精品解析：河南省开封高级中学2025-2026学年高二上学期10月质量检测数学试题

开封高中27届高二上学期10月质量检测 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点是点在坐标平面内的射影，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，再利用模长公式计算即可得解. 【详解】由点是点在坐标平面内的射影，则， 则，得. 故选：D. 2. 直线的方向向量为，，平面的法向量分别为，则下列选项正确的是（ ） A. 若∥，则 B. 若∥β，则 C. 若⊥，则 D. 若∥β，则 【答案】B 【解析】 【分析】通过分析不同位置情况下的向量的乘积，即可得出结论. 【详解】由题意， 选项A，若共线，，A错误； 选项B，若垂直，则，B正确； 选项C，若共线，，C错误； 选项D，若共线，，D错误． 故选：B． 3. 已知两条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由两直线平行求出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】当时，，则， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量加法和减法的定义及题设几何条件即可求解. 【详解】由点在上，且，知； 由为的中点，知. 所以. 故选：C. 5. 如图，直三棱柱，，点，分别是，的中点，若，则与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】使用向量法求解. 【详解】以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 设，则，，，， ，， 则与所成角的余弦值为：. 6. 是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作图，找到直线在平面上的投影在构建多个直角三角形，找出边与角之间的关系，继而得到线面角；也可将三条射线截取出来放在正方体中进行分析. 【详解】解法一： 如图，设直线在平面的射影为， 作于点G，于点H，连接， 易得，又平面，则平面，又平面，则， 有 故． 已知， 故为所求． 解法二： 如图所示，把放在正方体中，的夹角均为． 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1， 则， 所以， 设平面的法向量，则 令，则，所以， 所以． 设直线与平面所成角为，所以， 所以． 故选B． 7. 如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，，，，则平面与平面的夹角大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据异面直线上两点间的距离公式求异面直线所成的角，再根据二面角的概念求解. 【详解】设异面直线与所成的角为， 则根据异面直线上两点的距离公式可得：， 即，所以. 因为，且，都垂直于棱，所以二面角的平面角等于， 所以面与平面的夹角为. 故选：C 8. 如图，正方体的棱长为2，线段上有两个动点（在的左边），且．下列说法错误的是（ ） A. 当运动时，不存在点使得 B. 当运动时，不存在点使得 C. 当运动时，二面角的最大值为 D. 当运动时，二面角为定值 【答案】C 【解析】 【分析】建立坐标系，利用向量法判断AC；由反证法判断B；平面即为平面，平面即为平面，从而得出二面角为定值. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则． 因为在上，且，， 可设，则， 则， 所以， 故恒为正，故A正确． 若，则四点共面，与和是异面直线矛盾，故B正确． 设平面的法向量为， 又，所以，即， 取，则， 平面的法向量为，所以． 设二面角的平面角为，则为锐角，故， 因为，在上单调递减， 所以，故， 当且仅当时，取得最大值，即取最小值，故C错误． 连接．平面即为平面，而平面即为平面，故当运动时，二面角的大小保持不变，故D正确． 故选：C 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知点，，下列结论正确的是（ ） A. 若直线的方向向量为，则 B. 若直线的斜率为，则 C. 若，则为直角三角形 D. 若，，则四边形是平行四边形 【答案】BC 【解析】 【分析】求出直线的斜率可判断A；由两直线的位置关系可判断B，C，D. 【详解】对于A，，所以直线的方向向量为，A错误. 对于B，因为，所以，B正确. 对于C，因为，所以，C正确. 对于D，因为， 所以四边形不是平行四边形，D错误. 故选：BC. 10. 若构成空间的一个基底，则下列说法中正确的是（ ） A. 存在，使得 B. 也构成空间的一个基底 C. 若，则直线与异面 D. 若，则，，，四点共面 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理判断A,B选项，再由共线向量基本性质及为一组基底判断出C、D. 【详解】由题意知，三向量不共面，所以错误； 若三向量共面，则有， 化简有：，因为不共面， 则，无解，故三向量不共面，能够构成一组基底，故B正确； 若与共面，则有，则有，与题意矛盾，故C正确； 若，化简有，则有，所以四点共面，故D正确． 故选：BCD 11. 直四棱柱的所有棱长都为4，，点在四边形及其内部运动，且满足，则下列选项正确的是（ ） A. 点的轨迹的长度为. B. 直线与平面所成的角为定值． C. 点到平面的距离的最小值为. D. 的最小值为-2． 【答案】BC 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，表示，化简后得点的轨迹方程，得轨迹长度判断A；向量法求线面角判断B，向量法求点到平面距离，结合点的轨迹得最小值判断C；坐标表示向量数量积，结合点的轨迹最小值判断D. 【详解】直四棱柱的所有棱长都为4，则底面为菱形， 又，则和都是等边三角形， 设与相交于点，由，以为原点，为轴，为轴，过垂直于底面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则有，， 点在四边形及其内部运动，设，， 由，有， 即， 所以点的轨迹为平面内，以为圆心，2为半径的半圆弧， 所以点的轨迹的长度为， A选项错误； 平面的法向量为，， 直线与平面所成的角为，则， 又由，则， 所以直线与平面所成的角为定值， B选项正确； ，设平面的一个法向量为， 则有，令，得，， 所以点到平面的距离， ，所以时，， 所以点到平面的距离的最小值为，C选项正确； ， ，其几何意义为点到点距离的平方减12， 由，点到点距离最小值为， 的最小值为，D选项错误. 故选：BC. 【点睛】方法点睛： 空间几何体中的相关问题，要利用好几何体本身的结构特征，点线面的位置关系，图形中的角度和距离等，建立空间直角坐标系，利用向量法解决问题，也是常用的方法. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一条光线从点射出，与轴相交于点 ，经轴反射，求反射光线所在的直线方程_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据入射光线与反射光线所在直线的斜率关系，即可求反射光线所在直线的斜率，再代入点斜式直线方程，即可求解. 【详解】由条可知入射光线和反射光线所在直线的斜率互为相反数， 入射光线的斜率，所以反射光线所在直线的斜率为，且过点， 所以反射光线所在的直线方程为，即. 故答案为： 13. 已知O为坐标原点，向量，点若点E在直线上，且，则点E的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用点E在直线上，可得，然后利用，即可求解E的坐标. 【详解】由题意可得：， ∵点E在直线上， ∴， 又∵，则， ∴，故点E的坐标为. 故答案为： 14. 在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】在直三棱柱中，因为平面，，所以可以建立空间直角坐标系，利用参数设动点的坐标，利用点到直线的距离公式表示点到直线的距离，再根据函数单调性求出最值. 【详解】解：在直三棱柱中，因为平面，，所以三条两两垂直，所以以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则. 因为点是棱的中点，所以.设，其中， 连接，则，， 所以点到直线的距离 ． 设，，则， 所以． 所以当，即即点与点重合时，点到直线的距离取得最小值，最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知空间中三点，，，设，. （1）若，且，求向量； （2）已知向量与互相垂直，求的值； 【答案】（1）或；（2）5. 【解析】 【分析】 （1）由于可设，从而得，再由，可得，可求出的值，从而可求出向量； （2）由向量与互相垂直，可得，进而可求的值 【详解】解：∵空间中三点，，， 所以， ， ∴， （1）∵，且，设， ∴， ∴，∴， ∴或； （2）∵，， 且向量与互相垂直， ∴，解得， ∴的值是5. 16. 在中，已知顶点，AB边上的中线所在直线方程为，内角的平分线所在直线方程为． （1）求点B的坐标； （2）求直线BC的方程． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】由点B在直线上，设，利用中点坐标公式可得：AB中点D的坐标，根据AB边上的中线所在直线方程为知，点D在直线上，解得m． 设点与点关于直线对称，可得，解得a，由直线为内角的平分线所在直线，知点E在直线BC上．即可得出． 【详解】解：由内角的平分线所在直线方程为知， 点B在直线上， 设， 则AB中点D的坐标为． 由AB边上的中线所在直线方程为知， 点D在直线上， ，解得． 点B的坐标为． 设点与点关于直线对称， 则， ，解得． 点E的坐标为． 由直线为内角的平分线所在直线，知点E在直线BC上． 直线BC方程为，即． 17. 如图，直三棱柱的体积为4，的面积为． （1）求A到平面的距离； （2）设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等体积法运算即可得解； （2）由面面垂直的性质及判定可得平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得解. 【小问1详解】 在直三棱柱中，设点A到平面的距离为h， 则， 解得， 所以点A到平面的距离为； 【小问2详解】 取的中点E,连接AE,如图，因为，所以, 又平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 在直三棱柱中，平面， 由平面，平面可得，， 又平面且相交，所以平面， 所以两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图， 由（1）得，所以，，所以， 则,所以的中点， 则，, 设平面的一个法向量，则， 可取， 设平面的一个法向量，则， 可取， 则， 所以二面角的正弦值为. 18. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA=AB=2，． （Ⅰ）求证：直线平面PAC； （Ⅱ）求直线PB与平面PAD所成角的正切值； （Ⅲ）设点M在线段PC上，且二面角C-MB-A的余弦值为，求点M到底面ABCD的距离． 【答案】 (Ⅰ)由菱形的性质可知， 由线面垂直的定义可知：，且， 由线面垂直的判定定理可得：直线平面； (Ⅱ) ；(Ⅲ)1或者 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论； (Ⅱ)建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后求解线面角的正切值即可； (Ⅲ)设，由题意结合空间直角坐标系求得的值即可确定点M到底面ABCD的距离． 【详解】(Ⅰ)略 (Ⅱ)以点A为坐标原点，AD，AP方向为y轴，z轴正方向，如图所示，在平面ABCD内与AD垂直的方向为x轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则：， 则直线PB的方向向量，很明显平面PAD的法向量为， 设直线PB与平面PAD所成角为， 则，. (Ⅲ)设，且， 由于， 故：，据此可得：， 即点M的坐标为， 设平面CMB的法向量为：，则： ， 据此可得平面CMB的一个法向量为：， 设平面MBA的法向量为：，则： ， 据此可得平面MBA的一个法向量为：， 二面角的余弦值为，故：， 整理得 ，解得：或. 由点M的坐标易知点M到底面ABCD的距离为1或者. 【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，空间向量在立体几何中的应用，立体几何中的探索问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 19. 在空间直角坐标系中，已知向量，点.若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为. （1）已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的余弦值； （2）已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，求点到平面的距离； （3）（i）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积： （ii）若集合.记集合中所有点构成的几何体为，求几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小 【答案】（1） （2） （3）（i），（ii） 【解析】 【分析】（1）利用题中概念分别计算出直线方向向量与平面法向量，然后利用线面角与直线方向向量和平面法向量所成角的关系计算即可； （2）先计算平面法向量，找到平面上一点，然后利用向量的投影计算即可； （3）（i）先建立等式，然后画出所表示的面，计算所围成的图形的面积即可；（ii）因为是一个完全对称的图形，只需计算第一卦限内相邻面的二面角，我们需要画出第一卦限内的图象，得到其二面角为钝角. 【小问1详解】 由题可知，直线的一个方向向量坐标为，平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，则有，所以， 直线与平面所成角的正弦值为. 【小问2详解】 由题可知平面的法向量为，且过点， 因为，所以， 所以点到平面的距离为. 【小问3详解】 （i）建立空间直角坐标系， 先分别画平面， 然后得到几何体为几何体是底面边长为的正方形，高为2的长方体， 故几何体的体积为， （ii）由（i）可知，的图象是一个完全对称的图象， 所以我们只需讨论第一卦限的相邻两个平面的二面角即可， 此时，得，画出第一卦限图象，显然其二面角为钝角， 计算平面得二面角， 所以两个平面的法向量分别为， 所以其二面角的余弦值为，所以二面角为. 【点睛】思路点睛：我们需要按照解析式画出平面，在空间中三点确定一个平面，可以直接找三个点即可，找到的点，最好是三个平面的交点，一般直接建立方程求解即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 开封高中27届高二上学期10月质量检测 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点是点在坐标平面内的射影，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 直线的方向向量为，，平面的法向量分别为，则下列选项正确的是（ ） A. 若∥，则 B. 若∥β，则 C. 若⊥，则 D. 若∥β，则 3. 已知两条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（    ） A. B. C. D. 5. 如图，直三棱柱，，点，分别是，的中点，若，则与所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 6. 是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱．若，，，，则平面与平面的夹角大小是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方体的棱长为2，线段上有两个动点（在的左边），且．下列说法错误的是（ ） A. 当运动时，不存在点使得 B. 当运动时，不存在点使得 C. 当运动时，二面角的最大值为 D. 当运动时，二面角为定值 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知点，，下列结论正确的是（ ） A. 若直线的方向向量为，则 B. 若直线的斜率为，则 C. 若，则为直角三角形 D. 若，，则四边形是平行四边形 10. 若构成空间的一个基底，则下列说法中正确的是（ ） A. 存在，使得 B. 也构成空间的一个基底 C. 若，则直线与异面 D. 若，则，，，四点共面 11. 直四棱柱的所有棱长都为4，，点在四边形及其内部运动，且满足，则下列选项正确的是（ ） A. 点的轨迹的长度为. B. 直线与平面所成的角为定值． C. 点到平面的距离的最小值为. D. 的最小值为-2． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一条光线从点射出，与轴相交于点 ，经轴反射，求反射光线所在的直线方程_____. 13. 已知O为坐标原点，向量，点若点E在直线上，且，则点E的坐标为________． 14. 在直三棱柱中，，，，，点是棱的中点，点在棱上运动，则点到直线的距离的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知空间中三点，，，设，. （1）若，且，求向量； （2）已知向量与互相垂直，求的值； 16. 在中，已知顶点，AB边上的中线所在直线方程为，内角的平分线所在直线方程为． （1）求点B的坐标； （2）求直线BC的方程． 17. 如图，直三棱柱的体积为4，的面积为． （1）求A到平面的距离； （2）设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值． 18. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA=AB=2，． （Ⅰ）求证：直线平面PAC； （Ⅱ）求直线PB与平面PAD所成角的正切值； （Ⅲ）设点M在线段PC上，且二面角C-MB-A的余弦值为，求点M到底面ABCD的距离． 19. 在空间直角坐标系中，已知向量，点.若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为. （1）已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的余弦值； （2）已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，求点到平面的距离； （3）（i）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积： （ii）若集合.记集合中所有点构成的几何体为，求几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $