专题02 特殊三角形（15知识&24题型&3易错&4方法）（期中知识清单）八年级数学上学期新教材浙教版

专题02 特殊三角形（15知识&24题型&3易错&4方法清单） 【清单01】轴对称图形 ●一、轴对称图形的相关概念 1、轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 2、轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． 3、常见的轴对称图形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． ●二、轴对称图形的性质 1、性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段．沿对称轴折叠后轴对称图形上能够重合的点叫做对称点． 2、画对称轴的方法： （1）过两对对称点所连的线段的中点作直线；（2）作一对对称点连线的垂直平分线. 【清单02】轴对称 ●一、轴对称的相关概念 1、轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点. 【注意】理解轴对称的定义应抓住三点：①有两个图形；②存在一条直线；③一个图形沿着这条直线折叠后能与另一个图形重合. 2、轴对称图形和轴对称的区别与联系 轴对称图形 轴对称 图形 区别 意义 一个图形具有的特殊形状 两个全等图形的特殊的位置关系 对称轴的条数 一条或多条 只有一条 对称轴的位置 一定经过这个图形 可能在两个图形的外部，也可以经过两个图形内部或它们的公共边（点）. 联系 1.都是沿着某条直线折叠后能重合. 2.若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称． ●二、轴对称的性质 1、轴对称的性质： （1）成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分． 如右图：直线MN是AA′, BB′,CC′的垂直平分线. 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． ③成轴对称的两个图形中，对应线段相等，对应角相等. （2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 2、找对称轴：若两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，因此只要找到一对对应点，再作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴．轴对称图形的对称轴作法相同． 3、、作一个图形关于某条直线成轴对称的方法： 先确定一些特殊的点，然后作这些特殊点的对称点，顺次连接即可． 【清单03】画已知图形的轴对称图形 画与已知图形成轴对称的图形的步骤： （1）找：观察已知图形，找出能代表已知图形的关键点（顶点或拐点）； （2）作：分别作出这些关键点关于对称轴对称的点； （3）连：按原图形的顺序依次连结相应的对称点. 【清单04】等腰三角形的概念及性质 ★1、等腰三角形的概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． ★2、等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写“等边对等角”). ★用符号语言表示为： 在△ABC中， ∵ AB=AC（已知）， ∴ ∠B＝∠C （等边对等角）. ★3、等腰三角形性质2：等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.简称：等腰三角形三线合一. ★用符号语言表示为： 在△ABC中， （1）∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)， ∴BD=CD , AD⊥BC（等腰三角形三线合一）. （2）∵AB=AC , BD=CD (已知)， ∴∠1=∠2 , AD⊥BC（等腰三角形三线合一）. （3）∵AB=AC , AD⊥BC(已知)， ∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）. ★在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． ★拓展：等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边上的高或底边上的中线）所在的直线. 【清单05】等边三角形的概念及性质 ★1、定义：三边相等的三角形叫作等边三角形或正三角形． ★2、性质：（1）等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴． （2）等边三角形的各角都等于60°． ★3、等边三角形与等腰三角形的性质比较： 等腰三角形 等边三角形 对称性 轴对称图形(1条) 轴对称图形(3条) 边 两腰相等 三边都相等 角 两底角相等 三个角都等于60° 特殊线 底边上的中线、高和顶角的平 分线互相重合(1条) 每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合(3条) 【清单06】等腰三角形的判定 等腰三角形的判定方法： ★1、定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形. ★2、判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.(简称“等角对等边”)． 几何语言： 在△ABC中， ∵ ∠B＝∠C（已知）， ∴ AB=AC （等角对等边）. ★3、等腰三角形的判定与性质的区别 条件 结论 作用 性质 (等边对等角) 在同一个三角形中，两边相等. 这两边所对的角也相等. 证明角相等. 判定 (等角对等边) 在同一个三角形中，两个角相等. 这两个角所对的边也相等. 证明线段相等. 【清单07】等边三角形的判定 ★1、等边三角形的判定 （1）三个角都相等的三角形是等边三角形． （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 ． ★2、等边三角形与等腰三角形判定的区别 图形 等腰三角形 等边三角形 判 定 从边看： 两条边相等的三角形是等腰三角形. 三条边都相等的三角形是等边 三角形. 从角看： 两个角相等的三角形是等 腰三角形. 三个角相等的三角形是等边三角形. 特别说明：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图法，我们也可以用这种方法确定线段的中点． 【清单07】互逆命题与互逆定理 ●一、互逆命题 ★1、互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题. 【注意】（1）任何一个命题都有逆命题，它们互为逆命题，“互逆”是指两个命题之间的关系； （2）原命题成立，它的逆命题不一定成立，反之亦然. ★2、写一个命题的逆命题的方法 写原命题的逆命题时，先将原命题写成“如果……，那么 ……”的形式，再互换条件与结论，进而写出原命题的逆命题. ●二、互逆定理 ★1、互逆定理：如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理. 【注意】 （1）任何命题都有逆命题，但不一定每个定理都有逆定理.只有当原定理的逆命题能被证明是真命题时，才能称这个逆命题为原定理的逆定理. （2）互逆命题不一定都是真命题，但互逆定理一定都是真命题. 【清单08】线段垂直平分线的判定 ★1、线段的垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． ●●应用格式：（如右图） ∵ PA = PB，∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上． ●●作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 【清单09】直角三角形的两锐角互余的性 ★1、直角三角形的定义：有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．为了书写的方便，直角三角形可以与符号“Rt△”来表示．所以，直角三角形ABC可以记作 Rt△ABC ． ★2、直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余. 几何语言： 在△ABC 中，∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠C=90°. 【清单10】直角三角形斜边上中线的性质 ★1、直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 几何语言：∵ 在Rt△ABC中，点O是AB的中点， ∴ OB=AO=CO=AC. 【拓展】 （1）直角三角形斜边上的性质定理的逆命题“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”仍然成立，它可以用来判断一个三角形是否为直角三角形. （2）在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半. ★2、直角三角形的这条性质与直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半都是证明线段倍分关系的重要依据．“直角三角形斜边上的中线性质适用于任何直角三角形”；“含30°角的直角三角形性质”仅适用于含30°角的特殊直角三角形. 【清单11】直角三角形的判定 ★直角三角形的判定方法： 方法 文字叙述 几何语言 图示 定义法 有一个角是直角的三角形是直角三角形. 在△ABC中，∵∠B=90° ,  ∴△ABC是直角三角形.                           判定定理 有两个角互余的三角形是直角三角形. 在△ABC 中，  ∵∠A+∠C=90°，  ∴△ABC是直角三角形. 【清单12】勾股定理 ●●勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2. ★1、勾股定理的应用条件：勾股定理只适用于直角三角形； ★2、勾股定理揭示的是直角三角形三边的关系，已知直角三角形中的任意两边可以求出第三边. ★3、勾股定理的几种变形式：勾股定理将“数”与“形”联系起来，体现了直角三角形三边之间的等量关系.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，则a2 + b2 = c2、 a2 = c2 - b2、 b2 = c2 - a2；、、. 【拓展】 ◎1、锐角三角形的三边关系是：在锐角三角形中，若三边长分别为a，b，c，其中c为最大边，则a2+b2＞c2. ◎2、钝角三角形的三边关系是：在钝角三角形中，若三边长分别为a，b，c，其中c为最大边，则a2+b2＜c2. 【注意】 1.勾股定理是直角三角形的特殊性质，所以其适用的前提是直角三角形. 2.运用勾股定理时，一定要分清直角边和斜边，若没有明确哪条边是斜边，则需要分类讨论，写出所有可能的情况，以避免漏解或者错解. 【清单13】勾股定理的逆定理 ●勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理. ★1、用勾股定理判定直角三角形的步骤： ①先确定最长边，算出最长边的平方； ②计算另两边的平方和；． ③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形，且最长边所对的角就是直角，否则不是直角三角形. ★2、勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系： 勾股定理 勾股定理的逆定理 条 件 在Rt△ABC中，∠C=90° 在△ABC中，a2 + b2 = c2 结 论 a2 + b2 = c2 ∠C=90° 区 别 勾股定理是一个直角三角形为条件进而得到三边满足的数量关系a2+b2=c2，是由“形”到“数”. 勾股定理的逆定理的是以一个三角形的三边满足a2+b2=c2为条件进而得到这个三角形是直角三角形,即由“数”到“形”. 联 系 两者都与三角形的三边有关系. 【清单14】直角三角形全等的判定方法 ★利用“HL”判定两个三角形全等 1、文字语言：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”). 2、几何语言： ∵∠C=∠C′=90° 在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′中， ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL). 【注意】 “SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角. 3、判定两个直角三角形全等的方法： 判定一般三角形全等的方法对判定两个直角三角形全等全部适用，因此我们可以根据“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”这五种方法来判定两个直角三角形全等. 【清单15】角平分线的的判定 ★1、判定定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. ★2、应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. ◆3、定理的作用：判断点是否在角的平分线上. ◆4、角平分线的判定的几何语言： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE， ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上. ★拓展：三角形的三条角平分线交于三角形内一点，并且这点到三边的距离相等，反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点. 【注意】利用角平分线性质定理的逆定理证明点在角平分线上时，必须有“两垂直，一相等”这三个条件，缺一不可. 【题型一】轴对称图形的识别 【例1】中国剪纸是一种历史悠久的民间艺术，它以其独特的艺术形式和深厚的文化内涵，成为中国传统文化的重要组成部分，下列四幅作品中是轴对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式1-1】以下图标是“慈溪文旅”的部分宣传图，其中图标是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列图形中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【题型二】轴对称性质的应用 【例2】如图，中，D点在上，将D点分别以、为对称轴，画出对称点E、F，并连接、．根据图中标示的角度，求的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】小华在镜子中看到身后墙上的钟，你认为时间最接近时整的是（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图是一个经过改造的规格为4×7的台球桌面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过台球边缘多次反弹），那么球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【变式2-3】如图，在3×3的正方形网格中两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意一个涂黑，使得整个图形（包括网格）构成一个轴对称图形，那么涂法共有（　　） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【题型三】与轴对称有关的探索规律问题 【例3】如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第9次碰到矩形的边时的点为图中的（　　） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【变式3-1】如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（　　） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【变式3-2】下面四个图形是标出了长宽之比的台球桌的俯视图，一个球从一个角落以45°角击出，在桌子边沿回弹若干次后，最终必将落入角落的一个球囊．图1中回弹次数为1次，图2中回弹次数为2次，图3中回弹次数为3次，图4中回弹次数为5次．若某台球桌长宽之比为5：4，按同样的方式击球，球在边沿回弹的次数为（　　）次． A．6 B．7 C．8 D．9 【变式3-3】如图1，已知△ABD和△ACD关于直线AD对称；在射线AD上取点E，连接BE，CE，如图2，在射线AD上取点F连接BF，CF，如图3，依此规律，第6个图形中全等三角形的对数是（　　） A．10 B．15 C．21 D．28 【题型四】利用轴对称解决最短路径问题 【例4】，两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边上修建一个自来水厂，分别向两个小镇供水．要使所用水管总长度最短，则下列图形中，自来水厂的位置正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，在中，，，的面积为，平分，点，分别为，上动点，连结，，则的最小值为（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 【变式4-2】如图，在中，，，，，点D、E分别是边、上的动点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【题型五】等腰三角形性质的应用 【例5】如图，在中，点是边上的一点，且，延长至点，使得．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，点P为内一点，过点P的线段分别交，于点M，N，且M，N分别在，的垂直平分线上．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，在中，平分交于点D，E为上一点，连接，，F是的中点，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式5-3】如图，在等腰三角形中，是的高线，边的垂直平分线分别交于点，连接． (1)若，求的长度； (2)求的度数． 【题型六】等腰三角形性质的证明 【例6】如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，过点A分别作AD⊥BD、AE⊥CE，且AE＝AD．求证：∠EAB＝∠DAC． 【变式6-1】如图，在中，，E为边上的点，且，D为线段的中点，过点E作，过点A作，且相交于点F． (1)求证：； (2)求证：． 【变式6-2】如图，，，，点是边的中点．求证： (1)； (2)． 【变式6-3】如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【题型七】等腰三角形的判定 【例7】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F． 求证：△ABC是等腰三角形． 【变式7-1】已知：如图，AD是等腰三角形ABC的底边BC上的中线，DE∥AB，交AC于点E． 求证：△AED是等腰三角形． 【变式7-2】如图：△ABC的边AB的延长线上有一个点D，过点D作DF⊥AC于F，交BC于E，且BD＝BE，求证：△ABC为等腰三角形． 【变式7-3】已知如图，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD＝CE，FD＝FE．求证：△ABC是等腰三角形． 【题型八】等边三角形的性质 【例8】如图，AD是等边三角形ABC的中线，点E在AC上，AE＝AD，则∠EDC等于（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【变式8-1】和均是等边三角形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，过点E作EF⊥AB于点F，延长BC交EF的反向延长线于点D，若EF＝1，则DF的长为 　　 ． 【变式8-3】如图，点D在等边△ABC的外部，E为BC边上的一点，AD＝CD，DE交AC于点F，AB∥DE． （1）判断△CEF的形状，并说明理由； （2）若BC＝10，CF＝4，求DE的长． 【题型九】等边三角形的判定 【例9】下列对△ABC的判断，错误的是（　　） A．若AB＝AC，∠B＝60°，则△ABC是等边三角形 B．若∠A：∠B：∠C＝3：4：7，则△ABC是直角三角形 C．若∠A＝20°，∠B＝80°，则△ABC是等腰三角形 D．若AB＝BC，∠C＝40°，则∠B＝40° 【变式9-1】如图，已知是等边三角形，且．试问：是等边三角形吗？请说明理由． 【变式9-2】如图，点P是等边三角形内一点，D是延长线上一点，，， 求证：是等边三角形． 【变式9-3】已知：如图，在中，，D是边的中点，，点E、F为垂足． (1)求的度数； (2)求证：； (3)求证：是等边三角形． 【题型十】逆命题与逆定理 【例10】下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．无理数就是开方开不尽的数 B．全等三角形的对应角相等 C．若，则 D．各边相等的多边形是正多边形 【变式10-1】下列命题的逆命题为真命题的是（   ） A．无理数是无限小数 B．若，则 C．对顶角相等 D．等边三角形的三个角都等于 【变式10-2】下列定理没有逆定理的是（        ） A．两直线平行，内错角相等 B．全等三角形的对应角相等 C．直角三角形两锐角互余 D．等腰三角形两底角相等 【变式10-3】 下列命题中，逆命题成立的有（   ） ①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③全等三角形的对应边相等；④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型十一】线段的垂直平分线的判定 【例11】下面是作线段的垂直平分线的尺规作图方法． 如图所示，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点和，作直线． 这样作的理由是（   ） ①等腰三角形的三线合一 ②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 ③两点确定一条直线 ④到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 A．① B．②③ C．③④ D．④ 【变式11-1】如图所示，现要在一块三角形草坪上建一凉亭供大家休息，使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（    ） A．三条角平分线的交点 B．三条高所在直线的交点 C．三条中线的交点 D．三边的垂直平分线的交点 【变式11-2】如图，已知：，则下列说法正确的个数有（     ） （1）平分             （2）垂直平分 （3）与互相垂直平分      （4）平分 A．一个 B．两个 C．三个 D．四个 【变式11-3】如图，在中，边的垂直平分线分别交于点 M，D，边的垂直平分线分别交于点 N，E，的延长线交于点 O． (1)若，求的周长． (2)试判断点O 是否在的垂直平分线上，并说明理由． 【题型十二】直角三角形的性质 【例12】如图，Rt△ABC和Rt△ADE中，∠D＝∠C＝90°，∠B＝30°，点E在线段BC上，DE交AC于点F，若DE∥AB，则∠DAF的度数为（　　） A．15° B．20° C．22.5° D．30° 【变式12-1】如图，中，，若恰好经过点B，交于D，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式12-2】如图，已知直线a∥b，Rt△ABC的顶点A在直线a上，∠C＝90°，∠BAC＝55°，若∠2＝35°，则∠1的度数是 　 　． 【变式1-3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝25°，则∠CDE＝　 　． 【题型十三】直角三角形的判定 【例13】在下列条件中：①∠A﹣∠B＝90°；②∠A＝∠B﹣∠C；③∠A＝∠B＝2∠C；④∠A＝∠B∠C中，不能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式13-1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，且∠CAD＝∠CBD， 求证：△ABD是直角三角形． 【变式13-2】如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B．求证：△ACD是直角三角形． 【变式13-3】如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝62°，AE平分∠BAC． （1）求∠BAE； （2）若AD⊥BC于点D，∠ADF＝74°，证明：△ADF是直角三角形． 【题型十四】利用直角三角形斜边上的中线的性质的计算 【例14】 如图，在中，于F，于E，M为的中点，，，的周长是（    ） A． B． C． D． 【变式14-1】如图，在中，是斜边上的中线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式14-2】如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点、、对应的刻度分别为（单位：），则的长度为（   ） A．6 B． C． D．3 【变式14-3】如图，一根竹竿斜靠在竖直的墙上，点P是中点，表示竹竿沿墙滑动过程中的某个位置，则的长（   ） A．下滑时，的长度增大 B．上升时，的长度减小 C．只要滑动，的长度就变化 D．无论怎样滑动，的长度不变 【题型十五】直角三角形斜边上的中线的性质的证明 【例15】已知：如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝45°，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线． （1）求证：AE＝CD； （2）求∠ACE的度数． 【变式15-1】已知，在中，，作平分． (1)求证：； (2)点为的中点，点为的中点，连接，，求证：． 【变式15-2】如图，在中，为上的中线，，垂足为点E，点F为中点，连接． (1)求证：． (2)已知，求的度数． 【题型十六】利用勾股定理求线段长 【例16】如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD平分∠BAC，则AD等于（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式16-1】 如图，中，于D，E是的中点，若，，则的长为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【变式16-2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，则点C到直线AB的距离是（　　） A． B．3 C． D．2 【变式16-3】如图，在△ABC中，过点A作BC的垂线交BC的延长线于点D，已知AC＝13，BC＝11，AD＝12，则AB的长度为（　　） A．15 B．16 C．18 D．20 【题型十七给】勾股定理的证明 【例17】如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，大正方形的面积为41，小正方形的面积为1，设直角三角形较短直角边长为a，较长直角边长为b，则a+b的值为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式17-1】我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明．古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 【变式17-2】勾股定理被誉为“几何明珠”，如图是我国古代著名的“赵爽弦图”，它由4个全等的直角三角形拼成，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用a、b表示直角三角形的两直角边（a＞b），则下列说法：①a2+b2＝25，②a﹣b＝1，③ab＝12，④a+b＝7．正确的是（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【变式17-3】如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（　　） A．36 B．76 C．66 D．12 【题型十八】勾股定理的实际应用 【例18】如图有一个水池，水面BE的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是（　　） A．26尺 B．24尺 C．17尺 D．15尺 【变式18-1】勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． 如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推6m至C处时（即水平距离CD＝6m），踏板离地的垂直高度CF＝4m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（　　）m． A． B． C．6 D． 【变式18-2】“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米． (1)求风筝的垂直高度． (2)如果小明想让风筝沿方向下降9米，那么他应该往回收线多少米？ 【变式18-3】如图，两条公路l1、l2交于点O，在公路l2旁有一学校A，与O点的距离为170m，点A（学校）到公路l1的距离AM为80m，一大货车从O点出发，行驶在公路l1上，汽车周围100m范围内有噪音影响． （1）货车开过学校是否受噪音影响？为什么？ （2）若汽车速度为80km/h，则学校受噪音影响多少秒钟？ 【题型十九】勾股定理的规律探究题 【例19】图甲是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2）演化而成的．如图乙中的OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，按此规律，在线段OA1，OA2，OA3，…，OA20中，长度为整数的线段有（　　）条． A．3 B．4 C．5 D．6 【变式19-1】如图，Rt△ABO中，∠A＝90°，AO＝2，AB＝1．以BC＝1，OB为直角边，构造Rt△OBC；再以CD＝1，OC为直角边，构造Rt△OCD；…，按照这个规律，在Rt△OHI中，点H到OI的距离是（　　） A． B． C． D． 【变式19-2】如图1，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，以这个直角三角形两直角边为边作正方形．图2由图1的两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，…，按此规律，则图6中所有正方形的面积和为（　　） A．200 B．175 C．150 D．125 【变式19-3】如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，……按照此规律继续下去，则S2024的值为（　　） A． B． C． D． 【题型二十】勾股定理与折叠问题 【例20】如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，点D是边BC上一点，若沿将△ACD翻折，点C刚好落在边上点E处，则BD等于（　　） A．2 B． C．3 D． 【变式20-1】如图，长方形ABCD中，AB＝5，AD＝25，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则BE的长为（　　） A．12 B．8 C．10 D．13 【变式20-2】如图，将正方形纸片ABCD折叠，使顶点B落在边AD上的点E处，折痕交AB于点F，交CD于点G，若AE＝1，∠AFE＝30°，则AB的长为（　　） A．2 B．1 C．2 D．2 【题型二十一】勾股定理的逆定理 【例21】适合下列条件的中，能确定是直角三角形的有（    ） ①            ②， ③，，        ④，， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式21-1】如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，边BC上的中线AD＝6，那么边BC的长为（　　） A． B．2 C．13 D．12 【变式21-2】如图，已知∠BAC＝90°，BC，AB＝1，AD＝CD＝1，则∠BAD＝　 ． 【变式21-3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，且PB＝1，PC＝2， PA＝3，求∠BPC的度数． 【例21】勾股定理与逆定理的综合运用 【例21】如图，在四边形ABCD中，AB＝7cm，AD＝24cm，∠BAD＝90°，BC＝20m，CD＝15cm． （1）连接BD，求BD的长； （2）求四边形ABCD的面积． 【变式21-2】已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，AD2+CD2＝2AB2，CD⊥AD． （1）求证：AB⊥BC． （2）若AB＝3CD，AD＝17，求四边形ABCD的周长． 【变式21-2】如图，为了居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机，，且，均位于地下管道的同侧，售卖机，之间的距离（）为400米，管道分叉口与之间的距离为240米，于点，到的距离（）为192米．假设所有管道的材质相同． (1)求，之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 【题型二十二】添加条件使直角三角形全等直角三角形的全等判定 【例22】如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，要根据“HL”证明Rt△ABC与Rt△BAD全等，则还需要添加一个条件是（　　） A．∠CAB＝∠DBA B．AC＝BD C．AB＝BD D．∠ABC＝∠BAD 【变式22-1】如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（　　） A．AE＝DF B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AB＝DC 【变式22-2】如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．判定Rt△ABD和Rt△CDB全等的依据是（　　） A．AAS B．SAS C．ASA D．HL 【变式22-3】如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，点B、D、C、E在同一条直线上，点C和点E重合．∠B＝∠DEF＝90°，AB＝DE，若添加一个条件后可用“HL”定理证明Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件是（　　） A．BC＝EF B．∠BCA＝∠F C．BA∥EF D．AC＝DF 【题型二十三】直角三角形的全等判定的证明 【例23】如图，，，点D是上一点，于E，于F，，求证：． 【变式23-1】如图，，，，垂足分别为点，，且．证明： (1)； (2)． 【变式23-2】如图1，已知A，E，F，C在同一条直线上，，过E，F分别作，，． (1)求证：平分； (2)若的边沿方向移动，其余条件不变，如图2，上述结论是否仍成立？请说明理由． 【题型二十四】角平分线的性质与判定的综合 【例24】 如图，，垂足分别为，．求证：平分． 【变式24-1】如图，过的边的垂直平分线上的点，作的另外两边，所在直线的垂线，垂足分别为，，，作射线；求证：平分． 【变式24-2】如图，与都为等边三角形，连接与，延长交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，求证：平分． 【变式24-3】如图，中，点D在BC边上， 的平分线交AC于点E，过点E作 垂足为F，且 连接DE． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，且 求 的面积． 【题型一】等腰三角形中的分类讨论问题 【例1】一个等腰三角形的周长为13cm，一边长为5cm，则另两边长分别为（　　） A．3cm，5cm B．4cm，4cm C．3cm，5cm或4cm，4cm D．以上都不对 【变式1-1】已知等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为9cm和15cm两部分，则这个等腰三角形的腰长为（　　） A．6cm B．10cm C．6cm或10cm D．11cm 【变式1-2】等腰三角形的一个内角是70°，则它一腰上的高与底边的夹角的度数为（　　） A．20° B．35° C．20°或35° D．30°或35° 【题型二】勾股定理中分类讨论问题 【例2】已知直角三角形两边的长分别为3和4，则此三角形的周长为（　　） A．5 B．7 C．12 D．12或7 【变式2-1】已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AH＝8，则BC的长是（　　） A．21 B．15 C．6 D．21或9 【变式2-2】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，点Q在直线BC上，且AQ＝2，则线段BQ的长为　 　． 【题型三】勾股定理与最短路径问题 【例3】如图，若圆柱的底面周长是12cm，高是5cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈彩带到顶部B处，则这条彩带的最小长度是　 　cm． 【变式3-1】如图，正方体盒子的棱长为2，M为EH的中点，现有一只蚂蚁位于点B处，它想从正方体的表面爬行到点M处获取食物，则蚂蚁需爬行的最短路程为 　 ． 【变式3-2】如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为10cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁与B相对且距离容器上沿2cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 　 　cm． 【题型一】等腰三角形的性质与判定 【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE＝CF， BD＝CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）求证：∠B＝∠DEF； （3）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数． 【变式1-1】如图，中，垂足为，点在上，平分，点在上，，延长交于点． (1)求证： ； (2)写出线段和的位置关系和数量关系，并证明． 【变式1-2】已知，在中，，点D，E分别在边上(D不与B，C重合)，． (1)如图1，若，且恰好平分，则的度数为 °． (2)如图2，若，且点D是边上的任意一点，小亮发现的度数为定值， ①求的度数； ②当时，求的度数． (3)如图3，在点D的运动过程中，的形状也在改变，若，请直接写出当等于多少度时，是等腰三角形． 【题型二】等边三角形的性质与判定 【例2】已知在等边中，点是边延长线上一点，点是直线上一动点，以为一边作等边，连接． (1)如图1，若点在边上，点在上，且．求证： ① ②； (2)如图2，若点在边的延长线上，请探究线段与之间的数量关系，并说明理由． 【变式2-1】综合实践 教材再现：等边三角形是三边都相等的特殊的等腰三角形：等边三角形的三个内角都相等，并且都等于；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 探究问题：等边三角形的三个内角都等于，由此可得等边三角形的每一个外角都等于，那么等边三角形与的角是否还有某些特殊关系，为此某数学兴趣小组的同学做了如下探究，请你帮助他们完成证明过程或解答过程． (1)如图，是等边三角形，点、分别在和的延长线上，且，该兴趣小组的同学发现，当的度数确定时，的度数也随之确定． 若，则的度数为 ． 求证：． (2)如图，是等边三角形，点是三角形内一点，且，延长交于点，延长交于点，判断线段、、、之间有什么数量关系，并说明理由． (3)如图，是等边三角形，点是三角形外一点，且，连接，判断线段、、之间有什么数量关系，并说明理由． 【变式2-2】已知是等边三角形，E是上的一点，F是边延长线上一点，且，连接、． (1)如图1，若E是边的中点，猜想和的数量关系并加以证明； (2)如图2，若E是线段上的任意一点，其他条件不变，上述线段、的数量关系是否发生变化，写出你的猜想并加以证明； (3)若E是线段延长线上的任意一点，其他条件不变，上述线段、的数量关系是否发生改变，请写出你的猜想，先画出图形，再加以证明． 【题型三】等腰三角形与动点运动问题 【例3】如图，已知等边△ABC的边长为6cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，运动时间为tS，已知点M的速度1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． ​ （1）当点N第一次到达B点时，点M的位置在 　 　；当M、N运动 　 　秒时，点N追上点M； （2）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间． 【变式3-1】在边长为9的等边三角形ABC中，点Q是BC上一点，点P是AB上一动点，以每秒1个单位的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒． （1）如图1，若BQ＝6，PQ∥AC，求t的值； （2）如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，△APQ为等边三角形？ 【变式3-2】如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒． (1) （用t的代数式表示）． (2)当点在边上运动时，出发 秒后，是等腰三角形． (3)当点在边上运动时，出发几秒后，是以或为底的等腰三角形？ 【题型四】勾股定理与动点运动问题 【例4】 如图，△ABC中，∠C＝90°，CA＝8cm，CB＝6cm，D为动点，沿着C→A→B→C的路径运动（再次到达C点则停止运动），点D的运动速度为2cm/秒，设点D运动时间为t秒． （1）当点D在AC上运动时，若DC＝BC，则t＝　 　； （2）若点D与△ABC某一顶点的连线平分△ABC的周长，求t的值． 【变式4-1】如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD；AD：CD＝2：3：4． （1）试说明△ABC是等腰三角形； （2）已知S△ABC＝40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时，整个运动都停止，设点M运动的时间为t（秒），若△DMN的边与BC平行，求t的值． 【变式4-2】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝20，BC＝15，AD为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止，设点D运动的时间为t秒，速度为每秒2个单位长度． （1）当t为何值时，△CBD是直角三角形； （2）若△CBD是等腰三角形，求t的值． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 特殊三角形（15知识&24题型&3易错&4方法清单） 【清单01】轴对称图形 ●一、轴对称图形的相关概念 1、轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 2、轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． 3、常见的轴对称图形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． ●二、轴对称图形的性质 1、性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段．沿对称轴折叠后轴对称图形上能够重合的点叫做对称点． 2、画对称轴的方法： （1）过两对对称点所连的线段的中点作直线；（2）作一对对称点连线的垂直平分线. 【清单02】轴对称 ●一、轴对称的相关概念 1、轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点. 【注意】理解轴对称的定义应抓住三点：①有两个图形；②存在一条直线；③一个图形沿着这条直线折叠后能与另一个图形重合. 2、轴对称图形和轴对称的区别与联系 轴对称图形 轴对称 图形 区别 意义 一个图形具有的特殊形状 两个全等图形的特殊的位置关系 对称轴的条数 一条或多条 只有一条 对称轴的位置 一定经过这个图形 可能在两个图形的外部，也可以经过两个图形内部或它们的公共边（点）. 联系 1.都是沿着某条直线折叠后能重合. 2.若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称． ●二、轴对称的性质 1、轴对称的性质： （1）成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分． 如右图：直线MN是AA′, BB′,CC′的垂直平分线. 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． ③成轴对称的两个图形中，对应线段相等，对应角相等. （2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 2、找对称轴：若两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，因此只要找到一对对应点，再作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴．轴对称图形的对称轴作法相同． 3、、作一个图形关于某条直线成轴对称的方法： 先确定一些特殊的点，然后作这些特殊点的对称点，顺次连接即可． 【清单03】画已知图形的轴对称图形 画与已知图形成轴对称的图形的步骤： （1）找：观察已知图形，找出能代表已知图形的关键点（顶点或拐点）； （2）作：分别作出这些关键点关于对称轴对称的点； （3）连：按原图形的顺序依次连结相应的对称点. 【清单04】等腰三角形的概念及性质 ★1、等腰三角形的概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． ★2、等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写“等边对等角”). ★用符号语言表示为： 在△ABC中， ∵ AB=AC（已知）， ∴ ∠B＝∠C （等边对等角）. ★3、等腰三角形性质2：等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.简称：等腰三角形三线合一. ★用符号语言表示为： 在△ABC中， （1）∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)， ∴BD=CD , AD⊥BC（等腰三角形三线合一）. （2）∵AB=AC , BD=CD (已知)， ∴∠1=∠2 , AD⊥BC（等腰三角形三线合一）. （3）∵AB=AC , AD⊥BC(已知)， ∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）. ★在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． ★拓展：等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边上的高或底边上的中线）所在的直线. 【清单05】等边三角形的概念及性质 ★1、定义：三边相等的三角形叫作等边三角形或正三角形． ★2、性质：（1）等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴． （2）等边三角形的各角都等于60°． ★3、等边三角形与等腰三角形的性质比较： 等腰三角形 等边三角形 对称性 轴对称图形(1条) 轴对称图形(3条) 边 两腰相等 三边都相等 角 两底角相等 三个角都等于60° 特殊线 底边上的中线、高和顶角的平 分线互相重合(1条) 每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合(3条) 【清单06】等腰三角形的判定 等腰三角形的判定方法： ★1、定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形. ★2、判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.(简称“等角对等边”)． 几何语言： 在△ABC中， ∵ ∠B＝∠C（已知）， ∴ AB=AC （等角对等边）. ★3、等腰三角形的判定与性质的区别 条件 结论 作用 性质 (等边对等角) 在同一个三角形中，两边相等. 这两边所对的角也相等. 证明角相等. 判定 (等角对等边) 在同一个三角形中，两个角相等. 这两个角所对的边也相等. 证明线段相等. 【清单07】等边三角形的判定 ★1、等边三角形的判定 （1）三个角都相等的三角形是等边三角形． （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 ． ★2、等边三角形与等腰三角形判定的区别 图形 等腰三角形 等边三角形 判 定 从边看： 两条边相等的三角形是等腰三角形. 三条边都相等的三角形是等边 三角形. 从角看： 两个角相等的三角形是等 腰三角形. 三个角相等的三角形是等边三角形. 特别说明：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图法，我们也可以用这种方法确定线段的中点． 【清单07】互逆命题与互逆定理 ●一、互逆命题 ★1、互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题. 【注意】（1）任何一个命题都有逆命题，它们互为逆命题，“互逆”是指两个命题之间的关系； （2）原命题成立，它的逆命题不一定成立，反之亦然. ★2、写一个命题的逆命题的方法 写原命题的逆命题时，先将原命题写成“如果……，那么 ……”的形式，再互换条件与结论，进而写出原命题的逆命题. ●二、互逆定理 ★1、互逆定理：如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定理. 【注意】 （1）任何命题都有逆命题，但不一定每个定理都有逆定理.只有当原定理的逆命题能被证明是真命题时，才能称这个逆命题为原定理的逆定理. （2）互逆命题不一定都是真命题，但互逆定理一定都是真命题. 【清单08】线段垂直平分线的判定 ★1、线段的垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． ●●应用格式：（如右图） ∵ PA = PB，∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上． ●●作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 【清单09】直角三角形的两锐角互余的性 ★1、直角三角形的定义：有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．为了书写的方便，直角三角形可以与符号“Rt△”来表示．所以，直角三角形ABC可以记作 Rt△ABC ． ★2、直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余. 几何语言： 在△ABC 中，∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠C=90°. 【清单10】直角三角形斜边上中线的性质 ★1、直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 几何语言：∵ 在Rt△ABC中，点O是AB的中点， ∴ OB=AO=CO=AC. 【拓展】 （1）直角三角形斜边上的性质定理的逆命题“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”仍然成立，它可以用来判断一个三角形是否为直角三角形. （2）在直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半. ★2、直角三角形的这条性质与直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半都是证明线段倍分关系的重要依据．“直角三角形斜边上的中线性质适用于任何直角三角形”；“含30°角的直角三角形性质”仅适用于含30°角的特殊直角三角形. 【清单11】直角三角形的判定 ★直角三角形的判定方法： 方法 文字叙述 几何语言 图示 定义法 有一个角是直角的三角形是直角三角形. 在△ABC中，∵∠B=90° ,  ∴△ABC是直角三角形.                           判定定理 有两个角互余的三角形是直角三角形. 在△ABC 中，  ∵∠A+∠C=90°，  ∴△ABC是直角三角形. 【清单12】勾股定理 ●●勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2. ★1、勾股定理的应用条件：勾股定理只适用于直角三角形； ★2、勾股定理揭示的是直角三角形三边的关系，已知直角三角形中的任意两边可以求出第三边. ★3、勾股定理的几种变形式：勾股定理将“数”与“形”联系起来，体现了直角三角形三边之间的等量关系.如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，则a2 + b2 = c2、 a2 = c2 - b2、 b2 = c2 - a2；、、. 【拓展】 ◎1、锐角三角形的三边关系是：在锐角三角形中，若三边长分别为a，b，c，其中c为最大边，则a2+b2＞c2. ◎2、钝角三角形的三边关系是：在钝角三角形中，若三边长分别为a，b，c，其中c为最大边，则a2+b2＜c2. 【注意】 1.勾股定理是直角三角形的特殊性质，所以其适用的前提是直角三角形. 2.运用勾股定理时，一定要分清直角边和斜边，若没有明确哪条边是斜边，则需要分类讨论，写出所有可能的情况，以避免漏解或者错解. 【清单13】勾股定理的逆定理 ●勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.我们把这个定理叫做勾股定理的逆定理. ★1、用勾股定理判定直角三角形的步骤： ①先确定最长边，算出最长边的平方； ②计算另两边的平方和；． ③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形，且最长边所对的角就是直角，否则不是直角三角形. ★2、勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系： 勾股定理 勾股定理的逆定理 条 件 在Rt△ABC中，∠C=90° 在△ABC中，a2 + b2 = c2 结 论 a2 + b2 = c2 ∠C=90° 区 别 勾股定理是一个直角三角形为条件进而得到三边满足的数量关系a2+b2=c2，是由“形”到“数”. 勾股定理的逆定理的是以一个三角形的三边满足a2+b2=c2为条件进而得到这个三角形是直角三角形,即由“数”到“形”. 联 系 两者都与三角形的三边有关系. 【清单14】直角三角形全等的判定方法 ★利用“HL”判定两个三角形全等 1、文字语言：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简写成“斜边、直角边”或“HL”). 2、几何语言： ∵∠C=∠C′=90° 在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′中， ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL). 【注意】 “SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角. 3、判定两个直角三角形全等的方法： 判定一般三角形全等的方法对判定两个直角三角形全等全部适用，因此我们可以根据“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”这五种方法来判定两个直角三角形全等. 【清单15】角平分线的的判定 ★1、判定定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. ★2、应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. ◆3、定理的作用：判断点是否在角的平分线上. ◆4、角平分线的判定的几何语言： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE， ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上. ★拓展：三角形的三条角平分线交于三角形内一点，并且这点到三边的距离相等，反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点. 【注意】利用角平分线性质定理的逆定理证明点在角平分线上时，必须有“两垂直，一相等”这三个条件，缺一不可. 【题型一】轴对称图形的识别 【例1】中国剪纸是一种历史悠久的民间艺术，它以其独特的艺术形式和深厚的文化内涵，成为中国传统文化的重要组成部分，下列四幅作品中是轴对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 【变式1-1】以下图标是“慈溪文旅”的部分宣传图，其中图标是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，解题关键是掌握轴对称图形的概念．直接根据轴对称图形的概念分别解答得出答案．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形， 故选：C． 【变式1-2】下列图形中，不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，是解答本题的关键，根据轴对称图形逐项判断即可． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，符合题意； B、该图形可以找到对称轴，是轴对称图形，不符合题意； C、该图形可以找到对称轴，是轴对称图形，不符合题意； D、该图形可以找到对称轴，是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 【题型二】轴对称性质的应用 【例2】如图，中，D点在上，将D点分别以、为对称轴，画出对称点E、F，并连接、．根据图中标示的角度，求的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质，三角形内角和定理，解题的关键是利用轴对称的性质解答．连接，利用轴对称的性质和三角形内角和定理解答即可． 【详解】 解：连接， ∵D点分别以、为对称轴，得到点E、F， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 【变式2-1】小华在镜子中看到身后墙上的钟，你认为时间最接近时整的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了镜面对称的性质，熟练掌握镜面对称中像与现实事物左右颠倒且关于镜面对称是解题的关键．根据镜面对称的性质，判断每个选项中镜子里的时间对应的实际时间，找出最接近8时整的． 【详解】解：∵镜面对称的性质是：在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，且关于镜面对称． ∴8时整时，时针指向8，分针指向12，在镜子里看到的应该是4时整（时针指向4，分针指向12）． 对于选项A，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整； 对于选项B，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整； 对于选项C，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整； 对于选项D，镜子里的时间对应的实际时间最接近8时整． 故选：D． 【变式2-2】如图是一个经过改造的规格为4×7的台球桌面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过台球边缘多次反弹），那么球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】D． 【分析】根据题意，画出图形，由轴对称的性质判定正确选项． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 所以球最后将落入的球袋是4号袋， 故选：D． 【变式2-3】如图，在3×3的正方形网格中两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意一个涂黑，使得整个图形（包括网格）构成一个轴对称图形，那么涂法共有（　　） A．4种 B．5种 C．6种 D．7种 【答案】B． 【详解】解：如图所示：所标数字之处都可以构成轴对称图形． 故选：B． 【题型三】与轴对称有关的探索规律问题 【例3】如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第9次碰到矩形的边时的点为图中的（　　） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，进而确定位置即可． 【详解】解：如图所示，小球反弹6次回到点P处，而9﹣6＝3， ∴第9次碰到矩形的边时的点为图中的点N． 故选：D． 【变式3-1】如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（　　） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2022除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的位置即可． 【详解】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点P， ∵2022÷6＝337， ∴当点P第2022次碰到矩形的边时为第337个循环组的第6次反弹， ∴第2022次碰到矩形的边时的点为图中的点P， 故选：A． 【变式3-2】下面四个图形是标出了长宽之比的台球桌的俯视图，一个球从一个角落以45°角击出，在桌子边沿回弹若干次后，最终必将落入角落的一个球囊．图1中回弹次数为1次，图2中回弹次数为2次，图3中回弹次数为3次，图4中回弹次数为5次．若某台球桌长宽之比为5：4，按同样的方式击球，球在边沿回弹的次数为（　　）次． A．6 B．7 C．8 D．9 【分析】根据题意画出图形，然后即可作出判断． 【详解】解：根据图形可得总共反射了7次． 故选：B． 【变式3-3】如图1，已知△ABD和△ACD关于直线AD对称；在射线AD上取点E，连接BE，CE，如图2，在射线AD上取点F连接BF，CF，如图3，依此规律，第6个图形中全等三角形的对数是（　　） A．10 B．15 C．21 D．28 【分析】根据条件可得图1中△ABD≌△ACD有1对三角形全等；图2中可证出△ABD≌△ACD，△BDE≌△CDE，△ABE≌△ACE有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，根据数据可分析出第6个图形中全等三角形的对数． 【详解】解：∵△ABD和△ACD关于直线AD对称， ∴∠BAD＝∠CAD． 在△ABD与△ACD中， ∴△ABD≌△ACD（SAS）． ∴图1中有1对三角形全等； 同理图2中，△ABE≌△ACE（SAS）， ∴BE＝EC， ∵△ABD≌△ACD． ∴BD＝CD， 在△BDE和△CDE中， ∴△BDE≌△CDE（SSS）， ∴图2中有1+2＝3对三角形全等； 同理：图3中有1+2+3＝6对三角形全等； 由此发现：第n个图形中全等三角形的对数是． 所以：第6个图形中全等三角形的对数是， 故选：C． 【题型四】利用轴对称解决最短路径问题 【例4】，两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边上修建一个自来水厂，分别向两个小镇供水．要使所用水管总长度最短，则下列图形中，自来水厂的位置正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形最短线段问题，根据轴对称的性质作图即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，可得， 则， 由两点之间线段最短，此时的值最小，即所用水管总长度最短， 故选：． 【变式4-1】如图，在中，，，的面积为，平分，点，分别为，上动点，连结，，则的最小值为（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题考查轴对称—最短路线问题，垂线段最短．作F关于的对称点为M，作边上的高，求出，根据垂线段最短得出，求出即可得出的最小值． 【详解】解：作F关于的对称点为M，作边上的高， ∵平分， ∴M必在上， ∵F关于的对称点为M， ∴， ∴，即 (垂线段最短)， ∵的面积为，， ∴， ∴，即的最小值为5． 故选：B 【变式4-2】如图，在中，，，，，点D、E分别是边、上的动点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称求最短距离，垂直平分线的性质，等面积法求三角形的高，利用轴对称和垂线段最短将线段和的最小转化为线段是解题的关键． 延长至点，使得，利用轴对称和垂线段最短说明 当时，有最小值，为的长，再利用等面积法求的长． 【详解】延长至点，使得，连接，，，如下图所示： 又， 垂直平分， ， ， 当，D，E三点共线时，等号成立， 当时，有最小值，即有最小值，为的长． 当时，由得， ， 解得， 综上可知，的最小值为． 故选：D． 【题型五】等腰三角形性质的应用 【例5】如图，在中，点是边上的一点，且，延长至点，使得．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理与外角性质，由等边对等角得到，，再由三角形外角得到，结合，最后根据计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式5-1】如图，点P为内一点，过点P的线段分别交，于点M，N，且M，N分别在，的垂直平分线上．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据平角的概念求出，根据线段垂直平分线的性质得到，，得到，，根据三角形的外角性质、三角形内角和定理计算，得到答案． 【详解】解：， ． ，N分别在，的垂直平分线上， ，． ，． ，， ． ． 故选：B． 【变式5-2】如图，在中，平分交于点D，E为上一点，连接，，F是的中点，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查角平分线定义，平行线的性质，等角对等边，等腰三角形的性质： （1）根据角平分线及平行线推出，即可得到． （2）根据平行线的性质求出，再利用等腰三角形的性质求出的度数． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵，F是的中点， ∴． 【变式5-3】如图，在等腰三角形中，是的高线，边的垂直平分线分别交于点，连接． (1)若，求的长度； (2)求的度数． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据三线合一得到垂直平分，则，再由是边的垂直平分线得到，即可得到； （2）根据三线合一得到，而，再由等边对等角即可求解． 【详解】（1）解：∵，是的高线， ∴， ∴垂直平分， ∴ ∵是边的垂直平分线 ∴， ∴； （2）解：∵是的高线， ∴ ∵， ∴． 【题型六】等腰三角形性质的证明 【例6】如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，过点A分别作AD⊥BD、AE⊥CE，且AE＝AD．求证：∠EAB＝∠DAC． 【答案】(1)证明见解析 【分析】由等腰三角形的判定定理得出AB＝AC，由HL证明Rt△AEC≌Rt△ADB，根据全等三角形的性质得∠EAC＝∠DAB，即可即可得出结论． 【详解】证明：∵∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC， ∵AD⊥BD，AE⊥CE， ∴∠D＝∠E＝90°， 即△AEC和△ADB是直角三角形， 在Rt△AEC和Rt△ADB中， ， ∴Rt△AEC≌Rt△ADB（HL）， ∴∠EAC＝∠DAB， ∴∠EAC﹣∠BAC＝∠DAB﹣∠BAC， ∴∠EAB＝∠DAC． 【变式6-1】如图，在中，，E为边上的点，且，D为线段的中点，过点E作，过点A作，且相交于点F． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得，由余角的性质可得； （2）由“”可证，可得． 【详解】（1）证明：∵，D为线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式6-2】如图，，，，点是边的中点．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰三角形三线合一的性质； （1）根据证明即可； （2）根据全等三角形的性质得出，进而利用等腰三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：在与中， ， ； （2）由（1）可知，， ， 点是边的中点， ． 【变式6-3】如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质， 对于（1），连接，根据线段垂直平分线的性质得，进而得出，再根据等腰三角形的性质得出答案； 对于（2），设，可得，再根据外角的性质得， 进而得出，然后根据三角形的内角和定理得，求出解可得答案. 【详解】（1）解：连接， ∵垂直平分， ∴. ∵， ∴. ∵D是的中点 ∴； （2）解：设， ∵， ∴， ∴由三角形的外角的性质，. ∵， ∴. 在三角形中，, 解得， ∴. 【题型七】等腰三角形的判定 【例7】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F． 求证：△ABC是等腰三角形． 【分析】由条件可得出DE＝DF，可证明△BDE≌△CDF，可得出∠B＝∠C，再由等腰三角形的判定可得出结论． 【详解】证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F， ∴DE＝DF， 在Rt△BDE和Rt△CDF中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）， ∴∠B＝∠C； ∴AB=AC ∴△ABC为等腰三角形． 【变式7-1】已知：如图，AD是等腰三角形ABC的底边BC上的中线，DE∥AB，交AC于点E． 求证：△AED是等腰三角形． 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠BAD＝∠CAD，根据平行线的性质得到∠ADE＝∠BAD，等量代换得到∠ADE＝∠CAD于是得到结论． 【详解】解：∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AD是底边BC上的中线， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵DE∥AB， ∴∠ADE＝∠BAD， ∴∠ADE＝∠CAD ∴AE＝ED， ∴△AED是等腰三角形． 【变式7-2】如图：△ABC的边AB的延长线上有一个点D，过点D作DF⊥AC于F，交BC于E，且BD＝BE，求证：△ABC为等腰三角形． 【分析】要证△ABC为等腰三角形，须证∠A＝∠C，而由题中已知条件，DF⊥AC，BD＝BE，因此，可以通过角的加减求得∠A与∠C相等，从而判断△ABC为等腰三角形． 【详解】证明：∵DF⊥AC， ∴∠DFA＝∠EFC＝90°． ∴∠A＝∠DFA﹣∠D，∠C＝∠EFC﹣∠CEF， ∵BD＝BE， ∴∠BED＝∠D． ∵∠BED＝∠CEF， ∴∠D＝∠CEF． ∴∠A＝∠C． ∴△ABC为等腰三角形． 【变式7-3】已知如图，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD＝CE，FD＝FE．求证：△ABC是等腰三角形． 【分析】过点D作DG∥AE于点G，利用平行线的性质得出∠GDF＝∠CEF，进而利用ASA得出△GDF≌△CEF，再利用全等三角形的性质以及等腰三角形的判定得出即可． 【详解】证明：过点D作DG∥AE于点G， ∵DG∥AC ∴∠GDF＝∠CEF（两直线平行，内错角相等）， 在△GDF和△CEF中， ， ∴△GDF≌△CEF（ASA）， ∴DG＝CE 又∵BD＝CE， ∴BD＝DG， ∴∠DBG＝∠DGB， ∵DG∥AC， ∴∠DGB＝∠ACB， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形． 【题型八】等边三角形的性质 【例8】如图，AD是等边三角形ABC的中线，点E在AC上，AE＝AD，则∠EDC等于（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【答案】A． 【分析】由等边三角形的性质可求解∠CAD＝30°，AD⊥BC，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠ADE的度数，进而可求解． 【详解】解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝∠C＝60°， ∵AD是等边三角形ABC的中线， ∴∠CAD∠BAC＝30°，AD⊥BC， ∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED， ∵∠AED+∠ADE+∠CAD＝180°， ∴∠ADE＝75°， ∴∠EDC＝15°， 故选：A． 【变式8-1】和均是等边三角形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握运用以上知识是解决本题的关键．首先根据边角边定理证明，再根据三角形全等的性质可得到，最后根据三角形的内角和定理，角之间的关系可得最终结果． 【详解】解： 和均是等边三角形， ，，， ， ， 又 ， ， ， ， 则 解得， 故选：B． 【变式8-2】如图，△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，过点E作EF⊥AB于点F，延长BC交EF的反向延长线于点D，若EF＝1，则DF的长为 　　 ． 【答案】3． 【分析】过点C作CH⊥DE于点H，易证△AFE≌△CHE（AAS），根据全等三角形的性质可得EH＝EF＝1，再证明△CDE是等腰三角形，可得DH＝EH＝1，进一步可得DF的长． 【详解】解：过点C作CH⊥DE于点H， 则∠CHE＝90°， ∵EF⊥AB， ∴∠AFE＝90°， ∴∠AFE＝∠CHE， ∵E是AC的中点， ∴AE＝CE， 在△AFE和△CHE中， ， ∴△AFE≌△CHE（AAS）， ∴EH＝EF＝1， 在等边△ABC中，∠B＝∠ACB＝60°， ∵∠BFE＝90°， ∴∠D＝30°， ∴∠DEC＝60°﹣30°＝30°， ∴CE＝CD， ∴△CDE是等腰三角形， ∵CH⊥DE， ∴DH＝EH＝1， ∴DF＝DH+EH+EF＝3， 故答案为：3． 【变式8-3】如图，点D在等边△ABC的外部，E为BC边上的一点，AD＝CD，DE交AC于点F，AB∥DE． （1）判断△CEF的形状，并说明理由； （2）若BC＝10，CF＝4，求DE的长． 【分析】（1）利用平行线的性质，证明∠CEF＝∠ABC，∠CFE＝∠CAB，然后利用三个角相等的三角形是等边三角形即可解答； （2）连接BD，根据已知易证BD是线段AC的垂直平分线，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得BD平分ABC，最后根据角平分线和平行证明△BDE是等腰三角形即可解答． 【详解】解：（1）△CEF是等边三角形， 理由：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC， ∵AB∥DE， ∴∠CEF＝∠ABC，∠CFE＝∠CAB， ∴∠CEF＝∠CFE＝∠ECF ∴△CEF是等边三角形； （2）连接BD， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC， ∵AD＝CD， ∴BD是线段AC的垂直平分线， ∴BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵AB∥DE ∴∠ABD＝∠BDE， ∴∠BDE＝∠CBD， ∴BE＝DE， ∴BC＝BE+EC＝DE+CF ∴DE＝BC﹣CF＝10﹣4＝6． 【题型九】等边三角形的判定 【例9】下列对△ABC的判断，错误的是（　　） A．若AB＝AC，∠B＝60°，则△ABC是等边三角形 B．若∠A：∠B：∠C＝3：4：7，则△ABC是直角三角形 C．若∠A＝20°，∠B＝80°，则△ABC是等腰三角形 D．若AB＝BC，∠C＝40°，则∠B＝40° 【答案】D． 【分析】根据等腰三角形，等边三角形，直角三角形的判定以及三角形的内角和定理即可作出判断． 【详解】解：A．若AB＝AC，∠B＝60°，则∠A＝60°，∠C＝60°，所以△ABC是等边三角形，故此选项判断正确，不符合题意； B．若∠A：∠B：∠C＝3：4：7，则∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形，故此选项判断正确，不符合题意； C．若∠A＝20°，∠B＝80°，则∠C＝80°，所以△ABC是等腰三角形，故此选项判断正确，不符合题意； D．若AB＝BC，∠C＝40°，则∠B＝100°，故此选项判断错误，符合题意． 故选：D． 【变式9-1】如图，已知是等边三角形，且．试问：是等边三角形吗？请说明理由． 【答案】是等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定定理是解题的关键，利用是等边三角形并结合已知条件可得到，利用相同的方法可证，从而证得是等边三角形． 【详解】解：是等边三角形．理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∴． ∵， ∴． 同理， ∴是等边三角形． 【变式9-2】如图，点P是等边三角形内一点，D是延长线上一点，，， 求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，根据等边三角形性质得，进而依据“”判定和全等得，由此得，据此即可得出结论． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， ∴是等边三角形． 【变式9-3】已知：如图，在中，，D是边的中点，，点E、F为垂足． (1)求的度数； (2)求证：； (3)求证：是等边三角形． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）根据等腰三角形“等边对等角”的性质可得，结合以及三角形内角和定理，即可获得答案； （2）首先证明，，然后根据“”证明即可； （3）首先根据全等三角形的性质证明，再证明，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）由（1）得， ∵D是边的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （3）由（2）得，， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【题型十】逆命题与逆定理 【例10】下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．无理数就是开方开不尽的数 B．全等三角形的对应角相等 C．若，则 D．各边相等的多边形是正多边形 【答案】B 【分析】本题主要考查了逆命题，真假命题， 先说明各命题的逆命题，再判断真假可得答案. 【详解】解：因为A的逆命题是：开方开不尽的数是无理数，是真命题，所以不符合题意； 因为B的逆命题是：对应角相等的三角形是全等三角形，是假命题，所以符合题意； 因为C 的逆命题是：若，则，是真命题，所以不符合题意； 因为D的逆命题是：正多边形的各边都相等，是真命题，所以不符合题意. 故选：B. 【变式10-1】下列命题的逆命题为真命题的是（   ） A．无理数是无限小数 B．若，则 C．对顶角相等 D．等边三角形的三个角都等于 【答案】D 【分析】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大． 分别写出原命题的逆命题后判断正误即可． 【详解】解：A、逆命题为：如果一个数是无限小数，那么它是无理数，错误，是假命题，因为无限循环小数是有理数，该选项不符合题意； B、逆命题为：若，则，错误，是假命题，因为，则，该选项不符合题意； C、逆命题为：相等的角为对顶角，错误，是假命题，因为相等的角不一定是对顶角，该选项不符合题意； D、逆命题为：三个角都是的三角形是等边三角形，正确，是真命题，该选项符合题意； 故选：D． 【变式10-2】下列定理没有逆定理的是（        ） A．两直线平行，内错角相等 B．全等三角形的对应角相等 C．直角三角形两锐角互余 D．等腰三角形两底角相等 【答案】B 【分析】本题考查逆命题，判断命题的真假． 根据原命题写出逆命题，判断是否为真命题即可． 【详解】解：A．原命题“两直线平行，内错角相等”的逆命题为“内错角相等，两直线平行”，该逆命题为真命题，故A有逆定理，不符合题意； B．原命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题为“对应角相等的三角形全等”，该逆命题为假命题，故B无逆定理，符合题意； C．原命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题为“两锐角互余的三角形是直角三角形”，该逆命题为真命题，故C有逆定理，不符合题意； D．原命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题为“两角相等的三角形是等腰三角形”，该逆命题为真命题，故D有逆定理，不符合题意． 故选：． 【变式10-3】 下列命题中，逆命题成立的有（   ） ①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们相等；③全等三角形的对应边相等；④线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了写出命题的逆命题，命题真假的判定，判断每个命题的逆命题是否正确，需先写出逆命题，再根据相关定理判断其真假． 【详解】解：①原命题：同旁内角互补，两直线平行． 逆命题：两直线平行，同旁内角互补． 根据平行线性质，两直线平行时同旁内角互补，逆命题成立． ②原命题：如果两个角是直角，那么它们相等． 逆命题：如果两个角相等，那么它们是直角． 相等的角不一定是直角（如角），逆命题不成立． ③原命题：全等三角形的对应边相等． 逆命题：对应边相等的三角形全等． 根据全等三角形判定定理，三边对应相等的三角形全等，逆命题成立． ④原命题：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 逆命题：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上． 根据垂直平分线判定定理，逆命题成立． 综上，逆命题成立的为①、③、④，共3个， 故选C． 【题型十一】线段的垂直平分线的判定 【例11】下面是作线段的垂直平分线的尺规作图方法． 如图所示，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点和，作直线． 这样作的理由是（   ） ①等腰三角形的三线合一 ②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 ③两点确定一条直线 ④到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 A．① B．②③ C．③④ D．④ 【答案】C 【分析】本题考查了作垂线，垂直平分线的判定，两点确定一条直线，先结合作图过程，得出都在的垂直平分线上，两点所在直线即为的垂直平分线，故这样作的理由是到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，以及两点确定一条直线，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： 依题意，， 即都在的垂直平分线上， ∴两点所在直线即为的垂直平分线， ∴这样作的理由是到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，以及两点确定一条直线 故选：C 【变式11-1】如图所示，现要在一块三角形草坪上建一凉亭供大家休息，使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（    ） A．三条角平分线的交点 B．三条高所在直线的交点 C．三条中线的交点 D．三边的垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，根据到线段的端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵凉亭到草坪三个顶点的距离相等， ∴凉亭的位置应选在三边的垂直平分线的交点， 故选：D 【变式11-2】如图，已知：，则下列说法正确的个数有（     ） （1）平分             （2）垂直平分 （3）与互相垂直平分      （4）平分 A．一个 B．两个 C．三个 D．四个 【答案】A 【分析】此题考查了垂直平分线的判定，等腰三角形三线合一． 由，，可得点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上，即可得垂直平分，进而得到平分． 【详解】，， 点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上， 垂直平分． ∴平分 ∴说法正确的个数有一个 故选：A． 【变式11-3】如图，在中，边的垂直平分线分别交于点 M，D，边的垂直平分线分别交于点 N，E，的延长线交于点 O． (1)若，求的周长． (2)试判断点O 是否在的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1)12 (2)点O 在的垂直平分线上，理由见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． （1）利用线段垂直平分线的性质得出相等线段，然后利用等量代换进行求解即可； （2）连接，得出相等线段，利用线段垂直平分线的判定定理进行证明即可． 【详解】（1）解：∵的垂直平分线分别交于点D，E， ∴， ∴， ∴的周长为12； （2）解：点O在的垂直平分线上，理由如下： 如图，连接， ∵分别垂直平分， ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上． 【题型十二】直角三角形的性质 【例12】如图，Rt△ABC和Rt△ADE中，∠D＝∠C＝90°，∠B＝30°，点E在线段BC上，DE交AC于点F，若DE∥AB，则∠DAF的度数为（　　） A．15° B．20° C．22.5° D．30° 【答案】D． 【分析】由直角三角形的两个锐角互余，求出∠CAB＝60°，由DE∥AB，得出∠D+∠DAB＝90°，求出 ∠DAB＝90°，即可求出∠DAF的度数． 【详解】解：在Rt△ABC中， ∵∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠CAB＝90°﹣30°＝60°， ∵DE∥AB， ∴∠D+∠DAB＝180°，∵∠D＝90°， ∴∠DAB＝180°﹣90°＝90°， ∴∠DAF＝∠DAB﹣∠CAB＝90°﹣60°＝30°． 故选：D． 【变式12-1】如图，中，，若恰好经过点B，交于D，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键． 根据全等三角形的性质可得，，结合内角和定理可得，由等腰三角形的性质可得，由内角和定理可得，则，再次利用内角和定理就可求出的度数． 【详解】∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：B． 【变式12-2】如图，已知直线a∥b，Rt△ABC的顶点A在直线a上，∠C＝90°，∠BAC＝55°，若∠2＝35°，则∠1的度数是 　 　． 【答案】70°． 【分析】根据直角三角形的性质求出∠B，根据三角形的外角性质求出∠AED，再根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝55°， 则∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣55°＝35°， ∵∠2＝35°， ∴∠BDE＝35°， ∵∠AED是△BED的外角， ∴∠AED＝∠B+∠BDE＝70°， ∵a∥b， ∴∠1＝∠AED＝70°， 故答案为：70°． 【变式1-3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝25°，则∠CDE＝　 　． 【答案】70°． 【分析】根据折叠的性质和直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，∠ACB＝90°， ∴∠BCD＝∠ECD＝45°，∠B＝∠CED， ∵∠A＝25°， ∴∠B＝90°﹣25°＝65°， ∴∠CED＝65°， ∴∠CDE＝180°﹣45°﹣65°＝70°， 故答案为：70°． 【题型十三】直角三角形的判定 【例13】在下列条件中：①∠A﹣∠B＝90°；②∠A＝∠B﹣∠C；③∠A＝∠B＝2∠C；④∠A＝∠B∠C中，不能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B． 【分析】利用数值法判断①，利用直角三角形的性质判断②，利用三角形的内角和定理通过计算判断③④后得结论． 【详解】解：①当∠A＝100°，∠B＝10°，此时∠C＝70°，该三角形不是直角三角形，故满足∠A﹣∠B＝90°，不能确定△ABC是直角三角形； ②由∠A＝∠B﹣∠C，可得到∠A+∠C＝∠B，该三角形是直角三角形，故满足∠A＝∠B﹣∠C°，能确定△ABC是直角三角形； ③由∠A＝∠B＝2∠C，可得∠A＝∠B＝72°，∠C＝36°，该三角形不是直角三角形，故满足∠A＝∠B＝2∠C不能确定△ABC是直角三角形； ④由∠A＝∠B∠C，可得∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，该三角形是直角三角形，故满足∠A＝∠B∠C，能确定△ABC是直角三角形． 故选：B． 【变式13-1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD平分∠ABC，且∠CAD＝∠CBD， 求证：△ABD是直角三角形． 【分析】证明∠ABD＝∠CAD，得到∠BAD+∠ABD＝90°，即可证明△ABD是直角三角形． 【详解】证明：在Rt△ABC中， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAD＝90°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵∠CAD＝∠CBD， ∴∠ABD＝∠CAD， ∴∠BAD+∠ABD＝90°， ∴△ABD是直角三角形． 【变式13-2】如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B．求证：△ACD是直角三角形． 【分析】根据直角三角形的性质得到∠A+∠B＝90°，根据题意得出∠ADC＝90°，证明结论． 【详解】证明：∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∵∠ACD＝∠B， ∴∠A+∠ACD＝90°， ∴∠ADC＝90°， ∴△ACD是直角三角形． 【变式13-3】如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝62°，AE平分∠BAC． （1）求∠BAE； （2）若AD⊥BC于点D，∠ADF＝74°，证明：△ADF是直角三角形． 【分析】（1）在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝62°，根据三角形内角和定理，可求得∠BAC的度数，由AE平分∠BAC，根据角平分线的定义，可求得∠BAE的度数； （2）由AD⊥BC，根据直角三角形的性质，可求得∠BAD的度数，继而求得∠DAE的度数，则可求得∠ADF的度数． 【详解】（1）解：∵∠B＝30°，∠C＝62°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣30°﹣62°＝88°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE∠BAC88°＝44°； （2）证明：∵AD⊥BC； ∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°， ∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝60°﹣44°＝16°， ∵∠ADF＝74°， ∴∠ADF+∠EAD＝74°+16°＝90°， ∴∠AFD＝90°， ∴△ADF是直角三角形． 【题型十四】利用直角三角形斜边上的中线的性质的计算 【例14】 如图，在中，于F，于E，M为的中点，，，的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线和三角形的周长，解题的关键是利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求线段的长． 根据于F，于E，M为的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出和的长，即可求解． 【详解】解：∵，M为的中点， ∴为斜边上的中线， ∴， 同理可得：， ∵， ∴的周长． 【变式14-1】如图，在中，是斜边上的中线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在中，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再由等腰三角形的判定与性质，根据等边对等角确定，最后由三角形外角性质代值求解即可得到答案． 【详解】解：在中，是斜边上的中线， ， 则， 是的一个外角， ， 故选：A． 【变式14-2】如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点、、对应的刻度分别为（单位：），则的长度为（   ） A．6 B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半，理解图示是关键，根据题意得到，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求解． 【详解】解：根据题意得到， ∴点是的中点， ∴， 故选：D ． 【变式14-3】如图，一根竹竿斜靠在竖直的墙上，点P是中点，表示竹竿沿墙滑动过程中的某个位置，则的长（   ） A．下滑时，的长度增大 B．上升时，的长度减小 C．只要滑动，的长度就变化 D．无论怎样滑动，的长度不变 【答案】D 【分析】此题考查了直角三角形斜边上的中线，解题的关键是熟练掌握以上知识点．根据直角三角形斜边上的中线性质得出答案即可． 【详解】解：∵，P为的中点， ∴， 即的长在竹竿滑动过程中始终保持不变， 故选：D． 【题型十五】直角三角形斜边上的中线的性质的证明 【例15】已知：如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝45°，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线． （1）求证：AE＝CD； （2）求∠ACE的度数． 【分析】（1）连接DE，根据垂直定义可得∠ADC＝∠ADB＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠BAD＝60°，∠DAC＝45°，进而可得AD＝CD，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得BE＝DE＝AE，从而可得△AED是等边三角形，进而可得AD＝AE，最后利用等量代换即可解答； （2）利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠EDB＝30°，从而可得∠DEC+∠DCE＝30°，再利用（1）的结论可得DE＝DC，然后利用等腰三角形的性质可得∠DEC＝∠DCE＝15°，最后利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：连接DE， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝∠ADB＝90°， ∵∠B＝30°，∠ACB＝45°， ∴∠BAD＝90°﹣∠B＝60°，∠DAC＝90°﹣∠ACD＝45°， ∴∠DAC＝∠ACD＝45°， ∴AD＝CD， ∵点E是AB的中点，∠ADB＝90°， ∴BE＝DE＝AEAB， ∴△AED是等边三角形， ∴AD＝AE， ∴AE＝DC； （2）解：∵DE＝EB， ∴∠B＝∠EDB＝30°， ∴∠DEC+∠DCE＝30°， ∵DE＝AD，AD＝CD， ∴DE＝DC， ∴∠DEC＝∠DCE＝15°， ∴∠ACE＝∠ACD﹣∠DCE＝30°， ∴∠ACE的度数为30°． 【变式15-1】已知，在中，，作平分． (1)求证：； (2)点为的中点，点为的中点，连接，，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形性质及判定、直角三角形性质， （1）先证明，结合得出，即可证明结论； （2）连接，根据直角三角形性质得出，由等腰三角形性质得出，进而证明，即可证明结论． 【详解】（1）证明：在中，， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ； （2）连接， ，点为的中点， ， ∵点为的中点，， ∴， ， ∵点为的中点， ∴， ∴． 【变式15-2】如图，在中，为上的中线，，垂足为点E，点F为中点，连接． (1)求证：． (2)已知，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质和判定，线段垂直平分线的性质和判定， 对于（1），根据等腰三角形的性质得，再根据直角三角形的性质得，然后根据直角三角形的性质得，可得答案； 对于（2），先求出，即可得，接下来说明，进而得垂直平分再根据等腰三角形的性质得， 然后根据得出答案． 【详解】（1）证明：∵为上的中线， ∴， ∴是直角三角形. ∵点F为中点， ∴. ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵点F为中点， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 由（ 1）知， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴垂直平分 ∴， ∴， ∴． 【题型十六】利用勾股定理求线段长 【例16】如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD平分∠BAC，则AD等于（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C． 【分析】根据等腰三角形的三线合一得到AD⊥BC，BD＝DCBC＝6，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，BD＝DCBC＝6， 在Rt△ABD中，AD8， 故选：C． 【变式16-1】 如图，中，于D，E是的中点，若，，则的长为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，根据直角三角形的性质求出，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵，E是的中点， ∴， 在中，， 故选：D． 【变式16-2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，则点C到直线AB的距离是（　　） A． B．3 C． D．2 【答案】C． 【分析】作CD⊥AB于点D，根据勾股定理可以求得AB的长，然后根据面积法，可以求得CD的长． 【详解】解：作CD⊥AB于点D，如右图所示， ∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB5， ∵， ∴， 解得CD＝2.4， 故选：C． 【变式16-3】如图，在△ABC中，过点A作BC的垂线交BC的延长线于点D，已知AC＝13，BC＝11，AD＝12，则AB的长度为（　　） A．15 B．16 C．18 D．20 【答案】D． 【分析】先利用勾股定理求解CD的长，即可得BD的长，再利用勾股定理可求解AB的长． 【详解】解：∵AD⊥BC， ∴∠D＝90°， 在Rt△ACD中，AC＝13，AD＝12， ∴CD， ∵BC＝11， ∴BD＝BC+CD＝11+5＝16， 在Rt△ABD中，AB， 故选：D． 【题型十七给】勾股定理的证明 【例17】如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，大正方形的面积为41，小正方形的面积为1，设直角三角形较短直角边长为a，较长直角边长为b，则a+b的值为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D． 【分析】结合题意，根据小三角形的面积可以得出ab＝20，再根据勾股定理即可得出a2+b2＝41，即可得出答案． 【详解】解：根据题意得，每个小三角形的面积为， ∴ab＝20， ∵a2+b2＝c2＝41， ∴， 故选：D． 【变式17-1】我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明．古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 【分析】由正方形面积公式、三角形面积公式以及梯形面积公式分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、大正方形的面积为：c2， 也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4+（b﹣a）2＝a2+b2， ∴a2+b2＝c2，故A选项能证明勾股定理； B、大正方形的面积为：（a+b）2， 也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a2+b2+2ab， ∴（a+b）2＝a2+b2+2ab， ∴B选项不能证明勾股定理． C、大正方形的面积为：（a+b）2； 也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4+c2＝2ab+c2， ∴（a+b）2＝2ab+c2， ∴a2+b2＝c2，故C选项能证明勾股定理； D、梯形的面积为：（a+b）（a+b）（a2+b2）+ab， 也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：ab×2c2＝abc2， ∴（a2+b2）+ab＝abc2， ∴a2+b2＝c2，故D选项能证明勾股定理； 故选：B． 【变式17-2】勾股定理被誉为“几何明珠”，如图是我国古代著名的“赵爽弦图”，它由4个全等的直角三角形拼成，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用a、b表示直角三角形的两直角边（a＞b），则下列说法：①a2+b2＝25，②a﹣b＝1，③ab＝12，④a+b＝7．正确的是（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【分析】根据勾股定理和大正方形面积为25，可以判断①；根据小正方形面积为1，可以判断②；根据大正方形面积为25，小正方形面积为1，可以得到四个直角三角形的面积，从而可以得到ab的值，即可判断③；根据完全平方公式可以判断④． 【详解】解：由图可得， a2+b2＝c2＝25，故①正确； ∵小正方形面积为1， ∴小正方形的边长为1， ∴a﹣b＝1，故②正确； ∵大正方形面积为25，小正方形面积为1， ∴ab＝（25﹣1）÷4， 解得ab＝12，故③正确； ∵a2+b2＝25，ab＝12， ∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝49， ∴a+b＝7，故④正确； 故选：D． 【变式17-3】如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（　　） A．36 B．76 C．66 D．12 【分析】由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个． 【详解】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则 x2＝122+52＝169， 所以x＝13， 所以这个风车的外围周长是：（13+6）×4＝76． 故选：B． 【题型十八】勾股定理的实际应用 【例18】如图有一个水池，水面BE的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是（　　） A．26尺 B．24尺 C．17尺 D．15尺 【答案】C． 【分析】先设水池的深度为x尺，则这根芦苇的长度为（x+2）尺，根据勾股定理可得方程x2+82＝（x+2）2，再解即可． 【详解】解：设水池的深度为x尺，由题意得： x2+82＝（x+2）2， 解得：x＝15， 所以x+2＝17． 即：这个芦苇的高度是17尺． 故选：C． 【变式18-1】勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷． 如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推6m至C处时（即水平距离CD＝6m），踏板离地的垂直高度CF＝4m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（　　）m． A． B． C．6 D． 【答案】B． 【分析】设绳长为xm，再根据直角三角的勾股定理列方程，解方程即可． 【详解】解：设绳长为x米， 在Rt△ADC中， AD＝AB﹣BD＝AB﹣（DE﹣BE）＝x﹣（4﹣1）＝（x﹣3）米， DC＝6m，AC＝x米， ∴AB2+DC2＝AC2， 根据题意列方程：x2＝（x﹣3）2+62， 解得：x， ∴绳索AC的长是． 故选：B． 【变式18-2】“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”某校八（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.5米． (1)求风筝的垂直高度． (2)如果小明想让风筝沿方向下降9米，那么他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）如图，在上取点，使米，根据勾股定理求出，再计算即可； 【详解】（1）解：根据题意得：米，米，米， 在中，米，米， ∴（米）， ∴（米）， ∴风筝的垂直高度为米； （2）如图，在上取点，使米，连接， ∴（米）， 在中，（米），（米）， ∴（米）， ∴（米）， 答：他应该往回收线米． 【变式18-3】如图，两条公路l1、l2交于点O，在公路l2旁有一学校A，与O点的距离为170m，点A（学校）到公路l1的距离AM为80m，一大货车从O点出发，行驶在公路l1上，汽车周围100m范围内有噪音影响． （1）货车开过学校是否受噪音影响？为什么？ （2）若汽车速度为80km/h，则学校受噪音影响多少秒钟？ 【分析】（1）根据点A（学校）到公路l1的距离AM为80m，一大货车从O点出发，行驶在公路l1上，汽车周围100m范围内有噪音影响，即可得出结论； （2）设货车开过，在点B至点D学校受噪音影响，则AB＝AD＝100m，由等腰三角形的性质得BM＝DM，再由勾股定理得BM＝60m，则BD＝120m，即可解决问题． 【详解】解：（1）货车开过学校受噪音影响，理由如下： ∵点A（学校）到公路l1的距离AM为80m，大货车从O点出发，行驶在公路l1上，汽车周围100m范围内有噪音影响，80＜100， ∴货车开过学校受噪音影响； （2）如图，设货车开过，在点B至点D学校受噪音影响，则AB＝AD＝100m， ∵AM⊥l1， ∴BM＝DM， 由勾股定理得：BM60（m）， ∴BD＝2BM＝120（m）， ∵汽车速度为80km/h＝22m/s， ∴影响时间＝120÷225.4（秒）， 答：学校受噪音影响5.4秒钟． 【题型十九】勾股定理的规律探究题 【例19】图甲是第七届国际数学教育大会（ICME﹣7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2）演化而成的．如图乙中的OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，按此规律，在线段OA1，OA2，OA3，…，OA20中，长度为整数的线段有（　　）条． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B． 【分析】OA1＝1，根据勾股定理可得OA2，OA3，找到OAn的规律，即可得到结论． 【详解】解：∵OA1＝1， ∴由勾股定理可得OA2， OA3， …， ∴OAn， ∴在线段OA1，OA2，OA3，…，OA20中，完全平方数有1，4，9，16， ∴在线段OA1，OA2，OA3，…，OA20中，长度为整数的线段有4条， 故选：B． 【变式19-1】如图，Rt△ABO中，∠A＝90°，AO＝2，AB＝1．以BC＝1，OB为直角边，构造Rt△OBC；再以CD＝1，OC为直角边，构造Rt△OCD；…，按照这个规律，在Rt△OHI中，点H到OI的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理得OB，OC，OD，按照这个规律，根据勾股定理得OI2，作HM⊥OI于点M，根据三角形的面积公式即可求出答案． 【详解】解：在Rt△ABO中，∠A＝90°，AO＝2，AB＝1， 根据勾股定理得OB， 在Rt△OBC，根据勾股定理得OC， 在Rt△OCD，根据勾股定理得OD， 按照这个规律，在Rt△OHI中，根据勾股定理得OI2， 如图，作HM⊥OI于点M， ∴OI•HMOH•HI， ∴2HM1， ∴HM， ∴点H到OI的距离是． 故选：B． 【变式19-2】如图1，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，以这个直角三角形两直角边为边作正方形．图2由图1的两个小正方形向外分别作直角边之比为4：3的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，…，按此规律，则图6中所有正方形的面积和为（　　） A．200 B．175 C．150 D．125 【分析】根据勾股定理求出AB＝5，再根据勾股定理和正方形面积公式得出规律，即可解决问题． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴AB5， ∴图1中正方形的面积和为：32+42+52＝25+25＝2×25＝50， 图2中所有正方形的面积和为：32+42+32+42+52＝25+25+25＝25+50， 图3中所有正方形面积和为：32+42+32+42+32+42+52＝25+25+25+25＝2×25+50， ......， ∴图6中所有正方形的面积为5×25+50＝175， 故选：B． 【变式19-3】如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，……按照此规律继续下去，则S2024的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据题意求得前几个正方形的面积，继而可得第n个正方形的边长为2×（）n﹣1，则Sn即可求解． 【详解】解：由题意得，第一个正方形的边长为2，则， ∵△DEC是等腰直角三角形， ∴DCDE， ∴第二个正方形的边长为DE， ∴S2＝（）2＝2， ∵△FGH是等腰直角三角形， ∴第三个正方形的边长为1， ∴S3＝12＝1， 同理可得，第四个正方形的边长为， ∴S4＝（）2， ⋯， ∴第n个正方形的边长为2×（）n﹣1， ∴Sn＝[2×（）n﹣1]2＝4（）n﹣1， ∴S2024． 故选：B． 【题型二十】勾股定理与折叠问题 【例20】如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，点D是边BC上一点，若沿将△ACD翻折，点C刚好落在边上点E处，则BD等于（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】B． 【分析】由勾股定理可知BC＝4．由折叠的性质得：AE＝AC＝3，DE＝DC，∠AED＝∠C＝90˚，设BD＝x，由勾股定理可得出答案． 【详解】解：∵∠C＝90°，AC＝3，AB＝5， ∴BC4， 设 BD＝x，则DC＝4﹣x， 由折叠可知DE＝DC＝4﹣x，AE＝AC＝3，∠AED＝∠C＝90°， ∴BE＝AB﹣AE＝2． 在 Rt△BDE 中，BD2＝BE2+DE2， ∴x2＝22+（4﹣x）2， 解得：x， 即BD． 故选：B． 【变式20-1】如图，长方形ABCD中，AB＝5，AD＝25，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则BE的长为（　　） A．12 B．8 C．10 D．13 【答案】D． 【分析】根据折叠可得：BE＝DE，在直角△ABE中，利用勾股定理可以即可求出BE． 【详解】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合， ∴BE＝ED． ∵AD＝25cm＝AE+DE＝AE+BE． ∴AE＝25﹣BE， 根据勾股定理可知AB2+AE2＝BE2． ∴52+（25﹣BE）2＝BE2， 解得BE＝13， 故选：D． 【变式20-2】如图，将正方形纸片ABCD折叠，使顶点B落在边AD上的点E处，折痕交AB于点F，交CD于点G，若AE＝1，∠AFE＝30°，则AB的长为（　　） A．2 B．1 C．2 D．2 【答案】D． 【分析】先求出AF和EF的长，再根据翻折变换的知识得到EF＝BF，进而求出AB的长． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝90°， ∵AE＝1，∠AFE＝30°， ∴EF＝2， ∴AF， ∵正方形纸片ABCD折叠，使顶点B落在边AD上的点E处， ∴EF＝BF， ∴BF＝2， ∴AB＝AF+BF＝2， 故选：D． 【题型二十一】勾股定理的逆定理 【例21】适合下列条件的中，能确定是直角三角形的有（    ） ①            ②， ③，，        ④，， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本理题考查三角形内角和定理及勾股定理的逆定理，解题关键是熟知三角形内角和等于180°及勾股定理的逆定理． 根据三角形内角和定理及勾股定理逆定理进行逐项分析即可． 【详解】解：①∵，， ∴， ∴，故该选项符合题意； ②∵，， ∴，故该选项符合题意； ③ ∵，，，， ∴， ∴不是直角三角形，故该选项不符合题意； ④∵，，，， ∴， ∴是直角三角形，故该选项符合题意． 综上所述，能确定是直角三角形的有3个． 故选：C． 【变式21-1】如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，边BC上的中线AD＝6，那么边BC的长为（　　） A． B．2 C．13 D．12 【答案】B． 【分析】延长AD到点E，使AD＝DE＝6，通过SAS可证明△ABD≌△ECD，得CE＝AB＝5，通过勾股定理逆定理可证明△AEC为直角三角形，利用勾股定理求出CD的长即可． 【详解】解：如图，延长AD到点E，使AD＝DE＝6， ∴AE＝12， ∵AD是边BC的中线， ∴BD＝CDBC， 在△ABD和△ECD中， ∵， ∴△ABD≌△ECD（SAS）， ∴CE＝AB＝5， ∵AE2+CE2＝169， AC2＝169． ∴AC2＝AE2+CE2， ∴△AEC为直角三角形， ∴∠E＝90°， ∴CD， ∴BC＝2CD＝2． 故选：B． 【变式21-2】如图，已知∠BAC＝90°，BC，AB＝1，AD＝CD＝1，则∠BAD＝　 ． 【答案】45°． 【分析】根据勾股定理可求AC，根据勾股定理的逆定理和等腰直角三角形的性质可求∠DAC，再根据角的和差关系即可求解． 【详解】解：∵∠BAC＝90°，BC，AB＝1， ∴AC， ∵AD＝CD＝1，12+12＝（）2，AD2+CD2＝AC2， ∴∠D＝90°， ∴∠DAC＝45°， ∴∠BAD＝90°﹣45°＝45°． 故答案为：45°． 【变式21-3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，且PB＝1，PC＝2， PA＝3，求∠BPC的度数． 【分析】根据旋转的性质得到CP＝CD＝2，∠DCP＝90°，DB＝PA＝3，则△CPD为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得PD＝PC＝2，∠CPD＝45°，由PB＝1，PD＝2，DB＝3，易得PB2+PD2＝BD2，根据勾股定理的逆定理得到△PBD为直角三角形，即可得到∠BPC的度数． 【详解】解：如图，把△ACP绕点C逆时针旋转90°得到△BCD，连接DP， ∵△ACP绕点C逆时针旋转90°得到△BCD， ∴CP＝CD＝2，∠DCP＝90°，DB＝PA＝3， ∴△CPD为等腰直角三角形， ∴PD＝PC＝2，∠CPD＝45°， 在△PDB中，PB＝1，PD＝2，DB＝3， 而12+（2）2＝32， ∴PB2+PD2＝BD2， ∴△PBD为直角三角形， ∴∠DPB＝90°， ∴∠BPC＝45°+90°＝135°． 【例21】勾股定理与逆定理的综合运用 【例21】如图，在四边形ABCD中，AB＝7cm，AD＝24cm，∠BAD＝90°，BC＝20m，CD＝15cm． （1）连接BD，求BD的长； （2）求四边形ABCD的面积． 【分析】（1）连接BD，利用勾股定理解答即可； （2）利用勾股定理的逆定理和三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：（1）连接BD， ∵AB＝7cm，AD＝24cm，∠BAD＝90°， ∴BD（cm）； （2）∵BC＝20m，CD＝15cm，BD＝25cm， ∴202+152＝252， ∴BC2+CD2＝DB2， ∴△BCD是直角三角形， ∴四边形ABCD的面积 ＝84+150 ＝234（cm2）． 【变式21-2】已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，AD2+CD2＝2AB2，CD⊥AD． （1）求证：AB⊥BC． （2）若AB＝3CD，AD＝17，求四边形ABCD的周长． 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明∠ABC＝90°即可； （2）设CD＝k，则AB＝BC＝3k，由∠ABC＝90°，可得AC2＝18k2，在Rt△ACD中，根据AC2＝CD2+AD2，构建方程即可解决问题． 【详解】（1）证明：连接AC． ∵CD⊥AD， ∴AD2+CD2＝AC2， ∵AD2+CD2＝2AB2，AB＝BC， ∴AC2＝AB2+BC2， ∴∠ABC＝90°， ∴AB⊥BC． （2）设CD＝k，则AB＝BC＝3k， ∵∠ABC＝90°， ∴AC2＝18k2， 在Rt△ACD中，∵AC2＝CD2+AD2， ∴18k2＝172+k2， ∴k， ∴CD，AB＝BC＝3， ∴四边形ABCD的周长＝AB+BC+AD+CD＝17+7． 【变式21-2】如图，为了居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机，，且，均位于地下管道的同侧，售卖机，之间的距离（）为400米，管道分叉口与之间的距离为240米，于点，到的距离（）为192米．假设所有管道的材质相同． (1)求，之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 【答案】(1)，之间的距离为144米； (2)珍珍的观点正确，过程见解析． 【分析】（1）利用勾股定理解答即可； （2）利用勾股定理及其逆定理，可证明，是垂线段，即从管道上的任意一处向售卖机引出的分叉管道中，是这些分叉管道中距离最短的，最省材料的． 本题考查了勾股定理及其逆定理、垂线段最短，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：（1）∵， ∴. 在中，，. 由勾股定理得， 即，之间的距离为144米； （2）∵， ∴. 在中，由勾股定理得. ∵，，， ∴， ∴，即， ∴是垂线段， ∴是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确. 【题型二十二】添加条件使直角三角形全等直角三角形的全等判定 【例22】如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，要根据“HL”证明Rt△ABC与Rt△BAD全等，则还需要添加一个条件是（　　） A．∠CAB＝∠DBA B．AC＝BD C．AB＝BD D．∠ABC＝∠BAD 【答案】 【分析】根据已知公共边为AB，根据HL只要找到对应的直角边AD＝BC或AC＝BD，即可求解． 【详解】解：在Rt△ABC与Rt△BAD中， ∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）， 故选：B． 【变式22-1】如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（　　） A．AE＝DF B．∠A＝∠D C．∠B＝∠C D．AB＝DC 【答案】D． 【分析】根据垂直定义求出∠CFD＝∠AEB＝90°，再根据全等三角形的判定定理推出即可． 【解答】解：条件是AB＝CD， 理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC， ∴∠CFD＝∠AEB＝90°， 在Rt△ABE和Rt△DCF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL）， 故选：D． 【变式22-2】如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．判定Rt△ABD和Rt△CDB全等的依据是（　　） A．AAS B．SAS C．ASA D．HL 【答案】D． 【分析】根据HL证明Rt△ABD和Rt△CDB全等即可． 【详解】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD， ∴∠ABD＝∠CDB＝90°， 在Rt△ABD和Rt△CDB中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）， 故选：D． 【变式22-3】如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，点B、D、C、E在同一条直线上，点C和点E重合．∠B＝∠DEF＝90°，AB＝DE，若添加一个条件后可用“HL”定理证明Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件是（　　） A．BC＝EF B．∠BCA＝∠F C．BA∥EF D．AC＝DF 【答案】D． 【分析】根据两直角三角形全等的判定定理逐个判断即可． 【解答】解：A．AB＝DE，∠B＝∠DEF，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理SAS（不是两直角三角形全等的判定定理HL），能推出Rt△ABC≌Rt△DEF（SAS），故本选项不符合题意； B．∠ACB＝∠DFE，∠B＝∠DEF，AB＝DE，符合全等三角形的判定定理AAS（不是两直角三角形全等的判定定理HL），能推出Rt△ABC≌Rt△DEF（AAS），故本选项不符合题意； C．∵BA∥EF， ∴∠A＝∠ACF， 由AB＝DE，∠B＝∠DEF不能推出Rt△ABC≌Rt△DEF，故本选项不符合题意； D．在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠B＝∠DEF＝90°，AC＝DF，AB＝DE，符合两直角三角形全等的判定定理HL，能推出Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），故本选项符合题意． 故选：D． 【题型二十三】直角三角形的全等判定的证明 【例23】如图，，，点D是上一点，于E，于F，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，连接，先证明得出，再利用“”即可证明，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：连接，如图： ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∵于，于， ∴， 在和中， ， ∴． 【变式23-1】如图，，，，垂足分别为点，，且．证明： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）利用可证明，则，再由线段的和差关系可证明结论； （2）利用证明，则． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式23-2】如图1，已知A，E，F，C在同一条直线上，，过E，F分别作，，． (1)求证：平分； (2)若的边沿方向移动，其余条件不变，如图2，上述结论是否仍成立？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)成立，理由见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定； （１）由可得出，结合即可证出，根据全等三角形的性质可得出，结合对顶角相等及，即可证出，再根据全等三角形的性质即可得出，即平分； （２）同（１）可证出，，再根据全等三角形的性质可得出，即平分． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：平分成立，理由如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分． 【题型二十四】角平分线的性质与判定的综合 【例24】 如图，，垂足分别为，．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理，全等三角形的性质和判定， 先根据“斜边直角边”证明，可得，再根据角平分线的判定定理得出答案. 【详解】证明：， ． 在和中， ， ． ， ∴平分． 【变式24-1】如图，过的边的垂直平分线上的点，作的另外两边，所在直线的垂线，垂足分别为，，，作射线；求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查角平分线的判定定理、线段垂直平分线的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握角平分线的判定定理、线段垂直平分线的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键；连接，；由题意易得，然后可得，则有，进而问题可求证． 【详解】证明：连接，， ∵点在的垂直平分线上， ． ，， ． 在和中， ∴， ． 又，， 点在的平分线上，即平分． 【变式24-2】如图，与都为等边三角形，连接与，延长交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）设交于点，由（1）可知，，得到，结合对顶角相等，那么，从而推出结论； （3）过点作的延长线于点，证明，得到，从而得到结论． 【详解】（1）证明： 与都为等边三角形， ， ， ， ， ； （2）证明：设交于点，如图所示： 由（1）可知，， ， ， ， ， 即； （3）证明：过点作的延长线于点，如图所示： 由（1）可知，， ，， ， ， ， 平分． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定理，角平分线的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【变式24-3】如图，中，点D在BC边上， 的平分线交AC于点E，过点E作 垂足为F，且 连接DE． (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，且 求 的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了角平分线的性质和判定定理和三角形的面积计算，由角的平分线上的点到角的两边的距离相等，得出是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质求出，根据补角的定义计算，得到答案； （2）过点E作，垂足分别为G，H，根据角平分线的性质得到，，等量代换得到，根据角平分线的判定定理证明结论； （3）根据三角形的面积公式求出，再根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ； （2）证明：如图，过点E作，垂足分别为G，H． ∵， ∴． ∵平分，， ∴． ∴． ∵， ∴平分． （3）解：， 即 ， 解得 ， ∴的面积． 【题型一】等腰三角形中的分类讨论问题 【例1】一个等腰三角形的周长为13cm，一边长为5cm，则另两边长分别为（　　） A．3cm，5cm B．4cm，4cm C．3cm，5cm或4cm，4cm D．以上都不对 【答案】C． 【分析】此题分为两种情况：5cm是等腰三角形的底边或5cm是等腰三角形的腰．然后进一步根据三角形的三边关系进行分析能否构成三角形． 【详解】解：当5cm是等腰三角形的腰时，则其底边是13﹣5×2＝3（cm），能够组成三角形； 当5cm是等腰三角形的底边时，则其腰长是（13﹣5）÷2＝4（cm），能够组成三角形． 故另两边长分别为3cm，5cm或4cm，4cm． 故选：C． 【变式1-1】已知等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为9cm和15cm两部分，则这个等腰三角形的腰长为（　　） A．6cm B．10cm C．6cm或10cm D．11cm 【答案】B． 【分析】已知给出的9cm和15cm两部分，没有明确哪一部分含有底边，要分类讨论，设三角形的腰为xcm，分两种情况讨论：xx＝9或xx＝15． 【详解】解：设三角形的腰为xcm，如图： △ABC是等腰三角形，AB＝AC，BD是AC边上的中线， 则有AB+AD＝9cm或AB+AD＝15cm，分下面两种情况： （1）xx＝9， 解得x＝6， ∵三角形的周长为9+15＝24（cm）， ∴三边长分别为6cm，6cm，12cm， ∵6+6＝12，不符合三角形的三边关系， ∴舍去； （2）xx＝15， 解得x＝10， ∵三角形的周长为24cm， ∴三边长分别为10cm，10cm，4cm． 综上可知：这个等腰三角形的腰长为10cm． 故选：B． 【变式1-2】等腰三角形的一个内角是70°，则它一腰上的高与底边的夹角的度数为（　　） A．20° B．35° C．20°或35° D．30°或35° 【答案】C． 【分析】题中没有指明已知角是底角还是顶角，故应该分情况进行分析从而求解． 【详解】解：如图，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的高． ①当∠A＝70°时， 则∠ABC＝∠C＝55°， ∵BD⊥AC， ∴∠DBC＝90°﹣55°＝35°； ②当∠C＝70°时， ∵BD⊥AC， ∴∠DBC＝90°﹣70°＝20°； 故选：C． 【题型二】勾股定理中分类讨论问题 【例2】已知直角三角形两边的长分别为3和4，则此三角形的周长为（　　） A．5 B．7 C．12 D．12或7 【答案】D． 【分析】先设Rt△ABC的第三边长为x，再分4是斜边或x为斜边两种情况讨论即可． 【解答】解：设Rt△ABC的第三边长为x，分两种情况： ①当4为直角三角形的直角边时，x为斜边， 由勾股定理得：x5， 此时这个三角形的周长＝3+4+5＝12； ②当4为直角三角形的斜边时，x为直角边， 由勾股定理得：x， 此时这个三角形的周长＝3+47； 综上所述：此三角形的周长为12或7， 故选：D． 【变式2-1】已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AH＝8，则BC的长是（　　） A．21 B．15 C．6 D．21或9 【答案】D． 【分析】高线AH可能在三角形的内部也可能在三角形的外部，本题应分两种情况进行讨论．分别依据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，在Rt△ABH中， ∵AB＝17，AH＝8， ∴BH15； 在Rt△ACH中， ∵AC＝10，AH＝8， ∴CH6， ∴当AH在三角形的内部时，如图1，BC＝15+6＝21； 当AH在三角形的外部时，如图2，BC＝15﹣6＝9． ∴BC的长是21或9． 故选：D． 【变式2-2】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，点Q在直线BC上，且AQ＝2，则线段BQ的长为　 　． 【答案】1或1． 【分析】分两种情况：（1）点Q在线段BC的延长线上；（2）点Q在线段CB的延长线上，分别用勾股定理求得QC的长，情况（1）中BQ＝QC+BC，情况（2）中BQ＝QC﹣BC． 【详解】解：分两种情况： （1）点Q在线段BC的延长线上，如图： ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACQ＝180°﹣90°＝90°， ∵AC＝1，AQ＝2， ∴QC， ∵BC＝1， ∴BQ＝QC+BC1； （2）点Q在线段CB的延长线上，如图： ∵∠ACB＝90°，AC＝1，AQ＝2， ∴QC， ∵BC＝1， ∴BQ＝QC﹣BC1． 综上，线段BQ的长为1或1． 故答案为：1或1． 【题型三】勾股定理与最短路径问题 【例3】如图，若圆柱的底面周长是12cm，高是5cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈彩带到顶部B处，则这条彩带的最小长度是　 　cm． 【答案】13． 【分析】先将圆柱侧面展开得到长为12cm，宽是5cm的长方形，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将圆柱侧面展开得到长为12cm，宽是5cm的长方形，连接AB， 根据两点之间线段最短得这条丝线的最小长度是AB的长度， 由勾股定理得AB2＝122+52＝169，解得AB＝13cm， 则这条彩带的最小长度是13cm， 故答案为：13． 【变式3-1】如图，正方体盒子的棱长为2，M为EH的中点，现有一只蚂蚁位于点B处，它想从正方体的表面爬行到点M处获取食物，则蚂蚁需爬行的最短路程为 　 ． 【答案】． 【分析】先把图中展开，根据勾股定理求出BM的长即可． 【详解】解：如图，连接BM，则线段BM的长就是蚂蚁需爬行的最短路程， ∵正方体的棱长为2，M是EH的中点， ∴∠Q＝90°，MQ＝2，BQ＝1+2＝3， 由勾股定理得BM， 答：蚂蚁需爬行的最短路程为， 故答案为：． 【变式3-2】如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为10cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁与B相对且距离容器上沿2cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 　 　cm． 【答案】． 【分析】立体图形中最值问题往往转化为平面图形，利用两点之间线段最短，通过勾股定理解决问题，将容器侧面展开，建立A关于MM'的对称点A'，根据两点之间线段最短可知AB的长度即为所求．将圆柱沿A所在的高剪开，展平如图所示，则MM'＝NN'＝10cm，作A关于MM'的对称点A'，连接A′B，则此时线段A′B即为蚂蚁走的最短路径， 【详解】解：将圆柱沿A所在的高剪开， 展平如图： 则MM'＝NN'＝10cm， 作A关于MM'的对称点A'， 连接A′B， 则此时线段A′B即为蚂蚁走的最短路径， 过B作BD⊥A'A于点D， 则BD＝NE＝5cm，A'D＝MN+A'M﹣BE＝10﹣3+2＝9cm， 在Rt△A'BD中，由勾股定理得ABcm， 故答案为：． 【题型一】等腰三角形的性质与判定 【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE＝CF， BD＝CE． （1）求证：△DEF是等腰三角形； （2）求证：∠B＝∠DEF； （3）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数． 【分析】（1）首先根据条件证明△DBE≌△ECF，根据全等三角形的性质可得DE＝FE，进而可得到△DEF是等腰三角形； （2）根据△BDE≌△CEF，可知∠FEC＝∠BDE，∠DEF＝180°﹣∠BED﹣∠FEC＝180°﹣∠DEB﹣∠EDB＝∠B即可得出结论； （3）由（2）知∠DEF＝∠B，再根据等腰三角形的性质即可得出∠DEF的度数． 【详解】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 在△DBE和△ECF中，， ∴△DBE≌△ECF， ∴DE＝FE， ∴△DEF是等腰三角形； （2）∵△BDE≌△CEF， ∴∠FEC＝∠BDE， ∴∠DEF＝180°﹣∠BED﹣∠FEC＝180°﹣∠DEB﹣∠EDB＝∠B （3）∵由（2）知△BDE≌△CEF， ∴∠BDE＝∠CEF， ∴∠CEF+∠DEF＝∠BDE+∠B， ∴∠DEF＝∠B， ∴AB＝AC，∠A＝40°， ∴∠DEF＝∠B70°． 【变式1-1】如图，中，垂足为，点在上，平分，点在上，，延长交于点． (1)求证： ； (2)写出线段和的位置关系和数量关系，并证明． 【答案】(1)详见解析 (2)， ，证明见解析 【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由是的角平分线，可得．设，则．由，可得．利用三角形内角和可得出：．由，可得出：．可得：，即可得出：，即可得出：． （2）如图，过点E作交于点M，由可证得：，可得，结合，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）证明：是的角平分线， ． 设，则． 垂足为， ． 中，． ， ． ， ． ． ． （2）解：，．理由如下： 过点E作交于点M， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1-2】已知，在中，，点D，E分别在边上(D不与B，C重合)，． (1)如图1，若，且恰好平分，则的度数为 °． (2)如图2，若，且点D是边上的任意一点，小亮发现的度数为定值， ①求的度数； ②当时，求的度数． (3)如图3，在点D的运动过程中，的形状也在改变，若，请直接写出当等于多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)70 (2)①② (3)或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义和性质等知识，理解并掌握等腰三角形的性质是解题关键． （1）根据题意易知为等腰三角形，由等腰三角形“三线合一”的性质可得，，结合，即可获得答案； （2）①首先结合三角形内角和定理解得，再根据三角形外角的定义和性质“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”可得，即可求得的度数；②当时，结合三角形内角和定理以及等腰三角形“等边对等角”的性质可解得的度数； （3）当时，易得，进而可得．然后分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即为等腰三角形， ∵，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：70； （2）①∵，， ∴， ∵，， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）若， 则， ∴． ①当时，， ∵， ∴此时不符合题意； ②当时，， ∵， ∴， ∴； ③当时，， ∴， ∴． 综上所述，当或时，是等腰三角形． 【题型二】等边三角形的性质与判定 【例2】已知在等边中，点是边延长线上一点，点是直线上一动点，以为一边作等边，连接． (1)如图1，若点在边上，点在上，且．求证： ① ②； (2)如图2，若点在边的延长线上，请探究线段与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）①由判断形状，由，即可得出；②由判定，即可得到，进行边的转化即可得到答案； （2）延长并截取，连接，由判定，进行边的转化即可得到结论． 【详解】（1）证明：①是等边三角形， ． ， 是等边三角形， ， ． ②和是等边三角形， ， ． 在和中， ， ． ， ． （2）解：． 理由：延长并截取，连接，如图2所示： 同（1）得：是等边三角形，， ． ， ． 【变式2-1】综合实践 教材再现：等边三角形是三边都相等的特殊的等腰三角形：等边三角形的三个内角都相等，并且都等于；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是的等腰三角形是等边三角形． 探究问题：等边三角形的三个内角都等于，由此可得等边三角形的每一个外角都等于，那么等边三角形与的角是否还有某些特殊关系，为此某数学兴趣小组的同学做了如下探究，请你帮助他们完成证明过程或解答过程． (1)如图，是等边三角形，点、分别在和的延长线上，且，该兴趣小组的同学发现，当的度数确定时，的度数也随之确定． 若，则的度数为 ． 求证：． (2)如图，是等边三角形，点是三角形内一点，且，延长交于点，延长交于点，判断线段、、、之间有什么数量关系，并说明理由． (3)如图，是等边三角形，点是三角形外一点，且，连接，判断线段、、之间有什么数量关系，并说明理由． 【答案】(1)  证明见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查三角形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等边三角形判定与性质，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）根据三角形的内角和定理直接求解即可；由等边三角形的性质知，根据内外角关系可得，从而； （2）由是等边三角形，得，，有，而，有，故，可得，故，即； （3）延长到，使，连接，由，有，知是等边三角形，从而，，可得，因此，即，即可证，得，故． 【详解】（1）解：，， ； 故答案为：； 证明：是等边三角形， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，即； （3）解：，理由如下： 延长到，使，连接，如图： ， ， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ． 【变式2-2】已知是等边三角形，E是上的一点，F是边延长线上一点，且，连接、． (1)如图1，若E是边的中点，猜想和的数量关系并加以证明； (2)如图2，若E是线段上的任意一点，其他条件不变，上述线段、的数量关系是否发生变化，写出你的猜想并加以证明； (3)若E是线段延长线上的任意一点，其他条件不变，上述线段、的数量关系是否发生改变，请写出你的猜想，先画出图形，再加以证明． 【答案】(1)；证明见解析 (2)不变；证明见解析 (3)不变；证明见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角的性质得出，最后根据等腰三角形的判定，得出答案即可； （2）过点E作，交于点G，证明为等边三角形，得出，证明，得出，证明，根据等腰三角形的判定得出答案即可； （3）延长，过点E作，交的延长线于点G，证明为等边三角形，得出，证明，得出，证明，根据等腰三角形的判定得出结论即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵在等边中，E是边的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：不变；理由如下： 过点E作，交于点G，如图所示： ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：不变；理由如下： 延长，过点E作，交的延长线于点G，如图所示： ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 【题型三】等腰三角形与动点运动问题 【例3】如图，已知等边△ABC的边长为6cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，运动时间为tS，已知点M的速度1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． ​ （1）当点N第一次到达B点时，点M的位置在 　 　；当M、N运动 　 　秒时，点N追上点M； （2）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间． 【分析】（1）求出M运动的路程即可判断M的位置，由题意得：2t＝1×t+6，求出t的值即可； （2）分两种情况，列出关于t的方程，求出t的值，即可解决问题． 【详解】解：（1）当点N第一次到达B点时， t＝18÷2＝9（s）， ∴M运动了1×9＝9（cm）， ∴点M的位置在BC中点； 当点N追上点M时， 由题意得：2t＝1×t+6， ∴t＝6， ∴当M、N运动6秒时，点N追上点M， 故答案为：BC中点，6． （2）如图，AM＝AN， 作AH⊥BC于H， ∴HC＝HB，HM＝HN， ∴MC＝BN， ∴t﹣6＝18﹣2t， ∴t＝8， ∴M、N运动的时间是2s或8s时．得到以MN为底边的等腰三角形△AMN． 【变式3-1】在边长为9的等边三角形ABC中，点Q是BC上一点，点P是AB上一动点，以每秒1个单位的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒． （1）如图1，若BQ＝6，PQ∥AC，求t的值； （2）如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，△APQ为等边三角形？ 【分析】（1）由平行线的性质得∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，从而得出△BPQ是等边三角形，列方程求解即可； （2 ）根据点Q所在的位置不同，分类讨论△APQ是否为等边三角形，再根据等边三角形的性质得到等量关系，列方程求解即可． 【详解】解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，PQ∥AC， ∴∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°， 又∠B＝60°， ∴∠B＝∠BQP＝∠BPQ， ∴△BPQ是等边三角形， ∴BP＝BQ， 由题意可知：AP＝t，则BP＝9﹣t， ∴9﹣t＝6， 解得：t＝3， ∴当t的值为3时，PQ∥AC； （2）如图2，①当点Q在边BC上时， 此时△APQ不可能为等边三角形； ②当点Q在边AC上时， 若△APQ为等边三角形，则AP＝AQ， 由题意可知，AP＝t，BC+CQ＝2t， ∴AQ＝BC+AC﹣（BC+CQ）＝9+9﹣2t＝18﹣2t， 即：18﹣2t＝t，解得：t＝6， ∴当t＝6时，△APQ为等边三角形． 【变式3-2】如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒． (1) （用t的代数式表示）． (2)当点在边上运动时，出发 秒后，是等腰三角形． (3)当点在边上运动时，出发几秒后，是以或为底的等腰三角形？ 【答案】(1) (2) (3)5.5秒或6秒 【分析】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得，再利用即可求解； （2）当点在边上运动时，，其中，根据等腰三角形的定义可得，列出关于的方程，即可求解； （3）分2种情况讨论：①是以为底的等腰三角形；②是以为底的等腰三角形，画出示意图，利用等腰三角形的性质求出点运动的路程，进而得到点运动的时间，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； 故答案为：； （2）解：当点在边上运动时，，其中， ∵是等腰三角形，， ∴，即， 解得， ∴出发秒后，是等腰三角形； 故答案为：； （3）解：①当是以为底的等腰三角形，则， ∴， ∵，   ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点运动的路程为， ∴点运动的时间为（秒）； ②当是以为底的等腰三角形，则， ∴， ∴点运动的路程为， ∴点运动的时间为（秒）； ∴综上所述，出发5.5秒或6秒后，是以或为底的等腰三角形． 【题型四】勾股定理与动点运动问题 【例4】 如图，△ABC中，∠C＝90°，CA＝8cm，CB＝6cm，D为动点，沿着C→A→B→C的路径运动（再次到达C点则停止运动），点D的运动速度为2cm/秒，设点D运动时间为t秒． （1）当点D在AC上运动时，若DC＝BC，则t＝　 　； （2）若点D与△ABC某一顶点的连线平分△ABC的周长，求t的值． 【分析】（1）根据DC＝BC，列出方程2t＝6，解方程即可； （2）根据点D与△ABC某一顶点的连线平分△ABC的周长，分三种情况，分别根据平分周长列方程解出即可． 【详解】解：（1）∵DC＝BC＝6， ∴2t＝6， 解得：t3， 故当点D在AC上运动时，若DC＝BC，则t＝3； 故答案为：3； （2）△ABC中，∠C＝90°，CA＝8，CB＝6， ∴AB10， ∴△ABC的周长＝6+8+10＝24， ①当点D在CA上运动时，如图1，BC+CD＝AB+AD， 即6+2t， 解得：t＝3； ②当点D在AB上运动时，如图2，AC+AD＝BD+BC， 即2t， 解得：t＝6； ③当点D在BC上运动时，如图3，AB+BD＝CD+AC， 即2t﹣8， 解得：t＝10； 综上所述，t的值是3或6或10． 【变式4-1】如图1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD；AD：CD＝2：3：4． （1）试说明△ABC是等腰三角形； （2）已知S△ABC＝40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时，整个运动都停止，设点M运动的时间为t（秒），若△DMN的边与BC平行，求t的值． 【分析】（1）设BD＝2x，AD＝3x，CD＝4x，则AB＝5x，由勾股定理求出AC，即可得出结论； （2）由△ABC的面积求出BD、AD、CD、AC；①当MN∥BC时，AM＝AN；当DN∥BC时，AD＝AN；得出方程，解方程即可． 【详解】解：（1）设BD＝2x，AD＝3x，CD＝4x， 则AB＝5x， 在Rt△ACD中，AC5x， ∴AB＝AC， ∴△ABC是等腰三角形； （2）解：S△ABC5x×4x＝40cm2，而x＞0， ∴x＝2cm， 则BD＝4cm，AD＝6cm，CD＝8cm，AC＝10cm． ①当MN∥BC时，AM＝AN，即10﹣t＝t，此时t＝5， ②当DN∥BC时，AD＝AN，此时t＝6， 综上所述，若△DMN的边与BC平行时，t值为5或6． 【变式4-2】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝20，BC＝15，AD为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止，设点D运动的时间为t秒，速度为每秒2个单位长度． （1）当t为何值时，△CBD是直角三角形； （2）若△CBD是等腰三角形，求t的值． 【分析】（1）根据CD＝速度×时间，得到CD，利用勾股定理列式求出AC，再分①∠CDB＝90°时，利用△ABC的面积列式计算即可求出BD，然后利用勾股定理列式求解得到CD，再根据时间＝路程÷速度计算；②∠CBD＝90°时，点D和点A重合，然后根据时间＝路程÷速度计算即可得解； （2）分①CD＝BC时，CD＝15；②CD＝BD时，根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质可求CD；③BD＝BC时，过点B作BF⊥AC于F，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD＝2CF；依此解答． 【详解】解：（1）CD＝2t， ∵∠ABC＝90°，AB＝20，BC＝15， ∴AC25， AD＝AC﹣CD＝25﹣2t； ①∠CDB＝90°时，S△ABCAC•BDAB•BC， 即25BD20×15， 解得BD＝12， ∴CD9， t＝9÷2＝4.5； ②∠CBD＝90°时，点D和点A重合， t＝25÷2＝12.5． 综上所述，t＝4.5或12.5秒时，△CBD是直角三角形 （2）①CD＝BC时，CD＝15，t＝15÷2＝7.5； ②CD＝BD时，∠C＝∠DBC， ∵∠C+∠A＝∠DBC+∠DBA＝90°， ∴∠A＝∠DBA， ∴BD＝AD， ∴CD＝ADAC＝12.5， ∴t＝12.5÷2＝6.25； ③BD＝BC时，如图，过点B作BF⊥AC于F，根据等腰三角形三线合一的性质可得CD＝2CF； 则CF＝DF， ∵BF＝12， ∴CF9， ∴CD＝2CF＝9×2＝18， ∴t＝18÷2＝9． 综上所述，t＝6.25或7.5或9秒时，△CBD是等腰三角形． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $