专题03 二次函数（必备知识+10题型+分层检测）（期中复习讲义）九年级数学上学期鲁教版五四制

专题03 二次函数（期中复习讲义） 二次函数是初中数学的核心内容，也是中考的压轴题考点。本专题涉及二次函数的图象、性质、解析式求法及其综合应用，在中考中分值占比约15-20分，题型覆盖选择、填空、解答题的所有题型，尤其重视数形结合思想和综合应用能力的考查。 核心考点 复习目标 考情规律 1. 二次函数的概念与定义 能准确识别二次函数，根据定义求参数，会列二次函数关系式。 基础题，常以选择题出现。易错点是忽略二次项系数不为0的条件。 2. 二次函数的图象与性质 掌握各类二次函数的图象特征，能由解析式判断开口、顶点、对称轴，掌握图象平移规律。 高频考点，选择、填空、解答题都会出现。重点考查数形结合能力。 3. 待定系数法求解析式 能根据已知条件，灵活运用一般式、顶点式、交点式求二次函数解析式。 常规题，常作为解答题的第一问出现，为后续综合问题做铺垫。 4. 二次函数的最值问题 会求二次函数在给定区间内的最值，能解决相关实际问题。 中档题，应用题的核心考点。易错点是忽略自变量取值范围。 5. 二次函数与一元二次方程的关系 理解二次函数与一元二次方程的联系，会求交点坐标，能用图象法解不等式。 综合题，考查函数与方程思想的转化。是中考必考内容。 6. 二次函数的实际应用 能将拱桥、投球、销售等实际问题转化为二次函数模型求解。 压轴题级别，难度较大。考查建模能力和解决实际问题的综合素养。 7. 二次函数与几何综合 能结合三角形、四边形等几何知识，综合运用二次函数解决问题。 压轴题，难度最大。考查知识迁移能力和综合运用能力。 8. 二次函数图象的平移与变换 掌握二次函数图象平移的规律，能根据变换求解析式。 中档题，要求理解平移的本质是顶点坐标的变化。 知识点01 二次函数的概念与定义 1.二次函数的概念 形如的函数叫做二次函数。此函数表达式为二次函数的一般形式。 其中：是自变量，是函数解析式的二次项系数；是函数解析式一次项系数；是函数解析式的常数项。又是二次函数的一般形式。 判断二次函数时，把二次函数化为一般形式，右边一定要是整式，最高次数是2且二次项系数不等于0。 2.二次函数解析式的表示方法 ①一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）． ②顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）． ③交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0． 3.易错点 ①二次项系数a≠0是函数为二次函数的必要条件 ②自变量x的取值范围通常是全体实数，但在实际问题中要具体分析 知识点02 第二部分：二次函数的图象与性质 二次函数形式 一般式 （a≠0） 顶点式 （a≠0） 两点式 （a≠0） 开口方向 a＞0 a＜0 a＞0 a＜0 a＞0 a＜0 开口向上 开口向下 开口向上 开口向下 开口向上 开口向下 开口大小 的绝对值越大，开口越小 的绝对值越小，开口越大 顶点坐标 对称轴（函数值相等的两个点一定关于对称轴对称） 离对称轴越远函数值越大； 离对称轴越近函数值越小 离对称轴越远函数值越小； 离对称轴越近函数值越大 离对称轴越远函数值越大； 离对称轴越近函数值越小 离对称轴越远函数值越小； 离对称轴越近函数值越大 离对称轴越远函数值越大； 离对称轴越近函数值越小 离对称轴越远函数值越小； 离对称轴越近函数值越大 增减性 对称轴右边y随x的增大而增大。 对称轴左边y随x的增大而减小。 对称轴右边y随x的增大而减小。 对称轴左边y随x的增大而增大。 对称轴右边y随x的增大而增大。 对称轴左边y随x的增大而减小。 对称轴右边y随x的增大而减小。 对称轴左边y随x的增大而增大。 对称轴右边y随x的增大而增大。 对称轴左边y随x的增大而减小。 对称轴右边y随x的增大而减小。 对称轴左边y随x的增大而增大。 最值 函数有最小值，这个值是。 函数有最大值这个值是。 函数有最小值，这个值是。 函数有最大值这个值是。 与y轴交点坐标 （0，c） 2.二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图象的画法 ①一般方法：列表、描点、连线； ②简易画法：五点定形法. 3.易错点 1 平移时要注意是针对x还是针对y进行变换 ② 顶点坐标的符号容易出错，特别是hh为负数 知识点03：待定系数法求解析式 1、二次函数的解析式有三种常见形式： ①已知三点求二次函数解析式的方法叫做一般式法． 一般式：y＝ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②知道抛物线的顶点坐标，求解析式的方法叫做顶点式法. 顶点式：y＝a（x﹣m）²+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③已知道抛物线与x轴的交点，求解析式的方法叫做交点式法． 交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0，其中x1，x2还图象与x轴的两个交点的横坐标）； 2、二次函数的解析式有三种常见形式： ①设：根据已知条件，设出合适的二次函数表达式； 2 代：把已知条件代入，得到关于待定系数的方程（组）； 3 解：解方程（组），求出待定系数的值； ④写：写出二次函数的表达式． 3、设特殊二次函数表达式的技巧 ①若抛物线的顶点在原点，则表达式可设为y＝ax²； ②若抛物线的对称轴是y 轴，则表达式可设为y＝ax2+c ； ③若抛物线经过原点，则表达式可设为y＝ax2+bx ； ④若抛物线的顶点在x轴上，则表达式可设为y＝a（x﹣m）2 . 4.易错点 ①注意选择最简捷的形式，减少计算量 ②解方程组时要细心，避免计算错误 ③最后要检验结果是否正确 知识点04：二次函数的最值问题 1.二次函数的最值问题 自变量取值范围 图象 最大值 最小值 全体实数 a>0 当x=时，二次函数取得最小值 a<0 当x=时，二次函数取得最大值 x1≤x≤x2 a>0 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x1时，二次函数取得最大值y1 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=x1时，二次函数取得最小值y1 2.易错点 ①求区间最值时必须考虑对称轴与区间的相对位置 ②实际问题中自变量的取值范围往往有限 知识点05：二次函数与一元二次方程的关系 1.二次函数与轴的交点（二次函数与一元二次方程）： ①与轴有两个交点有2个不相等的实数根根的判别式＞0。 ②与轴有1个交点有2个相等的实数根根的判别式=0。 ③与轴没有交点没有实数根根的判别＜0。 2.与（m为常数且不为0）的交点： ①若与有两个交点，则方程的根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根。 ②若与有一个交点，则方程的根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根。 ③若与没有交点，则方程的根的判别式小于0，方程没有实数根。 3.易错点 ①解不等式时要考虑开口方向 ②交点个数由判别式决定，但要注意验证 知识点06：二次函数的实际应用 1. 列一元二次方程解决实际问题的基本步骤： ①审：理解题意，明确常量、变量以及它们之间的数量关系． ②设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． ③列：建立二次函数模型，根据题目的数量关系列出二次函数解析式． ④解：根据已知条件，借助二次函数的图像与性质解决实际问题． ⑤验：检验结果，得出符合实际意义的结论． ⑥答：写出答案。 2.常见应用类型： （1）拱桥问题： ①建立坐标系，以桥拱最高点为原点或顶点 ②利用对称性求解析式 ③解决车辆通行、水位变化等问题 （2）投球问题： ①轨迹为抛物线，建立直角坐标系 ②确定起点、最高点、落地点 ③求最大高度、最远距离等 （3）销售问题： ①建立利润与售价或销量的二次函数关系 ②求最大利润及相应的定价策略 （4）面积问题： ①用变量表示图形的边长 ②建立面积关于边长的二次函数 ③求面积的最大值或最小值 3.易错点： ①实际问题中自变量往往有实际意义限制 ②答案要符合实际情况，必要时取近似值 ③要写出符合题意的答语 知识点07 二次函数与几何综合 1.二次函数与图形面积问题： 解决图形的面积时，常会涉及线段与线段之间的关系，根据图形找出面积与线段的关系，将其转化为二次函数问题，然后利用二次函数的图像与性质解决问题。 2.二次函数解决抛物线形的形状问题与运动轨迹问题： ①建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形状的图形放置在平面直角坐标系中。 ②从已知条件和图像中获取求二次函数表达式所需要的条件。 ③利用待定系数法求函数表达式。 ④运用求出的抛物线的图像和性质解决实际问题。 3.二次函数与等腰（或直角）三角形的存在性问题： ①明确构成三角形的三个点； ②利用两点间的距离公式表示出三边的距离； ③若构成等腰三角形，则利用两两相等建立方程求解；若构成直角三角形，则利用勾股定理建立方程求解。 4.二次函数与平行四边形的存在性问题： ①明确构成平行四边形的四个点及其相应的对角线； ②利用相应的对角线的端点坐标结合中点坐标公式建立方程求解。 知识点08 二次函数图象的平移与变换 1. 函数平移规律： 函数分为左右平移和上下平移；左右平移在自变量上进行加减，规律为左加右减；上下平移在函数解析式整体上进行加减，规律为上加下减。与之间的平移： 可将进行上下平移个单位同时再左右平移h个单位得到函数。 2.伸缩变换： ∣a∣越大，开口越小；∣a∣越小，开口越大 3. 易错点： ①平移时注意符号：左加右减是针对x本身 ②多个变换时要注意顺序 题型一 解析式求解 解｜题｜技｜巧 1. 根据已知条件选择一般式、顶点式或交点式。 2. 代入点坐标建立方程组求解。检验结果确保满足所有条件。 3. 若图形中无直角三角形，需通过作高来构造。 【典例1】小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则y与x的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【典例2】．若函数是关于的二次函数．则常数的值是（    ） A．1 B． C．2 D．2或 【典例3】已知是二次函数，且当时，随的增大而增大． (1)求的值； (2)直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴． 【变式1】下列命题中正确的有（   ）个． ①二元二次方程有无数组解． ②某四边形面积等于两对角线乘积的一半，则这个四边形是菱形． ③“任意作一条直线，并作出它的中点”是必然事件． ④形如的函数为二次函数． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是 ． 【变式3】1．下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出a，b，c的值． (1)； (2)； (3)． 题型二 图象与性质分析 解｜题｜技｜巧 1. 通过系数符号判断开口方向和对称轴位置。 2. 利用判别式确定与x轴交点个数。 3. 结合顶点和端点分析函数变化趋势。 【典例1】二次函数的部分图象如图所示．以下错误的是（   ） A． B． C．抛物线与正半轴的交点在0和1之间 D． 【典例2】．二次函数（a，b，c为常数，且）与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列关于二次函数的说法中正确的是（    ） A．二次函数图象的对称轴是直线 B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是3 C．当时，y随x的增大而减小 D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是8 【典例3】已知四个二次函数的图像如图所示，那么的大小关系是 ．（请用“>”连接排序） 【变式1】 如图，抛物线与抛物线交于点，以下结论： ①无论取何值，总是负数； ②抛物线可由抛物线向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到； ③当时，随着的增大，的值先增大后减小； ④当直线与抛物线有3个交点时，． 下列说法正确的是（    ） A．只有①正确 B．只有②④正确 C．只有③④不正确 D．①②③④都正确 【变式2】5．已知抛物线，当时，随的增大而减小，则的取值范围是 ． 【变式3】．已知二次函数． (1)直接写出二次函数的对称轴和顶点坐标______，______； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象，在图中标出与y轴交点坐标； (3)当y随x的增大而减小时，直接写出x的取值范围______． 【变式4】．在平面直角坐标系中，二次函数图象顶点为A，与x轴正半轴交于点B． (1)求点B的坐标，并画出这个二次函数的图象； (2)结合函数图象，直接写出时，x的取值范围； (3)一次函数的图象过A，B两点，结合图象，直接写出关于x的不等式的解集． 题型三 区间最值问题 解｜题｜技｜巧 1. 确定对称轴与给定区间的位置关系。 2. 分类讨论顶点和端点处函数值大小。 3. 注意区间开闭对最值的影响。 【典例1】．1．二次函数的最小值是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例2】．二次函数在的范围内有最小值 ． 【典例3】．对称轴为直线的抛物线（为常数，且）如图，小明同学得出了以下结论：①；②；③；④；⑤（为任意实数）；⑥当时，随的增大而增大．其中结论正确的为（   ）． A．①②④ B．②③④ C．②④⑤ D．②④⑥ 【变式1】．二次函数的图像，下列说法正确的是（   ） A．对称轴为直线 B．最大值为4 C．与y轴交点为 D．图像过点 【变式2】．已知抛物线经过点、两点． (1)求二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)当时，请直接写出y的取值范围． 【变式3】．如图1，抛物线与轴交于点A，（A点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线上一个动点，连接，，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图2所示，当点在直线上方运动时（不含、点），设面积为S，写出S与点横坐标的函数关系，并写出的取值范围． (3)求（2）的条件下，S的最大值．在 题型四 二次函数的对称 解｜题｜技｜巧 1.对称点横坐标和等于对称轴两倍，纵坐标相同。 2.到对称轴距离相等的点，函数值相同。等腰三角形顶点在对称轴， 3.最短路径用对称转化。 【典例1】．已知抛物线经过点，点，在此抛物线上，当，时，恒成立，则下列说法错误的是（    ） A．抛物线的对称轴是直线 B．抛物线经过点 C．抛物线开口向上 D．抛物线的顶点坐标为 【典例2】．二次函数的部分对应值如表：以下结论不正确的是（    ） A．抛物线的顶点坐标为 B．与轴的交点坐标为 C．与轴的交点坐标为和 D．当时，对应的函数值为 【典例3】．拋物线与轴相交于点．下列结论： ①；②对称轴；③；④若点在抛物线上，且，则．其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 数的图像上，则的大小关系是 ． 【变式2】．如图，二次函数的图象过点，抛物线的对称轴是直线，顶点在第一象限，给出下列结论：①；②；③；④若、（其中）是抛物线上的两点，且，则．其中正确的结论有（　  　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】．已知抛物线（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 y m n (1)根据以上信息，可知抛物线开口向__________，对称轴为__________； (2)求抛物线的表达式及m，n的值； (3)请在下面的平面直角坐标系内画出抛物线图象．设点P为抛物线上的动点，的中点为，描出相应的点并用平滑的曲线连接起来，试说明该曲线是哪种曲线？ (4)设直线与抛物线以及（3）中的点所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为，请你根据图象直接写出线段之间的数量关系：__________． 题型五 待定系数法求二次函数解析式 解｜题｜技｜巧 1、根据已知条件选择合适形式（一般式、顶点式或交点式）。 2.将已知点的坐标代入解析式，建立关于系数的方程或方程组。 3.解方程求出未知系数，并代回还原得最终解析式。 【典例 1】已知二次函数经过点，则m的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 【典例 2】．二次函数的图象过点，，，，其中，为常数，则的值为 ． 【典例 3】．如图，已知抛物线经过、两点，与y轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)点Q为抛物线上一点，若，求出此时点Q的坐标． 【变式 1】．已知抛物线的顶点坐标是，则m和n的值分别是(   ) A． B． C． D． 【变式 2】．若抛物线的顶点坐标为，且形状与相同，开口方向相反，则其表达式为 ． 【变式 3】．综合与实践 综合实践小组模拟某游乐园“光影塔”夜间灯光秀布局，通过对直线、抛物线的分析，解决与“光影塔”最高点、游客位置、观景平台相关的问题，感受数学在实际场景中的应用． 如图，经过塔基主入口的迎宾步道（把步道抽象成直线）与轴交于点．经过原点的抛物线交直线于点，抛物线顶点对应“光影塔”最高一束激光的末端． 初步感知 （1）求抛物线顶点的坐标． 拓展应用 （2）游客看作迎宾步道上一点，无人机航拍点是抛物线上一点，平行于轴且交轴于点，当时，求游客位置点的坐标． 延伸探究 （3）虚拟观景平台是直线上方抛物线上一点，连接，，设点的横坐标为，的面积为，求关于的函数解析式并化为顶点式． 题型六 二次函数图形的变换 解｜题｜技｜巧 1. 掌握平移、对称等变换规律。 2. 理解变换对解析式各系数的影响。 3. 通过关键点坐标验证变换结果。 【典例 1】．将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位后所得图象的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【典例 2】．把二次函数向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的解析式为 ． 【典例 3】．已知二次函数的部分图象如图所示． (1)求该抛物线与轴的另外一个交点坐标和的值． (2)将该抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，直接写出平移后抛物线的解析式并说明点是否在平移后的抛物线上． 【变式 1】．将抛物线向上平移个单位长度，得到的抛物线是（ ） A． B． C． D． 【变式 2】．已知二次函数． （1）若二次函数的图象经过点，则 ． （2）将二次函数的图象向下平移2个单位长度，所得到的二次函数顶点纵坐标的最小值为 ． 【变式 3】．如图，该二次函数的图象的顶点坐标为，与轴正半轴的一个交点的坐标为． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，请结合图象直接写出的取值范围； (3)若把此二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移个单位长度，图象恰好经过点，求的值． 题型七 二次函数与一元二次方程 解｜题｜技｜巧 1.方程的解即函数图象与x轴交点的横坐标。 2.利用判别式判断交点个数（两个、一个或无交点）。 3.通过图象位置确定一元二次不等式的解集范围。 【典例 1】抛物线与x轴交于点，对称轴为，与y轴的交点在，之间（不包含端点），则下列结论：①；②；③若点，在抛物线上，则；④关于x的方程必有一实根大于2．其中结论正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例 2】．已知二次函数的图像如图所示，对称轴是直线．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 ．（填序号） 【典例 3】．已知二次函数（m为常数）． (1)若点在该函数图像上，则 ； (2)证明：该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； (3)若该函数图像上有两个点、，当时，直接写出p的取值范围． 【变式 1】．如图所示，二次函数的图像的对称轴是直线，且经过点．有下列结论：①；②；③当时，随的增大而减小；④当时，；其中正确的结论有（      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式 2】．已知抛物线经过点和点，且对称轴在y轴的左侧，则下列结论：①；②；③抛物线经过点；④关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确的是 （填写序号）． 【变式 3】．已知，如图，抛物线与轴交于、两点（点在点左方），与轴相交于点，直线经过点、． (1)求的长度； (2)点为直线下方抛物线上一点，当四边形面积最大时，求点的坐标． 题型八 二次函数与不等式 解｜题｜技｜巧 1.画出函数示意图，找到与x轴的交点。 2.根据开口方向确定不等式解集范围。 3.牢记“大于零取两边，小于零取中间”的口诀。 【典例 1】对于二次函数．有下列四个结论：①它的对称轴是直线；②设，，则当时，有；③它的图象与轴的两个交点是和；④当时，．其中正确的结论的个数为（　　） A． B． C． D． 【典例 2】．已知，是二次函数的图象上的两点，若，且，设，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【典例 3】．已知二次函数 (1)求函数图像的顶点坐标及图像与坐标轴的交点坐标． (2)根据图像直接回答： ①当时，的取值范围； ②当时，的取值范围． 【变式 1】．二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④当时，，其中正确的为 ． 【变式 2】．已知函数（）与轴的交点坐标为，．则函数（），当时，自变量的取值范围是 ． 【变式 3】．如图，已知一次函数与二次函数的图象相交于点、，且二次函数与y轴相交于点C． (1)求m和n的值； (2)当时，求的取值范围； (3)请直接写出当时，自变量的取值范围． 题型九 二次函数与实际问题 解｜题｜技｜巧 1. 建立模型：识别问题中的变量与常量，确定自变量与因变量，建立二次函数关系式 2. 确定范围：根据实际问题确定自变量的取值范围，保证解的合理性 3. 求解分析：利用配方法或公式法求顶点坐标，分析函数在定义域内的单调性和最值 4. 验证答案：将数学结果还原到实际问题中，检验是否符合实际情况 5. 作出回答：用符合题意的语言给出最终答案，注意单位完整性 【典例 1】某工厂计划利用一块长为10米、宽为6米的矩形空地搭建一个矩形蔬菜大棚，大棚一边靠墙（墙足够长，可利用的墙长不超过8米），另外三边用篱笆围成，篱笆总长为16米．设大棚垂直于墙的一边长为x米，大棚的面积为S平方米，求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 【典例 2】．在矩形中，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，的长度等于？ (2)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在t的值，使的面积最大，若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【典例 3】．一座桥如图，桥下水面宽度是20米，高是4米． (1)如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系，求抛物线的解析式； (2)要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？ 【典例 4】．校为调整学生的伙食，计划购买一批水果．市场调查发现，甲种水果售价元/千克与购买的质量千克之间的函数关系如图所示，乙种水果售价为5元/千克，两种水果共需购买240千克． (1)当时，求与的函数关系式； (2)若购买甲种水果不少于40千克，且购买乙种水果不低于甲种水果的2倍，如何购买两种水果才能使总费用(元)最少？最少是多少元？ 【典例 5】．在一场篮球赛中，队员甲面对面传球给乙，出手后篮球的高度y（）与飞出的水平距离x（）满足． (1)这次传球的出手高度是__________，篮球飞行的最大高度是__________； (2)队员乙在篮球飞行方向上距甲6处，他的最大摸高是3，他在原地能接到球吗？如能接到，请计算说明：如不能，他应该前进或后退多少米才能接到？ 【典例 6】．如图，某广场要建一个圆形喷水池，在池中心O处竖直放置一根水管，在水管的顶端A处安装一个喷水头，喷出的水柱是抛物线的一部分，已知落水点B到池中心O的距离为8米． (1)写出水柱离水面（x轴）的最大高度，并求水管的长度； (2)若在喷水池中竖直放置一盏高为米的景观射灯，且景观射灯的顶端F恰好碰到水柱，求景观射灯与池中心的水平距离； (3)现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点到池中心的距离为10米，已知水管升高后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，求水管要升高多少米？ 【典例 7】．某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 【变式 1】．如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为，平行于墙的一面开一扇宽度为的门（门用其他材料）． (1)若垂直于墙的一面长为，则平行于墙的一面长为___________，矩形菜园的面积为___________； (2)设垂直于墙的一面长为，矩形菜园的面积为． ①求与之间的函数关系式； ②能否围成面积为的矩形菜园？若能，请求出的值；若不能，请说明理由． 【变式 2】．如图， 矩形中，厘米，厘米， P、Q分别是、上运动的两点，若点P从点A出发，以1厘米/秒的速度沿方向运动，同时，点Q从点B出发以2厘米/秒的速度沿方向运动，一个点停止，另一个点也随之停止 ，设点P，Q运动的时间为x秒． (1)设的面积为y，求y与x之间的函数关系式； (2)当x为何值时，以P，B，Q为顶点的三角形与相似？ 【变式 3】．黄河流域兰州白塔山段综合提升改造项目是兰州市落实国家黄河流域生态保护和高质量发展战略谋划的重点工程．项目总投资万元，项目隧道工程西起龙源公园，东至靖远路，主线全长约2245米．建设地点位于兰州市北滨河路中山桥两侧，现要修建隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求∶，该抛物线的顶点P到的距离为． (1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式； (2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到的距离均为，求点A、B的坐标． 【变式 4】．某商场销售一种商品，每件进价为30元，售价为40元时，每天可售出500件．市场调查发现：售价每上涨1元，日销售量减少10件． (1)设售价上涨x元，写出日销售利润 y元与 x的函数关系式； (2)当售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 【变式 5】．在一次足球训练中，小明练习射门，球射向球门的路线呈抛物线． 如图所示，小明从球门底部正前方的处射门，现以为原点，以所在直线为轴，以球门高所在直线为轴建立平面直角坐标系．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面 ．已知球门高为． (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； (2)对本次训练结果进行分析，若球射向球门的路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点正上方处射进球门？ 【变式 6】．小红观察到一处喷水景观喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：喷水装置竖立在地面上，建立如图所示的平面直角坐标系，其中一条水柱距地面的高度y（m）与水柱距喷水头的水平距离x（m）之间满足关系式． (1)求喷头P与地面的距离OP； (2)已知身高的小红现直立在距离喷水装置的水柱正下方的点B处，此时她的头顶并未接触到水柱，小红想要继续沿方向直立行走，当她的头顶恰好接触到水柱时，距离点B多远？ 【变式 7】．芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率． 题型十 二次函数综合 解｜题｜技｜巧 1. 数形结合：画出函数图象草图，直观理解开口方向、对称轴和顶点位置 2. 分类讨论：根据参数取值范围或图形位置关系，分情况系统分析 3. 等量转化：将几何条件（如三角形面积、线段相等）转化为代数方程 4. 整体代换：运用韦达定理处理交点相关问题，避免繁琐计算 5. 验证排除：对求得的结果进行几何意义检验，排除不符合题意的解 【典例 1】．如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点．若点为该二次函数的顶点， (1)求二次函数的表达式； (2)求线段长度的最大值． 【典例 2】．如图，已知抛物线经过，B两点． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)当时，直接写出y的取值范围； (3)P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标． 【典例 3】．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C． (1)求b的值； (2)如图，M是第一象限抛物线上的点，，求点M的横坐标． 【典例 4】．如图，顶点为的抛物线分别与轴相交于点，（点在点的右侧）与轴相交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)判断是否为直角三角形，并说明理由： (3)求四边形的面积． 【典例 5】．如图为一个汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分．如图，棚顶的竖直高度（单位：）与距离停车棚支柱的水平距离（单位：）近似满足函数关系，已知点在该函数图象上． (1)求车棚支柱的高度； (2)若一辆箱式货车按如图所示的方式在停车棚下避雨，货车截面可以看作长，宽的矩形，请通过计算判定货车是否能够完全停到车棚内（即点位于点正下方时，点是否在抛物线下方）． 【变式 1】．如图，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)设点P为对称轴上的一点，若使最小，求出此时点P的坐标： (3)设抛物线的顶点为D，轴于点E，在y轴上是否存在点M使得是直角三角形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由 【变式 2】．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且，P是第一象限内抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P关于直线的对称点恰好落在直线上，求点P的坐标； (3)动点M，N在直线上，其横坐标分别为m，，设的面积为S，若，设点P的横坐标为t，求t的取值范围． 【变式 3】．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求该拋物线的解析式； (2)点为该抛物线上的一点、且在第二象限内，连接，若，求点的坐标； (3)若点为线段上一动点，试求的最小值． 【变式 4】．如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于C点，已知点A、B的坐标分别是、． (1)求该抛物线的解析式； (2)在x轴上是否存在一点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式 5】．已知抛物线，为实数． (1)当y有最小值0时，求x的值； (2)求证：不论为何值，抛物线的顶点都在同一条直线l上，并写出直线l的解析式． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．某种商品每天的销售利润元与单价元之间的函数关系式为，则这种商品每天的最大利润为（    ） A．50元 B．60元 C．40元 D．30元 2．在平面直角坐标系中，对于点，若，则称点P为“同号点”，下列函数的图象上不存在“同号点”的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，等腰与矩形DEFG在同一水平线上，，现将等腰沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达DE之时开始计算，至AB离开GF为止．等腰与矩形DEFG的重合部分面积记为y，则能大致反映y与x的函数关系的图象为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．将抛物线先向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，可得到抛物线 ． 5．某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行 m才能停下来． 三、解答题 6．已知抛物线向左平移两个单位长度后，所得抛物线的解析式为． (1)求，的值； (2)说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．某种商品每天的销售利润元与单价元之间的函数关系式为，则这种商品每天的最大利润为（    ） A．50元 B．60元 C．40元 D．30元 2．在平面直角坐标系中，对于点，若，则称点P为“同号点”，下列函数的图象上不存在“同号点”的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，等腰与矩形DEFG在同一水平线上，，现将等腰沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达DE之时开始计算，至AB离开GF为止．等腰与矩形DEFG的重合部分面积记为y，则能大致反映y与x的函数关系的图象为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．将抛物线先向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，可得到抛物线 ． 5．某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行 m才能停下来． 三、解答题 6．已知抛物线向左平移两个单位长度后，所得抛物线的解析式为． (1)求，的值； (2)说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．抛物线与的形状相同，而开口方向相反，则的值是（    ） A． B．2 C． D． 2．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可以是（   ） A．   B．   C．   D．   3．若直角坐标系内两点M、N满足条件①M、N都在函数y的图象上②M、N关于原点对称，则称点对是函数y的一个“共生点对”（点对与看作同一个“共生点对”），已知函数，则函数y的“共生点对”有（   ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 4．已知抛物线（m，n是实数且）经过． （1）若，则该抛物线的顶点坐标为 ； （2）若该二次函数满足当时，总有y随x的增大而减小，则代数式的最小值为 ． 5．已知二次函数，当时，函数值；当时，．若点，都在函数上，且，则的取值范围是 ． 三、解答题 6．我省某风景区统计了近三年国庆节的游客人数．据统计，年国庆节游客人数约为3万，年国庆节游客人数约为万． (1)求年到年该风景区国庆节游客人数的年平均增长率． (2)已知该风景区有A，B两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示： 购票方式 甲 乙 丙 可游玩景点 A B A和B 门票价格 元/人 元/人 元/人 据预测，年国庆节选择甲、乙、丙三种购票方式的游客各有2万人，当甲、乙两种门票的价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有名原计划购买甲种门票的游客和名原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票，当丙种门票的价格下降多少元时，该风景区国庆节的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？ 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数（期中复习讲义） 二次函数是初中数学的核心内容，也是中考的压轴题考点。本专题涉及二次函数的图象、性质、解析式求法及其综合应用，在中考中分值占比约15-20分，题型覆盖选择、填空、解答题的所有题型，尤其重视数形结合思想和综合应用能力的考查。 核心考点 复习目标 考情规律 1. 二次函数的概念与定义 能准确识别二次函数，根据定义求参数，会列二次函数关系式。 基础题，常以选择题出现。易错点是忽略二次项系数不为0的条件。 2. 二次函数的图象与性质 掌握各类二次函数的图象特征，能由解析式判断开口、顶点、对称轴，掌握图象平移规律。 高频考点，选择、填空、解答题都会出现。重点考查数形结合能力。 3. 待定系数法求解析式 能根据已知条件，灵活运用一般式、顶点式、交点式求二次函数解析式。 常规题，常作为解答题的第一问出现，为后续综合问题做铺垫。 4. 二次函数的最值问题 会求二次函数在给定区间内的最值，能解决相关实际问题。 中档题，应用题的核心考点。易错点是忽略自变量取值范围。 5. 二次函数与一元二次方程的关系 理解二次函数与一元二次方程的联系，会求交点坐标，能用图象法解不等式。 综合题，考查函数与方程思想的转化。是中考必考内容。 6. 二次函数的实际应用 能将拱桥、投球、销售等实际问题转化为二次函数模型求解。 压轴题级别，难度较大。考查建模能力和解决实际问题的综合素养。 7. 二次函数与几何综合 能结合三角形、四边形等几何知识，综合运用二次函数解决问题。 压轴题，难度最大。考查知识迁移能力和综合运用能力。 8. 二次函数图象的平移与变换 掌握二次函数图象平移的规律，能根据变换求解析式。 中档题，要求理解平移的本质是顶点坐标的变化。 知识点01 二次函数的概念与定义 1.二次函数的概念 形如的函数叫做二次函数。此函数表达式为二次函数的一般形式。 其中：是自变量，是函数解析式的二次项系数；是函数解析式一次项系数；是函数解析式的常数项。又是二次函数的一般形式。 判断二次函数时，把二次函数化为一般形式，右边一定要是整式，最高次数是2且二次项系数不等于0。 2.二次函数解析式的表示方法 ①一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）． ②顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）． ③交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0． 3.易错点 ①二次项系数a≠0是函数为二次函数的必要条件 ②自变量x的取值范围通常是全体实数，但在实际问题中要具体分析 知识点02 第二部分：二次函数的图象与性质 二次函数形式 一般式 （a≠0） 顶点式 （a≠0） 两点式 （a≠0） 开口方向 a＞0 a＜0 a＞0 a＜0 a＞0 a＜0 开口向上 开口向下 开口向上 开口向下 开口向上 开口向下 开口大小 的绝对值越大，开口越小 的绝对值越小，开口越大 顶点坐标 对称轴（函数值相等的两个点一定关于对称轴对称） 离对称轴越远函数值越大； 离对称轴越近函数值越小 离对称轴越远函数值越小； 离对称轴越近函数值越大 离对称轴越远函数值越大； 离对称轴越近函数值越小 离对称轴越远函数值越小； 离对称轴越近函数值越大 离对称轴越远函数值越大； 离对称轴越近函数值越小 离对称轴越远函数值越小； 离对称轴越近函数值越大 增减性 对称轴右边y随x的增大而增大。 对称轴左边y随x的增大而减小。 对称轴右边y随x的增大而减小。 对称轴左边y随x的增大而增大。 对称轴右边y随x的增大而增大。 对称轴左边y随x的增大而减小。 对称轴右边y随x的增大而减小。 对称轴左边y随x的增大而增大。 对称轴右边y随x的增大而增大。 对称轴左边y随x的增大而减小。 对称轴右边y随x的增大而减小。 对称轴左边y随x的增大而增大。 最值 函数有最小值，这个值是。 函数有最大值这个值是。 函数有最小值，这个值是。 函数有最大值这个值是。 与y轴交点坐标 （0，c） 2.二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图象的画法 ①一般方法：列表、描点、连线； ②简易画法：五点定形法. 3.易错点 1 平移时要注意是针对x还是针对y进行变换 ② 顶点坐标的符号容易出错，特别是hh为负数 知识点03：待定系数法求解析式 1、二次函数的解析式有三种常见形式： ①已知三点求二次函数解析式的方法叫做一般式法． 一般式：y＝ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②知道抛物线的顶点坐标，求解析式的方法叫做顶点式法. 顶点式：y＝a（x﹣m）²+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③已知道抛物线与x轴的交点，求解析式的方法叫做交点式法． 交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0，其中x1，x2还图象与x轴的两个交点的横坐标）； 2、二次函数的解析式有三种常见形式： ①设：根据已知条件，设出合适的二次函数表达式； 2 代：把已知条件代入，得到关于待定系数的方程（组）； 3 解：解方程（组），求出待定系数的值； ④写：写出二次函数的表达式． 3、设特殊二次函数表达式的技巧 ①若抛物线的顶点在原点，则表达式可设为y＝ax²； ②若抛物线的对称轴是y 轴，则表达式可设为y＝ax2+c ； ③若抛物线经过原点，则表达式可设为y＝ax2+bx ； ④若抛物线的顶点在x轴上，则表达式可设为y＝a（x﹣m）2 . 4.易错点 ①注意选择最简捷的形式，减少计算量 ②解方程组时要细心，避免计算错误 ③最后要检验结果是否正确 知识点04：二次函数的最值问题 1.二次函数的最值问题 自变量取值范围 图象 最大值 最小值 全体实数 a>0 当x=时，二次函数取得最小值 a<0 当x=时，二次函数取得最大值 x1≤x≤x2 a>0 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x1时，二次函数取得最大值y1 当x=时，二次函数取得最小值 当x=x2时，二次函数取得最大值y2 当x=x1时，二次函数取得最小值y1 2.易错点 ①求区间最值时必须考虑对称轴与区间的相对位置 ②实际问题中自变量的取值范围往往有限 知识点05：二次函数与一元二次方程的关系 1.二次函数与轴的交点（二次函数与一元二次方程）： ①与轴有两个交点有2个不相等的实数根根的判别式＞0。 ②与轴有1个交点有2个相等的实数根根的判别式=0。 ③与轴没有交点没有实数根根的判别＜0。 2.与（m为常数且不为0）的交点： ①若与有两个交点，则方程的根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根。 ②若与有一个交点，则方程的根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根。 ③若与没有交点，则方程的根的判别式小于0，方程没有实数根。 3.易错点 ①解不等式时要考虑开口方向 ②交点个数由判别式决定，但要注意验证 知识点06：二次函数的实际应用 1. 列一元二次方程解决实际问题的基本步骤： ①审：理解题意，明确常量、变量以及它们之间的数量关系． ②设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． ③列：建立二次函数模型，根据题目的数量关系列出二次函数解析式． ④解：根据已知条件，借助二次函数的图像与性质解决实际问题． ⑤验：检验结果，得出符合实际意义的结论． ⑥答：写出答案。 2.常见应用类型： （1）拱桥问题： ①建立坐标系，以桥拱最高点为原点或顶点 ②利用对称性求解析式 ③解决车辆通行、水位变化等问题 （2）投球问题： ①轨迹为抛物线，建立直角坐标系 ②确定起点、最高点、落地点 ③求最大高度、最远距离等 （3）销售问题： ①建立利润与售价或销量的二次函数关系 ②求最大利润及相应的定价策略 （4）面积问题： ①用变量表示图形的边长 ②建立面积关于边长的二次函数 ③求面积的最大值或最小值 3.易错点： ①实际问题中自变量往往有实际意义限制 ②答案要符合实际情况，必要时取近似值 ③要写出符合题意的答语 知识点07 二次函数与几何综合 1.二次函数与图形面积问题： 解决图形的面积时，常会涉及线段与线段之间的关系，根据图形找出面积与线段的关系，将其转化为二次函数问题，然后利用二次函数的图像与性质解决问题。 2.二次函数解决抛物线形的形状问题与运动轨迹问题： ①建立适当的平面直角坐标系，将抛物线形状的图形放置在平面直角坐标系中。 ②从已知条件和图像中获取求二次函数表达式所需要的条件。 ③利用待定系数法求函数表达式。 ④运用求出的抛物线的图像和性质解决实际问题。 3.二次函数与等腰（或直角）三角形的存在性问题： ①明确构成三角形的三个点； ②利用两点间的距离公式表示出三边的距离； ③若构成等腰三角形，则利用两两相等建立方程求解；若构成直角三角形，则利用勾股定理建立方程求解。 4.二次函数与平行四边形的存在性问题： ①明确构成平行四边形的四个点及其相应的对角线； ②利用相应的对角线的端点坐标结合中点坐标公式建立方程求解。 知识点08 二次函数图象的平移与变换 1. 函数平移规律： 函数分为左右平移和上下平移；左右平移在自变量上进行加减，规律为左加右减；上下平移在函数解析式整体上进行加减，规律为上加下减。与之间的平移： 可将进行上下平移个单位同时再左右平移h个单位得到函数。 2.伸缩变换： ∣a∣越大，开口越小；∣a∣越小，开口越大 3. 易错点： ①平移时注意符号：左加右减是针对x本身 ②多个变换时要注意顺序 题型一 解析式求解 解｜题｜技｜巧 1. 根据已知条件选择一般式、顶点式或交点式。 2. 代入点坐标建立方程组求解。检验结果确保满足所有条件。 3. 若图形中无直角三角形，需通过作高来构造。 【典例1】小亮爸爸想用长为的栅栏围成一个矩形羊圈，如图所示，羊圈的一边靠墙，另外三边用栅栏围成．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则y与x的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解题关键．设矩形与墙垂直的一边长为，面积为，则与墙平行的一边长为，即可得到解析式． 【详解】解：设矩形与墙垂直的一边长为，面积为， 则y与x的函数关系式是， 故选：D． 【典例2】．若函数是关于的二次函数．则常数的值是（    ） A．1 B． C．2 D．2或 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的定义，列出关于的方程和不等式是解题的关键．根据二次函数的定义即可得出关于的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解： 是关于的二次函数， ， 解得：． 故选：B． 【典例3】已知是二次函数，且当时，随的增大而增大． (1)求的值； (2)直接写出抛物线的顶点坐标和对称轴． 【答案】(1) (2)顶点坐标为，对称轴为y轴 【分析】本题考查了二次函数的定义：形如（，a、b、c为常数）的函数叫二次函数．也考查了二次函数的性质． （1）根据二次函数的定义得到且，解得，，由于当时，y随x的增大而增大，根据二次函数的性质则有，于是得到； （2）根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵是二次函数， ∴且， 解得，， ∵二次函数当时，y随x的增大而增大， ∴二次函数的图象的开口向下，即， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∴顶点坐标为，对称轴为y轴． 【变式1】下列命题中正确的有（   ）个． ①二元二次方程有无数组解． ②某四边形面积等于两对角线乘积的一半，则这个四边形是菱形． ③“任意作一条直线，并作出它的中点”是必然事件． ④形如的函数为二次函数． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】依次对每个命题，依据相关数学定义、性质判断正误，统计正确命题个数．本题主要考查二元二次方程的解、四边形面积与对角线的关系、必然事件与不可能事件的判定、二次函数的定义，熟练掌握这些概念和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴或，即时可取任意实数，时可取任意实数 方程有无数组解，故①正确，符合题意； 对角线互相垂直的四边形面积等于两对角线乘积的一半，菱形是对角线互相垂直的平行四边形，但仅面积满足此条件的四边形，对角线不一定互相平分，不一定是菱形（如对角线互相垂直的梯形），故②错误，不符合题意． 直线无限延伸，无长度，不存在中点，“任意作一条直线，并作出它的中点”是不可能事件，故③错误，不符合题意． 形如（）的函数才是二次函数，当时是一次函数，故④错误，不符合题意． 综上，只有①正确，共个， 故选：． 【变式2】二次函数的图象与轴有交点，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了二次函数的定义以及二次函数与x轴交点问题，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键，注意不要漏掉．根据二次函数的定义可知，然后由题意令，得出一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式大于或等于0，解不等式即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴有交点， 令，则， ∴且， 解得且． 故答案为：且． 【变式3】1．下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出a，b，c的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)是二次函数， (2)是二次函数， (3)不是二次函数 【分析】本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的定义，一般形式，是解题的关键．形如（a、b、c是常数，）的函数，称为二次函数． （1）化成一般形式，根据二次函数的定义判定，写出各项系数； （2）化成一般形式，根据二次函数的定义判定，写出各项系数； （3）化成一般形式，是一次函数，不是二次函数． 【详解】（1）解：∵， ∴是二次函数，． （2）解：∵， ∴是二次函数，． （3）解：∵， ∴不是二次函数． 题型二 图象与性质分析 解｜题｜技｜巧 1. 通过系数符号判断开口方向和对称轴位置。 2. 利用判别式确定与x轴交点个数。 3. 结合顶点和端点分析函数变化趋势。 【典例1】二次函数的部分图象如图所示．以下错误的是（   ） A． B． C．抛物线与正半轴的交点在0和1之间 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．根据二次函数的开口向下，与轴的交点位于轴正半轴可得，则可得，选项A正确；根据二次函数的对称轴为直线可得，选项B错误；根据抛物线与轴负半轴的交点在和之间，结合二次函数的对称性即可得选项C正确；根据当时，即可得选项D正确． 【详解】解：∵二次函数的开口向下，与轴的交点位于轴正半轴， ∴， ∴，选项A正确； 由函数图象可知，二次函数的对称轴为直线， ∴，选项B错误； 由函数图象可知，抛物线与轴负半轴的交点在和之间， ∴抛物线与正半轴的交点在和之间，即在0和1之间，选项C正确； 又∵二次函数与轴的交点位于轴正半轴， ∴当时，，选项D正确； 故选：B． 【典例2】．二次函数（a，b，c为常数，且）与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列关于二次函数的说法中正确的是（    ） A．二次函数图象的对称轴是直线 B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是3 C．当时，y随x的增大而减小 D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是8 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，解决本题的关键是求出二次函数解析式． 利用待定系数法求出二次函数解析式，再根据其性质，对称性，增减性进行判断即可． 【详解】解：将二次函数转化为， 又∵二次函数的顶点坐标为， ∴， ∵二次函数与x轴的一个交点的横坐标是， ∴ ， ∴二次函数的解析式为， ∴二次函数图象的对称轴是直线，故选项A错误； ∵二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标是，对称轴是直线， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是4，故选项B错误； ∵，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大，故选项C错误； 将代入解析式得 ， ∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是8，故选项D正确， 故选D． 【典例3】．4．已知四个二次函数的图像如图所示，那么的大小关系是 ．（请用“>”连接排序） 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质，掌握二次项系数与图像的关系是解题的关键． 直接利用二次函数的图像开口大小与a的关系即可得出答案． 【详解】解：如图所示：根据图像可知的图像和的图像的开口向上，且的图像的开口小于的图像的开口， 则． 根据图像可知的图像和的图像的开口向下，且的图像的开口大于的图像的开口， 则． ∴． 故答案为：． 【变式1】 如图，抛物线与抛物线交于点，以下结论： ①无论取何值，总是负数； ②抛物线可由抛物线向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到； ③当时，随着的增大，的值先增大后减小； ④当直线与抛物线有3个交点时，． 下列说法正确的是（    ） A．只有①正确 B．只有②④正确 C．只有③④不正确 D．①②③④都正确 【答案】C 【分析】本题考查二次函数顶点式的图象及性质，二次函数的平移等．根据题意逐一对序号进行判断分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵，且， ∴的最大值为， ∴无论取何值，总是负数，故①正确； 把点代入得： ，解得：， ∴， ∴的顶点坐标为， ∵， ∴顶点坐标为， ∴抛物线可由抛物线向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到的，故②正确； ， ∴当时，的值随着的增大而减小，故③错误； 根据题意得：当直线与抛物线有3个交点时，直线过的顶点或点A， 此时或，故④错误． 故选：C 【变式2】5．已知抛物线，当时，随的增大而减小，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数的图像与性质、解一元一次不等式等知识，根据二次函数解析式得出对称轴是解题关键． 先求得抛物线的对称轴，再由条件可求得关于m的不等式，求解即可得答案． 【详解】解：∵抛物线，二次项系数为， ∴抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线． ∴在对称轴左侧，随的增大而减小；在对称轴右侧，随的增大而增大． ∵当时，随的增大而减小， ∴． 解得． 故答案为：． 【变式3】．已知二次函数． (1)直接写出二次函数的对称轴和顶点坐标______，______； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象，在图中标出与y轴交点坐标； (3)当y随x的增大而减小时，直接写出x的取值范围______． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，与坐标轴的交点求法，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后画出函数图象找出自变量x的范围，锻炼了学生数形结合的思想方法． （1）根据二次函数顶点式，即可得到对称轴和顶点坐标； （2）确定顶点、与坐标轴交点，再利用描点法画出函数图象即可； （3）根据（2）中函数图像变化趋势写出答案即可． 【详解】（1）因为二次函数， 所以对称轴为，顶点坐标为， 故答案为：；． （2）当时，， 解得或， 则二次函数与轴的交点坐标为， 当时，， 则二次函数与y轴交点为， 所以作图如下： （3）由（2）知，当时，y随x的增大而减小， 故答案为：． 【变式4】．在平面直角坐标系中，二次函数图象顶点为A，与x轴正半轴交于点B． (1)求点B的坐标，并画出这个二次函数的图象； (2)结合函数图象，直接写出时，x的取值范围； (3)一次函数的图象过A，B两点，结合图象，直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)，图象见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，描点法画函数图象，利用二次函数图象与直线的交点确定不等式的解集，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）利用二次函数的性质求出图象与横轴的交点坐标即可，利用描点法画出函数图象； （2）利用二次函数图象和坐标轴的交点确定不等式的解集即可； （3）利用利用二次函数图象与直线的交点坐标确定不等式的解集即可． 【详解】（1）解：当时，得或， ∵点位于x轴正半轴， ∴； 列表得： 0 1 2 3 3 0 0 3 描点，画出函数图象如下： （2）解：由图象得，当时，； （3）解：如图所示， 当时，． 题型三 区间最值问题 解｜题｜技｜巧 1. 确定对称轴与给定区间的位置关系。 2. 分类讨论顶点和端点处函数值大小。 3. 注意区间开闭对最值的影响。 【典例1】．1．二次函数的最小值是（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查将二次函数一般式化为顶点式，二次函数的最值，掌握相关知识是解决问题的关键．将二次函数通过配方化为顶点式，即可求出函数最小值． 【详解】解：∵ ， ， ， ∴二次函数的最小值为2． 故选：B． 【典例2】．二次函数在的范围内有最小值 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，二次函数的最值，掌握相关知识是解决问题的关键．先求出二次函数图像的对称轴为直线，对称轴在的范围内，利用二次函数的增减性求得最小值即可． 【详解】解：， 则二次函数图像的对称轴为直线，且开口向下， 在时，y随x的增大而增大， ∴当时，， 在时，y随x的增大而减小， ∴当时，， ， 故在范围内最小值为． 故答案为：． 【典例3】．对称轴为直线的抛物线（为常数，且）如图，小明同学得出了以下结论：①；②；③；④；⑤（为任意实数）；⑥当时，随的增大而增大．其中结论正确的为（   ）． A．①②④ B．②③④ C．②④⑤ D．②④⑥ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点确定． 由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】①由图象可知：， ∵， ∴， ∴，故①错误； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴，故②正确； ③当时，，故③错误； ④当时，， ∴，故④正确； ⑤当时，y取到值最小值，此时，， 而当时，， 所以， 故，即，故⑤正确， ⑥当时，y随x的增大而减小，故⑥错误， 所以②④⑤正确． 故选：C． 【变式1】．二次函数的图像，下列说法正确的是（   ） A．对称轴为直线 B．最大值为4 C．与y轴交点为 D．图像过点 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，与坐标轴的交点，函数的最值问题． 先将化为顶点式，即可求解对称轴，最值，令可得图像与y轴的交点，把代入函数解析式计算值是否等于即可判断是否经过点． 【详解】解：， ∴对称轴为直线，故A错误，不符合题意 ∵， ∴函数的最大值为，故B正确，符合题意； 对于，当， ∴与y轴交点为，故C错误，不符合题意； 当时，， 则图像不经过点，故D错误，不符合题意； 故选：B． 【变式2】．已知抛物线经过点、两点． (1)求二次函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)当时，请直接写出y的取值范围． 【答案】(1)二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为 (2)当时，y的取值范围为 【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数一般式化为顶点式； （1）将点、代入解析式中建立关于a、b的二元一次方程组，即可求解； （2）运用数形结合思想，抛物线的对称轴为在范围之内，所以y的最小值就是当时y的值，y的最大值就是当时y的值. 【详解】（1）解：将、代入， 得，解得， ∴抛物线的解析式为， 将解析式化为顶点式 故其对称轴为直线，顶点坐标为. （2）解：根据抛物线解析式，可画图其图象： ∵对称轴为在范围之内， ∴y的最小值就是当时，， ∵范围的右边端点离对称轴更远且抛物线开口向上， ∴y的最大值就是当时，， 故当时，y的取值范围为. 【变式3】．如图1，抛物线与轴交于点A，（A点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线上一个动点，连接，，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图2所示，当点在直线上方运动时（不含、点），设面积为S，写出S与点横坐标的函数关系，并写出的取值范围． (3)求（2）的条件下，S的最大值．在 【答案】(1) (2)，x的取值范围为 (3)S的最大值为6 【分析】本题主要考查二次函数的综合，掌握二次函数图像的性质、待定系数法求解析、数形结合和正确的做出辅助线是解题的关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）过点P作轴交于E点，根据题意，求出直线的解析式，进而求出点P的坐标和E的坐标，再根据三角形的面积公式即可求解； （3）根据二次函数顶点式的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点、， ∴， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：设直线的解析式为， 又∵，， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 如图，过点P作轴交于E点， ∵点横坐标为， ∴设，， ∴， ∴ ， ∵点在直线上方运动， ∴x的取值范围为； （3）解：由（2）得， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为6． 题型四 二次函数的对称 解｜题｜技｜巧 1.对称点横坐标和等于对称轴两倍，纵坐标相同。 2.到对称轴距离相等的点，函数值相同。等腰三角形顶点在对称轴， 3.最短路径用对称转化。 【典例1】．已知抛物线经过点，点，在此抛物线上，当，时，恒成立，则下列说法错误的是（    ） A．抛物线的对称轴是直线 B．抛物线经过点 C．抛物线开口向上 D．抛物线的顶点坐标为 【答案】D 【分析】本题考查了把化成顶点式，二次函数的图象与性质，解题关键是求出对称轴． 先将点代入抛物线解析式中，求得与的关系式，求出对称轴，可判断A； 利用对称性可求出点的对称点，从而可判断B；利用对称性可求出点的对称点，根据当，时，恒成立，分两种情况画出草图，可判断C；根据上述解析，得出当时，，求出的值，可判断D． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴，解得：， ∴抛物线的对称轴为， 故A正确； 点关于对称轴的对称点为，故B正确； ∵抛物线的对称轴为，点在此抛物线上，且， ∴点关于对称轴的对称点为，且， 当，时，由题意描点，结合点关于对称轴的对称点可知抛物线开口向上， 当，时，由题意描点，不符合二次函数图象，此种情况不存在， 则抛物线开口向上，故C正确； ∵当时，，当时，， ∴当时，， ∴， 解得：， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为，故D错误， 故选：D． 【典例2】．二次函数的部分对应值如表：以下结论不正确的是（    ） A．抛物线的顶点坐标为 B．与轴的交点坐标为 C．与轴的交点坐标为和 D．当时，对应的函数值为 【答案】C 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由表格可知，二次函数的图象的对称轴为直线，则可得抛物线的顶点坐标为；由表格可知，当时，，则抛物线与轴的交点坐标为；由表格可知，当时，，则抛物线与轴的一个交点坐标为，结合抛物线的对称性可得抛物线与轴的另一个交点坐标为；结合抛物线的对称性可知，对应的函数值与对应的函数值相等，则可得当时，对应的函数值为． 【详解】解：由表格可知，二次函数的图象的对称轴为直线， 当时，， 抛物线的顶点坐标为．故A选项正确，不符合题意； 由表格可知，当时，， 与轴的交点坐标为．故B选项正确，不符合题意； 由表格可知，当时，， 抛物线与轴的一个交点坐标为， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 抛物线与轴的交点坐标为和，故C选项不正确，符合题意； 抛物线的对称轴为直线， 对应的函数值与对应的函数值相等， 由表格可知，当时，， 当时，对应的函数值为．故D选项正确，不符合题意． 故选：C． 【典例3】．拋物线与轴相交于点．下列结论： ①；②对称轴；③；④若点在抛物线上，且，则．其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象及性质．根据抛物线与x轴的交点可判断①②；再根据抛物线的开口方向可判断③；结合抛物线的性质可判断④，进而可得本题答案． 【详解】解：∵与轴相交于点 ∴与轴两个交点，即， ∴，即①正确； ∴对称轴为直线，即②不正确； ∵， ∴抛物线的开口向下， ∴时，， ∴当时，，即：， ∴③正确； ∵点在抛物线上，且， ∴比更靠近对称轴， ∴，即， 两边平方，得， 解得：，即④正确， 故选：C． 【变式1】．已知点都在二次函数的图像上，则的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系，二次函数的图像和性质． 先根据函数解析式得出开口方向及对称轴，进而得出图像的增减性，求出关于对称轴的对称点，再比较各点的横坐标即可． 【详解】解： 的对称轴为直线，二次项系数为， 抛物线开口向下，在对称轴左侧，函数值随x的增大而增大，在对称轴的右侧，函数值随x的增大而减小， 关于对称轴的对称点为，， ， 故答案为：． 【变式2】．如图，二次函数的图象过点，抛物线的对称轴是直线，顶点在第一象限，给出下列结论：①；②；③；④若、（其中）是抛物线上的两点，且，则．其中正确的结论有（　  　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数的图象与各项系数符号的关系是解题关键．根据二次函数的性质可得，，，即可判断结论①；由处的函数值可判断结论②；由处函数值可判断结论③；根据得到点到对称轴的距离等于点到对称轴的距离可判断结论④． 【详解】解：∵二次函数开口向下， ∴， ∵二次函数的对称轴是直线， ∴，， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象过点，抛物线的对称轴是直线， ∴由对称性可得二次函数与x轴的另一交点为， 由函数图象可得时，， ∴，故②正确； 时，， ， ，即，故③错误； ∵对称轴是直线， ∴若，即时，故④正确． 综上所述，正确的选项是①②④，共3个． 故选： C． 【变式3】．已知抛物线（a，b，c是常数，）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 y m n (1)根据以上信息，可知抛物线开口向__________，对称轴为__________； (2)求抛物线的表达式及m，n的值； (3)请在下面的平面直角坐标系内画出抛物线图象．设点P为抛物线上的动点，的中点为，描出相应的点并用平滑的曲线连接起来，试说明该曲线是哪种曲线？ (4)设直线与抛物线以及（3）中的点所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为，请你根据图象直接写出线段之间的数量关系：__________． 【答案】(1)上；直线 (2)； (3)抛物线图象见详解；所在曲线为抛物线，理由见详解 (4) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式等知识，综合性较强，难度较大，理解二次函数的对称性是解题关键． （１）根据抛物线的对称性得到对称轴为直线，结合抛物线对称性即可得到抛物线开口向上； （２）利用待定系数法即可求出抛物线的表达式为，进而即可求出，； （３）利用描点法即可画出抛物线图象，设点，得到，令，得到从而得到点所在的曲线是抛物线，其表达式为； （４）解：设的横坐标为，得到，根据抛物线对称性得到，，即可求出． 【详解】（1）解：由表格信息可知，抛物线的对称轴为直线，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，所以抛物线开口向上． 故答案为：上，直线； （2）解：由题意得点都在抛物线上， ∴，解得， 所以抛物线的表达式为， 当时，， 当时，； 即； （3）解：抛物线图象如图． 点所在的曲线是抛物线，如图，理由如下： 设点， ∵为的中点， ∴， 令，即，则 所以，点所在的曲线是抛物线，其表达式为； （4）解：设的横坐标为， ∴， 由题意得点关于抛物线对称轴对称， ∴抛物线对称轴为， ∴， 由题意得点关于抛物线对称轴对称， ∴抛物线对称轴为， ∴， ∴． 题型五 待定系数法求二次函数解析式 解｜题｜技｜巧 1、根据已知条件选择合适形式（一般式、顶点式或交点式）。 2.将已知点的坐标代入解析式，建立关于系数的方程或方程组。 3.解方程求出未知系数，并代回还原得最终解析式。 【典例 1】已知二次函数经过点，则m的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象上的点满足二次函数解析式是解题关键．将点代入函数解析式求解即可． 【详解】解：将点代入函数解析式得，， ∴， 故选：D． 【典例 2】．二次函数的图象过点，，，，其中，为常数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把A、B、D的坐标代入，求出a、b、c，然后把C的坐标代入可得出m、n的关系，即可求解． 【详解】解：把，，代入， 得， 解得， ∴， 把代入， 得， ∴， ， 故答案为：． 【典例 3】．如图，已知抛物线经过、两点，与y轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)点Q为抛物线上一点，若，求出此时点Q的坐标． 【答案】(1) (2)，或 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与几何的综合，掌握二次函数的性质成为解题的关键． （1）设抛物线解析式为，然后将代入求解即可； （2）先求出，设点Q的纵坐标为m，再列绝对值方程可求得；然后再分和两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过、两点， ∴设抛物线解析式为 将代入得， 解得 ∴； （2）解：∵两点， ∴， 设点Q的纵坐标为m， ∵， ∴，即， 解得：， 当，有， 解得：或， ∴点Q的坐标为，； 当，有， 解得： ∴点Q的坐标为 综上，点Q的坐标为，或． 【变式 1】．已知抛物线的顶点坐标是，则m和n的值分别是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据顶点坐标，写出顶点式，进而转化为一般式，求出m和n的值即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， ∴抛物线的解析式为， ∴； 故选A． 【变式 2】．若抛物线的顶点坐标为，且形状与相同，开口方向相反，则其表达式为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，掌握关系式中系数的含义是解题的关键． 首先思考二次函数图像与系数之间的关系，知影响图像开口方向和大小，可确定值；其顶点坐标为，可得的值，即可求出了该函数解析式． 【详解】解：因为抛物线的形状与相同，开口方向相反， 所以， 所以， 因为顶点坐标为， 所以把，代入中，得， 所以抛物线得表达式为． 故答案为：． 【变式 3】．综合与实践 综合实践小组模拟某游乐园“光影塔”夜间灯光秀布局，通过对直线、抛物线的分析，解决与“光影塔”最高点、游客位置、观景平台相关的问题，感受数学在实际场景中的应用． 如图，经过塔基主入口的迎宾步道（把步道抽象成直线）与轴交于点．经过原点的抛物线交直线于点，抛物线顶点对应“光影塔”最高一束激光的末端． 初步感知 （1）求抛物线顶点的坐标． 拓展应用 （2）游客看作迎宾步道上一点，无人机航拍点是抛物线上一点，平行于轴且交轴于点，当时，求游客位置点的坐标． 延伸探究 （3）虚拟观景平台是直线上方抛物线上一点，连接，，设点的横坐标为，的面积为，求关于的函数解析式并化为顶点式． 【答案】（1）；（2）或；（3），化为顶点式为 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，解一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式，再把解析式化为顶点式，即可求解； （2）求出直线的解析式，然后求出点，设点E的坐标为，可得点，，则可得，，再根据建立方程，解方程即可得； （3）过点P作轴，交于点Q，由（2）得：点，，从而得到，再根据，即可列出函数解析式． 【详解】解：（1）把点，代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线顶点的坐标为． （2）由题意，画出图形如下： 设直线的解析式为， 把点，代入得：，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴， 设点的坐标为， ∵轴， ∴，， ∴，， 当点在的上方时，此时， ， 解得：或4（舍去）， 此时点的坐标为； 当点N在M的下方时，此时或， 若点M，N均在x轴上方，此时， ， 解得：或（舍去）， 此时点的坐标为； 若点M，N均在x轴下方，此时， ， 解得：或4，均不符合题意； 综上所述，点的坐标为或． （3）过点作轴，交于点， ∵点是直线上方抛物线上一点，且，点的横坐标为， ∴， 由（2）得：直线的解析式为， ∴，， ∴， ∵， ∴与的边上的高之和为， ∴ ， 综上，关于的函数解析式为，化为顶点式为． 题型六 二次函数图形的变换 解｜题｜技｜巧 1. 掌握平移、对称等变换规律。 2. 理解变换对解析式各系数的影响。 3. 通过关键点坐标验证变换结果。 【典例 1】．将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位后所得图象的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移法则：左加右减，上加下减，即可得出答案，熟练掌握二次函数的平移法则是解此题的关键． 【详解】解：将二次函数的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位后所得图象的函数解析式为，即， 故选：A． 【典例 2】．把二次函数向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的图像与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：根据“上加下减，左加右减”的原则可知，二次函数的图象向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的图像表达式为： ， 故答案为：． 【典例 3】．已知二次函数的部分图象如图所示． (1)求该抛物线与轴的另外一个交点坐标和的值． (2)将该抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，直接写出平移后抛物线的解析式并说明点是否在平移后的抛物线上． 【答案】(1)； (2)；点在平移后的抛物线上 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的对称性，二次函数图象的平移问题，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）根据题意可得对称轴和与x轴的一个交点坐标，则由对称性可求出与x轴的另一个交点坐标，再利用待定系数法可求出c的值； （2）根据（1）所求可得平移前的抛物线解析式，进而根据平移方式可得平移后的抛物线解析式，再求出当时，平移后抛物线所对应的函数值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，该抛物线的对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为， ∴该抛物线与轴的另外一个交点坐标为，即， 把代入中得，解得； （2）解：由（1）得该抛物线解析式为， ∴将抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后的抛物线解析式为， 在中，当时，， ∴点在抛物线上，即点在平移后的抛物线上． 【变式 1】．将抛物线向上平移个单位长度，得到的抛物线是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的平移规律，根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：抛物线向上平移个单位长度，， 故选：A． 【变式 2】．已知二次函数． （1）若二次函数的图象经过点，则 ． （2）将二次函数的图象向下平移2个单位长度，所得到的二次函数顶点纵坐标的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换以及二次函数的最值，关键是掌握平移的性质． （1）把代入二次函数解析式，解方程即可． （2）把二次函数解析式化为顶点式，根据平移的性质得出平移后的二次函数解析式，从而得到新函数的顶点坐标，最后根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】解：（1）二次函数的图象经过点， ，解得， 故答案为：． （2）， 将该二次函数的图象向下平移个单位长度， ， 所得到的二次函数顶点纵坐标为， ， ， 所得到的二次函数顶点纵坐标的最小值为． 故答案为：． 【变式 3】．如图，该二次函数的图象的顶点坐标为，与轴正半轴的一个交点的坐标为． (1)求该二次函数的解析式； (2)当时，请结合图象直接写出的取值范围； (3)若把此二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移个单位长度，图象恰好经过点，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】（1）已知顶点坐标，设顶点式，再利用待定系数法，代入已知点坐标求解即可； （2）令，代入函数解析式求出两个的值，结合该二次函数图象开口的方向即可确定的取值范围； （3）根据题意求出平移后新二次函数的解析式，再利用待定系数法，代入已知点坐标求解即可． 本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质和图象，函数图象的平移，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，并用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：根据二次函数的图象的顶点坐标为，设该二次函数的解析式为， 将函数与轴正半轴交点的坐标代入得， 解得， 则该二次函数的解析式为． （2）当时，， 整理得，解得， ∵二次函数中， ∴函数图象开口向上，当时，的取值范围是． （3）由题意，平移后的函数解析式为， 将点代入得，解得． 题型七 二次函数与一元二次方程 解｜题｜技｜巧 1.方程的解即函数图象与x轴交点的横坐标。 2.利用判别式判断交点个数（两个、一个或无交点）。 3.通过图象位置确定一元二次不等式的解集范围。 【典例 1】抛物线与x轴交于点，对称轴为，与y轴的交点在，之间（不包含端点），则下列结论：①；②；③若点，在抛物线上，则；④关于x的方程必有一实根大于2．其中结论正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据题意可得，再由对称轴为，可得，故①错误；根据，可得，再由与y轴的交点在，之间（不包含端点），可得，故②正确；根据二次函数图象的增减性可得，故③正确；根据题意可得直线经过和两点，当时，二次函数的值，从而得到直线上与抛物线必有一交点的横坐标大于2，故④正确． 【详解】解：抛物线与x轴交于点，对称轴为，与y轴的交点在，之间（不包含端点）， ∴抛物线开口向下， ∴． ∵对称轴为， ∴， ∴，故①错误； ∵， ∴， ∴， ∵与y轴的交点在，之间（不包含端点）， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵，对称轴为，且点M离对称轴的距离比点N离对称轴的距离小，且， ∴，故③正确； 对于抛物线，由对称性得：当时，， 对于， 当时，，当时，， ∴直线经过和两点， ∵， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∵， ∴， 即当时，y=3a,所以二次函数的值， ∴直线与抛物线必有一交点的横坐标大于2，故④正确． 故选C． 【典例 2】．已知二次函数的图像如图所示，对称轴是直线．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】本题考查的是二次函数图像与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式． 根据开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，确定a、b、c的符号，根据对称轴和图像确定当和时，的范围，确定代数式的符号． 【详解】解：由题图知，， ， 抛物线与轴交于负半轴， ， ，故正确； 对称轴为直线， ，即， ，故错误； 当时，， ，故正确； 当时，，对称轴为直线， 当时，， ，故正确． 故答案为：①③④． 【典例 3】．已知二次函数（m为常数）． (1)若点在该函数图像上，则 ； (2)证明：该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； (3)若该函数图像上有两个点、，当时，直接写出p的取值范围． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根的判别式，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将代入，解关于m的方程即可； （2）通过判别式判断二次函数图像与x轴交点情况； （3）根据二次函数的对称轴和增减性，确定p的取值范围． 【详解】（1）解：将代入，得：， 解得， 故答案为：2； （2）解：， ， ， ， 该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； （3）解：的对称轴为直线， 二次项系数， 二次函数图像开口向上， ， 点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ， 即， 或． 【变式 1】．如图所示，二次函数的图像的对称轴是直线，且经过点．有下列结论：①；②；③当时，随的增大而减小；④当时，；其中正确的结论有（      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，以及根据二次函数的图像判断式子符号，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据二次函数的图像与性质，逐个判断，即可解题． 【详解】解：①由图像可知，二次函数开口向下， 则， 故①错误； ②由图像可知，二次函数与轴有个交点， 则， 故②正确； ③当时，随的增大而增大， 故③错误； ④由图知，当时，， 故④正确； 综上所述，正确的结论有2个， 故选：B． 【变式 2】．已知抛物线经过点和点，且对称轴在y轴的左侧，则下列结论：①；②；③抛物线经过点；④关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确的是 （填写序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，一元二次方程．根据题意作出抛物线的示意图，根据图象的性质做出解答即可． 【详解】解：由题意作图如下： 由图知，，故①正确； ∵抛物线经过点和点， ∴， ∴，故②正确； ∵对称轴在y轴的左侧， ∴抛物线不经过，故③错误； 由图象知，抛物线与直线有两个交点，故关于x的一元二次方程即有两个不相等的实数根，故④正确； 综上，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 【变式 3】．已知，如图，抛物线与轴交于、两点（点在点左方），与轴相交于点，直线经过点、． (1)求的长度； (2)点为直线下方抛物线上一点，当四边形面积最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数与x轴的交点问题，二次函数的最值，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）令，求出一元二次方程的根，进而求得； （2）设点，根据B，C坐标，求出的函数关系式，过点P作y轴平行线交于D，设点P坐标，表示出点D坐标，进而求得的长，从而表示出的面积，进而表示出四边形的面积函数关系式，配方求得最大值即可． 【详解】（1）解：由得， ， ，， ，， ； （2）如图1， 设点， 点，， 的解析式是：， 如图，过点P作y轴平行线交于D， ， ， ， ， ， 当时，， 当时，， ． 题型八 二次函数与不等式 解｜题｜技｜巧 1.画出函数示意图，找到与x轴的交点。 2.根据开口方向确定不等式解集范围。 3.牢记“大于零取两边，小于零取中间”的口诀。 【典例 1】对于二次函数．有下列四个结论：①它的对称轴是直线；②设，，则当时，有；③它的图象与轴的两个交点是和；④当时，．其中正确的结论的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图像及性质，二次函数与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键，利用配方法求出二次函数对称轴，再求出图象与x轴交点坐标，进而结合二次函数性质得出答案． 【详解】解：， ∴它的对称轴是直线，故①正确； ∵对称轴两侧的增减性不一样， ∴设，则当时，有，故②错误； 当，则，解得：，故它的图象与x轴的两个交点是和，故③正确； ∵， ∴抛物线开口向下， ∵它的图象与x轴的两个交点是和， ∴当时，，故④正确． ∴正确的结论的个数为3， 故选：C． 【典例 2】．已知，是二次函数的图象上的两点，若，且，设，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，先求出抛物线的对称轴，根据，，结合抛物线开口方向利用抛物线的对称性可得，且，再根据即可解答． 【详解】解：∵二次函数图象的对称轴为，且， ∴二次函数的图象开口向下． ∵，且， ∴，且． ∴． ∴． ∵， ∴． 故选：C． 【典例 3】．已知二次函数 (1)求函数图像的顶点坐标及图像与坐标轴的交点坐标． (2)根据图像直接回答： ①当时，的取值范围； ②当时，的取值范围． 【答案】(1) 函数图像的顶点坐标为，图像与坐标轴的交点坐标为，，； (2) 当时，的取值范围是； 当时，的取值范围是或． 【分析】本题考查二次函数的顶点坐标，二次函数图像与坐标轴的交点，二次函数与不等式． （1）先将化成顶点式，从而确定顶点坐标，令可得函数图像与轴的交点坐标，令可得函数图像与轴的交点坐标； （2）根据图像，即可得当时，的取值范围；根据图像，即可得当时，的取值范围． 【详解】（1）解：二次函数， ∴顶点坐标为， 当时，， ∴函数图像与轴交于点， 当时，， 解得，， ∴函数图像与轴交于点，， ∴函数图像的顶点坐标为，图像与坐标轴的交点坐标为，，． （2）解：二次函数的图像： 当时，的取值范围是； 当时，的取值范围是或． 【变式 1】．二次函数的部分图象如图所示，其对称轴为直线，则下列结论：①；②；③；④当时，，其中正确的为 ． 【答案】① 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的相关性质，运用数形结合思想是解题的关键；根据开口方向，对称轴，抛物线与y轴的交点可以判断①，②，根据作差法即可判断③，函数图象在x轴的下方，结合图象即可判断④． 【详解】解：由图可知，该抛物线图象开口向下，且对称轴为直线， ，， ， 抛物线交y轴于正半轴， ， ，故①正确，符合题意； 对称轴为直线 ， ， ， ，故②不正确，不符合题意； ，， ， ，故③不正确，不符合题意； 由图象可知，当时，或，故④不正确，不符合题意； 综上所述，正确的为①， 故答案为：①． 【变式 2】．已知函数（）与轴的交点坐标为，．则函数（），当时，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 先根据二次函数的对称轴求出，从而可得两个函数的解析式，再根据二次函数图象的平移可得函数与轴的交点坐标，然后根据二次函数的性质求解即可得． 【详解】解：∵函数与轴的交点坐标为， ∴这个函数的对称轴为直线， ∴， ∴，， 观察两个函数的解析式可知，函数的图象是由函数的图象向左平移1个单位长度所得到的， ∴函数与轴的交点坐标为，，即为，， 又∵， ∴抛物线的开口向上， ∴时自变量的取值范围是， 故答案为：． 【变式 3】．如图，已知一次函数与二次函数的图象相交于点、，且二次函数与y轴相交于点C． (1)求m和n的值； (2)当时，求的取值范围； (3)请直接写出当时，自变量的取值范围． 【答案】(1)0，2 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的综合、求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）将点、代入即可求得m、n的值； （2）先求得抛物线的解析式，然后根据二次函数的性质求解即可； （3）由（1）可知一次函数与二次函数的图象的交点坐标，然后确定一次函数的图象在二次函数的图象上方部分所对的自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过点、， ∴，，解得：． （2）解：由（1）可知，， ∵二次函数的图象过点，， 则，解得：， ∴， ∵， ∴当时，有最小值； 当时，有最大值0； ∴当时，． （3）解：一次函数与二次函数的图象相交于点、，∴由函数图象可得：当时，自变量x的取值范围或． 题型九 二次函数与实际问题 解｜题｜技｜巧 1. 建立模型：识别问题中的变量与常量，确定自变量与因变量，建立二次函数关系式 2. 确定范围：根据实际问题确定自变量的取值范围，保证解的合理性 3. 求解分析：利用配方法或公式法求顶点坐标，分析函数在定义域内的单调性和最值 4. 验证答案：将数学结果还原到实际问题中，检验是否符合实际情况 5. 作出回答：用符合题意的语言给出最终答案，注意单位完整性 【典例 1】某工厂计划利用一块长为10米、宽为6米的矩形空地搭建一个矩形蔬菜大棚，大棚一边靠墙（墙足够长，可利用的墙长不超过8米），另外三边用篱笆围成，篱笆总长为16米．设大棚垂直于墙的一边长为x米，大棚的面积为S平方米，求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】；自变量取值范围是 【分析】本题考查二次函数的应用，解一元一次不等式组，解题的关键是根据题意构建二次函数模型． 根据题意利用矩形的面积公式，列出面积S关于x的函数解析式，再根据平行于墙的长大于0，不超过8米建立一元一次不等式组求解． 【详解】解：设大棚垂直于墙的一边长为x米， 由题意得：， ∴S与x之间的函数关系式为， 由题意得：， 解得， ∴自变量取值范围是． 【典例 2】．在矩形中，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，的长度等于？ (2)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在t的值，使的面积最大，若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或2时，； (2)存在秒，能够使得五边形的面积等于．理由见解析 (3) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的应用，正确的列出方程和二次函数的解析式是解题的关键： （1）表示出的长，根据勾股定理，列出方程进行求解即可； （2）分割法求五边形的面积，列出方程进行求解即可； （3）将的面积转化为二次函数求最值即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴当时，， 解得：或； （2）存在，理由如下： ∵五边形的面积， ∴当五边形的面积等于时，， 解得：或， ∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ∴当点到达点时，， ∴， ∴当时，五边形的面积等于； （3）存在， ∵， ∵， ∴当时，的面积最大为． 【典例 3】．一座桥如图，桥下水面宽度是20米，高是4米． (1)如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系，求抛物线的解析式； (2)要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？ 【答案】(1) (2)船的宽度须不超过10米 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确理解题意并运用二次函数的图象与性质解题是关键． （1）根据题意得，，所以可设抛物线的解析式为，再将代入解析式求解即可； （2）令，得到方程，可求出当高为3米时，船能通过的最大宽度，即得答案． 【详解】（1）解：由已知，抛物线的顶点D的坐标为，抛物线与x轴的交点B的坐标为， 设抛物线的解析式为， 将代入解析式，得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：令，则， 解得， 船的宽度须不超过米． 【典例 4】．校为调整学生的伙食，计划购买一批水果．市场调查发现，甲种水果售价元/千克与购买的质量千克之间的函数关系如图所示，乙种水果售价为5元/千克，两种水果共需购买240千克． (1)当时，求与的函数关系式； (2)若购买甲种水果不少于40千克，且购买乙种水果不低于甲种水果的2倍，如何购买两种水果才能使总费用(元)最少？最少是多少元？ 【答案】(1) (2)购买甲种水果千克，乙种水果千克时，总费用最少，最少为元 【分析】本题考查一元一次不等式组、一次函数、二次函数的应用； （1）利用待定系数法求解并写为分段函数的形式即可； （2）甲种水果的质量为a千克()，则购买乙种水果千克，根据题意列关于的一元一次不等式组并求解；按照不同的取值范围，分别根据“总费用甲种水果的售价甲种水果的购买质量乙种水果的售价乙种水果的购买质量”写出关于的函数关系式，根据函数的增减性和的取值范围分别求出当为何值时值最小，求出最小值及对应的值，比较的两个最小值，选择较小的一个即可． 【详解】（1）解：由图像可知，当甲种水果质量千克时，费用保持不变，为元千克， 所以函数关系式为：， 当甲种水果质量千克时，函数图像为直线， 设函数关系式为：， 将，和，分别代入函数关系式得： ， 解得：， ， 当时，与的函数关系式应为： ． （2）解：设甲种水果的质量为千克 ，则乙种水果的质量为千克， 乙种水果的质量不低于甲种水果质量的倍， ， 解得：， 的范围为：， 当时， ， 此时当最小时，最小， 即当时，有最小值元， 当时， ， 此时当时，离对称轴最远，最小， 即当时，有最小值 元， ， 当时总费用最少，为元，此时千克 故购买甲种水果千克，乙种水果千克时，总费用最少，最少为元． 【典例 5】．在一场篮球赛中，队员甲面对面传球给乙，出手后篮球的高度y（）与飞出的水平距离x（）满足． (1)这次传球的出手高度是__________，篮球飞行的最大高度是__________； (2)队员乙在篮球飞行方向上距甲6处，他的最大摸高是3，他在原地能接到球吗？如能接到，请计算说明：如不能，他应该前进或后退多少米才能接到？ 【答案】(1)；4 (2)不能，前进或后退 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）对于出手高度，令代入函数求值；求最大高度，将二次函数化为顶点式来确定． （2）先求时的值，与比较判断能否接到；若不能，令，解出的值，再与比较确定前进或后退的距离． 【详解】（1）解：令，代入得 ， 将化为顶点式得 ， ∴ 篮球飞行的最大高度是． 故答案依次为：；． （2）解：当时， ∵ ， ∴ 他在原地不能接到球． 令，则， 两边同乘得：， ， ， 解得，， ∴他应该后退能接到球或他应该前进能接到球． 【典例 6】．如图，某广场要建一个圆形喷水池，在池中心O处竖直放置一根水管，在水管的顶端A处安装一个喷水头，喷出的水柱是抛物线的一部分，已知落水点B到池中心O的距离为8米． (1)写出水柱离水面（x轴）的最大高度，并求水管的长度； (2)若在喷水池中竖直放置一盏高为米的景观射灯，且景观射灯的顶端F恰好碰到水柱，求景观射灯与池中心的水平距离； (3)现计划扩建喷水池，升高水管，使落水点到池中心的距离为10米，已知水管升高后，喷水头喷出的水柱形状和对称轴不变，求水管要升高多少米？ 【答案】(1)水管的长度为米 (2)景观射灯与池中心的水平距离为7米 (3)水管要升高米 【分析】该题考查了二次函数的应用，解决此类问题的关键是理解题目中的条件所表示的几何意义． （1）将点B的坐标代入即可求解； （2）把代入解析式，即可求解； （3）设水管要升高h米，求出扩建后抛物线的表达式，即可求解； 【详解】（1）解：由解析式得水柱离水面的最大高度为5米， 将点B的坐标代入中， 得 解得， ∴． 令，得， ∴水管的长度为米； （2）解：由题意得，令 解得，（舍去）， ∴顶端F的横坐标为， ∴景观射灯与池中心的水平距离为7米； （3）解：设水管要升高h米， ∴升高后的抛物线的解析式为． 当时，， ∴ ， ∴， 答：水管要升高米． 【典例 7】．某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件． (1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率； (2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件． ①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？ ②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？ 【答案】(1) (2)①每件应张价5元；②每件涨价应为8元 【分析】（1）设第二、三天的日平均增长率为x，利用第三天的销售量=第一天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①设每件应张价y元，则每件盈利（毛利润）为元，销售数量为件，根据每件盈利（毛利润）×销售数量＝每天总毛利润列方程求解即可； ②设每件涨价应为z元，则每天总毛利润为元，每天总纯利润为元，根据每天总纯利润要达到5100元，列方程求解即可． 【详解】（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得： ， (不符合题意，舍去)， ∴， 答： 第二、三天的日平均增长率为10%． （2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得 ， 解得：，， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答：每件应张价5元； ②设每件涨价应为z元，根据题意，得 ， 解得：， ∴， 答：每件涨价应为8元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，设恰当未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【变式 1】．如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为，平行于墙的一面开一扇宽度为的门（门用其他材料）． (1)若垂直于墙的一面长为，则平行于墙的一面长为___________，矩形菜园的面积为___________； (2)设垂直于墙的一面长为，矩形菜园的面积为． ①求与之间的函数关系式； ②能否围成面积为的矩形菜园？若能，请求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)10，100 (2)①；②不能，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握二次函数的应用是解题关键． （1）利用这段篱笆的总长度减去2个垂直于墙的一面长，再加上门的宽度可得平行于墙的一面长，再利用矩形的面积公式求解即可得； （2）①同（1）的方法求出平行于墙的一面长，再利用矩形的面积公式求解即可得； ②令，则，再利用一元二次方程根的判别式求解即可得． 【详解】（1）解：由题意得：平行于墙的一面长为， 则矩形菜园的面积为， 故答案为：10，100． （2）解：①由题意得：平行于墙的一面长为， 则矩形菜园的面积为， ∵， ∴， 所以与之间的函数关系式为． ②不能围成面积为的矩形菜园，理由如下： 令，则， 整理得：， 这个方程根的判别式为，方程没有实数根， 所以不能围成面积为的矩形菜园． 【变式 2】．如图， 矩形中，厘米，厘米， P、Q分别是、上运动的两点，若点P从点A出发，以1厘米/秒的速度沿方向运动，同时，点Q从点B出发以2厘米/秒的速度沿方向运动，一个点停止，另一个点也随之停止 ，设点P，Q运动的时间为x秒． (1)设的面积为y，求y与x之间的函数关系式； (2)当x为何值时，以P，B，Q为顶点的三角形与相似？ 【答案】(1)x (2)或 x= 【分析】本题主要考查了矩形的性质，二次函数的应用，相似三角形的判定和性质，解题的关键是： （1）先根据题意得到，，则，然后根据三角形面积公式列式求解即可； （2）分和两种情况，分别利用相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 即y 与 x 的函数关系式为； （2）解：∵和相似，， ∴或， ∴或． ∵，，，，． ∴或， 解得或， 当或时，和 相似． 【变式 3】．黄河流域兰州白塔山段综合提升改造项目是兰州市落实国家黄河流域生态保护和高质量发展战略谋划的重点工程．项目总投资万元，项目隧道工程西起龙源公园，东至靖远路，主线全长约2245米．建设地点位于兰州市北滨河路中山桥两侧，现要修建隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求∶，该抛物线的顶点P到的距离为． (1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式； (2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到的距离均为，求点A、B的坐标． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为； (2)点A、B的坐标分别为：，． 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数和二次函数图象的性质，解决此题的关键是正确计算； （1）根据待定系数法求出二次函数的解析式即可； （2）根据题目令函数值为6，得到方程，解方程即可得到答案； 【详解】（1）解：由题可知：抛物线的顶点坐标， 可设抛物线的函数表达式为， ∵在抛物线上 ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由题可知：点A、B的纵坐标为6， ∴， 解得：， ∴点A、B的坐标分别为：，． 【变式 4】．某商场销售一种商品，每件进价为30元，售价为40元时，每天可售出500件．市场调查发现：售价每上涨1元，日销售量减少10件． (1)设售价上涨x元，写出日销售利润 y元与 x的函数关系式； (2)当售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当售价定为元时，日销售利润最大，最大利润是元 【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意，正确得出二次函数的解析式是解此题的关键． （1）设售价上涨元，则售价为，销量为，再根据利润每件商品的利润销售量即可得解； （2）根据二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：设售价上涨元，则售价为，销量为， 由题意可得：利润： ； （2）解：， ∵， ∴当时，由最大值为，此时售价为元 故当售价定为元时，日销售利润最大，最大利润是元． 【变式 5】．在一次足球训练中，小明练习射门，球射向球门的路线呈抛物线． 如图所示，小明从球门底部正前方的处射门，现以为原点，以所在直线为轴，以球门高所在直线为轴建立平面直角坐标系．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面 ．已知球门高为． (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）； (2)对本次训练结果进行分析，若球射向球门的路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点正上方处射进球门？ 【答案】(1)，不能射进球门 (2) 【分析】（）由题意可知抛物线的顶点坐标为，设抛物线的表达式为，利用待定系数法可得，再把代入求出的值即可判断求解； （）小明带球向正后方移动，则移动后的抛物线为，把点代入计算即可求解； 本题考查了二次函数的应用，理解题意，列出函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的表达式为， 将点代入，得， 解得 ， ， 当时，， ∴球不能射进球门； （2）解：设小明带球向正后方移动，则移动后的抛物线为， 将点代入，得， 解得（不合题意，舍去），， ∴当时他应该带球向正后方移动射门，才能让足球经过点正上方处射进球门． 【变式 6】．小红观察到一处喷水景观喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：喷水装置竖立在地面上，建立如图所示的平面直角坐标系，其中一条水柱距地面的高度y（m）与水柱距喷水头的水平距离x（m）之间满足关系式． (1)求喷头P与地面的距离OP； (2)已知身高的小红现直立在距离喷水装置的水柱正下方的点B处，此时她的头顶并未接触到水柱，小红想要继续沿方向直立行走，当她的头顶恰好接触到水柱时，距离点B多远？ 【答案】(1) (2)离点 远 【分析】利用本题重点考查​二次函数的性质与实际应用​，​理解二次函数表达式各参数的意义，并将实际问题转化为数学问题求解是解题的关键​． （1）令，求出即得答案； （2）计算当，求出，再用结果减去3即得答案． 【详解】（1）当时，， 答：喷头P与地面的距离为0.4m． （2）将代入得：， 解得（舍），， ， 答：当小红的头顶恰好接触到水柱时，距离点B 3m远． 【变式 7】．芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用经过两次降价后的价格原价 每次降价的百分率，即可找出与之间了函数关系式； （2）根据该芯片经过两次降价后每块芯片单价为元，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】（1）∵每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元） ∴依题意得：， ∴与之间的函数关系式为； （2）依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴每次降价的百分率为20%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数关系式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 题型十 二次函数综合 解｜题｜技｜巧 1. 数形结合：画出函数图象草图，直观理解开口方向、对称轴和顶点位置 2. 分类讨论：根据参数取值范围或图形位置关系，分情况系统分析 3. 等量转化：将几何条件（如三角形面积、线段相等）转化为代数方程 4. 整体代换：运用韦达定理处理交点相关问题，避免繁琐计算 5. 验证排除：对求得的结果进行几何意义检验，排除不符合题意的解 【典例 1】．如图，在平面直角坐标系中，二次函数与正比例函数的图象都经过点，点为二次函数图象上点与点之间的一点，过点作轴的垂线，交于点，交轴于点．若点为该二次函数的顶点， (1)求二次函数的表达式； (2)求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)当时，线段的长度取得最大值 【分析】本题考查了二次函数的线段问题，二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）利用待定系数法进行求解，即可作答； （2）正比例函数表达式为，设，则，，则，然后通过二次函数的性质即可求解； 【详解】（1）解：为二次函数的顶点， ， 解得， 二次函数表达式为； （2）解：∵正比例函数经过点， ， ， 正比例函数表达式为， 设，则， ∴， ， ∵． 当时，线段的长度取得最大值； 【典例 2】．如图，已知抛物线经过，B两点． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)当时，直接写出y的取值范围； (3)P为抛物线上一点，若，求出此时点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了求函数的解析式，二次函数的图象性质，二次函数与面积的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意，将的坐标代入，进行计算，得，再把化为顶点式，即可作答． （2）先求出，再运用数形结合思想进行作答即可； （3）由（2）得，则，设，则，则． 结合二次函数的图象性质得，再代入二次函数的解析式，即可作答． 【详解】（1）解：将的坐标代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为． 则， ∴顶点坐标为； （2）解：由（1）得，顶点坐标为； ∴对称轴为直线， ∴， ∴， 观察函数图象，得当时，； （3）解：由（2）得， ∵ ∴． 设，则， ∴． ∵抛物线的顶点坐标为，开口向上， 即当时，函数最小值为， ∴，（舍去） ∴， 解得，， ∴此时点P的坐标为或． 【典例 3】．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C． (1)求b的值； (2)如图，M是第一象限抛物线上的点，，求点M的横坐标． 【答案】(1) (2)点M的横坐标为． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式是、二次函数综合、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）过点M作于点H．证明，得出，设，则，，结合题意得出，分别计算即可得解． 【详解】（1）解：将点代入，得， 解得； （2）解：过点M作于点H． 令，则， ， ，， ， ∴， 设，则，， ∴， 整理，得， 由，得（舍），． 点M的横坐标为． 【典例 4】．如图，顶点为的抛物线分别与轴相交于点，（点在点的右侧）与轴相交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)判断是否为直角三角形，并说明理由： (3)求四边形的面积． 【答案】(1) (2)是直角三角形 (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合，勾股定理及其逆定理，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）把点C坐标代入解析式中计算求解即可； （2）根据（1）所求可求出B、M的坐标，再利用两点距离计算公式可推出，则由勾股定理的逆定理可得结论； （3）根据可知，只需要求出的面积即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解；是直角三角形，理由如下： ∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点M的坐标为， 在中，当时，或， ∴， ∴，， ， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：由（2）可得是直角三角形，且，， 又∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 【典例 5】．如图为一个汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分．如图，棚顶的竖直高度（单位：）与距离停车棚支柱的水平距离（单位：）近似满足函数关系，已知点在该函数图象上． (1)求车棚支柱的高度； (2)若一辆箱式货车按如图所示的方式在停车棚下避雨，货车截面可以看作长，宽的矩形，请通过计算判定货车是否能够完全停到车棚内（即点位于点正下方时，点是否在抛物线下方）． 【答案】(1)车棚支柱的高度为； (2)货车能够完全停到车棚内，理由见解析． 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数与特殊四边形，掌握知识点的应用是解题的关键． （）把点代入函数关系求出即可； （）由（）得，函数关系为，则点，所以当时，，从而可得货车能够完全停到车棚内． 【详解】（1）解：∵点在该函数图象上， ∴，解得：， ∴函数关系为， 当时，， ∴， ∴， 即车棚支柱的高度为； （2）解：货车能够完全停到车棚内，理由， 由（）得，函数关系为， ∵，点， ∴点， 当时，， 由题意得四边形是矩形， ∴， ∵， ∴货车能够完全停到车棚内． 【变式 1】．如图，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)设点P为对称轴上的一点，若使最小，求出此时点P的坐标： (3)设抛物线的顶点为D，轴于点E，在y轴上是否存在点M使得是直角三角形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式； （2）连接交对称轴于点P，根据两点之间线段最短，得出此时最小，即最小，求出直线解析式为，得出当时，，即可得出答案； （3）分三种情况进行讨论：①以A为直角顶点；②以D为直角顶点；③以M为直角顶点；设点M的坐标为，根据勾股定理列出方程，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图1中，连接交对称轴于点P， 根据对称性可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， 设直线解析式为，则， 解得， ∴直线解析式为， ∵对称轴为直线， ∴当时，， ∴点P坐标． （3）在y轴上存在点M，能够使得是直角三角形． 理由如下： ∵， ∴顶点D的坐标为， ∵， ∴， 设点M的坐标为，则： ，， ①当A为直角顶点时，由勾股定理，得， 即， 解得， 所以点M的坐标为； ②当D为直角顶点时，由勾股定理，得， 即， 解得， 所以点M的坐标为； ③当M为直角顶点时，由勾股定理，得，即 ， 解得或， 所以点M的坐标为或； 综上可知，在y轴上存在点M，能够使得是直角三角形，此时点M的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，三角形周长，二次函数的顶点式，勾股定理等知识，有一定的难度，数形结合、分类讨论及方程思想的运用是解题的关键． 【变式 2】．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且，P是第一象限内抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P关于直线的对称点恰好落在直线上，求点P的坐标； (3)动点M，N在直线上，其横坐标分别为m，，设的面积为S，若，设点P的横坐标为t，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）将沿直线翻折，得到，则直线与第一象限内抛物线的交点即为P，根据，可得，从而得到，进而得到，再求出直线的解析式，即可求解； （3）过点P作轴，交于点E，求出直线的解析式为，再由，可得，从而得到，再由点M，N的横坐标分别为m，，可得，从而得到，再由二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为，， ∴点，， 将点代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为 （2）解：将沿直线翻折，得到，则直线与第一象限内抛物线的交点即为P． 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线， 联立， 解得，， ∴点； （3）解：过点P作轴，交于点E． 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵设，则， ∴， ∵点M，N的横坐标分别为m，， ∴， ∴， 当时，，解得或； 当时，，解得或． ∴当时，t的取值范围是或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式理解坐标与图形性质是解题的关键． 【变式 3】．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求该拋物线的解析式； (2)点为该抛物线上的一点、且在第二象限内，连接，若，求点的坐标； (3)若点为线段上一动点，试求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题综合考查了二次函数的基本性质、几何图形中的角度与线段关系、最短路径问题的转化思想，核心是函数与几何的综合应用，需要灵活运用待定系数法、三角函数、坐标运算及几何模型(如将军饮马)解决复杂问题． ()利用抛物线与轴交于点，代入抛物线方程，求出的值，从而确定抛物线的解析式； ()通过，利用正切值相等建立方程，结合点在第二象限的条件，求出点的坐标； ()通过构造等腰直角三角形将转化为点到某条直线的距离，再利用“垂线段最短”原理，求出的最小值； 【详解】（1）解：把点的坐标代入抛物线表达式， 得：， 解得：， 故该抛物线的解析式为：； （2）过点作轴的垂线，交轴于点. 设：点的坐标为， 当时，， 解得：，， 即：，， ∴，， ∵点， ∴， ∵， ∴， 即：，， 解得：或， ∵点D在第二象限内， ∴，舍去， 当时，， ∴点的坐标为； （3）过点作，交于点； 当三点共线时，的值最小， 由（）可知，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形 ∴， 则， ， ∴， 的最小值． 【变式 4】．如图，已知抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于C点，已知点A、B的坐标分别是、． (1)求该抛物线的解析式； (2)在x轴上是否存在一点P，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，运用分类讨论思想是解题的关键； （1）由抛物线与x轴的交点可设交点式，再对比原解析式，即可得解； （2）根据勾股定理求出，再根据等腰三角形的性质，分类讨论，即可得解． 【详解】（1）解：抛物线与x轴相交于、两点， 设抛物线的解析式为，即， ，， 解得，， 抛物线的解析式为； （2）解：存在．理由如下： 连接，如图， 当时， ， ， ， ， ， ， 当时， ， ， 点坐标为； 当时， 若点在B点左侧，点坐标为，若点在B点右侧，点坐标为， 综上所述，满足条件的P点坐标为或或． 【变式 5】．已知抛物线，为实数． (1)当y有最小值0时，求x的值； (2)求证：不论为何值，抛物线的顶点都在同一条直线l上，并写出直线l的解析式． 【答案】(1) (2)直线l的解析式为，证明见解析 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，求二次函数顶点坐标是中考的重点内容，同学们应熟练掌握． （1）运用顶点式求出二次函数的顶点坐标，即可得出的值； （2）根据二次函数的顶点坐标，得出顶点坐标的横纵坐标，即可得出有关x，y的函数关系式，从而证明结论． 【详解】（1）解：， ∴抛物线的顶点坐标为． ， ∴当时，y有最小值． 令，解得， ∴当y有最小值0时，； （2）证明：由（1）知抛物线的顶点坐标为． 设，， 消去m，得， ∴不论m为何值，抛物线的顶点都在同一条直线l上，直线l的解析式为． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．某种商品每天的销售利润元与单价元之间的函数关系式为，则这种商品每天的最大利润为（    ） A．50元 B．60元 C．40元 D．30元 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据二次函数解析式可知二次函数开口向下，则在对称轴处取得最大值，即60，据此可得答案． 【详解】解：∵某种商品每天的销售利润元与单价元之间的函数关系式为，， ∴当时，y有最大值，最大值为60， ∴这种商品每天的最大利润为60元， 故选B． 2．在平面直角坐标系中，对于点，若，则称点P为“同号点”，下列函数的图象上不存在“同号点”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，图象经过第一和第三象限的函数都是满足条件的，由此判断即可． 【详解】解：由题意，图象经过第一和第三象限的函数都是满足条件的， 函数的图象在二、四象限，不满足条件， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比函数的性质，一次函数的性质，二次函数的性质．可以用特值法进行快速的排除． 3．如图，等腰与矩形DEFG在同一水平线上，，现将等腰沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达DE之时开始计算，至AB离开GF为止．等腰与矩形DEFG的重合部分面积记为y，则能大致反映y与x的函数关系的图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移过程，可分三种情况，当时，当时，当时，利用直角三角形的性质及面积公式分别写出各种情况下y与x的函数关系式，再结合函数图象即可求解． 【详解】过点C作CM⊥AB于N，， 在等腰中，， ， ①当时，如图，， ， ， ∴，y随x的增大而增大； ②当时，如图， ， ∴当时，y是一个定值为1； ③当时，如图，， ， , 当x=3，y=1，当3<x<4，y随x的增大而减小，当x=4，y=0， 结合ABCD选项的图象， 故选：B． 【点睛】本题考查了动点函数问题，涉及二次函数的图象及性质，能够准确理解题意并分情况讨论是解题的关键． 二、填空题 4．将抛物线先向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，可得到抛物线 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，可得到抛物线， 故答案为：． 5．某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行 m才能停下来． 【答案】600 【详解】解：∵﹣1.5＜0， ∴函数有最大值． ∴， 即飞机着陆后滑行600米才能停止， 故答案为：600． 三、解答题 6．已知抛物线向左平移两个单位长度后，所得抛物线的解析式为． (1)求，的值； (2)说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】(1)， (2)抛物线的开口向下，对称轴是直线，顶点坐标是 【分析】（1）根据二次函数的平移规律求解即可； （2）根据二次项系数可以确定开口方向，根据抛物线的表达式解析式可以确定其对称轴和顶点的坐标． 【详解】（1）因为平移不改变图象的形状， 所以， 抛物线向左平移两个单位长度得到， 即， 所以； （2）抛物线的开口向下，对称轴是直线，顶点坐标是． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质以及平移规律，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．某种商品每天的销售利润元与单价元之间的函数关系式为，则这种商品每天的最大利润为（    ） A．50元 B．60元 C．40元 D．30元 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据二次函数解析式可知二次函数开口向下，则在对称轴处取得最大值，即60，据此可得答案． 【详解】解：∵某种商品每天的销售利润元与单价元之间的函数关系式为，， ∴当时，y有最大值，最大值为60， ∴这种商品每天的最大利润为60元， 故选B． 2．在平面直角坐标系中，对于点，若，则称点P为“同号点”，下列函数的图象上不存在“同号点”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，图象经过第一和第三象限的函数都是满足条件的，由此判断即可． 【详解】解：由题意，图象经过第一和第三象限的函数都是满足条件的， 函数的图象在二、四象限，不满足条件， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比函数的性质，一次函数的性质，二次函数的性质．可以用特值法进行快速的排除． 3．如图，等腰与矩形DEFG在同一水平线上，，现将等腰沿箭头所指方向水平平移，平移距离x是自点C到达DE之时开始计算，至AB离开GF为止．等腰与矩形DEFG的重合部分面积记为y，则能大致反映y与x的函数关系的图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移过程，可分三种情况，当时，当时，当时，利用直角三角形的性质及面积公式分别写出各种情况下y与x的函数关系式，再结合函数图象即可求解． 【详解】过点C作CM⊥AB于N，， 在等腰中，， ， ①当时，如图，， ， ， ∴，y随x的增大而增大； ②当时，如图， ， ∴当时，y是一个定值为1； ③当时，如图，， ， , 当x=3，y=1，当3<x<4，y随x的增大而减小，当x=4，y=0， 结合ABCD选项的图象， 故选：B． 【点睛】本题考查了动点函数问题，涉及二次函数的图象及性质，能够准确理解题意并分情况讨论是解题的关键． 二、填空题 4．将抛物线先向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，可得到抛物线 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，可得到抛物线， 故答案为：． 5．某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行 m才能停下来． 【答案】600 【详解】解：∵﹣1.5＜0， ∴函数有最大值． ∴， 即飞机着陆后滑行600米才能停止， 故答案为：600． 三、解答题 6．已知抛物线向左平移两个单位长度后，所得抛物线的解析式为． (1)求，的值； (2)说出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】(1)， (2)抛物线的开口向下，对称轴是直线，顶点坐标是 【分析】（1）根据二次函数的平移规律求解即可； （2）根据二次项系数可以确定开口方向，根据抛物线的表达式解析式可以确定其对称轴和顶点的坐标． 【详解】（1）因为平移不改变图象的形状， 所以， 抛物线向左平移两个单位长度得到， 即， 所以； （2）抛物线的开口向下，对称轴是直线，顶点坐标是． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质以及平移规律，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．抛物线与的形状相同，而开口方向相反，则的值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】理解二次函数解析式，决定抛物线的形状，开口向上，开口向下；由题意可得，进而由开口方向确定具体值． 【详解】解：由题意知，或， ∵开口方向相反， ∴． 故选：D 2．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图象可以是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象、一次函数图象以及一次函数图象与系数的关系， 先根据二次函数图象与轴交点的位置确定的正负，再利用一次函数图象与系数的关系可找出一次函数经过的象限，对比后即可得出结论．根据二次函数的图象找出每个选项中的正负是解题的关键． 【详解】解：A、由可知抛物线的开口向上，当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，故选项A不符合题意； B、由可知抛物线的开口向上，故B不合题意； C、由可知抛物线的开口向上，当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，故选项C符合题意； D、由可知抛物线的开口向上，当时，一次函数的图象经过第一、二、四象限，故选项D不符合题意； 故选：C． 3．若直角坐标系内两点M、N满足条件①M、N都在函数y的图象上②M、N关于原点对称，则称点对是函数y的一个“共生点对”（点对与看作同一个“共生点对”），已知函数，则函数y的“共生点对”有（   ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】设点函数y的图象上，且坐标为，当时，，其关于原点对称的点为，不在函数y的图象上，不符合题意，则令，点关于原点对称的点为，则，由“共生点对”的定义可得方程，该方程的解的个数可知函数的“共生点对”的个数，即研究函数，两个函数图象的交点个数，画出函数的草图如图，由图象的交点个数即可求解． 【详解】解：函数， 设点函数y的图象上，且坐标为，当时，，其关于原点对称的点为，不在函数y的图象上，不符合题意，则令， 点关于原点对称的点为，则， 若也在函数y的图象上，则点对是函数y的一个“共生点对”， ∵，，在函数y的图象上， ∴，则， ∵也在函数y的图象上， ∴， 则，该方程的解的个数可知函数的“共生点对”的个数， 即研究函数，两个函数图象的交点个数， 当时，，，即画出函数的草图如图，    由图可知，与有两个交点，故方程有两个解， ∴此函数的“共生点对”有2个． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数与二次函数函数的图象的对称性和函数图象的交点个数，还考查了新定义问题，本题难度适中，属于中档题． 二、填空题 4．已知抛物线（m，n是实数且）经过． （1）若，则该抛物线的顶点坐标为 ； （2）若该二次函数满足当时，总有y随x的增大而减小，则代数式的最小值为 ． 【答案】 5 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解不等式、函数的图象和性质． （1）将代入得，再将代入得，再将抛物线解析式变形为顶点式即可得顶点坐标； （2）当时，总有y随x的增大而减小，则，，由抛物线过点得，代入得，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）∵抛物线过点，， ∴抛物线，， 解得， ， ∴顶点坐标为， 故答案为：； （2）∵抛物线过点， ， ， 当时，总有y随x的增大而减小， ，， ∴，， ∴， ， ∴函数的对称轴为直线， ∴当时，随增大而减小， ∴当时，函数取得最小值为5， 即的最小值是5． 故答案为：5． 5．已知二次函数，当时，函数值；当时，．若点，都在函数上，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据题意得到二次函数的对称轴为直线，再由当时，函数值；当时，，可得，且抛物线与x轴的交点的横坐标为5和1，然后分两种情况：若点，均在对称轴的右侧，若点，均在对称轴的两侧，结合二次函数的性质解答即可． 【详解】解：根据题意得：二次函数的对称轴为直线， ∴横坐标为5关于对称轴的对称点的横坐标为1， ∵当时，函数值；当时，， ∴，且抛物线与x轴的交点的横坐标为5和1， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， 若点，均在对称轴的右侧， 此时， ∵抛物线与x轴的交点的横坐标为5和1， ∴当时，， ∴，即， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴抛物线与y轴的交点为， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵， ∴， 即， 此时； 若点，均在对称轴的两侧，则 ， 即； 综上所述，的取值范围是． 故答案为： 三、解答题 6．我省某风景区统计了近三年国庆节的游客人数．据统计，年国庆节游客人数约为3万，年国庆节游客人数约为万． (1)求年到年该风景区国庆节游客人数的年平均增长率． (2)已知该风景区有A，B两个景点，售票处出示的三种购票方式如下表所示： 购票方式 甲 乙 丙 可游玩景点 A B A和B 门票价格 元/人 元/人 元/人 据预测，年国庆节选择甲、乙、丙三种购票方式的游客各有2万人，当甲、乙两种门票的价格不变时，丙种门票价格每下降1元，将有名原计划购买甲种门票的游客和名原计划购买乙种门票的游客改为购买丙种门票，当丙种门票的价格下降多少元时，该风景区国庆节的门票总收入有最大值？最大值是多少万元？ 【答案】(1)． (2)当丙种门票价格下降元时，该风景区国庆节的门票总收入有最大值，最大值是万元． 【分析】（1）设年到年该风景区国庆节游客人数的年平均增长率为，则年该风景区国庆节游客人数人为，根据年国庆节游客人数约为万人，再列方程，解方程可得答案； （2）设丙种门票价格下降元，该风景区国庆节的门票总收入为万元，，再列出与的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解最大值即可． 本题考查的是一元二次方程的应用，二次函数的实际应用，利用二次函数的性质求解最大值是解题的关键． 【详解】（1）解：设年到年该风景区国庆节游客人数的年平均增长率为， 由题意，得， 解这个方程，得（舍去） 答：年到年该风景区国庆节游客人数的年平均增长率20%． （2）设丙种门票价格下降元，该风景区国庆节的门票总收入为万元， 由题意，得 化简，得， ， ∴当时，取最大值，为万元． 答：当丙种门票价格下降元时，该风景区国庆节的门票总收入有最大值，最大值是万元． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $