第三章概率的进一步认识单元练习2025--2026学年北师大版数学九年级上册

第三章 概率的进一步认识 单元练习 一、单选题 1．纸箱里有两双运动鞋，除了颜色不同外(其中一双是红色，另一双是白色)，其余都相同，从中随机取出1只(不放回)，再取出1只，则两次取出的鞋恰好组成一双的概率为（　　） A． B． C． D． 2．某轨道列车共有4节车厢，乘客从任意一节车厢上车的机会均等．某天甲、乙两位乘客同时乘坐该轨道列车，则甲和乙分别在相邻车厢的概率为（   ） A． B． C． D． 3．如图，这是正方形网格，图中的2个小方格已涂上阴影，若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使整个阴影部分组成轴对称图形的概率是（    ） A． B． C． D． 4．在一个不透明的箱子里装有白球和红球共20个，这些球除颜色外完全相同．每次从箱子中摸出一个球，记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.7左右，则箱子中红球的个数约是（    ） A．6 B．9 C．12 D．14 5．山西省农业科学院高粱研究所在培育高粱晋杂23号时，在相同条件下进行了发芽试验，发芽情况绘制成如图所示的统计图，据此估计高粱晋杂23号种子的发芽概率约为（   ） A．1 B．0.95 C．0.9 D．0.85 6．现有一个可以自由转动的转盘，被等分成4个扇形，颜色如图所示．自由转动该转盘，当它停止时，指针落在红色区域的概率是（   ） A． B． C． D． 7．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（    ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率 B．任意写一个整数，它能被2整除的概率 C．掷一枚质地均匀正六面体骰子，向上的面点数是2的概率 D．不透明袋子中装有10个球，其中有7个绿球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率 8．某商场今年国庆节期间举行有奖促销活动，凡购买一定金额的商品可参与转盘抽奖．如图，转盘分为“A”“B”“C”“D”四个区域，自由转动转盘，若指针落在字母“B”所在的区域内，则顾客中奖（转到公共线位置时重转）．若某顾客转动1次转盘，则其中奖的概率是（　　） A． B． C． D． 9．人的眼皮性状由常染色体的一对基因控制，双眼皮由显性基因（）控制，单眼皮由隐性基因（）控制．当一个人的基因型为（）或（）时，这个人就是双眼皮；当一个人的基因型为（）时，这个人就是单眼皮．父母分别将他们一对基因中的一个等可能地遗传给子女．若父母都是双眼皮，且他们的基因都是（），则他们的子女是单眼皮的概率为（    ） A． B． C． D． 10．嘉嘉和淇淇玩猜拳游戏（如图所示），他们伸出几根手指就代表几（不伸手指代表0），表示两人伸出手指数的和，玩一次游戏，下列事件的概率最大的是（   ） A．为10 B．为7 C．为1 D．为12 二、填空题 11．“五泄”、“白塔湖”、“千柱屋”和“西施故里”是诸暨著名的旅游景点，若小明从这四个景点中随机选择两个景点游览，则这两个景点恰好是“西施故里”和“五泄”的概率是 ． 12．如图是一个可以转动的转盘，转盘被分成六等份，转动转盘一次，转盘上的指针停在白色区域的概率是 13．有20张背面完全相同，正面涂有红色或绿色的卡片，将这20张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，记录颜色后放回，经过大量重复试验后发现，抽到红色卡片的频率稳定在．现有以下三个结论：①估计绿色卡片有14张；②估计红色卡片有8张；③随机摸一次卡片，摸到绿色卡片的概率为．其中正确的结论是 ．（填序号） 14．小红和小明在操场上做游戏，他们先在地上画了半径分别为和的同心圆，如图．他们蒙上眼在一定距离外向同心圆内部掷石子，落在阴影内则小红胜，落在小圆内则小明胜．这个游戏 （填“公平”或“不公平”）． 15．某小组用电脑做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图．假设该事件为“等概率从1~9的连续整数中选出n的倍数”，则正整数n的值最可能是 ． 三、解答题 16．小滨的父母决定周末带她去旅游，初步商量有意向的四个景点分别为：A．明月山，B．庐山，C．婺源，D．三清山．由于受到时间限制，只能选两个景点，于是小滨的父母决定通过抽签选择，用四张小纸条分别写上四个景点做成四个签（外表无任何不同），让小滨随机先抽一次（不放回），再抽一次，每次抽一个签，每个签抽到的机会相等． (1)小滨最希望去婺源，则小滨第一次恰好抽到婺源的概率是 ； (2)除婺源外，小滨还希望去明月山，求小滨抽到婺源、明月山两个景点中至少一个的概率是多少．（通过“画树状图”或“列表”进行分析） 17．某校开展生物项目式实践研究活动，老师带领同学们通过动手实验和查阅资料相结合的方式认识植物，下表记录了某种植物种子在相同条件下发芽率试验的结果． 种子个数 100 400 900 1500 2500 4000 6000 10000 发芽种子个数 92 352 818 1336 2255 3604 5406 9011 发芽种子频率 （结果保留小数点后三位） 实践活动结束，该校组织七、八年级学生开展了一次学习成果竞赛，成绩分别为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．学校分别从七、八年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表． 年级 平均分 中位数 众数 方差 七年级 a 9 八年级 8 b (1) ___________， ___________． (2)补全条形统计图． (3)本次竞赛规定9分及以上的成绩为优秀，请估计八年级700名学生中成绩为优秀的学生人数有多少？ (4)根据表中的数据，可估计该植物种子发芽的概率为多少？（结果保留小数点后三位） 18．某校希望进一步提高学生体育与健康素养，为了解学生每天校外体育活动时间，随机抽取了若干名学生进行调查，将这些学生一天的校外体育活动时间x（分钟）分为五个小组： A：；B：；C：；D： ；E： 现将调查结果绘制成两幅不完整的统计图． 请根据统计图信息，解答下列问题： (1)本次调查的样本容量是_________，并将频数分布直方图补充完整； (2)若该校共有学生3000人，请根据调查结果估计，该校学生每天校外体育活动时间不少于60分钟的学生有多少人？ (3)已知A组有1名男生和2名女生，从中随机抽取2名学生，请用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 19．学习习近平总书记关于生态文明建设重要讲话，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的科学观，让环保理念深入到学校．某校赵老师为了了解本班学生3月植树成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为了三类：A：好，B：中，C：差，请根据图中信息，解答下列问题： (1)全班学生总人数是______； (2)补全条形统计图，在扇形统计图中，______，C类的圆心角为______； (3)赵老师在班上随机抽取了4名学生，其中A类1人，B类2人，C类1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用树状图或列表法求出抽中全是B类学生的概率． 20．2024年12月17日，神舟十九号乘组完成首次出舱活动，用时9小时，刷新了中国航天员单次出舱活动时长纪录．为大力弘扬航天精神，普及航天知识，激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，校团委以此为契机，组织了“航空航天知多少”知识竞赛．随机抽查七、八年级各15名同学成绩进行分析，相关信息如图表所示： 成绩x/分 七年级 4 3 5 3 八年级 0 0 5 10 平均数 中位数 众数 方差 七年级 15.4 a 16 8 八年级 18.2 18 b 说明：七年级抽取的15名同学的竞赛成绩在分数段内的具体成绩为14，16，17，16，15，16，15，16．根据以上信息，解答下列问题． (1) ； ； (2) （填“”“”或“”）．你认为哪个年级同学掌握有关“航天”的知识更好？请说明理由； (3)学校从“”范围内随机抽取了4名学生，其中有3名男生和1名女生，若从这4名学生中随机选取2名学生进行访谈，请用列表或画树状图的方法求所选取的2名学生恰好是2名男生的概率． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第三章 概率的进一步认识 单元练习2025--2026学年北师大版数学九年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D D C A C B D B 1．C 【分析】本题考查概率计算，解答本题需掌握概率计算方法；列表表示出所有的可能性，从中找出“两次取出的鞋恰好组成一双”的可能，再利用概率计算公式列式计算即可得出结果． 【详解】解：列表如下： 红左 红右 白左 白右 红左 红左，红右 红左，白左 红左，白右 红右 红右，红左 红右，白左 红右，白右 白左 白左，红左 白左，红右 白左，白右 白右 白右，红左 白右，红右 白右，白左 根据上表可得共有12种情况，其中“两次取出的鞋恰好组成一双”共有4种情况， ∴两次取出的鞋恰好组成一双的概率为． 故选：C． 2．A 【分析】本题考查了列表法和画树状图法求概率，简单的概率公式，先画出树状图，得出总的事件数，再求出甲和乙分别在相邻车厢的事件数，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：把节车厢记为，画树状图如下： 共有16种等可能的结果，甲和乙分别在相邻车厢的结果有共6种， ∴甲和乙分别在相邻车厢的概率为， 故选：A． 3．D 【分析】本题考查概率，轴对称图形，将图中1~10中的小正方形任涂一个均能使整个阴影部分组成轴对称图形，再根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：如图，将图中1~10中的小正方形任涂一个均能使整个阴影部分组成轴对称图形，所以使整个阴影部分组成轴对称图形的概率． 故选：D． 4．D 【分析】本题考查利用频率估计概率，掌握用频率的集中趋势来估计概率是解题的关键．根据利用频率估计概率可知摸到红球的概率为0.7，从而可以计算出红球的个数． 【详解】解：利用频率估计概率可知摸到红球的概率为0.7， ∴箱子中红球的个数约是（个）． 故选：D． 5．C 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 由图可知，成活频率在0.9上下波动，故可估计这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值为0.9． 【详解】解：这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值约是0.9． 故选：C． 6．A 【分析】本题主要考查几何概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：落在红色区域的概率， 故选：A． 7．C 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，简单的概率计算等知识点，解题的关键是熟练掌握简单概率的计算． 利用概率公式逐项进行求概率，然后对比图中概率，即可得出结果． 【详解】解：A. 小明随机出的是“剪刀”的概率为，不符合题意； B. 任意写一个整数，它能被2整除的概率为，不符合题意； C. 掷一枚质地均匀正六面体骰子，向上的面点数是2的概率为，接近图中概率，该选项符合题意； D. 是绿球的概率为，不符合题意； 故选：C． 8．B 【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 【详解】解：由图知，字母“B”所在的区域的圆心角度数为， ∴当转盘停止转动后，指针落在字母“B”所在区域内的概率是，即中奖的概率是． 故选：B． 9．D 【分析】本题考查了列表或画树状图求概率，列表可知共有种等可能的情况出现，其中基因型为的只有一种情况，他们的子女是单眼皮的概率为． 【详解】解：如下图所示，列表如下， 父亲母亲 A a A (A,A) (a,A) a (A,a) (a,a) 有表可知，共有种等可能的情况出现，其中基因型为的只有一种情况， 他们的子女是单眼皮的概率为． 故选：D． 10．B 【分析】此题考查的是树状图法求概率，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出两人出拳手指数之和为偶数的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：根据题意画图如下： ∵共有36个等可能的结果，两人出拳的手指数之和为10的结果有1种，之和为7的有4种，之和为1的有2种，之和为12的有0种， ∴之和为10的概率为，之和为7的概率为，之和为1的概率为，之和为12的概率为0， ∵， ∴为7的概率最大， 故选：B． 11． 【分析】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，根据题意，列出表格或画出树状图是解题的关键． 设“五泄”、“白塔湖”、“千柱屋”和“西施故里”分别用A，B，C，D表示，根据题意，列出表格，可得一共有12种等可能结果，其中这两个景点恰好是“西施故里”和“五泄”的有2种，再根据概率公式计算，即可求解． 【详解】解：设“五泄”、“白塔湖”、“千柱屋”和“西施故里”分别用A，B，C，D表示， 根据题意，列出表格如下： A B C D A B，A C，A D，A B A，B C，B D，B C A，C B，C D，C D A，D B，D C，D 一共有12种等可能结果，其中这两个景点恰好是“西施故里”和“五泄”的有2种， 这两个景点恰好是“西施故里”和“五泄”的概率是． 故答案为： 12． 【分析】本题考查了几何概率，用白色区域的份数除以总份数即可求解，掌握概率的计算方法是解题的关键． 【详解】解：白色区域在转盘中占份，即， ∴停在白色区域的概率是， 故答案为：． 13．②③/③② 【分析】本题考查了根据频率估计概率，概率公式求数量，求概率． 先根据题意求出绿色卡片和红色卡片的数量，再逐一判断即可． 【详解】∵经过大量重复试验后发现，抽到红色卡片的频率稳定在， ∴抽到红色卡片的概率为， ∴红色卡片有（张），绿色卡片有（张），抽到绿色卡片的概率为， ∴①错误，②正确，③正确． 故答案为：②③． 14．不公平 【分析】本题考查了概率的应用，根据概率评判游戏是否公平是解题的关键． 求出小明与小红分别胜的概率，如果相等，则游戏公平，否则游戏不公平． 【详解】解：． ， 这个游戏不公平． 故答案为：不公平． 15．3 【分析】本题考查了用频率估计概率以及概率的计算，解题的关键是分别计算不同正整数对应的概率，再与折线图中稳定的频率对比． 先确定从1到9中不同正整数的倍数个数，计算对应的概率，再结合折线图中频率稳定的范围（约0.33），找出最符合的． 【详解】解：从1到9的连续整数共有9个．根据“用频率估计概率”，当试验次数很大时，频率稳定在概率附近，折线图中事件发生的频率稳定在0.33左右，因此需计算不同正整数时，“选到的倍数”的概率： 若，到9中2的倍数有，共4个，概率为，与0.33不符． 若，到9中3的倍数有，共3个，概率为，与折线图中稳定的频率（约0.33）接近． 若，到9中4的倍数有，共2个，概率为，与0.33不符． 其他更大的（如），1到9中的倍数更少，概率更小，均不符合． 因此，正整数的值最可能是3． 故答案为：3． 16．(1) (2) 【分析】本题主要考查利用列表法或树状图法求概率及概率公式，熟练掌握运用列表法或树状图法是解题关键． （1）根据概率公式求解即可； （2）由列表法或树状图法得出所有结果及满足条件的结果，然后由概率公式求解即可． 【详解】（1）解：小滨从中抽签，共有4种等可能结果，其中第一次恰好抽到婺源的有1种结果，概率． 故答案为：． （2）解：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，抽到婺源、明月山两个景点中至少一个的情况数有10种， ∴抽到婺源、明月山两个景点中至少一个的概率． 17．(1)9；10 (2)图见解析 (3)八年级700名学生中成绩为优秀的学生人数有336人 (4)该植物种子发芽的概率约为 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、中位数、众数以及利用频率估计概率，熟练掌握并运用相关知识是解决本题的关键． （1）根据中位数的定义：按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数，众数的定义：一组数据中出现次数最多的数值进行解答即可； （2）根据条形统计图和七年级总人数求出C等级的人数进而补全条形统计图即可； （3）用总人数乘以优秀的百分比即可； （4）用发芽种子频率的平均数估计概率即可． 【详解】（1）解：∵七年级成绩共抽取25名学生， ∴中位数是第13位学生， 由条形图可得A等级有6人，B等级有12人， ∵， ∴第13个数据在B等级，对应为9分， ∴， 由扇形图可得A级占比（最大）， 又∵A级对应分数10分， ∴， 故答案为：9，10； （2）解：∵七年级总人数为25人， 又∵A等级6人、B等级12人、D等级5人， ∴C等级人数为：（人）， 补全条形统计图如下， （3）解：∵“优秀”为9分及以上含A、B两种等级， 由扇形图得A等级占，B等级占， ∴优秀总占比为：， ∵八年级共 700 名学生， ∴优秀人数为：（人）； （4）解：根据表中数据，该植物种子发芽的概率为， ∵结果保留小数点后三位， ∴， ∴该植物种子发芽的概率约为． 18．(1)60，频数分布直方图见详解 (2)1200人 (3) 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．也考查了频数分布直方图． （1）由的人数除以所占百分比求出样本容量，进而求出组的人数，将频数分布直方图补充完整即可； （2）由该校学生总人数乘以每天校外体育活动时间不少于60分钟的学生所占的百分比即可． （3）画树状图，共有 6 种等可能的结果，恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的结果有 4 种，再由概率公式求解即可； 【详解】（1）解：本次调查的样本容量是：， 则组的人数， 将频数分布直方图补充完整如下： （2）解：（人）， 该校学生每天校外体育活动时间不少于60分钟的学生有1200人． （3）解：画树状图如图： 共有 6 种等可能的结果，恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的结果有 4 种， ∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为， 故答案为：． 19．(1)40 (2)见详解，60， (3) 【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图的知识．用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比 （1）由A类人数及其所占百分比可得总人数； （2）总人数减去A、B的人数求得C类人数，再分别用B、C的人数除以总人数可得对应百分比，据此即可补全图形； （3）列表得出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得． 【详解】（1）全班学生总人数为（人； （2）类人数为， 类所占百分比为，圆心角为：，类百分比为， 补全图形如下： （3）列表如下： A B B C A AB AB AC B BA BB BC B BA BB BC C CA CB CB 由表可知，共有12种等可能结果，其中全是类的有2种情况， 所以全是类学生的概率为． 20．(1)16，19 (2)，八年级同学掌握有关“航天”的知识更好，理由见解析 (3) 【分析】（1）将七年级15名同学的成绩按照从小到大的顺序排列，中间第8名同学的成绩即为中位数，八年级15名同学中出现次数最多的成绩即为众数； （2）方差的计算公式：；中位数、众数越大，掌握情况越好，方差越小，越稳定，只需比较这三个数即可； （3）列表可知所有可能的情况共有n种，其中选取的2名学生恰好是两名男生的结果有m种，； 本题主要考查了中位数、众数和方差的定义与计算，列表法或树状图法求概率等知识点，熟练掌握方差的计算和列表法或树状图法求概率是解题的关键． 【详解】（1）解：将七年级抽取的15名同学的竞赛成绩按照从小到大的顺序排列，排在第8名的成绩为16， ∴． 由八年级抽取的15名同学的竞赛成绩统计图可知成绩为19的人数最多， ∴． 故答案为：16，19； （2）由图表信息可知， ∵七年级成绩的方差为8，八年级成绩的方差为1.76， ∴． 故答案为：． 八年级同学掌握有关“航天”的知识更好． 理由：∵八年级成绩的平均数、中位数、众数都大于七年级，且八年级成绩的方差小于七年级， ∴八年级同学掌握有关“航天”的知识更好； （3）列表如表： 男 男 男 女 男 —— (男，男) (男，男) (男，女) 男 (男，男) —— (男，男) (男，女) 男 (男，男) (男，男) —— (男，女) 女 (女，男) (女，男) (女，男) —— 共有12种等可能的结果，其中所选取的2名学生恰好是两名男生的结果有6种， ∴所选取的2名学生恰好是2名男生的概率为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $