精品解析：黑龙江省龙东联盟2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

2025级高一学年上学期10月份月考 数学 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章、第二章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（    ） A. B. C. D. 3. 已知，，，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 设，，且，则的最小值为（ ） A. B. 5 C. D. 4 5. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的真子集个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 7 6. 对于实数，规定表示不大于的最大整数，如，，那么不等式成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 7. 已知集合，若，且同时满足：①若，则；②若，则，则集合的个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 8. 若，且不等式对任意恒成立，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知命题，，命题，，则（ ） A. 是真命题 B. 是假命题 C. 和都是真命题 D. 和都是假命题 10. 当两个集合中的一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合构成“偏食”.对于集合，，若集合与构成“全食”或“偏食”，则实数的取值可以是（ ） A. B. 0 C. D. 1 11. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 设关于的方程的解为，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是_____. 13. 已知集合，，若集合中恰有两个整数，则实数的取值范围是_____. 14. 已知，，，且，则实数的最小值为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知命题：实数满足；命题：实数满足. （1）若，且和都是真命题，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16. 已知全集，集合，. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 17. 如图，某农场紧急围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用现有旧墙（利用旧墙需要先进行维修），其余三面修建新墙，与旧墙平行的那面新墙上，需预留宽的入口（入口不需建墙）.已知旧墙的维修费用为28元/，新墙的造价为100元/，旧墙的使用长度为，修建此矩形场地的总费用为（单位：元）. （1）写出关于的表达式； （2）当为何值时，修建此围墙所需费用最少？并求出最少费用. 18. 已知函数. （1）若关于的不等式的解集为（），求实数，的值； （2）若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）求关于的不等式的解集. 19. 已知正整数集的一个非空子集，其中且，（）.若对任意的，，都有，则称集合具有性质“跨度k”，其中. （1）若，，，集合具有性质“跨度4”，求集合中元素的最小值； （2）若集合具有性质“跨度36”，求证： （ⅰ）； （ⅱ）. （3）若集合具有性质“跨度36”，求集合中元素个数的最大值，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高一学年上学期10月份月考 数学 考生注意： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章、第二章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用集合的并集运算求解即可. 【详解】因为集合，，所以. 故选：A 2. 命题“”的否定是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定方法，改变量词，否定结论即可. 【详解】命题“”的否定是“”． 故选：． 3. 已知，，，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质及特殊值法判断A、B、C，作差法判断D. 【详解】因为，所以，又，当时，故A错误； 当，时，，故B错误； 当，时，，故C错误； 由， 所以，故D正确. 故选：D 4. 设，，且，则的最小值为（ ） A. B. 5 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】应用常值代换结合基本不等式计算求解. 【详解】因为，，且， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故选:C. 5. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的真子集个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据图知阴影部分为，解一元二次不等式求集合，应用集合的并集、补集运算求集合，再根据其中元素个数求出其真子集个数即可. 【详解】根据题意，图中阴影部分区域表示为， 因为， 所以，则， 所以其真子集的个数为. 故选：B 6. 对于实数，规定表示不大于的最大整数，如，，那么不等式成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得，结合已知新定义有，最后由充分不必要条件的定义，即可得答案. 【详解】由，得，解得，因此或或， 又因为表示不大于的最大整数，所以， 要找其成立的一个充分不必要条件，则应找其真子集，只有选项A满足要求. 故选：A 7. 已知集合，若，且同时满足：①若，则；②若，则，则集合的个数为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的子集关系及元素的特征，再列举出各个选项即可求解. 【详解】因为，， 由题意可知，若，则，若，则， 若，则，若，则，3，7没有限制， 综上所述，满足条件的集合可为： 、、、、、、、 、、、、、、、 、，共16个. 故选:D. 8. 若，且不等式对任意恒成立，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对进行分情况讨论，再借助二次函数的图象即可求解. 【详解】因为， 所以当时，恒成立； 当时，，则需； 当时，，则需. 设，则解得或， 所以，当时，取得最小值，且最小值为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知命题，，命题，，则（ ） A. 是真命题 B. 是假命题 C. 和都是真命题 D. 和都是假命题 【答案】AD 【解析】 【分析】先判断原命题的真假，再得出命题的否定的真假即可判断. 【详解】命题，，当时，，故命题为假命题，则，，为真命题； 命题，，当时，，故命题为真命题，则，，为假命题， 故A，D正确，B，C错误. 故选:AD. 10. 当两个集合中的一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合构成“偏食”.对于集合，，若集合与构成“全食”或“偏食”，则实数的取值可以是（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】BD 【解析】 【分析】讨论、求出对应集合，根据各项给定的值及已知判断集合的关系，即可得. 【详解】当时，， 当时，， 对于A：若，，此时，不满足； 对于B：若，，此时，满足； 对于C：若，，此时，不满足； 对于D：若，，此时，满足. 故选：BD 11. 已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 设关于的方程的解为，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解集得，，结合基本不等式及不等式性质、根与系数关系依次判断各项的正误. 【详解】因为不等式的解集为， 所以和为方程的两根，且， 所以，即，，所以，A正确； 又（等号不成立），所以，所以，，B正确； ，C错误； 方程可化为， 整理得，解得，， 所以， 又，且， 所以，即， 所以，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】讨论、，结合二次函数的性质列不等式求参数范围即可. 【详解】当时，显然恒成立； 当时，由二次函数性质知，解得. 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 13. 已知集合，，若集合中恰有两个整数，则实数的取值范围是_____. 【答案】或 【解析】 【分析】根据集合中恰有两个整数分别是3和4或2和3列式计算求解. 【详解】若集合中的两个整数是3和4，则解得； 若集合中的两个整数是2和3，则解得. 综上所述，实数的取值范围是或. 故答案为：或. 14. 已知，，，且，则实数的最小值为_____. 【答案】81 【解析】 【分析】将条件等式化为，应用基本不等式求得，注意等号成立条件，再应用换元法及解一元二次不等式求参数范围，即可得. 【详解】由，得，即， 因为，，，所以，当且仅当时取等号， 令，则，解得或（舍）， 即，，当且仅当时取等号，故实数的最小值是81. 故答案为：81 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知命题：实数满足；命题：实数满足. （1）若，且和都是真命题，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先分别求解一元二次不等式得出和，再根据命题为真取交集即可； （2）先求解一元二次不等式，再根据充分不必要条件列式计算求参. 【小问1详解】 若，解，得，即命题. 解，得，即命题. 因为和都是真命题，所以，即实数的取值范围是. 【小问2详解】 由，得. 因为是的充分不必要条件， 所以且等号不同时成立，解得， 所以实数的取值范围是. 16. 已知全集，集合，. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式求集合，应用交补运算求集合； （2）由题设，讨论是否为空集，列不等式求参数范围. 【小问1详解】 因为，所以或. 当时，，故. 【小问2详解】 因为，所以. 若，此时，解得； 若，此时，且，解得， 综上，实数的取值范围是. 17. 如图，某农场紧急围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用现有旧墙（利用旧墙需要先进行维修），其余三面修建新墙，与旧墙平行的那面新墙上，需预留宽的入口（入口不需建墙）.已知旧墙的维修费用为28元/，新墙的造价为100元/，旧墙的使用长度为，修建此矩形场地的总费用为（单位：元）. （1）写出关于的表达式； （2）当为何值时，修建此围墙所需费用最少？并求出最少费用. 【答案】（1） （2）当时，修建此围墙所需费用最少，最少费用为3000元 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列式得出修建新墙费用和维修旧墙费用即可得出总费用； （2）结合（1）应用基本不等式计算结合取等条件计算求解. 【小问1详解】 依题意，新墙总长度为，修建新墙费用为元，维修旧墙费用为元， 因此， 所以修建此矩形场地的总费用. 【小问2详解】 由（1）知， 当时，， 当且仅当，即时，， 所以当时，修建此围墙所需费用最少，最少费用为3000元. 18. 已知函数. （1）若关于的不等式的解集为（），求实数，的值； （2）若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）求关于的不等式的解集. 【答案】（1），； （2）； （3） 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式与二次函数的关系，及其解集求参数值； （2）问题化为恒成立，应用基本不等式求不等式右侧的最小值，即可得范围； （3）分类讨论参数求一元二次不等式对应的解集. 【小问1详解】 由关于的不等式的解集为，得， 且和是方程的两个实数根，即，解得， 所以的另一实数根为，即，所以，. 【小问2详解】 由，得，又，所以恒成立. 当时，，当且仅当时取等号， 所以，即实数的取值范围为. 【小问3详解】 当时，不等式为，其解集为； 当时，不等式可化为，其方程对应的两根分别为，. 若，不等式解集为； 若，不等式可化为，此时不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为. 综上可知， 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 19. 已知正整数集的一个非空子集，其中且，（）.若对任意的，，都有，则称集合具有性质“跨度k”，其中. （1）若，，，集合具有性质“跨度4”，求集合中元素的最小值； （2）若集合具有性质“跨度36”，求证： （ⅰ）； （ⅱ）. （3）若集合具有性质“跨度36”，求集合中元素个数的最大值，并说明理由. 【答案】（1）最小值为12； （2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析； （3）最大值为11，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题设新定义列不等式组求得，即可得； （2）（i）根据定义得，再作变形即可证；（ii）根据已知有，再作累加即可证； （3）由（2）可得、，进而得在上恒成立，讨论、研究恒成立，即可得. 【小问1详解】 根据性质“跨度4”的定义可得且，解得， 所以集合中元素的最小值为12. 【小问2详解】 （ⅰ）根据性质“跨度36”的定义可得. 因为，均为正整数，不等式两边同除，得，得证. （ⅱ）根据性质“跨度36”的定义可得，， 因为，均为正整数，所以不等式两边同除，得， 所以，，，，， 累加得，得证. 【小问3详解】 由（2）可知，所以，解得， 同（2）证明得，所以， 又由定义知，所以，所以在上成立， 当时，取，则，解得，矛盾； 当时，对任意，的最大值为，满足恒成立 所以集合中元素个数的最大值为11. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $