精品解析：2020-2021学年广东省广州市黄埔区黄埔军校纪念中学、北京师范大学广州实验九年级上学期期中数学试卷

2020-2021学年广东省广州市黄埔区黄埔军校纪念中学、北京师范大学广州实验中学联盟 初三上学期期中数学试卷 考试时长：120分钟 试卷满分：120分 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1. 关于x的方程是一元二次方程，则a满足（ ） A B. C. 且 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键，根据一元二次方程的定义可知二次项系数不等于0，即可得到答案． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴， ∴， 故选：B． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键，利用轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可得到答案． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故错误； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故错误； C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故错误； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确； 故选：D． 3. 如图，∠C是⊙O的圆周角，∠C=38°，则∠OAB= (　　) 度 A. 52 B. 38 C. 60 D. 76 【答案】A 【解析】 【详解】试题解析：由圆周角定理得，∠AOB=2∠C=76°， ∵OA=OB， ∴∠OAB=（180°-76°）=52°， 故选A． 4. 将抛物线的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，得到的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键． 【详解】解：由， ∵抛物线的图象向右平移个单位，再向下平移个单位， ∴根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线平移后是， 故选：． 5. 已知反比例函数，下列结论不正确的是（　　） A. 图象经过点（﹣2，1） B. 图象在第二、四象限 C. 当x＜0时，y随着x的增大而增大 D. 当x＞﹣1时，y＞2 【答案】D 【解析】 【详解】A选项：把（-2，1）代入解析式得：左边=右边，故本选项正确，不符合题意； B选项：因为-2＜0，图象在第二、四象限，故本选项正确，不符合题意； C选项：当x＜0，且k＜0，y随x的增大而增大，故本选项正确，不符合题意； D选项：当x＞0时，y＜0，故本选项错误，符合题意． 故选D． 6. 关于x的方程的两根分别是x1，x2，且满足，则k值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系，根据一元二次方程根与系数关系得到，，代入得到关于k的分式方程，解方程并检验即可求出答案． 【详解】解：∵关于x的方程的两根分别是，， ∴，， ∴， 解得：， 经检验，是分式方程的根． 故选：C 7. 如图，在正方形中，E为边上的点，连接，将绕点C顺时针旋转得到，连接EF，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等． 根据正方形的性质及旋转的性质可得是等腰直角三角形，即得结果． 【详解】解：∵将绕点C顺时针旋转得到，， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故选：B 8. 如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AB的中点，连接AD，AG，CD，则下列结论不一定成立的是（ 　） A. CE=DE B. ∠ADG=∠GAB C. ∠AGD=∠ADC D. ∠GDC=∠BAD 【答案】D 【解析】 【详解】∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， ∴CE=DE，A成立； ∵G是的中点， ∴， ∴∠ADG=∠GAB，B成立； ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， ∴， ∴∠AGD=∠ADC，C成立； ∠GDC=∠BAD不成立，D不成立， 故选D． 9. 如图，点A是反比例函数y（x＞0）上的一点，过点A作AC⊥y轴，垂足为点C，AC交反比例函数y＝的图象于点B，点P是x轴上的动点，则△PAB的面积为（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】连接OA、OB、PC．由于AC⊥y轴，根据三角形的面积公式以及反比例函数比例系数k的几何意义得到S△APC＝S△AOC＝3，S△BPC＝S△BOC＝1，然后利用S△PAB＝S△APC﹣S△APB进行计算． 【详解】解：如图， 连接OA、OB、PC． ∵AC⊥y轴， ∴S△APC＝S△AOC＝×|6|＝3，S△BPC＝S△BOC＝×|2|＝1， ∴S△PAB＝S△APC﹣S△BPC＝2． 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 10. 如图，是边长为1的正方形，与x轴正半轴的夹角为，点B在抛物线的图像上，则a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，过作轴于，若与轴正半轴的夹角为，那么；在正方形中，已知了边长，易求得对角线的长，进而可在中求得、的值，也就得到了点的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值． 此题主要考查了正方形的性质，勾股定理以及用待定系数法确定函数解析式的方法，能够正确地构造出与所求相关的直角三角形，是解决问题的关键． 【详解】解：如图，连接，过作轴于； ∵四边形是边长为1的正方形 ∴， ∵与x轴正半轴的夹角为 ∴； 已知正方形的边长为1， 则； 在中，，， 则，； 故， 代入抛物线的解析式中， 得：， 解得； 故选：A． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（共6题，毎题3分，共18分） 11. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数c的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，注意记忆判别式大于0时有两个不相等的实数根，判别式等于0时有两个相等的实数根，判别式小于0时方程无实数根． 根据有两个不相等的实数根，直接得到判别式，即可求解本题． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； 故答案为：． 12. 二次函数的图像的顶点坐标是___． 【答案】（1，3） 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式，即可得出其函数图像顶点为：（1，3）． 【详解】解：∵二次函数顶点式，其顶点坐标为：（h，k） ∴的顶点坐标为：（1，3）． 故答案为：（1，3）． 【点睛】本题主要考查的是二次函数顶点式的应用，熟练掌握顶点式及其应用是解题的关键． 13. 已知是反比例函数，则函数的图像在第_______象限． 【答案】二、四 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图像分布，熟练判定反比例函数系数的正负性是解题的关键． 先根据反比例函数定义，列方程且，求出，得到函数，再由，得出图像在第二、四象限． 【详解】因为是反比例函数， 所以． 解得． 又因为，满足条件． 所以反比例函数的表达式为， 因为，当时，函数的图像在第二、四象限． 综上，函数的图像在第二、四象限． 故答案为：二、四． 14. 已知x为实数，且满足，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，将式子因式分解变形为，再求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴（无解，舍去）或， ∴， 故答案为：． 15. 如图，已知⊙O的直径AB＝10cm，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为点M，且CD＝8cm，则AC的长为______cm. 【答案】4 【解析】 【分析】先根据垂径定理得CM＝DM＝CD＝4cm，由直径AB＝10cm，得OA＝OC＝5cm，由勾股定理得OM长，利用勾股定理可得AC. 【详解】解：连接OC. ∵CD⊥AB ∴CM＝DM＝CD＝4(cm)， ∵AB＝10cm， ∴OA＝OC＝5cm， ∴OM＝(cm)， ∴AM＝AO+OM＝8(cm)， ∴AC＝=4(cm)， 故答案为4. 【点睛】本题主要考查了垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理、勾股定理是解题的关键. 16. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90º，AB=BC=，将△ABC绕点A逆时针旋转60º，得到△ADE，连接BE，则BE的长是__． 【答案】 【解析】 【分析】首先考虑到BE所在的三角形并不是特殊三角形，所以猜想到要求BE，可能需要构造直角三角形．由旋转的性质可知，AC=AE，∠CAE=60°，故△ACE是等边三角形，可证明△ABE与△CBE全等，可得到∠ABE=45°，∠AEB=30°，再证△AFB和△AFE是直角三角形，然后在根据勾股定理求解 ． 【详解】解：连结CE，设BE与AC相交于点F，如下图所示， ∵Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°， ∴∠BCA=∠BAC=45°，AC==6， ∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转60°与Rt△ADE重合， ∴∠BAC=∠DAE=45°，AC=AE， 又∵旋转角为60°， ∴∠BAD=∠CAE=60°， ∴△ACE是等边三角形， ∴AC=CE=AE=6， 在△ABE与△CBE中， ， ∴△ABE≌△CBE（SSS）， ∴∠ABE=∠CBE=45°，∠CEB=∠AEB=30°， ∴在△ABF中，∠BFA=180°-45°-45°=90°， ∴∠AFB=∠AFE=90°． 在Rt△ABF中，由勾股定理得，BF=AF==3， 又在Rt△AFE中，∠AEF=30°，∠AFE=90°， 可得FE===． ∴BE=BF+FE=3+． 故答案为：3+． 【点睛】本题考查了旋转的性质，解决此题，关键是“构造”直角三角形．在熟练掌握旋转的性质的基础上，还要应用全等三角形的判定及性质，直角三角形的判定及勾股定理的应用． 三、解答题（共8题，满分72分） 17. 用适当的方法解方程． （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键． （1）将方程变形为，利用开平方法解方程即可得； （2）将方程变形为，利用因式分解法解方程即可得． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ， 所以方程的解为，． 【小问2详解】 解：， ， ， ， 或， 或， 所以方程的解为，． 18. 已知的顶点均在网格点上，如图所示． （1）将绕原点O按顺时针方向旋转后得到，画出； （2）作出关于原点O中心对称的图形，并写出点的坐标． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析， 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和关于原点对称，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据网格的特点和旋转方式找到的位置，描出并顺次连接即可； （2）关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数，据此可得的坐标，描出并顺次连接即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求，． 19. 如图，是的直径，四边形内接于，延长交于点E，且．已知，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，等边对等角，三角形外角的性质，由圆内接四边形对角互补得到的度数，由等边对等角得到，再由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 20. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值 【答案】（1）详见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）先计算出△=1，然后根据判别式的意义即可得到结论； （2）先利用公式法求出方程的解为x1=k，x2=k+1，然后分类讨论：AB=k，AC=k+1，当AB=BC或AC=BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值． 【详解】（1）证明：∵△=（2k+1）2-4（k2+k）=1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； （2）解：一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0解为x=， 即x1=k，x2=k+1， ∵k＜k+1， ∴AB≠AC． 当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5； 当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4， 所以k的值为5或4． 【点睛】本题考查了：1．根的判别式；2．解一元二次方程；3．三角形三边关系；4．等腰三角形的性质． 21. 如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积 （3）根据图象，直接写出不等式的解集 【答案】（1）， （2）6 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了利用待定系数法求函数的解析式、函数图像上点的坐标特点、两个函数的交点等知识，熟练掌握一次函数与反比例函数的基本知识、灵活应用数形结合思想是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设交x轴于点C，求出点C坐标，再根据求解； （3）找出直线在双曲线下方的部分所对应的x的取值范围即可； 【小问1详解】 ∵在函数 的图象上， ∴． ∴反比例函数的解析式为：． ∵点在函数的图象上， ∴； ∵经过，， ∴ 解得 ， ∴一次函数的解析式为：， 【小问2详解】 设交x轴于点C， ∴当时，， ∴点， ∴， ∴； 【小问3详解】 求不等式 ，即， 根据函数图象可得，当或时，一次函数值小于反比例函数值 ∴不等式的解集为或． 22. 超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加元，每天售出件． （1）请写出与之间的函数表达式； （2）当为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？ （3）设超市每天销售这种玩具可获利元，当为多少时最大，最大值是多少？ 【答案】（1）（2）当为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元（3）当为20时最大，最大值是2400元 【解析】 【分析】（1）根据题意列函数关系式即可； （2）根据题意列方程即可得到结论； （3）根据题意得到，根据二次函数性质得到当时，随的增大而增大，于是得到结论． 【详解】（1）根据题意得，； （2）根据题意得，， 解得：，， ∵每件利润不能超过60元， ∴， 答：当为10时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元； （3）根据题意得，， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，， 答：当为20时最大，最大值是2400元． 【点睛】本题考查了一次函数、二次函数的应用，弄清题目中包含的数量关系是解题关键． 23. 如图1所示，的外接圆的半径为2，，P为圆O中弧上一点，连接，，． （1）若，求证：； （2）如图2，若，若关于直线的对称图形为，连接，试探究，，三者之间满足的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）证明见解析 （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）在上截取，连接，先证出是等边三角形，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得； （2）过点作，且，连接，，利用勾股定理可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，证出，然后利用勾股定理可得，由此即可得． 【小问1详解】 证明：如图，在上截取，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， 由圆周角定理得：， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 小问2详解】 解：，证明如下： 如图，过点作，且，连接，， ∵，且， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 由圆周角定理得：， ∵和关于直线的对称， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， 即． 【点睛】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 24. 如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”． （1）“抛物线三角形”一定是 三角形； （2）若抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求的值； （3）如图，△是抛物线的“抛物线三角形”，是否存在以原点为对称中心的矩形？若存在，求出过三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由． 【答案】（1）等腰 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，等边三角形的判定与性质，矩形的性质等知识，会运用等腰直角三角形、等边三角形和矩形的性质建立等量关系，将函数问题转化为方程问题是解题的关键． （1）根据抛物线的轴对称性判断即可； （2）观察抛物线的解析式，它的开口向下且经过原点，由于，那么其顶点在第一象限，而这个“抛物线三角形”是等腰直角三角形，必须满足顶点坐标的横、纵坐标相等，以此作为等量关系来列方程解出b的值． （3）由于矩形的对角线相等且互相平分，所以若存在以原点O为对称中心的矩形，那么必须满足，结合（1）的结论，得出这个“抛物线三角形”必须是等边三角形，用p表示出、的长，通过这个等边三角形来列等量关系求出p的值，进而确定A、B的坐标，即可确定C、D的坐标，利用待定系数即可求出过O、C、D的抛物线的解析式． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴有两个交点关于抛物线的对称轴对称， ∴“抛物线三角形”是等腰三角形； 故答案为：等腰； 【小问2详解】 解：∵ ∴顶点为， ∵“抛物线三角形”是等腰直角三角形， ∴， ∴（负值舍去）； 【小问3详解】 解：存在． ∵， ∴顶点坐标为， 如图，作△与△关于原点中心对称， 则四边形为平行四边形，， 当时，平行四边形为矩形． 又∵， ∴△为等边三角形． 作，垂足为H． ∴． ∴． ∴（负值舍去） ∴，． ∴，． 设过点三点的抛物线，则 ， 解得 ∴所求抛物线的表达式为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2020-2021学年广东省广州市黄埔区黄埔军校纪念中学、北京师范大学广州实验中学联盟 初三上学期期中数学试卷 考试时长：120分钟 试卷满分：120分 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1. 关于x的方程是一元二次方程，则a满足（ ） A. B. C. 且 D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，∠C是⊙O的圆周角，∠C=38°，则∠OAB= (　　) 度 A. 52 B. 38 C. 60 D. 76 4. 将抛物线的图象向右平移个单位，再向下平移个单位，得到的函数是（ ） A B. C. D. 5. 已知反比例函数，下列结论不正确的是（　　） A. 图象经过点（﹣2，1） B. 图象在第二、四象限 C. 当x＜0时，y随着x增大而增大 D. 当x＞﹣1时，y＞2 6. 关于x的方程的两根分别是x1，x2，且满足，则k值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方形中，E为边上的点，连接，将绕点C顺时针旋转得到，连接EF，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AB的中点，连接AD，AG，CD，则下列结论不一定成立的是（ 　） A. CE=DE B. ∠ADG=∠GAB C. ∠AGD=∠ADC D. ∠GDC=∠BAD 9. 如图，点A是反比例函数y（x＞0）上的一点，过点A作AC⊥y轴，垂足为点C，AC交反比例函数y＝的图象于点B，点P是x轴上的动点，则△PAB的面积为（　　） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 10. 如图，是边长为1的正方形，与x轴正半轴的夹角为，点B在抛物线的图像上，则a的值为（ ） A B. C. D. 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（共6题，毎题3分，共18分） 11. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数c的取值范围是______． 12. 二次函数的图像的顶点坐标是___． 13. 已知是反比例函数，则函数的图像在第_______象限． 14. 已知x为实数，且满足，则值为________． 15. 如图，已知⊙O的直径AB＝10cm，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为点M，且CD＝8cm，则AC的长为______cm. 16. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90º，AB=BC=，将△ABC绕点A逆时针旋转60º，得到△ADE，连接BE，则BE的长是__． 三、解答题（共8题，满分72分） 17. 用适当的方法解方程． （1） （2） 18. 已知的顶点均在网格点上，如图所示． （1）将绕原点O按顺时针方向旋转后得到，画出； （2）作出关于原点O中心对称的图形，并写出点的坐标． 19. 如图，是直径，四边形内接于，延长交于点E，且．已知，求的度数． 20. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若△ABC的两边AB、AC的长是方程的两个实数根，第三边BC的长为5．当△ABC是等腰三角形时，求k的值 21. 如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积 （3）根据图象，直接写出不等式的解集 22. 超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件．设销售单价增加元，每天售出件． （1）请写出与之间的函数表达式； （2）当为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？ （3）设超市每天销售这种玩具可获利元，当为多少时最大，最大值是多少？ 23. 如图1所示，的外接圆的半径为2，，P为圆O中弧上一点，连接，，． （1）若，求证：； （2）如图2，若，若关于直线的对称图形为，连接，试探究，，三者之间满足的数量关系，并证明你的结论． 24. 如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”． （1）“抛物线三角形”一定是 三角形； （2）若抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求的值； （3）如图，△是抛物线的“抛物线三角形”，是否存在以原点为对称中心的矩形？若存在，求出过三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $