专题03 期中解答压轴题（高效培优期中专项训练）数学沪教版五四制2024六年级上册

专题03 期中解答压轴题 考点01 有理数的运算 考点02 新定义题 考点03 数轴的综合应用 考点04 数的整除 考点05 实际应用题；幻方问题 考点06 综合应用题 考点01 有理数的运算 1．阅读理解： ； ； ； …… 试运用上述方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的规律是解本题的关键． （1）根据阅读材料中的等式归纳总结得到一般性规律，所求式子变形后抵消合并即可得到结果； （2）把式子变形为，然后抵消合并即可解题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．阅读理解：；；； (1)请在理解上面计算方法的基础上填空：；； (2)利用以上所得的规律计算：． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了分数的混合运算，理解题干中的方法并熟练应用是解题的关键． （1）根据题干规律填空即可； （2）逆运用题例规律，把题中分数写成两个分数和的形式，加减求和即可． 【详解】（1）解：由题意得： ； ； （2）解： ． 3．阅读理解 阅读 以上过程，是逆用异分母分数减法的方法得到：（*） (1)根据以上材料，请你把表示出两个最简分数的差：____________（必须写出推导过程） (2)根据（*）式直接计算 (3)计算 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分数的运算，规律探索，发现并灵活运用规律是解决问题的关键． （1）由规律即可求得结果； （2）运用规律将每个加数分解为差的形式，然后计算即可； （3）由规律可得，其他加数同理可拆分为差的形式，然后进行加减运算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， ， ， ； （3）解：∵ ∴， ， ， ， ． 4．阅读材料一：等式性质：等式两边加（或减）同一个数，等式仍成立． 等式性质：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为的数，等式仍成立． 阅读材料二：求的值， 解：令①， 等式两边同时乘以，得②， 由②式①式得：， 从而，即．仿照以上推理，计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）仿照阅读材料中的方法求出所求即可； （）把转化为，再仿照阅读材料中的方法求出所求即可； 本题考查了有理数的混合运算，等式的性质，看懂阅读材料是解题的关键． 【详解】（1）解：令①， 等式两边同时乘以，得②， 由②式①式得：， 即， ∴， ∴； （2）解：， 令①， 等式两边同时乘以，得②， 由①式②式得：， 即， ∴， ∴． 5．我们把分子为1的分数称为单位分数．早在三千多年前，古埃及人就利用单位分数进行书写和计算．将一个单位分数分拆为几个不同的单位分数之和也是一个很有意义的问题． 例如，将分拆为2个不同的单位分数之和．有如下的方式： 首先找到分母4的因数1、2、4，然后将的分子、分母分别乘以分母4的两个不同因数之和，；或者． (1)仿照上例，把分拆成两个不同的单位分数之和． = ___________； = ___________． (2)小明受此启发，根据这样的思路，也可以把一个单位分数分拆为两个不同的单位分数之差分拆成两个不同的单位分数之差．= ___________； (3)小海受此启发，如果将的分子与分母同乘以分母4的三个不同的因数之和分拆为三个不同的单位分数之和，． 请你把分拆成两个以上的不同单位分数之和． = ___________； = ___________． 【答案】(1)， (2) (3)+，+ 【分析】本题主要考查分数的加减运算及因数，弄清阅读材料中的方法是解题的关键． （1）根据题意即可得出答案； （2）根据题意即可得出答案； （3）根据题意即可得出答案． 【详解】（1）解：， ． 故答案为：，； （2） 故答案为：； （3）， ， 故答案为：，． 考点02 新定义题 6．对于一个正整数n，若存在正整数a、b，使得，则称n是一个“兰生数”，例如，故3为一个“兰生数”． (1)写出10以内的“兰生数”的等式，例如： (2)在1，2，3……100中，有多少个“兰生数”？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了新定义，有理数的乘法和加法运算，素数、合数的定义． （1）根据“兰生数”的定义即可； （2）由得到，则为合数，找出从到之间的素数，再求合数的个数即可． 【详解】（1）解：10以内的“兰生数”的等式有： ； ； ； ； ． （2）解：∵， ∴， ∵是正整数，， ∴是合数， 当从到时，则从到，在到之间仍有100个正整数， 而到之间素数有， ∴素数有个， ∴合数有（个）， ∴在1，2，3……100中，有个“兰生数”． 7．一个两位数的十位上的数为a，个位上的数为b，这个两位数记作；一个三位数的百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z，这个三位数记作． (1)（＋）能被11整除吗？请说明理由； (2)小明发现：如果能被3整除， 那么就能被3整除．请补全小明的证明思路． 小明的证明思路： 因为① ② ， 又因为代数式②，都能被整除， 所以能被整除． 【答案】(1)能被整除，理由见解析 (2)， 【分析】（1）根据给定的运算可表示出，即可得证； （2）根据，结合已知条件即可证得． 【详解】（1）解：能被整除，理由为： ， ∴能被整除． （2）解： ， ∵，都能被3整除， ∴就能被3整除， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，新定义，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 8．每个正整数都有因数，1有1个因数，素数有2个因数，合数可以通过分解素因数来计算因数的个数．假设正整数一共有个因数，则除以正整数所有因数的倒数和，所得到的商就叫做正整数的调和系数． 如13有2个因数1和13，则13的调和系数为； 28有6个因数1、2、4、7、14和28，则28的调和系数为． (1)分别计算15和98的调和系数； (2)直接写出不小于2且不大于16的正整数中，调和系数为整数的数． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了分数的混合运算，新定义运算，熟练掌握分数的混合运算是解题的关键； （1）根据调和系数的定义列式进行计算即可求解； （2）根据调和系数的定义列式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：有个因数、、和， 则的调和系数为 有个因数、、、、和， 则的调和系数为 （2）解：列表如下， 数 因数个数 因数的倒数和 调和系数 否为整数 否 否 否 否 是 否 否 否 否 否 否 否 否 否 否 唯一满足条件的数是． 故答案为：． 9．阅读与理解： 我们把形如（n是正整数，）的分数叫做单位分数，如 (1)任何一个单位分数都可以拆成两个不同的单位分数之和，如，观察上述式子的规律，回答下面的问题： ①把写成两个单位分数之和：_______． ②把（n是正整数，）写成两个单位分数之和：_______． (2)某些单位分数也可以拆成两个分母是相邻自然数的单位分数的差，如，观察上述式子的规律，回答下面的问题： ①在单位分数中，能按上述要求拆分的有________个． ②若在单位分数中，能按上述要求拆分的有30个，则n的最大值为________． 【答案】(1)①；② (2)①9；②991 【分析】（1）①等式右边第一个分数的分母是等式左边分母加1，第二个分数的分母是前两个分母的积，据此可得；②根据以上规律求解即可； （2）①一个分数，如果分子是1，分母是相邻的自然数的积，就可以拆成分子是1，分母是相邻的自然数差的单位分数的差的分数，据此即可判断；②结合①的方法，求出能按上述要求拆分的有31个时的n值，即可得到最大值． 【详解】（1）解：①； ②由题意可得：； （2）①在单位分数中，可以拆成两个分母是相邻自然数的单位分数的差的分数，其分母有，，，，，，，，共9个， ∴能按上述要求拆分的有9个； ②∵能按上述要求拆分的有30个， ∴其分母有，，，…，， 又， ∴n的最大值为． 【点睛】本题主要考查数字的变化类，解题的关键是根据已知等式得出等式右边第一个分数的分母是等式左边分母加1，第二个分数的分母是前两个分母的积的规律． 10．规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作3③，读作“3的圈3次方”， 记作④，读作“的圈4次方”．一般地，我们把个相除记作ⓝ，读作“的圈次方”．根据以上信息，完成下列问题． (1)列式：_______，_______． (2)负数的圈奇次方的结果是_______（填“正数”或“负数”）． (3)将运算结果直接写成乘方的形式：_______． (4)计算：． 【答案】(1)，9； (2)负数； (3)； (4)． 【分析】本题考查了新定义，有理数的乘方运算，有理数的混合运算，正数和负数，熟练掌握有理数的乘方运算法则，有理数的混合运算法则，理解新定义是解题的关键． （1）根据题目中的新定义，可以计算出所求式子的值； （2）把除法转变为有理数的乘方，然后根据有理数的乘方意义解答即可； （3）根据题目中的新定义，可以计算出所求式子的值； （4）根据新定义和有理数的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：③， ． 故答案为：，； （2）解：把负数的圈奇次方转变为乘方形式，根据负数的奇次方表示奇数个负数的乘积，结果是负数． 故答案为：负数； （3）解： ； （4）解： ． 11．阅读下列材料，解决问题： 我们把一个能被17整除的自然数称为“节俭数”．“节俭数”的特征是：若把一个自然数的个位数字截去，再把剩下的数减去截去的那个个位数字的5倍，如果差是17的整数倍（包括0），则原数能被17整除，如果差太大或心算不易看出是否是17的倍数，就继续上述的“截尾，倍尾，差尾，验差”的过程，直到能方便判断为止．例如：判断1675282是不是“节俭数”，判断过程：，，，，到这里如果你仍然观察不出来，就继续，是17的整数倍，所以1675282能被17整除，所以1675282是“节俭数”． (1)请用上述方法判断7259和2098752是否是“节俭数”，并说明理由． (2)一个五位节俭数，其中千位上的数字为b，万位上的数字为a，且，请利用上面方法求出这个数． 【答案】(1)是“节俭数”； 是“节俭数” (2) 【分析】（1）模仿例题解决问题即可； （2）模仿例题采用 “截尾，倍尾，差尾，验差”的过程，解决问题即可； 【详解】（1），，， 所以能被整除，是“节俭数”； ，，，，， 所以能被整除，是“节俭数”； （2）解：∴，能被整除 ∴， ∴能被整除 ∴ ∴当时，，不能被17整除， 当时，，不能被17整除， 当时，，不能被17整除， 当时，，不能被17整除， 当时，，能被17整除， 当时，，不能被17整除， 当时，，不能被17整除， 当时，，不能被17整除， 当时，，不能被17整除， ∴， ∴这个数为． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，数的整除，理解题意，仿照例题的方法是解题的关键． 考点03 数轴的综合应用 12．阅读下列材料： 我们给出如下定义：数轴上给定A，B两点以及一条线段．若线段的中点R在线段上（点R能与点P 或Q重合），则称点A与点B关于线段径向对称如图（a）所示为点A与点B关于线段P径向对称的示意图．如图（b）所示，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为，点M表示的数为2． 解答下列问题： 如在数轴上，点H，K，L表示的数分别是，，，当点H以每秒1个单位长度的速度向正半轴方向移动时，线段同时以每秒3个单位长度的速度向正半轴方向移动，设移动的时间为秒，问当t在范围 时，线段上至少存在一点与点H关于线段径向对称． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 当移动的时间为 时，表示点、、，进而可得出线段的中点表示的数为，线段的中点表示的数为，结合线段上至少存在一点与点关于线段径向对称，可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：当移动的时间为时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴线段的中点表示的数为，线段的中点表示的数为， ∵线段上至少存在一点与点关于线段径向对称， ∴， 解得， ∴当时，线段上至少存在一点与点关于线段径向对称， 故答案为：． 13．对数轴上的点、，我们把点与点两点之间的距离记作，例如，在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，则点与点两点之间的距离为．已知点为数轴原点，点表示的数是，点表示的数为． (1)__________，__________； (2)点在数轴上表示的数为，当满足时，求的值． 【答案】(1) ， (2) 或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用和数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）利用两点之间的距离公式求出值即可； （2）利用两点之间的距离公式列出方程求解即可； 【详解】（1）解：∵点为数轴原点，点表示的数为，点表示的数为， ∴；； 故答案为：，； （2）∵点表示的数为，点在数轴上表示的数为， ∴， ∵， ∴ ∴或， 解得：或， 即：的值为或． 14．【定义新知】 数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示的点与原点（即表示的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离，也就是说，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的几何意义是______，若，则的值为______； (2)当取最小值时，可以取的所有整数是______； 【解决问题】 (3)如图，一条笔直的公路边有三个居民区、、和市民广场，居民区、、分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．小区有居民人，居民区有居民人，居民区有居民人，现因物流需要，需要在该公路上建一个菜鸟驿站，用于接收这个小区的快递．若快递的运输成本为元（千份•千米），那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？ 【答案】(1)数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离；或 (2) (3)菜鸟驿站建在点，点之间（包括B，C）才能使总运输和包装成本最低，最低成本是元． 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上表示有理数，综合性较强，难度较大，理清题意是解题的关键． ()根据点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离即可得解答； ()根据，即的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数的点之间的距离，按照题意即可得其值； ( )设菜鸟驿站在处，运输成本为元，根据题意可得，运输距离为，运输成本为，进一步对的取值范围分情况，比较值，求其最小值即可． 【详解】（1）解：式子在数轴上的意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离， ∵， 当在的左边时，则， ∴， 则； 当在的右边时，则， ∴， 则； 综上，的值为：或； 故答案为：数轴上表示有理数的点与表示有理数的点之间的距离；或； （2）解：根据题意可得，，即的几何意义是数轴上表示有理数的点与表示有理数的点和与表示有理数的点之间的距离， 当取最小值时， 则在和之间， ∴当时， 即可以取整数； 故答案为：． （3）设菜鸟驿站在处，运输成本为元，在市民广场左侧，则表示的数为；在市民广场右侧，则表示的数为；在市民广场右侧，则表示的数为； 根据题意可得，运输距离为：， ∵小区有居民人，居民区有居民人，居民区有居民人， 又∵快递的运输成本为元（千份•千米）， ∴运输成本为， ①当时，， 因为，所以随的增大而减小，当时，取得最小值，； ② 当时， 因为，所以随的增大而减小，当时，取得最小值，； ③当时 ，此时的值恒为； ④当时 ， 因为，所以随的增大而减大，当时，取得最小值，； 综合以上情况，菜鸟驿站建在点，点之间（包括B，C）才能使总运输和包装成本最低，最低成本是元． 15．数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作．回答下列问题： (1)几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是_______________；式子的几何意义是______________________________． (2)根据绝对值的几何意义，当时，________； (3)当表示的点在与5之间移动时，的值为一个固定的值是________； (4)探究：的最小值是________；的最小值为________，此时满足的条件是________． 【答案】(1)，数轴上表示数的点与数的点之间的距离 (2)或5 (3)7 (4)8；16； 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，会利用绝对值的几何意义是解决本题的关键． （1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）根据的几何意义求解可得； （3）根据绝对值的性质得一元一次方程进行解答便可； （4）当时化简绝对值方程便可求得的最小值．当时便可求得的最小值． 【详解】（1）数轴上表示数2的点与数的点之间的距离的式子是； 式子的几何意义是数轴上表示数的点与数的点之间的距离； 故答案为：，数轴上表示数的点与数的点之间的距离； （2）等式的几何意义是表示到数2的距离为3的点， 则的值为或5； 故答案为：或5； （3）表示的点在与5之间移动时， ， 故答案为：7； （4）当时，的值最小， 的最小值为8； 当时，有最小值为：； 故答案为：8；16；． 16．【探究与发现】在一次数学探究活动中，数学兴趣小组通过探究发现可以通过用“两数的差”来表示“数轴上两点间的距离”如图1，三条线段的长度可表示为：，，，… 结论：数轴上任意两点表示的数为分别，，则这两个点间的距离为（即：用较大的数减去较小的数） 【理解与运用】 （1）如图2，数轴上、两点表示的数分别为，，点表示的点为2，试计算：________，________．      【拓展与延伸】 （2）如图3，点表示数，点表示，点表示，且，求点和点分别表示的数是多少？ （3）在（2）条件下，图3的数轴上存在不与、、重合的点，使，则点表示的数为________（直接写出答案） 【答案】（1）3；7；（2）；（3）或 【分析】本题主要考查了数轴上两点间距离公式，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，熟练掌握数轴上两点间距离公式，注意分类讨论． （1）根据两点间距离公式进行求解即可； （2）结合两点间距离公式表示出、，根据，列出方程，解方程即可； （3）分四种情况讨论：当点D在点A左侧时，当点D在之间时，当点D在之间时，当点D在点C右侧时，分别列出方程，求出结果即可． 【详解】解：（1）∵数轴上、两点表示的数分别为，，点表示的点为2， ∴， ， 故答案为：3；7； （2）∵点表示数，点表示，点表示，且， ∴， 解得：． （3）根据解析（2）可知：A点表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， 设点D表示的数为m， 当点D在点A左侧时，， 解得：， 此时点D表示的数为； 当点D在之间时，， 则， 解得：，不符合题意舍去； 当点D在之间时，， 则， 解得：， 此时点D表示的数为； 当点D在点C右侧时，， 解得：，不符合题意； 综上分析可知：点D表示的数为或； 故答案为：或． 17．如图． (1)在数轴上标出数，，，所对应的点，，，． (2)阅读材料：我们把数在数轴上所对应的点到原点的距离叫作的绝对值，记作．同样地，我们也把数在数轴上所对应的点到数在数轴上所对应的点的距离叫作的绝对值，记作．例如：第（1）题中，点到点的距离记作，化简得；点到点的距离记作，化简得，在（1）的条件下，回答下列问题： ①点到点的距离是_____； ②到点的距离是的点在数轴上所对应的数是_____； ③如果点在数轴上所对应的数是，那么当_____时，点到点的距离等于点到点的距离． (3)在纸上画一条数轴，点，，在数轴上的位置如图所示，现将该纸沿过点的一条直线对折，使得数轴上点左右两侧的部分重合，此时数轴上的点与点恰好重合，原点与数轴上的另一点重合；将白纸重新展平，此时点到原点的距离等于点到点的距离，如果点在数轴上所对应的数是，那么点在数轴上所对应的数是_____． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或；③ (3) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列出方程． （1）在数轴上表示A，B，C，D即可； （2）①由绝对值几何意义可得； ②分两种情况列式计算可求出答案； ③∵根据点E到点B的距离等于点E到点D的距离，可得，从而解得答案； （3）设点A在数轴上所对应的数是a，可得点B对应的数为，从而可知P表示的数为，根据点P到原点O的距离等于点P到点C的距离列方程可解得答案． 【详解】（1）解：如图： （2）解：①∵， ∴； 故答案为：； ②∵，， ∴到点B的距离是的点在数轴上所对应的数是或； 故答案为：或； ③∵点E到点B的距离等于点E到点D的距离， ∴， 解得， 故答案为：； （3）解：如图： 设点A在数轴上所对应的数是a， ∵沿过点B的一条直线对折，数轴上的点A与点C恰好重合，点C在数轴上所对应的数是， ∴点B对应的数为， ∵原点O与数轴上的另一点P重合， ∴P表示的数为， ∵点P到原点O的距离等于点P到点C的距离， ∴， 解得， ∴点A在数轴上所对应的数是； 故答案为：． 18．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB=|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．    【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣4，点B表示的数为16，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）． 【综合运用】 （1）填空： ①A、B两点间的距离AB=　 　，线段AB的中点表示的数为　 　； ②当t为　 　秒时，点P与点Q相遇． （2）①用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为　　　；点Q表示的数为　　　； ②若将数轴翻折，使点A与数轴上表示6的点重合，则此时点B与数轴上表示数　　　的点重合． （3）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长． 【答案】（1）①20，6；②4；（2）①﹣4+3t；16﹣2t；②﹣14；（3）线段MN的长度没有发生变化，线段MN的长为10． 【分析】（1）①根据两点间的距离公式，中点坐标公式即可得到结论； ②根据时间=路程和÷速度和，列出算式计算即可求解； （2）①根据路程=速度×时间即可求解； ②先根据中点坐标公式求得翻折点，进一步求得点B对应的数； 当P、Q两点相遇时，P、Q表示的数相等列方程得到t=2，于是得到当t=2时，P、Q相遇，即可得到结论； （3）由点M表示的数为=﹣4+t，点N表示的数为=6+t， 【详解】（1）①A、B两点间的距离AB=16﹣（﹣4）=20，线段AB的中点表示的数为（16﹣4）÷2=6； ②20÷（3+2）=4（秒）． 故当t为4秒时，点P与点Q相遇． （2）①用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为﹣4+3t；点Q表示的数为16﹣2t；②（﹣4+6）÷2=1，16﹣（16﹣1）×2=﹣14． 故此时点B与数轴上表示数﹣14的点重合． （3）点M表示的数为=﹣4+t，点N表示的数为=6+t，MN=6+t﹣（﹣4+t）=10． 故线段MN的长度没有发生变化，线段MN的长为10． 故答案为20，6；4；﹣4+3t，16﹣2t；﹣14． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用和数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 19．阅读理解： 若、、为数轴上三个点，点到的距离是点到点距离的2倍，我们就称点是[，]的赞点． (1)如图1，点表示的数为，点表示的数为，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是[，]的赞点；又如表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点_______[，]的赞点，但点_______[，]的赞点；（横线上填写“是”或“不是”） (2)若、为数轴上两点，点所表示的数是，点所表示的数是，则数_______所表示的点是[，]的赞点； (3)如图2，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数是．现在有一辆电动小汽车从点B出发前往点，以个单位每秒的速度向左运动，到达点停止．当经过_________秒时，、和中恰有一个点是其中两个点的赞点？ 【答案】(1)不是，是 (2)或 (3)当经过秒或秒或秒时，、和中恰有一个点是其中两个点的赞点 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，新定义，解题的关键是理解新定义． （1）根据题意可得：，，推出，根据新定义即可求解； （2）设这个数是，根据题意得：，即可求解； （3）设点运动的时间为，由题意得：，，，分四种情况：①当时，②当时，③当时，④当时，列方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：，， ，即是[，]的赞点，但不是[，]的赞点， 故答案为：不是，是； （2）设这个数是， 由题意得：， 解得：或， 数或所表示的点是[，]的赞点， 故答案为：或； （3）设点运动的时间为， 由题意得：，，， 点到达点所用的时间为（秒）， 分四种情况： ①当时，， 解得：， 此时是[，]的赞点； ②当时，， 解得：， 此时是[，]的赞点； ③当时，， 解得：， 此时是[，]的赞点； ④当时，， 解得：， 此时是[，]的赞点； 综上所述，当经过秒或秒或秒时，、和中恰有一个点是其中两个点的赞点． 20．在数轴上，把表示数1的点称为基准点，记作点，对于两个不同的点P和Q，若点P、点Q到基准点的距离相等，则称点P与点Q互为基准变换点．例如，点P表示数，点Q表示数3，它们与基准点的距离都是两个单位长度，点P与点Q互为基准变换点． (1)已知点A表示数a，点B表示数x，点A与点B互为基准变换点． ①若，则 ；若，则 ； ②用含a的一次代数式表示x，则 ； (2)点M在点N的左边8个单位长度处，对点M做如下操作：点M沿数轴向右移动个单位长度得到为的基准变换点，点沿数轴向右平移移动k个单位长度得到为的基准变换点，…依此顺序不断地重复，得到…，．若无论k为何值，与N两点间的距离都是2024，则此时 ． 【答案】(1)①，；②； (2)1017或． 【分析】本题主要考查了规律型﹣数字的变化，总结出的变化规律，根据与k无关求出M对应的数字是本题解题的关键． （1）根据绝对值的意义，列出等式，再根据两点不同，化简绝对值即可得到a与x的关系，代入a值即可求解； （2）假设M对应的数字，根据每次变换写出每个点对应的数，发现变化规律，再根据绝对值的意义，写出与N两点间的距离，根据距离与k无关，求出M对应数，从而求得对应的数． 【详解】（1）解：①∵点A与点B互为基准变换点， ∴， ∵A，B是不同的点， ∴， ∴， ∴当时，，当时，； 故答案为：，； ②由①知，； 故答案为：； （2）解：设M对应的数为b，则N对应的数为， ∴对应的数为， 由（1）知，对应的数为：， ∴对应的数为， ∴对应的数为， ∴对应的数是一个循环，循环周期为， ∴， ∵与k无关， ∴， ∴或， ∴对应的数为或． 故答案为：或． 21．已知在数轴上点所对应的数为，点所对应的数为，…，点所对应的数为（为正整数）．请解答下列问题： (1)试写出点和所对应的数并比较它们的大小： _____，______，比较大小：______．（填入“＞”或者“＜”）． (2)如果我们把数轴上的点和点的距离记为且，点和点的距离记为且，…，点和点的距离记为且．请根据理解以下回答（直接写出结果）： ①_____； ②使成立的正整数共有_____个． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了新定义，绝对值的性质，数字规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据分别算出，，再比较与，即可作答． （2）①依题意，先得出，再分别代入，进行裂项加减，即可作答． ②由①得出，即，因为为正整数，故当时，则；当时，则，即可作答． 【详解】（1）解：∵，且， ∴，； ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：①依题意， ； ； ， 依次类推： ． 故答案为：； ②由①得出， ∵ 则， 即， ∵为正整数， ∴当时，则； 当时，则； ∵， ∴， ∵为正整数， ∴使成立的正整数共有个． 故答案为：． 22．对于数轴上的，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”． 例如数轴上点，，所表示的数分别为1，3，4，此时点是点，的“联盟点”． (1)若点表示数，点表示数3，点是点，的“联盟点”，点在、之间，且表示一个负数，则点表示的数为________； (2)若点表示数，点表示数2，下列各数，0，4，6所对应的点分别为，，，，其中是点，的“联盟点”的是________； (3)点表示数，点表示数25，为数轴上一点，且点在点的右侧，点，，中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，直接写出此时点表示的数________． 【答案】(1) (2)， (3)65或45或105 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，解一元一次方程，解题的关键是正确理解题目所给“联盟点”的定义，以及求数轴上两点之间距离的方法． （1）根据“联盟点”的定义可得或，设点M表示的数为m，得出m的取值范围为，然后进行分类讨论即可； （2）根据题目所给“联盟点”的定义，逐个进行判断即可； （3）设点P表示的数为x，然后进行分类讨论：当点A是点B和点P的“联盟点”时，当点B是点A和点P的“联盟点”时，当点P是点A和点B的“联盟点”时． 【详解】（1）解：∵点M是点A，B的“联盟点”， ∴或， 设点M表示的数为m， ∵点M在A、B之间，且表示一个负数， ∴ 若，则， 解得：，不合题意，舍去； 若，则， 解得：，符合题意， 故答案为：； （2）解：根据题意可得： ∵， ∴是点A，B的“联盟点”， ， ∵， ∴不是点A，B的“联盟点”， ， ∵， ∴不是点A，B的“联盟点”， ， ∵， ∴是点A，B的“联盟点”， 综上：，是点A，B的“联盟点”； （3）设点P表示的数为x， 当点A是点B和点P的“联盟点”时，， 则， 解得：； 当点B是点A和点P的“联盟点”时， 若，则， 解得：， 若，则， 解得：； 当点P是点A和点B的“联盟点”时，， 则， 解得：（不符合题意，舍去）， 综上：点P表示的数为65或45或105， 故答案为：65或45或105． 考点04 数的整除 23．小丽是个爱思考的学生，最近，她发现一些特殊的两位数乘法， 如：       (1)根据上述算式的规律请计算：＝ (2)试写出一个与上述算式具有同样特征的算式： (3)为了反映上述规律，如果设其中一个因数十位上的数字为m，个位上的数字为n，那么该因数可表示为： ，另一个因数可表示为 ，计算结果可表示为 【答案】(1)722 (2)9298 (3)；； 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及列代数式，能根据题意发现所给算式各部分的数字特征是解题的关键． （1）根据题中所给示例，发现规律即可解答． （2）根据（1）中发现的规律，写出符合要求的算式即可． （3）根据（1）中发现的规律，依次进行表示并写出计算结果即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴当两个十位数字相同，且个位数字和为10的两位数相乘时，积的前一位（两位）由十位数字乘以十位数字加1组成，后两位为个位数字的积（积为一位数时高位由0补充）， ∴87×83=7221． 故答案为：7221． （2）由（1）中发现的规律可知： 符合要求的算式可以是：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． （3）解：当一个因数十位上的数字为m，个位上的数字为n时， 这个因数可表示为，则另一个因数可表示为， 则计算结果可表示为：． 故答案为：；；． 24．阅读以下材料并回答问题： 要写出一个整数的因数，我们可以用试除的方法一个个试算出来，也可以按照规律一对一对地写出来．但对于数字较大的合数，这样求因数既费时，又容易漏掉．有没有更好的办法呢？有人提出，可以先将合数分解素因数，然后把每个素因数的个数加1，连乘起来的乘积就是这个合数的所有因数的个数． 例如，，的素因数有1个2，1个3，1个5，那么30的因数个数为个． 用材料中提到的方法，回答下列问题∶ (1)，则的因数个数为_____个． (2)（为互不相同的素数），则的因数个数为_____个． (3)求出2160的所有因数个数． 【答案】(1)12 (2)48 (3)2160的因数个数为40个 【分析】本题考查根据合数分解素因数来求因数个数的方法，解题关键是掌握素因数（又称质因数）是指一个数可以分解成的质数因数． （1）根据材料提供的方法，把合数的每个素因数的个数加1，连乘起来即可求解； （2）根据材料提供的方法，把合数的每个素因数的个数加1，连乘起来即可求解； （3）先将合数2160分解素因数，然后把每个素因数的个数加1，连乘起来即可求解． 【详解】（1）解：M的因数个数为（个）； 故答案为：12； （2）解：N的因数个数为（个）； 故答案为：48； （3）解：， 其因数个数为（个）， 答：2160的所有因数个数为40个． 25．晓风在学习《数的整除》这一章节后，对于找一个合数的因数进行了研究（如下表所示）： 整数 分解素因数 素因数 所有因数 素因数个数 因数个数 4 2、2 1、2、4 2 3 6 2、3 1、2、3、6 2 4 8 2、2、2 1、2、4、8 3 4 12 2、2、3 1、2、3、4、6、12 3 6 90 2、3、3、5 1、2、3、5、6、9、10、15、18、30、45、90 4 12 216 2、2、2、3、3、3 1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、27、36、54、72、108、216 6 16 (1)观察表格，晓风发现：如果要找到一个整数的所有因数，可以先对其进行分解质因数， 例如：，它有________个因数，分别是________； （且q是素数），它有________个因数，分别是________； (2)进一步观察因数的个数和素因数个数之间的关系，填空： 若（其中p为素数），则a的因数个数为________； 若 （其中p为素数，m为正整数）．则b的因数个数为________；（用含字母m的式子表示） 若（其中p、q为不同大小的素数），则c的因数个数为________． 【答案】(1)6，，，，15，25，75；4，，，，； (2)3，，72 【分析】本题主要考查约数与倍数，将数分解成素数的乘积是解题的关键． （1）根据题目的表格找到规律即可得到答案； （2）根据题目的表格找到规律即可得到答案；令其中，，，然后求出x的因数个数和y的因数个数，进而求解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以的因数为，，，，，， 所以因数个数为个，分别是，，，15，25，75； 因为， 所以的因数为，，，， 所以因数个数为个，分别是，，，； （2）解：因为， 所以a的因数为，p， ，故因数个数为个； 因为， 所以b的因数为，p， ，，，故因数个数为个； 令其中，， 因为， 所以x的因数为，p， ，，，故因数个数为8个； 因为， 所以y的因数为，q， ，，，故因数个数为9个； 所以的因数个数为（个）． 考点05 实际应用题；幻方问题 26．我国的个人所得税中的工资、薪金所得，适用超额累进7级税率，税率情况见下表 税率表：工资、薪金所得适用个人所得税累进税率表 级数 全月应纳税所得额 税率 速算扣除数（元） 1 不超过1500元的 0 2 超过1500元至4500元的部分 105 3 超过4500元至9000元的部分 4 超过9000元至35000元的部分 1005 6 超过35000元至55000元的部分 2755 6 超过55000元至80000元的部分 35% 5505 7 超过80000元的部分 13505 说明：本表只含了由纳税人负担的工资、薪金所得部分 一般按照以下的原则计算税后工资、薪金收入； 应纳税所得额应发工资、薪金四金起征点； 四金应发工资、薪金； 起征点元； 应纳税额有两种计算的方法： 方法一：按级数超额累进税率计算； 方法二：应纳税额应纳税所得额适用税率速算扣除数． 税后工资、薪金应发工资、薪金四金应纳税额 举例：应发工资、薪金为8000元． 四金（元） 应纳税所得额（元） 应纳税额 方法一：（元） 方法二：（元） 税后工资、薪金（元） (1)请根据表格所给的信息求出第3级的“速算扣除数”； (2)某公司小陈现在每月缴纳四金1680元，下月起应发工资、薪金将提高，请求出下月起小陈每月的税后工资、薪金数额． 【答案】(1)555元 (2)元 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，有关税率的百分数计算，正确理解题意是解题的关键． （1）根据速算扣除数上一级最高应纳税所得额（本级税率上一级税率）上一级速算扣除数即可求解； （2）分别计算下月应发工资，四金，应纳税所得额，应纳税额，即可计算税后工资． 【详解】（1）解：元； （2）解：本月工资为：元， 下月工资为： (元)， 四金：元， 应纳税所得额：元 应纳税额：元 税后工资：元． 27．如图，圆圈内分别标有1、2、…、12，共12个数字，电子跳蚤每跳一步，可以从一个圆圈逆时针跳到相邻的圆圈，若电子跳蚤所在圆圈的数字为n，则电子跳蚤连续步作为一次跳跃． 例如：电子跳蚤从标有数字1的圆圈需跳步到标有数字2的圆圈内，完成一次跳跃，第二次则要连续跳步到达标有数字6的圆圈． 依次规律，若电子跳蚤从①开始： (1)第3次能跳到圆圈内所标的数字为______； (2)第2018次电子跳蚤能跳到圆圈内所标的数字为______． 【答案】(1)10 (2)6 【分析】（1）如图所示，第一次跳到数字2，第二次跳到数字6，第三次跳步，即可求得答案； （2）如图所示，第一次跳到数字2，第二次跳到数字6，第三次跳到数字10，第四次跳到数字2…，据此三个数字依次循环，用2018除以3，得出余数是几即可解答问题． 【详解】（1）解：如图所示，第一次跳到数字2，第二次跳到数字6，第三次跳步， 因为一圈由12个数， 所以跳到； 故答案为：10； （2）解：∵第3次能跳到圆圈内所标的数字为10， ∴第四次跳的步数为：， 跳到的位置是：， 根据题干分析可得，第一次跳到数字2，第二次跳到数字6，第三次跳到数字10，第四次跳到数字2…，据此三个数字依次循环， ， 余数是2，所以第2018次跳到的圆圈内所标的数字为 6． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查学生通过特例分析归纳得出一般结论的能力，关键是明确题目中哪部分发生了变化，变化的规律是什么． 28．阅读下列素材，完成探究任务： 探究“幻圆”、“幻星”之谜 素材1 我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的“攒九图”中提出“幻圆”的概念．如图是一个“二阶幻圆”模型，将2、3、4、6、7、8、9、11这八个数字填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，则它是一个“二阶幻圆”．                  素材2 在一个“二阶幻圆”中，横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，我们把这个和叫做“二阶幻圆”的幻和．例如，图1中的“二阶幻圆”有4个幻和，它的幻和是25．计算“二阶幻圆”幻和的方法是将图中所有数字之和的2倍，除以幻和的个数．例如，图1中幻和的计算方式为：． 问题解决 任务1 如图2，小明将、4、、8、、12、、16这八个数字分别填入圆圈内，使它成为一个“二阶幻圆”．请完成下列问题： （1）此“二阶幻圆”的幻和是 _____，x处所填的数字是 ______； （2）y与z两处所填的数字之和是______．           任务2 类似地，如图3是一个“六角幻星”模型，它有6条边，如果每条边上的4个数字之和都相等，那么它是一个“六角幻星”．在一个“六角幻星”中，它的每条边上4个数字之和都相等，我们把这个和叫做“六角幻星”的幻和．在图3中，小明将、、、、、0、1、2、3、4、5、6这十二个数字分别填入圆圈内，使它成为一个“六角幻星”．请完成下列问题： （1）此“六角幻星”的幻和是_______； （2）将图3中的“六角幻星”的空缺部分补充完整．________．                  【答案】任务1：（1）4，；（2）或；任务2：（1）2；（2）见解析 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，有理数加法的应用，数字规律探索，熟练掌握以上知识点是关键． 任务一：（1）把所给数字相加乘以2，然后除以4即可求出幻和；根据幻和即可求出x的值； （2）根据幻和求出y的值，然后分两种情况计算即可； 任务二：（1）共有12个数，每一条边上4个数的和都相等，共有六条边，所以每个数都加了两遍，这12个数共加了两遍后和为12，所以每条边的和为2； （2）利用每条边的和为2将剩余的数填入圆圈中，即可得到结果． 【详解】解：任务1：（1）此“二阶幻圆”的幻和是： ， x处所填的数字是， 故答案为：4，； （2）， 当时，， 当时，， 故答案为：或； 任务2，（1）“此“六角幻星”的幻和是： ， 故答案为：2； （2）“六角幻星”如图： ， ， ， ∵，d，e，f可能取的数为， ∴． 如图， ． 考点06 综合应用题 29．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法．阅读材料，并完成下列相关问题． 材料一：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①的面积是正方形面积的一半，部分②的面积是①面积的一半，部分③的面积是②面积的一半，以此类推，则阴影部分的面积是， 空白部分的面积之和为：． 材料二：欲求的值，可以按照如下步骤进行： 令①， 等式两边同时乘以2，得②， 由②式减去①式，得， ． 解决问题： (1)图1部分③的面积为______． (2)如图2，若按这样的方式继续分割下去，受材料一的启发，可求得的值为______． (3)利用材料二提供的方法，请你求出的值． (4)通过学习材料一、材料二，选择你喜欢的方法解决问题：的值为______． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化特点，求出所求式子的值． （1）观察图形发现部分①的面积为，部分②的面积为，部分③的面积为即可解题； （2）由（1）得求 的值，即为求将图形分割下去空白部分的面积，此时剩余阴影部分面积为； （3）根据材料二两边同时乘以，然后相减解题即可； （4）利用材料二两边同时乘以4，然后相减解题即可． 【详解】（1）解：∵正方形边长为， ∴正方形面积为， ∵①是边长为的正方形纸片面积的一半， ∴①的面积为， 依此论推②的面积为， ③的面积为， 故答案为：； （2）解：由（1）得求 的值，即为求将图形分割下去空白部分的面积，此时剩余阴影部分面积为： ， 故答案为：； （3）解：令， 等式两边同时乘以，得， 由②式减去①式，得， ， ； （4）解：令， 等式两边同时乘以，得， ②①得：， ， 即， 故答案为：． 30．计算机的运算编程与数学原理是密不可分的，相对简单的运算编程就是数值转换机． (1)如图，同学设置了一个数值转换机，若输入的值为，则输出的结果为____． (2)如图，同学设置了一个数值转化机，如果输入的分别为和，那么输出的结果分别为_____和______． (3)同学也设置了一个计算装置示意图，是数据入口，是计算结果的出口，计算过程是由分别输入自然数和，经过计算后的有理数由输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个条件： ①若分别输入，则输出结果，记； ②若输入，输入自然数增大，则输出结果为原来的倍，记； ③若输入任何固定自然数不变，输入自然数增大，则输出结果比原来增加，记，问：当输入自然数，输入自然数时，的值是多少？ 【答案】(1)； (2)，； (3)． 【分析】本题主要考查绝对值，代数式，流程图和有理数的混合运算的实际应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）将的值代入流程，按照步骤依次计算，即可得到答案． （2）分别将两个的值代入计算即可，注意条件运算． （3）观察计算条件，先将输入固定，得到输入，输入的输出值，再根据条件三，算出均输入时，输出值． 【详解】（1）解：将代入流程：， ∴， ∴， ∴， 故答案为： （2）解：若输入的为时，， ∵， ∴， ∴， 若输入的为时，， ∵， ∴， 故答案为：和． （3）解：由三个条件可知，当均为时，输出结果为， 先输入数值为，则可得到当输入时，， ∴当输入时， 同理可得，，， 若输入固定值为，， 同理可得， 答：当输入自然数，输入自然数时，的值是． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 期中解答压轴题 考点01 有理数的运算 考点02 新定义题 考点03 数轴的综合应用 考点04 数的整除 考点05 实际应用题；幻方问题 考点06 综合应用题 考点01 有理数的运算 1．阅读理解： ； ； ； …… 试运用上述方法计算： (1)； (2)． 2．阅读理解：；；； (1)请在理解上面计算方法的基础上填空：；； (2)利用以上所得的规律计算：． 3．阅读理解 阅读 以上过程，是逆用异分母分数减法的方法得到：（*） (1)根据以上材料，请你把表示出两个最简分数的差：____________（必须写出推导过程） (2)根据（*）式直接计算 (3)计算 4．阅读材料一：等式性质：等式两边加（或减）同一个数，等式仍成立． 等式性质：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为的数，等式仍成立． 阅读材料二：求的值， 解：令①， 等式两边同时乘以，得②， 由②式①式得：， 从而，即．仿照以上推理，计算： (1) (2)． 5．我们把分子为1的分数称为单位分数．早在三千多年前，古埃及人就利用单位分数进行书写和计算．将一个单位分数分拆为几个不同的单位分数之和也是一个很有意义的问题． 例如，将分拆为2个不同的单位分数之和．有如下的方式： 首先找到分母4的因数1、2、4，然后将的分子、分母分别乘以分母4的两个不同因数之和，；或者． (1)仿照上例，把分拆成两个不同的单位分数之和． = ___________； = ___________． (2)小明受此启发，根据这样的思路，也可以把一个单位分数分拆为两个不同的单位分数之差分拆成两个不同的单位分数之差．= ___________； (3)小海受此启发，如果将的分子与分母同乘以分母4的三个不同的因数之和分拆为三个不同的单位分数之和，． 请你把分拆成两个以上的不同单位分数之和． = ___________； = ___________． 考点02 新定义题 6．对于一个正整数n，若存在正整数a、b，使得，则称n是一个“兰生数”，例如，故3为一个“兰生数”． (1)写出10以内的“兰生数”的等式，例如： (2)在1，2，3……100中，有多少个“兰生数”？为什么？ 7．一个两位数的十位上的数为a，个位上的数为b，这个两位数记作；一个三位数的百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z，这个三位数记作． (1)（＋）能被11整除吗？请说明理由； (2)小明发现：如果能被3整除， 那么就能被3整除．请补全小明的证明思路． 小明的证明思路： 因为① ② ， 又因为代数式②，都能被整除， 所以能被整除． 8．每个正整数都有因数，1有1个因数，素数有2个因数，合数可以通过分解素因数来计算因数的个数．假设正整数一共有个因数，则除以正整数所有因数的倒数和，所得到的商就叫做正整数的调和系数． 如13有2个因数1和13，则13的调和系数为； 28有6个因数1、2、4、7、14和28，则28的调和系数为． (1)分别计算15和98的调和系数； (2)直接写出不小于2且不大于16的正整数中，调和系数为整数的数． 9．阅读与理解： 我们把形如（n是正整数，）的分数叫做单位分数，如 (1)任何一个单位分数都可以拆成两个不同的单位分数之和，如，观察上述式子的规律，回答下面的问题： ①把写成两个单位分数之和：_______． ②把（n是正整数，）写成两个单位分数之和：_______． (2)某些单位分数也可以拆成两个分母是相邻自然数的单位分数的差，如，观察上述式子的规律，回答下面的问题： ①在单位分数中，能按上述要求拆分的有________个． ②若在单位分数中，能按上述要求拆分的有30个，则n的最大值为________． 10．规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作3③，读作“3的圈3次方”， 记作④，读作“的圈4次方”．一般地，我们把个相除记作ⓝ，读作“的圈次方”．根据以上信息，完成下列问题． (1)列式：_______，_______． (2)负数的圈奇次方的结果是_______（填“正数”或“负数”）． (3)将运算结果直接写成乘方的形式：_______． (4)计算：． 11．阅读下列材料，解决问题： 我们把一个能被17整除的自然数称为“节俭数”．“节俭数”的特征是：若把一个自然数的个位数字截去，再把剩下的数减去截去的那个个位数字的5倍，如果差是17的整数倍（包括0），则原数能被17整除，如果差太大或心算不易看出是否是17的倍数，就继续上述的“截尾，倍尾，差尾，验差”的过程，直到能方便判断为止．例如：判断1675282是不是“节俭数”，判断过程：，，，，到这里如果你仍然观察不出来，就继续，是17的整数倍，所以1675282能被17整除，所以1675282是“节俭数”． (1)请用上述方法判断7259和2098752是否是“节俭数”，并说明理由． (2)一个五位节俭数，其中千位上的数字为b，万位上的数字为a，且，请利用上面方法求出这个数． 考点03 数轴的综合应用 12．阅读下列材料： 我们给出如下定义：数轴上给定A，B两点以及一条线段．若线段的中点R在线段上（点R能与点P 或Q重合），则称点A与点B关于线段径向对称如图（a）所示为点A与点B关于线段P径向对称的示意图．如图（b）所示，在数轴上，点O为原点，点A表示的数为，点M表示的数为2． 解答下列问题： 如在数轴上，点H，K，L表示的数分别是，，，当点H以每秒1个单位长度的速度向正半轴方向移动时，线段同时以每秒3个单位长度的速度向正半轴方向移动，设移动的时间为秒，问当t在范围 时，线段上至少存在一点与点H关于线段径向对称． 13．对数轴上的点、，我们把点与点两点之间的距离记作，例如，在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，则点与点两点之间的距离为．已知点为数轴原点，点表示的数是，点表示的数为． (1)__________，__________； (2)点在数轴上表示的数为，当满足时，求的值． 14．【定义新知】 数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示的点与原点（即表示的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离，也就是说，若点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离．若点表示的数为，请根据数轴解决以下问题： (1)式子在数轴上的几何意义是______，若，则的值为______； (2)当取最小值时，可以取的所有整数是______； 【解决问题】 (3)如图，一条笔直的公路边有三个居民区、、和市民广场，居民区、、分别位于市民广场左侧，右侧，右侧．小区有居民人，居民区有居民人，居民区有居民人，现因物流需要，需要在该公路上建一个菜鸟驿站，用于接收这个小区的快递．若快递的运输成本为元（千份•千米），那么菜鸟驿站建在何处才能使总运输成本最低，最低成本是多少？ 15．数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础：我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离，也就是说，在数轴上，如果点表示的数记为，点表示的数记为，则、两点间的距离就可记作．回答下列问题： (1)几何意义是数轴上表示2的点与表示的点之间的距离的式子是_______________；式子的几何意义是______________________________． (2)根据绝对值的几何意义，当时，________； (3)当表示的点在与5之间移动时，的值为一个固定的值是________； (4)探究：的最小值是________；的最小值为________，此时满足的条件是________． 16．【探究与发现】在一次数学探究活动中，数学兴趣小组通过探究发现可以通过用“两数的差”来表示“数轴上两点间的距离”如图1，三条线段的长度可表示为：，，，… 结论：数轴上任意两点表示的数为分别，，则这两个点间的距离为（即：用较大的数减去较小的数） 【理解与运用】 （1）如图2，数轴上、两点表示的数分别为，，点表示的点为2，试计算：________，________．      【拓展与延伸】 （2）如图3，点表示数，点表示，点表示，且，求点和点分别表示的数是多少？ （3）在（2）条件下，图3的数轴上存在不与、、重合的点，使，则点表示的数为________（直接写出答案） 17．如图． (1)在数轴上标出数，，，所对应的点，，，． (2)阅读材料：我们把数在数轴上所对应的点到原点的距离叫作的绝对值，记作．同样地，我们也把数在数轴上所对应的点到数在数轴上所对应的点的距离叫作的绝对值，记作．例如：第（1）题中，点到点的距离记作，化简得；点到点的距离记作，化简得，在（1）的条件下，回答下列问题： ①点到点的距离是_____； ②到点的距离是的点在数轴上所对应的数是_____； ③如果点在数轴上所对应的数是，那么当_____时，点到点的距离等于点到点的距离． (3)在纸上画一条数轴，点，，在数轴上的位置如图所示，现将该纸沿过点的一条直线对折，使得数轴上点左右两侧的部分重合，此时数轴上的点与点恰好重合，原点与数轴上的另一点重合；将白纸重新展平，此时点到原点的距离等于点到点的距离，如果点在数轴上所对应的数是，那么点在数轴上所对应的数是_____． 18．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB=|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．    【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为﹣4，点B表示的数为16，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒（t＞0）． 【综合运用】 （1）填空： ①A、B两点间的距离AB=　 　，线段AB的中点表示的数为　 　； ②当t为　 　秒时，点P与点Q相遇． （2）①用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为　　　；点Q表示的数为　　　； ②若将数轴翻折，使点A与数轴上表示6的点重合，则此时点B与数轴上表示数　　　的点重合． （3）若点M为PA的中点，点N为PB的中点，点P在运动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN的长． 19．阅读理解： 若、、为数轴上三个点，点到的距离是点到点距离的2倍，我们就称点是[，]的赞点． (1)如图1，点表示的数为，点表示的数为，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是[，]的赞点；又如表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点_______[，]的赞点，但点_______[，]的赞点；（横线上填写“是”或“不是”） (2)若、为数轴上两点，点所表示的数是，点所表示的数是，则数_______所表示的点是[，]的赞点； (3)如图2，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数是．现在有一辆电动小汽车从点B出发前往点，以个单位每秒的速度向左运动，到达点停止．当经过_________秒时，、和中恰有一个点是其中两个点的赞点？ 20．在数轴上，把表示数1的点称为基准点，记作点，对于两个不同的点P和Q，若点P、点Q到基准点的距离相等，则称点P与点Q互为基准变换点．例如，点P表示数，点Q表示数3，它们与基准点的距离都是两个单位长度，点P与点Q互为基准变换点． (1)已知点A表示数a，点B表示数x，点A与点B互为基准变换点． ①若，则 ；若，则 ； ②用含a的一次代数式表示x，则 ； (2)点M在点N的左边8个单位长度处，对点M做如下操作：点M沿数轴向右移动个单位长度得到为的基准变换点，点沿数轴向右平移移动k个单位长度得到为的基准变换点，…依此顺序不断地重复，得到…，．若无论k为何值，与N两点间的距离都是2024，则此时 ． 21．已知在数轴上点所对应的数为，点所对应的数为，…，点所对应的数为（为正整数）．请解答下列问题： (1)试写出点和所对应的数并比较它们的大小： _____，______，比较大小：______．（填入“＞”或者“＜”）． (2)如果我们把数轴上的点和点的距离记为且，点和点的距离记为且，…，点和点的距离记为且．请根据理解以下回答（直接写出结果）： ①_____； ②使成立的正整数共有_____个． 22．对于数轴上的，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”． 例如数轴上点，，所表示的数分别为1，3，4，此时点是点，的“联盟点”． (1)若点表示数，点表示数3，点是点，的“联盟点”，点在、之间，且表示一个负数，则点表示的数为________； (2)若点表示数，点表示数2，下列各数，0，4，6所对应的点分别为，，，，其中是点，的“联盟点”的是________； (3)点表示数，点表示数25，为数轴上一点，且点在点的右侧，点，，中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，直接写出此时点表示的数________． 考点04 数的整除 23．小丽是个爱思考的学生，最近，她发现一些特殊的两位数乘法， 如：       (1)根据上述算式的规律请计算：＝ (2)试写出一个与上述算式具有同样特征的算式： (3)为了反映上述规律，如果设其中一个因数十位上的数字为m，个位上的数字为n，那么该因数可表示为： ，另一个因数可表示为 ，计算结果可表示为 24．阅读以下材料并回答问题： 要写出一个整数的因数，我们可以用试除的方法一个个试算出来，也可以按照规律一对一对地写出来．但对于数字较大的合数，这样求因数既费时，又容易漏掉．有没有更好的办法呢？有人提出，可以先将合数分解素因数，然后把每个素因数的个数加1，连乘起来的乘积就是这个合数的所有因数的个数． 例如，，的素因数有1个2，1个3，1个5，那么30的因数个数为个． 用材料中提到的方法，回答下列问题∶ (1)，则的因数个数为_____个． (2)（为互不相同的素数），则的因数个数为_____个． (3)求出2160的所有因数个数． 25．晓风在学习《数的整除》这一章节后，对于找一个合数的因数进行了研究（如下表所示）： 整数 分解素因数 素因数 所有因数 素因数个数 因数个数 4 2、2 1、2、4 2 3 6 2、3 1、2、3、6 2 4 8 2、2、2 1、2、4、8 3 4 12 2、2、3 1、2、3、4、6、12 3 6 90 2、3、3、5 1、2、3、5、6、9、10、15、18、30、45、90 4 12 216 2、2、2、3、3、3 1、2、3、4、6、8、9、12、18、24、27、36、54、72、108、216 6 16 (1)观察表格，晓风发现：如果要找到一个整数的所有因数，可以先对其进行分解质因数， 例如：，它有________个因数，分别是________； （且q是素数），它有________个因数，分别是________； (2)进一步观察因数的个数和素因数个数之间的关系，填空： 若（其中p为素数），则a的因数个数为________； 若 （其中p为素数，m为正整数）．则b的因数个数为________；（用含字母m的式子表示） 若（其中p、q为不同大小的素数），则c的因数个数为________． 考点05 实际应用题；幻方问题 26．我国的个人所得税中的工资、薪金所得，适用超额累进7级税率，税率情况见下表 税率表：工资、薪金所得适用个人所得税累进税率表 级数 全月应纳税所得额 税率 速算扣除数（元） 1 不超过1500元的 0 2 超过1500元至4500元的部分 105 3 超过4500元至9000元的部分 4 超过9000元至35000元的部分 1005 6 超过35000元至55000元的部分 2755 6 超过55000元至80000元的部分 35% 5505 7 超过80000元的部分 13505 说明：本表只含了由纳税人负担的工资、薪金所得部分 一般按照以下的原则计算税后工资、薪金收入； 应纳税所得额应发工资、薪金四金起征点； 四金应发工资、薪金； 起征点元； 应纳税额有两种计算的方法： 方法一：按级数超额累进税率计算； 方法二：应纳税额应纳税所得额适用税率速算扣除数． 税后工资、薪金应发工资、薪金四金应纳税额 举例：应发工资、薪金为8000元． 四金（元） 应纳税所得额（元） 应纳税额 方法一：（元） 方法二：（元） 税后工资、薪金（元） (1)请根据表格所给的信息求出第3级的“速算扣除数”； (2)某公司小陈现在每月缴纳四金1680元，下月起应发工资、薪金将提高，请求出下月起小陈每月的税后工资、薪金数额． 27．如图，圆圈内分别标有1、2、…、12，共12个数字，电子跳蚤每跳一步，可以从一个圆圈逆时针跳到相邻的圆圈，若电子跳蚤所在圆圈的数字为n，则电子跳蚤连续步作为一次跳跃． 例如：电子跳蚤从标有数字1的圆圈需跳步到标有数字2的圆圈内，完成一次跳跃，第二次则要连续跳步到达标有数字6的圆圈． 依次规律，若电子跳蚤从①开始： (1)第3次能跳到圆圈内所标的数字为______； (2)第2018次电子跳蚤能跳到圆圈内所标的数字为______． 28．阅读下列素材，完成探究任务： 探究“幻圆”、“幻星”之谜 素材1 我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的“攒九图”中提出“幻圆”的概念．如图是一个“二阶幻圆”模型，将2、3、4、6、7、8、9、11这八个数字填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，则它是一个“二阶幻圆”．                  素材2 在一个“二阶幻圆”中，横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，我们把这个和叫做“二阶幻圆”的幻和．例如，图1中的“二阶幻圆”有4个幻和，它的幻和是25．计算“二阶幻圆”幻和的方法是将图中所有数字之和的2倍，除以幻和的个数．例如，图1中幻和的计算方式为：． 问题解决 任务1 如图2，小明将、4、、8、、12、、16这八个数字分别填入圆圈内，使它成为一个“二阶幻圆”．请完成下列问题： （1）此“二阶幻圆”的幻和是 _____，x处所填的数字是 ______； （2）y与z两处所填的数字之和是______．           任务2 类似地，如图3是一个“六角幻星”模型，它有6条边，如果每条边上的4个数字之和都相等，那么它是一个“六角幻星”．在一个“六角幻星”中，它的每条边上4个数字之和都相等，我们把这个和叫做“六角幻星”的幻和．在图3中，小明将、、、、、0、1、2、3、4、5、6这十二个数字分别填入圆圈内，使它成为一个“六角幻星”．请完成下列问题： （1）此“六角幻星”的幻和是_______； （2）将图3中的“六角幻星”的空缺部分补充完整．________．                  考点06 综合应用题 29．数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法．阅读材料，并完成下列相关问题． 材料一：如图1，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①的面积是正方形面积的一半，部分②的面积是①面积的一半，部分③的面积是②面积的一半，以此类推，则阴影部分的面积是， 空白部分的面积之和为：． 材料二：欲求的值，可以按照如下步骤进行： 令①， 等式两边同时乘以2，得②， 由②式减去①式，得， ． 解决问题： (1)图1部分③的面积为______． (2)如图2，若按这样的方式继续分割下去，受材料一的启发，可求得的值为______． (3)利用材料二提供的方法，请你求出的值． (4)通过学习材料一、材料二，选择你喜欢的方法解决问题：的值为______． 30．计算机的运算编程与数学原理是密不可分的，相对简单的运算编程就是数值转换机． (1)如图，同学设置了一个数值转换机，若输入的值为，则输出的结果为____． (2)如图，同学设置了一个数值转化机，如果输入的分别为和，那么输出的结果分别为_____和______． (3)同学也设置了一个计算装置示意图，是数据入口，是计算结果的出口，计算过程是由分别输入自然数和，经过计算后的有理数由输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个条件： ①若分别输入，则输出结果，记； ②若输入，输入自然数增大，则输出结果为原来的倍，记； ③若输入任何固定自然数不变，输入自然数增大，则输出结果比原来增加，记，问：当输入自然数，输入自然数时，的值是多少？ 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $