的问题。 (4) 需要注意的是:在转化时,自变量的取值必须在同一单调区间上;当不等式一边没有符号时,需转化为含符号的形式。同时注意偶函数中结论的灵活运用。 【例5.1.】 已知是定义在区间内的奇函数，且在区间内的图象如图所示，则的单调递增区间为（    ）    A． B． C．和 D． 【例5.2.】 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【例5.3.】 若是定义在上的偶函数，，有，则（ ） A． B． C． D． 【例5.4.】 已知函数是定义在上的偶函数，在上有单调性，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【例5.5.】 函数的定义域为R，对任意的有且函数为偶函数，则（　　） A． B． C． D． 【例5.6.】 已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数且，不等式恒成立，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 【例5.7.】 已知定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【例5.8.】 设函数，则使得成立的的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【例5.9.】 已知是定义在上的奇函数，若当时，，则不等式0的解集为（   ） A． B． C． D． 【例5.10.】 已知奇函数在上单调递减，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例5.11.】 定义在上的奇函数满足：，且，，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【例5.12.】 已知定义在R上的偶函数在上是增函数，不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【例5.13.】 已知函数为偶函数． (1)求的值； (2)若函数，且恒成立，求的取值范围． 【强化训练】 1. 下列函数中，既是奇函数又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 2. 函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减， 则（ ） A． B． C． D． 3. 定义在上且都不恒为零的函数与进行下列运算，正确的是（ ） A．若均为奇函数，则为奇函数 B．若单调性相同，则为增函数 C．若，则 D．若，则 4. 已知函数，那么不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 5. 已知函数的最大值为，最小值为，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 6. 设函数，若，时，有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7. 已知是定义在上的奇函数，对于任意的，都有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 8. 已知定义在区间上的偶函数，当时，单调递增，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9. （多选）已知函数的图象由如图所示的两条曲线组成，则下列说法正确的是（    ）    A． B．是单调增函数 C．的定义域是 D．的值域是 10. （多选）若函数，则（   ） A． B．的最小值为0 C．是奇函数 D．的定义域为 11. （多选）已知函数与的图象如图所示，则（ ） A．为奇函数 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．的值域为 12. 函数的单调减区间是 ． 13. 若函数是定义在区间上的奇函数，则 ． 14. 已知在上是减函数，则的取值范围是 . 15. 已知函数是定义在上的偶函数，若函数在上单调递增，则不等式的解集为 ． 16. 已知定义在R上的奇函数，当时，. (1)作出的函数图象； (2)求函数在R上的解析式； (3)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围. 17. 函数是定义在上的奇函数，且 (1)求的解析式； (2)证明在上为增函数； (3)解不等式. 18. 已知函数，其中. (1)当，求函数的值域； (2)，求区间上的最小值. 19. 已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的值； (2)判断的单调性，并用单调性定义给出证明； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §3.2 函数的基本性质 目录 知识点一：单调性与最大（小）值 2 知识点二：函数的奇偶性 2 题型1：函数单调性的判断与证明 4 题型2：求函数最大（小）值 9 题型3： 函数单调性的逆向应用 12  由单调性求参数 12  利用单调性比较大小或解不等式 15 题型4：函数奇偶性的逆向应用 17  求函数解析式 17  求函数值 18  求参数值 20 题型5：函数的单调性与奇偶性的综合 21 【强化训练】 31 知识点一：单调性与最大（小）值 1. 函数的单调性 定义 一般地，设函数的定义域为，区间，如果， 当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增. 特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数。 当时，都有，那么就称函数在区间上单调递减.特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数。 图象描述 自左向右看图象呈上升趋势 自左向右看图象呈下降趋势 单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫做的单调区间． 2. 最大（小）值 前提 设函数 的定义域为，如果存在实数满足 条件 (1)，都有 ； (2)，使得. (1)，都有； (2)，使得. 结论 为最大值 为最小值 几何意义 函数的最大值对应图像最高点的纵坐标 函数的最小值对应图像最低点的纵坐标 知识点二：函数的奇偶性 1. 函数奇偶性的定义 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称 奇函数 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称 （1） 函数具有奇偶性的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称； （2） 若奇函数在处有定义，则必有； （3） 偶函数必满足； （4） 既是奇函数又是偶函数，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集； （5） 若函数的定义域关于原点对称，则为偶函数，为奇函数，且. 2. 函数奇偶性的运算性质 在的公共定义域内，有下列结论： 都为奇函数 为奇函数，为偶函数 为偶函数，为奇函数 都为偶函数 奇函数 _____ _____ 偶函数 奇函数 _____ _____ 偶函数 偶函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 偶函数 偶函数 复合函数的奇偶性原则：“内偶则偶，两奇为奇”. 题型1：函数单调性的判断与证明 方法提炼 判断函数单调性的方法： (1) 定义法 (2) 图象法 如果是以图象形式给出的，或者的图象易作出，则可由图象的上升或下䧏确定单调性，由图像确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图像不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”，不能用. (3) 性质法 1　 在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数，增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数. 2　 函数在公共定义域内与的单调性相反． 3　 复合函数的单调性：函数在函数的定义域上，如果与的单调性相同，那么单调递增；如果与的单调性相反，那么单调递减．（简记：“同增异减”） 【例1.1.】 （多选）已知函数，的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．是函数的单调递增区间 B．是函数的单调递减区间 C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递减 【答案】ABD 【难度】0.94 【知识点】根据图像判断函数单调性 【分析】利用函数图象得到单调性判断A，B，利用单调区间不能用并集符号连接判断C，D即可. 【详解】对于A，根据函数图象可知函数在上单调递增，故A正确， 对于B，根据函数图象可知函数在上单调递减，故B正确， 由图象可知，，因此不能说函数在上单调递增，C错误； 由于函数在时有定义，由图象可知，则为函数的一个单调递减区间，故函数在上单调递减，D正确．. 故选：ABD. 【例1.2.】 下列说法正确的是（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递增 C．在和上单调递减 D．在上单调递减 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】利用二次、绝对值、分式、初等函数的单调性判断各函数在对应区间的单调性即可. 【详解】的图象开口向上，对称轴为直线，故在上单调递减，在上单调递增，A错误； 当时，，单调递减，B错误； 的图象是由的图象向右平移2个单位长度得到的，故在和上单调递减，C正确； 因为和均在上单调递增，由增函数+增函数＝增函数，D错误． 故选：C 【例1.3.】 函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D．， 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断二次函数的单调性和求解单调区间、求函数的单调区间 【分析】应用分段函数性质结合二次函数的单调性即可判断. 【详解】函数， 当时，单调递增区间为； 当时，单调递增区间为，单调递减区间为； 所以函数的单调递减区间为. 故选：A. 【例1.4.】 函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、复合函数的单调性、求函数的单调区间 【分析】现根据解析式有意义的条件求的定义域，然后在定义域内，利用复合函数的单调性法则求得结果. 【详解】要使函数有意义，则， 即，解得或， 函数定义域为. 令，则，在上单调递减， 对称轴为，开口向上， 在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则，可知的单调递减区间是. 故选：D. 【例1.5.】 函数的单调递减区间为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】具体函数的定义域、复合函数的单调性、求函数的单调区间 【分析】先求函数的定义域，根据复合函数单调性以及单调性的性质分析判断函数单调性. 【详解】因为， 令，解得或， 可知的定义域为， 又因为在定义域内单调递增，在内单调递增，在内单调递减， 可知在内单调递增，在内单调递减， 且在定义域内单调递增， 可知在内单调递增，在内单调递增， 则在内单调递减， 所以函数的单调递减区间为． 故答案为：. 【例1.6.】 已知函数满足任意的实数，都有，且当时，． (1)求的值； (2)判断在上的单调性并证明． 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 【难度】0.85 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、求函数值 【分析】（1）对于给定的函数关系式赋值代入计算即得； （2）根据函数的单调性的定义，作差比较与的大小，此时需构造，利用题设性质证得即可． 【详解】（1）由题意，对任意的实数，都有， 令，则，所以． （2）在上单调递增． 证明如下：设且，则 ， 因，则，故， 所以，即， 所以在上单调递增． 【例1.7.】 已知函数，且，设． (1)求函数的解析式； (2)用定义法判断的单调性． 【答案】(1) (2)在区间和和上分别单调递减 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、求解析式中的参数值 【分析】（1）直接根据题意代入求值即可； （2）根据定义法判断函数的单调性即可. 【详解】（1）因为，所以，则， 故． （2）易得的定义域为，， 则， ①当时，， 则，即， 故在区间上单调递减； ②当时，， 则，即， 故在区间单调递减， ③当时，， 则，即， 故在区间单调递减， 综上，在区间和和和上分别单调递减． 题型2：求函数最大（小）值 方法提炼 求函数最值的问题实质上就是求函数值域的问题,因此求函数值域的方法也可用来求函数最值,求函数最值的常用方法有: (1) 配方法:主要适用于二次函数或可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围; (2) 换元法:用换元法时一定要注意新元的取值范围; (3) 数形结合法:对于图像较容易画出的函数的最值问题,可借助图像找出图像的最高点和最低点，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值； (4) 利用函数的单调性:要注意函数的单调性对函数最值的影响，特别是闭区间上函数的最值。 【例2.1.】 函数在区间上的最小值是（    ） A．0 B．1 C． D．4 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】利用函数单调性求最值或值域 【分析】分段去掉绝对值符号，利用单调性求解可得. 【详解】， 则在上单调递减，在上单调递增， 故． 故选：A 【例2.2.】 已知函数的图象过点，则在区间上的最大值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、已知函数值求自变量或参数 【分析】利用函数性质求参数，再利用函数单调性求最值. 【详解】由题意得，解得，则， 因为在上恒为正值且单调递增， 所以在上单调递增，故． 故答案为： 【例2.3.】 已知函数，则的最大值为（    ） A． B．6 C．4 D．3 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】复合函数的最值 【分析】令，利用二次函数性质求解可得. 【详解】令，则，． 因为，则，所以． 又在单调递增，在单调递减， 所以，所以． 故选：A 【例2.4.】 已知，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】判别式法求最值 【分析】将已知转化为关于的二次方程，根据，可求得最值. 【详解】根据题意， 若方程有解，则， 即， 所以， 当时，，此时，即， 也就是说当且仅当时，. 故选：D 【例2.5.】 已知正实数满足则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判别式法求最值 【分析】设，则，代入已知等式，化为关于x的方程，由判别式非负，解得t的最大值. 【详解】设，则， 因为， 所以，即：， 所以， 解得：， 又因为，为正实数， 所以， 所以的最大值为. 故选：C. 题型3： 函数单调性的逆向应用 · 由单调性求参数 方法提炼 1. 利用函数单调性求参数取值范围的两种思路 (1) 已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是视参数为已知数，依据函数的图像或单调性的定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数。 (2) 借助常见函数(如一次函数、反比例函数、二次函数等)的单调性求解。需注意,若一个函数在区间上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的。 2. 解决分段函数的单调性问题时，一般要从两个方面思考:一方面每个分段区间上函数具有相同的单调性,由此可列出相关式子;另一方面要考虑端点处的衔接情况，由此可列出相关式子。 【例3.1.】 已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数、分段函数的性质及应用 【分析】由题意可得函数在上单调递增，列出不等式组求解即可. 【详解】因为对任意，当时，都有成立， 所以函数在上单调递增， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 【例3.2.】 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性求参数值、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】令，则，，利用单调递增则单调性相同的性质，得出在上单调递增，且，分情况讨论得出的取值范围. 【详解】令，则，. 已知在上单调递增，则在上单调递增，且. 若，则，此时在单调递增， 且，符合题意. 若，则须满足： 即. 综上，. 故选：C. 【例3.3.】 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性求参数值 【分析】分，和讨论函数在上的单调性，即可得出答案. 【详解】当时，在上单调递增，满足题意， 当时，，满足题意， 当时，，由对勾函数的性质知， 若满足题意则，解得． 综上，. 故选：B． 【例3.4.】 设实数，若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性求参数值 【分析】令，分、两种情况讨论，可知对任意成立，分析函数在上的单调性，可得出关于实数的不等式组，综合可求得实数的取值范围. 【详解】令，分以下两种情况讨论： （ⅰ）当时，对任意成立， 由于函数在区间上是减函数，则在区间上是增函数， 所以实数应满足，即； （ⅱ）当时，对任意成立， 由于函数在区间上是减函数，则在区间上是减函数， 所以实数应满足解得，所以． 综上所述，实数的取值范围为． 故答案为：． · 利用单调性比较大小或解不等式 方法提炼 利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小。在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上。 【例3.5.】 若函数在上单调递增，则下列一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】比较函数值的大小关系 【分析】根据函数单调性，结合和的符号的可能性即可得解. 【详解】由题意得，即， 由于，的正负未知，故A，B，C不一定成立． 故选：D 【例3.6.】 （多选）已知函数的图象关于直线对称，且在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】比较函数值的大小关系、函数对称性的应用 【分析】利用对称性将自变量变换到区间内，再根据单调性比较大小即可得解. 【详解】因为的图象关于直线对称， 所以， ， 又因为在区间上单调递增，且， 所以， 所以， 所以和正确； 故选：BD 题型4：函数奇偶性的逆向应用 · 求函数解析式 方法提炼 利用奇偶性求函数解析式的具体方法： (1) 在哪个区间求解析式,就设在哪个区间内; (2) 将代入已知区间的解析式; (3) 利用的奇偶性把变形成或,从而解出. 【例4.1.】 已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的解析式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】由奇偶性求函数解析式 【分析】由函数奇偶性求解析式即可. 【详解】解析 因为当时，，为奇函数， 所以当时，， 所以，即， 故选：D． 【例4.2.】 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时，的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求函数解析式 【分析】根据给定条件，利用偶函数的定义求出解析式. 【详解】函数是定义在上的偶函数，当时，， 当时，，则. 故选：A · 求函数值 方法提炼 已知求的思路:判断的奇偶性或构造已知奇偶性的函数，利用奇偶性找出与的关系,若还有其他条件,可再利用其转化，进而求. 【例4.3.】 已知是定义在上的奇函数，当时，，则（    ） A．－7 B．7 C．－5 D．5 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的应用 【分析】由奇函数的定义知，可知，再根据时的解析式，即可求得，从而求解即可. 【详解】因为时，，所以， 因为是定义在上的奇函数，所以. 故选：A 【例4.4.】 已知分别为奇函数、偶函数，且，则 ． 【答案】/-6.5 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用 【分析】利用奇函数和偶函数的性质，将原方程中的替换为，得到另一个方程，联立解出和，再代入计算的值. 【详解】因为①，所以②， ①+②得，，所以，则，所以， 所以． 故答案为： 【例4.5.】 已知函数，若，则（    ） A．4 B． C．14 D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用 【分析】由题可得为奇函数，然后由奇函数性质可得a，然后可得答案. 【详解】设，则， 又的定义域为，从而是奇函数，即， 故，即. 因为，所以，解得， 则，故. 故选：A 【例4.6.】 已知是定义在上不恒为的函数，为奇函数，为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、抽象函数的奇偶性 【分析】首先根据为奇函数，得，然后根据为偶函数，得，然后通过对进行赋值进行求解即可. 【详解】由于为奇函数，可得：， 令，得：，解得：； 又为偶函数，则， 令，得：. 故选：A · 求参数值 方法提炼 已知函数的奇偶性求参数值的三种思路 (1) 若表示定义域的区间含有参数,则可利用对称性列出关于参数的方程。 (2) 一般化策略:对取定义域内的任一个值,利用与的关系式恒成立来确定参数的值。 (3) 特殊化策略:根据定义域内关于原点对称的特殊自变量值对应的函数值的关系列方程求解,不过,这种方法求出的参数值要代入解析式检验，看是否满足条件，不满足的要舍去。 【例4.7.】 已知是偶函数，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】由偶函数定义域关于原点对称求出的值，再由偶函数的定义式求出b即可. 【详解】因为偶函数的定义域关于原点对称，所以，且，解得； 由为偶函数，得，即，即， 因不恒为0，故，则. 故选： 【例4.8.】 已知函数是定义在上的奇函数，则 ， . 【答案】 1 0 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】由题知区间需对称，则，结合，即可求解，注意需检验. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 所以且，所以，. 此时，是定义在上的奇函数. 故答案为：1；0 题型5：函数的单调性与奇偶性的综合 方法提炼 (1) 奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．（简记：“奇同偶异”）. (2) 比较大小问题,一般解法是利用奇偶性,把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值,通过转化到其对称区间上的函数值,使其在同一单调区间上，这样便可以利用单调性比较大小。 (3) 解抽象不等式问题,解题步骤是:①将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系；②利用奇偶性得出函数在该区间上的单调性,再利用单调性“脱去”函数的符号,转化为解不等式(组)的问题。 (4) 需要注意的是:在转化时,自变量的取值必须在同一单调区间上;当不等式一边没有符号时,需转化为含符号的形式。同时注意偶函数中结论的灵活运用。 【例5.1.】 已知是定义在区间内的奇函数，且在区间内的图象如图所示，则的单调递增区间为（    ）    A． B． C．和 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、奇偶函数对称性的应用、函数奇偶性的应用、求函数的单调区间 【分析】根据奇函数的定义可知区间应关于原点对称，从而可求出a的值，再根据函数图象即可得到其增区间． 【详解】由题意得，且，解得， 由题图得函数在内单调递增， 由奇函数的性质得函数在内单调递增， 因此的单调递增区间为和． 故选：C． 【例5.2.】 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】由奇函数定义及选项单调性可得正确答案. 【详解】对于A，定义域为，，则函数为奇函数，又函数在递减，在上单调递增，则A错误； 对于B，定义域为，，则函数为奇函数，又函数在上单调递增，故B正确； 对于C，定义域为，，则函数为偶函数，故C错误； 对于D，定义域为，定义域不关于原点对称，为函数非奇非偶函数，故D错误. 故选：B 【例5.3.】 若是定义在上的偶函数，，有，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、比较函数值的大小关系、函数奇偶性的应用 【分析】根据题意，得到，且在上为减函数，得出，即可求解. 【详解】因为函数为定义在上的偶函数，所以， 又因为时，有， 所以函数在上为单调递减函数，可得， 所以. 故选：D. 【例5.4.】 已知函数是定义在上的偶函数，在上有单调性，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】比较函数值的大小关系、函数奇偶性的应用 【分析】结合函数的奇偶性以及在上有单调性，且，判断函数在上单调递增，由此一一判断各选项，即得答案. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，所以， 由，得，又在上有单调性， 所以在上有单调性，且为严格单调递增， 对于A：由，则，不正确； 对于B：由题意知，且，故，正确； 对于C：由于，，故，不正确； 对于D：由题意知，且，，所以，不正确； 故选：B． 【例5.5.】 函数的定义域为R，对任意的有且函数为偶函数，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、比较函数值的大小关系、函数奇偶性的应用、函数对称性的应用 【分析】由条件推出在上单调递减，又由函数为偶函数，推出的图象关于直线对称，由对称性和单调性即可得的大小关系. 【详解】因为的定义域为R， 且对任意的，有， 设，则有，所以在上单调递减. 又因为函数为偶函数，即， 所以的图象关于直线对称，所以， 则. 故选：B. 【例5.6.】 已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意两个实数且，不等式恒成立，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性解不等式、定义法判断或证明函数的单调性、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据给定条件，确定函数在上单调性，再利用函数的性质求解不等式. 【详解】对于且， 不等式恒成立， 得在上单调递增，又是定义在上的奇函数， 且，则在上单调递增且， 解不等式，得或，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：D 【例5.7.】 已知定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】先利用偶函数性质可得，再由偶函数单调性以及定义域列出不等式组计算求解即可. 【详解】由题意，函数是定义在上的偶函数， 所以，解得，即函数的定义域为， 当时，单调递增，所以当时，单调递减， 关于的不等式，即， 所以，解得， 所以原不等式解集为. 故选：B 【例5.8.】 设函数，则使得成立的的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据函数解析式，发现为偶函数，且在上为单调递增函数，将所求不等式变形为，然后利用函数性质拿掉“”，求解不等式即可． 【详解】函数的定义域为，， 所以，函数为偶函数， 又因为函数、在上均为增函数， 故函数在上是增函数， 由，得，则，即， 即，解得，即满足题设条件的的取值范围是. 故选：A. 【例5.9.】 已知是定义在上的奇函数，若当时，，则不等式0的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的应用 【分析】根据单调性和奇偶性的定义列不等式组求解即可. 【详解】由当时得在单调递增， 因为是定义在上的奇函数，所以在上也单调递增，故在上单调递增， 由得， 所以，解得， 故原不等式的解集为， 故选：A 【例5.10.】 已知奇函数在上单调递减，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、函数奇偶性的应用、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据奇函数的性质化简不等式，然后根据函数的单调递减解关于的不等式，求出的取值范围. 【详解】因为奇函数在上有定义，所以， 所以 所以，解得. 所以的取值范围为. 故选：D. 【例5.11.】 定义在上的奇函数满足：，且，，若，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的应用、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据题干条件，构造函数，结合单调性的定义，可得的单调性，根据奇偶性的定义，可得的奇偶性，结合特殊值，计算分析，即可得答案. 【详解】因为，且，， 所以， 设， 则，，且，， 根据单调性的定义可得，在上单调递增， 因为在R上为奇函数， 所以， 所以在R上为奇函数， 所以在上单调递增， 因为， 所以，则， 所以的解集为， 所以的解集为. 故选：D 【例5.12.】 已知定义在R上的偶函数在上是增函数，不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】奇偶函数对称性的应用、函数不等式恒成立问题、由函数奇偶性解不等式 【分析】由偶函数的对称性确定区间单调性，将问题化为在上恒成立，即可得. 【详解】由偶函数的对称性，且在上是增函数，则在上单调递减， 所以在上恒成立，可得，则， 而，故. 故答案为： 【例5.13.】 已知函数为偶函数． (1)求的值； (2)若函数，且恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数不等式恒成立问题、由奇偶性求参数 【分析】（1）利用偶函数的定义可求答案； （2）利用定义法判断的单调性，根据单调性求出在的最小值即得答案. 【详解】（1）由是偶函数得， 即，解得． （2）由（1）得，则， 因为恒成立， 即． 当时，， 因为，所以， 则，则， 因此，即， 故函数在区间上单调递增， 则， 则原不等式等价于，解得， 故的取值范围是． 【强化训练】 1. 下列函数中，既是奇函数又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据函数解析式及奇偶性定义判断函数的奇偶性和单调性即可得. 【详解】A：函数是奇函数，且在上单调递增，不符合； B、D：函数，是偶函数，不符合； C：函数是奇函数，且在上单调递减，符合. 故选：C 2. 函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减， 则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】比较函数值的大小关系、函数奇偶性的应用 【分析】根据偶函数的定义，得到，再结合在上的单调性，即可得到答案. 【详解】因为是定义域为的偶函数，可得， 又因为在上单调递减，且，所以， 所以. 故选：D. 3. 定义在上且都不恒为零的函数与进行下列运算，正确的是（ ） A．若均为奇函数，则为奇函数 B．若单调性相同，则为增函数 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用 【分析】根据函数奇偶性的定义即可求解A,举反例即可求解BCD. 【详解】对于A，若，均为奇函数，则， 则，则函数为奇函数，故A正确； 对于B，设，，在上都是增函数， 则，但其在上不是单调递增的，故B错误； 对于C，设，，满足，但不成立，故C错误； 对于D，设，，则， 在上递增，满足，但为减函数，，故D错误. 故选：A． 4. 已知函数，那么不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用 【分析】先分析出的奇偶性，然后化简不等式并通过分类讨论求解出不等式解集. 【详解】因为的定义域为关于原点对称， 且， 所以为奇函数， 所以， 当时，，解得， 当时，，无解， 当时，，解得或（舍）， 综上所述，不等式解集为， 故选：C 5. 已知函数的最大值为，最小值为，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的应用 【分析】由题意可得，可求的值. 【详解】由，得，函数的定义域为， 令，定义域为，定义域关于原点对称， 又，所以为奇函数， 所以， 则的图象关于点对称，所以. 故选：C. 6. 设函数，若，时，有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】函数基本性质的综合应用 【分析】根据得到，根据，，得到，求出解集. 【详解】由得， 即，变形为， 因为，所以， 因为，所以，解得. 故选：C 7. 已知是定义在上的奇函数，对于任意的，都有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、抽象函数的奇偶性 【分析】设，由题意可得是增函数，且为奇函数， 进而由，得，进而可得. 【详解】因为，所以， 设，因为，，则在上是增函数， 因，故， 因为为定义在上的奇函数，所以为奇函数， 所以， 不等式可转化为，即， 所以，即的解集为． 故选：B. 8. 已知定义在区间上的偶函数，当时，单调递增，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】由偶函数知，时；当时，故，结合区间单调性和定义域列不等式求参数范围. 【详解】因为是上的偶函数，所以， 又在上单调递增，结合，所以， 解得或， 故实数的取值范围为． 故选：C 9. （多选）已知函数的图象由如图所示的两条曲线组成，则下列说法正确的是（    ）    A． B．是单调增函数 C．的定义域是 D．的值域是 【答案】AD 【难度】0.85 【知识点】函数图象的应用、求函数值、根据图像判断函数单调性 【分析】根据函数图象分析函数的性质，依次判断各项的正误. 【详解】A：由图知，因此，对； B：不是单调增函数，例如，错； 由图知：函数定义域是，值域是，C错，D对. 故选：AD 10. （多选）若函数，则（   ） A． B．的最小值为0 C．是奇函数 D．的定义域为 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】具体函数的定义域、函数奇偶性的定义与判断、复合函数的最值 【分析】用特值法可判断A、B；求出函数的定义域判断D；利用奇函数的定义既可判断C. 【详解】，故A正确； 由，得，故D正确． 因为，所以的最小值不是0，故B错误． 因为，所以是奇函数，故C正确． 故选：ACD. 11. （多选）已知函数与的图象如图所示，则（ ） A．为奇函数 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．的值域为 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用 【分析】根据图象可判断与的单调性和奇偶性，即根据奇偶性的定义和单调性的定义求解AC；举反例即可求解B；根据函数图象的变化趋势，结合奇偶性可判断D. 【详解】由图象知，定义域为，是偶函数，在上单调递增，在上单调递减； 定义域为，是奇函数，在上单调递增，在上单调递增； 对于A，定义域为， 又因为，所以是奇函数，故A正确； 对于B，令，则， ，但，，，故B错误； 对于C，，由图象知， 因为在上单调递增，所以， 又因为在上单调递减，所以， 即在上单调递减，故C正确； 对于D，记与x轴交于点，与y轴交于点， 由图可知，当从趋近于0时，的函数值从0趋近于，的函数值从一个定值趋近于， 所以的值从0趋近于，即的值可以取到， 又为奇函数，所以的值域为，故D正确. 故选：ACD. 12. 函数的单调减区间是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】复合函数的单调性、求函数的单调区间 【分析】首先求函数的定义域，再求函数的单调递减区间，最后求交集，即可求解. 【详解】由，得：或， 所以函数的定义域为， 函数的单调递减区间是， 再和定义域求交集得. 故答案为： 13. 若函数是定义在区间上的奇函数，则 ． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】由奇函数定义及性质求解. 【详解】因为奇函数的定义域关于原点对称，所以，解得． 因为是奇函数，所以，所以， 即，解得，所以． 故答案为：2. 14. 已知在上是减函数，则的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数、分段函数的性质及应用 【分析】考虑每段范围上函数为减函数，再考虑分段处的高低，从而可得的取值范围. 【详解】因为在上是减函数， 所以，即， 解得. 故答案为：. 15. 已知函数是定义在上的偶函数，若函数在上单调递增，则不等式的解集为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、函数奇偶性的应用、由函数奇偶性解不等式 【分析】不等式变形为，即，根据偶函数特征结合单调性求解即可 【详解】， 不等式可变形为，即， 函数是定义在上的偶函数，， 所以为偶函数，若函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减， 所以，解得， 故答案为：． 16. 已知定义在R上的奇函数，当时，. (1)作出的函数图象； (2)求函数在R上的解析式； (3)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围. 【答案】(1)作图见解析 (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性求参数值、画出具体函数图象、由奇偶性求函数解析式 【分析】（1）根据解析式及奇函数的图象特征可作出函数图象； （2）根据奇函数的性质求解即可； （3）根据函数图象，得出函数的单调递减区间，进而求解即可. 【详解】（1）如下图所示： . （2）因为为R上的奇函数，所以. 当时，则， 又因为为奇函数， 所以， 所以当时，，   所以. （3）由（1）知，的单调递减区间为， 因为在上单调递减， 所以. 所以，解得，故实数的取值范围是. 17. 函数是定义在上的奇函数，且 (1)求的解析式； (2)证明在上为增函数； (3)解不等式. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的应用、由奇偶性求参数 【分析】（1）根据奇函数的定义求得，由求得，即可求解解析式； （2）根据单调性定义，按照步骤证明即可； （3）由奇函数、单调性解不等式得，求解即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，解得，此时， 又，所以，解得， 所以； （2）任取，且，则， 因为，所以， 因为，所以，所以， 所以在上为增函数； （3）因为函数是定义在上的奇函数， 所以由，得， 又因为在上为增函数，所以，解得. 所以原不等式的解集为. 18. 已知函数，其中. (1)当，求函数的值域； (2)，求区间上的最小值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】判别式法求最值、求二次函数的值域或最值 【分析】（1）利用判别式法求值域； （2）求得，对分类讨论，根据二次函数的性质求最值. 【详解】（1）时，，即，整理得， 当时，， 当时，由，得， 解得，且， 综上，，则的值域是. （2）且， 当时，即时， 函数在区间上单调递增，此时； 当时，即时， 函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 此时， 综上所述： 19. 已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的值； (2)判断的单调性，并用单调性定义给出证明； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)单调递减，证明见解析； (3). 【难度】0.65 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域、函数不等式恒成立问题、由奇偶性求参数 【分析】（1）利用与求出的值并验证即可. （2）判断函数单调性，再利用定义法证明函数的单调性. （3）求出函数在指定区间上的最大值，再结合已知列出不等式，求出实数k的范围. 【详解】（1）由函数是定义在上的奇函数，得， 则，又，于是，解得， ，，即是奇函数， 所以. （2）函数在上的单调递减，理由如下： 任意，且， 则 ， 由，得， 则，即，因此 所以函数在上的单调递减. （3）由对任意的，总存在，使得成立， 得在上的最大值不大于在上的最大值， 由函数在上的单调递减，得， 当时，，恒成立，因此； 当时，在上单调递增，， 则，解得，因此； 当时，在上单调递减，， 则，解得，因此， 所以实数k的取值范围是. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $