专题03 图形的相似（期中复习讲义）九年级数学上学期华东师大版

专题03 图形的相似（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 成比例线段 理解成比例线段的定义，熟练运用成比例线段的性质 基础常考题，经常出现在选填题中 平行线分线段成比例 掌握平行线分线段成比例的几种基本图形并熟练的使用 常考题，单独在选填题中进行考查，或者作为解答题的桥梁进行求解 相似三角形的性质 掌握相似三角形的性质，并能够运用在题目中 高频常考题，常出现在选填题 相似三角形的判定 熟练掌握相似三角形的几种判定，面对不同的题型能够正确的选择相应的判定方法进行求证 高频常考题，相似三角形的性质与判定作为本学期的几何知识点，是期中必考知识点 中位线及其应用 理解中位线的定义，熟练的应用中位线的性质进行求解 常考题，中位线的性质常出现在选填题中，或者作为解题的某一个关键步骤出现 位似图形 理解位似图形，能够正确的找到位似中心，准确在直角坐标系中画出位似图形 期中常考题，辨别位似图形，找出位似中心常出现在选填中，作位似图形常出现在解答题中 知识点01 成比例线段 ①对于给定的四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，如（或），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，此时也称这四条线段成比例。 ②成比例线段的基本性质： （1）如果，那么. （2）如果，那么 知识点02 平行线分线段成比例 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（简称“平行线分线段成比例”） 模型一：如图所示三条平行线分别被m、n所截，得到 模型二：如图所示，DE∥BC，得到， 模型三：如图所示，ED∥BC，得 知识点03 相似图形及其性质 ①定义：两个图形如果形状相同但大小不一定相等，则称这两个图形相似。 ②性质：相似多边形的对应边成比例，对应角相等。 知识点04 相似三角形 ①对应边成比例、对应角相等的三角形，相似符号用“∽”来表示，读作“相似于” ②平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似。 知识点05 相似三角形的判定 相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似 相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角相似 相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角相似 知识点06 相似三角形的性质 ①相似三角形对应角相等，对应边成比例； ②相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比； ③相似三角形周长的比等于相似比； ④相似三角形面积的比等于相似比的平方。 知识点07 三角形的中位线 我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，并且有：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 知识点08 位似图形 如图所示，两个图形的对应点A与A'，B与B'，C与C'......的连线都交于一点O，并且，这两个图形叫做位似图形，点O叫做位似中心。 题型一 根据比例的性质判断选项是否正确 【典例1】(24-25九上·甘肃兰州第八中学·期中)已知，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质逐项判断即可求解，掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴， 即，故选项错误，不符合题意； 、∵， ∴， ∴，故选项正确，符合题意； 、∵， ∴，故选项错误，不符合题意； 、∵， ∴，故选项错误，不符合题意； 故选：． 【变式1】(24-25九上·黑龙江哈尔滨第十七中学·期中)用2，3，4，6四个数组成比例，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了比例的基本性质，解题的关键是熟练掌握比例的基本性质． 根据比例的基本性质，若两个比相等，则其外项积等于内项积，逐一验证各选项是否符合这一条件即可． 【详解】解：选项A： 外项积： 内项积： 外项积等于内项积，比例成立，符合题意； 选项B： 外项积： 内项积： 外项积不等于内项积，比例不成立，不符合题意； 选项C： 外项积： 内项积： 外项积不等于内项积，比例不成立，不符合题意； 选项D： 外项积： 内项积： 外项积不等于内项积，比例不成立，不符合题意； 故选：A． 【变式2】(24-25九上·福建东盛教育集团·期中)已知，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质逐项判断解答即可． 【详解】解：A.由可得，等式不成立； B.由可得，等式不成立； C.由可得，等式成立； D. 由可得，即，等式不成立； 故选：C． 题型二 利用比例的性质求代数式 解｜题｜技｜巧 比例的性质 示例剖析 （1）基本性质： （2）反比性质： （3）更比性质：或 或 （4）合比性质： （5）分比性质： （6）合分比性质： （7）等比性质： 已知，则当时，. 【典例2】(24-25九上·宁夏银川·期中)已知，则的值为 【答案】2 【分析】此题考查了比例的性质．设，则，，，代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴设， ∴，，， ∴， 故答案为：2． 【变式1】(23-24九上·安徽宿州灵璧县第一初级中学·期中)已知，若，则 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据已知条件得到，进而得到，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∴． 故答案为： ． 【变式2】(24-25九上·四川巴中南江县实验中学·期中)若，求代数式的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是正确用k表示x、y．由，设，，再代入化简求值即可． 【详解】解：由，设，（）， ∴， 故答案为：． 【变式3】(23-24九上·湖南邵阳·期中)已知，那么代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，比例的性质，设，则，代入计算即可，熟练掌握等比性质是解题的关键． 【详解】解：设， ∴， ∴， 故答案为：． 题型三 判断是否为成比例线段 解｜题｜技｜巧 四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 【典例3】(24-25九上·四川眉山青神县·期中)下列各组线段中，能成比例的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查成比例线段，根据成比例线段的定义，若四条线段满足最小与最大的乘积等于中间两数的乘积，则它们成比例，据此对各选项逐一验证即可． 【详解】解：A、，不能成比例，不符合题意； B、，不能成比例，不符合题意； C、，不能成比例，不符合题意； D、，能成比例，符合题意； 故选D． 【变式1】(24-25八下·吉林长春东北师大附中明珠学校·期中)下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】本题考查比例线段的概念．注意掌握在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等． 由题意根据比例线段的概念：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，依次对各选项进行分析判断． 【详解】解： A．，这四条线段不成比例，故不符合题意； B．，这四条线段成比例；符合题意； C．，这四条线段不成比例，故不符合题意； D．，这四条线段不成比例，故不符合题意； 故选：B． 【变式2】(24-25九上·重庆朝阳中·期中)下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】A 【分析】本题考查了成比例线段，根据成比例线段的定义逐项分析即可得解． 【详解】解：A、，故，，，是成比例线段，符合题意； B、，故，，，不是成比例线段，不符合题意； C、，故，，，不是成比例线段，不符合题意； D、，故，，，不是成比例线段，不符合题意； 故选：A． 题型四 比例的性质解答题综合 【典例4】已知线段a，b，c满足，且． (1)求线段a，b，c的长； (2)若线段k是线段a，b的比例中项，求线段k的长． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了比例线段． （1）设，然后用k表示出a、b、c，再代入求解得到k，即可得到a、b、c的值； （2）根据比例中项的定义列式得到，然后根据算术平方根的定义求解，即可求出线段k的长． 【详解】（1）解：设，则，，， 又∵， ∴， 解得， ∴，，； （2）解：∵线段k是线段a，b的比例中项， ∴， 解得或（舍去）， ∴线段． 【变式1】已知：，且，求，，的值． 【答案】，， 【分析】本题考查了比例的性质．设得出，，根据题意求得，即可求解． 【详解】解：设， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，，， ∴，，． 【变式2】(24-25九上·河南平顶山·期中)已知，且． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)2 (2)6 【分析】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是本题的关键． （1）根据等比性质求解即可； （2）根据给出的条件将整理，再代入即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ． （2）解：由得， ∵， ∴． 题型五 黄金分割相关求解 解｜题｜技｜巧 如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．） 【典例5】鹦鹉螺曲线在人体绘画中不仅是比例工具，更是一种“生长的隐喻”．该曲线的每个半径和前一个半径的比都是黄金比例，即．如图，点是的黄金分割点，点是的黄金分割点，若，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了黄金分割点的定义，二次根式的混合运算，先根据黄金分割点的定义可求出，进而可求出，再根据黄金分割点的定义即可求出． 【详解】解：∵点是的黄金分割点， ∴， ∴， ∴， ∵是的黄金分割点， ∴， ∴， 故答案为：2． 【变式1】(24-25九下·吉林松原长岭县·期中)生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若，则约为 m（结果保留小数点后两位） 【答案】1.24 【分析】本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割的定义． 根据雕像的腰部以下与全身的高度比值接近，图中为2米，即可求出的值． 【详解】解：雕像的腰部以下与全身的高度比值接近，， ， ， 的值为米． 故答案为： 【变式2】(24-25九上·安徽合肥第四十五中学森林城分校·期中)如图，古筝上的一根弦的长度约为，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是弦靠近点的黄金分割点，则线段的长度约为 cm．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割点的应用，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 根据黄金分割的定义计算即可． 【详解】解：支撑点是弦靠近点的黄金分割点，， ， 故答案为：． 【变式3】(24-25九上·河南郑州第十一初级中学·期中)把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值为黄金分割，它被公认为是最能引起美感的比例．杭州亚运会会徽—潮涌，由中国美术学院教授袁由敏设计．其中浪潮设计借助了黄金分割比．如图，若点可看作是线段的黄金分割点，若，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金分割．根据黄金分割的定义及的长求出的长，据此求出的长即可解决问题． 【详解】解：点可看作是线段的黄金分割点，， ， ， 的长为． 题型六 由平行线分线段成比例求数值 解｜题｜技｜巧 平行线分线段成比例常见模型 模型一：“A”字型和反“A”字型 如图（1）所示：DE∥BC，△ADE∽△ABC，可得， 如图（2）所示：∠A=∠A，∠AMN=∠ACB，可得 模型二：“8”字型和反“8”字型 如图（3）所示：CD∥AB，△ABE∽△CDE，可得; 如图（4）所示：∠CFD=∠AFB，∠D=∠B，△ABF∽△CDF，可得 【典例6】(24-25九上·四川眉山·期中)如图，，直线、与这三条平行线分别交于点和点，若，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理即可求解，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 【变式1】(24-25九上·河南郑州第十一初级中学·期中)如图，，，，则的长为（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理得，然后代数求出，进而求解即可． 【详解】解：， ， ∵，， ， ， ∴． 故选：A． 【变式2】(23-24九上·广东梅州兴宁宋声学校·期中)如图，在中，点D、E分别在边上，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线分线段成比例，再准确的得到对应线段的比是解本题的关键． 根据，得到，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 故选：B． 【变式3】(24-25九上·安徽合肥第四十五中学森林城分校·期中)如图，，直线与这三条平行线分别交于点和点，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据题意得到，即，求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：C． 题型七 相似图形的相关求解 【典例7】如图所示，若把矩形截除一个正方形阴影部分后，剩下的矩形仍与原矩形相似，那么原矩形的两边与应满足的关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是相似多边形的性质、解一元二次方程．解决本题的关键是根据相似多边形的对应边成比例列出比例式，得到一元二次方程，解方程即可求出结果． 【详解】解：由题意可知：矩形矩形， ， ， ， 整理得：， ， 解得：或(负值，舍去)， 故选：B． 【变式1】(24-25九上下·山东烟台牟平区（五四制）·期中)如图，六边形六边形，相似比为，则下列结论正确的是（    ） A． B．六边形的周长等于六边形的周长的倍 C． D．六边形的面积等于六边形的面积的2倍 【答案】C 【分析】本题考查的是相似图形，熟知相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解题的关键．根据相似图形的性质解答即可． 【详解】解：∵六边形六边形，相似比为， ∴，故A选项错误，不符合题意； ∵六边形六边形，相似比为， ∴六边形的周长等于六边形的周长的2倍，故B选项错误，不符合题意； ∵六边形六边形，相似比为， ， ∴，故C选项正确，符合题意； ∵六边形六边形，相似比为， ∴六边形的面积等于六边形的面积的4倍，故D选项错误，不符合题意， 故选：C． 【变式2】(24-25九上·山西长治武乡县多校·期中)如图，在矩形绸布中，边的长为，沿图中实线部分将其裁剪成三块形状大小完全相同的矩形绸布．若裁出的绸布与绸布相似，则绸布边的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．根据题意可得，矩形 矩形，然后利用多边形的性质进行计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得：，矩形 矩形， ， ， 解得或（舍去）， 故选C． 【变式3】(24-25九上·四川宜宾兴文县·期中)如图，小福在矩形的左边分割出正方形，然后在矩形的一组对边，上分别取中点，分割出矩形和矩形，最后把矩形对半分割成矩形和矩形．若矩形与矩形相似，则矩形的宽与长的比的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，相似多边形的性质，解一元二次方程；设，，由矩形与矩形相似得，求出，解方程得，先求出，进而可求出． 【详解】解：由题意得，，，． 设，， 则，， ∵是正方形， ∴， ∴． ∵矩形与矩形相似， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴． 故选D． 题型八 选择或补充条件使得两个三角形相似 解｜题｜技｜巧 相似三角形的判定方法，如图所示 ①两角分别相等的两个三角形相似 例如∠A=∠D，∠B=∠E，可得△ABC∽△DEF； ②两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似 例如，∠B=∠E，可得可得△ABC∽△DEF； ③三边对应成比例的两个三角形相似 例如，可得可得△ABC∽△DEF； 【典例8】(24-25九上·河南马店·期中)如图，下列条件不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】A、且夹角，可判断，故A选项不符合题意； B、，可判断，故B选项不符合题意； C、，可判断，故C选项不符合题意； D、，不能确定，故D选项符合题意； 故选：D． 【变式1】(24-25九上·北京延庆区·期中)如图，点在的边上，要判定与相似，添加一个条件，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的判定．由是公共角，利用有两角分别相等的两个三角形相似，即可得A与B正确；又由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得D正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用． 【详解】解：∵是公共角， ∴当或时，（有两角分别相等的两个三角形相似）； 故A与B正确； 当时，（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）； 故D正确； 当时，因为由所给比例涉及的两个三角形根本不是与，而是与，故不能证明， 故C错误． 故选：C． 【变式2】(24-25九下·四川眉山青神县·期中)如图，点P是的边上一点，连结，以下条件中，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查添加条件使三角形相似，根据相似三角形的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：在和中， ， ∴当时，；故选项 A 不符合题意； 当时，；故选项 B 不符合题意； 当时，；故选项 C 不符合题意； 当时，无法得到；故选项 D 符合题意； 故选：D． 【变式3】(24-25九上·山西临汾·期中)如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理．先根据，求出，再根据相似三角形的判定定理，逐项分析，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， A、添加， ∵，， ∴，故A选项不符合题意； B、添加， ∵，， ∴，故B选项不符合题意； C、添加， ∵，， ∴，故C选项不符合题意； D、添加，不能判定，故D选项符合题意． 故选：D． 题型九 判断剪下的三角形与原三角形是否相似 【典例9】如图，中，，，．将沿图中的剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．根据相似三角形的判定逐一判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴，故选项不符合题意； B、∵，， ∴，故选项不符合题意； C、由图形可知，只有，不能判断，故选项符合题意； D、∵，， ∴，故选项不符合题意； 故选：C． 【变式1】(24-25九上·河北保定第三中学分校·期末)如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定．根据相似三角形的判定方法对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、阴影部分三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意； B、阴影部分三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意； C、，，两三角形有两边对应成比例且夹角相等，故两三角形相似，本选项不符合题意； D、夹角相等但夹角两对应边比例不相等，故两三角形不相似，本选项符合题意． 故选：D． 【变式3】(24-25九上·辽宁沈阳育源中学·月考)如图，在中，，，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明，可判断A不符合题意； 根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，可判断B不符合题意； 根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明，可判断C不符合题意； 由对应成比例的边所夹的角不相等，可知阴影三角形与原三角形不相似，可判断D符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； B、根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、且，两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； D、，阴影三角形已知两边所夹的角是，原三角形已知两边所夹的角是 ， ，故两三角形不相似，故本选项符合题意； 故答案为D． 题型十 相似三角形的相关证明 【典例10】如图，在矩形中，点E，F分别在，上，连接，过点B作于点G，交于点H，求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定．利用平行线的性质求得，再利用相似三角形的判定定理即可证明． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式1】(24-25九上·江苏扬州翠岗中学·期中)如图，点分别在正方形的边，上，连接和，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相关性质和判定是解题的关键．根据已知条件求出，再证明，又由正方形的性质，得，根据“两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似”即可证明出结论． 【详解】证明：四边形是正方形，， ，， ， ， ， ， ， ， △△． 【变式2】(24-25九上·甘肃天水甘谷县新兴初级中学·期中)如图所示，将矩形纸片沿折叠得到，且点恰好落在上．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，矩形的性质，折叠的性质，熟练掌握三角形相似的判定方法是解题的关键．根据矩形性质得出，根据余角的性质得出，根据两个对应相等的两个三角形相似，证明结论即可． 【详解】证明：四边形是矩形， ， ． 矩形纸片沿折叠得到，且点在上， ， ， ， ． 【变式3】已知：在中，为的平分线．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 如图，过点做的平行线与的延长线交于点，可证，得到，根据角平分线的性质，等腰三角形的定义得到，由此即可求解． 【详解】证明：如图，过点做的平行线与的延长线交于点，   ， ，， ， ， 又为的角平分线， ， ， ∴． 题型十一 相似三角形综合求解 【典例11】(24-25九上·江西九江·期中)如图，在中，，，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，点D为边的中点，连接，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定、直角三角形斜边上的中线、含30度角的直角三角形的性质、旋转的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和旋转的性质是解题关键． （1）先根据直角三角形斜边上的中线和直角三角形的性质可得，，从而可得是等边三角形，再根据旋转的性质可得，从而可得是等边三角形，然后根据相似三角形的判定即可得证； （2）先利用勾股定理和线段中点的定义可求出，，再根据等边三角形的性质可得，，从而可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）证明：∵在中，，， ∴， ∵点为边的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 由旋转的性质得：， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵在中，，，， ∴，， ∵点为边的中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 则在中，． 【变式1】(24-25九上·海南儋州·期中)如图，在四边形中，是的中点，和交于点，，． (1)求证：； (2)求证：四边形为平行四边形； (3)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）证明是的中位线，得，，继而推出，，根据相似三角形的判定即可得证； （2）由（1）知：，根据平行四边形的判定即可得证； （3）根据三角形中位线的性质推出，，继而得到，，由平行四边形的性质得，最后利用勾股定理可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴点是的中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴，， ∴； （2）由（1）知：，即， 又∵， ∴四边形为平行四边形； （3）解：∵，，， ∴， 由（1）知：，， ∴，， ∴，， ∵四边形为平行四边形， ∴， 在中，， ∴的长为． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，相似三角形的判定，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 【变式2】(23-24九上·陕西咸阳永寿县启迪中学永寿分校·期中)如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，连接，F为上一点，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定，含直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）由平行的性质结合条件可得到和，可证得结论； （2）由平行可知，在中，由含直角三角形的性质结合勾股定理可求得． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得：． 题型十二 利用相似三角形的性质求解 解｜题｜技｜巧 ①两相似三角形中任意一组对应边的比例称为这两个相似三角形的相似比； ②若两三角形相似，则这两个三角形的对应边上的高成比例且其比例等于相似比； ③若两三角形相似，则这两个三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方。 【典例12】(23-24九上·广西南宁·期中)已知，相似比为，若的周长是9，则的周长为（   ）． A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形性质，根据相似三角形周长的比等于相似比求解，即可解题． 【详解】解： ，相似比为， 的周长 的周长， 的周长是9， 的周长为； 故选：C． 【变式1】(24-25九上·辽宁朝阳建平县沙海中学·期中)已知，且面积比为，则与的对应中线之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，理解并掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．直接根据相似三角形对应中线的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方进行解答． 【详解】解：∵与相似，面积比， ∴两三角形的相似比等于， ∴与的对应中线之比为， 故选：A． 【变式2】已知，、分别为边，边上的高，且，，已知的面积为27，那么的面积为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的相似比等于高的比，得相似三角形的相似比，再结合相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，、分别为边，边上的高， ∴ ∴ ∵的面积为27， ∴ 故答案为：3． 【变式3】(24-25八·辽宁盘锦大洼区第二中学·期中)若，且，的周长为， 则的周长为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了相似三角形的性质（周长比与相似比的关系），解题的关键是掌握“相似三角形的周长比等于它们对应边的比”这一性质，结合已知对应边的比和△ABC的周长，计算的周长． 根据相似三角形的周长比等于相似比即可求解． 【详解】解：∵，   ∴相似三角形的周长比等于对应边的比，即，   已知，， 设，则， 交叉相乘得，解得． 故答案为：16． 题型十三 相似三角形中动点问题 【典例13】如图所示，在矩形中，，，两只小虫和同时分别从，出发沿、向终点，方向前进，小虫每秒走，小虫每秒走，它们同时出发秒时，使，则 秒 【答案】2或 【分析】本题考查相似三角形的性质，一元一次方程的运用，根据相似三角形的性质分情况①当时，②当时，讨论建立等式求解，即可解题． 【详解】解：由题意，设经秒后，， 由于，，， ①当时， ． 解得． 故经过秒时，． ②当时， ． 解得． 故经过秒时，． 故答案为：或． 【变式1】(24-25九上·甘肃张掖甘州区张掖育才中学·期中)如图，中，，，，为的中点，若动点以1cm/s的速度从点出发，沿向点运动，设点的运动时间为秒，连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，的值为（   ） A．2或3.4 B．或 C．2或 D．或3 【答案】C 【分析】此题考查了含角的直角三角形的性质．此题属于动点问题，难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用． 由中，，，，可求得的长，由为的中点，可求得的长，然后分别从若与若时，去分析求解即可求得答案． 【详解】解：中，，，， ， ，为的中点，动点以的速度从点出发， ，， 若， ， ， ， ∴ ， 若时， ， ， ， ∴ ， 综上可得：的值为2或3.5． 故选：C． 【变式2】(24-25九上·陕西咸阳永寿县御家宫中学·期中)如图，在中，，，动点D以的速度从点A出发沿方向向点B运动．动点E以的速度从点C出发沿方向向点A运动．两点同时开始运动，当点D运动到点B的位置后，两点均停止运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，设运动时间为，由题意得，，则，再由题意可得只存在和这两种情况，据此分两种情况根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可． 【详解】解：设运动时间为， 由题意得，， ∴， ∵， ∴只存在和这两种情况， 当，则， ∴， 解得； 当，则， ∴， 解得； 综上所述，或， 故选：D． 【变式3】(24-25九上·四川资阳安岳中学·期中)如图所示，中，，，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，P，Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)几秒后，的长度等于？ (2)线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． (3)若与相似，求t的值． 【答案】(1)当时，的长度等于 (2)经过3秒时，线段能将分成面积的两部分 (3)秒或秒时，与相似 【分析】本题考查直角三角形中的动点问题，涉及一元二次方程的应用以及相似三角形的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，注意分类思想的运用； （1）在中，利用勾股定理，列出方程进行求解即可； （2）分的面积为面积的和的面积为面积的，列出方程进行求解即可． （3）设经过t秒时，与相似，分① 时，②当时，两种情况进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：设经过秒后，的长度等于， 由题意，得：， ∴， 当时，在中， ， ， 整理，得：， 解得：； ∴当时，的长度等于． （2）解：设经过秒，线段能将分成面积的两部分， 依题意有：的面积， ①当的面积为面积的时， 则：， 整理，得：， 解得：； ②当的面积为面积的时， 则：， 整理，得：， ， ∴方程无实数根； ∴经过3秒时，线段能将分成面积的两部分． （3）解：设经过秒时，与相似， 时， ， ， ． ②当时， ， ， ， 综上所述，秒或秒时，与相似． 题型十四 相似三角形的判定与性质综合 【典例14】如图，在和中，是的角平分线，，边与交于F．    (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题重点考查三角形的角平分线的定义、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、相似三角形的判定与性质等知识，正确地找到相似三角形的对应边和对应角并且证明及是解题的关键． （1）由，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明，得，所以； （2）先由，得，则，而，则，得，由变形得，则，所以． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴． 【变式1】(24-25九下·河南驻马店新蔡县·期中)如图，在正方形中，为边的中点，点在边上，且，延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)9 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理知识，熟练掌握相似三角形的判定得出比例式是解题的关键． （1）由正方形的性质与已知得出，证出，即可得出结论； （2）由，为的中点，得出，由勾股定理得出，由，得出，求得，即可得出结果． 【详解】（1）证明：四边形为正方形，且， ． ． ， ， 即； （2）解：四边形为正方形， ． 又为边的中点， ． 在Rt中，， 由（1）知 即， ， ． 【变式2】(24-25九上·广东东莞东华初级中学·期中)如图，将绕点逆时针旋转到的位置，使点落在上，与交于点．若，，． (1)求证：； (2)求和的长． 【答案】(1)见解析； (2)的长是 ，的长为． 【分析】本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识点，解决此题的关键是根据旋转的性质证明三角形相似； （1）先根据旋转的性质得到角相等和边相等，进而得到相似的条件，进而解决问题即可； （2）先根据（1）中的相似得到的长度，再证明，根据相似的性质得到的长度，即可解决问题； 【详解】（1）解：由旋转的性质可知：，，， 在和中 ∴， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∴， 在中，，， ∴，， 又， ∴， ∴ 由旋转可知：，，， ∴， 设为，为，则为，为， 在和中 ∵，， ∴， ∴， 即 解得：， ∴； ∴的长是 ，的长为． 题型十五 与重心相关的问题 解｜题｜技｜巧 三角形的重心是指三角形三条中线的交点，如图所示 三角形的重心性质：①每条中线将三角形分成面积相等的两个三角形；②O分别为三角形每条中线的三等分点，O到顶点的距离与到底边的距离之比是2:1 【典例15】如图，点G是的重心，连接，作，使，交于点D，，，则长为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了重心的性质及相似三角形的判定和性质，利用三角形重心的性质得出,通过作平行线得到，进而证出,由即可得解，熟练掌握重心的性质，正确的作出辅助线达到角度的转换是解题的关键. 【详解】解:连接并延长交于点,过点作交于点,连接，如图， 点的重心, ,, , ， ， ， , ， , , ∴， , . 故选：． 【变式1】(24-25九上·福建泉州晋江季延中学·期中)如图，已知，是的中线， 点G是的重心， 过G作交于点E，交于点F． 若面积为36， 则的面积为（        ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查三角形重心的性质，三角形的中线的性质，相似三角形的判定和性质．理解和掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 根据重心的性质可得，再根据三角形的中线平分三角形的面积可得，接着证明，，然后根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得，，从而求出，，进而可求解． 【详解】解：∵点G是的重心， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：A． 【变式2】(24-25九上·湖南衡阳县五校联考·期中)如图，在中，G是它的重心，，如果，则的面积的最大值是（   ） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了重心的性质，解题的关键是熟知三角形的重心到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍．延长交于点D，根据三角形重心的性质可得，D是的中点，然后根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得出，从而得出，然后根据得出，的长度，则当时，的面积最大，求其最大值即可． 【详解】解：延长交于点D， G是的重心， ，D是的中点， ， ，即， ， ， （负值舍去）， ， 当时，的面积最大，最大值为． 故选：B． 题型十六 相似三角形的实际应用 【典例16】在一堂数学实践研究课中，同学们用镜面反射法测量校园旗杆的高度，如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜子中能看到国旗的顶部位置，此时测量人和小镜子的距离为，又测得镜子与旗杆底部的距离，已知人的眼睛距离地面的高度为，则旗杆的高度大约是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形应用．根据题意可得，可证得，再由，代入即可求解． 【详解】解：如图： 根据光的反射定律得：， 又∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴. 故选：D. 【变式1】(24-25九上·甘肃清水县第三中学·期中)周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得与河岸垂直，并在B点竖起标杆，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆，使得点E与点C，A共线.已知：，，测得，，，测量示意图如图所示，请根据相关测量信息，则河宽为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据题意可知，得到，根据相似三角形的性质得到，即可求得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴ 解得：． 故选：C． 【变式2】(24-25九上·福建东盛教育集团·期中)如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面的距离为1.5米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是9米，则车宽的长度为 米． 【答案】 【分析】本题考查视点、视角和盲区以及相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．如图，过点作于点，交于点，根据相似三角形的判定和性质以及，设辅助未知数可求出答案． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， ， ，， ， ， 设，则，， ， 解得， ，， 故答案为：． 【变式3】(24-25九上·北京延庆区·期中)如图，小明在晚上由路灯走到路灯．当他走到P点时，发现身后他影子的顶部刚好落在路灯的底部，当他再步行15米达到点Q时，发现身前自己影子的顶部刚好落在路灯的底部．已知小明的身高是1.8米，两个路灯的高度都是9米，且． (1)求两个路灯之间的距离； (2)当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是多少？ 【答案】(1)两路灯的距离为25米 (2)当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是6.25米 【分析】本题考查了相似三角形的应用． （1）如图1，先证明，利用相似比可得，进而得，，解得米； （2）如图2，当小明走到路灯时，他在路灯下的影子为，证明，利用相似三角形的性质得，然后利用比例性质求出即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， 答：两路灯的距离为25米； （2）解：如图2，当小明走到路灯时，他在路灯下的影子为， ∵， ∴， ∴，即， 解得． 答：当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是6.25米． 题型十七 与中位线有关的求解问题 解｜题｜技｜巧 掌握三角形中位线的性质是解题关键：三角形的中位线是指三角形两边中点的连线，它平行且等于底边的一半。 【典例17】如图，在中，对角线，相交于点，点是的中点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，由平行四边形的性质可得O是的中点，进而由是的中点可得为的中位线，根据三角形中位线的性质即可求解，掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是平行四边形， ∴O是的中点， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：B． 【变式1】(24-25八下·江苏扬州仪征·期中)如图，矩形对角线相交于点O，E为上一点，连接，取的中点F，若，则的长为（　　） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形中位线性质定理，熟练掌握以上知识点是关键． 连接，由矩形的性质得，利用中位线性质可得，根据勾股定理计算出，可得，利用线段和差求出长即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴． ∵F是的中点， ∴OF是的中位线， ， ， 在中，由勾股定理得：， 故选：D． 【变式2】(24-25九上·广东河源龙川县金安中学·期中)如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，点E是的延长线上一动点，连接交于点F，若，，，则的长为（　　） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质，过点O作，交于点H，证明是的中位线，求出，，，再证明，由相似三角形的性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：过点O作，交于点H，如图， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 故选：A． 【变式3】(24-25九上·天津滨海新区大港第十中学·期中)如图， 菱形的对角线、相交于点O， E、F分别是、边上的中点， 连接． 若，，则菱形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形的性质与中位线定理，熟练掌握中位线定理和菱形面积公式是关键．根据中位线定理可得对角线 的长，再由菱形面积等于对角线乘积的一半可得答案． 【详解】解：∵E，F分别是、边上的中点，， ∴， 又∵， ∴菱形的面积， 故选：C． 题型十八 与中位线有关的最值问题 【典例18】(24-25九上·江苏扬州江都区第三中学·期中)如图，在中，，，，平面上有一点，连接，，若，取的中点．连接，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形的中位线定理，三角形三边之间的关系．取的中点N，连接，则，根据勾股定理求出，由三角形的中位线定理得出，根据三角形三边之间的关系得出，当点B、M、N在同一直线上时，取最大值，即可求解． 【详解】解：取的中点N，连接， ∵点N为中点，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵点M为中点，点N为中点，， ∴， ∴在中，，即， 当点B、M、N在同一直线上时，， 此时取最大值， 故选：A． 【变式1】(24-25九上·湖南永州祁阳潘红军学校·期中)如图，在平行四边形中，，，点M、N分别是边、上的动点，连接、，点E、F分别为、的中点，连接，则的最小值为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形中位线，平行四边形，勾股定理．解题关键是中位线性质．由已知可得，是三角形的中位线，所以，当时，最短，此时最小． 【详解】如图，连接， E、F分别为、的中点， 是三角形的中位线， ， 当时，最短，此时最小． ，， ， 由勾股定理可得， 解得：， 此时． 故选C． 【变式2】(24-25八下·广西贵港港北区·期中)如图，在菱形中，，，点E为边上一动点，连接，点F，G分别是，的中点，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，等角对等边，垂线段最短等知识；掌握这些知识是解题的关键；连接；则，当最小时，最小；当时，最小；在中，利用等腰直角三角形的性质及勾股定理即可求得的最小值，从而可求得的最小值． 【详解】解：如图，连接； ∵点F，G分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴； ∴当最小时，最小； 当时，最小，从而最小； ∵四边形是菱形，， ∴； ∵， ∴， ∴； 在中，， ∴， ∴ 即的最小值为； 故选：B． 题型十九 与中位线相关的证明 【典例19】(24-25九上·湖北武汉·期中)如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是，，，的中点，连接，，，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当，满足什么条件时，四边形是矩形．（不需要说明理由）． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是矩形 【分析】本题考查三角形中位线的性质，平行四边形的判定，矩形的判定． （1）由三角形中位线的性质可得，，即可得证结论； （2）证明的一组邻边互相垂直即可得到四边形是矩形． 【详解】（1）证明：∵点E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴为的中位线，为的中位线， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：当时，四边形是矩形， 理由如下：∵点E，H分别是，的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平行四边形矩形． 【变式1】(24-25八下·广东江门恩平·期末)如图，在中，点D是边的中点，点E在内，平分，，点F在边上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理的应用，熟练掌握性质和判定是解题的关键． （1）延长交于点G，利用平行四边形的定义，证明四边形是平行四边形； （2）由（1）可知，四边形是平行四边形，可得．证明．结合，可得，进一步可得结论． 【详解】（1）证明：延长交于点G， ∵，平分， ∴，， 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴为的中位线， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）证明：由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴． ∵D、E分别是、的中点， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2】(24-25九上·北京海淀区教师进修学校附属实验学校·期中)如图，是的边的中线，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接交于． (1)若四边形是菱形，试证明是直角三角形； (2)， 求长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由菱形性质、是的中线，得到，进而由等腰三角形的判定与性质，结合三角形内角和定理得到即可得证； （2）取中点，连结，如图所示，由三角形中位线的判定与性质得到，进而得到，再由三角形全等的判定与性质即可求得． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：取中点，连结，如图所示： ∵是的边的中线，则是的中点， 是的中位线， ， ， 是的中点， ， 在和中， ，    ∴． 【点睛】本题考查几何综合，涉及菱形性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定义、直角三角形的判定、三角形中位线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识．熟记相关几何判定与性质，灵活运用是解决问题的关键． 题型二十 求两个位似图形的位似比 【典例20】如图，与是以点为位似中心的位似图形，其位似比为，则与的面积比是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了图形的位似，相似三角形的面积比等于相似比的平方等知识点，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质． 利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出答案． 【详解】解：∵与是以点为位似中心的位似图形，其位似比为， ∴与的相似比为， 根据面积比是相似比的平方，即与的面积比是， 故选：A． 【变式1】(24-25九上·湖南益阳益阳师专附属学校·期中)与是位似图形，且与的位似比是，已知的周长是9，则的周长是 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了位似图形的性质．根据位似图形的性质，可得，即可求解． 【详解】解：∵与的位似比是， ∴， ∵的周长是9， ∴的周长是． 故答案为：3 【变式2】(24-25九下·广东茂名高州·期中)如题图，与位似，点O是它们的位似中心，其中，则与的面积之比是 ． 【答案】 【分析】本题考查了位似三角形，相似三角形的性质等知识；利用相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，解题的关键是理解题意，灵活运用相似三角形的性质． 【详解】解：∵与位似， ∴与相似， 即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 题型二十一 画已知图形放大或缩小后的位似图形 【典例21】(24-25九上·甘肃天水市武夷山·期中)如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在网格格点上． (1)画出向左平移4个单位长度的； (2)以点O为位似中心，在第一象限画出位似图形，使与的相似比为． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了平移作图，位似作图． （1）根据题意作图即可； （2）根据题意作图即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： 【变式1】(24-25九上·安徽巢湖·期末)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点），，的坐标分别为，，． (1)以点为旋转中心，将逆时针旋转得到，画出（点，的对应点分别为点，），并直接写出点的坐标． (2)以点为位似中心，将按相似比为2放大，得到，在网络中画出（点，，的对应点分别为点，，），并直接写出点的坐标． 【答案】(1)如图所示，； (2)如图所示，． 【分析】本题考查了旋转作图和位似作图，熟练掌握旋转和位似的性质是解答本题的关键． （1）先根据旋转的性质确定点，的位置，然后连线，再写出点的坐标； （2）先根据位似的性质确定点，，的位置，然后连线，再写出点的坐标； 【详解】（1）解：如图，即为所求，， （2）解：如图，即为所求，． 【变式2】(24-25九上·宁夏银川永宁三沙源上游学校·期中)如图，的顶点坐标分别为，，． (1)作出关于轴对称的图形； (2)在第三象限内，以点为位似中心作出的位似图形，使它与原图的相似比为． (3)求出的面积． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3) 【分析】（）根据轴对称图形的性质作图即可； （）根据位似图形的性质作图即可； （）利用割补法计算即可求解； 本题考查了作轴对称图形，作位似图形，三角形的面积，掌握轴对称图形和位似图形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：的面积． 题型二十二 相似三角形综合压轴题 【典例22】(24-25九上·黑龙江省佳木斯市富锦三江联合学校·期中)综合与实践：折纸和剪纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸和剪纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【动手操作】 如图，矩形纸片中，，，点为边上一点，沿直线将矩形纸片折叠，使点落在边上的点处． （1）填空：的长为______； 【拓展应用】 （2）如图，展开后，将剪下来沿线段向右平移，使点的对应点与点重合，得到，与交于点，求线段的长； （3）如图，将剪下来的绕点旋转得到，连接，当点，，三点共线时，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）；（3）的长或 【分析】（1）由折叠得，由题意得，，中，勾股定理求出，利用即可； （2）由（1）得，，根据折叠得，设，则，在中求得和，连接，，并延长交于点，由平移可知，，，即可判定 ，有，即可求得； （3）由折叠得，由旋转得，分两种情况求得，利用（1）和（2）的结论，结合勾股定理即可求得答案． 【详解】解：沿直线将矩形纸片折叠，使点落在边上的点处， ， ，， ，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ， 故答案为：； （2）如图， 由（1）得：，， 沿直线将矩形纸片折叠，使点落在边上的点处， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ，， 连接，，并延长交于点， 剪下来沿线段向右平移，使点的对应点与点重合，得到， ，， ，，， ， ， ； （3）的长或，理由如下： 由折叠得，由旋转得， 当点，，三点共线时，设和交于点，如图， 则四边形为矩形， ，， 在中，由勾股定理得：； 当点，，三点共线时，过点作交延长线于点，如图， 则四边形为矩形， ，， 在中，由勾股定理得：， 综上所述，的长或． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查折叠的性质、旋转的性质、勾股定理、平移的性质、相似三角形的判定和性质以及矩形的判定和性质，解题的关键是熟悉旋转和折叠的性质，以及分类讨论思想的应用． 【变式1】(24-25九上·甘肃兰州第十九中学·期中)在中，，，． (1)问题发现 如图，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是 ，与的位置关系是 ． (2)类比探究 将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点，请结合图说明理由； (3)迁移应用 如图，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长． 【答案】(1)， (2)一致，理由见解析 (3) 【分析】（1）延长交于点，由旋转可得，，，即得，，得到，再根据等腰直角三角形的性质可得，，即可得，即可求解； （2）延长交于点，可证，得到，，进而根据三角形内角和定理得到，即可求证； （3）过点作于点，由等腰三角形的性质可得，利用勾股定理可得，进而由得到，即得到，再根据（2）的结论即可求解． 【详解】（1）解：如图，延长交于点， ∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，，， ∴，， ∴； ∵，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：线段与的数量关系、位置关系与(1)中结论一致，理由如下： 延长交于点，如图所示， ∵将绕点旋转得到， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又∵，，， ∴， ∴； （3）解：过点作于点，如图所示， 由旋转可知，， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，勾股定理，等腰三角形的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式2】(24-25九上·福建东盛教育集团·期中)如图1，在四边形中，，，对角线平分，交于E点，将沿翻折得．    (1)求证：； (2)若， ①求的值； ②如图2，连接交于H点．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①；②见解析 【分析】（1）由已知证明，从而可得，进而可得，即证得；而由折叠可知，由此即可得出结论. （2）作于点， 设，易证，可得，继而可得，由相似三角形得面积比等于相似比的平方得，由折叠可知，由此即可得出. ②作于点，交于点，连接，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得出，再根据，可得，由此得出，进而可得，得出，从而有，且，故四边形为平行四边形，即证得． 【详解】（1）证明：，， ， ∵，对角线平分， ∴， ∴， ， ， ，即； 由折叠可知：， ∴ （2）①解：作于点，如图1所示：    由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ． 由折叠可知， ∴， ∴ ②证明：作于点，交于点，连接，如图2所示：    由①中结论可知．，， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， 由折叠可知：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故． ，且， 故四边形为平行四边形， ． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上内容并根据条件作出准确恰当的辅助线是解此题的关键． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 图形的相似（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 成比例线段 理解成比例线段的定义，熟练运用成比例线段的性质 基础常考题，经常出现在选填题中 平行线分线段成比例 掌握平行线分线段成比例的几种基本图形并熟练的使用 常考题，单独在选填题中进行考查，或者作为解答题的桥梁进行求解 相似三角形的性质 掌握相似三角形的性质，并能够运用在题目中 高频常考题，常出现在选填题 相似三角形的判定 熟练掌握相似三角形的几种判定，面对不同的题型能够正确的选择相应的判定方法进行求证 高频常考题，相似三角形的性质与判定作为本学期的几何知识点，是期中必考知识点 中位线及其应用 理解中位线的定义，熟练的应用中位线的性质进行求解 常考题，中位线的性质常出现在选填题中，或者作为解题的某一个关键步骤出现 位似图形 理解位似图形，能够正确的找到位似中心，准确在直角坐标系中画出位似图形 期中常考题，辨别位似图形，找出位似中心常出现在选填中，作位似图形常出现在解答题中 知识点01 成比例线段 ①对于给定的四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，如（或），那么，这四条线段叫做 ，简称 ，此时也称这四条线段成比例。 ②成比例线段的基本性质： （1）如果，那么. （2）如果，那么 知识点02 平行线分线段成比例 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（简称“平行线分线段成比例”） 模型一：如图所示三条平行线分别被m、n所截，得到 模型二：如图所示，DE∥BC，得到， 模型三：如图所示，ED∥BC，得 知识点03 相似图形及其性质 ①定义：两个图形如果形状 但大小 相等，则称这两个图形相似。 ②性质：相似多边形的对应边 ，对应角 。 知识点04 相似三角形 ①对应边成比例、对应角相等的三角形，相似符号用“∽”来表示，读作“相似于” ②平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边的延长线）相交所构成的三角形与原三角形相似。 知识点05 相似三角形的判定 相似三角形的判定定理1： 相似三角形的判定定理2： 相似三角形的判定定理3： 知识点06 相似三角形的性质 ①相似三角形对应角相等，对应边成比例； ②相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比； ③相似三角形周长的比等于 ； ④相似三角形面积的比等于 。 知识点07 三角形的中位线 我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，并且有：三角形的中位线 第三边，并且等于第三边的一半。 知识点08 位似图形 如图所示，两个图形的对应点A与A'，B与B'，C与C'......的连线都交于一点O，并且，这两个图形叫做 ，点O叫做 。 题型一 根据比例的性质判断选项是否正确 【典例1】(24-25九上·甘肃兰州第八中学·期中)已知，则下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】(24-25九上·黑龙江哈尔滨第十七中学·期中)用2，3，4，6四个数组成比例，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】(24-25九上·福建东盛教育集团·期中)已知，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 题型二 利用比例的性质求代数式 解｜题｜技｜巧 比例的性质 示例剖析 （1）基本性质： （2）反比性质： （3）更比性质：或 或 （4）合比性质： （5）分比性质： （6）合分比性质： （7）等比性质： 已知，则当时，. 【典例2】(24-25九上·宁夏银川·期中)已知，则的值为 【变式1】(23-24九上·安徽宿州灵璧县第一初级中学·期中)已知，若，则 ． 【变式2】(24-25九上·四川巴中南江县实验中学·期中)若，求代数式的值为 ． 【变式3】(23-24九上·湖南邵阳·期中)已知，那么代数式的值是 ． 题型三 判断是否为成比例线段 解｜题｜技｜巧 四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段． 【典例3】(24-25九上·四川眉山青神县·期中)下列各组线段中，能成比例的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】(24-25八下·吉林长春东北师大附中明珠学校·期中)下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【变式2】(24-25九上·重庆朝阳中·期中)下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 题型四 比例的性质解答题综合 【典例4】已知线段a，b，c满足，且． (1)求线段a，b，c的长； (2)若线段k是线段a，b的比例中项，求线段k的长． 【变式1】已知：，且，求，，的值． 【变式2】(24-25九上·河南平顶山·期中)已知，且． (1)求的值； (2)若，求的值． 题型五 黄金分割相关求解 解｜题｜技｜巧 如图，若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．） 【典例5】鹦鹉螺曲线在人体绘画中不仅是比例工具，更是一种“生长的隐喻”．该曲线的每个半径和前一个半径的比都是黄金比例，即．如图，点是的黄金分割点，点是的黄金分割点，若，则 ． 【变式1】(24-25九下·吉林松原长岭县·期中)生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下与全身的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若，则约为 m（结果保留小数点后两位） 【变式2】(24-25九上·安徽合肥第四十五中学森林城分校·期中)如图，古筝上的一根弦的长度约为，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是弦靠近点的黄金分割点，则线段的长度约为 cm．（结果保留根号） 【变式3】(24-25九上·河南郑州第十一初级中学·期中)把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值为黄金分割，它被公认为是最能引起美感的比例．杭州亚运会会徽—潮涌，由中国美术学院教授袁由敏设计．其中浪潮设计借助了黄金分割比．如图，若点可看作是线段的黄金分割点，若，求的长． 题型六 由平行线分线段成比例求数值 解｜题｜技｜巧 平行线分线段成比例常见模型 模型一：“A”字型和反“A”字型 如图（1）所示：DE∥BC，△ADE∽△ABC，可得， 如图（2）所示：∠A=∠A，∠AMN=∠ACB，可得 模型二：“8”字型和反“8”字型 如图（3）所示：CD∥AB，△ABE∽△CDE，可得; 如图（4）所示：∠CFD=∠AFB，∠D=∠B，△ABF∽△CDF，可得 【典例6】(24-25九上·四川眉山·期中)如图，，直线、与这三条平行线分别交于点和点，若，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【变式1】(24-25九上·河南郑州第十一初级中学·期中)如图，，，，则的长为（   ） A． B． C．4 D．6 【变式2】(23-24九上·广东梅州兴宁宋声学校·期中)如图，在中，点D、E分别在边上，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式3】(24-25九上·安徽合肥第四十五中学森林城分校·期中)如图，，直线与这三条平行线分别交于点和点，若，则的长为（　　） A． B． C． D． 题型七 相似图形的相关求解 【典例7】如图所示，若把矩形截除一个正方形阴影部分后，剩下的矩形仍与原矩形相似，那么原矩形的两边与应满足的关系是（     ） A． B． C． D． 【变式1】(24-25九上下·山东烟台牟平区（五四制）·期中)如图，六边形六边形，相似比为，则下列结论正确的是（    ） A． B．六边形的周长等于六边形的周长的倍 C． D．六边形的面积等于六边形的面积的2倍 【变式2】(24-25九上·山西长治武乡县多校·期中)如图，在矩形绸布中，边的长为，沿图中实线部分将其裁剪成三块形状大小完全相同的矩形绸布．若裁出的绸布与绸布相似，则绸布边的长为（   ） A． B． C． D． 【变式3】(24-25九上·四川宜宾兴文县·期中)如图，小福在矩形的左边分割出正方形，然后在矩形的一组对边，上分别取中点，分割出矩形和矩形，最后把矩形对半分割成矩形和矩形．若矩形与矩形相似，则矩形的宽与长的比的值为（   ） A． B． C． D． 题型八 选择或补充条件使得两个三角形相似 解｜题｜技｜巧 相似三角形的判定方法，如图所示 ①两角分别相等的两个三角形相似 例如∠A=∠D，∠B=∠E，可得△ABC∽△DEF； ②两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似 例如，∠B=∠E，可得可得△ABC∽△DEF； ③三边对应成比例的两个三角形相似 例如，可得可得△ABC∽△DEF； 【典例8】(24-25九上·河南马店·期中)如图，下列条件不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】(24-25九上·北京延庆区·期中)如图，点在的边上，要判定与相似，添加一个条件，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】(24-25九下·四川眉山青神县·期中)如图，点P是的边上一点，连结，以下条件中，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】(24-25九上·山西临汾·期中)如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 题型九 判断剪下的三角形与原三角形是否相似 【典例9】如图，中，，，．将沿图中的剪开．剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】(24-25九上·河北保定第三中学分校·期末)如图，在中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】(24-25九上·辽宁沈阳育源中学·月考)如图，在中，，，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（   ） A．B．C． D． 题型十 相似三角形的相关证明 【典例10】如图，在矩形中，点E，F分别在，上，连接，过点B作于点G，交于点H，求证：． 【变式1】(24-25九上·江苏扬州翠岗中学·期中)如图，点分别在正方形的边，上，连接和，，，．求证：． 【变式2】(24-25九上·甘肃天水甘谷县新兴初级中学·期中)如图所示，将矩形纸片沿折叠得到，且点恰好落在上．求证：．    【变式3】已知：在中，为的平分线．求证：．    题型十一 相似三角形综合求解 【典例11】(24-25九上·江西九江·期中)如图，在中，，，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，点D为边的中点，连接，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式1】(24-25九上·海南儋州·期中)如图，在四边形中，是的中点，和交于点，，． (1)求证：； (2)求证：四边形为平行四边形； (3)若，，，求的长． 【变式2】(23-24九上·陕西咸阳永寿县启迪中学永寿分校·期中)如图，在平行四边形中，过点B作，垂足为E，连接，F为上一点，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 题型十二 利用相似三角形的性质求解 解｜题｜技｜巧 ①两相似三角形中任意一组对应边的比例称为这两个相似三角形的相似比； ②若两三角形相似，则这两个三角形的对应边上的高成比例且其比例等于相似比； ③若两三角形相似，则这两个三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方。 【典例12】(23-24九上·广西南宁·期中)已知，相似比为，若的周长是9，则的周长为（   ）． A．1 B．3 C．6 D．9 【变式1】(24-25九上·辽宁朝阳建平县沙海中学·期中)已知，且面积比为，则与的对应中线之比为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知，、分别为边，边上的高，且，，已知的面积为27，那么的面积为 ． 【变式3】(24-25八·辽宁盘锦大洼区第二中学·期中)若，且，的周长为， 则的周长为 ． 题型十三 相似三角形中动点问题 【典例13】如图所示，在矩形中，，，两只小虫和同时分别从，出发沿、向终点，方向前进，小虫每秒走，小虫每秒走，它们同时出发秒时，使，则 秒 【变式1】(24-25九上·甘肃张掖甘州区张掖育才中学·期中)如图，中，，，，为的中点，若动点以1cm/s的速度从点出发，沿向点运动，设点的运动时间为秒，连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，的值为（   ） A．2或3.4 B．或 C．2或 D．或3 【变式2】(24-25九上·陕西咸阳永寿县御家宫中学·期中)如图，在中，，，动点D以的速度从点A出发沿方向向点B运动．动点E以的速度从点C出发沿方向向点A运动．两点同时开始运动，当点D运动到点B的位置后，两点均停止运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（   ） A．或 B． C． D．或 【变式3】(24-25九上·四川资阳安岳中学·期中)如图所示，中，，，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，P，Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)几秒后，的长度等于？ (2)线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． (3)若与相似，求t的值． 题型十四 相似三角形的判定与性质综合 【典例14】如图，在和中，是的角平分线，，边与交于F．    (1)求证：； (2)若，求证：． 【变式1】(24-25九下·河南驻马店新蔡县·期中)如图，在正方形中，为边的中点，点在边上，且，延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式2】(24-25九上·广东东莞东华初级中学·期中)如图，将绕点逆时针旋转到的位置，使点落在上，与交于点．若，，． (1)求证：； (2)求和的长． 题型十五 与重心相关的问题 解｜题｜技｜巧 三角形的重心是指三角形三条中线的交点，如图所示 三角形的重心性质：①每条中线将三角形分成面积相等的两个三角形；②O分别为三角形每条中线的三等分点，O到顶点的距离与到底边的距离之比是2:1 【典例15】如图，点G是的重心，连接，作，使，交于点D，，，则长为（  ） A． B． C． D． 【变式1】(24-25九上·福建泉州晋江季延中学·期中)如图，已知，是的中线， 点G是的重心， 过G作交于点E，交于点F． 若面积为36， 则的面积为（        ） A．4 B．6 C．8 D．9 【变式2】(24-25九上·湖南衡阳县五校联考·期中)如图，在中，G是它的重心，，如果，则的面积的最大值是（   ） A．3 B．6 C． D． 题型十六 相似三角形的实际应用 【典例16】在一堂数学实践研究课中，同学们用镜面反射法测量校园旗杆的高度，如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜子中能看到国旗的顶部位置，此时测量人和小镜子的距离为，又测得镜子与旗杆底部的距离，已知人的眼睛距离地面的高度为，则旗杆的高度大约是（    ） A． B． C． D． 【变式1】(24-25九上·甘肃清水县第三中学·期中)周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得与河岸垂直，并在B点竖起标杆，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆，使得点E与点C，A共线.已知：，，测得，，，测量示意图如图所示，请根据相关测量信息，则河宽为（   ） A． B． C． D．无法确定 【变式2】(24-25九上·福建东盛教育集团·期中)如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面的距离为1.5米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是9米，则车宽的长度为 米． 【变式3】(24-25九上·北京延庆区·期中)如图，小明在晚上由路灯走到路灯．当他走到P点时，发现身后他影子的顶部刚好落在路灯的底部，当他再步行15米达到点Q时，发现身前自己影子的顶部刚好落在路灯的底部．已知小明的身高是1.8米，两个路灯的高度都是9米，且． (1)求两个路灯之间的距离； (2)当小明走到路灯时，他在路灯下的影长是多少？ 题型十七 与中位线有关的求解问题 解｜题｜技｜巧 掌握三角形中位线的性质是解题关键：三角形的中位线是指三角形两边中点的连线，它平行且等于底边的一半。 【典例17】如图，在中，对角线，相交于点，点是的中点．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式1】(24-25八下·江苏扬州仪征·期中)如图，矩形对角线相交于点O，E为上一点，连接，取的中点F，若，则的长为（　　） A．2 B． C． D．4 【变式2】(24-25九上·广东河源龙川县金安中学·期中)如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，点E是的延长线上一动点，连接交于点F，若，，，则的长为（　　） A． B． C． D．2 【变式3】(24-25九上·天津滨海新区大港第十中学·期中)如图， 菱形的对角线、相交于点O， E、F分别是、边上的中点， 连接． 若，，则菱形的面积为（   ） A． B． C． D． 题型十八 与中位线有关的最值问题 【典例18】(24-25九上·江苏扬州江都区第三中学·期中)如图，在中，，，，平面上有一点，连接，，若，取的中点．连接，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】(24-25九上·湖南永州祁阳潘红军学校·期中)如图，在平行四边形中，，，点M、N分别是边、上的动点，连接、，点E、F分别为、的中点，连接，则的最小值为（　　） A．1 B． C． D． 【变式2】(24-25八下·广西贵港港北区·期中)如图，在菱形中，，，点E为边上一动点，连接，点F，G分别是，的中点，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型十九 与中位线相关的证明 【典例19】(24-25九上·湖北武汉·期中)如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是，，，的中点，连接，，，，，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当，满足什么条件时，四边形是矩形．（不需要说明理由）． 【变式1】(24-25八下·广东江门恩平·期末)如图，在中，点D是边的中点，点E在内，平分，，点F在边上，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：． 【变式2】(24-25九上·北京海淀区教师进修学校附属实验学校·期中)如图，是的边的中线，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接交于． (1)若四边形是菱形，试证明是直角三角形； (2)， 求长． 题型二十 求两个位似图形的位似比 【典例20】如图，与是以点为位似中心的位似图形，其位似比为，则与的面积比是（   ） A． B． C． D． 【变式1】(24-25九上·湖南益阳益阳师专附属学校·期中)与是位似图形，且与的位似比是，已知的周长是9，则的周长是 ． 【变式2】(24-25九下·广东茂名高州·期中)如题图，与位似，点O是它们的位似中心，其中，则与的面积之比是 ． 题型二十一 画已知图形放大或缩小后的位似图形 【典例21】(24-25九上·甘肃天水市武夷山·期中)如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在网格格点上． (1)画出向左平移4个单位长度的； (2)以点O为位似中心，在第一象限画出位似图形，使与的相似比为． 【变式1】(24-25九上·安徽巢湖·期末)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点），，的坐标分别为，，． (1)以点为旋转中心，将逆时针旋转得到，画出（点，的对应点分别为点，），并直接写出点的坐标． (2)以点为位似中心，将按相似比为2放大，得到，在网络中画出（点，，的对应点分别为点，，），并直接写出点的坐标． 【变式2】(24-25九上·宁夏银川永宁三沙源上游学校·期中)如图，的顶点坐标分别为，，． (1)作出关于轴对称的图形； (2)在第三象限内，以点为位似中心作出的位似图形，使它与原图的相似比为． (3)求出的面积． 题型二十二 相似三角形综合压轴题 【典例22】(24-25九上·黑龙江省佳木斯市富锦三江联合学校·期中)综合与实践：折纸和剪纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸和剪纸开展数学探究，探索数学奥秘． 【动手操作】 如图，矩形纸片中，，，点为边上一点，沿直线将矩形纸片折叠，使点落在边上的点处． （1）填空：的长为______； 【拓展应用】 （2）如图，展开后，将剪下来沿线段向右平移，使点的对应点与点重合，得到，与交于点，求线段的长； （3）如图，将剪下来的绕点旋转得到，连接，当点，，三点共线时，请直接写出的长． 【变式1】(24-25九上·甘肃兰州第十九中学·期中)在中，，，． (1)问题发现 如图，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是 ，与的位置关系是 ． (2)类比探究 将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点，请结合图说明理由； (3)迁移应用 如图，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长． 【变式2】(24-25九上·福建东盛教育集团·期中)如图1，在四边形中，，，对角线平分，交于E点，将沿翻折得．    (1)求证：； (2)若， ①求的值； ②如图2，连接交于H点．求证：． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $