专题02 直角三角形的边角关系（必备知识+8题型+分层检测）（期中复习讲义）九年级数学上学期鲁教版五四制

专题02 直角三角形的边角关系（期中复习讲义） 本专题是中考数学的核心内容，涉及锐角三角函数的定义、特殊角函数值、解直角三角形及其实际应用。中考中分值占比约8-12分，题型覆盖选择、填空、解答题，尤其重视实际应用能力的考查。 核心考点 复习目标 考情规律 1. 锐角三角函数的定义 能准确理解正弦、余弦、正切的定义，熟练在直角三角形中求函数值；掌握三角函数的基本性质和各函数之间的关系。 基础题，常以选择题出现，考查定义理解。易错点是混淆对边、邻边关系，忽略定义前提是直角三角形。 2. 特殊角的三角函数值 熟练记忆并运用30°、45°、60°的三角函数值进行计算；掌握特殊角三角函数值的推导过程。 高频考点，填空或计算题中直接考查。常与实数运算、二次根式结合，考查综合计算能力。 3. 三角函数的基本关系 掌握同角三角函数关系：sin²A+cos²A=1，tanA=sinA/cosA；理解互余角三角函数关系。 中档题，常在解答题中考查公式运用。易错点是公式记忆不准确，忽略角度范围。 4. 用计算器求三角函数值 能熟练使用计算器由角求值或由值求角；理解计算器操作中的角度制与弧度制区别。 偶尔考查，操作题，难度低。易错点是忘记调整计算器模式。 5 解直角三角形 熟练掌握"知二求三"的四种基本类型；能灵活运用勾股定理和三角函数求解直角三角形。 必考内容，解答题基础题型。重点考查计算准确性和方法选择的合理性。 6. 解直角三角形的实际应用 能将测高、坡度、方位角等实际问题转化为解直角三角形问题；掌握建立数学模型的思路方法。 中考压轴题常见类型，分值较高。考查建模能力、计算能力和解决实际问题的综合素养。 7. 利用三角函数测高 掌握利用仰角、俯角等概念解决高度测量问题；理解测量原理和计算方法。 常作为解答题最后一问，考查实际应用能力。是本章的重点难点之一。 8. 三角函数与几何综合 能结合相似三角形、圆等几何知识，综合运用三角函数解决问题。 压轴题级别，难度较大。考查知识迁移能力和综合运用能力。 知识点01 锐角三角函数的定义与性质 1.基本定义： 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°。 ①我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作 sin A 即 sin A==， ②我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即 cos A==， ③我们把锐角A的对边与邻边的比叫做 ∠A 的正切，记作 tanA， 即 tan A==． 2.锐角三角函数的定义 sin A、cos A、tan A分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切，统称为锐角∠A的三角函数． 3.基本性质： ①取值范围：0<sinA<1, 0<cosA<1, tanA>0 ②增减性：在0°- 90°内，sinA、tanA随A增大而增大，cosA随A增大而减小 ③角度极限：A→0°时，sinA→0, cosA→1, tanA→0；A→90°时，sinA→1, cosA→0, tanA→+∞ 4.易错点提醒： ①三角函数值只与角度大小有关，与三角形大小无关 ②必须在直角三角形中定义锐角三角函数 ③注意各函数的定义域和值域范围 知识点02 第二部分：特殊角的三角函数值 1.30°、45°、60°角的三角函数值 α sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° 2.通过三角函数值求角度 sinα cosα tanα 1 α 30° 45° 60° 3.易错点提醒： ①注意分母有理化，如tan30°=√3/3不是1/√3 ②特殊角的三角函数值必须熟练记忆，中考不提供数值表 ③注意各函数值的取值范围和精确表示 知识点03：三角函数的基本关系 1.同角三角函数关系： ①平方关系：sin²α + cos²α = 1 2 商数关系：tanα = sinα/cosα (α≠90°) 3 互余关系：sinA = cos(90°-A), cosA = sin(90°-A), tanA = cot(90°-A) 2.互余角三角函数关系： ①sin(90°-α) = cosα ②cos(90°-α) = sinα ③tan(90°-α) = cotα 3.易错点提醒： ①使用公式时要注意角度范围 ②平方关系开方时要注意正负号的选取 ③商数关系在cosα=0时不成立 知识点04：用计算器求锐角的三角函数值 1.基本操作： ①已知角求值：直接输入角度，按sin、cos、tan键 ②已知值求角：使用反正弦函数（arcsin）、反余弦函数（arccos）、反正切函数（arctan）功能 2.注意事项： ①计算器模式应设置为"角度制（DEG）"，不是弧度制（RAD） ②输入顺序：先输入角度，再按函数键；或者先按函数键，再输入角度（视计算器型号而定） ③反三角函数求角时，结果通常在 0°到 90°之间 3.易错点提醒： ①忘记调整计算器模式是最常见的错误 ②注意按键顺序，避免操作错误 ③理解计算器显示结果的精度范围 知识点05：解直角三角形 1. 解直角三角形的定义 直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫作解直角三角形。 注意：在直角三角形中，除直角外有5个元素（即3条边、2个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素。 2.边角的基本关系 在直角三角形ABC中，如果∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，那么 A c b B a C C ①角的关系：∠A + ∠B + ∠C = 180°，在Rt△中∠C=90°，∴∠A+∠B=90° ②边的关系：a² + b² = c²（勾股定理） ③边角关系：sinA=a/c, cosA=b/c, tanA=a/b ④直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 3、解直角三角形的常见类型及一般解法 只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素. Rt△ABC中的已知条件 一般解法 两边 两直角边a，b (1)； (2)由求出∠A； (3)∠B=90−∠A. 一直角边a，斜边c (1)； (2)由求出∠A； (3)∠B=90−∠A. 一边一锐角 一直角边a，锐角A (1)∠B=90−∠A； (2)； (3). 斜边c，锐角A (1)∠B=90−∠A； (2)a=c·sin A； (3)b=c·cos A. 4.易错点提醒： ①准确判断已知条件对应的类型 ②选择最简便的解法，避免复杂计算 ③注意计算过程中的近似处理 ④检验结果是否符合三角形的基本性质 知识点06：三角函数的实际应用 1.仰角俯角问题 （1）仰角与俯角的定义：如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角． （2）测高模型： 公式：高度=基线 ×tan(仰角)tan(仰角)+ 仪器高 注意：如果测量俯角，则高度=基线×tan(俯角)tan(俯角)-仪器高 2.坡度坡角问题 ①坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α。 ②坡度 (或坡比)：如图所示，坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面的坡度 (或坡比)，记作i，即i= h:l。 ③坡度与坡角的关系。即坡度等于坡角的正切值. 3.方位角问题 方位角的定义：指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°角的为方位角。 结合等腰直角三角形或含30°,60°的直角三角形求解 4.易错点 ①忽略仪器高度导致结果错误 ②混淆仰角和俯角的概念 ③方位角理解不准确 ④最后忘记写单位或答语 知识点07 利用三角函数测高 1.测量原理： ①利用相似三角形原理 ②通过测量角度和距离间接计算高度 ③适用于无法直接测量的高度 2 测量测量方法和步骤： ①在测点A安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α； ②量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l； ③量出测倾器的高度AC=a，可求出 MN=ME+EN=l·tanα+a. 3.易错点提醒： ①忘记加上或减去仪器高度 ②测量时仪器未保持水平 ③读数时存在视差误差 ④计算过程中角度单位不统一 知识点08 三角函数与几何综合 1.与相似三角形结合 ①相似三角形对应角相等，对应边成比例 ②相似三角形中对应角的三角函数值相等 ③常用模型：平行线构造相似、直角共角相似 2.与四边形结合 ①矩形：对角线相等且互相平分，在对角线构成的三角形中用三角函数 ②菱形：对角线垂直平分，用三角函数表示边长与对角线关系 ③梯形：作高构造直角三角形，在直角梯形中直接应用三角函数，在等腰梯形中作双高构造直角三角形 3. 常用解题方法 ①设未知数，建立边角关系方程 ②利用特殊角（30°、45°、60°）简化计算 ③注意图形位置关系（锐角、直角、钝角三角形） ④检验解的合理性（边长正数、角度范围等） 4. 易错点提醒 ①准确判断三角形的形状（锐角、直角、钝角） ②注意角度单位的统一 ③验证三角函数值的取值范围 ④检验结果是否符合几何约束条件 题型一 锐角三角函数概念辨析 解｜题｜技｜巧 1. 在直角三角形中，必须先明确所求的是哪个锐角，再确定它的对边、邻边和斜边。 2. 牢记口诀：正弦对斜，余弦邻斜，正切对邻。 3. 若图形中无直角三角形，需通过作高来构造。 【典例1】如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了求角的正切值，解题关键是掌握正切的定义式． 先找出所在的直角三角形，根据正切的定义式求解． 【详解】解：如图， ， 故选：D． 【典例2】在中，，，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了已知正弦值求边长，解题关键是掌握正弦的定义式． 根据正弦的定义式可知，再根据，，求出的长． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵，， ∴，解得：， 故选：C． 【典例3】如图，A，B，C是小正方形的顶点，每个小正方形的边长为1，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理和求三角函数值．过点A作于点D，根据，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点D， 根据题意得：，，， ∵， ∴， 解得：， ∴． 故选：B． 【变式1】如图，在中，，则的长为（　　） A． B．5 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据三角函数求线段长. 根据，可得，再把的长代入可以计算出的长． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 【变式2】在中，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理和锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义．首先由勾股定理求出的值，再由锐角三角函数的定义求出即可． 【详解】解：在中，，且，， ， ． 故答案为：． 【变式3】在中，，给出下列式子，①；②；③；④；⑤，其中能成立的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，解题的关键是熟记锐角三角函数的定义并能灵活运用． 利用锐角三角函数中正弦、余弦、正切的定义，对每个式子进行推导验证，判断其是否成立． 【详解】解：在中，， 根据锐角三角函数的定义： 正切：； 正弦：； 余弦：， 对式子逐一分析： 因为可得，并非，所以①不成立； 因为，等式两边同乘，可得，所以②成立； 因为，等式两边同乘，得到，所以③成立； 因为，等式两边同乘，有，所以④成立； 因为可得，不是，所以⑤不成立． 综上，②③④成立，能成立的个数有3个． 故选：B． 题型二 利用同角、互余两角三角函数关系求值 解｜题｜技｜巧 1. 知一求二：已知一个三角函数值，利用同角关系求另外两个。 2. 互余转化：遇到sin(90°-A) 或cos(90°-A) 时，直接利用互余关系转化为cosA或sinA，简化计算。 3. 灵活运用sin²A+cos²A=1和tanA=sinA/cosA 等公式进行恒等变形或求值。 【典例1】若锐角满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先根据得到，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系，解题的关键是掌握同角三角函数的关系及锐角三角函数的增减性． 【典例2】．如果α是锐角，且，那么的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查互余的两角三角函数的关系，熟练掌握互余的两角三角函数关系是解题的关键； 在直角三角形中，时，正余弦之间的关系为：一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即；一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即，即可解答； 【详解】，， ； 故选：B． 【典例3】．在中，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了互余两角三角函数的关系，根据锐角三角函数的定义即可解答． 【详解】解：在中，，， ∴． 故答案为：． 【变式1】 比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，熟记锐角三角函数的增减性是解题的关键， 根据三角函数的增减性，以及互余的两个角之间的关系即可作出判断． 【详解】 ， ， ，， ，， ， 故选：D 【变式2】在中，，，，点，分别是，上一动点，且，连接，当为等腰三角形时，的长为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查等腰三角形的存在性问题，三角函数以及分类讨论思想，先根据题意，画出大致图形，并求出图中相关的量，由等腰三角形的腰不确定，分三种情况讨论，求解即可． 【详解】解：如图（1），，，， ， ①当 时，如图（2）， ， ， ； ②当时，如图（3）， 过点作 于点， ， ， ， 即， ； ③当时，如图（4）， 过点作于点， ， ，， ， 即， ， 综上所述，的长为或或． 故答案为：或或 【变式3】．6．如图，已知中，的对边分别为a、b、c． (1)根据锐角三角函数的定义，证明：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查锐角三角函数，熟练掌握正弦和余弦的定义，是解题的关键： （1）根据正弦和余弦的定义，结合勾股定理进行证明即可； （2）利用（1）中关系进行求解即可． 【详解】（1）解：∵中，的对边分别为a、b、c． ∴，， ∴； （2）解：由（1）知：， ∵ ∴， ∴， ∴（负值已舍去）． 题型三 特殊角（30°、45°、60°）的三角函数混合运算 解｜题｜技｜巧 1. 必须准确、熟练地背诵特殊角的三角函数值表。 2. 混合运算时，先将特殊角的函数值代入，再将式子化为最简。 3. 若三角形一个角的三角函数值符合特殊角，则该角很可能就是30°、45°或60°。 【典例1】．计算：（　　） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，实数的运算，正确记忆相关数据是解题关键． 直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案． 【详解】解：依题意，， ∴． 故选：C． 【典例2】．在中，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，非负性，根据非负性求出，特殊角的三角函数值，求出的度数，再根据三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 【典例3】．为锐角，当无意义时，则 ． 【答案】 【分析】本题考查分式无意义的条件，特殊角三角函数值的应用，根据分式无意义可得，继而求得的值，再代入，最后根据二次根式的加法可得答案．掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵无意义， ∴，即， ∵为锐角， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【变式1】．在中，，，则下列结论不正确的是（   ） A．； B．； C．； D． 【答案】D 【分析】本题考查有关解直角三角形的应用、解题的关键是掌握锐角三角函数．在中，利用勾股定理可判断A选项，利用锐角三角函数可判断B、C选项；利用特殊角的三角函数值可判断D选项． 【详解】解：在中，，， ，A选项结论正确，不符合题意； ，B选项结论正确，不符合题意； ，， 则，C选项结论正确，不符合题意； ，则，D选项结论错误，符合题意； 故选：D． 【变式2】．计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查的是特殊角的三角函数值，把特殊角的三角函数值代入计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式3】计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据负整数指数幂、零指数幂、绝对值的性质、特殊角的三角函数值及二次根式的性质分别化简，再合并即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 题型四 解非直角三角形（构造直角三角形） 解｜题｜技｜巧 1.通用方法：作高，将原图形分割为两个或多个直角三角形。 2.在梯形中常作双高，在菱形中常连对角线。 3.设未知数，在不同的直角三角形中利用边角关系列出方程求解。 【典例1】如图，在直角三角形中，，，求的长． （    ） A．米 B．25米 C．米 D．50米 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形，特殊角的三角函数值，等角对等边，三角形外角的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．先利用外角的性质推出，得出，再利用解直角三角形求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【典例2】．在中，、均为锐角，且，则是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】先根据非负数的性质求出与的值，再根据特殊角的三角函数值求出、的值即可． 【详解】解：， ，， ，， ，，， 在中，，且， 是直角三角形． 故选：C． 【点睛】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解题的关键是熟记特殊角的三角函数值，并充分利用非负数的性质． 【典例3】．如图1，在等边中，点P以每秒1厘米的速度从点A出发，沿折线运动，到点C停止．过点P作，垂足为D，的长度y（cm）与点P的运动时间的函数图象如图2所示，当点P运动秒时，的长是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图象、等边三角形的性质、三角函数的运用；熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 由题意和等边三角形的性质得出，再由三角函数即可求出的长． 【详解】解：根据题意得，， ∵是等边三角形， ∴， 当点P运动秒时，如图所示： 则， ∴， ∴； 故选：B． 【变式 1】．如图，在中，，，于点，，若，分别为，的中点，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形的性质(在直角三角形中，所对的直角边是斜边的一半)以及三角形中位线定理(三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半)；利用在两个直角三角形中的关系求出的长度，进而得到的长度，最后根据中位线定理求出的长． 【详解】解：∵ ， ∴， 在中，， ∴，， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：C． 【变式 2】．如图是一个正六边形，图中空白部分的面积等于20，则阴影部分的面积等于（   ） A．10 B． C．20 D． 【答案】A 【分析】本题考查了正六边形的性质，解直角三角形；过点作于点，设，求得，根据已知图中空白部分的面积等于20，得出，进而表示出阴影部分面积，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵是正六边形的一个内角， ∴， 又∵， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴ ∴图中空白部分的面积等于 ∴ ∴ ∵， ∴阴影部分的面积为 故选：A． 【变式 3】．如图，在平行四边形中，，，，点E为边上的一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，解直角三角形，三角形三边关系，关键是通过作辅助线构造直角三角形，得到，由三角形三边的关系得到． 作交延长线于，由平行四边形的性质得到，因此，由锐角的正弦得到，因此，由，得到当时，最小，此时的值最小，由锐角的正弦求出长即可． 【详解】解：作交延长线于， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ∴当时，最小，此时的值最小， ， ， ， 的最小值为， 故选：C． 【变式 4】．如图，在梯形中，，，，且，，则的长为（　　） A．5 B．6 C．8 D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质等知识点，正确运用三角函数求解是解题的关键． 先证明，再解即可． 【详解】解：∵在梯形中，， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴ 故选：B． 题型五 仰角与俯角问题 解｜题｜技｜巧 1. 第一步永远是画出示意图，清晰标注仰角、俯角、已知线段和待求量。 2. 牢记公式：物体高度 = 观测点到地面的高度 + 观测点到物体的垂直高度。 3. 如果涉及两个观测点，采用“设高列方程”的方法，寻找等量关系。 【典例 1】．如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件作出正确的辅助线是解题的关键． 过点A作于点D，则，分别在和中，利用锐角三角函数求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点D，则， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故选：C 【典例 2】．小明在热气球上看到正前方横跨河流两岸的大桥，并测得B，C两点的俯角分别为，．已知大桥与地面在同一水平面上，其长度为，请求出热气球离地面的高度．(结果保留整数．参考数据：，，) 【答案】热气球离地面的高度约为 【分析】此题考查了解直角三角形中俯角与仰角的问题，通过构造直角三角形利用三角函数解题． 作交的延长线于点，设，表示出和，根据正切的概念求出的值即可． 【详解】解：过点作交的延长线于点，如图所示， 由题意，可知，， 设， 在中， ， ， 在中， ，，， ， 解得． 答：热气球离地面的高度约为． 【变式 1】．在广场上矗立着一尊铜像．某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测量铜像的高度．如图，在点处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离为，从热气球看铜像顶部A的俯角为，看铜像底部的俯角为．已知底座的高度为，求铜像的高度为（    ）（结果保留整数．参考数据：，，，） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【分析】本题考查三角函数的实际应用——测量高度，根据题意可得，从而求出，再求出即可求解． 【详解】解：由题意得：，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴三角形是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴铜像的高度是； 故选：C． 【变式 2】．如图1，滕王阁，江南三大名楼之一，位于江西省南昌市，始建于唐朝永徽四年，因初唐诗人王勃诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世．数学实践小组要测量滕王阁的高度，如图2，小组成员甲在点A 处测得滕王阁最高点 C 的仰角，再沿正对滕王阁方向前进至 B 处测得最高点C的仰角，小组成员乙在点G处竖立标杆，点D、标杆顶F、最高点C在一条直线上，． (1)求滕王阁的高度；(结果精确到1m ，参考数据： (2)求乙同学与滕王阁之间的距离． 【答案】(1)滕王阁的高度约为58 m (2)乙同学与滕王阁之间的距离约为m 【分析】本题考查解直角三角形和相似三角形的应用，解题关键是利用仰角构造直角三角形，结合三角函数的定义以及相似三角形的判定与性质来建立等式求解． （1）在中，因为，根据等腰直角三角形的性质，可得．已知，所以．在中，利用正切函数，将代入，得到关于的方程，进而求解出的长度． （2）由题意可知，且，所以可判定．根据相似三角形的性质，对应边成比例，即，将已知的，，代入，求出的长度，最后用即可得到的长度． 【详解】（1）解：∵在中，， ， ． 在 中，， 解得： 答：滕王阁的高度约为58 m； （2）由题意知，，， ∴， 即 解得 ． ， 答：乙同学与滕王阁之间的距离约为m． 题型六 坡度/坡比问题 解｜题｜技｜巧 1. 确坡度 1:m 的含义是h=1,l=m。 2. 坡度越大(m越小)，坡角α越大，坡越陡。 3. 解题时需在剖面图中构造直角三角形，再利用三角函数求解。 【典例 1】．如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．如图（见解析），根据可得的长，由此即可得． 【详解】解：如图，由题意得：，米， ∴， ∴米， 即她沿垂直方向升高了米， 故选：D． 【典例 2】．如图，西安市的赛格国际购物中心的电梯长达50.3米，是亚洲室内最长扶梯．其与水平面所成的夹角为，则该电梯的竖直高度为（   ）米 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，由题意可得，，，再由正弦的定义求解即可，熟练掌握正弦的定义是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：，，， ∴米， 即该电梯的竖直高度为米， 故选：A． 【变式 1】．【发现】某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯，截面的示意图如图所示，一楼和二楼地面平行（即点与点所在的直线与平行），层高为，坡角． （）要使身高的嘉淇爸爸（竖直站立）乘坐自动扶梯时不碰头，则之间的距离要大于多少米？ 【探究】该商场计划改造这个扶梯，将其分为三段：段（上坡段自动扶梯）、段（水平平台，即）、段（上坡楼梯），如图中虚线所示．段和段的坡度相同，为保障安全其坡度不能超过，商场希望尽可能延长平台的长度，以方便顾客休息． （）求出平台的最大长度（结果保留小数点后一位）． （参考数据：取，取，取） 【答案】（）米；（） 【分析】（）过点作交于点，由平行线的性质可得，进而由即可求解； （）延长交于点，可得四边形为平行四边形，得到，由坡度的定义可得米，解可得米，再根据线段的和差关系即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，平行四边形的判定和性质，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：（）解：如图，连接，过点作交于点，则， ， ， ， （米）， 答：，之间的距离要大于米； （）解：如图，延长交于点， ∵段和段的坡度相同， ∴， ∴ 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵段和段的坡度， （米）， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， 答：平台的最大长度约为米． 【变式 2】．如图，大楼上悬挂一条幅，小颖在坡面处测得条幅顶部的仰角为，沿坡面向下走到坡脚处，然后向大楼方向继续行走米来到处，测得条幅的底部的仰角为，此时小颖距大楼底端处米．已知坡面米，山坡的坡度即且、、、、、、在同一平面内，、、在同一条直线上． (1)求点距水平面的高度？保留根号 (2)求条幅的长度？结果精确到1米参考数据： 【答案】(1)米 (2)米 【分析】此题是解直角三角形的应用—仰角，俯角问题，主要考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键． （1）利用坡度和直接求出点距水平面的高度； （2）借助（1）得出的结论，可求出的长，在直角三角形中，可求出的长，进而可求出的长，在直角三角形中可求出的长，利用计算即可． 【详解】（1）如图，过点作于， 在中，坡面米，山坡的坡度， ， ， 米，米； 点距水平面的高度为米． （2）如图，过点作于， 由（1）知，米，则米， 米，， 米， 米， ， 米， 米， 答：条幅的长度是米． 题型七 方位角问题 【典例 1】如图，一艘军舰在处测得小岛位于南偏东方向，向正东航行海里后到达处，此时测得小岛位于南偏西方向，则小岛离观测点的距离是（ ）海里 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，含角的直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键．过点作，交的延长线于，由题意可知，由含的直角三角形的性质可得出海里，再通过角度的计算得出，通过等角对等边可得出海里，根据余弦的定义求出，最后根据线段的和差关系可得出答案． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于， 则， 由题意可知：，海里， ∴海里，， ∵， ∴， ∴, ∴海里， ∵， ∴海里， ∴海里， 故选：B． 【典例 2】如图，一艘渔船正以海里/小时的速度向正东方向航行，在处测得岛礁在东北方向上，继续航行小时后到达处，此时测得岛礁在北偏东方向，同时测得岛礁正东方向上的避风港在北偏东方向．为了在台风到来之前用最短时间到达处，渔船立刻加速以海里/小时的速度继续航行 小时即可到达．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，解直角三角形的应用． 作，交延长线于点，作于点，设海里，根据列方程求解，可得从而可得，除以渔船加速后的速度即可． 【详解】解：作，交延长线于点，作于点， 根据题意可得，，，，， 设海里，则， 解得， ∴海里， ∴海里， （小时）， ∴渔船继续航行小时可到达避风港． 故答案为：． 【变式 1】．如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点到直线距离为（    ） A．3千米 B．千米 C．2千米 D．1千米 【答案】A 【分析】本题主要利用方向角、三角形外角性质、等角对等边的性质以及正弦函数的定义来求解，准确计算是解题的关键． 根据题意可得到，，再根据三角形外角性质得到，利用等角对等边得到，再利用正弦值求解即可． 【详解】由题意得：，，， 是的一个外角， ， ， ， 在中，（千米）． 点到直线的距离为千米． 故选：． 【变式 2】如图，某公路局施工队要修建一条公路，已知点周围米范围内为古建筑保护群，在上的点处测得在的北偏东方向上，从A向东走米到达处，测得在点的北偏西方向上．（参考数据：，） (1)是否穿过古建筑保护群？为什么？ (2)若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高，则原计划每天完成修建多少米公路？ 【答案】(1)不能穿过，理由见解析 (2)米 【分析】本题考查了分式方程的工程问题，方位角问题(解直角三角形的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）设，先分别求得，，再利用解直角三角形求得 ，再根据列出关于的方程求解，通过比较，再得出结论； （2）设原计划每天完成修建a米公路，根据题意列出分式方程求解． 【详解】（1）解：不能穿过，理由如下： 如图，过作于， 设， ，，，， ，， 在中，， 在中，， ， ， ， 解得：(米)(米)， 不会穿过古建筑保护群； （2）设原计划每天完成修建a米公路， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的根， 答：原计划每天完成修建米公路． 题型八 三角函数的应用与测高 【典例 1】从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角是30度，船离灯塔的水平距离为（   ） A．米 B．米 C．21米 D．42米 【答案】A 【分析】在直角三角形中，已知角的对边求邻边，可以用正切函数来解决． 【详解】解：根据题意可得：船离海岸线的距离为42÷tan30°=42（米）. 故选：A． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 【典例 2】如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高的测量仪测得顶端A的仰角为，小军在小明的前面处用高的测量仪测得顶端A的仰角为，则电子厂的高度为多少米？ （参考数据：，，）    【答案】的高度为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意是解题的关键．设，根据三角函数的定义，在和中， 分别求出，的值，再根据列方程，求出x的值，即可进一步求得答案． 【详解】解：由题意得：，，，，， 设，则， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 解得：， ， ， 图书馆的高度为． 【变式 1】在中，，则（     ） A．30 B．40 C． D．20 【答案】D 【分析】先解直角三角形，求出各边长，再求面积即可． 【详解】∵， ∴设， ∵， ∴， 即：， ∴（负值舍去）， ∴，， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查了解直角三角形，解题关键是根据角的正切值求出边长． 【变式 2】如图，小林同学为了测量某世界名楼的高度，他站在G处仰望楼顶C，仰角为，走到点F处仰望楼顶C，仰角为，眼睛D、B离同一水平地面的高度为1.6米，米．请求出楼顶C离地面的高度约是多少米？（取1.732，取1.414，按四舍五入法将结果精确到0.1）． 【答案】楼顶C离地面的高度约是48.9米． 【分析】本题要求的楼顶C离地面的高度，其中米，可设米，利用三角函数可表示出、的长，由可列得方程，从而求解方程得到的值． 【详解】由题意可得：米，米，，． 设米，则 在Rt中，（米）， 在Rt中，（米） 解得： 即（米） （米） 答：楼顶C离地面的高度约是48.9米． 【点睛】本题主要考查在情景问题中解直角三角形．对于此类题，利用三角函数得到三角形的边长，再利用线段的等量关系得到方程，解之得到关键线段的长，从而解决问题． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，解题关键在于掌握特殊角的三角函数值．把特殊角的三角函数值代入，然后化简求值即可． 【详解】解： ， 故选：D． 2．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，CD⊥AB于D，则tan∠BCD的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得∠A＝∠BCD，然后根据锐角三角函数的概念求解即可． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4， ∴BC＝3， 在Rt△ABC与Rt△BCD中，∠A+∠B＝90°，∠BCD+∠B＝90°． ∴∠A＝∠BCD． ∴tan∠BCD＝tanA＝＝， 故选D． 【点睛】本题考查解直角三角形，三角函数值只与角的大小有关，因而求一个角的函数值，可以转化为求与它相等的其它角的三角函数值． 二、填空题 3．计算： ． 【答案】 【分析】先代入特殊角的锐角三角函数值，再按照正确的运算顺序进行计算即可． 【详解】解： ＝ ＝ ＝ ＝ 故答案为： 【点睛】本题考查了特殊角的锐角三角函数值的混合运算，掌握特殊角的三角函数值及实数的运算法则是解决本题的关键． 4．如图，为了估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得，，，并且点B，C，D在同一条直线上．若测得米，则河宽AB为 米．（结果保留根号） 【答案】 【分析】利用特殊角的三角函数值建立线段之间的关系列方程求解即可． 【详解】解：设AB的长为x， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的实际应用，解题关键是找到相等关系，建立方程． 三、解答题 5．如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的岛，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的东南方向上的岛，求、两岛之间的距离．（结果保留整数）【参考数据：，，】 【答案】海里 【分析】过点作于点，根据锐角三角函数即可求出、两岛之间的距离． 【详解】解：如图，过点作于点， 在中，，， ∵，， ∴（海里），（海里）， 在中，，， ∴（海里）， ∴（海里）， ∴、两岛之间的距离约为海里． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用—方位角问题，掌握方位角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 6．某数学活动小组测量图书馆和实验楼的高度，已知两楼中间有一棵树，楼、和树都垂直于地平面，点在同一条直线上．测得是的中点，且米，从实验楼楼顶处测得图书馆楼顶处的仰角为，测得树顶处的俯角为，已知树高为10米，求图书馆和实验楼的高度．（精确到1米，参考数据：） 【答案】图书馆高40米，实验楼高28米 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 过E点作于点M ，过 C点作于点，得出四边形均为矩形，依题意和矩形性质得出米，且米，米，解和即可求解； 【详解】 解：过E点作于点M ，过 C点作于点， 则四边形均为矩形， 依题意有米，且米，米， 则米． ， ， ∴， 在中有：． ∴(米)， ∴(米)，则米， 在中， 即， 米， 米， 答： 图书馆高40米，实验楼高28米． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．在台风来临之前，有关部门用钢管加固树木（如图），固定点A离地面的高度，钢管与地面所成角，那么钢管AB的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据锐角三角函数的正弦定义解题即可． 【详解】解：在中，， ， 故选：A． 【点睛】本题考查解直角三角形，涉及正弦，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 2．在中， ， ， ， 则的值为（      ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据三角函数的定义可知，将已知条件代入计算即可． 本题主要考查了三角函数的定义，直角三角形中，如果锐角的大小确定，则．熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：如图 ∵中， ， ， ， 则． 故选：A． 3．的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查特殊角的三角函数的混合运算．熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 把特殊角的三角函数值代入计算即可． 【详解】解：原式 ． 故选：D． 二、填空题 4．如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则tan∠AOB的值是 ． 【答案】 【分析】认真读图，在以∠AOB为顶点的直角三角形里求tan∠AOB的值 【详解】由图可得tan∠AOB= 故答案为 【点睛】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正切等于对边比邻边 5．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点 A、B、O都在这些小正方形的顶点上，那么的值为 ． 【答案】 【分析】连接，根据格点特点得出，，，即可得出答案． 【详解】解：连接，如图所示： 根据方格纸的特点可知，，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求锐角三角函数值，勾股定理，等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答． 三、解答题 6．如图，南海某海域有两艘外国渔船A、B在小岛C的正南方向同一处捕鱼．一段时间后，渔船B沿北偏东的方向航行至小岛C的正东方向20海里处．此时，在D处巡逻的中国渔政船同时发现了这两艘渔船，其中B渔船在点D的南偏西方向，A渔船在点D的西南方向，我国渔政船要求这两艘渔船迅速离开中国海域．    (1)求 ， ． (2)求渔船B航行的距离． (3)请分别求出中国渔政船此时到这两艘外国渔船的距离．（注：结果保留根号） 【答案】(1)， (2)40海里 (3)中国渔政船此时到外国渔船B的距离是40海里，到外国渔船A的距离是（）海里 【分析】本题考查与方位角有关的计算，解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键． （1）根据题意结合角度之间的和差关系，求解即可； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可； （3）过B作于E，过D作于H，延长交于G，得到四边形和四边形是矩形，设，得到，解直角三角形得到，，根据，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴； 故答案为：，． （2）由题意得，， ∴海里，（海里） 答：渔船B航行的距离是40海里； （3）过B作于E，过D作于H，延长交于G，    则四边形和四边形是矩形， ∵ ∴海里，（海里）， ∴（海里），（海里）， 设（海里）， ∴（海里）， 由题意得，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴，（海里）， ∴（海里），（海里）， 答：中国渔政船此时到外国渔船B的距离是40海里，到外国渔船A的距离是（）海里． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．修筑一坡度为3︰4的大坝，如果设大坝斜坡的坡角为，那么的正切值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据坡度为坡角的正切值，即可判断出正确的选项. 【详解】由题意得： tanα=. 故选：C. 【点睛】此题考查的是坡度、坡角的关系，坡度=坡角的正切值. 2．如图，在Rt△ABC中，，，把折叠，使落在上，点与上的点重合，展开后，折痕交于点，连接、，交于点．下列结论：①②若将沿折叠，则点一定落在上③图中有7个等腰三角形④若，则⑤，上述结论中正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】①根据折叠的性质及正切函数判断即可；②由折叠的性质求出相应角度进行判断即可得；③根据等腰三角形的判定及垂直平分线的性质，三角形内角和定理，角平分线的计算等，判断等腰三角形的个数即可；④由全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理等，求解判断即可得；⑤结合图形，利用等底同高求三角形面积，找准面积相等的图形判断即可得． 【详解】解：①由折叠可得：，， ∴， ∴，故①错误； ②∵，，将折叠， ∴，， ∴， ∴将沿着GF折叠，点D一定落在AC上，故②正确； ③∵，， ∴， ∴、、为等腰三角形； ∵把折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点F重合， ∴AD垂直平分BF， ∴，，， ∴、、为等腰三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， 同理为等腰三角形； ∵把折叠，使AB落在AC上，点B与AC上的点F重合， ∴， ， ∴为等腰三角形； 同理为等腰三角形； 共有10个等腰三角，③错误； ④在与中， ， ∴， ∴， ∵GD与BF互相垂直平分， 设，，且， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 在中， ，即， 化简得：， ， ， ， ， ，故④正确； ⑤连接CG，与等底同高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 综上可得：②④⑤正确， 故选：B． 【点睛】题目主要考查等腰三角形判定和性质，折叠的性质，锐角三角形函数解三角形，全等三角形的判定和性质等，理解题意，结合图形，熟练掌握应用这些知识点是解题关键． 二、填空题 4．已知△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AB=15，则cosB的值为 ． 【答案】 【分析】根据余弦的定义计算即可． 【详解】在Rt△ABC中，cosB==． 故答案为． 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，掌握锐角B的邻边a与斜边c的比叫做∠B的余弦是解题的关键． 5．计算： ． 【答案】3 【分析】本题主要考查实数的混合运算，首先计算特殊角的三角函数值、负整数指数幂、开平方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【详解】解： ． 故答案为：3． 三、解答题 6．随着科技的进步．人工智能得到了巨大的发展．如图是一款机械臂机器人．基座与地面垂直，基座米．大臂米．小臂米．大臂与水平线的张角为，小臂与大臂的张角为，其中，．（图中点线在同一个平面内） (1)求机械臂机器人抓手距离地面的最大高度；（精确到米） (2)设抓手到直线的水平距离为，当时，求的取值范围．（精确到米）（参考数据：，） 【答案】(1)米； (2)米米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由题意，当抓手距离地面高度最大时，，取最大值，点三点共线，在中，解直角三角形即可求解； （）分三种情况讨论，画出图形，解直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：如图， 由题意，当抓手距离地面高度最大时，取最大值，点三点共线， 此时在中，（米）， ∴机械臂机器人抓手距离地面的最大高度为：米； （2）解：如图2，由题意，当时，米， 延长交于点， 四边形为矩形， 米， 米； 如图3，当时，，米， 延长交于点， 米， ， 最小值为：米， 如图4，当时，最大， 此时，米， 的取值范围为米米． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 直角三角形的边角关系（期中复习讲义） 本专题是中考数学的核心内容，涉及锐角三角函数的定义、特殊角函数值、解直角三角形及其实际应用。中考中分值占比约8-12分，题型覆盖选择、填空、解答题，尤其重视实际应用能力的考查。 核心考点 复习目标 考情规律 1. 锐角三角函数的定义 能准确理解正弦、余弦、正切的定义，熟练在直角三角形中求函数值；掌握三角函数的基本性质和各函数之间的关系。 基础题，常以选择题出现，考查定义理解。易错点是混淆对边、邻边关系，忽略定义前提是直角三角形。 2. 特殊角的三角函数值 熟练记忆并运用30°、45°、60°的三角函数值进行计算；掌握特殊角三角函数值的推导过程。 高频考点，填空或计算题中直接考查。常与实数运算、二次根式结合，考查综合计算能力。 3. 三角函数的基本关系 掌握同角三角函数关系：sin²A+cos²A=1，tanA=sinA/cosA；理解互余角三角函数关系。 中档题，常在解答题中考查公式运用。易错点是公式记忆不准确，忽略角度范围。 4. 用计算器求三角函数值 能熟练使用计算器由角求值或由值求角；理解计算器操作中的角度制与弧度制区别。 偶尔考查，操作题，难度低。易错点是忘记调整计算器模式。 5 解直角三角形 熟练掌握"知二求三"的四种基本类型；能灵活运用勾股定理和三角函数求解直角三角形。 必考内容，解答题基础题型。重点考查计算准确性和方法选择的合理性。 6. 解直角三角形的实际应用 能将测高、坡度、方位角等实际问题转化为解直角三角形问题；掌握建立数学模型的思路方法。 中考压轴题常见类型，分值较高。考查建模能力、计算能力和解决实际问题的综合素养。 7. 利用三角函数测高 掌握利用仰角、俯角等概念解决高度测量问题；理解测量原理和计算方法。 常作为解答题最后一问，考查实际应用能力。是本章的重点难点之一。 8. 三角函数与几何综合 能结合相似三角形、圆等几何知识，综合运用三角函数解决问题。 压轴题级别，难度较大。考查知识迁移能力和综合运用能力。 知识点01 锐角三角函数的定义与性质 1.基本定义： 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°。 ①我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作 sin A 即 sin A==， ②我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即 cos A==， ③我们把锐角A的对边与邻边的比叫做 ∠A 的正切，记作 tanA， 即 tan A==． 2.锐角三角函数的定义 sin A、cos A、tan A分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切，统称为锐角∠A的三角函数． 3.基本性质： ①取值范围：0<sinA<1, 0<cosA<1, tanA>0 ②增减性：在0°- 90°内，sinA、tanA随A增大而增大，cosA随A增大而减小 ③角度极限：A→0°时，sinA→0, cosA→1, tanA→0；A→90°时，sinA→1, cosA→0, tanA→+∞ 4.易错点提醒： ①三角函数值只与角度大小有关，与三角形大小无关 ②必须在直角三角形中定义锐角三角函数 ③注意各函数的定义域和值域范围 知识点02 第二部分：特殊角的三角函数值 1.30°、45°、60°角的三角函数值 α sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° 2.通过三角函数值求角度 sinα cosα tanα 1 α 30° 45° 60° 3.易错点提醒： ①注意分母有理化，如tan30°=√3/3不是1/√3 ②特殊角的三角函数值必须熟练记忆，中考不提供数值表 ③注意各函数值的取值范围和精确表示 知识点03：三角函数的基本关系 1.同角三角函数关系： ①平方关系：sin²α + cos²α = 1 2 商数关系：tanα = sinα/cosα (α≠90°) 3 互余关系：sinA = cos(90°-A), cosA = sin(90°-A), tanA = cot(90°-A) 2.互余角三角函数关系： ①sin(90°-α) = cosα ②cos(90°-α) = sinα ③tan(90°-α) = cotα 3.易错点提醒： ①使用公式时要注意角度范围 ②平方关系开方时要注意正负号的选取 ③商数关系在cosα=0时不成立 知识点04：用计算器求锐角的三角函数值 1.基本操作： ①已知角求值：直接输入角度，按sin、cos、tan键 ②已知值求角：使用反正弦函数（arcsin）、反余弦函数（arccos）、反正切函数（arctan）功能 2.注意事项： ①计算器模式应设置为"角度制（DEG）"，不是弧度制（RAD） ②输入顺序：先输入角度，再按函数键；或者先按函数键，再输入角度（视计算器型号而定） ③反三角函数求角时，结果通常在 0°到 90°之间 3.易错点提醒： ①忘记调整计算器模式是最常见的错误 ②注意按键顺序，避免操作错误 ③理解计算器显示结果的精度范围 知识点05：解直角三角形 1. 解直角三角形的定义 直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫作解直角三角形。 注意：在直角三角形中，除直角外有5个元素（即3条边、2个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素。 2.边角的基本关系 在直角三角形ABC中，如果∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，那么 A c b B a C C ①角的关系：∠A + ∠B + ∠C = 180°，在Rt△中∠C=90°，∴∠A+∠B=90° ②边的关系：a² + b² = c²（勾股定理） ③边角关系：sinA=a/c, cosA=b/c, tanA=a/b ④直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 3、解直角三角形的常见类型及一般解法 只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素. Rt△ABC中的已知条件 一般解法 两边 两直角边a，b (1)； (2)由求出∠A； (3)∠B=90−∠A. 一直角边a，斜边c (1)； (2)由求出∠A； (3)∠B=90−∠A. 一边一锐角 一直角边a，锐角A (1)∠B=90−∠A； (2)； (3). 斜边c，锐角A (1)∠B=90−∠A； (2)a=c·sin A； (3)b=c·cos A. 4.易错点提醒： ①准确判断已知条件对应的类型 ②选择最简便的解法，避免复杂计算 ③注意计算过程中的近似处理 ④检验结果是否符合三角形的基本性质 知识点06：三角函数的实际应用 1.仰角俯角问题 （1）仰角与俯角的定义：如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角． （2）测高模型： 公式：高度=基线 ×tan(仰角)tan(仰角)+ 仪器高 注意：如果测量俯角，则高度=基线×tan(俯角)tan(俯角)-仪器高 2.坡度坡角问题 ①坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α。 ②坡度 (或坡比)：如图所示，坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面的坡度 (或坡比)，记作i，即i= h:l。 ③坡度与坡角的关系。即坡度等于坡角的正切值. 3.方位角问题 方位角的定义：指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°角的为方位角。 结合等腰直角三角形或含30°,60°的直角三角形求解 4.易错点 ①忽略仪器高度导致结果错误 ②混淆仰角和俯角的概念 ③方位角理解不准确 ④最后忘记写单位或答语 知识点07 利用三角函数测高 1.测量原理： ①利用相似三角形原理 ②通过测量角度和距离间接计算高度 ③适用于无法直接测量的高度 2 测量测量方法和步骤： ①在测点A安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α； ②量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l； ③量出测倾器的高度AC=a，可求出 MN=ME+EN=l·tanα+a. 3.易错点提醒： ①忘记加上或减去仪器高度 ②测量时仪器未保持水平 ③读数时存在视差误差 ④计算过程中角度单位不统一 知识点08 三角函数与几何综合 1.与相似三角形结合 ①相似三角形对应角相等，对应边成比例 ②相似三角形中对应角的三角函数值相等 ③常用模型：平行线构造相似、直角共角相似 2.与四边形结合 ①矩形：对角线相等且互相平分，在对角线构成的三角形中用三角函数 ②菱形：对角线垂直平分，用三角函数表示边长与对角线关系 ③梯形：作高构造直角三角形，在直角梯形中直接应用三角函数，在等腰梯形中作双高构造直角三角形 3. 常用解题方法 ①设未知数，建立边角关系方程 ②利用特殊角（30°、45°、60°）简化计算 ③注意图形位置关系（锐角、直角、钝角三角形） ④检验解的合理性（边长正数、角度范围等） 4. 易错点提醒 ①准确判断三角形的形状（锐角、直角、钝角） ②注意角度单位的统一 ③验证三角函数值的取值范围 ④检验结果是否符合几何约束条件 题型一 锐角三角函数概念辨析 解｜题｜技｜巧 1. 在直角三角形中，必须先明确所求的是哪个锐角，再确定它的对边、邻边和斜边。 2. 牢记口诀：正弦对斜，余弦邻斜，正切对邻。 3. 若图形中无直角三角形，需通过作高来构造。 【典例1】如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为（   ） A． B． C． D．2 【典例2】在中，，，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【典例3】如图，A，B，C是小正方形的顶点，每个小正方形的边长为1，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，，则的长为（　　） A． B．5 C．4 D． 【变式2】在中，，则的值是 ． 【变式3】在中，，给出下列式子，①；②；③；④；⑤，其中能成立的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型二 利用同角、互余两角三角函数关系求值 解｜题｜技｜巧 1. 知一求二：已知一个三角函数值，利用同角关系求另外两个。 2. 互余转化：遇到sin(90°-A) 或cos(90°-A) 时，直接利用互余关系转化为cosA或sinA，简化计算。 3. 灵活运用sin²A+cos²A=1和tanA=sinA/cosA 等公式进行恒等变形或求值。 【典例1】若锐角满足，则的取值范围是 ． 【典例2】．如果α是锐角，且，那么的值等于（　　） A． B． C． D． 【典例3】．在中，，，则的值为 ． 【变式1】 比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2】在中，，，，点，分别是，上一动点，且，连接，当为等腰三角形时，的长为 ． 【变式3】．6．如图，已知中，的对边分别为a、b、c． (1)根据锐角三角函数的定义，证明：； (2)若，求的值． 题型三 特殊角（30°、45°、60°）的三角函数混合运算 解｜题｜技｜巧 1. 必须准确、熟练地背诵特殊角的三角函数值表。 2. 混合运算时，先将特殊角的函数值代入，再将式子化为最简。 3. 若三角形一个角的三角函数值符合特殊角，则该角很可能就是30°、45°或60°。 【典例1】．计算：（　　） A． B．1 C． D． 【典例2】．在中，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【典例3】．为锐角，当无意义时，则 ． 【变式1】．在中，，，则下列结论不正确的是（   ） A．； B．； C．； D． 【变式2】．计算： ． 【变式3】计算的结果为 ． 题型四 解非直角三角形（构造直角三角形） 解｜题｜技｜巧 1.通用方法：作高，将原图形分割为两个或多个直角三角形。 2.在梯形中常作双高，在菱形中常连对角线。 3.设未知数，在不同的直角三角形中利用边角关系列出方程求解。 【典例1】如图，在直角三角形中，，，求的长． （    ） A．米 B．25米 C．米 D．50米 【典例2】．在中，、均为锐角，且，则是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【典例3】．如图1，在等边中，点P以每秒1厘米的速度从点A出发，沿折线运动，到点C停止．过点P作，垂足为D，的长度y（cm）与点P的运动时间的函数图象如图2所示，当点P运动秒时，的长是（  ） A． B． C． D． 【变式 1】．如图，在中，，，于点，，若，分别为，的中点，则的长是（　　） A． B． C． D． 【变式 2】．如图是一个正六边形，图中空白部分的面积等于20，则阴影部分的面积等于（   ） A．10 B． C．20 D． 【变式 3】．如图，在平行四边形中，，，，点E为边上的一动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式 4】．如图，在梯形中，，，，且，，则的长为（　　） A．5 B．6 C．8 D． 题型五 仰角与俯角问题 解｜题｜技｜巧 1. 第一步永远是画出示意图，清晰标注仰角、俯角、已知线段和待求量。 2. 牢记公式：物体高度 = 观测点到地面的高度 + 观测点到物体的垂直高度。 3. 如果涉及两个观测点，采用“设高列方程”的方法，寻找等量关系。 【典例 1】．如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（ ） A． B． C． D． 【典例 2】．小明在热气球上看到正前方横跨河流两岸的大桥，并测得B，C两点的俯角分别为，．已知大桥与地面在同一水平面上，其长度为，请求出热气球离地面的高度．(结果保留整数．参考数据：，，) 【变式 1】．在广场上矗立着一尊铜像．某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测量铜像的高度．如图，在点处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离为，从热气球看铜像顶部A的俯角为，看铜像底部的俯角为．已知底座的高度为，求铜像的高度为（    ）（结果保留整数．参考数据：，，，） A．10 B．12 C．14 D．16 【变式 2】．如图1，滕王阁，江南三大名楼之一，位于江西省南昌市，始建于唐朝永徽四年，因初唐诗人王勃诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世．数学实践小组要测量滕王阁的高度，如图2，小组成员甲在点A 处测得滕王阁最高点 C 的仰角，再沿正对滕王阁方向前进至 B 处测得最高点C的仰角，小组成员乙在点G处竖立标杆，点D、标杆顶F、最高点C在一条直线上，． (1)求滕王阁的高度；(结果精确到1m ，参考数据： (2)求乙同学与滕王阁之间的距离． 题型六 坡度/坡比问题 解｜题｜技｜巧 1. 确坡度 1:m 的含义是h=1,l=m。 2. 坡度越大(m越小)，坡角α越大，坡越陡。 3. 解题时需在剖面图中构造直角三角形，再利用三角函数求解。 【典例 1】．如图，小丽从点出发，沿坡度为的坡道向上走了120米到达点，则她沿垂直方向升高了（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【典例 2】．如图，西安市的赛格国际购物中心的电梯长达50.3米，是亚洲室内最长扶梯．其与水平面所成的夹角为，则该电梯的竖直高度为（   ）米 A． B． C． D． 【变式 1】．【发现】某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯，截面的示意图如图所示，一楼和二楼地面平行（即点与点所在的直线与平行），层高为，坡角． （）要使身高的嘉淇爸爸（竖直站立）乘坐自动扶梯时不碰头，则之间的距离要大于多少米？ 【探究】该商场计划改造这个扶梯，将其分为三段：段（上坡段自动扶梯）、段（水平平台，即）、段（上坡楼梯），如图中虚线所示．段和段的坡度相同，为保障安全其坡度不能超过，商场希望尽可能延长平台的长度，以方便顾客休息． （）求出平台的最大长度（结果保留小数点后一位）． （参考数据：取，取，取） 【变式 2】．如图，大楼上悬挂一条幅，小颖在坡面处测得条幅顶部的仰角为，沿坡面向下走到坡脚处，然后向大楼方向继续行走米来到处，测得条幅的底部的仰角为，此时小颖距大楼底端处米．已知坡面米，山坡的坡度即且、、、、、、在同一平面内，、、在同一条直线上． (1)求点距水平面的高度？保留根号 (2)求条幅的长度？结果精确到1米参考数据： 题型七 方位角问题 【典例 1】如图，一艘军舰在处测得小岛位于南偏东方向，向正东航行海里后到达处，此时测得小岛位于南偏西方向，则小岛离观测点的距离是（ ）海里 A． B． C． D． 【典例 2】如图，一艘渔船正以海里/小时的速度向正东方向航行，在处测得岛礁在东北方向上，继续航行小时后到达处，此时测得岛礁在北偏东方向，同时测得岛礁正东方向上的避风港在北偏东方向．为了在台风到来之前用最短时间到达处，渔船立刻加速以海里/小时的速度继续航行 小时即可到达．（结果保留根号） 【答案】 【变式 1】．如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点到直线距离为（    ） A．3千米 B．千米 C．2千米 D．1千米 【变式 2】如图，某公路局施工队要修建一条公路，已知点周围米范围内为古建筑保护群，在上的点处测得在的北偏东方向上，从A向东走米到达处，测得在点的北偏西方向上．（参考数据：，） (1)是否穿过古建筑保护群？为什么？ (2)若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高，则原计划每天完成修建多少米公路？ 题型八 三角函数的应用与测高 【典例 1】从一艘船上测得海岸上高为42米的灯塔顶部的仰角是30度，船离灯塔的水平距离为（   ） A．米 B．米 C．21米 D．42米 【典例 2】如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高的测量仪测得顶端A的仰角为，小军在小明的前面处用高的测量仪测得顶端A的仰角为，则电子厂的高度为多少米？ （参考数据：，，）    【变式 1】在中，，则（     ） A．30 B．40 C． D．20 【变式 2】如图，小林同学为了测量某世界名楼的高度，他站在G处仰望楼顶C，仰角为，走到点F处仰望楼顶C，仰角为，眼睛D、B离同一水平地面的高度为1.6米，米．请求出楼顶C离地面的高度约是多少米？（取1.732，取1.414，按四舍五入法将结果精确到0.1）． 说明：相当于“课堂验收成果”，用“分层、限时”的检测题，帮学生自查“基础是否扎实、难题是否突破”，便于诊断“哪里还要补”。每个版块选取5~8道试题（三个板块选其中两个板块也可），部分可选取最新期中真题并标注题源，综合拓展部分可链接中高考真题，以达到考教衔接。 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．的值等于（    ） A． B． C． D． 2．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，CD⊥AB于D，则tan∠BCD的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 3．计算： ． 4．如图，为了估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得，，，并且点B，C，D在同一条直线上．若测得米，则河宽AB为 米．（结果保留根号） 三、解答题 5．如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔海里的岛，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的东南方向上的岛，求、两岛之间的距离．（结果保留整数）【参考数据：，，】 6．某数学活动小组测量图书馆和实验楼的高度，已知两楼中间有一棵树，楼、和树都垂直于地平面，点在同一条直线上．测得是的中点，且米，从实验楼楼顶处测得图书馆楼顶处的仰角为，测得树顶处的俯角为，已知树高为10米，求图书馆和实验楼的高度．（精确到1米，参考数据：） 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．在台风来临之前，有关部门用钢管加固树木（如图），固定点A离地面的高度，钢管与地面所成角，那么钢管AB的长为（    ） A． B． C． D． 2．在中， ， ， ， 则的值为（      ） A． B． C． D．2 3．的值为（   ） A．1 B． C． D． 二、填空题 4．如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则tan∠AOB的值是 ． 5．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点 A、B、O都在这些小正方形的顶点上，那么的值为 ． 三、解答题 6．如图，南海某海域有两艘外国渔船A、B在小岛C的正南方向同一处捕鱼．一段时间后，渔船B沿北偏东的方向航行至小岛C的正东方向20海里处．此时，在D处巡逻的中国渔政船同时发现了这两艘渔船，其中B渔船在点D的南偏西方向，A渔船在点D的西南方向，我国渔政船要求这两艘渔船迅速离开中国海域．    (1)求 ， ． (2)求渔船B航行的距离． (3)请分别求出中国渔政船此时到这两艘外国渔船的距离．（注：结果保留根号） 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．修筑一坡度为3︰4的大坝，如果设大坝斜坡的坡角为，那么的正切值是（     ） A． B． C． D． 2．如图，在Rt△ABC中，，，把折叠，使落在上，点与上的点重合，展开后，折痕交于点，连接、，交于点．下列结论：①②若将沿折叠，则点一定落在上③图中有7个等腰三角形④若，则⑤，上述结论中正确的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 4．已知△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AB=15，则cosB的值为 ． 5．计算： ． 三、解答题 6．随着科技的进步．人工智能得到了巨大的发展．如图是一款机械臂机器人．基座与地面垂直，基座米．大臂米．小臂米．大臂与水平线的张角为，小臂与大臂的张角为，其中，．（图中点线在同一个平面内） (1)求机械臂机器人抓手距离地面的最大高度；（精确到米） (2)设抓手到直线的水平距离为，当时，求的取值范围．（精确到米）（参考数据：，） 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $