精品解析：山东省烟台市莱州市莱州市第一中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

莱州一中2025级高一第一次质量检测数学试题 命题人：杨付凯 审核人：刘新杰 迟晓丽 答题时间：2025.10.9 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合和（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题p：x <1，，则为 A. x ≥1, ＞ B. x <1, C. x <1, D. x ≥1, 3. 若函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若,，则 5. 已知函数，且，则（ ） A. B. 3 C. D. 17 6. 若集合满足：，若，则，则称集合是一个“偶集合”.已知集合，，那么下列集合中为“偶集合”的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列各组函数表示相同函数的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 8. 定义区间长度为这样的一个量：的大小为区间右端点的值减去左端点的值.若关于的不等式有解，且解集区间长度不超过5个单位长度，则实数的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下表是某市公共汽车的票价y（单位：元）与里程x（单位：km）之间的函数，如果某条线路的总里程为20km，那么下列说法正确的是（ ） x 2 3 4 5 A. B. 若，则 C. 函数的定义域是 D. 函数的值域是{2，3，4，5} 10. （多选）下列命题为真命题的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. “”是“”的充分不必要条件 C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的充要条件 11. 已知，，.则（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若的定义域为__________. 13. 李明自主创业，经营一家网店，每售出一件商品获利8元.现计划在“五一”期间对商品进行广告促销，假设售出商品的件数（单位：万件）与广告费用（单位：万元）符合函数模型.若要使这次促销活动获利最多，则广告费用应投______万元，获得总利润为______万元. 14. 已知实数满足，若关于的不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数的取值范围是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设集合，. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知集合. （1）若命题，都有“为真命题，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 17. 如图是一份矩形的宣传单，其排版面积（矩形）为，左右两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白. （1）若，，且该宣传单的面积不超过，则的最大值是多少？ （2）若，，则当长多少时，宣传单的面积最小？最小的面积是多少？ 18. 设. （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）在（1）的条件下，求的最小值； （3）解关于的不等式. 19. 已知，. （1）若，证明：； （2）若，求的最小值； （3）若恒成立，求x的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莱州一中2025级高一第一次质量检测数学试题 命题人：杨付凯 审核人：刘新杰 迟晓丽 答题时间：2025.10.9 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合和（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合补集、交集的定义进行求解即可. 【详解】由题意知，， 故选：B 2. 已知命题p：x <1，，则为 A. x ≥1, ＞ B. x <1, C. x <1, D. x ≥1, 【答案】C 【解析】 【详解】 根据全称命题与存在性命题之间的关系， 可知命题的否定为，故选C． 3. 若函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的概念以及定义域与值域判断各个选项的图象即可. 【详解】解：函数的定义域为 ，值域为 ， 可知A图象定义域不满足条件； B图象不满足函数的值域； C图象满足题目要求； D图象，不是函数的图象； 故选：C． 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若,，则 【答案】D 【解析】 【分析】通过举反例排除A,B两项；利用作差法判断C项，结论错误；运用不等式的性质可推理得到D项结论. 【详解】对于A，若，当时，则，故A错误； 对于B，若，满足，但，故B错误； 对于C，因，，由，可得，故C错误； 对于D，由，得，因，则，故D正确． 故选：D． 5. 已知函数，且，则（ ） A. B. 3 C. D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用赋值法代入计算得解. 【详解】函数，令，则，而， 所以. 故选：B 6. 若集合满足：，若，则，则称集合是一个“偶集合”.已知集合，，那么下列集合中为“偶集合”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出，，，，再利用“偶集合”的定义判断即得. 【详解】集合，，则， 显然，而，A不是； ，显然，而，B不是； ，则，不符合题意，C不是； ，则， 对，有，即是一个“偶集合”，D是. 故选：D 7. 下列各组函数表示相同函数的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义域及对应法则判断是否为同一函数即可. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数，故A错误； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数，故B错误； 对于C，函数与的定义域和对应法则都相同， 所以表示相同的函数, 故C正确； 对于D，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数，故D错误. 故选：C. 8. 定义区间长度为这样的一个量：的大小为区间右端点的值减去左端点的值.若关于的不等式有解，且解集区间长度不超过5个单位长度，则实数的取值范围是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据关于的不等式有解，则判别式大于0，得到的取值范围，再由区间长度不超过5，得出，根据韦达定理代入再确定的取值范围，最后取交集即可. 【详解】因为关于的不等式有解，所以，解得或，设方程的两个根分别为和，则，， 又因为解集区间长度不超过5个单位长度，所以，所以， 即，所以，解得， 综上可得实数的取值范围是. 故选：B. 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的应用，考查韦达定理，解题的关键是正确理解题意. 二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下表是某市公共汽车的票价y（单位：元）与里程x（单位：km）之间的函数，如果某条线路的总里程为20km，那么下列说法正确的是（ ） x 2 3 4 5 A. B. 若，则 C. 函数的定义域是 D. 函数的值域是{2，3，4，5} 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据表格中的函数关系逐项判断即可. 【详解】由题意知，，选项A正确； 若，则，选项B错误； 函数的定义域为，选项C正确； 函数的值域是{2，3，4，5}，选项D正确. 故选：ACD. 10. （多选）下列命题为真命题的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. “”是“”的充分不必要条件 C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的充要条件 【答案】BD 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件与充要条件的定义逐项判断，即可得出结果. 【详解】选项A，当时，，但是，故必要性不成立，所以A错误； 选项B，当时，一定成立，故充分性成立，当时，，故必要性不成立，所以B正确； 选项C，当时，，所以充分性不成立，所以C错误； 选项D，当时，， 即，所以，充分性成立， 当时，，必要性成立，所以D正确． 故选：BD. 11. 已知，，.则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，求得的范围，整理可得，利用基本不等式可判断AC；利用二次函数的性质可判断B；利用基本不等式“1”的代换可判断D. 【详解】因为，，，所以，所以， 对于A：因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故A错误； 对于B：因为，所以，因为，所以，即，故B正确； 对于C：因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对于D：因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以，故D正确 故选：BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分式和根式对自变量的限定，列出不等式组，求出定义域. 【详解】由题意可得，解得且，所以定义域为. 故答案为：. 13. 李明自主创业，经营一家网店，每售出一件商品获利8元.现计划在“五一”期间对商品进行广告促销，假设售出商品的件数（单位：万件）与广告费用（单位：万元）符合函数模型.若要使这次促销活动获利最多，则广告费用应投______万元，获得总利润为______万元. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设李明获得的利润为万元，求出关于的表达式，利用基本不等式可求得的最小值及其对应的的值，从而求出总利润. 【详解】设李明获得的利润为万元，则， 则 ， 当且仅当，因为，即当时，等号成立. 此时总利润为. 故答案为：；. 14. 已知实数满足，若关于的不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】关于的不等式即为，讨论、、时的情况，确定，进而结合题意列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知实数满足，则， 关于的不等式即， 当时，表示开口向下的抛物线， 则的解集中不可能仅有3个整数，不合题意； 当时，即，解得， 则的解集中不可能仅有3个整数，不合题意； 当时，，则的解集为， 而的解集中有且仅有3个整数，结合，则这三个整数只能为， 故，所以，结合， 可得，解得，故， 故实数的取值范围是， 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设集合，. （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）或. 【解析】 【分析】 （1）求得集合，由题意可得，可求得的值，再验证是否满足，由此可求得实数的值； （2）由题意可得，分、、、四种情况讨论，求得实数的值，并检验是否成立，由此可求得实数的取值范围. 【详解】（1），因为，所以， 所以，整理得，解得或. 当时，，不满足； 当时，，满足； 故； （2）由题意，知，由，得. ①当集合时，关于的方程没有实数根， 所以，即，解得； ②当集合时，，无解； ③当集合时，，解得， ④当时，，解得 综上，可知实数的取值范围为或. 【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了利用集合的包含关系求参数，考查分类讨论思想的应用与运算求解能力，属于中等题. 16. 已知集合. （1）若命题，都有“为真命题，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据子集的定义和性质进行求解即可； （2）根据交集的性质进行求解即可. 【小问1详解】 由命题：”，都有"为真命题，则， ①当时，，解得； ②当时，则， 综上所述，实数的取值范围为； 【小问2详解】 因为， 所以，或，或， 解得或或， 所以实数的取值范围为. 17. 如图是一份矩形的宣传单，其排版面积（矩形）为，左右两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白. （1）若，，且该宣传单的面积不超过，则的最大值是多少？ （2）若，，则当长多少时，宣传单的面积最小？最小的面积是多少？ 【答案】（1） （2），宣传单的面积最小，最小的面积为 【解析】 【分析】（1）根据题意可得出关于的不等式，结合可得出的取值范围； （2）设cm，则cm，设宣传单的面积为，根据题意可得出关于的函数关系式，利用基本不等式可求得的最小值及其对应的值，即可得解. 【小问1详解】 由宣传单的面积不超过可得：， 化简得，解得， 又，所以，故的最大值为. 【小问2详解】 设cm，则cm，设宣传单的面积为， 则， 当且仅当，即时取等号. 所以当长为，宣传单的面积最小，最小的面积是 18. 设. （1）若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）在（1）的条件下，求的最小值； （3）解关于的不等式. 【答案】（1） （2）4 （3） 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）讨论m的取值范围，根据不等式恒成立，解相应不等式，即得答案； （2）将化为，利用基本不等式，即可求得答案； （3）分类讨论m的取值范围，解一元二次不等式，即得答案. 【小问1详解】 由题意知对一切实数恒成立， 故对一切实数恒成立， 时，，不满足题意； 时，则需满足，解得， 综上所述，. 【小问2详解】 由（1）可知，则， 则 当且仅当即时，等号成立. 故的最小值为4. 【小问3详解】 由，得， 当时，即，解集为； 当时，，不等式即为， 解集为； 当时，，不等式即为， 解集为. 故的解集为： 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 19. 已知，. （1）若，证明：； （2）若，求的最小值； （3）若恒成立，求x的取值范围. 【答案】（1）证明： 因为，，所以， 则，故， 当且仅当，即，时取等号. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式即可证明； （2）根据给定条件，利用基本不等式及“1”的妙用求出最值即可； （3）不等式可化为恒成立，求出最小值，再借助恒成立求解即得. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 因为，所以，则， 则 ， 当且仅当，即时取得等号， 故的最小值为. 【小问3详解】 因为，，所以， 则可化为恒成立， 又，当且仅当时取得等号， 所以， 则， 故的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $