高二数学上学期期中模拟卷01（苏教版，直线与方程+圆与方程+圆锥曲线与方程）

2025-2026学年高二上学期期中模拟卷01 数 学 参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 D A B D B A A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD ACD BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.3 13.或 14. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 【解】（1）设高BD所在的直线方程的斜率为，直线斜率为，， 根据高所在的直线方程的斜率与斜率乘积为，即，则， 再由直线点斜式方程可得，所求直线为； ………………………6分 （2）由，得线段的中点的坐标为， 则根据两点式可得直线方程为，所求直线为. …………………………13分 16．（本小题满分15分） 【解】（1）根据圆心在直线上，设圆心.                   因为圆经过，所以，                                          所以，解得.                                                所以圆心，所以圆的方程为. ……………………………………6分 （2）（ⅰ）由题意，，所以， 即，所以的取值范围是.            ………………………………………10分            （ⅱ）因为四边形为平行四边形，又因为，所以为菱形.                                    因为，所以点到直线的距离，                   所以，符合题意. ………………………………………15分 17．（本小题满分15分） 【解】（1）由抛物线可得， 故点P到直线的距离比到焦点的距离大1，即点P到直线的距离等于到焦点的距离， 所以，即，所以C的标准方程 ……………………………………5分 （2）抛物线的焦点为，设点、，    直线的方程为，联立，可得， ，所以， ………………………………………10分 所以，， 所以线段的中点为， 所以以AB为直径的圆的标准方程为 ………………………………………15分 18．（本小题满分17分） 【解】（1）由已知，解得， 所以双曲线方程为； ……………………………………5分 （2）由（1）得，， 若直线的斜率不存在，则方程为，，，此时，是中点， 由于，因此以为直径的圆经过点M． ………………………………………7分 若直线的斜率存在，设其方程为，设， 由得， ，在时，该方程有两解， 所以，， ………………………………………10分 ， ， ………………………………………13分 所以，所以以为直径的圆经过点M． 综上，以为直径的圆经过点M． ………………………………………17分 19．（本小题满分17分） 【解】（1）由题意知，故，即， ………………………………2分 又因为椭圆过点，所以，解得， …………………………………4分 所以椭圆的方程为:. ………………………………………5分 （2）①设，， ， ………………………………………7分 (i)当直线斜率不存在时，设， 联立得， ， 解得(舍)或，此时. ………………………………………9分 (ii)当直线斜率存在时，设， 联立得， . 又， ， 整理得， 将代入整理得， ， 或， ………………………………………12分 当时，，过点，不成立； 当时，，则过定点， 综上所述，过定点. ………………………………………15分    ②过定点， ，即在以为直径的圆上， 圆心为的中点，半径， . ………………………………………17分 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二上学期期中模拟卷01 数 学 （考试时间：120分钟，试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：苏教版2019选择性必修第一册第1~3章（直线与方程+圆与方程+圆锥曲线与方程） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线的方向向量可以是（   ） A． B． C． D． 2．抛物线的焦点坐标是（   ） A． B． C． D． 3．双曲线的离心率为，则该双曲线的焦点到它的渐近线距离为（   ） A．1 B．2 C． D．3 4．若点关于直线的对称点在圆上，则k、b的一组取值为（   ） A．， B．， C．， D．， 5．已知双曲线关于原点对称，其中一个焦点的坐标为，一条渐近线方程为，则的实轴长为（　　） A．3 B．6 C．4 D．8 6．“”是“圆截直线所得弦长为2”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 8．已知是圆C：上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，，则下列说法正确的是（   ） A．当时，直线的倾斜角为 B．当时， C．若，则 D．直线始终过定点 10．已知点，，点P在圆上运动，则（   ） A．直线AB与圆C相离 B．的面积的最小值为 C．的最大值为6 D．当最小时， 11．已知抛物线，其焦点为；双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，已知在第一象限存在公共点，则下列说法正确的是（    ） A．曲线的焦点坐标为 B．曲线C2的渐近线为 C．存在，使得点的横坐标为10 D．若以为直径的圆与轴相切于点，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．过点，且在轴、轴上的截距的绝对值相等的直线共有 条． 13．已知圆和圆有一个公共点，则的值为 ． 14．已知椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆上存在一点，使得为等腰三角形，且为钝角，则椭圆的离心率的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）三角形的三个顶点是． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求边上的中线所在直线的方程． 16．（本小题满分15分）已知圆经过点，，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若圆与直线交于两点， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若在圆C上存在点，使四边形为平行四边形，其中为坐标原点，求的值. 17．（本小题满分15分）已知抛物线上任意一点到直线的距离比到焦点的距离大1. (1)求C的标准方程； (2)若倾斜角为30°的直线l经过C的焦点并与C相交于A，B两点，求以AB为直径的圆的标准方程. 18．（本小题满分17分）已知双曲线经过点，一条渐近线的斜率为，直线l交双曲线于A，B两点． (1)求双曲线C的方程． (2)若动直线l经过双曲线的右焦点，点，求证：以为直径的圆经过点M． 19．（本小题满分17分）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)，为椭圆上两个不同的点，且， ①求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标； ②过点作直线的垂线，垂足为，求的最大值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二上学期期中模拟卷01 数 学 （考试时间：120分钟，试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：苏教版2019选择性必修第一册第1~3章（直线与方程+圆与方程+圆锥曲线与方程） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线的方向向量可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】的方向向量是与向量共线的向量，故D符合,故选：D 2．抛物线的焦点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，即，则，则其焦点坐标为.故选：A. 3．双曲线的离心率为，则该双曲线的焦点到它的渐近线距离为（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】B 【解析】中，，故，故，故， 所以双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为， 所以该双曲线的焦点到它的渐近线距离为故选：B 4．若点关于直线的对称点在圆上，则k、b的一组取值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】由于在圆上，圆心为， 要使关于直线的对称点在圆上， 则直线必经过圆心，故，结合选项可知：只有D符合， 故选：D 5．已知双曲线关于原点对称，其中一个焦点的坐标为，一条渐近线方程为，则的实轴长为（　　） A．3 B．6 C．4 D．8 【答案】B 【解析】由题意设双曲线的方程为，则， 解得，故所求实轴长为.故选：B . 6．“”是“圆截直线所得弦长为2”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】圆的圆心为，半径为3，圆心到直线的距离为，，即，解得或3， 所以“”是“圆截直线所得弦长为2”的充分不必要条件. 故选：A． 7．已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设点，则，因为为的中点，所以，即， 又在圆上，所以，即， 即点的轨迹方程为，故选A 8．已知是圆C：上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，变形得， 于是的几何意义为圆上点与定点连线的斜率， 圆的圆心为，半径为， 由是圆上任意一点，得圆与直线有公共点， 因此圆心到直线的距离不大于圆的半径， 则，解得， 所以的最小值为.故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，，则下列说法正确的是（   ） A．当时，直线的倾斜角为 B．当时， C．若，则 D．直线始终过定点 【答案】ABD 【解析】对于A，当时，直线，斜率，则倾斜角为，故A正确； 对于B，等价于，解得，故B正确； 对于C，若，则且，故，故C错误； 对于D，，当时，所以直线恒过，故D正确. 故选：ABD. 10．已知点，，点P在圆上运动，则（   ） A．直线AB与圆C相离 B．的面积的最小值为 C．的最大值为6 D．当最小时， 【答案】ACD 【解析】对于A中，由点，，点P在圆上运动， 则圆心为，半径为2，直线AB的方程为， 则圆心C到直线AB的距离，所以直线AB与圆C相离，所以A正确； 对于B中，因为，点P到直线AB的距离的最小值为， 则面积的最小值为，所以B错误； 对于C中，由，所以C正确； 对于D中，当最小时，直线PB与圆C相切，此时，所以D正确. 故选：ACD． 11．已知抛物线，其焦点为；双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，已知在第一象限存在公共点，则下列说法正确的是（    ） A．曲线的焦点坐标为 B．曲线C2的渐近线为 C．存在，使得点的横坐标为10 D．若以为直径的圆与轴相切于点，则 【答案】BD 【解析】对A：因为抛物线的标准方程为：，所以其焦点坐标为，故A错误； 对B：由题意，. 所以双曲线的渐近线方程为：，故B正确； 对C：当点的横坐标为10，因为点在抛物线上，且位于第一象限，所以点坐标为. 又点在双曲线上，所以，该方程无解. 所以不存在，使得点的横坐标为10，故C错误； 对D：如图：    因为以为直径的圆与轴相切于点，所以点横坐标为4，又点在抛物线:上，且位于第一象限，所以点坐标为. 又点在双曲线上，所以，所以.故D正确. 故选：BD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．过点，且在轴、轴上的截距的绝对值相等的直线共有 条． 【答案】3 【解析】因为在轴、轴上的截距的绝对值相等的直线， 故设直线为或或， 若直线过点，则，得直线为； 若直线过点，则，得直线为； 若直线过点，则，得直线为； 所以满足条件的直线有3条； 13．已知圆和圆有一个公共点，则的值为 ． 【答案】或 【解析】圆和圆有一个公共点，则两圆内切或外切， 由题可得，解得或． 14．已知椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆上存在一点，使得为等腰三角形，且为钝角，则椭圆的离心率的取值范围为 . 【答案】 【解析】设椭圆的半焦距为，则，， 因为为等腰三角形，且为钝角，则， 设点，则，， 则，可得，又因为，故， 所以 ， 所以，化简得出. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）三角形的三个顶点是． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求边上的中线所在直线的方程． 【解】（1）设高BD所在的直线方程的斜率为，直线斜率为，， 根据高所在的直线方程的斜率与斜率乘积为，即，则， 再由直线点斜式方程可得，所求直线为； ………………………6分 （2）由，得线段的中点的坐标为， 则根据两点式可得直线方程为，所求直线为. …………………………13分 16．（本小题满分15分）已知圆经过点，，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若圆与直线交于两点， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若在圆C上存在点，使四边形为平行四边形，其中为坐标原点，求的值. 【解】（1）根据圆心在直线上，设圆心.                   因为圆经过，所以，                                          所以，解得.                                                所以圆心，所以圆的方程为. ……………………………………6分 （2）（ⅰ）由题意，，所以， 即，所以的取值范围是.            ………………………………………10分            （ⅱ）因为四边形为平行四边形，又因为，所以为菱形.                                    因为，所以点到直线的距离，                   所以，符合题意. ………………………………………15分 17．（本小题满分15分）已知抛物线上任意一点到直线的距离比到焦点的距离大1. (1)求C的标准方程； (2)若倾斜角为30°的直线l经过C的焦点并与C相交于A，B两点，求以AB为直径的圆的标准方程. 【解】（1）由抛物线可得， 故点P到直线的距离比到焦点的距离大1，即点P到直线的距离等于到焦点的距离， 所以，即，所以C的标准方程 ……………………………………5分 （2）抛物线的焦点为，设点、，    直线的方程为，联立，可得， ，所以， ………………………………………10分 所以，， 所以线段的中点为， 所以以AB为直径的圆的标准方程为 ………………………………………15分 18．（本小题满分17分）已知双曲线经过点，一条渐近线的斜率为，直线l交双曲线于A，B两点． (1)求双曲线C的方程． (2)若动直线l经过双曲线的右焦点，点，求证：以为直径的圆经过点M． 【解】（1）由已知，解得， 所以双曲线方程为； ……………………………………5分 （2）由（1）得，， 若直线的斜率不存在，则方程为，，，此时，是中点， 由于，因此以为直径的圆经过点M． ………………………………………7分 若直线的斜率存在，设其方程为，设， 由得， ，在时，该方程有两解， 所以，， ………………………………………10分 ， ， ………………………………………13分 所以，所以以为直径的圆经过点M． 综上，以为直径的圆经过点M． ………………………………………17分 19．（本小题满分17分）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)，为椭圆上两个不同的点，且， ①求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标； ②过点作直线的垂线，垂足为，求的最大值. 【解】（1）由题意知，故，即， ………………………………2分 又因为椭圆过点，所以，解得， …………………………………4分 所以椭圆的方程为:. ………………………………………5分 （2）①设，， ， ………………………………………7分 (i)当直线斜率不存在时，设， 联立得， ， 解得(舍)或，此时. ………………………………………9分 (ii)当直线斜率存在时，设， 联立得， . 又， ， 整理得， 将代入整理得， ， 或， ………………………………………12分 当时，，过点，不成立； 当时，，则过定点， 综上所述，过定点. ………………………………………15分    ②过定点， ，即在以为直径的圆上， 圆心为的中点，半径， . ………………………………………17分 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二上学期期中模拟卷01 数 学 （考试时间：120分钟，试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：苏教版2019选择性必修第一册第1~3章（直线与方程+圆与方程+圆锥曲线与方程） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．直线的方向向量可以是（   ） A． B． C． D． 2．抛物线的焦点坐标是（   ） A． B． C． D． 3．双曲线的离心率为，则该双曲线的焦点到它的渐近线距离为（   ） A．1 B．2 C． D．3 4．若点关于直线的对称点在圆上，则k、b的一组取值为（   ） A．， B．， C．， D．， 5．已知双曲线关于原点对称，其中一个焦点的坐标为，一条渐近线方程为，则的实轴长为（　　） A．3 B．6 C．4 D．8 6．“”是“圆截直线所得弦长为2”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 8．已知是圆C：上任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，，则下列说法正确的是（   ） A．当时，直线的倾斜角为 B．当时， C．若，则 D．直线始终过定点 10．已知点，，点P在圆上运动，则（   ） A．直线AB与圆C相离 B．的面积的最小值为 C．的最大值为6 D．当最小时， 11．已知抛物线，其焦点为；双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，已知在第一象限存在公共点，则下列说法正确的是（    ） A．曲线的焦点坐标为 B．曲线C2的渐近线为 C．存在，使得点的横坐标为10 D．若以为直径的圆与轴相切于点，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．过点，且在轴、轴上的截距的绝对值相等的直线共有 条． 13．已知圆和圆有一个公共点，则的值为 ． 14．已知椭圆的左、右焦点分别为、，椭圆上存在一点，使得为等腰三角形，且为钝角，则椭圆的离心率的取值范围为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）三角形的三个顶点是． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求边上的中线所在直线的方程． 16．（本小题满分15分）已知圆经过点，，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)若圆与直线交于两点， （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若在圆C上存在点，使四边形为平行四边形，其中为坐标原点，求的值. 17．（本小题满分15分）已知抛物线上任意一点到直线的距离比到焦点的距离大1. (1)求C的标准方程； (2)若倾斜角为30°的直线l经过C的焦点并与C相交于A，B两点，求以AB为直径的圆的标准方程. 18．（本小题满分17分）已知双曲线经过点，一条渐近线的斜率为，直线l交双曲线于A，B两点． (1)求双曲线C的方程． (2)若动直线l经过双曲线的右焦点，点，求证：以为直径的圆经过点M． 19．（本小题满分17分）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)，为椭圆上两个不同的点，且， ①求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标； ②过点作直线的垂线，垂足为，求的最大值. 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $