专题3.5 空间向量与立体几何易错必刷题型专训（52题13个考点）-2025-2026学年高二数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版选修第一册）

专题3.5 空间向量与立体几何易错必刷题型专训（52题13个考点） 【易错必刷一 求空间图形上的点的坐标】 1．（23-24高二上·河南郑州·期中）将地球看作半径为的球体，如图所示，将空间直角坐标系的原点置于球心，赤道位于平面上，轴的正方向为球心指向正北极方向，本初子午线（弧，是0度经线）位于平面上，且交轴于点.已知赤道上一点位于东经60度，则地球上位于西经60度，北纬30度的空间点的横坐标约为（    ）（结果保留整数，参考数值：.） A．-2755 B．2755 C．-2246 D．2246 2．（多选题）（23-24高二上·江苏盐城·期末）在空间直角坐标系中，已知某平行四边形三个顶点的坐标分别为 ，，，则第四个顶点的坐标可能为（  ） A． B． C． D． 3．（2024高二上·全国·专题练习）如图三棱柱中，侧面是边长为菱形，∠，交于点，侧面，且为等腰直角三角形，如图建立空间直角坐标系，则点的坐标为 ． 4．（23-24高二下·江苏·课后作业）如图所示，正三棱柱的所有棱长都为，为的中点．请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标． 【易错必刷二 求空间中两点间的距离】 5．（24-25高二上·安徽·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知点，，则（    ） A． B． C．4 D．6 6．（多选题）（23-24高二上·河北邯郸·阶段练习）空间中，已知点，点在轴上，则下列选项正确的是（    ） A．若，这样的点有且仅有1个 B．若，这样的点有且仅有1个 C．若，这样的点不存在 D．若，这样的点有且仅有2个 7．（24-25高二下·江苏扬州·期末）在空间直角坐标系中，，，若，则实数 ． 8．（23-24高二下·全国·课堂例题）在长方体中，，，点在上且，在上且为中点. 求、两点间的距离. 【易错必刷三 空间向量的有关概念】 9．（22-23高二上·山东济南·期中）下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量满足，则 D．相等向量其方向必相同 10．（多选题）（23-24高二上·贵州黔西·阶段练习）下列说法，错误的为（    ） A．若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同 B．若向量满足，且与同向，则 C．若两个非零向量与满足，则为相反向量 D．的充要条件是与重合，与重合 11．（2023高二·全国·专题练习）①零向量没有方向； ②两个有公共终点的向量，一定是共线向量； ③空间向量的数乘运算中，只决定向量的大小， 不决定向量的方向； ④若， 则； ⑤若两个向量的起点重合， 则这两个向量的方向相同； 则上述命题中正确的是 .（填写序号） 12．（22-23高二下·江苏·课后作业）如图所示，以长方体的八个顶点的两点为起点和终点的向量中， (1)试写出与相等的所有向量； (2)试写出的相反向量； (3)若，求向量的模． 【易错必刷四 空间向量的加减运算】 13．（2025·全国·模拟预测）已知正方体，设向量，则（    ） A． B． C． D． 14．（多选题）（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）空间四边形中，若，，，分别为边上的中点，则下列各式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 15．（22-23高二上·上海松江·期中）如图，在斜四棱柱中，M为AC与BD的交点，若，请用来表示向量 ． 16．（24-25高二上·天津河西·期中）如图，在平行六面体中，是的中点，是的中点，是的中点，点在上，且，设，用基底表示以下向量：    (1)； (2)； (3)； (4)． 【易错必刷五 空间向量的数乘运算】 17．（2024高二·全国·专题练习）如图，在四面体PABC中，E是AC的中点，，设，，则（    ） A． B． C． D． 18．（多选题）（24-25高二上·广东广州·阶段练习）与向量共线的单位向量是（    ） A． B． C． D． 19．（23-24高二上·全国·课后作业）已知是三个不共面向量，已知向量则 . 20．（23-24高二上·上海·课后作业）化简下列算式： (1)； (2)． 【易错必刷六 空间向量数量积的概念辨析】 21．（23-24高二上·宁夏银川·阶段练习）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（    ） A．2 B． C． D． 22．（多选题）（22-23高一下·陕西宝鸡·期末）若、、是空间任意三个向量，，下列关系中，不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 23．（2023高二·全国·专题练习）四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为 . 24．（23-24高二·全国·课后作业）如图，在长方体中： (1)哪些棱所在直线与直线互为异面直线且互相垂直？ (2)若，分别求向量与，，的夹角. 【易错必刷七 空间向量的坐标表示】 25．（23-24高二上·重庆九龙坡·阶段练习）已知是空间中一组基底，若向量，则称向量在基底下坐标为.若向量在基底下坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ） A． B． C． D． 26．（多选题）（22-23高二上·广东江门·期中）如图，在长方体中，AB＝5，AD＝4，，以直线DA，DC，分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则（    ） A．点的坐标为 B．点B关于点对称的点为 C．， D．点关于x轴对称的点为 27．（24-25高二上·贵州·期中）若向量，则称为在基底下的坐标．已知向量在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 ． 28．（24-25高二下·全国·课前预习）在平行六面体中，设，，，，分别是，的中点． (1)用向量，，表示，； (2)若，求在基下的坐标． 【易错必刷八 求平面的法向量】 29．（24-25高二·江苏·假期作业）已知空间中，点，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 30．（多选题）（23-24高二上·广西·开学考试）已知平面内的两个向量的，则平面的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 31．（2024高三·全国·专题练习）已知直线，的方向向量分别为，，且直线，均平行于平面，平面的单位法向量为 ． 32．（24-25高二下·全国·课堂例题）在正方体中，，分别为棱，的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：    (1)平面的一个法向量； (2)平面的一个法向量． 【易错必刷九 异面直线夹角的向量求法】 33．（23-24高二上·全国·课前预习）如图，正方体的棱长为1，若点M为AB的中点，，则与MN所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 34．（多选题）（23-24高三上·贵州·阶段练习）如图，正方体的棱长为，是上的动点，以下说法正确的是（    ）    A．的面积是定值 B．与共线的单位向量是 C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是 35．（24-25高二上·北京密云·期末）如图，在长方体中， ，，则异面直线与所成角的余弦值为 ．    36．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在正方体中，分别为棱和上的点，且满足，求与所成角的余弦值.    【易错必刷十 线面角的向量求法】 37．（24-25高二下·江苏泰州·期末）若向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 38．（24-25高二上·安徽·阶段练习）在直三棱柱中，，，若点满足，其中，则直线与平面所成角的最大值为（    ） A． B． C． D． 39．（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，直线与平面相交于点，设直线与平面所成的角为，直线的方向向量，平面的法向量为，则 .    40．（2025·江西景德镇·二模）如图所示，在四棱锥中，，，，，，点在棱上，且． (1)证明：平面； (2)若，求与平面所成角的正弦值． 【易错必刷十一 面面角的向量求法】 41．（24-25高二上·山东·阶段练习）已知平面，的法向量分别为，，则平面，的夹角的大小为（   ） A． B． C． D． 42．（多选题）（23-24高二上·河南洛阳·期末）三棱锥中，平面与平面的法向量分别为,,则二面角的大小可能为（    ） A． B． C． D． 43．（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）两平面的法向量分别为，则两平面的夹角为 . 44．（2025·四川成都·一模）如图，在四棱台中，下底面是边长为的正方形，侧棱与底面垂直，且. (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的大小. 【易错必刷十二 点到平面距离的向量求法】 45．（24-25高二上·安徽·期末）在空间直角坐标系中，有一个三棱柱，其中，，，则点到平面的距离为（    ） A．1 B． C． D．2 46．（多选题）（22-23高二上·吉林辽源·期末）在棱长为3的正方体中，点在棱上运动（不与顶点重合），则点到平面的距离可以是（    ） A．1 B． C．2 D．3 47．（24-25高二下·安徽阜阳·开学考试）在直三棱柱中，，，D是棱的中点，则点到平面的距离为 . 48．（23-24高二上·安徽芜湖·期中）如图所示，已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，，，，E，F分别是AB，BC的中点．    (1)求点D到平面PEF的距离； (2)求直线AC到平面PEF的距离． 【易错必刷十三 点到直线距离的向量求法】 49．（24-25高二上·广东潮州·期末）正方体的棱长为为的中点，则点到直线的距离为（    ） A． B．1 C． D． 50．（23-24高二上·山东泰安·阶段练习）如图，在正四棱柱中，，，E为线段的中点，则点B到直线DE的距离为（   ） A． B． C． D． 51．（24-25高二上·河南·期末）已知直线过点，它的一个方向向量为，则点到直线的距离为 . 52．（23-24高二上·全国·课后作业）在棱长为1的正方体中， 求点B到直线的距离. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.5 空间向量与立体几何易错必刷题型专训（52题13个考点） 【易错必刷一 求空间图形上的点的坐标】 1．（23-24高二上·河南郑州·期中）将地球看作半径为的球体，如图所示，将空间直角坐标系的原点置于球心，赤道位于平面上，轴的正方向为球心指向正北极方向，本初子午线（弧，是0度经线）位于平面上，且交轴于点.已知赤道上一点位于东经60度，则地球上位于西经60度，北纬30度的空间点的横坐标约为（    ）（结果保留整数，参考数值：.） A．-2755 B．2755 C．-2246 D．2246 【答案】B 【分析】作出辅助线，设点投影到平面上的点为，根据题意求出，从而结合与轴正方向的夹角为，求出答案. 【详解】设点投影到平面上的点为， 则， 因为与轴正方向的夹角为， 由在轴上的投影为， 所以空间点的横坐标约为2755 故选：B 2．（多选题）（23-24高二上·江苏盐城·期末）在空间直角坐标系中，已知某平行四边形三个顶点的坐标分别为 ，，，则第四个顶点的坐标可能为（  ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据平行四边形的对角线互相平分列式计算即可. 【详解】设第四个顶点的坐标为， ①，与，的中点重合， 则，解得， ②，与，的中点重合， 则，解得， ②，与，的中点重合， 则，解得， 所以第四个顶点的坐标为或或. 故选：ABD. 3．（2024高二上·全国·专题练习）如图三棱柱中，侧面是边长为菱形，∠，交于点，侧面，且为等腰直角三角形，如图建立空间直角坐标系，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】过点作平面，连接，则，由此可求得点的坐标. 【详解】三棱柱中，侧面是边长为菱形，∠， 交于点，侧面，且为等腰直角三角形， 如图建立空间直角坐标系， 过作平面，垂足是，连接，， 则， 点的坐标为． 故答案为: . 4．（23-24高二下·江苏·课后作业）如图所示，正三棱柱的所有棱长都为，为的中点．请建立适当空间直角坐标系，并求各个点的坐标． 【答案】答案见解析 【分析】取的中点，的中点，由面面垂直性质可得平面，以为坐标原点可建立空间直角坐标系，根据长度关系可得各点坐标. 【详解】取的中点，连接， 为正三角形，，； 在正三棱柱中，平面平面，平面平面，平面， 平面， 取的中点，则，又平面，平面， 以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，，. 【易错必刷二 求空间中两点间的距离】 5．（24-25高二上·安徽·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知点，，则（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据空间两点间的距离公式求解即可. 【详解】. 故选：B. 6．（多选题）（23-24高二上·河北邯郸·阶段练习）空间中，已知点，点在轴上，则下列选项正确的是（    ） A．若，这样的点有且仅有1个 B．若，这样的点有且仅有1个 C．若，这样的点不存在 D．若，这样的点有且仅有2个 【答案】ACD 【分析】由题意可设：点，利用空间两点间距离公式逐项分析判断. 【详解】由题意可设：点，则， 对于选项A、C： 因为，当且仅当时，等号成立， 若，这样的点有且仅有1个，故A正确； 若，这样的点不存在，故C正确； 对于选项B、D：若，解得或， 所以这样的点有且仅有2个，故B错误，D正确； 故选：ACD. 7．（24-25高二下·江苏扬州·期末）在空间直角坐标系中，，，若，则实数 ． 【答案】6 【分析】求出的坐标，再求模长即可. 【详解】因为，，所以， 所以，解得. 故答案为：. 8．（23-24高二下·全国·课堂例题）在长方体中，，，点在上且，在上且为中点. 求、两点间的距离. 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系后写出、两点坐标，再运用两点间距离公式计算即可. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 因为，所以， 得 ， 又为中点，所以， 所以， 即、两点间的距离为. 【易错必刷三 空间向量的有关概念】 9．（22-23高二上·山东济南·期中）下列关于空间向量的说法中正确的是（    ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量满足，则 D．相等向量其方向必相同 【答案】D 【分析】根据向量的相关概念逐一判断即可. 【详解】相反向量指的是长度相等，方向相反的向量，故A错误； 单位向量指的是模为1的向量，方向未定，故B错误； 向量不能比较大小，故C错误； 相等向量其方向必相同，故D正确； 故选：D. 10．（多选题）（23-24高二上·贵州黔西·阶段练习）下列说法，错误的为（    ） A．若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同 B．若向量满足，且与同向，则 C．若两个非零向量与满足，则为相反向量 D．的充要条件是与重合，与重合 【答案】ABD 【分析】利用向量与有向线段的区别可判定A、D，利用向量的概念可判定B，利用相反向量的定义可判定C. 【详解】向量是具有方向和大小的量，向量可自由平移， 而表示向量的有向线段是起点、方向、终点都确定的， 故相等向量的起点和终点不必相同， 对应表示它们的有向线段也不必起点相同，终点也相同，即A、D错误； 向量的模长可比大小，但向量不可以，故B错误； 由相反向量的定义可知C正确. 故选：ABD. 11．（2023高二·全国·专题练习）①零向量没有方向； ②两个有公共终点的向量，一定是共线向量； ③空间向量的数乘运算中，只决定向量的大小， 不决定向量的方向； ④若， 则； ⑤若两个向量的起点重合， 则这两个向量的方向相同； 则上述命题中正确的是 .（填写序号） 【答案】④ 【分析】依据空间向量的有关概念辨析即可. 【详解】①错误.零向量与任意向量平行，方向是任意的. ②错误.方向相同或相反的向量称为共线向量，只终点相同，不能确定向量的方向. ③错误.当时，与向量的方向相同；当时，与向量的方向相反. ④正确.由相反向量的概念可知正确. ⑤错误.若两个向量的起点重合，终点不确定，则其方向的关系不能确定. 故答案为：④ 12．（22-23高二下·江苏·课后作业）如图所示，以长方体的八个顶点的两点为起点和终点的向量中， (1)试写出与相等的所有向量； (2)试写出的相反向量； (3)若，求向量的模． 【答案】(1)； (2)； (3)3. 【分析】（1）（2）利用长方体的结构特征，结合相等向量、相反向量的意义求解作答. （3）由长方体的体对角线长求法，结合向量模的意义求解作答. 【详解】（1）在长方体中，与相等的所有向量（除本身外）有，共3个. （2）的相反向量是. （3）在长方体中，连接，如图， ， 所以向量的模. 【易错必刷四 空间向量的加减运算】 13．（2025·全国·模拟预测）已知正方体，设向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程组，即可求解. 【详解】由于， 所以，，. 故选：B 14．（多选题）（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）空间四边形中，若，，，分别为边上的中点，则下列各式中不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由空间向量的线性运算逐个判断即可 【详解】画出图形，如图所示， ∵分别为边上的中点，∴，， 对于A，； 对于B，； 对于C，; 对于D，. 故选：ACD 15．（22-23高二上·上海松江·期中）如图，在斜四棱柱中，M为AC与BD的交点，若，请用来表示向量 ． 【答案】 【分析】首先利用向量减法法则表示出，再利用即可求解. 【详解】依据题意，， 又， 故答案为： 16．（24-25高二上·天津河西·期中）如图，在平行六面体中，是的中点，是的中点，是的中点，点在上，且，设，用基底表示以下向量：    (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）利用空间向量的线性运算求解即可. 【详解】（1）如图，连接，    则， （2）连接，则 ． （3）， （4） . 【易错必刷五 空间向量的数乘运算】 17．（2024高二·全国·专题练习）如图，在四面体PABC中，E是AC的中点，，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算即可求解． 【详解】因为E是AC的中点，， 所以 故选：B． 18．（多选题）（24-25高二上·广东广州·阶段练习）与向量共线的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据题意得，再利用与共线的单位向量为，即可求解. 【详解】因为，所以， 所以与向量共线的单位向量为或， 故选：AD. 19．（23-24高二上·全国·课后作业）已知是三个不共面向量，已知向量则 . 【答案】 【分析】根据空间向量的线性运算求解. 【详解】， ， 故答案为： 20．（23-24高二上·上海·课后作业）化简下列算式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量数乘运算即可求得答案； （2）根据向量的线性运算，即可求得答案. 【详解】（1） . （2） . 【易错必刷六 空间向量数量积的概念辨析】 21．（23-24高二上·宁夏银川·阶段练习）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间向量在向量方向上的投影数量为，运算即可得解. 【详解】由题意，，，， 则空间向量在向量方向上的投影数量为. 所以所求投影向量的模长为2. 故选：A 22．（多选题）（22-23高一下·陕西宝鸡·期末）若、、是空间任意三个向量，，下列关系中，不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据数量积的运算律判断A、B，根据向量数乘的运算律判断C，利用反例说明D. 【详解】对于A：，则表示与向量共线的一个向量， ，则表示与向量共线的一个向量， 故A错误； 对于B：，，故B错误； 对于C：根据向量数乘的分配律知，故C正确； 对于D：若与不共线时，不存在使得， 且当，时与共线，但是也不存在使得，故D错误； 故选：ABD 23．（2023高二·全国·专题练习）四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为 . 【答案】 【分析】根据线面、线线位置关系，结合投影向量的定义确定在向量上的投影向量. 【详解】四棱锥，底面是矩形，则，即， 且，由底面，底面，则， 由，面，则面， 又面，则，故向量在向量上的投影向量为， 所以向量在向量上的投影向量为. 故答案为： 24．（23-24高二·全国·课后作业）如图，在长方体中： (1)哪些棱所在直线与直线互为异面直线且互相垂直？ (2)若，分别求向量与，，的夹角. 【答案】(1)； (2)具体见解析. 【分析】（1）由长方体的性质及异面直线的定义即可求得答案； （2）由空间向量夹角的定义并结合线面垂直的性质定理即可求得答案. 【详解】（1）在长方体中，易知底面ABCD，则，，而，所以，于是与直线互为异面直线且互相垂直的直线有. （2）易知，而，所以. 因为，所以与的夹角为； 因为，所以与的夹角为； 因为⊥平面，平面，所以，所以与的夹角为. 【易错必刷七 空间向量的坐标表示】 25．（23-24高二上·重庆九龙坡·阶段练习）已知是空间中一组基底，若向量，则称向量在基底下坐标为.若向量在基底下坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件得到，然后利用待定系数法求解即可. 【详解】因为向量在基底下坐标为， 所以， 设， 则，解得， 所以向量在基底下的坐标为， 故选：C 26．（多选题）（22-23高二上·广东江门·期中）如图，在长方体中，AB＝5，AD＝4，，以直线DA，DC，分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则（    ） A．点的坐标为 B．点B关于点对称的点为 C．， D．点关于x轴对称的点为 【答案】ABC 【分析】根据题中条件，由空间直角坐标系，求出相关点的坐标，结合向量的坐标表示和对称相关结论逐项判断，即可得出结果. 【详解】根据题意知：点的坐标为，选项A正确； 点关于x轴对称的点为，选项D错误； 点的坐标为，故点关于点对称的点为，选项B正确； 点的坐标为，点的坐标为， 所以，选项C正确； 故选：ABC. 27．（24-25高二上·贵州·期中）若向量，则称为在基底下的坐标．已知向量在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 ． 【答案】 【分析】结合题意，根据空间向量的线性运算可得，进而求得坐标. 【详解】由题意，， 设， 则，解得， 则， 所以在基底下的坐标为. 故答案为：. 28．（24-25高二下·全国·课前预习）在平行六面体中，设，，，，分别是，的中点． (1)用向量，，表示，； (2)若，求在基下的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据给定的平行六面体，利用空间向量的线性运算求解即得. （2）利用给定的基底表示，再利用空间向量基本定理求出坐标. 【详解】（1）在平行六面体中，连接，，，，如图，   ， ． （2） ， 因此，，， 所以在基下的坐标为． 【易错必刷八 求平面的法向量】 29．（24-25高二·江苏·假期作业）已知空间中，点，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出，，设平面的一个法向量为，由，，列方程组，解方程即可得出答案. 【详解】由题，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，，得. 故选：B. 30．（多选题）（23-24高二上·广西·开学考试）已知平面内的两个向量的，则平面的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】设平面的法向量为，根据向量垂直的坐标表示求解可得答案. 【详解】设平面的法向量为， 因为向量， 所以， 取，得， 取，得. 故选：BC. 31．（2024高三·全国·专题练习）已知直线，的方向向量分别为，，且直线，均平行于平面，平面的单位法向量为 ． 【答案】或 【分析】由法向量与，垂直列出等式即可求解. 【详解】设平面的单位法向量为， 因为直线，均平行于平面， 所以有， 由可得： 或， 故平面的单位法向量为或． 故答案为：或． 32．（24-25高二下·全国·课堂例题）在正方体中，，分别为棱，的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：    (1)平面的一个法向量； (2)平面的一个法向量． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)（答案不唯一） 【分析】（1）根据法向量的定义，结合空间向量垂直的坐标表示公式进行求解即可； （2）根据法向量的定义，结合空间向量垂直的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】（1）设正方体的棱长为2， 则，，，， （1）设平面的一个法向量为， ，， 则即 令，则，， 平面的一个法向量为．（答案不唯一） （2），， 设平面的一个法向量为． 即 令，则，， 平面的一个法向量为．（答案不唯一） 【易错必刷九 异面直线夹角的向量求法】 33．（23-24高二上·全国·课前预习）如图，正方体的棱长为1，若点M为AB的中点，，则与MN所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以D为原点建立空间直角坐标系，用异面直线所成角的向量法求解公式计算. 【详解】以D为原点，分别以DA，DC，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，． 则，故与MN所成角的余弦值为． 故选：A. 34．（多选题）（23-24高三上·贵州·阶段练习）如图，正方体的棱长为，是上的动点，以下说法正确的是（    ）    A．的面积是定值 B．与共线的单位向量是 C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是 【答案】AD 【分析】由可判断A选项，根据单位向量的概念可判断B选项，再建立空间直角坐标系，可利用坐标法判断C、D选项. 【详解】A选项：在上且， 到的距离等于到的距离，设为定值， 为定值，故A选项正确； B选项：的模为，不为单位向量，故B选项错误；    如图所示建系，，，，， 则，， C选项：，故C选项错误； D选项：设， 则，， 即，， 为面的一个法向量，故D选项正确； 故选：AD． 35．（24-25高二上·北京密云·期末）如图，在长方体中， ，，则异面直线与所成角的余弦值为 ．    【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量求异面直线与所成的角的余弦值. 【详解】以D为原点建立空间直角坐标系如图所示，    则， 所以， 则, 则异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 36．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在正方体中，分别为棱和上的点，且满足，求与所成角的余弦值.    【答案】 【分析】求得两直线方向向量，代入夹角公式即可求解. 【详解】解：设，由题意得，，， 则， 所以. 所以与所成角的余弦值为. 【易错必刷十 线面角的向量求法】 37．（24-25高二下·江苏泰州·期末）若向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线与平面所成角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值即可求解. 【详解】设向量与向量的夹角为，根据两向量夹角余弦值的公式可得： ， 则, 直线与平面所成角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值， 因此直线与平面所成角的余弦值为. 故选：D. 38．（24-25高二上·安徽·阶段练习）在直三棱柱中，，，若点满足，其中，则直线与平面所成角的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求线面角的正弦值. 【详解】分别取，中点，，则，即平面，连接，因为，所以，以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知，，，，，则，，因为，，，易知平面的一个法向量是， 设直线与平面所成角为，， 则， 所以时，，即的最大值是. 故选：B. 39．（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，直线与平面相交于点，设直线与平面所成的角为，直线的方向向量，平面的法向量为，则 .    【答案】 【分析】利用直线与平面夹角公式求解. 【详解】解：由题意得：， 故答案为：， 40．（2025·江西景德镇·二模）如图所示，在四棱锥中，，，，，，点在棱上，且． (1)证明：平面； (2)若，求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）利用平行线的线段比例关系得到，即可证明平面. （2）取中点，以为原点建系，利用线面角的向量求法即可求得结果. 【详解】（1）连接交于，连接，∵，∴． 又∵，∴，∵平面，平面，∴平面． （2）取中点，连接，∵，∴，， 又∵，，∴四边形为矩形，． ∵，∴． ∵，且平面，平面， ∴平面，以为原点建系如上图， ，，，，， ∴，，， 设为平面的法向量， 令，则，，∴， ∴， ∴与平面所成角的正弦值为． 【易错必刷十一 面面角的向量求法】 41．（24-25高二上·山东·阶段练习）已知平面，的法向量分别为，，则平面，的夹角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两个平面的夹角公式，再利用两个平面的夹角，即可求得结果. 【详解】由向量与， 得， 又，则，所以平面，的夹角的大小为． 故选：C． 42．（多选题）（23-24高二上·河南洛阳·期末）三棱锥中，平面与平面的法向量分别为,,则二面角的大小可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】计算，即可得出答案. 【详解】， 所以二面角的大小可能为或． 故选：BC 43．（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）两平面的法向量分别为，则两平面的夹角为 . 【答案】 【分析】运用空间向量的夹角公式，结合数量积和模长可解. 【详解】解：两平面的法向量分别为， 设两平面的夹角为，所以， 因为，所以，即两平面的夹角为. 故答案为：. 44．（2025·四川成都·一模）如图，在四棱台中，下底面是边长为的正方形，侧棱与底面垂直，且. (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作辅助线构造平行四边形，得到线线平行通过线面平行的判定定理可证； （2）以为原点建立空间直角坐标系，求两个平面的法向量进而求法向量夹角的余弦值即可. 【详解】（1）连接交于点，连结，. 因为底面是正方形，所以是的中点. 又，所以，故. 由棱台的定义，与共面，因为棱台的上、下底面平行，所以它们与平面的交线平行，即. 所以四边形为平行四边形，故. 又因为平面，平面，所以平面. （2）以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，，. 故，，，. 设平面的法向量，由得. 取，得平面的一个法向量. 设平面的法向量，由得. 取，得平面的一个法向量. 故. 所以平面与平面夹角的大小为. 【易错必刷十二 点到平面距离的向量求法】 45．（24-25高二上·安徽·期末）在空间直角坐标系中，有一个三棱柱，其中，，，则点到平面的距离为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】直接利用点到平面距离的向量公式求解即可． 【详解】设平面的法向量， 则，令，则，， 则平面的一个法向量为， 因平面平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离，即． 故选：C. 46．（多选题）（22-23高二上·吉林辽源·期末）在棱长为3的正方体中，点在棱上运动（不与顶点重合），则点到平面的距离可以是（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】BC 【分析】利用坐标法，设，可得平面的法向量，进而即得. 【详解】以D为原点，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，设， 所以，， 设为平面的法向量， 则有：，令，可得， 则点到平面的距离为， 因为，所以，所以. 故选：BC 47．（24-25高二下·安徽阜阳·开学考试）在直三棱柱中，，，D是棱的中点，则点到平面的距离为 . 【答案】/ 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用空间点到面的距离公式求解. 【详解】因为，，两两垂直，故可以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，. 设平面的法向量为， 则故可取， 又，故点到平面的距离. 故答案为：. 48．（23-24高二上·安徽芜湖·期中）如图所示，已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，，，，E，F分别是AB，BC的中点．    (1)求点D到平面PEF的距离； (2)求直线AC到平面PEF的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及点到面的距离公式代入计算，即可求解； （2）结合直线到平面的距离公式，代入计算，即可求解. 【详解】（1）   ，，． 又，，平面， 面ABCD， 故建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，，， ，，， 设为面PEF的法向量，， 令，则，，，， 设点D到平面PEF的距离为d，则． （2）因为，平面，平面， 所以平面，所以直线AC到平面PEF的距离等于点A到平面PEF的距离， 设点A到平面PEF的距离为，，则． 【易错必刷十三 点到直线距离的向量求法】 49．（24-25高二上·广东潮州·期末）正方体的棱长为为的中点，则点到直线的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，根据向量法即可求解. 【详解】建立空间直角坐标系，如图， 则，，， 所以，， 所以在方向上的投影向量的模为， 所以点到直线的距离. 故选：B. 50．（23-24高二上·山东泰安·阶段练习）如图，在正四棱柱中，，，E为线段的中点，则点B到直线DE的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用点到直线的距离公式求解. 【详解】在正四棱柱中，建立如图所示的空间直角坐标系， 由，得，线段的中点， 则， 所以点到直线的距离. 故选：D 51．（24-25高二上·河南·期末）已知直线过点，它的一个方向向量为，则点到直线的距离为 . 【答案】 【分析】利用空间中点到直线的距离公式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以点到直线的距离为． 故答案为：. 52．（23-24高二上·全国·课后作业）在棱长为1的正方体中， 求点B到直线的距离. 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用点到直线距离的向量求法求解即得. 【详解】以为原点，所在直线分别为轴轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，， 所以点B到直线的距离. 学科网（北京）股份有限公司 $