专题02 一元二次方程（期中复习讲义）九年级数学上学期华东师大版

专题02 一元二次方程（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 一元二次方程的定义 理解一元二次方程的定义，能够正确的判断是否为一元二次方程以及求参数的值。 基础必考点，经常出现在选填题中 一元二次方程的解 掌握一元二次方程的解，并能够利用一元一次方程的解求参数 常考题，常出现在选择题和填空题中 解一元二次方程 熟练的使用直接开平方法、因式分解法、配方法以及公式法解一元二次方程 解答题高频考点，作为计算题出现在解答题第一道或者作为计算桥梁。 一元二次方程根的判别式 熟练的使用一元二次方程根的判别式判断一元二次方程的根并求参数的取值范围 高频考点，常常出现在选择填空题中，是考试常考知识点 一元二次方程根与系数的关系 熟记根与系数关系的公式，正确使用根与系数的关系求解 常考题，一元二次方程根与系数的关系作为考试中的重点题型出现，难度中等。 一元二次方程的实际应用 准确的将一元二次方程运用在实际生活中，将数学与实际生活联系起来 期中常考题，一元二次方程的实际应用往往出现在解答题中 知识点01 一元二次方程的定义 ①只含 未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的 方程叫做一元二次方程。 ②一元二次方程的一般式为,其中（a≠0，a、b、c为常数）， 是二次项， 为一次项， 是常数项， 称为二次项系数， 称为一次项系数。 知识点02 一元二次方程的解 ①直接开平方法 一般地，对于方程 （1）当时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根 （2）当p=0时，方程有两个相等的实数根 （3）当p＜0时，方程没有实数根。 ②配方法 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化为的形式，那么就有： （1）当p＞0时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根 ， ; （2）当p=0时，方程有两个相等的实数根 ， （3）当p＜0时，因为对于任意的实数,都有，所以方程无实数根 对于任意的一元二次方程（a≠0），配方的方法都是先将二次项系数化为1后，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。 ③公式法 任何一个一元二次方程都是可以写成一般式（a≠0）， , ,（） ④因式分解法 把一个一元二次方程整理成一般形式（a≠0）后，如果能够较简便地分解成两个一次因式的乘积，则一般用因式分解来解这个一元二次方程。 知识点03 一元二次方程根的判别式知识点 叫做一元二次方程 ，通常用符号“△”来表示，用它可以直接判断一元二次方程（a≠0）的实数根的情况； （1）当△＞0时，方程有 的实数根； （2）当△=0时，方程有 的实数根； （3）当△＜0式，方程 。 知识点04 一元二次方程根与系数的关系 是一元二次方程（a≠0）的两个根，则 ， 注意：使用一元二次方程根与系数的关系公式时，前提是此方程要有根即△≥0 知识点05 一元二次方程实际应用 ①一元二次方程实际应用之增长率问题 公式：（其中a表示增长（下降）前的基数，b表示增长（下降）后的基数，x表示增长（下降）率） ②一元二次方程实际应用之利润问题 总利润=单件利润×总销售量=（一件的售价-一件的成本）×总销售量，利润率= ③一元二次方程实际应用之握手、球赛问题 公式：握手次数=,其中n代表参与握手的人数。 题型一 判断是否为一元二次方程 解｜题｜技｜巧 判断是否为一元二次方程的方法 ①只含一个未知数；②未知数的最高次数为2；③整式方程（分母不含字母）；④如果方程不是一般形式，需要进行化简后再判断。 【典例1】下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】(24-25九上·广西柳州鹿寨县·期中)下列方程中是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】(24-25九上·福建漳浦道周中学·期中)下列方程中，一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 题型二 根据一元二次方程的定义求参数 解｜题｜技｜巧 ①求值：找出所给方程中最高次数并让它等于2，从而求解出未知数的值； ②验证：将①中求出的未知数的值代入方程中检验，看是否满足为一元二次方程。 【典例2】已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 ． 【变式1】(24-25九上·山东潍坊潍城区·期中)若是关于的一元二次方程，则 ． 【变式2】(24-25八下·黑龙江哈尔滨德强学校·期中)当 时，是关于的一元二次方程． 题型三 由一元二次方程的解求代数式的值 【典例3】已知m是一元二次方程的根，则的值为 ． 【变式1】(24-25九上·福建漳州长泰区·期中)若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知是方程的一个根，则的值为（  ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 题型四 一元二次方程解的估算 解｜题｜技｜巧 对照表格找出的取值所在的范围，再对应找出x的值即可 【典例4】(24-25九上·浙江温州·期中)根据下列表格的对应值，判断方程（，，，为常数）一个解的范围是（   ） 3.1 3.2 3.3 3.4 0.5 A． B． C． D． 【变式1】(24-25九上·山西运城临猗县多校·期中)已知关于x的二次三项式的部分对应值如下表： x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 0.36 0.75 据此可估计关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】(24-25九上·福建漳州台商投资区·期中)如表是某同学求代数式（为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于的方程的实数根是（  ） A．， B．， C．， D．， 题型五 一元二次方程的一般式 解｜题｜技｜巧 一元二次方程的一般式为，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。 注意：在找一元二次方程各项系数时，需要先将一元二次方程化简为一般形式后再进行求解。 【典例5】(24-25九上·辽宁沈阳·期中)一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A．3，，9 B．3，， C．3，5，9 D．3，5， 【变式1】(24-25九上·广西钦州灵山县青云中学·期中)将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数，常数项分别是（   ） A． B． C． D．2，10 【变式2】(24-25九上·内蒙古呼伦贝尔莫力达瓦达斡尔族自治旗达斡尔中学·期中)已知一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（   ） A．3、5 B．、5 C．3、 D．、 【变式3】(24-25九下·河北邢台内丘县·期中)若一元二次方程化成一般形式后二次项的系数是2，则一次项的系数是（   ） A．3 B． C．5 D． 题型六 解一元二次方程（计算题） 【典例6】(24-25九上·湖北襄阳·期中)解下列方程： (1) (2) 【变式1】按要求解方程： (1)（配方法）． (2)（因式分解法）． 【变式2】(24-25九上·宁夏银川灵武五校·期中)选用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 题型七 特殊值解一元二次方程 【典例7】(24-25九上·福建漳州台商投资区·期中)已知关于的方程（，，为常数，）的解是，，那么方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】(24-25八下·浙江温州·期中)若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为（   ） A． B． C． D． 【变式2】(24-25九上·山东烟台龙口（五四制）·期中)若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【变式3】(24-25九上·山东烟台蓬莱区·期中)若关于x的一元二次方程有一根为，则关于y的一元二次方程必有一根为（    ） A．2025 B． C． D． 【变式4】(24-25九下·江苏徐州邳州实验中学等多校联考·月考)若关于x的一元二次方程的解为，，则关于y的一元二次方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 题型八 利用配方法判断变形是否正确 解｜题｜技｜巧 解题方法：①先将所给一元二次方程化为二次项系数为1，②在再等号两边同时加上一次项系数一半的平法即可。 【典例8】(24-25九下·北京海淀区·期中)用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】(23-24九上·江苏南京玄武区·期中)一元二次方程配方后可化为（　　） A． B． C． D． 【变式2】(24-25九上·广西钦州灵山县青云中学·期中)把化成（其中是常数）形式的结果为（   ） A． B． C． D． 题型九 利用配方法求参数的值 【典例9】用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】(24-25九上·四川自贡富顺县自贡富顺联考九年级期中考试·期中)若一元二次方程（a，b为常数)，化成一般形式为，则a，b的值分别是（   ） A．3，4 B．，4 C．3， D．， 题型十 利用配方法求最值 解｜题｜技｜巧 一般地，代数式，可以通过配方法配成的形式； 当a＞0时，代数式有最小值，x=-h时取的最小值k； 当a＜0时，代数式有最大值，x=-h时取的最大值k。 【典例10】(24-25九上·甘肃酒泉第二中学·期中)代数式的最小值是 ． 【变式1】(24-25九上·江苏宿迁沭阳县南湖初级中学·期中)已知实数，满足，则代数式的最小值是 ． 【变式2】(24-25九上·湖南永州京华中学·期中)新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是 ． 题型十一 利用求根公式求参数的值 解｜题｜技｜巧 一般地，一元二次方程=0有两个根，则 ,, 解此类题型只需要对照所给的等式与一元二次方程的求根公式，找出对应的a、b、c即可还原一元二次方程。 【典例11】(24-25九上·山东淄博·期中)若可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】(24-25八下·山东烟台招远·期中)以为根的一元二次方程可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2】(24-25九上·河南商丘虞城县·期中)下列一元二次方程的根可以根据计算出的是（    ） A． B． C． D． 题型十二 根据根的判别式判断根的情况 解｜题｜步｜骤 ①将一元二次方程化简为一般形式=0； ②正确的找出a、b、c的值，注意需要带上前面的符号； ③代入一元二次方程根的判别式进行判断即可。 【典例12】一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【变式1】(24-25九下·河南周口商水县·期中)定义运算：例如：．则方程的根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有实数根 D．无实数根 题型十三 利用根的判别式求参数的取值范围 【典例13】(24-25九上·黑龙江佳木斯·期中)若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A． B．且 C． D．且 【变式1】若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则以a，b，c为三边的三角形是（    ） A．以b为斜边的直角三角形 B．以c为底边的等腰三角形 C．以b为底边的等腰三角形 D．以a为斜边的直角三角形 【变式2】(24-25八下·山东烟台牟平区（五四制）·期中)若关于的方程有实数解，则实数的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 题型十四 利用根与系数的关系进行直接求解 解｜题｜技｜巧 ①先将一元二次方程化为一般形式，准确的找出a、b、c的值 ②根据根与系数的公式：①；②；③ 注意：在使用根与系数的关系进行求解的前提是一元二次方程要有解，即△≥0. 【典例14】若m，n是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 【变式1】(24-25九上·广东揭阳惠来县·期中)是一元二次方程的两个实数根，则 ． 【变式2】(24-25九上·广东茂名博雅中学·期中)已知，是方程的两个根，则 ． 【变式3】(24-25九下·四川眉山洪雅县·期中)已知、是方程的两个实数根，则 ． 题型十五 利用根与系数的关系间接求解 解｜题｜技｜巧 常见题型及其处理方法 ①分式形式：只需要对分式进行通分后，再利用根与系数的关系进行求解； ②高次形式（大于等于2次）：需进行降次处理，那个变量出现高次就先对这个变量进行降次。 【典例15】若是关于的方程的两实数根，则的值为 ． 【变式1】(24-25八下·安徽宁国城关四校联盟期·调研)已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则     ． 【变式2】(24-25九上·黑龙江绥化明水县第二中学·期中)若，是关于x的一元二次方程两个实数根，则代数式的值为 ． 题型十六 利用根与系数的关系求参数的值 【典例16】已知实数k、m、， 且满足，，则的值为 【变式1】(24-25九上·江西吉安万安县·期末)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，且，则的值是 ． 【变式2】(24-25九上·湖南株洲·期末)关于x的方程的两个根，满足，且，则m的值为 ． 题型十七 根与系数的关系综合应用 【典例17】(24-25九上·四川泸州·期中已知关于x的方程：． (1)求证：无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)设，是方程的两个根，且，求m的值． 【变式1】(24-25九上·四川泸州合江县·期中)已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程有实数根，求m的取值范围． (2)若，是方程的两根，且时，求的值． 【变式2】(23-24九上·浙江宁波镇海区仁爱中学·期中)已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)方程的两个实数根、满足，求实数的值． 【变式3】(24-25九上·湖南益阳益阳师专附属学校·期中)已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． (1)若是等边三角形，求方程的根； (2)若是直角三角形，且为斜边长，试判别方程根的情况． 题型十八 配方法的实际应用 【典例18】(24-25九上·贵州黔南·期中)阅读下列材料： 配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，掌好配方法对我们学习数学有很大的帮助．所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的．例如：解方程，则有，，解得，．已知，求x，y的值，则有，，解得，． 根据以上材料解答下列各题： (1)若，求的值； (2)若分别表示的三边长，且满足，试判断的形状，并说明理由． 【变式1】(24-25九上·河南驻马店上蔡县·期中)我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为．所以5是“完美数”． 解决问题： (1)已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式_____________； (2)已知，则的值是多少？ (3)数学学习的本质是“再创造”．周末，小明同学在复习配方法时，对代数式进行了配方，发现，小明发现是一个非负数，即，他继续探索，利用不等式的基本性质得到，即，所以，他得出结论：的最小值是2，即的最小值是2．请你解答，求代数式的最小值． 【变式2】(24-25九上·河南南阳唐河县·期中)【方法学习】 把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在今后的学习中有着广泛的应用． 例如：求的最小值． 解：， ∵， ∴，所以当时，即当时，有最小值，最小值为1． 【问题解决】 (1)当为何值时，代数式有最小值，最小值为多少？ (2)如图，是一组邻边长分别为，的长方形，其面积为；图是边长为的正方形，面积为，，请比较与的大小，并说明理由． 题型十九 一元二次方程实际应用之传播问题 解｜题｜技｜巧 （1）明确变量： ①设每轮每个传染源传播给x人；②注意题目描述是“每轮新增人数”还是“总人数”。 （2）建立方程：根据题目描述的总人数或新增人数关系列方程。 （3）解方程：整理为一元二次方程标准形式，通过因式分解、配方法或求根公式求解，舍去负根。 （4）验证实际意义：x 必须为正整数（人数为整数）。检查是否满足题目条件（如传播轮数、总人数等） 【典例19】(24-25九上·广东江门台山·期中)近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【变式1】(24-25九上·四川宜宾兴文县·期中)有一个人患了某种流感，经过两轮传染后共有100人患了此流感． (1)每轮传染中平均一人传染了几人？ (2)如果此流感未得到及时控制，按照这样的传染速度，经过三轮传染后一共有多少人患此流感？ 【变式2】(23-24九下·山东威海环翠区实验中学·期中)近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【变式3】(24-25九上·天津河西区·期中)某种树木的主干长出若干支干，假设每个支干又长出同样数目的小分支，若此时主干、支干和小分支的总数是111．求每个支干长出多少小分支？设主干长出了x个支干．请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 (2)填空（用含x的代数式表示）： ①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为； (3)请继续完成本题的解答： 题型二十 一元二次方程实际应用之增长率问题 解｜题｜步｜骤 （1）设未知数 ①设增长率为x；②明确初始量a和变化后的量b （2）列方程（两种常见模型） ①连续两年增长：；②先增后减相同比例： （3）解方程：选择适合的方法解一元二次方程（最常用直接开平方法） （4）验根取舍：①舍去负增长率；②舍去大于100%增长率。 【典例20】(24-25九上·江苏苏州·期中)“七里山塘，枕河而居”，苏州市的山塘街是具有江南风貌特色的历史文化街区，现在已成为网红打卡地．据统计，2014年10月1日截至21时山塘历史街区累计客流量为8万人次，第三天游客人数达到万人次． (1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； (2)景区内某文创小店推出了特色丝绸团扇，每把扇子的成本为7元．根据销售经验，每把扇子定价为25元时，平均每天可售出300把．若每把扇子的售价每降低1元，平均每天可多售出30把．设每把扇子降价元．请解答以下问题： ①填空：每天可售出扇子_______________把（用含的代数式表示）； ②若该文创小店想通过售出这批扇子每天获得5760元的利润，又想尽可能地减少库存，每把扇子应降价多少元？ 【变式1】(24-25九上·陕西宝鸡2第一中学·期中)暑期奥运点燃了我们的运动热情，某网店直接从工厂以35元/件的进价购进一批纪念“奥运”的钥匙扣，售价为60元/件时，第一天销售了25件．该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到了36件． (1)求每天销售量的平均增长率； (2)“奥运”临近结束时，钥匙扣还有大量剩余，为了尽快减少库存，网店打算将钥匙扣降价销售．经调查发现，每降价1元，在第三天的销售量基础上每天可多售2件，将钥匙扣的销售价定为每件多少元时，每天可获利920元？ 【变式2】(24-25九上·河南郑州金水区经纬中学·期中)杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． (1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； (2)经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 题型二十一 一元二次方程实际应用之与图形有关的问题 【典例21】学校打算建立一块矩形的生物种植田来种植水果黄瓜，一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为米），其余部分需要用总长为米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需要，有两个宽为1米的门（门无需栅栏，如图所示）．设种植田为m米．若该种植田的面积为平方米（栅栏的占地面积忽略不计），求该种植田的宽m． 【变式1】某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25），另外三边用木栏围成，木栏长40，若养鸡场面积为，求鸡场两边的长分别是多少？ 【变式2】如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长米，围成的长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙． (1)若墙长为米，要围成的鸡场的面积为平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？ (2)围成的鸡场的面积可能达到平方米吗？ (3)若墙长为米，对建平方米面积的鸡场有何影响？ 【变式3】(24-25九上·河南郑州第十一初级中学·期中)电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形． (1)若车棚占地面积为，试求出电动车车棚的长和宽； (2)若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，请问能围成占地面积为的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 题型二十二 一元二次方程实际应用之营销问题 解｜题｜步｜骤 （1）设未知数 通常设：①售价变化量（设“涨价x元”或“降价x元”）；②销售变化量（如：每涨1元，少卖10元） （2）列方程 模型①：利润最大化 利润=单件利润×销售量，单价利润=售价-成本 例如：某商品进价40元，售价60元时每天卖100件。每涨1元，少卖5件。设涨价x元，利润为y； y=（60+x-40）（100-5x）=（20+x）（100-5x） 模型②总收入问题 总收入=售价×销量 例如：某书定价30元时卖200本，每降价1元多卖20本。设降价x元。总收入R； R=（30-x）（200+2x） （3）解方程 【典例22】某市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，售价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克． (1)若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答： ①每千克茶叶应降价多少元？ ②在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ (2)在降价情况下，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到50000元吗？请说明理由． 【变式1】(24-25九下·重庆万州中学教育集团·期中)2025年春节联欢晚会吉祥物“巳（si）升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红． (1)某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知款吉祥物的单价比款吉祥物的单价高20元，若顾客花800元购买款吉祥物的数量与花600元购买款吉祥物的数量相同，则A，B两款吉祥物的单价分别是多少元？ (2)若款吉祥物的进价为每件60元，经市场调查发现，当售价定为每件100元，则每天能销售款吉祥物20件，而售价每降价1元，每天可多售出款吉祥物2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使每天销售后获利1200元，则款吉祥物售价应降低多少元？ 【变式2】(24-25九上·甘肃天水武山县百泉初级中学·期中)小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件． (1)若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ (2)小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应降多少元？ 【变式3】(24-25九上·重庆合川区合阳中学·期中)今年11月份，某商场购进了一批T恤和衬衣，商家用16000元购买T恤，12000元购买衬衣，每件T恤和每件衬衣进价之和为100元，且购进T恤的数量是衬衣的2倍． (1)求商场购买T恤和衬衣的进货单价； (2)商场在销售过程中发现，当T恤的销售单价为每件80元，衬衣的销售单价为每件120元时，平均每天可卖出50件T恤，30件衬衣，据统计，衬衣的销售单价每降低5元，平均每天可以多卖出5件．为减少库存，商家在保证T恤的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使T恤和衬衣平均每天的总获利为4000元，则每件衬衣的售价为多少元？ 题型二十三 一元二次方程实际应用之握手、循环问题 解｜题｜步｜骤 场景：若有n个人，每两人之间握一次手，求总握手次数 公式：握手总次数= 【典例23】某市组织一次足球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），共比赛了21场，设共有个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（  ） A． B． C． D． 【变式1】(23-24九上·青海西宁第十二中学教育集团·期中)在一次公司酒会上，每两个宾客之间都只碰杯一次，若一共碰杯55次，则参加酒会的有 人． 【变式2】(24-25九上·广东江门杜阮镇杜阮中心初级中学·期中)某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，求航空公司共有多少个飞机场？ 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 一元二次方程的定义 理解一元二次方程的定义，能够正确的判断是否为一元二次方程以及求参数的值。 基础必考点，经常出现在选填题中 一元二次方程的解 掌握一元二次方程的解，并能够利用一元一次方程的解求参数 常考题，常出现在选择题和填空题中 解一元二次方程 熟练的使用直接开平方法、因式分解法、配方法以及公式法解一元二次方程 解答题高频考点，作为计算题出现在解答题第一道或者作为计算桥梁。 一元二次方程根的判别式 熟练的使用一元二次方程根的判别式判断一元二次方程的根并求参数的取值范围 高频考点，常常出现在选择填空题中，是考试常考知识点 一元二次方程根与系数的关系 熟记根与系数关系的公式，正确使用根与系数的关系求解 常考题，一元二次方程根与系数的关系作为考试中的重点题型出现，难度中等。 一元二次方程的实际应用 准确的将一元二次方程运用在实际生活中，将数学与实际生活联系起来 期中常考题，一元二次方程的实际应用往往出现在解答题中 知识点01 一元二次方程的定义 ①只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程。 ②一元二次方程的一般式为,其中（a≠0，a、b、c为常数），是二次项，为一次项，是常数项，称为二次项系数，称为一次项系数。 知识点02 一元二次方程的解 ①直接开平方法 一般地，对于方程 （1）当时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根 （2）当p=0时，方程有两个相等的实数根 （3）当p＜0时，方程没有实数根。 ②配方法 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化为的形式，那么就有： （1）当p＞0时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根，; （2）当p=0时，方程有两个相等的实数根， （3）当p＜0时，因为对于任意的实数,都有，所以方程无实数根 对于任意的一元二次方程（a≠0），配方的方法都是先将二次项系数化为1后，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。 ③公式法 任何一个一元二次方程都是可以写成一般式（a≠0）， ,,（） ④因式分解法 把一个一元二次方程整理成一般形式（a≠0）后，如果能够较简便地分解成两个一次因式的乘积，则一般用因式分解来解这个一元二次方程。 知识点03 一元二次方程根的判别式知识点 叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“△”来表示，用它可以直接判断一元二次方程（a≠0）的实数根的情况； （1）当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当△=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当△＜0式，方程没有实数根。 知识点04 一元二次方程根与系数的关系 是一元二次方程（a≠0）的两个根，则， 注意：使用一元二次方程根与系数的关系公式时，前提是此方程要有根即△≥0 知识点05 一元二次方程实际应用 ①一元二次方程实际应用之增长率问题 公式：（其中a表示增长（下降）前的基数，b表示增长（下降）后的基数，x表示增长（下降）率） ②一元二次方程实际应用之利润问题 总利润=单件利润×总销售量=（一件的售价-一件的成本）×总销售量，利润率= ③一元二次方程实际应用之握手、球赛问题 公式：握手次数=,其中n代表参与握手的人数。 题型一 判断是否为一元二次方程 解｜题｜技｜巧 判断是否为一元二次方程的方法 ①只含一个未知数；②未知数的最高次数为2；③整式方程（分母不含字母）；④如果方程不是一般形式，需要进行化简后再判断。 【典例1】下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键在于掌握一元二次方程必须满足：（1）含有一个未知数，含未知数的项的最高次数是2；（2）整式方程． 根据一元二次方程的定义求解，即可解题． 【详解】解：A. ，含两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B. ，不是等式，故不是一元二次方程，不符合题意； C. ，是一元二次方程，符合题意； D. ，当时，二次项不存在，故不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 【变式1】(24-25九上·广西柳州鹿寨县·期中)下列方程中是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解题的关键：含有一个未知数且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程． 根据一元二次方程的定义进行求解即可． 【详解】解：A、方程中含有两个未知数，不是一元二次方程； B、方程整理可得，未知数的次数不是2，不是一元二次方程； C、方程是一元二次方程，符合题意； D、方程不是整式方程，不是一元二次方程． 故选：C． 【变式2】(24-25九上·福建漳浦道周中学·期中)下列方程中，一定是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键在于熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 【详解】A、：当时，方程变为一次方程，因此不一定是一元二次方程，不符合题意； B、：移项整理为，满足只含一个未知数且最高次数为2，二次项系数，为一元二次方程，符合题意； C、：未知数最高次数为3，是三次方程，不符合题意； D、：含有两个未知数和，是二元方程，不符合题意； 故选：B． 题型二 根据一元二次方程的定义求参数 解｜题｜技｜巧 ①求值：找出所给方程中最高次数并让它等于2，从而求解出未知数的值； ②验证：将①中求出的未知数的值代入方程中检验，看是否满足为一元二次方程。 【典例2】已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能根据一元二次方程的定义得出且是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义得出且，再求出即可． 【详解】解：根据题意得 且， 解得：， 故答案为：． 【变式1】(24-25九上·山东潍坊潍城区·期中)若是关于的一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．根据定义可得且，进而求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴且， 解得， 故答案为：． 【变式2】(24-25八下·黑龙江哈尔滨德强学校·期中)当 时，是关于的一元二次方程． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义解答即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 题型三 由一元二次方程的解求代数式的值 【典例3】已知m是一元二次方程的根，则的值为 ． 【答案】0 【来源】四川省内江市第一中学2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试题 【分析】本题主要考查了代数式求值，掌握一元二次方程解的意义是解题关键．根据方程的解代入方程得出，即，再整体代入计算求值即可； 【详解】解：∵m是一元二次方程的根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：0； 【变式1】(24-25九上·福建漳州长泰区·期中)若一元二次方程有一个根是，则这个方程可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．根据一元二次方程的解的定义判断即可． 【详解】解：A、当时，，则不是方程的根，本选项不符合题意； B、当时，，则是方程的根，本选项符合题意； C、当时，，则不是方程的根，本选项不符合题意； D、当时，，则不是方程的根，本选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】已知是方程的一个根，则的值为（  ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，则把代入，得，整理得，再把整理得，然后代数进行计算，即可作答． 【详解】解：是方程的一个根， ， 即， ∴， 则 ． 故选：C． 题型四 一元二次方程解的估算 解｜题｜技｜巧 对照表格找出的取值所在的范围，再对应找出x的值即可 【典例4】(24-25九上·浙江温州·期中)根据下列表格的对应值，判断方程（，，，为常数）一个解的范围是（   ） 3.1 3.2 3.3 3.4 0.5 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求一元二次方程的近似根，根据表格，找到相邻两个的值，使的符号为一正一负，即可得出结果． 【详解】解：由表格可知：当时，，当时，， ∴当时，必然存在一个，使， ∴（，，，为常数）一个解的范围是； 故选D． 【变式1】(24-25九上·山西运城临猗县多校·期中)已知关于x的二次三项式的部分对应值如下表： x 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 0.36 0.75 据此可估计关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，根据表格数据得到时，，时，进行求解，即可解题． 【详解】解： 时，， 时，， 关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为， 故选：C． 【变式2】(24-25九上·福建漳州台商投资区·期中)如表是某同学求代数式（为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于的方程的实数根是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了方程的解，将关于的方程化为，由表格可知，当或时，，由此可得关于的方程的实数根，掌握方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：关于的方程可化为， 由表格可知，当或时，， ∴关于的方程的实数根是，， 故选：． 题型五 一元二次方程的一般式 解｜题｜技｜巧 一元二次方程的一般式为，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。 注意：在找一元二次方程各项系数时，需要先将一元二次方程化简为一般形式后再进行求解。 【典例5】(24-25九上·辽宁沈阳·期中)一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（   ） A．3，，9 B．3，， C．3，5，9 D．3，5， 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，将方程化为一般形式，即可直接读出二次项系数、一次项系数和常数项． 【详解】解：原方程为，展开左边括号得：， 将右边移到左边，得：， 则二次项系数为，一次项系数为，常数项为； 故选B． 【变式1】(24-25九上·广西钦州灵山县青云中学·期中)将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数，常数项分别是（   ） A． B． C． D．2，10 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a、b、c是常数且），特别要注意的条件．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a、b、c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．先移项，再根据一元二次方程的定义作答即可． 【详解】解：原方程为， 移项得：，此时二次项系数为1，一次项系数为，常数项为， 故选：A． 【变式2】(24-25九上·内蒙古呼伦贝尔莫力达瓦达斡尔族自治旗达斡尔中学·期中)已知一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（   ） A．3、5 B．、5 C．3、 D．、 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，其中叫做二次项，a为二次项系数；叫做一次项，b为一次项系数；c为常数项，熟练掌握知识点是解题的关键．先将原方程化为一般形式，再求解即可． 【详解】解：将化为一般式为， ∴一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是， 故选：D． 【变式3】(24-25九下·河北邢台内丘县·期中)若一元二次方程化成一般形式后二次项的系数是2，则一次项的系数是（   ） A．3 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，先将方程化为一般形式，然后写出一次项系数解答即可． 将方程整理为一般形式，确定一次项系数。 【详解】解：原方程化为一般式为 此时二次项系数为2，一次项系数为， 故选：B． 题型六 解一元二次方程（计算题） 【典例6】(24-25九上·湖北襄阳·期中)解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）先移项，再用提公因式法因式分解求解可得； （2）直接利用十字相乘法因式分解求解可得． 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， 解得：，； （2）解：， ， 或， 解得：，． 【变式1】按要求解方程： (1)（配方法）． (2)（因式分解法）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键． （1）方程两边都加上一次项系数一半的平方，配方后运用直接开平方法求得未知数的值即可； （2）方程移项后运用因式分解法解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴； （2）解：， ， ， ， ∴． 【变式2】(24-25九上·宁夏银川灵武五校·期中)选用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键． （1）方程可以变形为，利用直接开平方法解方程即可得； （2）方程可以变形为，利用直接开平方法解方程即可得； （3）方程利用平方差公式变形为，利用因式分解法解方程即可得； （4）方程利用完全平方公式变形为，利用直接开平方法解方程即可得． 【详解】（1）解：， ， ， ， 所以方程的解为，． （2）解：， ， 或， 或， 所以方程的解为，． （3）解：， ， ， ， 或， 或， 所以方程的解为，． （4）解：， ， ， 所以方程的解为． 题型七 特殊值解一元二次方程 【典例7】(24-25九上·福建漳州台商投资区·期中)已知关于的方程（，，为常数，）的解是，，那么方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】此题主要考查了方程解的定义，把后面一个方程中的看作整体，相当于前面一个方程中的求解，注意由两个方程的特点进行简便计算． 【详解】解：∵关于的方程（为常数，）的解是，， ∴方程变形为：， 即或， 解得：或， 故选：D． 【变式1】(24-25八下·浙江温州·期中)若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是理解方程的解的定义； 根据满足方程，得到，两边同时除以可确定所求方程的一个根． 【详解】解：把代入一元二次方程，得， ， 两边除以（，若，代入得，与矛盾 ），得， ， ． ∴当时，方程成立． ∴方程必有一根为 ， 故选：D． 【变式2】(24-25九上·山东烟台龙口（五四制）·期中)若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．由于关于x的一元二次方程有一根为，则把方程看作关于的一元二次方程时有，解得，于是可判断一元二次方程必有一根为． 【详解】解：∵， ∴； ∵是的一个根， ∴也是的一个根， 即， 故选：C． 【变式3】(24-25九上·山东烟台蓬莱区·期中)若关于x的一元二次方程有一根为，则关于y的一元二次方程必有一根为（    ） A．2025 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解，代入一元二次方程，得，两边同时除以可确定所求方程的一个根． 【详解】解：把代入一元二次方程，得， 两边除以，得， ∴， ∴是一元二次方程的一根． 故选：C． 【变式4】(24-25九下·江苏徐州邳州实验中学等多校联考·月考)若关于x的一元二次方程的解为，，则关于y的一元二次方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，能根据题意得出两个方程解之间的关系是解题的关键． 根据题意得出，后一个方程是用替换了前一个方程中的x得到，据此得出后一个方程的解与前一个方程解的关系即可解决问题． 【详解】解：由题知，后一个方程是用替换了前一个方程中的x得到， 又∵关于x的一元二次方程的解为，， ∴或， ∴， 故选：D． 题型八 利用配方法判断变形是否正确 解｜题｜技｜巧 解题方法：①先将所给一元二次方程化为二次项系数为1，②在再等号两边同时加上一次项系数一半的平法即可。 【典例8】(24-25九下·北京海淀区·期中)用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，然后在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，最后整理得，即可作答． 【详解】解：依题意， ， 移项得， ， ∴， 故选：B 【变式1】(23-24九上·江苏南京玄武区·期中)一元二次方程配方后可化为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，先移项，再利用完全平方公式配方即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 【变式2】(24-25九上·广西钦州灵山县青云中学·期中)把化成（其中是常数）形式的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了配方法的应用，利用配方法进行求解即可． 【详解】解： ， 故选：B． 题型九 利用配方法求参数的值 【典例9】用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程，先利用配方法将一元二次方程化为，从而得到、的值，最后代入计算即可． 【详解】解： ，， ， 故选：C． 【变式1】(24-25九上·四川自贡富顺县自贡富顺联考九年级期中考试·期中)若一元二次方程（a，b为常数)，化成一般形式为，则a，b的值分别是（   ） A．3，4 B．，4 C．3， D．， 【答案】B 【分析】本题考查配方法的应用，将利用配方法转化为：，即可得出结论． 【详解】解： ∴， ∴； 故选B． 题型十 利用配方法求最值 解｜题｜技｜巧 一般地，代数式，可以通过配方法配成的形式； 当a＞0时，代数式有最小值，x=-h时取的最小值k； 当a＜0时，代数式有最大值，x=-h时取的最大值k。 【典例10】(24-25九上·甘肃酒泉第二中学·期中)代数式的最小值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了配方法的应用，掌握配方法成为解题的关键． 先根据完全平方公式配方，然后根据非负数的性质即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴代数式的最小值是4． 故答案为：4． 【变式1】(24-25九上·江苏宿迁沭阳县南湖初级中学·期中)已知实数，满足，则代数式的最小值是 ． 【答案】4 【分析】此题考查了配方法的应用与平方式的非负性，解题的关键是熟练掌握配方法．由题意得，代入代数式可得，由此可知代数式的最小值是4． 【详解】解：， ，则， ， ， ∴（当时取等号）， 则， 当时，代数式有最小值等于4， 故答案为：4． 【变式2】(24-25九上·湖南永州京华中学·期中)新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可． 【详解】解： 与是“同族二次方程”， ， ∴， ， ∴， ， 最小值为， 最小值为， 即最小值为． 故答案为：． 题型十一 利用求根公式求参数的值 解｜题｜技｜巧 一般地，一元二次方程=0有两个根，则 ,, 解此类题型只需要对照所给的等式与一元二次方程的求根公式，找出对应的a、b、c即可还原一元二次方程。 【典例11】(24-25九上·山东淄博·期中)若可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，由求根公式得出，，，即可得解，熟练掌握求根公式是解此题的关键． 【详解】解：∵可以表示某个一元二次方程的根， ∴，，， ∴这个一元二次方程为， 故选：D． 【变式1】(24-25八下·山东烟台招远·期中)以为根的一元二次方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，牢记一元二次方程的求根公式是解题的关键．根据公式法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：A、，则，故该选项不正确，不符合题意； B、，则，故该选项不正确，不符合题意； C、，则，故该选项不正确，不符合题意； D、，则，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【变式2】(24-25九上·河南商丘虞城县·期中)下列一元二次方程的根可以根据计算出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，根据求根公式确定二次项系数，一次项系数和常数项即可． 【详解】解：∵一元二次方程的根可以根据计算， ∴， ∴对应方程为：； 故选B． 题型十二 根据根的判别式判断根的情况 解｜题｜步｜骤 ①将一元二次方程化简为一般形式=0； ②正确的找出a、b、c的值，注意需要带上前面的符号； ③代入一元二次方程根的判别式进行判断即可。 【典例12】一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式与根的情况的关系是解题的关键．通过计算一元二次方程根的判别式的值，来判断方程根的情况． 【详解】解：对于一元二次方程，其中，，． ∵， ∴方程有两个相等的实数根． 故选：B． 【变式1】(24-25九下·河南周口商水县·期中)定义运算：例如：．则方程的根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有实数根 D．无实数根 【答案】A 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，根据定义运算将方程转化为标准一元二次方程，计算判别式判断根的情况． 【详解】由题意得方程，即 ． 整理得： 计算判别式： 由于，方程有两个不相等的实数根． 故选A． 题型十三 利用根的判别式求参数的取值范围 【典例13】(24-25九上·黑龙江佳木斯·期中)若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查根的判别式，二次根式有意义的条件，根据方程有两个不相等的实数根得到，结合二次项的系数不为0，以及二次根式有意义的条件，进行求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且，且， 解得：且， 故选：D． 【变式1】若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则以a，b，c为三边的三角形是（    ） A．以b为斜边的直角三角形 B．以c为底边的等腰三角形 C．以b为底边的等腰三角形 D．以a为斜边的直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理． 根据一元二次方程有两个相等实数根的条件得到判别式，代入方程系数计算后得到关系式，进而判断三角形的形状． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴ ∴， ∴、、为边的三角形是以为斜边的直角三角形， 故选：D． 【变式2】(24-25八下·山东烟台牟平区（五四制）·期中)若关于的方程有实数解，则实数的取值范围是（    ） A． B．且 C．且 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，关于x的方程有实数解，需分两种情况讨论：当时，方程退化为一次方程，必有解；当时，方程为二次方程，需满足判别式非负，即可求解． 【详解】解：当时：方程变为， 解得， 显然有实数解，此时符合条件． 当时：方程为二次方程， ∵方程有实数解， ∴， 解得． 综上，当时，方程有解， 故选A． 题型十四 利用根与系数的关系进行直接求解 解｜题｜技｜巧 ①先将一元二次方程化为一般形式，准确的找出a、b、c的值 ②根据根与系数的公式：①；②；③ 注意：在使用根与系数的关系进行求解的前提是一元二次方程要有解，即△≥0. 【典例14】若m，n是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握当一元二次方程的两根为和，则是解题的关键．利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）来求解两根之和． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个根， ∴ 故答案为： 【变式1】(24-25九上·广东揭阳惠来县·期中)是一元二次方程的两个实数根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：，根据是一元二次方程的两个实数根，把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴， 故答案为：． 【变式2】(24-25九上·广东茂名博雅中学·期中)已知，是方程的两个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值．熟练掌握若，是方程的两个根，则，是解题的关键．由题意知，，，再把展开，整体代入计算即可求解． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 【变式3】(24-25九下·四川眉山洪雅县·期中)已知、是方程的两个实数根，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，解题的关键是根据根与系数的关系得到，． 根据根与系数的关系可得出，，代入并利用完全平方公式变形计算即可得出结论． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， ∴． 故答案为：0． 题型十五 利用根与系数的关系间接求解 解｜题｜技｜巧 常见题型及其处理方法 ①分式形式：只需要对分式进行通分后，再利用根与系数的关系进行求解； ②高次形式（大于等于2次）：需进行降次处理，那个变量出现高次就先对这个变量进行降次。 【典例15】若是关于的方程的两实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系，分式的求值，完全平方公式的变形应用，熟练掌握的两根满足是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数关系得到，，然后将变形后整体代入求解即可． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1】(24-25八下·安徽宁国城关四校联盟期·调研)已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则     ． 【答案】2026 【分析】本题考查一元二次方程根的定义和根于系数的关系，解题的关键是掌握根于系数关系的公式．利用一元二次方程根的定义和根于系数的关系将原式进行转换求解即可． 【详解】解：∵a、b是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案是：2026． 【变式2】(24-25九上·黑龙江绥化明水县第二中学·期中)若，是关于x的一元二次方程两个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，正确变形、灵活应用整体思想是关键； 根据题意可得，，再把所求式子变形为，整体代入即可求解． 【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ； 故答案为：2025． 题型十六 利用根与系数的关系求参数的值 【典例16】已知实数k、m、， 且满足，，则的值为 【答案】2 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，掌握一元二次方程的解，根与系数的关系是解题的关键．根据题意可得，，为关于的方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系即可求解． 【详解】解：，， ，为关于的方程的两个不相等的实数根， ∴由根与系数的关系得：， 故答案为：2． 【变式1】(24-25九上·江西吉安万安县·期末)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，且，则的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系得出，，进而得出关于的一元二次方程求出即可．熟知一元二次方程根与系数的关系为：，，是解题的关键． 【详解】解：由题意可知， 关于的一元二次方程一定有两个不相等的实数根， 关于的一元二次方程的两个实数根分别为，， ，， ， ， ， 整理得出：， 解得：， 故答案为：1． 【变式2】(24-25九上·湖南株洲·期末)关于x的方程的两个根，满足，且，则m的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程．根据根与系数的关系得到，，进而根据已知条件式推出，，则可得方程，解方程后根据验证结果即可． 【详解】解：∵，是关于x的方程的两个根， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 题型十七 根与系数的关系综合应用 【典例17】(24-25九上·四川泸州·期中已知关于x的方程：． (1)求证：无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)设，是方程的两个根，且，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)m的值为3或 【分析】本题考查根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）表示出根的判别式，证明大于零即可； （2）利用根与系数的关系得，，再将变形为，进而可得关于m的方程，解方程即可． 【详解】（1）证明： ， 因为， 所以， 所以无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：因为，是方程的两个根， 所以，， 又因为， 即， 所以， 解得或， 所以m的值为3或． 【变式1】(24-25九上·四川泸州合江县·期中)已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程有实数根，求m的取值范围． (2)若，是方程的两根，且时，求的值． 【答案】(1) (2)14 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得，求解即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得，，结合题意求出，即可得出，再代入所求式子计算即可得解． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴； （2）解：∵，是方程的两根， ∴，， 当时，即 ， ∴，满足题意， ∴， ∴． 【变式2】(23-24九上·浙江宁波镇海区仁爱中学·期中)已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)方程的两个实数根、满足，求实数的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围； （2）根据方程的系数结合，可得出关于的方程，解之经检验后即可得出结论． 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：找出关于的方程． 【详解】（1）解： 关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：． （2）解：方程的两个实数根、， ∴，， 原式 ∴ ∴ ∴ ∴（与相矛盾，故舍去），． 【变式3】(24-25九上·湖南益阳益阳师专附属学校·期中)已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． (1)若是等边三角形，求方程的根； (2)若是直角三角形，且为斜边长，试判别方程根的情况． 【答案】(1)， (2)有两个相等的实数根 （1）根据等边三角形的性质可得，原方程变形为，即可求解； （2）根据勾股定理可得，再利用一元二次方程根与系数的关系解答即可． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∴方程变为，即：， 解得：，； （2）解：∵是直角三角形，为斜边， ∴， ∴， ∴方程有两个相等的实数根． 题型十八 配方法的实际应用 【典例18】(24-25九上·贵州黔南·期中)阅读下列材料： 配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，掌好配方法对我们学习数学有很大的帮助．所谓配方，就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要是恒等的．例如：解方程，则有，，解得，．已知，求x，y的值，则有，，解得，． 根据以上材料解答下列各题： (1)若，求的值； (2)若分别表示的三边长，且满足，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)为等腰三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了配方法，完全平方公式，代数式求值，非负数的性质，将多项式变形为完全平方式是解题的关键． （1）应用配方法将方程变形为，解方程得到，，代入计算即可； （2）为等腰三角形，理由：先将方程变形为，解方程得到，，进而得出，即可得到结论． 【详解】（1）解：， ， ， ，， . （2）解：为等腰三角形. 理由：， ， ， ，， ，， . 为等腰三角形. 【变式1】(24-25九上·河南驻马店上蔡县·期中)我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为．所以5是“完美数”． 解决问题： (1)已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式_____________； (2)已知，则的值是多少？ (3)数学学习的本质是“再创造”．周末，小明同学在复习配方法时，对代数式进行了配方，发现，小明发现是一个非负数，即，他继续探索，利用不等式的基本性质得到，即，所以，他得出结论：的最小值是2，即的最小值是2．请你解答，求代数式的最小值． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】本题考查配方法的应用以及非负数的性质，属于基础题，掌握方法是关键． （1）根据“完美数”的定义求解即可； （2）利用完全平方公式变形为，求得和的值即可解决； （3）将变形为即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：； 故答案为：； （2）解：， ， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ∴代数式的最小值为4． 【变式2】(24-25九上·河南南阳唐河县·期中)【方法学习】 把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“”这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在今后的学习中有着广泛的应用． 例如：求的最小值． 解：， ∵， ∴，所以当时，即当时，有最小值，最小值为1． 【问题解决】 (1)当为何值时，代数式有最小值，最小值为多少？ (2)如图，是一组邻边长分别为，的长方形，其面积为；图是边长为的正方形，面积为，，请比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)时，代数式有最小值，最小值为 (2)当时，；当时， 【分析】（）利用配方法解答即可求解； （）利用长方形和正方形的面积公式分别表示出，进而求出，最后根据的值判断即可求解； 本题考查了配方法，整式的运算，掌握配方法是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴当，即时，代数式有最小值，最小值为； （2）解：由题意得，，， ∴， 当时，，即， ∴当时，； 当时，，即， ∴当时，； 综上所述，当时，；当时，． 题型十九 一元二次方程实际应用之传播问题 解｜题｜技｜巧 （1）明确变量： ①设每轮每个传染源传播给x人；②注意题目描述是“每轮新增人数”还是“总人数”。 （2）建立方程：根据题目描述的总人数或新增人数关系列方程。 （3）解方程：整理为一元二次方程标准形式，通过因式分解、配方法或求根公式求解，舍去负根。 （4）验证实际意义：x 必须为正整数（人数为整数）。检查是否满足题目条件（如传播轮数、总人数等） 【典例19】(24-25九上·广东江门台山·期中)近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【答案】(1)人 (2)人 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数混合计算的实际应用： （1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，则第一轮小王会发给x人，第一轮被转发的x人每个人又要转发x人，据此列出方程求解即可； （2）根据（1）所求列式求解即可． 【详解】（1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人， 依题意得： 解得或（舍去）， 答：这个短信要求收到短信的人必须转发给人； （2）第三轮短信转发后，收到此短信的人数共有：（人）． 答：从小王开始计算，三轮后会有人有此短信． 【变式1】(24-25九上·四川宜宾兴文县·期中)有一个人患了某种流感，经过两轮传染后共有100人患了此流感． (1)每轮传染中平均一人传染了几人？ (2)如果此流感未得到及时控制，按照这样的传染速度，经过三轮传染后一共有多少人患此流感？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染9个人 (2)1000人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键在于读懂题意，设出合适的未知数，找出等量关系，列方程求解． （1）设第一个人传染了人，根据两轮传染后共有100人患了流感；列出方程，即可求解； （2）根据题意，求出三轮之后患流感的人数． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染个人， 由题意得：，即： 解得：，， ， 不合题意，舍去， ， 答：每轮传染中平均一个人传染9个人． （2）第一轮的患病人数为：人， 第二轮的患病人数为：人， 则，第三轮的患病人数为：人． 【变式2】(23-24九下·山东威海环翠区实验中学·期中)近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【答案】(1)这个短信要求收到短信的人必须转发给9人 (2)从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，含乘方的有理数混合计算的实际应用： （1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，则第一轮小王会发给x人，第一轮被转发的x人每个人又要转发x人，据此列出方程求解即可； （2）根据（1）所求列式求解即可． 【详解】（1）解：设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：这个短信要求收到短信的人必须转发给9人； （2）解：人， 答：从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信． 【变式3】(24-25九上·天津河西区·期中)某种树木的主干长出若干支干，假设每个支干又长出同样数目的小分支，若此时主干、支干和小分支的总数是111．求每个支干长出多少小分支？设主干长出了x个支干．请根据相关信息，解答下列问题： (1)填表： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 (2)填空（用含x的代数式表示）： ①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为； (3)请继续完成本题的解答： 【答案】(1)7，13，21 (2) (3)10个 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，还涉及有理数的计算，列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）分别求出主干、支干和小分支的总数填表即可； （2）①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是：；②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为：；③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为：； （3）由题意得，再解方程即可． 【详解】（1）解：主干长出支干的个数为2时，则主干、支干和小分支的总数为； 主干长出支干的个数为3时，则主干、支干和小分支的总数为； 主干长出支干的个数为4时，则主干、支干和小分支的总数为； 则填表为： x（主干长出支干的个数） 2 3 4 主干、支干和小分支的总数 7 13 21 （2）解：①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是：； ②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为：； ③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为：； （3）解：由题意得，， 解得：，（不合题意，舍去） 答：每个支干长出10个小分支． 题型二十 一元二次方程实际应用之增长率问题 解｜题｜步｜骤 （1）设未知数 ①设增长率为x；②明确初始量a和变化后的量b （2）列方程（两种常见模型） ①连续两年增长：；②先增后减相同比例： （3）解方程：选择适合的方法解一元二次方程（最常用直接开平方法） （4）验根取舍：①舍去负增长率；②舍去大于100%增长率。 【典例20】(24-25九上·江苏苏州·期中)“七里山塘，枕河而居”，苏州市的山塘街是具有江南风貌特色的历史文化街区，现在已成为网红打卡地．据统计，2014年10月1日截至21时山塘历史街区累计客流量为8万人次，第三天游客人数达到万人次． (1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； (2)景区内某文创小店推出了特色丝绸团扇，每把扇子的成本为7元．根据销售经验，每把扇子定价为25元时，平均每天可售出300把．若每把扇子的售价每降低1元，平均每天可多售出30把．设每把扇子降价元．请解答以下问题： ①填空：每天可售出扇子_______________把（用含的代数式表示）； ②若该文创小店想通过售出这批扇子每天获得5760元的利润，又想尽可能地减少库存，每把扇子应降价多少元？ 【答案】(1) (2)①；②6 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式．根据题意正确的列等式方程是解题的关键． （1）设从假期第一天到第三天的平均日增长率为，依题意得，计算求出满足要求的解即可； （2）①由题意知，每天可售出扇子把，然后作答即可； ②依题意得，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：设从假期第一天到第三天的平均日增长率为， 依题意得，， 解得，或（舍去）， ∴从假期第一天到第三天的平均日增长率为； （2）①解：由题意知，每天可售出扇子把， 故答案为：； ②解：依题意得，， 整理得，， 解得，或， ∵想尽可能地减少库存， ∴每把扇子应降价6元． 【变式1】(24-25九上·陕西宝鸡2第一中学·期中)暑期奥运点燃了我们的运动热情，某网店直接从工厂以35元/件的进价购进一批纪念“奥运”的钥匙扣，售价为60元/件时，第一天销售了25件．该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到了36件． (1)求每天销售量的平均增长率； (2)“奥运”临近结束时，钥匙扣还有大量剩余，为了尽快减少库存，网店打算将钥匙扣降价销售．经调查发现，每降价1元，在第三天的销售量基础上每天可多售2件，将钥匙扣的销售价定为每件多少元时，每天可获利920元？ 【答案】(1) (2)55元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，分析题意列出等量关系是解题的关键． （1）设平均增长率为，根据增长率问题列方程解应用题； （2）钥匙扣每件降价y元销售，列出一元二次方程解题． 【详解】（1）解：设每天销售量的平均增长率为， 根据题意得： 解得：，(不合题意，舍去) ∴每天销售量的平均增长率为 （2）解：设将钥匙扣每件降价y元销售， 根据题意得：， 解得：，， 又∵要尽快减少库存， ∴取降价5元，则销售定价为元， ∴将钥匙扣的销售价定为每件55元时，每天可获利920元． 【变式2】(24-25九上·河南郑州金水区经纬中学·期中)杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件． (1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率； (2)经市场预测，7月份的销售量将与6月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】(1)该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为 (2)该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为m，根据4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．列出一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为元，月销售量为件，根据月销售利润达8400元，列出一元二次方程，解之取满足题意的值即可． 【详解】（1）解：设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为m，则6月份的销售量为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为； （2）解：设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为元，月销售量为（件）， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元． 题型二十一 一元二次方程实际应用之与图形有关的问题 【典例21】学校打算建立一块矩形的生物种植田来种植水果黄瓜，一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为米），其余部分需要用总长为米的栅栏围成，且矩形中间需用栅栏隔开，栅栏因实验需要，有两个宽为1米的门（门无需栅栏，如图所示）．设种植田为m米．若该种植田的面积为平方米（栅栏的占地面积忽略不计），求该种植田的宽m． 【答案】6米 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题关键是根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，正确列出方程求解． 根据题意可得种植田的长为米，再根据面积公式列一元二次方程，解方程，最后根据墙的最大可用长度为米对求出的根进行取舍． 【详解】解：∵种植田为m米，栅栏总长为米，有两个宽为1米的门， ∴种植田的长为米， ∵该种植田的面积为平方米， ∴， 整理得：， 解得，， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：该种植田的宽m为6米． 【变式1】某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25），另外三边用木栏围成，木栏长40，若养鸡场面积为，求鸡场两边的长分别是多少？ 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用：首先设出鸡场宽为米，长为米，然后根据矩形的面积长宽，用未知数x表示出鸡场的面积，根据面积为列出方程，解方程即可； 【详解】设宽为米，长米， 根据题意得：， 解得：，， 由得， 故， ∴鸡场靠墙的一边长为：（m）． ∴鸡场两边的长分别是． 【变式2】如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长米，围成的长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙． (1)若墙长为米，要围成的鸡场的面积为平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？ (2)围成的鸡场的面积可能达到平方米吗？ (3)若墙长为米，对建平方米面积的鸡场有何影响？ 【答案】(1)鸡场的长为米，宽为米 (2)鸡场面积不可能达到平方米，见解析 (3)当时，不能围成一个长方形养鸡场；当时，可以围成一个长方形养鸡场；当时，可以围成两个长宽不同的长方形养鸡场 【分析】本题考查一元二次方程的应用，找到等量关系列出方程是解决问题的关键． （1）先设养鸡场的宽为，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，求出的值即可，注意要符合题意； （2）先设养鸡场的宽为，得出长方形的长，再根据面积公式列出方程，判断出的值，即可得出答案； （3）根据实际问题当时，当时，当时，三种情况进行讨论，得出符合条件的值即可． 【详解】（1）解：设养鸡场的宽为，根据题意得： ， 解得：，， 当时，， 当时，，（舍去）， 则养鸡场的宽是，长为； （2）解：设养鸡场的宽为，根据题意得： ， 整理得：， ， ∵方程没有实数根， ∴围成养鸡场的面积不能达到； （3）解：当时，不能围成一个长方形养鸡场； 当时，可以围成一个长方形养鸡场； 当时，可以围成两个长宽不同的长方形养鸡场． 【变式3】(24-25九上·河南郑州第十一初级中学·期中)电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形． (1)若车棚占地面积为，试求出电动车车棚的长和宽； (2)若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，请问能围成占地面积为的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)电动车车棚的长为，宽为； (2)不能围成占地面积为的电动车车棚，见解析． 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用、根的判别式，解题关键是正确理解题意，找到等量关系列出方程． （1）设车棚宽为，则车棚长为，列出关于车棚面积的一元二次方程，解出该方程即可得解，需注意该方程的解需满足车棚的长不超过； （2）根据（1）中方法列出关于车棚面积的一元二次方程，再利用根的判别式判断即可解题． 【详解】（1）解：设车棚宽为，则车棚长为， 由题意，得， 整理，得， 解得：，， 当时，（不合题意，舍去）， 当时，． 答：电动车车棚的长为，宽为． （2）解：不能围成占地面积为的电动车车棚，理由如下： 设车棚宽为，则车棚长为， 由题意，得， 整理，得， ， 原方程无解， 不能围成占地面积为的电动车车棚． 题型二十二 一元二次方程实际应用之营销问题 解｜题｜步｜骤 （1）设未知数 通常设：①售价变化量（设“涨价x元”或“降价x元”）；②销售变化量（如：每涨1元，少卖10元） （2）列方程 模型①：利润最大化 利润=单件利润×销售量，单价利润=售价-成本 例如：某商品进价40元，售价60元时每天卖100件。每涨1元，少卖5件。设涨价x元，利润为y； y=（60+x-40）（100-5x）=（20+x）（100-5x） 模型②总收入问题 总收入=售价×销量 例如：某书定价30元时卖200本，每降价1元多卖20本。设降价x元。总收入R； R=（30-x）（200+2x） （3）解方程 【典例22】某市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，售价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克． (1)若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，请回答： ①每千克茶叶应降价多少元？ ②在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ (2)在降价情况下，该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利能达到50000元吗？请说明理由． 【答案】(1)①每千克茶叶应降价30元或80元，②该店应按原售价的八折出售 (2)该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元． 【分析】（1）①通过设每千克茶叶降价元，利用“每千克利润×销售量 = 总利润”的关系列出方程求解；②在①的基础上，根据让利于顾客的要求确定降价金额，进而求出折扣； （2）设降价元，依据上述利润关系列方程，通过判别式判断方程是否有实数根，从而确定获利能否达到． 本题主要考查了一元二次方程在销售利润问题中的应用，熟练掌握“每千克利润×销售量 = 总利润”的等量关系以及一元二次方程的解法、判别式的运用是解题的关键． 【详解】（1）解：①设每千克茶叶应降价元， 根据题意，得， 整理得，解得． 答：每千克茶叶应降价30元或80元； ②由①可知每千克茶叶可降价30元或80元， 要尽可能让利于顾客， 每千克茶叶应降价80元， 此时的售价为：（元），． 答：该店应按原售价的八折出售； （2）解：该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元，理由如下： 设每千克茶叶应降价元， 根据题意，得， 整理得， ， 原方程没有实数根， 该专卖店销售这种品牌茶叶平均每周获利不能达到50000元． 【变式1】(24-25九下·重庆万州中学教育集团·期中)2025年春节联欢晚会吉祥物“巳（si）升升”，设计灵感来源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，在市场上一度走红． (1)某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知款吉祥物的单价比款吉祥物的单价高20元，若顾客花800元购买款吉祥物的数量与花600元购买款吉祥物的数量相同，则A，B两款吉祥物的单价分别是多少元？ (2)若款吉祥物的进价为每件60元，经市场调查发现，当售价定为每件100元，则每天能销售款吉祥物20件，而售价每降价1元，每天可多售出款吉祥物2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使每天销售后获利1200元，则款吉祥物售价应降低多少元？ 【答案】(1)款吉祥物的单价为80元，款吉祥物的单价为60元； (2)售价应降低20元． 【分析】本题考查了分式方程及一元二次方程实际应用问题，根据题意找到相等关系是解题的关键． （1）设一个B款吉祥物的售价为x元，则一个A款吉祥物的售价为元，根据顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，即可列出等量关系求解； （2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，根据题意即可列出等量关系求解． 【详解】（1）解：设款吉祥物的单价为元，则款吉祥物的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：款吉祥物的单价为80元，款吉祥物的单价为60元； （2）解：设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要尽量减少库存， ． 答：售价应降低20元． 【变式2】(24-25九上·甘肃天水武山县百泉初级中学·期中)小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件． (1)若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？ (2)小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应降多少元？ 【答案】(1)降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元 (2)小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应降元． 【分析】本题考查了有理数四则混合计算的实际应用，一元二次方程的实际应用. （1）根据利润（原来售价降价成本价）销售量列式求解即可； （2）设此时每件T恤衫降价x元，根据利润（原来售价降价成本价）销售量列出方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，每天销售T恤衫的利润为：（元）． 答：降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元． （2）解：设此时每件T恤衫降价x元， 由题意得，， 整理得， 解得或． 又∵优惠最大， ∴． 答：小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应降元． 【变式3】(24-25九上·重庆合川区合阳中学·期中)今年11月份，某商场购进了一批T恤和衬衣，商家用16000元购买T恤，12000元购买衬衣，每件T恤和每件衬衣进价之和为100元，且购进T恤的数量是衬衣的2倍． (1)求商场购买T恤和衬衣的进货单价； (2)商场在销售过程中发现，当T恤的销售单价为每件80元，衬衣的销售单价为每件120元时，平均每天可卖出50件T恤，30件衬衣，据统计，衬衣的销售单价每降低5元，平均每天可以多卖出5件．为减少库存，商家在保证T恤的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使T恤和衬衣平均每天的总获利为4000元，则每件衬衣的售价为多少元？ 【答案】(1)每件T恤的进货单价为60元，每件衬衣的进货单价为40元 (2)衬衣的销售单价为100元 【分析】本题考查分式方程的实际应用、一元二次方程的实际应用， （1）设每件T恤的进货单价为x元，则每件衬衣的进货单价为元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设衬衣的销售单价为a元，根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设每件T恤的进货单价为x元，则每件衬衣的进货单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，符合题意，是原方程的解， 元， 答：每件T恤的进货单价为40元，每件衬衣的进货单价为60元； （2）解：设衬衣的销售单价为a元， 由题意得，， 解得，（舍）， 答：衬衣的销售单价为100元． 题型二十三 一元二次方程实际应用之握手、循环问题 解｜题｜步｜骤 场景：若有n个人，每两人之间握一次手，求总握手次数 公式：握手总次数= 【典例23】某市组织一次足球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），共比赛了21场，设共有个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），共比赛了21场，共有个队参加比赛，列式，即可作答． 【详解】解：赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），共比赛了21场，且设有个队参加比赛， ∴． 故选：C． 【变式1】(23-24九上·青海西宁第十二中学教育集团·期中)在一次公司酒会上，每两个宾客之间都只碰杯一次，若一共碰杯55次，则参加酒会的有 人． 【答案】11 【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设参加酒会的有x人，根据每两个宾客之间都只碰杯一次，若一共碰杯55次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设参加酒会的有x人， 根据题意得：， 整理，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：参加酒会的人数为11人． 故答案为：11． 【变式2】(24-25九上·广东江门杜阮镇杜阮中心初级中学·期中)某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，求航空公司共有多少个飞机场？ 【答案】5个 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，根据等量关系，列出方程是解题的关键． 设这个航空公司共有x个飞机场，根据等量关系，列出方程，即可求解． 【详解】解：设这航空公司共有x个飞机场，根据题意，得： 整理，得： 解得，（不符合题意，舍去）， 答：航空公司共有5个飞机场． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $