6.1图上距离与实际距离（教学课件）数学苏科版九年级下册

该初中数学课件聚焦“图上距离与实际距离”，核心讲解两条线段的比、成比例线段及比例性质。通过“琮琮”图形全等与相似对比导入，引导学生从对应线段比切入，衔接小学比例知识，为相似图形学习搭建支架。 其亮点是以“琮琮”图形、地图比例尺为现实情境，培养数学眼光，通过“设k法”“分类讨论”发展数学思维，结合符号语言与实际问题强化数学语言。题型分层且小结系统，助学生构建知识网络，教师可高效教学。

苏科版·九年级下册 6.1 图上距离与实际距离 第六章 图形的相似 章节导读 学 习 目 标 1 2 了解两条线段的比 了解成比例线段、比例 3 了解比例的基本性质 新知探究 思 考 1. 两组图中A、B之间有何关系？ A B 解：A与B的形状相同、大小相等 —— 全等。 A B 新知探究 思 考 2. 两组图中A、B之间有何关系？ A B 解：A与B的形状相同，但大小不等。 A B 新知探究 思 考 3. 怎样通过具体数值描述A、B之间的大小关系呢？ A B A B C D C1 D1 解：在琮琮A上取两点C、D，连接CD，测量其长度，记为a； 在琮琮B上取相应的两点C1、D1，连接C1D1，测量其长度，记为b。 a b 新知探究 A B C D C1 D1 两个琮琮图形大小的比，即CD : C1D1，即a : b， 因此，要研究形状相同、大小不同的图形， 要先研究对应线段 ( 长度 ) 的比。 a b 新知探究 两条线段的比： 两条线段长度的比，叫做两条线段的比。 若两条线段的比为a : b，那么a叫做比的前项，b叫做比的后项。 注意：两条线段的比具有顺序性，要明确前项与后项。 知识要点 新知探究 探 究 已知AB长为1dm，CD长为2cm，则： ( 1 ) AB与CD的比为________，AB与CD的比值为________； ( 2 ) “比”与“比值”一样吗？ 解：( 1 )∵AB = 1dm = 10cm， ∴AB与CD的比为10 : 2，即5 : 1，AB与CD的比值为 = 5； ( 2 ) 不一样， 两数相除叫做两个数的比， 两数相除所得的商叫做两个数的比值。 5 : 1 5 注意：求线段的比或比值，需确保单位长度统一 新知探究 两条线段的比： 两条线段长度的比，叫做两条线段的比。 若两条线段的比为a : b，那么a叫做比的前项，b叫做比的后项。 注意：① 两条线段的比具有顺序性，要明确前项与后项； ② 求两条线段的比，要先统一线段的单位； ③ 区分“比”与“比值”，“比值”是“比”的结果。 知识要点 新知探究 思 考 在下面两幅比例尺不同的江苏省地图中，设连接南京与徐州的线段长分别为a、b，连接南京与连云港的线段长分别为c、d，问： ( 1 ) 比例尺1 : 8000000与比例尺1 : 16000000的含义是什么？ ( 2 ) a : b与c : d的比值是否相等？ 注意：比例尺也是两条线段的比的一种 新知探究 思 考 ( 1 ) 比例尺1 : 8000000与比例尺1 : 16000000的含义是什么？ 解：( 1 ) ∵比例尺 = ， ∴图1： = ，图2：=； 新知探究 思 考 ( 2 ) a : b与c : d的比值是否相等？ 先度量出a、b、c、d的大小，再分别计算和的值，可得： = 根据比例尺可得： = 2 = 新知探究 成比例线段： 在四条线段中，如果两条线段的比等于另两条线段的比， 那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 符号语言：在四条线段a、b、c、d中， 如果a : b = c : d，那么a、b、c、d这四条线段叫做成比例线段。 注意：成比例线段是有顺序的， 若a、b、c、d这四条线段成比例，则a : b = c : d。 知识要点 新知探究 比例： 两个比相等的式子叫做比例，eg： a : b = c : d。 比例的四个项a、b、c、d分别叫做第一、二、三、四比例项； 其中，a和d又叫做比例外项，b和c又叫做比例内项。 知识要点 新知探究 思 考 1. 下图中，哪两个矩形的长和宽是成比例线段？ 9 6 8 4 6 4 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 解：∵( 1 ) 长 : 宽 = 9 : 6 = 3 : 2；( 2 ) 长 : 宽 = 8 : 4 = 2 : 1； ( 3 ) 长 : 宽 = 6 : 4 = 3 : 2； ∴第( 1 )个矩形和第( 3 )个矩形的长和宽是成比例线段。 新知探究 思 考 2. 如下图，线段A1B1、B1C1、A2B2、B2C2的端点都在边长为1的小正方形的顶点上，问：这四条线段是成比例线段吗？ 解：由题意可得： A1B1 = 2，B1C1 = 2， A2B2 = ，B2C2 = ， ∵A1B1 : B1C1 = 2 : 2 = 1 : ， A2B2 : B2C2 = : = 1 : ， ∴A1B1 : B1C1 = A2B2 : B2C2， ∴这四条线段是成比例线段。 C2 C1 B1 B2 A1 A2 新知探究 比例的基本性质： 小学里，我们已经学过了比例的基本性质： ( 1 ) 如果a : b = c : d，那么ad = bc； ( 2 ) 反过来，如果ad = bc ( b ≠ 0，d ≠ 0 )，那么a : b = c : d。 进一步推广： ( 1 ) 特别地，如果a : b = b : c，那么ac = b2； ( 2 ) 如果ad = bc (a、b、c、d均不为0)， 那么 = ， = ， = ， = 。 知识要点 新知探究 比例中项： 在比例式a : b = b : c中，b叫做a和c的比例中项。 知识要点 典例分析 解：比例尺 = 图上距离 : 实际距离 = 4 : 8000 = 1 : 2000。 三角形草地的另外两条边的实际长度分别为 5 × 2000 = 10000 ( cm ) = 100m， 6 × 2000=12000 ( cm ) =120m。 答：这块三角形草地的另外两条边的实际长度分别为100m和120m。 典例1 某公园平面图上有一块三角形草地，三边长分别为4cm、5cm、6cm。已知这块三角形草地最短边的实际长度为80m，求另外两条边的实际长度。 典例分析 典例2 已知，且x + y = 24。求x、y的值。 解：设 = k，则x = 3k，y = 5k。 ∵x + y = 24， ∴3k + 5k = 24，k = 3。 ∴x = 9，y = 15。 方法技巧 解题关键：设k法 新知探究 探 究 解：∵ = ， ∴ ± 1 = ± 1， ∴ = 。 1. 已知 = ，判断与是否相等。 合比定理： = 与分比定理： = 新知探究 探 究 解：设 = = k ( k ≠ 1 )，则a = kb，c = kd， ∴ = = ， = = ， ∴ = 。 2. 已知 = ，判断与是否相等。 合分比定理 新知探究 探 究 解：设 = = k，则a = kb，c = kd， ∴ = = k = = 。 3. 已知 = ，判断与是否相等。 等比定理 新知探究 比例的其他性质： ( 1 ) 合比定理：如果 = ，那么 = ； 分比定理：如果 = ，那么 = 。 ( 2 ) 合分比定理：如果 = ( a - b ≠ 0，c - d ≠ 0 )，那么 = 。 知识要点 新知探究 ( 3 ) 等比定理：如果 = ( b ± d ≠ 0)，那么 = = ； 进一步推广： 如果 = = = ( 分母和 ≠ 0 )，那么 = = = = 。 知识要点 题型探究 【例1】如图，画线段AB的垂直平分线交AB于点O，在这条垂直平分线上截取OC = OA，以A为圆心，AC为半径画弧于AB与点P，则线段AP与AB的比是_________。 求两条线段的比 题型一 解：如图，连接AC， 设AO = x，则BO = x，CO = x， ∴AC = AP = x， ∴线段AP与AB的比是：( x ) : ( 2x ) = : 2。 A B P O C : 2 题型探究 【例2】在比例尺是1 : 10000的地图上，图距25mm，则实距是________m；如果实距为500m，其图距为________cm。 根据比例尺求距离 题型二 解∵比例尺 = ， ∴ = ， = ， ∴实际距离 = 250000mm = 250m，图上距离= 0.05m = 5cm。 250 5 注意： 切换单位 题型探究 【例3】在比例尺为1 : 10000的地图上，一块面积为2cm2的区域表示的实际面积是___________m2。 根据比例尺求距离 题型二 解∵比例尺 = = 1∶10000， ∴ = ， ∴实际面积 = 200000000cm2 = 20000m2。 20000 注意：面积比要平方 成比例线段的判断 题型三 题型探究 【例4】下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（　　） A．4cm，5cm，6cm，7cm B．3cm，4cm，5cm，8cm C．5cm，15cm，3cm，9cm D．8cm，4cm，1cm，3cm 解：A．4 : 5 ≠ 6 : 7 ( 或4 × 7 ≠ 5 × 6 )，∴四条线段不成比例； B．3 : 4 ≠ 5 : 8 ( 或3 × 8 ≠ 4 × 5 )，∴四条线段不成比例； C．排序：3cm，5cm，9cm，15cm，3 : 5 = 9 : 15 ( 或3 × 15 = 5 × 9 )， ∴四条线段成比例； D．排序：1cm，3cm，4cm，8cm，1 : 3 ≠ 4 : 8 ( 或1 × 8 ≠ 3 × 4 )， ∴四条线段不成比例。 C 题型探究 方法技巧 根据例题总结 ——已知四条线段的长，判断这四条线段能否成比例的一般步骤： ( 1 ) 统一单位：统一四条线段的单位； ( 2 ) 排序：将线段的长按照从小到大的顺序排列； ( 3 ) 计算：分别计算排序后，前两条线段的比、后两条线段的比 ( 或分别计算排序后，首末两条线段的积、中间两条线段的积 )； ( 4 ) 看：看比是否相等 ( 或看积是否相等 )。 求比例有关的线段长 题型四 题型探究 【例5】( 1 ) 线段a = 2cm，b = 3cm，c = lcm，那么a、b、c的第四比例项 d = ________； (2)线段a = 6cm，b = 2cm，则a、b、a + b的第四比例项是________cm。 解：( 1 ) ∵ = ， ∴ = ，解得：d = 1.5cm； ( 2 ) 设第四比例项为d，则 = ， ∴ = ，解得：d = cm。 1.5cm 注意： 单位不能漏 求比例中项 题型五 题型探究 【例6】若a = 4cm，b = 9cm，则线段a，b的比例中项是________cm。 解：设比例中项为c， ∵ab = c2， ∴( 4cm ) × ( 9cm ) = c2， ∵c > 0， ∴c = 6cm。 6 根据比例中项求值 题型六 题型探究 【例7】已知三个数3、6、x，要使其中一个数是其他两数的比例中项， 则x的取值是_______________________。 解：比例中项指代不明，需分类讨论： ① 设3为比例中项，则6x = 32，解得：x = ； ② 设6为比例中项，则3x = 62，解得：x = 12； ③ 设x为比例中项，则3 × 6 = x2，解得：x = ； 综上，x = 或x = 12或x = 。 x = 或x = 12或x = 根据比例的性质求值 题型七 题型探究 【例8】若a : b = 3 : 4，b : c = 1 : 2，则a : c = ________。 解：∵a : b = 3 : 4，b : c = 1 : 2 = 4 : 8， ∴a : b : c = 3 : 4 : 8， ∴a : c = 3 : 8。 3 : 8 把b转化成同一个数，进行连比 根据比例的性质求值 题型七 题型探究 【例9】已知 = ，那么 = ________。 解：∵ = ， ∴1 - = 1 - ， ∴ = 。 根据比例的性质求值 题型七 题型探究 【例10】已知 = ，那么 = ________。 解：法一：∵ = ，∴a = b， ∴ = = = 4； 法二：∵ = ，∴设a=3k，b=5k， ∴ = = = 4。 4 设k法更简洁明了 根据比例的性质求值 题型七 题型探究 【例11】已知a : b : c = 9 : 11 : 14，且a + b + c = 68， 则3a - 2b + c = ________。 解：a : b : c = 9 : 11 : 14，且a + b + c = 68， ∴设a = 9k，b = 11k，c = 14k， ∴9k + 11k + 14k = 68，解得：k = 2， ∴a = 18，b = 22，c = 28， ∴3a - 2b + c = 38。 38 根据比例的性质求值 题型七 题型探究 【例12】已知 = = = ，且b + d + f ≠ 0，则 = ________。 解：∵ = = = ，且b + d + f ≠ 0， ∴由等比定理可得： = = = = 。 课堂小结 两条线段的比： 两条线段长度的比，叫做两条线段的比。 若两条线段的比为a : b，那么a叫做比的前项，b叫做比的后项。 注意：① 两条线段的比具有顺序性，要明确前项与后项； ② 求两条线段的比，要先统一线段的单位； ③ 区分“比”与“比值”，“比值”是“比”的结果。 成比例线段： 在四条线段中，如果两条线段的比等于另两条线段的比， 那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 符号语言：在四条线段a、b、c、d中， 如果a : b = c : d，那么a、b、c、d这四条线段叫做成比例线段。 注意：成比例线段是有顺序的，若a、b、c、d这四条线段成比例，则a : b = c : d。 课堂小结 比例： 两个比相等的式子叫做比例，eg： a : b = c : d。 比例的四个项a、b、c、d分别叫做第一、二、三、四比例项； 其中，a和d又叫做比例外项，b和c又叫做比例内项。 比例的基本性质： ( 1 ) 如果a : b = c : d，那么ad = bc； ( 2 ) 反过来，如果ad = bc ( b ≠ 0，d ≠ 0 )，那么a : b = c : d。 进一步推广： ( 1 ) 特别地，如果a : b = b : c，那么ac = b2； ( 2 ) 如果ad = bc (a、b、c、d均不为0)，那么 = ， = ， = ， = 。 比例中项： 在比例式a : b = b : c中，b叫做a和c的比例中项。 课堂小结 比例的其他性质： ( 1 ) 合比定理：如果 = ，那么 = ； 分比定理：如果 = ，那么 = 。 ( 2 ) 合分比定理：如果 = ( a - b ≠ 0，c - d ≠ 0 )，那么 = 。 ( 3 ) 等比定理：如果 = ( b ± d ≠ 0)，那么 = = ； 进一步推广：如果 = = = ( 分母和 ≠ 0 )，那么 = = = = 。 感谢聆听! $