专题01 相似三角形（22知识&17题型）（期中知识清单）九年级数学上学期沪教版

专题01 相似三角形（22知识&17题型） 【清单01】相似图形 定义:我们把形状相同的图形叫做相似图形 提示 (1)两个图形相似,其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到 (2)全等图形可以看成是一种特殊的相似图形,即不仅形状相同而且大小也相等 (3)判断两个图形是否相似，只要看两个图形的形状是否相同即可，跟图形的大小、位置没有关系. 【清单02】相似多边形 1.相似多边形的相关定义 两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等,边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形. 相似多边形对应边的比叫做相似比 2.相似多边形的性质 对应角相等,对应边成比例 注意 判定两个多边形相似，必须同时具备三个条件:(1)边数相同;(2)对应角分别相等:(3)对应边成比例 3.相似多边形与全等多边形的边、角特征: 相似多边形 全等多边形 对应边 成比例 相等 对应角 相等 相等 【清单03】比和比例 1.比 两个数与相除叫做两个数的比，记作，若的比值为，则； 2.比例 表示两个比相等的式子叫做比例，(或），那么就说成比例，这个比例式可变形为等积式，还可变形为比例式 （补充）比例中项：如果比例的两个内项相等 【清单04】线段的比和比例线段 1.线段的比：两条线段长度的比叫做两条线段的比. 2.线段成比例的定义 对于四条线段,如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等,如(即)，我们就说这四条线段成比例. 3.比例的相关性质 (1)比例的基本性质 当时,则；(两内项之积等于两外项之积) 若(),则，简记为“前:后=后:前”. (2) 比例的其他性质 ①合比性质:若,则或(,均不为0) ②分比性质:若,则或(,均不为0) ③更比性质:若,则或(均不为0) ④等比性质:若,则=() 【清单05】黄金分割 如果点把线段分割成和（）两段（如下图），其中是和的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点称为线段的黄金分割点．其中，，称为黄金分割数，简称黄金数． 【清单06】线段比与面积比 1. 三角形的中位线 三角形的中位线是联结两边中点的线段,中位线所在的直线与 第三边所在的直线平行. 结论1：, 结论2：. 2. 线段比与面积比 同高(或等高)的两个三角形的面积之比与对应底边的比相等. 【清单07】三角形一边的平行线性质定理与推论 1. 三角形一边的平行线性质定理 (1)平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的对应线段成比例. (2)两种常见类型： “A ”型 “X ”型 2. 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 【清单08】三角形的重心 （1）三角形的三条中线交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心. （2）三角形的重心到一个顶点的距离,等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍. 【清单09】三角形一边的平行线判定定理与推论 1.三角形一边的平行线判定定理 如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边. 2.三角形一边的平行线判定定理推论 如果一条直线截三角形两边的延长线(这两边的延长线在第三边的同侧)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边. 【清单10】平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理 两条直线被三条平行的直线所截,截得的对应线段成比例. 2.推论 两条直线被三条平行的直线所截,如果在一条直线上截得的线段相等,那么在另一条直线上截得的线段也相等. 【清单11】相似三角形 1. 概念 三个角分别相等,三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形,相似用符号“∽”表示，△ABC与△DEF相似记作△ABC∽△DEF.其中,我们把对应边的比叫做相似比. 2. 相似三角形的对应性 用“∽”这个符号表示两个图形相似时，对应的顶点应该写在对应的位置上.若△ABC∽△DEF,则: (1)对应顶点:点和点,点和点,点 和点; (2)对应角:和,和,和; (3)对应边:和，和,和. 3. 相似三角形具有顺序性 如与的相似比为;反过来与的相似比为 4. 相似三角形具有传递性 若，，则. 注意： (1)用“∽”表示两个三角形相似时，隐含着确定了对应角、对应边.而用文字叙述两个三角形相似，对应关系不确定. 注意 （2）全等三角形是相似比为1的相似三角形,但相似三角形不一定是全等三角形 【清单12】平行线分线段成比例 1.平行线分线段成比例的基本事实 两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例 平行线分线段成比例的基本事实的常见变形 为了便于记忆，所得到的等式可以这样记忆: 2.平行线分线段成比例的基本事实应用在三角形上的结论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线).所得的对应线段成比例. 如图①②③所示，若,则有,,. 【清单13】相似三角形的判定定理 定理1:平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 因为,所以. 注意：(1)和（2）一般称为“A字型”，（3）一般称为“X字型” 定理2:三边成比例的两个三角形相似. 如图,如果,那么 定理3:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 如图,在与中，，,可判定 注意 (1)在使用该定理时,相等的角必须是已知成比例的两边的夹角，不要错误地认为是任意一角对应相等，两个三角形就相似. (2)找相等的角时,注意隐含条件,如公共角、对顶角,平行线中的同位角、内错角,直角三角形中的直角等. 定理4:两角分别相等的两个三角形相似. 如图,如果,,那么. 提示 (1)该判定定理也说明了在三角形中,确定了两个角的大小即可确定该三角形的形状 (2)在两个直角三角形中若有一组锐角对应相等,则这两个直角三角形相似 (3)在等腰三角形中,若有顶角或底角对应相等,则这两个三角形相似，但要注意有一个角相等的两个等腰三角形不一定相似.如顶角为30°与底角为30°的两个等腰三角形不相似. 【清单14】直角三角形相似的判定方法 1.判定方法1 由三角形相似的条件可知,如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例,那么这两个直角三角形相似. 2.判定方法2 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似.如图 ,那么. 提示: 判定一般三角形相似的方法同样适用于判定两个直角三角形相似. 归纳: 在直角三角形中,只要有两边对应成比例,即可判定这两个直角三角形相似.已知两个直角三角形的斜边和一条直角边成比例,借助勾股定理可证明另一条直角边也成比例,进而可利用“三边对应成比例的两个三角形相似”,证明这两个直角三角形相似. 【清单15】常见相似三角形模型 1. 平行线型 条件:如图所示,. 结论:, 2. 旋转型 条件所示, 结论: 3.斜交型 条件:如图(1)(2)所示， 结论:,. 条件:如图(3)(4)所示, 结论:,. 4.一线三等角型 条件:如图（1）所示，； 如图（2）所示，. 结论:,. 【清单16】相似三角形的性质定理 1. 相似三角形的对应角相等，对应边成比例 2. 相似三角形对应线段的比等于相似比. 相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比. 如图所示，且相似比为,即 若，分别为两个三角形的高,则,即相似三角形对应高的比等于它们的相似比. 若，分别为两个三角形的对应角平分线,则,即相似三角形对应角平分线的比等于它们的相似比. 同理可以推出相似三角形对应中线的比也等于它们的相似比. 注意：我们也可以得到：，,,.因此，以上结论可概括为相似三角形对应线段的比等于相似比. 3. 相似三角形周长的比等于相似比 在中，,相似比为,因此，,,从而有，即与周长的比等于相似比.类似地,相似多边形周长的比等于相似比 4.相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图所示，，且相似比为,则,即,所以相似三角形面积的比等于相似比的平方. 提示： 在两相似三角形中，“相似比=周长之比=对应线段之比”,这三者之间可以互相进行等量转化.(2)面积比=(相似比)²;相似比= 【清单17】相似三角形的应用 1.相似三角形的实际应用的主要类型 (1)利用相似三角形的性质计算不能直接测量的河的宽度;(2)利用相似三角形的性质计算不能直接测量的物体的高度 2.利用相似三角形计算不能直接测量的河的宽度的两种常见模型 (1)如图所示,BC为河宽,DE//BC则△ADE∽△ABC，∴,而AD,AB,DE的长均易测出,故 . (2) 如图所示,BC为河宽,DE// BC,则△ADE∽△ABC，∴而AD,AB,DE 均易测出,故. 3利用相似三角形计算无法达到顶部的物体高度常用的四种方法 方法1:利用阳光下的影子(如测量旗杆的高度).如图1所示，选一名同学(或利用一根标杆)直立于旗杆影子的顶端处，然后测量出该同学(或标杆)的高度和影长及旗杆的影长，再利用同一时刻物高与影长成比例求解 方法 2:利用镜子的反射(如测量旗杆的高度).如图2所示,选一名同学作为观测者,在观测者与旗杆之间的地面上平放一面镜子,在镜子上做一个标记,观测者看着镜子来回走动，直至看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合，然后测量出人站立点与镜面上的点的距离、旗杆底部与镜面上的点的距离及观测者的目高,并根据反射角等于入射角,利用相似三角形求解 方法 3:利用特殊角测量物体的高度,如图3所示，使用的工具有:皮尺、测角器.通过测角器观测旗杆顶端A,使测角器的示数为60°(条件允许可以45°,30°),利用,可求得旗杆的高度 方法 4:利用标杆(如测量古塔的高度) 准备一根比自己略高一些的标杆,把它竖直地插在要测的古塔前的E处，如图 4所示,设古塔的中心线为PO,自标杆起面对古塔沿OE的延长线向后退至A处,此时,要使自己的眼睛看到古塔顶P与标杆顶F在同一直线上,然后保持头部不动,眼睛沿水平线DB的方向望去，使视线与标杆EF 和古塔 PO分别相交于 GB分别做好标记,于是△GFD∽△BPD,得,因为BD =AO,GD =AE,GE =DA.所以就有,PO=PB+DA. 【清单18】实数与向量相乘 1.实数与向量相乘的意义 一般地，设为正整数，为向量，那么我们用表示个相加;用表示个相加.又当为正整数时，表示与同向且长度为的向量. 注意：设为一个正数，实际上就是将的长度进行放缩，而方向保持不变;也是将的长度进行放缩，但方向变为反向. 2.实数与向量相乘的运算的规定 设是一个实数,是向量,那么与相乘所得的积是一个向量,记作. 如果 ,且,那么的长;的方向:当时与同方向;当时与反方向. 如果或,那么. 根据实数与向量相乘的意义，可知 注意： （1） 也表示实数与向量相乘的运算.规定应把实数写在向量前面并省略乘号; （2） 注意不要将表示向量的箭头写在数字上面. 【清单19】实数与向量相乘满足的运算律 1.实数与向量相乘满足的分配律 设为实数，则（1）;（2） 2.实数与向量相乘满足的结合律 设为实数,则. 注意：或为零以及或为零向量时，等式依然成立. 【清单20】平行向量定理、单位向量 如果向量与非零向量平行,那么存在唯一的实数,使. 注意：满足，关于的符号，是由与同向或反向来确定的，当与方向相同时，的符号为正号；当与方向相反时，的符号为负号. 长度为1的向量叫做单位向量.设为单位向量,则. 注意：在实数中,0和1是特殊的数;在向量中,和是特殊的向量,其中单位向量有无数个,不同的单位向量,是指它们的方向不同.对于任意非零向量,与它同向的单位向量记作.由实数与向量的乘积,可知=,=. 【清单21】向量的线性运算与线性组合 1.向量的线性运算 向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 2.向量的线性组合 如果、是两个不平行的向量，是实数，那么叫做、的线性组合.一般来说，是平面内的一个向量，那么可以用、表示，并且通常将其表达式整理成的形式. 【清单22】向量的分解 1.向量的分解 根据向量加法的意义，所得的和向量是向量与的合成.如果与是两个不平行的向量，（是实数），那么向量就是与的合成.用与的线性组合表示向量，也就是说向量分解为、两个向量，这时，向量与是向量在与方向上的分向量,是向量关于与的分解式. 注意：平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解. 2.将一个向量分解成两个已知基向量的线性组合的方法 将一个向量分解成两个已知基向量的线性组合的方法可以利用向量加法的平行四边形法则得出. 题型一、相似多边形的性质 例1（24-25九年级上·上海徐汇·期中）上海人民广场占地面积约为，若按比例尺缩小后，其面积大约相当于 A．一个篮球场的面积 B．一张乒乓球台台面的面积 C．《中学生报》的一个版面的面积 D．《数学》课本封面的面积 【答案】C 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查了相似多边形的性质．熟练掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 由题意知，按比例尺缩小后，其面积大约为，然后判断作答即可． 【详解】解：由题意知，上海人民广场占地面积约为，按比例尺缩小后，其面积大约为，相当于《中学生报》的一个版面的面积， 故选：C． 【变式1-1】（24-25九年级上·上海静安·期中）甲图的比例尺为，乙图的比例尺为，那么甲图与乙图的相似比是 ． 【答案】 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查了相似图形的性质，熟练掌握相似图形的相似比等于对应边的比是解题的关键．根据相似图形的性质，用两个图的比例尺相比即可求得相似比． 【详解】解：甲图与乙图的相似比． 故答案为：． 【变式1-2】（24-25九年级上·上海·期中）矩形中，E、F分别为中点，如果矩形与矩形相似，那么它们的相似比为 ． 【答案】 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查了相似多边形的性质．熟练掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据相似多边形的面积比等于相似比的平方求解作答即可． 【详解】解：∵E、F分别为中点， ∴， ∵矩形与矩形相似， ∴相似比， 解得， 或（舍去）， ∴相似比为， 故答案为：． 【变式1-3】（24-25九年级上·上海·期中）将矩形沿它的一条对称轴对折，如果对折后得到的新矩形与矩形相似，那么对折后得到的新矩形与矩形的相似比是 ． 【答案】 【知识点】相似多边形的性质 【分析】本题考查了相似多边形的性质和矩形的性质，根据相似多边形的性质得出比例式，求出，代入求出即可，能根据相似多边形的性质求出是解此题的关键． 【详解】解：如图， 是矩形的一条对称轴， 、分别为，的中点， ，， 四边形是矩形， ，， 矩形与相似， ， ， ， ， ， 故答案为：． 题型二、相似图形 例2（24-25九年级上·上海静安·期中）下列选项中的两个图形一定相似的是（    ） A．两个平行四边形 B．两个正方形 C．两个菱形 D．两个等腰三角形 【答案】B 【知识点】相似图形 【分析】本题考查了相似图形的识别，熟练掌握相似图形的定义：对应边成比例，对应角相等的图形叫相似图形是解题的关键．根据相似图形的定义，对选项逐一分析判断即可． 【详解】解：A、两个平行四边形对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意； B、两个正方形对应边成比例，对应角相等，故一定相似，符合题意； C、两个菱形对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意； D、两个等腰三角形对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意； 故选：B． 【变式2-1】（24-25九年级上·上海松江·期中）下列图形一定是相似图形的是（   ） A．两个等腰三角形 B．两个面积相等的三角形 C．两个正方形 D．两个菱形 【答案】C 【知识点】相似图形 【分析】本题主要考查了相似图形，掌握形状相同的图形称为相似图形是解题的关键． 根据相似图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、两个等腰三角形不一定相似，不符合题意； B、两个面积相等的三角形不一定相似，不符合题意； C、两个正方形一定相似，符合题意； D、两个菱形不一定相似，不符合题意． 故选：C． 【变式2-2】（24-25九年级上·上海宝山·期中）下列选项中的两个图形一定相似的是（   ） A．两个等边三角形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个等腰三角形 【答案】A 【知识点】相似图形 【分析】本题考查的是相似图形的判断，掌握形状相同的图形称为相似图形是解题的关键． 根据相似图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A、两个等边三角形，三个角都是 ∴它们是相似图形，符合题意； B、两个矩形四个角都是，但对应边的比不一定相等 ∴它们不是相似图形，不符合题意； C、两个菱形角不一定相等 ∴它们不是相似图形，不符合题意； D、两个等腰三角形对应边的比不一定相等， ∴它们不是相似图形； 故选：A． 【变式2-3】（24-25九年级上·上海闵行·期中）下列命题正确的是（   ） A．等腰三角形都是相似图形 B．矩形都是相似图形 C．菱形都是相似图形 D．圆都是相似图形 【答案】D 【知识点】相似图形 【分析】本题考查相似图形的识别，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，熟练掌握相似图形的定义是解题关键. 根据相似图形的定义，对各选项逐一判断即可得答案. 【详解】解：A.等腰三角形的底角与顶角均不能确定，边长也不确定，不一定相似，故该选项错误，不符合题意； B. 矩形的长和宽不能确定，不一定相似，故该选项错误，不符合题意； C. 菱形各角不能确定，不一定相似，故该选项错误，不符合题意； D. 圆都是相似图形，故该选项符合题意； 故选D. 题型三、比例的性质 例3（24-25九年级上·上海杨浦·期中）已知，，那么下列等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质：内项之积等于外项之积是解决问题的关键．根据比例的性质对各选项进行判断． 【详解】解：由得， A、，则， ∴，故不符合题意； B、，则， ∴，故不符合题意； C、，则， ∴，故不符合题意； D、，则， ∴，故符合题意， 故选：D． 【变式3-1】（24-25九年级上·上海金山·期中）如图为阿成调整他的计算机画面的分辨率时看到的选项，当他从建议选项调整成时，由于比例改变，画面左右会出现黑色区域，当比例不变就不会有此问题．判断阿成将他的计算机画面分辨率从调整成下列哪一种时，画面左右不会出现黑色区域?（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质，理解题意并掌握比例的化简是解题的关键．由题意得，当比例不变就不会出现黑色区域，先通过计算将比例化为最简比得到，再逐个分析选项中给出的分辨率及其比例，若比例化简后与相等则正确，否则错误，通过计算可得只有正确，其余均错误，即可得出正确选项． 【详解】解：， 由题意得，当比例不变就不会出现黑色区域， ，比例不变，故A正确； ，比例改变，故B错误； ，比例改变，故C错误； ，比例改变，故D错误． 故选：A． 【变式3-2】（24-25九年级上·上海宝山·期中）如果，那么下列各式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查比例的性质，已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中几个量用所设的未知数表示出来，进行约分． 根据比例的基本性质，设，，分别代入各选项进行计算即可得出答案． 【详解】解：设，（）， A. ，式子成立，故选项不符合题意； B. ，式子成立，故选项不符合题意； C. ，式子成立，故选项不符合题意； D. ，式子不成立，故选项符合题意； 故选：D． 【变式3-3】（24-25九年级上·上海闵行·期中）已知，则 ． 【答案】/ 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例的性质，由得，然后代入化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 题型四、比例线段 例4（24-25九年级上·上海徐汇·期中）如果地图上、两处的图距是，表示这两地实际的距离是，那么实际距离是的两地在地图上的图距是 ． 【答案】 【知识点】比例线段 【分析】本题考查了比例线段，先设这个图距是，根据图上距离比上实际距离等于比例尺，可得关于的方程，即可求解，解题的关键是根据比例尺不变列出方程． 【详解】解：设这个图距是， 则， 解得， 故答案为：． 【变式4-1】（24-25九年级上·上海·期中）在比例尺为的地图上，相距10厘米的两地实际距离为 千米． 【答案】1 【知识点】比例线段 【分析】本题考查了比例线段，根据比例尺正确进行计算并注意单位的转换是解题的关键． 根据比例尺图上距离实际距离，列出关系式即可得出实际的距离． 【详解】解：设两地实际距离为x厘米，得：， 所以相距10厘米的两地的实际距离是厘米千米， 故答案为：1． 【变式4-2】（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）在比例尺是的地图上，如果某条道路长约为，那么它的实际长度约为 ． 【答案】12 【知识点】比例线段 【分析】本题主要考查了比例尺，根据，即可解答． 【详解】因为比例尺为，且图上距离是， 所以实际距离是． 故答案为：12． 题型五、成比例线段 例5（24-25九年级上·上海奉贤·期中）下列各组线段中，能成比例线段的一组是（      ） A．2，3，4，6 B．1，2，3，4 C．2，3，5，6 D．3，4，5，6 【答案】A 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了比例线段，熟记成比例线段的定义是解题的关键．注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断． 【详解】解：A、，故本选项正确； B、，故本选项错误； C、，故本选项错误； D、，故本选项错误． 故选：A． 【变式5-1】（24-25九年级上·上海虹口·期中）下列各组中的四条线段（单位：厘米）成比例线段的是（　　） A．1、2、3、4 B．2、3、4、6 C．4、5、5、6 D．1、2、5、20 【答案】B 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了成比例线段，根据最小的值与最大的值相乘等于其他两个值的乘积，得出它们成比例线段，即可作答． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式5-2】（24-25九年级上·上海宝山·期中）线段厘米，厘米，如果线段是线段和的比例中项，那么 厘米． 【答案】 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了比例线段，根据比例中项的定义得到，然后利用比例性质计算即可，解题的关键是理解四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段，当时，线段是线段和的比例中项． 【详解】解：∵线段是线段和的比例中项， ∴， ∵线段厘米，厘米， ∴， ∴（负值舍去）， 故答案为：． 【变式5-3】（24-25九年级上·上海虹口·期中）已知线段厘米，厘米，那么线段a和c的比例中项是 厘米． 【答案】6 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了成比例线段，设线段a和c的比例中项为b，由题意得出，计算即可得解． 【详解】解：设线段a和c的比例中项为b， ∴，即， ∴（负值舍去）． 故答案为：6． 【变式5-4】（24-25九年级上·上海松江·期中）已知，线段厘米，厘米，则线段的比例中项是 厘米． 【答案】 【知识点】成比例线段 【分析】本题主要考查了比例中项，理解并掌握比例中项的定义是解题关键．如果三个量成连比例即，则叫做和的比例中项．设线段的比例中项是厘米，根据比例中项的定义可得，代入数值并求解即可． 【详解】解：设线段的比例中项是厘米， 则有， 解得， 又∵线段的长度为正数， ∴厘米． 故答案为：． 题型六、黄金分割 例6（24-25九年级上·上海·期中）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是黄金分割数，著名的“断臂维纳斯”便是如此．若某人满足上述黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为100厘米则其身高约是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割，列出比例式，进行求解即可． 【详解】解：设最美人体的头顶至肚脐的长度为， 由题意，得：， ∴， ∴人的身高为：； 故选B． 【变式6-1】（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知点P是线段的黄金分割点，且，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查黄金分割，黄金分割的定义是：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值即为黄金分割，其比值是． 【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点，且， ∴，， ∴A正确，B，C，D不正确． 故选：A． 【变式6-2】（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知点是线段上的一点，且，如果，那么 ． 【答案】 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：， 点是线段的黄金分割点， ， ， ， 故答案为：． 【变式6-3】（24-25九年级上·上海奉贤·期中）已知，线段，是的黄金分割点，且，则 ． 【答案】 【知识点】分母有理化、黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割点的定义，利用黄金分割的定义计算即可，若是的黄金分割点，且，则，熟练应用黄金分割的性质列出方程是解题的关键． 【详解】解：线段，C是的黄金分割点，且， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式6-4】（24-25九年级上·上海徐汇·期中）已知点是线段的黄金分割点，，则 ． 【答案】 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割，由题意得，然后把，代入计算求解即可，熟练掌握黄金分割是解题的关键． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点， ∴， ∵，， ∴， ∴或（舍去）， 故答案为：． 【变式6-5】（24-25九年级上·上海浦东新·期中）今年为庆祝建平西校建校周年，学校举办了一场大型的“”文艺汇演活动，汇演舞台的形状为矩形，宽度为米，如果主持人站立的位置是宽度的黄金分割点，那么主持人从台侧点沿方向走到主持的位置至少需走 米 【答案】/ 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．设主持的位置为点，根据黄金分割点的定义求出的长，再求出的长即可． 【详解】解：设主持的位置为点， 由题意可知，点为线段米的黄金分割点，且， 米， 米， 故答案为： 题型七、由平行判断成比例的线段 例7（24-25九年级上·上海静安·期中）已知线段，求作线段使，下列作法（图中虚线均为平行线）中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题主要考查了利用平行线的性质画图的方法，根据平行线的性质一一分析． 【详解】解：A、根据平行线的性质得，故此选项正确，不符合题意； B、根据平行线的性质得，故此选项正确，不符合题意； C、根据平行线的性质得，故此选项正确，不符合题意； D、根据平行线的性质得，故此选项错误，符合题意； 故选：D． 【变式7-1】（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图：在中，点、分别在、上，根据下列给定的条件，不能判断与平行的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，理解平行线分线段成比例是解答关键． 根据平行线分线段成比例来逐一进行判定求解． 【详解】解：∵， ∴，故A不合题意； ∵， ∴，故B不合题意； ∵， ∴，故C不合题意； ∵， 不能判断与平行，故D符合题意． 故选：D． 【变式7-2】（24-25九年级上·上海黄浦·期中）已知线段、、，求作第四比例线段，则以下正确的作图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由平行判断成比例的线段 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，主要考查了第四比例线段的作法，要熟练掌握并灵活运用．根据比例线段的定义列出比例式，再根据平行线分线段成比例定理对各选项图形列出比例式即可得解． 【详解】解：∵线段x为线段a、b、c的第四比例线段， ∴， A、根据作图可知，故本选项错误； B、根据作图可知，故本选项错误； C、根据作图可知，故本选项错误； D、根据作图可知，故本选项正确． 故选：D． 【变式7-3】（24-25九年级上·上海杨浦·期中）如图，已知，，如果，那么 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、由平行判断成比例的线段、等式的性质 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，等式的性质，解一元一次方程等知识点，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 由平行线分线段成比例定理可得，进而可得，根据列方程求解，即可求得的长． 【详解】解：， ， ， 又， 解得：， 故答案为：． 题型八、由平行截线求相关线段的长或比值 例8（24-25九年级上·上海松江·期中）已知：如图，，它们依次交直线于点A、E、B和点C、F、D，下列结果中不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例．由平行线分线段成比例可得，，，即可求解． 【详解】解：∵， ，，， 故选项A，B，C不符合题意，选项D符合题意， 故选：D． 【变式8-1】（24-25九年级上·上海·期中）在中，点D、E、F分别在边上，联结DE、DF，如果，，且，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理．由，得到，再由，根据平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 则， ∵， ∴， 故选：C． 【变式8-2】（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，直线，直线，与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D，E，F．若，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理．直接利用平行线分线段成比例定理进而得出，再将已知数据代入求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式8-3】（24-25九年级上·上海金山·期中）如图，已知直线，直线分别交直线、、于、、三点，直线分别交直线、、于、、三点，如果，，，那么长为 ．    【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例，列出比例式，再将已知数据代入求解，即可解题． 【详解】解：直线， ， ，，， ， 解得， 故答案为：． 【变式8-4】（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，已知，它们依次交直线于点A、D、F和点B、C、E，如果，，那么线段的长是 ． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理．根据得到，再由，，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为： 题型九、相似三角形的判定综合 例9（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知在中，点D、E分别在边和上，连接、交于点F，下列条件中，不一定能得到和相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】本题考查了三角形相似的判定，解题关键是熟记相似三角形的判定方法，准确进行推理证明． 画出图形，由已知及三角形相似的判定方法，对每个选项分别分析、判断解答出即可． 【详解】解：如图所示， A．∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ 又∵ ∴，故A不符合题意； B．∵， ∴ ∴ ∴ ∴，故B不符合题意； C．由不一定能得到和相似，故C符合题意； D．∵ ∴ ∴ ∴点D到的距离等于点E到的距离 ∴ ∴，故D不符合题意． 故选：C． 【变式9-1】（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）下列说法中，正确的是（　　） A．有一个角相等的两个菱形必相似 B．有一条边相等的两个矩形必相似 C．有一个角相等的两个等腰三角形必相似 D．有一条边相等的两个等腰三角形必相似 【答案】A 【知识点】相似多边形、相似三角形的判定综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定、相似多边形的判定，熟练掌握相关判定定理是解题的关键．利用相似多边形的判定、相似三角形的判定方法依次判断即可得解． 【详解】解：A．有一个角相等的两个菱形必相似，原说法正确，符合题意； B．有一条边相等的两个矩形不一定相似，原说法错误，不符合题意； C．有一个角相等的两个等腰三角形不一定相似，原说法错误，不符合题意； D．有一条边相等的两个等腰三角形必相似不一定相似，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 【变式9-2】（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）下列命题中不一定成立的是（   ） A．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 B．有一个角是的两个等腰三角形相似 C．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似 D．两个等腰直角三角形相似 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定综合 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定进行逐项判断即可． 【详解】解：A. 斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，故选项正确，不符合题意； B. 有一个角是的两个等腰三角形相似，故选项正确，不符合题意； C. 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项错误，符合题意； D. 两个等腰直角三角形相似，故选项正确，不符合题意； 故选：C 【变式9-3】（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，点D、E分别在线段和上，与相交于点O，，．求证：． 【答案】见解析 【知识点】相似三角形的判定综合、利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据可证，通过可证，然后根据相似的传递性即可得证． 【详解】证明： ， ， ， ， ， ， ． 题型十、选择或补充条件使两个三角形相似 例10（24-25九年级上·上海金山·期中）中，点是边上一点，联结，下列条件中，不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定，由图可知，是与的公共角，所以再添加一组角相等或者添加夹的两边成比例即可判断． 【详解】解：如图所示， A．， ， ， ， 故A不符合题意； B．， ， ， 不能判定与相似， 故B符合题意； C．， ， 故C不符合题意； D．，， ， 故D不符合题意； 故选：B． 【变式10-1】（24-25九年级上·上海松江·期中）已知，点是的边上一点，在下列四个条件中：①；②；③；④，其中能使得与一定相似的是（   ）． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．掌握相似三角形的判定方法成为解题的关键． 由是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得①与②正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得④正确，据此即可解答． 【详解】解：如图： ∵是公共角， ∴当或时，（有两角对应相等的三角形相似），故①与②正确； 当，即时，（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故④正确； 当，即时，不是夹角，故不能判定与相似，故③错误； 综上，①②④正确． 故选：B． 【变式10-2】（24-25九年级上·上海杨浦·期中）已知的三边都不相等，如果与相似，且，那么下列等式一定不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查相似三角形的判定条件：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）夹角相等，对应边成比例，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似，（4）斜边和直角边对应成比例的两直角三角形相似，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．本题中结合题意根据相似三角形的判定定理逐一判断即可得到答案． 【详解】解：如图， A、，，故，不符合题意； B、，，故，，不符合题意； C、，夹角不对应相等，故不能证明相似，符合题意； D、，若，则，不符合题意， 故选：C． 【变式10-3】（24-25九年级上·上海闵行·期中）已知D、E分别是的边上的点（不与端点重合），且与不平行，要使得与相似 （只填一个）． 【答案】或或（答案不唯一） 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解答本题的关键．添加条件即可求得，即可解题． 【详解】解：已知D、E分别是的边，且与不平行，， ∴， 故添加条件即可求得． 或添加条件即可求得． 或添加条件即可求得． 故答案为：或或（答案不唯一）． 题型十一、利用相似三角形的性质求解 例11（24-25九年级上·上海·期中）如果两个相似三角形的周长之比为，那么它们的对应边之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的周长之比等于相似比即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：如果两个相似三角形的周长之比为，那么它们的对应边之比为， 故选：． 【变式11-1】（24-25九年级上·上海·期中）如果两个相似三角形对应边之比是，那么它们的面积比是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形的性质是解本题的关键；因此此题可根据“两个三角形相似，那么它们的面积比是相似比的平方”进行求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形对应边的比为， ∴两个相似三角形的相似比为， ∴它们的面积比是， 故选：D． 【变式11-2】（24-25九年级上·上海静安·期中）如果两个相似三角形对应边上的高之比为，则这两个三角形的周长比为 ． 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边的比，对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，对应周长的比都等于相似比；它们对应面积的比等于相似比的平方． 【详解】解：∵两个相似三角形对应边上的高之比为， ∴这两个三角形的周长比为． 故答案为：． 【变式11-3】（24-25九年级上·上海嘉定·期中）已知两个等边三角形的面积比为，那么这两个等边三角形的角平分线的长度的比值为 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形对应角平分线的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方． 根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得它们的相似比，又由相似三角形对应角平分线的比等于相似比，即可求得答案． 【详解】解：两个等边三角形的面积比为， 这两个等边三角形的相似比为：， 这两个等边三角形的角平分线的长度的比值为． 故答案为：． 【变式11-4】（24-25九年级上·上海浦东新·期中）已知：如图，在中，点、分别在边、上，，． (1)求证：； (2)延长、交于点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】利用相似三角形的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，关键是找到相似的三角形． （1）由，得出，根据，得出，进一步证明，从而得出结论； （2）根据（1）的结论和已知证明即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， 即； （2）解：如图所示，延长和相交于点F， 由（1）得， ， ， ， ∴， ， 又， ， 又， ． 题型十二、相似三角形实际应用 例12（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，用手电来测量古城墙高度，将平面镜水平放置在点处，光线从点出发，经过平面镜反射后，光线刚好照到古城墙的顶端处．若，，米，米，米，根据物理学中光的反射定律，可计算出该古城墙的高度是 米． 【答案】 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．通过证明，得到，再代入数据求出的长，即可解答． 【详解】解：，， ， 由题意得，， ， ，即， 解得：米． 该古城墙的高度是米． 故答案为：． 【变式12-1】（24-25九年级上·上海杨浦·期中）为了测量校门口路灯的高度，小明准备了两根标杆和皮尺，按如图的方式放置，已知米，在路灯的照射下，标杆的顶端C在标杆留下的影子为G，标杆在地面上的影长是，经测量得米，米，米，那么灯杆的长是 米． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、相似三角形实际应用 【分析】延长交于，先证明，得出，再分别证明和得出，，将数值代入，进行计算，即可作答．此题考查相似三角形的应用，关键是根据相似三角形的判定和性质解答． 【详解】解：如图，延长交于， ，， ， ， 设为米，则， 解得：， 设米，米， ，， ∴， ∴ 同理得， ∴ 可得，， 整理得：， 解得：， 米． 故答案为：． 【变式12-2】（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔10米种一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸有两根相邻的电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有一棵树，那么这段河的宽度为 米． 【答案】 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，根据题意，河两岸平行，证明来解决问题，列出方程，求解即可． 【详解】解：如图，设河宽为h， 米，P到的距离是米， ∴， ∴， ∴ ∴， 解得：米， ∴河宽为米． 故答案为：． 【变式12-3】（24-25九年级上·上海徐汇·期中）在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图为一凸透镜，是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于点．若焦距，物距，小蜡烛的高度，求蜡烛的像的长度以及像与透镜之间的距离． 【答案】蜡烛的像的长度为，像与透镜之间的距离为 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、相似三角形实际应用 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键； 根据题意可得，，，，，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质可求出的长，这证明，从而利用相似三角形的性质可求出的长，即可解答； 【详解】解：，，，， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， ， ， ， 蜡烛的像的长度为，像与透镜之间的距离为； 题型十三、相似三角形的判定与性质综合 例13（24-25九年级上·上海静安·期中）在中，点分别在边上，下列选项中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．根据相似三角形的性质与判定，对选项逐个分析判断即可． 【详解】解：如图， A、， ，即， 又， ， ， ，故此选项不符合题意； B、， ， 又， ， ， ，故此选项不符合题意； C、，， ， ， ，故此选项不符合题意； D、不能判定，符合题意； 故选：D． 【变式13-1】（24-25九年级上·上海·期中）如图，在四边形中，相交于，则下列结论不成立的是（   ） A．与相似 B．与相似 C．与相似 D．与相似 【答案】D 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．根据两角分别相等的两个三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似逐一判断即可． 【详解】解：∵，， ∴，故选项A不符合题意； ∵，， ∴，故选项C不符合题意； ∵， ∴，即， ∵， ∴，故选项B不符合题意； 不能判断与相似，故选项D符合题意； 故选：D． 【变式13-2】（24-25九年级上·上海·期中）在中，是边上的高，如果，那么与的相似比为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理求出的长，证明，得到与的相似比为即可． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴，， ∴， ∴与的相似比为； 故答案为：． 【变式13-3】（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，正方形的边在的边上，顶点分别在边上．已知长为60厘米，如果正方形的边长为20厘米，那么的高为 厘米． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是由平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质列方程．由得，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解． 【详解】解：设的高为厘米． 由正方形得，，即， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴，， ∵长为厘米，正方形的边长为厘米， ∴， 解得． 即厘米． 故答案为：． 【变式13-4】（24-25九年级上·上海·期中）如图，在梯形中，，点E、F分别在上，且，当，时，线段的长为 ．（用含m、n的代数式表示） 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】此题主要考查了梯形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，连接，并延长交的延长线于，证明得，根据得，进而得，则，然后再根据得，由此可证明和相似，则，据此可得的长，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地作出辅助线构造相似三角形是解决问题的难点． 【详解】解：连接，并延长交的延长线于，如图所示： ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式13-5】（24-25九年级上·上海·期中）如图，在中，，点D在边上，；点E在边上，，当时，求的值． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，设，可得，再通过角度的转换得到，得到，证明，则可得，再利用勾股定理即可解答，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：设， ， 根据勾股定理可得， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 根据勾股定理可得，即， 可得， ． 题型十四、重心的有关性质 例14（24-25九年级上·上海·期中）已知的重心到边上中点的距离为，那么中线的长为 ． 【答案】 【知识点】重心的有关性质 【分析】此题考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．根据三角形重心的性质求解即可． 【详解】解：如图所示，分别为的中点，则是的重心， 延长至，使得， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ； ． 故答案为：． 【变式14-1】（24-25九年级上·上海黄浦·期中）如图，在中，，点是的重心，连接，如果，，那么 ． 【答案】/ 【知识点】重心的有关性质、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查三角形的重心，涉及相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，难度较大，综合性较强，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形．延长交于，过作于，直线交于，证明，得，同理可得，即有，根据为的重心，，得，再根据正切的定义即可得解． 【详解】解：过作于，延长交于点，连接，如图： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为的重心， ∴， ∵， ∴， ∴， 则在直角三角形中，， 故答案为： 【变式14-2】（24-25九年级上·上海·期中）如图，在中，G是重心，的延长线交于D，过点G作交于E，则 ．    【答案】 【知识点】重心的有关性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，掌握重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键，注意相似三角形的面积比等于相似比的平方．根据重心的性质得到，，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解：G是重心， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式14-3】（24-25九年级上·上海·期中）如图，是的一条中线，G是的重心，过点G作，交于点E，F．若，则的长为 ． 【答案】 【知识点】重心的有关性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，重心的性质，三角形的中线，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．根据是中线，得到，由G为的重心，可以得到，有，可以证明，得到，由此求解即可． 【详解】解：∵是中线， ∴， ∵G为的重心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型十五、实数与向量相乘 例15（24-25九年级上·上海嘉定·期中）已知，，且和的方向相反，那么下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】实数与向量相乘、等式的性质 【分析】本题考查了平面向量，等式的性质等知识点，熟练掌握平面向量的基本知识是解题的关键． 根据平行向量的性质即可解决问题． 【详解】解：，，且和的方向相反， ， ， 故选：． 【变式15-1】（24-25九年级上·上海·期中）若向量与单位向量的方向相反，且，则 （用表示） 【答案】 【知识点】实数与向量相乘、向量的相关概念 【分析】本题考查的是平面向量的知识，即长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．根据向量的表示方法可直接进行解答． 【详解】解：∵向量与单位向量的方向相反，且， ∴． 故答案为：． 【变式15-2】 （24-25九年级上·上海青浦·期中）下列说法：①如果（是实数），那么；②若，，则；③单位向量都相等；④一个向量与零相乘，乘积为零；其中正确的是 ． 【答案】① 【知识点】实数与向量相乘、向量的相关概念 【分析】本题考查了平行向量，单位向量，零向量等知识．熟练掌握平行向量，单位向量，零向量是解题的关键． 根据平行向量，单位向量，零向量的定义判断作答即可． 【详解】解：由题意知，如果（是实数），那么，正确，故①符合要求； 当时，若，，则错误，故②不符合要求； 单位向量方向不同，单位向量不都相等，故③不符合要求； 一个向量与零相乘，乘积为零向量，故④不符合要求； 故答案为：①． 题型十六、向量的相关概念 例16（24-25九年级上·上海·期中）下列命题中正确的是（    ） A．若都是单位向量，则 B．若是相等向量，则它们的始点、终点都相同 C．若是相反向量，则 D．与是平行向量 【答案】D 【知识点】向量的相关概念 【分析】本题考查平面向量，根据单位向量，平行向量、相等向量的定义即可判断． 【详解】解：A、单位向量不一定是相等向量，故A不符合题意． B. 若是相等向量，则它们的始点、终点可以不相同 C. 若是相反向量，方向相反，但长度不一定相等则不一定成立，故该选项不正确，不符合题意； D. 与是平行向量，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【变式16-1】（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如果，，且与反向，那么下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量的相关概念 【分析】此题考查了平面向量的定义，由，，且与反向，根据平面向量的定义，即可求得答案． 【详解】解：，， ， 与反向， ． 故选：D． 【变式16-2】（24-25九年级上·上海静安·期中）已知、为非零向量，下列判断错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果为单位向量，且，那么 【答案】C 【知识点】向量的相关概念 【分析】本题考查了平面向量，平面向量既有大小，又有方向．根据相等向量，平行向量，模，单位向量的定义一一判断即可． 【详解】解：A、如果，那么两向量是共线向量，则，故本选项正确，不符合题意； B、如果，那么两向量为共线向量，则，，故本选项正确，不符合题意； C、，只能说明两个向量的模相等，无法判定方向，故本选项错误，符合题意； D、根据向量模的定义知，，故本选项正确，不符合题意． 故选：C． 【变式16-3】（24-25九年级上·上海崇明·期中）下列说法中，正确的是（   ） A． B．如果，那么 C．如果是单位向量，那么 D．如果是非零向量，且，那么 【答案】D 【知识点】向量的相关概念 【分析】本题考查向量的相关概念，根据向量的概念和性质逐项判断即可． 【详解】解：A、，所以A错误，不符合题意． B、如果，那么，这两个向量方向不一定相同，所以B错误，不符合题意． C、如果是单位向量，那么，所以C错误，不符合题意． D、如果非零向量，且，那么，D正确，符合题意． 故选：D． 题型十七、向量的线性运算 例17（24-25九年级上·上海奉贤·期中）点在线段上，如果，，那么等于（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量的线性运算 【分析】本题主要考查平面向量的运算，掌握平面向量的运算法则是解题的关键. 根据平面向量的线性运算法则，即可解题． 【详解】解：点在线段上，如果，， ， 与方向相同， ， 故选：A． 【变式17-1】（24-25九年级上·上海宝山·期中）已知非零向量、，且有，下列说法中，不正确的是（   ） A． B． C．与方向相反 D． 【答案】D 【知识点】向量的线性运算 【分析】本题考查了平面向量的性质，解题的关键是熟练掌握平面向量的性质 根据平面向量的性质进行分析判断． 【详解】解∶ ， ，，， 故A、B、C正确，D错误， 故选∶D． 【变式17-2】（24-25九年级上·上海浦东新·期中）已知  下列判断正确的是（　　） A．与，方向相同 B． C．与不平行 D． 【答案】A 【知识点】向量的线性运算、向量的相关概念 【分析】本题考查了向量的定义：既有大小，又有方向的量叫作向量，根据定义逐项分析即可． 【详解】A、有题意可知，与，方向相同，故选项正确，符合题意；     B、，故选项错误，不符合题意；         C、与 平行，故选项错误，不符合题意；     D、，故选项错误，不符合题意； 故选：A 【变式17-3】（24-25九年级上·上海·期中）在梯形中，，对角线、相交于点，设．用的式子表示向量 【答案】 【知识点】向量的线性运算、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查平面向量，相似三角形的性质与判定，先证明，根据相似三角形的性质可得，得到，再根据即可求解. 【详解】解：∵ ∴， 即 ， 故答案为：． 【变式17-4】（24-25九年级上·上海静安·期中）计算： ． 【答案】 【知识点】向量的线性运算、实数与向量相乘 【分析】本题考查了平面向量的知识，根据平面向量的加减运算法则求解即可求得答案，熟悉相关性质是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：． 【变式17-5】（24-25九年级上·上海·期中）如图，在梯形中，，交于点O，，，． (1)填空：_________，_________（结果用表示）； (2)画出在方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量） 【答案】(1)， (2)见解析 【知识点】向量的线性运算、平行四边形性质的其他应用、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查作图-复杂作图，平面向量，相似三角形的判定和性质，梯形等知识，解题的关键是掌握三角形法则解决问题． （1）利用三角形法则求出，，再利用相似三角形的性质求出，； （2）利用平行四边形法则画出图形． 【详解】（1）解：，， ，，， ， ， ， ， ，， 故答案为：，； （2）如图，过点C作交的延长线于点G，，即为所求． 2 / 88 1 / 88 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 相似三角形（22知识&17题型） 【清单01】相似图形 定义:我们把_______相同的图形叫做相似图形 提示 (1)两个图形相似,其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到 (2)全等图形可以看成是一种特殊的相似图形,即不仅形状相同而且大小也相等 (3)判断两个图形是否相似，只要看两个图形的形状是否相同即可，跟图形的大小、位置没有关系. 【清单02】相似多边形 1.相似多边形的相关定义 两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等,边成比例,那么这两个多边形叫做_______. 相似多边形对应边的比叫做_______ 2.相似多边形的性质 对应角相等,对应边成比例 注意 判定两个多边形相似，必须同时具备三个条件:(1)边数相同;(2)对应角分别相等:(3)对应边成比例 3.相似多边形与全等多边形的边、角特征: 相似多边形 全等多边形 对应边 成比例 相等 对应角 相等 相等 【清单03】比和比例 1.比 两个数与相除叫做两个数的比，记作，若的比值为，则； 2.比例 表示两个比相等的式子叫做比例，(或），那么就说成比例，这个比例式可变形为等积式，还可变形为比例式 （补充）比例中项：如果比例的两个内项相等 【清单04】线段的比和比例线段 1.线段的比：两条线段_______的比叫做两条线段的比. 2.线段成比例的定义 对于四条线段,如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等,如(即)，我们就说这四条线段成比例. 3.比例的相关性质 (1)比例的基本性质 当时,则；(两内项之_______等于两外项之_______) 若(),则，简记为“前:后=后:前”. (2) 比例的其他性质 ①合比性质:若,则_______或_______(,均不为0) ②分比性质:若,则_______或_______(,均不为0) ③更比性质:若,则_______或_______(均不为0) ④等比性质:若,则_______=_______() 【清单05】黄金分割 如果点把线段分割成和（）两段（如下图），其中是和的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点称为线段的黄金分割点．其中，，称为_______，简称黄金数． 【清单06】线段比与面积比 1. 三角形的中位线 三角形的中位线是联结两边_______点的线段,中位线所在的直线与 第三边所在的直线_______. 结论1：, 结论2：. 2. 线段比与面积比 同高(或等高)的两个三角形的_______与对应_______相等. 【清单07】三角形一边的平行线性质定理与推论 1. 三角形一边的平行线性质定理 (1)_______三角形一边的直线截_______所在的直线,截得的对应线段成比例. (2)两种常见类型： “A ”型 “X ”型 2. 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 【清单08】三角形的重心 （1）三角形的三条_______交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的_______心. （2）三角形的重心到一个顶点的_______,等于它到这个顶点对边中点的距离的_______倍. 【清单09】三角形一边的平行线判定定理与推论 1.三角形一边的平行线判定定理 如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段_______,那么这条直线_______三角形的第三边. 2.三角形一边的平行线判定定理推论 如果一条直线截三角形两边的延长线(这两边的延长线在第三边的同侧)所得的对应线段_______,那么这条直线_______三角形的第三边. 【清单10】平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理 两条直线被三条_______的直线所截,截得的对应线段成比例. 2.推论 两条直线被三条平行的直线所截,如果在一条直线上截得的线段相等,那么在另一条直线上截得的线段也相等. 【清单11】相似三角形 1. 概念 三个角分别相等,三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形,相似用符号“∽”表示，△ABC与△DEF相似记作△ABC∽△DEF.其中,我们把对应边的比叫做_______. 2. 相似三角形的对应性 用“∽”这个符号表示两个图形相似时，对应的顶点应该写在对应的位置上.若△ABC∽△DEF,则: (1)对应_______:点和点,点和点,点 和点; (2)对应_______:和,和,和; (3)对应_______:和，和,和. 3. 相似三角形具有顺序性 如与的相似比为;反过来与的相似比为_______ 4. 相似三角形具有传递性 若，，则. 注意： (1)用“∽”表示两个三角形相似时，隐含着确定了对应角、对应边.而用文字叙述两个三角形相似，对应关系不确定. 注意 （2）全等三角形是相似比为1的相似三角形,但相似三角形不一定是全等三角形 【清单12】平行线分线段成比例 1.平行线分线段成比例的基本事实 两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例 平行线分线段成比例的基本事实的常见变形 为了便于记忆，所得到的等式可以这样记忆: 2.平行线分线段成比例的基本事实应用在三角形上的结论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线).所得的对应线段成比例. 如图①②③所示，若,则有,,. 【清单13】相似三角形的判定定理 定理1:_______三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 因为,所以. 注意：(1)和（2）一般称为“A字型”，（3）一般称为“X字型” 定理2:三边_______的两个三角形相似. 如图,如果,那么 定理3:两边_______且_______相等的两个三角形相似. 如图,在与中，，,可判定 注意 (1)在使用该定理时,相等的角必须是已知成比例的两边的夹角，不要错误地认为是任意一角对应相等，两个三角形就相似. (2)找相等的角时,注意隐含条件,如公共角、对顶角,平行线中的同位角、内错角,直角三角形中的直角等. 定理4:_______分别相等的两个三角形相似. 如图,如果,,那么. 提示 (1)该判定定理也说明了在三角形中,确定了两个角的大小即可确定该三角形的形状 (2)在两个直角三角形中若有一组锐角对应相等,则这两个直角三角形相似 (3)在等腰三角形中,若有顶角或底角对应相等,则这两个三角形相似，但要注意有一个角相等的两个等腰三角形不一定相似.如顶角为30°与底角为30°的两个等腰三角形不相似. 【清单14】直角三角形相似的判定方法 1.判定方法1 由三角形相似的条件可知,如果两个直角三角形满足_______个锐角相等，或_______组直角边成比例,那么这两个直角三角形相似. 2.判定方法2 _______边和一条_______成比例的两个直角三角形相似.如图 ,那么. 提示: 判定一般三角形相似的方法同样适用于判定两个直角三角形相似. 归纳: 在直角三角形中,只要有两边对应成比例,即可判定这两个直角三角形相似.已知两个直角三角形的斜边和一条直角边成比例,借助勾股定理可证明另一条直角边也成比例,进而可利用“三边对应成比例的两个三角形相似”,证明这两个直角三角形相似. 【清单15】常见相似三角形模型 1. 平行线型 条件:如图所示,. 结论:, 2. 旋转型 条件所示, 结论: 3.斜交型 条件:如图(1)(2)所示， 结论:,. 条件:如图(3)(4)所示, 结论:,. 4._______型 条件:如图（1）所示，； 如图（2）所示，. 结论:,. 【清单16】相似三角形的性质定理 1. 相似三角形的对应角_______，对应边_______ 2. 相似三角形对应线段的比等于_______. 相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比. 如图所示，且相似比为,即 若，分别为两个三角形的高,则,即相似三角形对应高的比等于它们的相似比. 若，分别为两个三角形的对应角平分线,则,即相似三角形对应角平分线的比等于它们的相似比. 同理可以推出相似三角形对应中线的比也等于它们的相似比. 注意：我们也可以得到：，,,.因此，以上结论可概括为相似三角形对应线段的比等于相似比. 3. 相似三角形周长的比等于_______比 在中，,相似比为,因此，,,从而有，即与周长的比等于相似比.类似地,相似多边形周长的比等于相似比 4.相似三角形面积的比等于_______ 如图所示，，且相似比为,则,即,所以相似三角形面积的比等于相似比的平方. 提示： 在两相似三角形中，“相似比=周长之比=对应线段之比”,这三者之间可以互相进行等量转化.(2)面积比=(相似比)²;相似比= 【清单17】相似三角形的应用 1.相似三角形的实际应用的主要类型 (1)利用相似三角形的性质计算不能直接测量的河的宽度;(2)利用相似三角形的性质计算不能直接测量的物体的高度 2.利用相似三角形计算不能直接测量的河的宽度的两种常见模型 (1)如图所示,BC为河宽,DE//BC则△ADE∽△ABC，∴,而AD,AB,DE的长均易测出,故 . (2) 如图所示,BC为河宽,DE// BC,则△ADE∽△ABC，∴而AD,AB,DE 均易测出,故. 3利用相似三角形计算无法达到顶部的物体高度常用的四种方法 方法1:利用阳光下的影子(如测量旗杆的高度).如图1所示，选一名同学(或利用一根标杆)直立于旗杆影子的顶端处，然后测量出该同学(或标杆)的高度和影长及旗杆的影长，再利用同一时刻物高与影长成比例求解 方法 2:利用镜子的反射(如测量旗杆的高度).如图2所示,选一名同学作为观测者,在观测者与旗杆之间的地面上平放一面镜子,在镜子上做一个标记,观测者看着镜子来回走动，直至看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合，然后测量出人站立点与镜面上的点的距离、旗杆底部与镜面上的点的距离及观测者的目高,并根据反射角等于入射角,利用相似三角形求解 方法 3:利用特殊角测量物体的高度,如图3所示，使用的工具有:皮尺、测角器.通过测角器观测旗杆顶端A,使测角器的示数为60°(条件允许可以45°,30°),利用,可求得旗杆的高度 方法 4:利用标杆(如测量古塔的高度) 准备一根比自己略高一些的标杆,把它竖直地插在要测的古塔前的E处，如图 4所示,设古塔的中心线为PO,自标杆起面对古塔沿OE的延长线向后退至A处,此时,要使自己的眼睛看到古塔顶P与标杆顶F在同一直线上,然后保持头部不动,眼睛沿水平线DB的方向望去，使视线与标杆EF 和古塔 PO分别相交于 GB分别做好标记,于是△GFD∽△BPD,得,因为BD =AO,GD =AE,GE =DA.所以就有,PO=PB+DA. 【清单18】实数与向量相乘 1.实数与向量相乘的意义 一般地，设为正整数，为向量，那么我们用表示个相加;用表示个相加.又当为正整数时，表示与同向且长度为的向量. 注意：设为一个正数，实际上就是将的长度进行放缩，而方向保持不变;也是将的长度进行放缩，但方向变为反向. 2.实数与向量相乘的运算的规定 设是一个实数,是向量,那么与相乘所得的积是一个向量,记作. 如果 ,且,那么的长;的方向:当时与同方向;当时与反方向. 如果或,那么. 根据实数与向量相乘的意义，可知 注意： （1） 也表示实数与向量相乘的运算.规定应把实数写在向量前面并省略乘号; （2） 注意不要将表示向量的箭头写在数字上面. 【清单19】实数与向量相乘满足的运算律 1.实数与向量相乘满足的分配律 设为实数，则（1）;（2） 2.实数与向量相乘满足的结合律 设为实数,则. 注意：或为零以及或为零向量时，等式依然成立. 【清单20】平行向量定理、单位向量 如果向量与非零向量平行,那么存在唯一的实数,使. 注意：满足，关于的符号，是由与同向或反向来确定的，当与方向相同时，的符号为正号；当与方向相反时，的符号为负号. 长度为1的向量叫做单位向量.设为单位向量,则. 注意：在实数中,0和1是特殊的数;在向量中,和是特殊的向量,其中单位向量有无数个,不同的单位向量,是指它们的方向不同.对于任意非零向量,与它同向的单位向量记作.由实数与向量的乘积,可知=,=. 【清单21】向量的线性运算与线性组合 1.向量的线性运算 向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 2.向量的线性组合 如果、是两个不平行的向量，是实数，那么叫做、的线性组合.一般来说，是平面内的一个向量，那么可以用、表示，并且通常将其表达式整理成的形式. 【清单22】向量的分解 1.向量的分解 根据向量加法的意义，所得的和向量是向量与的合成.如果与是两个不平行的向量，（是实数），那么向量就是与的合成.用与的线性组合表示向量，也就是说向量分解为、两个向量，这时，向量与是向量在与方向上的分向量,是向量关于与的分解式. 注意：平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解. 2.将一个向量分解成两个已知基向量的线性组合的方法 将一个向量分解成两个已知基向量的线性组合的方法可以利用向量加法的平行四边形法则得出. 题型一、相似多边形的性质 例1（24-25九年级上·上海徐汇·期中）上海人民广场占地面积约为，若按比例尺缩小后，其面积大约相当于 A．一个篮球场的面积 B．一张乒乓球台台面的面积 C．《中学生报》的一个版面的面积 D．《数学》课本封面的面积 【变式1-1】（24-25九年级上·上海静安·期中）甲图的比例尺为，乙图的比例尺为，那么甲图与乙图的相似比是 ． 【变式1-2】（24-25九年级上·上海·期中）矩形中，E、F分别为中点，如果矩形与矩形相似，那么它们的相似比为 ． 【变式1-3】（24-25九年级上·上海·期中）将矩形沿它的一条对称轴对折，如果对折后得到的新矩形与矩形相似，那么对折后得到的新矩形与矩形的相似比是 ． 题型二、相似图形 例2（24-25九年级上·上海静安·期中）下列选项中的两个图形一定相似的是（    ） A．两个平行四边形 B．两个正方形 C．两个菱形 D．两个等腰三角形 【变式2-1】（24-25九年级上·上海松江·期中）下列图形一定是相似图形的是（   ） A．两个等腰三角形 B．两个面积相等的三角形 C．两个正方形 D．两个菱形 【变式2-2】（24-25九年级上·上海宝山·期中）下列选项中的两个图形一定相似的是（   ） A．两个等边三角形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个等腰三角形 【变式2-3】（24-25九年级上·上海闵行·期中）下列命题正确的是（   ） A．等腰三角形都是相似图形 B．矩形都是相似图形 C．菱形都是相似图形 D．圆都是相似图形 题型三、比例的性质 例3（24-25九年级上·上海杨浦·期中）已知，，那么下列等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25九年级上·上海金山·期中）如图为阿成调整他的计算机画面的分辨率时看到的选项，当他从建议选项调整成时，由于比例改变，画面左右会出现黑色区域，当比例不变就不会有此问题．判断阿成将他的计算机画面分辨率从调整成下列哪一种时，画面左右不会出现黑色区域?（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25九年级上·上海宝山·期中）如果，那么下列各式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25九年级上·上海闵行·期中）已知，则 ． 题型四、比例线段 例4（24-25九年级上·上海徐汇·期中）如果地图上、两处的图距是，表示这两地实际的距离是，那么实际距离是的两地在地图上的图距是 ． 【变式4-1】（24-25九年级上·上海·期中）在比例尺为的地图上，相距10厘米的两地实际距离为 千米． 【变式4-2】（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）在比例尺是的地图上，如果某条道路长约为，那么它的实际长度约为 ． 题型五、成比例线段 例5（24-25九年级上·上海奉贤·期中）下列各组线段中，能成比例线段的一组是（      ） A．2，3，4，6 B．1，2，3，4 C．2，3，5，6 D．3，4，5，6 【变式5-1】（24-25九年级上·上海虹口·期中）下列各组中的四条线段（单位：厘米）成比例线段的是（　　） A．1、2、3、4 B．2、3、4、6 C．4、5、5、6 D．1、2、5、20 【变式5-2】（24-25九年级上·上海宝山·期中）线段厘米，厘米，如果线段是线段和的比例中项，那么 厘米． 【变式5-3】（24-25九年级上·上海虹口·期中）已知线段厘米，厘米，那么线段a和c的比例中项是 厘米． 【变式5-4】（24-25九年级上·上海松江·期中）已知，线段厘米，厘米，则线段的比例中项是 厘米． 题型六、黄金分割 例6（24-25九年级上·上海·期中）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是黄金分割数，著名的“断臂维纳斯”便是如此．若某人满足上述黄金分割比例，且肚脐至足底的长度为100厘米则其身高约是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知点P是线段的黄金分割点，且，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知点是线段上的一点，且，如果，那么 ． 【变式6-3】（24-25九年级上·上海奉贤·期中）已知，线段，是的黄金分割点，且，则 ． 【变式6-4】（24-25九年级上·上海徐汇·期中）已知点是线段的黄金分割点，，则 ． 【变式6-5】（24-25九年级上·上海浦东新·期中）今年为庆祝建平西校建校周年，学校举办了一场大型的“”文艺汇演活动，汇演舞台的形状为矩形，宽度为米，如果主持人站立的位置是宽度的黄金分割点，那么主持人从台侧点沿方向走到主持的位置至少需走 米 题型七、由平行判断成比例的线段 例7（24-25九年级上·上海静安·期中）已知线段，求作线段使，下列作法（图中虚线均为平行线）中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25九年级上·上海虹口·期中）如图：在中，点、分别在、上，根据下列给定的条件，不能判断与平行的是（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25九年级上·上海黄浦·期中）已知线段、、，求作第四比例线段，则以下正确的作图是（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25九年级上·上海杨浦·期中）如图，已知，，如果，那么 ． 题型八、由平行截线求相关线段的长或比值 例8（24-25九年级上·上海松江·期中）已知：如图，，它们依次交直线于点A、E、B和点C、F、D，下列结果中不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25九年级上·上海·期中）在中，点D、E、F分别在边上，联结DE、DF，如果，，且，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，直线，直线，与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D，E，F．若，，则的长为 ． 【变式8-3】（24-25九年级上·上海金山·期中）如图，已知直线，直线分别交直线、、于、、三点，直线分别交直线、、于、、三点，如果，，，那么长为 ．    【变式8-4】（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，已知，它们依次交直线于点A、D、F和点B、C、E，如果，，那么线段的长是 ． 题型九、相似三角形的判定综合 例9（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知在中，点D、E分别在边和上，连接、交于点F，下列条件中，不一定能得到和相似的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25九年级上·上海徐汇·阶段练习）下列说法中，正确的是（　　） A．有一个角相等的两个菱形必相似 B．有一条边相等的两个矩形必相似 C．有一个角相等的两个等腰三角形必相似 D．有一条边相等的两个等腰三角形必相似 【变式9-2】（24-25九年级上·上海普陀·阶段练习）下列命题中不一定成立的是（   ） A．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似 B．有一个角是的两个等腰三角形相似 C．两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似 D．两个等腰直角三角形相似 【变式9-3】（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，点D、E分别在线段和上，与相交于点O，，．求证：． 题型十、选择或补充条件使两个三角形相似 例10（24-25九年级上·上海金山·期中）中，点是边上一点，联结，下列条件中，不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】（24-25九年级上·上海松江·期中）已知，点是的边上一点，在下列四个条件中：①；②；③；④，其中能使得与一定相似的是（   ）． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【变式10-2】（24-25九年级上·上海杨浦·期中）已知的三边都不相等，如果与相似，且，那么下列等式一定不成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式10-3】（24-25九年级上·上海闵行·期中）已知D、E分别是的边上的点（不与端点重合），且与不平行，要使得与相似 （只填一个）． 题型十一、利用相似三角形的性质求解 例11（24-25九年级上·上海·期中）如果两个相似三角形的周长之比为，那么它们的对应边之比为（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】（24-25九年级上·上海·期中）如果两个相似三角形对应边之比是，那么它们的面积比是（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】（24-25九年级上·上海静安·期中）如果两个相似三角形对应边上的高之比为，则这两个三角形的周长比为 ． 【变式11-3】（24-25九年级上·上海嘉定·期中）已知两个等边三角形的面积比为，那么这两个等边三角形的角平分线的长度的比值为 【变式11-4】（24-25九年级上·上海浦东新·期中）已知：如图，在中，点、分别在边、上，，． (1)求证：； (2)延长、交于点，求证：． 题型十二、相似三角形实际应用 例12（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，用手电来测量古城墙高度，将平面镜水平放置在点处，光线从点出发，经过平面镜反射后，光线刚好照到古城墙的顶端处．若，，米，米，米，根据物理学中光的反射定律，可计算出该古城墙的高度是 米． 【变式12-1】（24-25九年级上·上海杨浦·期中）为了测量校门口路灯的高度，小明准备了两根标杆和皮尺，按如图的方式放置，已知米，在路灯的照射下，标杆的顶端C在标杆留下的影子为G，标杆在地面上的影长是，经测量得米，米，米，那么灯杆的长是 米． 【变式12-2】（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔10米种一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸有两根相邻的电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有一棵树，那么这段河的宽度为 米． 【变式12-3】（24-25九年级上·上海徐汇·期中）在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图为一凸透镜，是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于点．若焦距，物距，小蜡烛的高度，求蜡烛的像的长度以及像与透镜之间的距离． 题型十三、相似三角形的判定与性质综合 例13（24-25九年级上·上海静安·期中）在中，点分别在边上，下列选项中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【变式13-1】（24-25九年级上·上海·期中）如图，在四边形中，相交于，则下列结论不成立的是（   ） A．与相似 B．与相似 C．与相似 D．与相似 【变式13-2】（24-25九年级上·上海·期中）在中，是边上的高，如果，那么与的相似比为 ． 【变式13-3】（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，正方形的边在的边上，顶点分别在边上．已知长为60厘米，如果正方形的边长为20厘米，那么的高为 厘米． 【变式13-4】（24-25九年级上·上海·期中）如图，在梯形中，，点E、F分别在上，且，当，时，线段的长为 ．（用含m、n的代数式表示） 【变式13-5】（24-25九年级上·上海·期中）如图，在中，，点D在边上，；点E在边上，，当时，求的值． 题型十四、重心的有关性质 例14（24-25九年级上·上海·期中）已知的重心到边上中点的距离为，那么中线的长为 ． 【变式14-1】（24-25九年级上·上海黄浦·期中）如图，在中，，点是的重心，连接，如果，，那么 ． 【变式14-2】（24-25九年级上·上海·期中）如图，在中，G是重心，的延长线交于D，过点G作交于E，则 ．    【变式14-3】（24-25九年级上·上海·期中）如图，是的一条中线，G是的重心，过点G作，交于点E，F．若，则的长为 ． 题型十五、实数与向量相乘 例15（24-25九年级上·上海嘉定·期中）已知，，且和的方向相反，那么下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式15-1】（24-25九年级上·上海·期中）若向量与单位向量的方向相反，且，则 （用表示） 【变式15-2】 （24-25九年级上·上海青浦·期中）下列说法：①如果（是实数），那么；②若，，则；③单位向量都相等；④一个向量与零相乘，乘积为零；其中正确的是 ． 题型十六、向量的相关概念 例16（24-25九年级上·上海·期中）下列命题中正确的是（    ） A．若都是单位向量，则 B．若是相等向量，则它们的始点、终点都相同 C．若是相反向量，则 D．与是平行向量 【变式16-1】（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如果，，且与反向，那么下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式16-2】（24-25九年级上·上海静安·期中）已知、为非零向量，下列判断错误的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果为单位向量，且，那么 【变式16-3】（24-25九年级上·上海崇明·期中）下列说法中，正确的是（   ） A． B．如果，那么 C．如果是单位向量，那么 D．如果是非零向量，且，那么 题型十七、向量的线性运算 例17（24-25九年级上·上海奉贤·期中）点在线段上，如果，，那么等于（      ） A． B． C． D． 【变式17-1】（24-25九年级上·上海宝山·期中）已知非零向量、，且有，下列说法中，不正确的是（   ） A． B． C．与方向相反 D． 【变式17-2】（24-25九年级上·上海浦东新·期中）已知  下列判断正确的是（　　） A．与，方向相同 B． C．与不平行 D． 【变式17-3】（24-25九年级上·上海·期中）在梯形中，，对角线、相交于点，设．用的式子表示向量 【变式17-4】（24-25九年级上·上海静安·期中）计算： ． 【变式17-5】（24-25九年级上·上海·期中）如图，在梯形中，，交于点O，，，． (1)填空：_________，_________（结果用表示）； (2)画出在方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量） 2 / 88 1 / 88 学科网（北京）股份有限公司 $相似三角形 相似三角形 平面向量 基本性质 当时，剥ad=bc -或6+6，c4d不为0 合比性质、分比性质 号-导则片.号k6二-6,6-1均不为0 比例的相关性质 更比性质、等比性质 老号-导，则是-日-号a66d均不为0 号-后号+d…n0 如果点P把线段AB分割成AP和PB(AP>PB)两段 黄金分割 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线 三角形一边的平行线 截得的对应线段成比例. 比例线段 性质定理与推论 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线截 得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例 如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成 比例那么这条直线平行于三角形的第三边. 三角形一边的平行线 判定定理与推论 如果一条直线截三角形两边的延长线这两边的延 长线在第三边的同侧所得的对应线段成比例那 么这条直线平行于三角形的第三边. 两条直线被三条平行的直线所截截得的对应线段成比例 平行线分线段 成比例定理 两条直线被三条平行的直线所截如果在一条直线上载得的 线段相等那么在另一条直线上截得的线段也相等 定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交 定理2三边成比例 定理3：两边成比例夹角相等 定理4：两确分别相等 个锐角相等，或两组直角边成比例 直角三角形相似判定 斜边和一条直角边成比例 相似三角形的判定定理 平行线型 “A”型基本图形“X”型基本图形 旋转型 旋转型基本图形 常见相似三角形模型 斜交型 相似三角形 《 一线三等角型 相似三角形的对应角相等，对应边成比例 相以三角形对应线段的此等于相似此 相似三角形的性质定理 相似三角形周长的比等于相似此 相似三角形面积的比等于相似此的平方 )利用相似三角形的性质计算不能直接测呈的河的完度 相似三角形的应用 (2)利用相似三角形的性质计算不能直接测呈的物体的高度 设m、n为实数，则(1)(m+n)a=m+n;(2)m(a+b)=ma+mb. 运算律 设m、n为实数，则m(n@=(mm)a 向呈的线性运算 向量的分解